सभी प्रकार के सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल। त्रिकोणमितीय समीकरण

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उदाहरण:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें:

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को निम्न में से किसी एक प्रकार से घटाया जाना चाहिए:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

जहाँ \(t\) x के साथ एक व्यंजक है, \(a\) एक संख्या है। ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं प्रोटोजोआ. उन्हें () या विशेष सूत्रों का उपयोग करके हल करना आसान है:

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\)।
समाधान:

उत्तर: \(\बाएं[ \शुरू (इकट्ठा)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(एकत्रित)\दाएं।\) \(के,एन∈जेड\)

मूल सूत्र में प्रत्येक प्रतीक का क्या अर्थ है? त्रिकोणमितीय समीकरणकी ओर देखें ।

ध्यान!समीकरण \(\sin⁡x=a\) और \(\cos⁡x=a\) का कोई हल नहीं है अगर \(a (-∞;-1)∪(1;∞)\)। क्योंकि किसी भी x के लिए ज्या और कोज्या \(-1\) से अधिक या उसके बराबर और \(1\) से कम या बराबर है:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

उदाहरण . समीकरण को हल करें \(\cos⁡x=-1,1\)।
समाधान: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
उत्तर : कोई समाधान नहीं।

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण tg\(⁡x=1\) को हल करें।
समाधान:

एक संख्या वृत्त का उपयोग करके समीकरण को हल करें। इसके लिए: 1) आइए एक सर्कल बनाएं) 2) कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) और स्पर्शरेखाओं की धुरी की रचना करें (यह अक्ष \(y\) के समानांतर बिंदु \((0;1)\) से होकर गुजरती है। 3) स्पर्शरेखा के अक्ष पर, बिंदु \(1\) को चिह्नित करें। 4) इस बिंदु और मूल बिंदु को जोड़ो - एक सीधी रेखा। 5) इस रेखा और संख्या वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर ध्यान दें। 6) आइए इन बिंदुओं के मूल्यों पर हस्ताक्षर करें: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) इन बिंदुओं के सभी मान लिख लें। चूंकि वे एक दूसरे से बिल्कुल अलग \(π\) हैं, इसलिए सभी मानों को एक सूत्र में लिखा जा सकता है:

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\)।

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\)।
समाधान:

आइए फिर से नंबर सर्कल का उपयोग करें। 1) आइए एक वृत्त, कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) का निर्माण करें। 2) कोज्या अक्ष पर (अक्ष \(x\)) चिह्न \(0\)। 3) इस बिंदु से कोज्या अक्ष पर एक लंब खींचिए। 4) लंब और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। 5) आइए इन बिंदुओं के मूल्यों पर हस्ताक्षर करें: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) आइए इन बिंदुओं का संपूर्ण मान लिखें और उन्हें कोसाइन (जो कोसाइन के अंदर है) के बराबर करें। \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) हमेशा की तरह, हम \(x\) को समीकरणों में व्यक्त करेंगे। संख्याओं को \(π\) के साथ-साथ \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), आदि के साथ व्यवहार करना याद रखें। ये अन्य सभी के समान संख्याएँ हैं। कोई संख्यात्मक भेदभाव नहीं! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\)।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरलतम समीकरणों में कम करना एक रचनात्मक कार्य है, यहाँ आपको समीकरणों को हल करने के लिए दोनों और विशेष विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- विधि (परीक्षा में सबसे लोकप्रिय)।
- तरीका।
- सहायक तर्कों की विधि।

वर्ग-त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
समाधान:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	आइए परिवर्तन करें \(t=\cos⁡x\)।
	हमारा समीकरण विशिष्ट हो गया है। से हल कर सकते हैं।
\(डी=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	हम एक प्रतिस्थापन करते हैं।
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	हम पहले समीकरण को एक संख्या वृत्त का उपयोग करके हल करते हैं। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है क्योंकि \(\cos⁡x∈[-1;1]\) और किसी भी x के लिए दो के बराबर नहीं हो सकता।
	आइए हम इन बिंदुओं पर पड़ी सभी संख्याओं को लिख लें।

उत्तर: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)।

ODZ के अध्ययन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

उदाहरण (उपयोग) . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	एक अंश है और एक कोटैंजेंट है - इसलिए आपको लिखने की जरूरत है। मैं आपको याद दिला दूं कि कोटैंजेंट वास्तव में एक भिन्न है: सीटीजी\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) इसलिए, ctg\(x\) के लिए DPV: \(\sin⁡x≠0\)।
ओडीजेड: सीटीजी\(एक्स ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(के,एन∈जेड\)	संख्या चक्र पर "गैर-समाधान" नोट करें।
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	आइए समीकरण में हर को ctg\(x\) से गुणा करके उससे छुटकारा पाएं। हम ऐसा इसलिए कर सकते हैं क्योंकि हमने उस ctg\(x ≠0\) के ऊपर लिखा है।
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	ज्या के लिए द्विकोण सूत्र लागू करें: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\)।
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	यदि आपके हाथ कोसाइन द्वारा विभाजित करने के लिए पहुँचे हैं - तो उन्हें वापस खींच लें! यदि आप निश्चित रूप से शून्य के बराबर नहीं हैं, तो आप एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति से विभाजित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, जैसे: \(x^2+1,5^x\))। इसके बजाय, हम कोष्ठक से \(\cos⁡x\) निकालते हैं।
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	आइए समीकरण को दो में विभाजित करें।
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	हम पहले समीकरण को एक संख्या वृत्त का उपयोग करके हल करते हैं। दूसरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करें और \(\sin⁡x\) को दाईं ओर ले जाएं।
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)। \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	जो जड़ें निकलीं, वे ODZ में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हम उन्हें प्रतिक्रिया में नहीं लिखेंगे। दूसरा समीकरण विशिष्ट है। इसे \(\sin⁡x\) से विभाजित करें (\(\sin⁡x=0\) समीकरण का समाधान नहीं हो सकता क्योंकि इस मामले में \(\cos⁡x=1\) या \(\cos⁡ x = -1\))।
	फिर से हम एक सर्कल का उपयोग करते हैं।
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	इन जड़ों को ODZ द्वारा बाहर नहीं रखा गया है, इसलिए इन्हें प्रतिक्रिया के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)।

त्रिकोणमितीय कार्यों पर संदर्भ डेटा साइन (sin x) और कोसाइन (cos x)। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, रेखांकन, सूत्र। साइन और कोसाइन की तालिका, डेरिवेटिव, इंटीग्रल, श्रृंखला विस्तार, सेकेंट, कोसेकेंट। जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्ति। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध।

ज्या और कोज्या की ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी|- एक बिंदु पर केंद्रित वृत्त के चाप की लंबाई ए.
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

परिभाषा
साइनसएक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|.

कोसाइन (cos α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|.

स्वीकृत पदनाम

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.

ज्या फलन का ग्राफ, y = sin x

कोज्या फलन का ग्राफ, y = cos x

साइन और कोसाइन के गुण

दौरा

कार्य y= पाप xऔर y= क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2 पाई.

समानता

साइन फ़ंक्शन विषम है। कोसाइन फ़ंक्शन सम है।

परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

फलन साइन और कोसाइन अपनी परिभाषा के क्षेत्र पर निरंतर हैं, अर्थात सभी x के लिए (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (n - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।

	वाई = पाप x	वाई = क्योंकि x
दायरा और निरंतरता	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	-1 वाई 1	-1 वाई 1
आरोही
अवरोही
अधिकतम, y= 1
मिनिमा, वाई = - 1
शून्य, y= 0
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 0	वाई = 1

मूल सूत्र

वर्ग ज्या और कोज्या का योग

योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन सूत्र

;
;

ज्या और कोज्या के गुणनफल के सूत्र

योग और अंतर सूत्र

कोज्या द्वारा ज्या का व्यंजक

;
;
;
.

ज्या द्वारा कोज्या का व्यंजक

;
;
;
.

स्पर्शरेखा के संदर्भ में अभिव्यक्ति

; .

के लिए, हमारे पास है:
; .

पर :
; .

ज्या और कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों को दर्शाती है।

जटिल चरों के माध्यम से व्यंजक

;

यूलर सूत्र

{ -∞ < x < +∞ }

सेकेंट, कोसेकेंट

उलटा कार्य

साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम कार्य क्रमशः आर्क्साइन और आर्ककोसाइन हैं।

आर्कसिन, आर्क्सिन

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की अवधारणा।

• त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक या अधिक मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों में परिवर्तित करें। त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करना अंततः चार मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आता है।

मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल।

• मूल त्रिकोणमितीय समीकरण 4 प्रकार के होते हैं:
• पाप एक्स = ए; कॉस एक्स = ए
• तन एक्स = ए; सीटीजी एक्स = ए
• मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में यूनिट सर्कल पर विभिन्न एक्स स्थितियों को देखने के साथ-साथ रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करना शामिल है।
• उदाहरण 1. पाप x = 0.866। रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके, आपको उत्तर मिलता है: x = π/3। यूनिट सर्कल एक और जवाब देता है: 2π/3। याद रखें: सभी त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं, अर्थात उनके मान दोहराए जाते हैं। उदाहरण के लिए, sin x और cos x की आवर्तता 2πn है, और tg x और ctg x की आवर्तता πn है। तो उत्तर इस प्रकार लिखा गया है:
• x1 = /3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn।
• उदाहरण 2 cos x = -1/2. रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके, आपको उत्तर मिलता है: x = 2π/3। यूनिट सर्कल एक और जवाब देता है: -2π/3।
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π।
• उदाहरण 3. टीजी (एक्स - /4) = 0।
• उत्तर: x \u003d / 4 + n।
• उदाहरण 4. सीटीजी 2x = 1.732।
• उत्तर: x \u003d / 12 + n।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में प्रयुक्त रूपांतरण।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को बदलने के लिए, बीजीय परिवर्तन (फैक्टरिंग, सजातीय शब्दों की कमी, आदि) और त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया जाता है।
• उदाहरण 5. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, समीकरण sin x + sin 2x + sin 3x = 0 को समीकरण 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 में बदल दिया जाता है। इस प्रकार, निम्नलिखित मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने की आवश्यकता है: cos x = 0; पाप (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• कार्यों के ज्ञात मूल्यों से कोण ढूँढना।

  • त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आपको यह सीखना होगा कि कार्यों के ज्ञात मूल्यों से कोण कैसे खोजें। यह एक रूपांतरण तालिका या कैलकुलेटर का उपयोग करके किया जा सकता है।
  • उदाहरण: कॉस x = 0.732। कैलकुलेटर उत्तर x = 42.95 डिग्री देगा। यूनिट सर्कल अतिरिक्त कोण देगा, जिसकी कोज्या भी 0.732 के बराबर है।

• यूनिट सर्कल पर घोल को अलग रख दें।

  • आप त्रिकोणमितीय समीकरण के हल को इकाई वृत्त पर रख सकते हैं। इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान एक नियमित बहुभुज के शीर्ष होते हैं।
  • उदाहरण: इकाई वृत्त पर हल x = π/3 + πn/2 वर्ग के शीर्ष हैं।
  • उदाहरण: इकाई वृत्त पर हल x = π/4 + πn/3 एक सम षट्भुज के शीर्ष हैं।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।

  • यदि दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में केवल एक त्रिकोणमितीय फलन है, तो इस समीकरण को मूल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें। यदि किसी दिए गए समीकरण में दो या दो से अधिक त्रिकोणमितीय फलन शामिल हैं, तो ऐसे समीकरण को हल करने की 2 विधियाँ हैं (इसके परिवर्तन की संभावना के आधार पर)।
    • विधि 1
  • इस समीकरण को एक समीकरण में रूपांतरित करें: f(x)*g(x)*h(x) = 0, जहां f(x), g(x), h(x) मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं।
  • उदाहरण 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • समाधान। द्विकोण सूत्र का उपयोग करके sin 2x = 2*sin x*cos x, sin 2x को प्रतिस्थापित करें।
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. अब दो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos x = 0 और (sin x + 1) = 0.
  • उदाहरण 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • हल: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक समीकरण में रूपांतरित करें: cos 2x(2cos x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2cos x + 1) = 0.
  • उदाहरण 8. पाप x - पाप 3x \u003d cos 2x। (0< x < 2π)
  • हल: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को इस रूप के समीकरण में रूपांतरित करें: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2sin x + 1) = 0.
    • विधि 2
  • दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को केवल एक त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरण में बदलें। फिर इस त्रिकोणमितीय फलन को किसी अज्ञात से बदलें, उदाहरण के लिए, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, आदि)।
  • उदाहरण 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 .)< x < 2π).
  • समाधान। इस समीकरण में, (cos^2 x) को (1 - sin^2 x) से बदलें (पहचान के अनुसार)। रूपांतरित समीकरण इस तरह दिखता है:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x को t से बदलें। अब समीकरण इस तरह दिखता है: 5t^2 - 4t - 9 = 0. यह दो जड़ों वाला एक द्विघात समीकरण है: t1 = -1 और t2 = 9/5। दूसरा मूल t2 फ़ंक्शन की सीमा को संतुष्ट नहीं करता है (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • उदाहरण 10. टीजी एक्स + 2 टीजी^2 एक्स = सीटीजी एक्स + 2
  • समाधान। tg x को t से बदलें। मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. अब t ज्ञात करें और फिर t = tg x के लिए x ज्ञात करें।

एक बार मैंने दो आवेदकों के बीच बातचीत देखी:

- आपको कब 2πn जोड़ने की आवश्यकता है, और कब - πn? मुझे याद नहीं आ रहा है!

- और मुझे भी यही समस्या है।

मैं उनसे कहना चाहता था: "यह याद रखना जरूरी नहीं है, लेकिन समझना है!"

यह लेख मुख्य रूप से हाई स्कूल के छात्रों को संबोधित किया गया है और, मुझे आशा है, उन्हें सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए "समझने" में मदद मिलेगी:

नंबर सर्कल

एक संख्या रेखा की अवधारणा के साथ-साथ एक संख्या वृत्त की अवधारणा भी है। जैसा कि हम जानते हैं, एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, जिस वृत्त का केंद्र बिंदु (0; 0) पर होता है और 1 की त्रिज्या होती है, उसे इकाई वृत्त कहा जाता है।एक पतले धागे के साथ एक संख्या रेखा की कल्पना करें और इसे इस सर्कल के चारों ओर घुमाएँ: संदर्भ बिंदु (बिंदु 0), इसे यूनिट सर्कल के "दाएं" बिंदु से जोड़ दें, सकारात्मक अर्ध-अक्ष को वामावर्त लपेटें, और दिशा में नकारात्मक अर्ध-अक्ष को लपेटें ( चित्र एक)। ऐसे एकांक वृत्त को संख्या वृत्त कहते हैं।

संख्या चक्र गुण

• प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या वृत्त पर एक बिंदु पर होती है।
• संख्या वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चूँकि इकाई वृत्त की लंबाई 2π है, वृत्त के एक बिंदु पर किन्हीं दो संख्याओं का अंतर ±2π में से किसी एक संख्या के बराबर होता है; ±4π; ±6π; …

आइए निष्कर्ष निकालें: बिंदु A की किसी एक संख्या को जानकर, हम बिंदु A की सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं.

आइए AC का व्यास (चित्र 2) खींचते हैं। चूँकि x_0 बिंदु A की संख्याओं में से एक है, तो संख्याएँ x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... और केवल वे ही बिंदु C की संख्याएँ होंगी। आइए इनमें से किसी एक संख्या को चुनें, मान लीजिए, x_0+π, और बिंदु C की सभी संख्याओं को लिखने के लिए इसका उपयोग करें: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ जेड ध्यान दें कि अंक ए और सी पर संख्याओं को एक सूत्र में जोड़ा जा सकता है: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (के = 0 के लिए; ±2; ±4; ... बिंदु A, और k = ±1, ±3, ±5, ... के लिए बिंदु C की संख्याएं हैं)।

आइए निष्कर्ष निकालें: व्यास AC के किसी एक बिंदु A या C पर किसी एक संख्या को जानकर, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

• दो विपरीत संख्याएं वृत्त के उन बिंदुओं पर स्थित होती हैं जो भुज अक्ष के सममित होते हैं।

आइए एक ऊर्ध्वाधर जीवा AB खींचते हैं (चित्र 2)। चूंकि अंक ए और बी ऑक्स अक्ष के सममित हैं, संख्या -x_0 बिंदु बी पर स्थित है और इसलिए, बिंदु बी की सभी संख्याएं सूत्र द्वारा दी गई हैं: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z। हम अंक ए और बी पर एक सूत्र के साथ संख्या लिखते हैं: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z। आइए निष्कर्ष निकालें: ऊर्ध्वाधर जीवा AB के बिंदु A या B में से किसी एक संख्या को जानने के बाद, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ पा सकते हैं। क्षैतिज जीवा AD पर विचार कीजिए और बिंदु D की संख्याएँ ज्ञात कीजिए (चित्र 2)। चूँकि BD व्यास है और संख्या -x_0 बिंदु B से संबंधित है, तो -x_0 + π बिंदु D की संख्याओं में से एक है और इसलिए, इस बिंदु की सभी संख्याएँ सूत्र द्वारा दी गई हैं x_D=-x_0+π+2πk , k∈Z. अंक A और D पर संख्याओं को एक सूत्र का उपयोग करके लिखा जा सकता है: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z । (के = 0; ± 2; ± 4; ... के लिए हमें बिंदु ए की संख्या मिलती है, और के = ± 1; ± 3; ± 5; ... के लिए - बिंदु डी की संख्या)।

आइए निष्कर्ष निकालें: क्षैतिज जीवा AD के बिंदु A या D में से किसी एक संख्या को जानने के बाद, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

संख्या वृत्त के सोलह मुख्य बिंदु

व्यवहार में, अधिकांश सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल वृत्त के सोलह बिंदुओं से जुड़ा होता है (चित्र 3)। ये डॉट्स क्या हैं? लाल, नीले और हरे रंग के बिंदु वृत्त को 12 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चूंकि अर्धवृत्त की लंबाई π है, चाप A1A2 की लंबाई π/2 है, चाप A1B1 की लंबाई π/6 है, और चाप A1C1 की लंबाई π/3 है।

अब हम बिंदुओं पर एक संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं:

/3 1 और . पर

नारंगी वर्ग के कोने प्रत्येक तिमाही के चापों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए चाप A1D1 की लंबाई π/4 के बराबर है, और इसलिए π/4 बिंदु D1 की संख्याओं में से एक है। संख्या वृत्त के गुणों का उपयोग करके, हम अपने वृत्त के सभी चिन्हित बिंदुओं पर सभी संख्याओं को सूत्रों का उपयोग करके लिख सकते हैं। आंकड़ा इन बिंदुओं के निर्देशांक भी दिखाता है (हम उनके अधिग्रहण के विवरण को छोड़ देते हैं)।

उपरोक्त जानने के बाद, अब हमारे पास विशेष मामलों को हल करने के लिए पर्याप्त तैयारी है (संख्या के नौ मानों के लिए एक)सबसे सरल समीकरण।

समीकरण हल करें

1)sinx=1⁄(2).

- हमें क्या चाहिए?

– वे सभी संख्याएँ x ज्ञात कीजिए जिनकी ज्या 1/2 . है.

साइन की परिभाषा याद रखें: sinx - संख्या वृत्त के उस बिंदु की कोटि जिस पर संख्या x स्थित है. वृत्त पर हमारे पास दो बिंदु हैं, जिनकी कोटि 1/2 के बराबर है। ये क्षैतिज जीवा B1B2 के सिरे हैं। इसका मतलब यह है कि आवश्यकता "समीकरण sinx=1⁄2 को हल करें" आवश्यकता के बराबर है "बिंदु B1 पर सभी संख्याएं और बिंदु B2 पर सभी संख्याएं खोजें"।

2)sinx=-√3⁄2 .

हमें सभी अंक C4 और C3 पर खोजने होंगे।

3) sinx=1. वृत्त पर हमारे पास केवल एक बिंदु है जिसकी कोटि 1 - बिंदु A2 है और इसलिए, हमें इस बिंदु की केवल सभी संख्याएँ ज्ञात करने की आवश्यकता है।

उत्तर: x=π/2+2πk , k∈Z ।

4)sinx=-1 .

केवल बिंदु A_4 में कोटि -1 है। इस बिंदु के सभी अंक समीकरण के घोड़े होंगे।

उत्तर: x=-π/2+2πk , k∈Z ।

5) sinx=0 .

वृत्त पर हमारे पास कोटि 0 वाले दो बिंदु हैं - अंक A1 और A3। आप प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग संख्याएँ निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन यह देखते हुए कि ये बिंदु पूरी तरह से विपरीत हैं, उन्हें एक सूत्र में संयोजित करना बेहतर है: x=πk ,k∈Z ।

उत्तर: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

कोसाइन की परिभाषा याद रखें: cosx - संख्यात्मक वृत्त के उस बिंदु का भुज जिस पर संख्या x स्थित है।सर्कल पर हमारे पास एब्सिसा √2⁄2 के साथ दो बिंदु हैं - क्षैतिज तार D1D4 के छोर। हमें इन बिंदुओं पर सभी संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है। हम उन्हें एक सूत्र में मिलाकर लिखते हैं।

उत्तर: x=±π/4+2πk , k∈Z ।

7) cosx=-1⁄2 .

हमें अंक C_2 और C_3 पर संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है।

उत्तर: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx = 0 .

केवल अंक A2 और A4 में भुज 0 है, जिसका अर्थ है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु पर सभी संख्याएं समीकरण का समाधान होंगी।
.

सिस्टम के समीकरण के समाधान बिंदु B_3 और B_4 पर संख्याएं हैं। असमानता cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
उत्तर: x=-5π/6+2πk , k∈Z ।

ध्यान दें कि x के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, दूसरा कारक सकारात्मक है और इसलिए, समीकरण प्रणाली के बराबर है

सिस्टम समीकरण के समाधान बिंदुओं की संख्या हैं D_2 तथा D_3 । बिंदु की संख्या D_2 असमानता को संतुष्ट नहीं करती है sinx≤0.5, लेकिन बिंदु की संख्या D_3 करते हैं।

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