लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के उदाहरण. परीक्षा की तैयारी
क्या आपको लगता है कि परीक्षा से पहले अभी भी समय है और आपके पास तैयारी के लिए समय होगा? शायद ऐसा ही है. लेकिन किसी भी मामले में, छात्र जितनी जल्दी प्रशिक्षण शुरू करता है, उतनी ही सफलतापूर्वक वह परीक्षा उत्तीर्ण करता है। आज हमने लघुगणकीय असमानताओं पर एक लेख समर्पित करने का निर्णय लिया। यह कार्यों में से एक है, जिसका अर्थ है एक अतिरिक्त अंक प्राप्त करने का अवसर।
क्या आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक (लॉग) क्या है? हम सचमुच ऐसी आशा करते हैं। लेकिन अगर आपके पास इस सवाल का जवाब नहीं है तो भी कोई समस्या नहीं है. यह समझना बहुत आसान है कि लघुगणक क्या है।
बिल्कुल 4 ही क्यों? आपको 81 प्राप्त करने के लिए संख्या 3 को इतनी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। जब आप सिद्धांत को समझ जाते हैं, तो आप अधिक जटिल गणनाओं के लिए आगे बढ़ सकते हैं।
आप कुछ वर्ष पहले असमानताओं से गुज़रे थे। और तब से, आप लगातार उनसे गणित में मिलते हैं। यदि आपको असमानताओं को हल करने में परेशानी हो रही है, तो उपयुक्त अनुभाग देखें।
अब, जब हम अवधारणाओं से अलग-अलग परिचित हो गए हैं, तो हम सामान्य रूप से उन पर विचार करेंगे।
सबसे सरल लघुगणकीय असमानता.
सबसे सरल लघुगणकीय असमानताएँ इस उदाहरण तक सीमित नहीं हैं, तीन और हैं, केवल विभिन्न चिह्नों के साथ। इसकी आवश्यकता क्यों है? यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि लघुगणक के साथ असमानता को कैसे हल किया जाए। अब हम एक अधिक लागू उदाहरण देते हैं, जो अभी भी काफी सरल है, हम जटिल लघुगणकीय असमानताओं को बाद के लिए छोड़ देते हैं।
इसे कैसे हल करें? यह सब ODZ से शुरू होता है। यदि आप किसी भी असमानता को हमेशा आसानी से हल करना चाहते हैं तो आपको इसके बारे में अधिक जानना चाहिए।
ओडीजेड क्या है? लघुगणकीय असमानताओं के लिए डीपीवी
संक्षिप्त नाम मान्य मानों की श्रेणी को दर्शाता है। परीक्षा के असाइनमेंट में, यह शब्द अक्सर सामने आता है। ODZ न केवल मामले में आपके लिए उपयोगी होगा लघुगणकीय असमानताएँ.
उपरोक्त उदाहरण को फिर से देखें। हम इसके आधार पर ODZ पर विचार करेंगे, ताकि आप सिद्धांत को समझ सकें, और लघुगणकीय असमानताओं के समाधान पर प्रश्न न उठें। लघुगणक की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि 2x+4 शून्य से अधिक होना चाहिए। हमारे मामले में, इसका मतलब निम्नलिखित है।
परिभाषा के अनुसार यह संख्या धनात्मक होनी चाहिए. ऊपर प्रस्तुत असमानता को हल करें। यह मौखिक रूप से भी किया जा सकता है, यहाँ यह स्पष्ट है कि X 2 से कम नहीं हो सकता। असमानता का समाधान स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की परिभाषा होगी।
आइए अब सबसे सरल लघुगणकीय असमानता को हल करने की ओर आगे बढ़ें।
हम असमानता के दोनों भागों से लघुगणक को स्वयं हटा देते हैं। परिणामस्वरूप हमारे लिए क्या बचता है? साधारण असमानता.
इसे हल करना आसान है. X -0.5 से अधिक होना चाहिए. अब हम दो प्राप्त मूल्यों को सिस्टम में जोड़ते हैं। इस प्रकार,
यह लघुगणकीय असमानता के लिए स्वीकार्य मानों का क्षेत्र होगा।
आख़िर ODZ की आवश्यकता क्यों है? यह गलत और असंभव उत्तरों को छाँटने का एक अवसर है। यदि उत्तर स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के भीतर नहीं है, तो उत्तर का कोई मतलब ही नहीं है। यह लंबे समय तक याद रखने योग्य है, क्योंकि परीक्षा में अक्सर ओडीजेड की खोज करने की आवश्यकता होती है, और यह न केवल लघुगणकीय असमानताओं से संबंधित है।
लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम
समाधान में कई चरण शामिल हैं. सबसे पहले, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाना आवश्यक है। ODZ में दो मान होंगे, हमने ऊपर इस पर विचार किया है। अगला कदम असमानता को स्वयं हल करना है। समाधान विधियाँ इस प्रकार हैं:
- गुणक प्रतिस्थापन विधि;
- विघटन;
- युक्तिकरण विधि.
स्थिति के आधार पर, उपरोक्त विधियों में से किसी एक का उपयोग किया जाना चाहिए। चलिए सीधे समाधान की ओर चलते हैं। हम सबसे लोकप्रिय विधि का खुलासा करेंगे जो लगभग सभी मामलों में यूएसई कार्यों को हल करने के लिए उपयुक्त है। आगे, हम अपघटन विधि पर विचार करेंगे। यदि आपका सामना विशेष रूप से "मुश्किल" असमानता से होता है तो यह मदद कर सकता है। तो, लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम।
समाधान के उदाहरण :
यह व्यर्थ नहीं है कि हमने ऐसी असमानता को अपनाया! आधार पर ध्यान दें. याद रखें: यदि यह एक से अधिक है, तो मान्य मानों की सीमा ज्ञात करते समय चिह्न वही रहता है; अन्यथा, असमानता चिह्न को बदला जाना चाहिए।
परिणामस्वरूप, हमें असमानता मिलती है:
अब हम बाएँ पक्ष को शून्य के बराबर समीकरण के रूप में लाते हैं। "इससे कम" चिह्न के स्थान पर, हम "बराबर" लगाते हैं, हम समीकरण को हल करते हैं। इस प्रकार, हम ODZ ज्ञात करेंगे। हमें उम्मीद है कि ऐसे समाधान के साथ सरल समीकरणतुम्हें कोई समस्या नहीं होगी. उत्तर -4 और -2 हैं। वह सब कुछ नहीं हैं। आपको इन बिंदुओं को चार्ट पर प्रदर्शित करना होगा, "+" और "-" रखना होगा। इसके लिए क्या करना होगा? व्यंजक में अंतरालों से संख्याएँ रखें। जहां मान सकारात्मक हैं, वहां हम "+" लगाते हैं।
उत्तर:x -4 से बड़ा और -2 से कम नहीं हो सकता।
हमें केवल बाईं ओर के लिए मान्य मानों की श्रेणी मिली, अब हमें दाईं ओर के लिए मान्य मानों की श्रेणी ज्ञात करने की आवश्यकता है। यह किसी भी तरह से आसान नहीं है. उत्तर:-2. हम दोनों प्राप्त क्षेत्रों को काटते हैं।
और केवल अब हम असमानता को स्वयं हल करना शुरू करते हैं।
आइए इसे निर्णय लेने में आसान बनाने के लिए इसे यथासंभव सरल बनाएं।
हम समाधान में फिर से अंतराल विधि का उपयोग करते हैं। आइए गणनाओं को छोड़ दें, उसके साथ पिछले उदाहरण से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। उत्तर।
लेकिन यह विधि उपयुक्त है यदि लघुगणकीय असमानता का आधार समान हो।
समाधान लघुगणकीय समीकरणऔर असमानताएं अलग-अलग आधारएक आधार पर प्रारंभिक कमी का अनुमान लगाया गया है। फिर उपरोक्त विधि का प्रयोग करें. लेकिन एक और भी जटिल मामला है. सबसे अधिक में से एक पर विचार करें जटिल प्रकारलघुगणकीय असमानताएँ.
परिवर्तनीय आधार के साथ लघुगणकीय असमानताएँ
ऐसी विशेषताओं के साथ असमानताओं को कैसे हल करें? हाँ, और ऐसा परीक्षा में पाया जा सकता है। निम्नलिखित तरीके से असमानताओं को हल करने से भी आप पर लाभकारी प्रभाव पड़ेगा शैक्षिक प्रक्रिया. आइए मुद्दे को समझते हैं विस्तार से. आइए सिद्धांत को एक तरफ रख दें और सीधे अभ्यास की ओर बढ़ें। लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए, एक बार स्वयं को उदाहरण से परिचित कर लेना ही पर्याप्त है।
प्रस्तुत प्रपत्र की लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए इसे कम करना आवश्यक है दाईं ओरसमान आधार वाले लघुगणक तक। सिद्धांत समतुल्य संक्रमणों जैसा दिखता है। परिणामस्वरूप, असमानता इस प्रकार दिखाई देगी।
दरअसल, यह लघुगणक के बिना असमानताओं की एक प्रणाली बनाने के लिए बनी हुई है। युक्तिकरण पद्धति का उपयोग करते हुए, हम असमानताओं की एक समतुल्य प्रणाली से गुजरते हैं। जब आप उचित मानों को प्रतिस्थापित करेंगे और उनके परिवर्तनों का पालन करेंगे तो आप नियम को स्वयं समझ जाएंगे। प्रणाली में निम्नलिखित असमानताएँ होंगी।
असमानताओं को हल करते समय युक्तिकरण पद्धति का उपयोग करते हुए, आपको निम्नलिखित को याद रखने की आवश्यकता है: आपको आधार से एक को घटाना होगा, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x, असमानता के दोनों हिस्सों (बाएं से दाएं) से घटाया जाता है, दो भावों को गुणा किया जाता है और शून्य के सापेक्ष मूल चिह्न के नीचे सेट किया जाता है।
आगे का समाधान अंतराल विधि द्वारा किया जाता है, यहां सब कुछ सरल है। आपके लिए समाधान के तरीकों में अंतर को समझना महत्वपूर्ण है, तभी सब कुछ आसानी से काम करने लगेगा।
लघुगणकीय असमानताओं में कई बारीकियाँ हैं। उनमें से सबसे सरल को हल करना काफी आसान है। इसे कैसे बनाया जाए ताकि उनमें से प्रत्येक को बिना किसी समस्या के हल किया जा सके? आपको इस लेख में सभी उत्तर पहले ही मिल चुके हैं। अब आपके सामने एक लंबा अभ्यास है। परीक्षा में विभिन्न समस्याओं को हल करने का लगातार अभ्यास करें और आप उच्चतम अंक प्राप्त करने में सक्षम होंगे। आपके कठिन कार्य में शुभकामनाएँ!
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अक्सर, लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय, लघुगणक के परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएं उत्पन्न होती हैं। तो, रूप की असमानता
यह एक मानक स्कूल असमानता है। एक नियम के रूप में, इसे हल करने के लिए, सिस्टम के समतुल्य सेट में संक्रमण का उपयोग किया जाता है:
हानि यह विधिदो प्रणालियों और एक सेट की गिनती नहीं, बल्कि सात असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है। यहां तक कि दिए गए द्विघात कार्यों के साथ भी, जनसंख्या समाधान के लिए बहुत समय की आवश्यकता हो सकती है।
इस मानक असमानता को हल करने का एक वैकल्पिक, कम समय लेने वाला तरीका प्रस्तावित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय को ध्यान में रखते हैं।
प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक सेट , कहाँ 
.
ध्यान दें: यदि सेट एक्स पर लगातार घटता हुआ फ़ंक्शन है, तो।
आइए असमानता पर वापस आएं। आइए दशमलव लघुगणक पर आगे बढ़ें (आप एक से अधिक स्थिर आधार वाले किसी भी लघुगणक पर जा सकते हैं)।
अब हम अंश में कार्यों की वृद्धि को ध्यान में रखते हुए प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं 
और हर में. तो यह सच है
परिणामस्वरूप, उत्तर तक पहुंचने वाली गणनाओं की संख्या लगभग आधी हो जाती है, जिससे न केवल समय की बचत होती है, बल्कि आपको संभावित रूप से कम अंकगणितीय और लापरवाह त्रुटियां करने की भी अनुमति मिलती है।
उदाहरण 1
(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं 
, 
, .
(2) से आगे बढ़ते हुए हमारे पास होगा:
उदाहरण 2
(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं , , .
(2) से आगे बढ़ते हुए हमारे पास होगा:
उदाहरण 3
चूँकि असमानता का बायाँ भाग और के लिए एक बढ़ता हुआ फलन है 
, तो उत्तर सेट है .
यदि टर्म 2 को ध्यान में रखा जाए तो उदाहरणों का सेट जिसमें टर्म 1 लागू किया जा सकता है, आसानी से विस्तारित किया जा सकता है।
चलो सेट पर एक्सफलन , , , परिभाषित हैं, और इस सेट पर चिह्न और संपाती हैं, अर्थात्, तो यह उचित होगा.
उदाहरण 4
उदाहरण 5
मानक दृष्टिकोण के साथ, उदाहरण को योजना के अनुसार हल किया जाता है: जब कारक विभिन्न संकेतों के होते हैं तो उत्पाद शून्य से कम होता है। वे। हम असमानताओं की दो प्रणालियों के एक सेट पर विचार करते हैं, जिसमें, जैसा कि शुरुआत में संकेत दिया गया था, प्रत्येक असमानता सात और में टूट जाती है।
यदि हम प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हैं, तो प्रत्येक कारक, (2) को ध्यान में रखते हुए, किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका O.D.Z. के इस उदाहरण में समान चिह्न है।
प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हुए, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को तर्क की वृद्धि के साथ बदलने की विधि, विशिष्ट C3 USE समस्याओं को हल करते समय बहुत सुविधाजनक साबित होती है।
उदाहरण 6
उदाहरण 7
. चलो निरूपित करें. पाना
. ध्यान दें कि प्रतिस्थापन का तात्पर्य है: . समीकरण पर लौटने पर, हमें मिलता है
.
उदाहरण 8
हम जिन प्रमेयों का उपयोग करते हैं, उनमें कार्यों के वर्गों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। इस लेख में, उदाहरण के तौर पर, लघुगणकीय असमानताओं के समाधान के लिए प्रमेयों को लागू किया गया था। निम्नलिखित कुछ उदाहरण अन्य प्रकार की असमानताओं को हल करने की विधि की संभावना को प्रदर्शित करेंगे।
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