परीक्षा असाइनमेंट हल करें। गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

वीडियो कोर्स "गेट ए ए" में सफल होने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं परीक्षा उत्तीर्ण करनागणित में 60-65 अंकों के लिए। पूरी तरह से सभी कार्य 1-13 प्रोफ़ाइल के गणित में उपयोग करें। गणित में बेसिक USE पास करने के लिए भी उपयुक्त है। यदि आप 90-100 अंकों के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और बिना किसी गलती के हल करना होगा!

कक्षा 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा पर 70 से अधिक अंक है, और न तो सौ अंकों का छात्र और न ही कोई मानवतावादी उनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत। त्वरित तरीकेसमाधान, जाल और परीक्षा के रहस्य। बैंक ऑफ FIPI के भाग 1 के सभी प्रासंगिक कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से USE-2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक में 2.5 घंटे। प्रत्येक विषय खरोंच से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों परीक्षा कार्य। पाठ समस्याएं और संभाव्यता सिद्धांत। सरल और याद रखने में आसान समस्या समाधान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के USE कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। हल करने के लिए चालाक तरकीबें, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से त्रिकोणमिति - कार्य करने के लिए 13. रटना के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की दृश्य व्याख्या। बीजगणित। जड़ें, शक्तियां और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। परीक्षा के दूसरे भाग की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

2019 में प्रोफाइल स्तर पर गणित में यूएसई में कोई बदलाव नहीं हुआ है - परीक्षा कार्यक्रम, पिछले वर्षों की तरह, मुख्य गणितीय विषयों की सामग्री से बना है। टिकटों में गणितीय, ज्यामितीय और बीजगणितीय समस्याएं शामिल होंगी।

प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित में KIM USE 2019 में कोई बदलाव नहीं किया गया है।

गणित में USE असाइनमेंट की विशेषताएं-2019

गणित (प्रोफाइल) में परीक्षा की तैयारी करते समय, परीक्षा कार्यक्रम की बुनियादी आवश्यकताओं पर ध्यान दें। यह एक गहन कार्यक्रम के ज्ञान का परीक्षण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है: वेक्टर और गणितीय मॉडल, कार्य और लघुगणक, बीजीय समीकरणऔर असमानताएं।
अलग से, के लिए कार्यों को हल करने का अभ्यास करें।
गैर-मानक सोच दिखाना महत्वपूर्ण है।

परीक्षा संरचना

असाइनमेंट का उपयोग करेंप्रोफाइल गणितदो ब्लॉक में विभाजित।

भाग - संक्षिप्त उत्तर, में 8 कार्य शामिल हैं जो बुनियादी गणितीय प्रशिक्षण और रोजमर्रा की जिंदगी में गणित के ज्ञान को लागू करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं।
भाग -संक्षिप्त और विस्तृत उत्तर. इसमें 11 कार्य होते हैं, जिनमें से 4 के लिए एक संक्षिप्त उत्तर की आवश्यकता होती है, और 7 - किए गए कार्यों के तर्क के साथ एक विस्तृत।

बढ़ी हुई जटिलता- किम के दूसरे भाग के कार्य 9-17।
उच्च स्तर की कठिनाई- कार्य 18-19 -। परीक्षा कार्यों का यह हिस्सा न केवल गणितीय ज्ञान के स्तर की जांच करता है, बल्कि सूखे "डिजिटल" कार्यों को हल करने के लिए एक रचनात्मक दृष्टिकोण की उपस्थिति या अनुपस्थिति के साथ-साथ एक पेशेवर उपकरण के रूप में ज्ञान और कौशल का उपयोग करने की क्षमता की प्रभावशीलता की भी जांच करता है। .

महत्वपूर्ण!इसलिए, तैयारी में उपयोग सिद्धांतगणित में, हमेशा व्यावहारिक समस्याओं के समाधान का समर्थन करते हैं।

अंक कैसे वितरित किए जाएंगे?

गणित में KIM के पहले भाग के कार्य करीब हैं परीक्षण का उपयोग करेंबुनियादी स्तर, इसलिए उन पर उच्च स्कोर करना असंभव है।

प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित में प्रत्येक कार्य के लिए अंक निम्नानुसार वितरित किए गए थे:

कार्यों के सही उत्तर के लिए संख्या 1-12 - 1 अंक प्रत्येक;
संख्या 13-15 - 2 प्रत्येक;
संख्या 16-17 - 3 प्रत्येक;
संख्या 18-19 - 4 प्रत्येक।

परीक्षा की अवधि और परीक्षा के लिए आचरण के नियम

परीक्षा पूरी करने के लिए -2019 छात्र को सौंपा गया है 3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

इस समय के दौरान, छात्र को नहीं करना चाहिए:

शोर हो;
गैजेट्स और अन्य तकनीकी साधनों का उपयोग करें;
ख़ारिज करना;
दूसरों की मदद करने की कोशिश करें, या अपने लिए मदद मांगें।

ऐसे कार्यों के लिए, परीक्षक को दर्शकों से निष्कासित किया जा सकता है।

पर राज्य परीक्षाअंक शास्त्र लाने की अनुमति दीकेवल आपके साथ एक शासक, बाकी सामग्री परीक्षा से ठीक पहले आपको दी जाएगी। मौके पर जारी किया गया।

प्रभावी तैयारी ही उपाय है ऑनलाइन परीक्षणगणित 2019। चुनें और उच्चतम स्कोर प्राप्त करें!

माध्यमिक सामान्य शिक्षा

लाइन यूएमके जीके मुरावीना। बीजगणित और शुरुआत गणितीय विश्लेषण(10-11) (गहरा)

लाइन UMK Merzlyak। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

गणित

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

परीक्षा पत्रप्रोफ़ाइल स्तर 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक रहता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक।

परीक्षा पत्र में दो भाग होते हैं, जो सामग्री, जटिलता और कार्यों की संख्या में भिन्न होते हैं।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता कार्यों का रूप है:

भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
भाग 2 में एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) और एक विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) शामिल हैं (निर्णय का पूरा रिकॉर्ड के लिए तर्क के साथ कार्रवाई की गई)।

पनोवा स्वेतलाना अनातोलिवना, विद्यालय की उच्चतम श्रेणी के गणित के शिक्षक, 20 वर्ष का कार्य अनुभव:

"स्कूल प्रमाणपत्र प्राप्त करने के लिए, स्नातक को एकीकृत राज्य परीक्षा के रूप में दो अनिवार्य परीक्षाएं उत्तीर्ण करनी होंगी, जिनमें से एक गणित है। में गणितीय शिक्षा के विकास के लिए अवधारणा के अनुसार रूसी संघगणित में उपयोग को दो स्तरों में विभाजित किया गया है: बुनियादी और विशिष्ट। आज हम प्रोफ़ाइल स्तर के विकल्पों पर विचार करेंगे।

टास्क नंबर 1- प्रायोगिक गतिविधियों में प्रारंभिक गणित में 5-9 ग्रेड के पाठ्यक्रम में अर्जित कौशल को लागू करने के लिए USE प्रतिभागियों की क्षमता की जाँच करता है। प्रतिभागी के पास कम्प्यूटेशनल कौशल होना चाहिए, तर्कसंगत संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, गोल करने में सक्षम होना चाहिए दशमलवमाप की एक इकाई को दूसरी में बदलने में सक्षम हो।

उदाहरण 1जिस अपार्टमेंट में पेट्र रहता है उस अपार्टमेंट में एक व्यय मीटर स्थापित किया गया था ठंडा पानी(विरोध करना)। पहली मई को मीटर ने 172 क्यूबिक मीटर की खपत दिखाई। मीटर पानी, और पहली जून को - 177 घन मीटर। मी. पीटर को मई के लिए ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए, यदि कीमत 1 घन मीटर है। ठंडे पानी का मी 34 रूबल 17 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें।

समाधान:

1) प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) ज्ञात कीजिए कि खर्च किए गए पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान किया जाएगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

उत्तर: 170,85.

टास्क नंबर 2- परीक्षा के सबसे सरल कार्यों में से एक है। अधिकांश स्नातक सफलतापूर्वक इसका सामना करते हैं, जो फ़ंक्शन की अवधारणा की परिभाषा के कब्जे को इंगित करता है। कार्य प्रकार संख्या 2 आवश्यकताओं के अनुसार कोडिफायर व्यावहारिक गतिविधियों में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए एक कार्य है और रोजमर्रा की जिंदगी. कार्य संख्या 2 में वर्णन करना, कार्यों का उपयोग करना, मात्राओं के बीच विभिन्न वास्तविक संबंधों और उनके रेखांकन की व्याख्या करना शामिल है। टास्क नंबर 2 टेबल, डायग्राम, ग्राफ में प्रस्तुत जानकारी को निकालने की क्षमता का परीक्षण करता है। स्नातकों को तर्क के मूल्य से किसी फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए जब विभिन्न तरीकेएक फ़ंक्शन को परिभाषित करना और उसके ग्राफ के अनुसार फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करना। अधिकतम खोजने में सक्षम होना भी आवश्यक है या सबसे छोटा मानऔर अध्ययन किए गए कार्यों के रेखांकन बनाएं। समस्या की स्थितियों को पढ़ने, आरेख को पढ़ने में की गई गलतियाँ यादृच्छिक प्रकृति की होती हैं।

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उदाहरण 2यह आंकड़ा अप्रैल 2017 की पहली छमाही में एक खनन कंपनी के एक शेयर के विनिमय मूल्य में बदलाव को दर्शाता है। 7 अप्रैल को व्यवसायी ने इस कंपनी के 1,000 शेयर खरीदे। 10 अप्रैल को, उसने खरीदे गए शेयरों का तीन-चौथाई हिस्सा बेच दिया, और 13 अप्रैल को उसने शेष सभी को बेच दिया। इन कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को कितना नुकसान हुआ?

समाधान:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - सभी खरीदे गए शेयरों का 3/4 बनाते हैं।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - व्यवसायी को 1000 शेयरों की बिक्री के बाद प्राप्त हुआ।

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - सभी कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को नुकसान हुआ।

उत्तर: 15000.

टास्क नंबर 3- पहले भाग के बुनियादी स्तर का कार्य है, इसके साथ क्रिया करने की क्षमता की जाँच करता है ज्यामितीय आकारपाठ्यक्रम "प्लानिमेट्री" की सामग्री पर। टास्क 3 चेकर पेपर पर एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, कोणों के डिग्री उपायों की गणना करने की क्षमता, परिधि की गणना करने की क्षमता आदि का परीक्षण करता है।

उदाहरण 3 1 सेमी बटा 1 सेमी के सेल आकार के साथ चेकर पेपर पर खींचे गए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें (आकृति देखें)। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में दें।

समाधान:इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप पीक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम शिखर सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस= बी +	जी
	2

जहां वी = 10, जी = 6, इसलिए

एस = 18 +	6
	2

उत्तर: 20.

यह भी देखें: भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा: कंपन समस्याओं को हल करना

टास्क नंबर 4- पाठ्यक्रम का कार्य "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी"। सरलतम स्थिति में किसी घटना की संभावना की गणना करने की क्षमता का परीक्षण किया जाता है।

उदाहरण 4वृत्त पर 5 लाल और 1 नीले बिंदु हैं। निर्धारित करें कि कौन से बहुभुज बड़े हैं: वे सभी लाल शीर्षों के साथ, या वे जो नीले शीर्षों में से एक के साथ हैं। अपने उत्तर में इंगित करें कि एक में से कितने अधिक हैं।

समाधान: 1) हम से संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एनतत्वों द्वारा क:

जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

3) सभी लाल शीर्षों वाला एक पंचभुज।

4) 10 + 5 + 1 = 16 बहुभुज जिसमें सभी लाल कोने हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज जिसका शीर्ष लाल है और एक नीला शीर्ष है।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिनमें सभी लाल शीर्ष या एक नीला शीर्ष है।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज जो नीले बिंदु का उपयोग करते हैं।

11) 26 - 16 = 10 बहुभुज - कितने बहुभुज, जिनमें से एक शीर्ष नीला बिंदु है, बहुभुज से अधिक हैं, जिसमें सभी शीर्ष केवल लाल हैं।

उत्तर: 10.

टास्क नंबर 5- पहले भाग का मूल स्तर सरलतम समीकरणों (तर्कहीन, घातीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक) को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 5समीकरण को हल करें 2 3 + एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3 + . से भाग दें एक्स 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एक्स	=	2	,
5 3 + एक्स			5				5

जहाँ से यह इस प्रकार है कि 3 + एक्स = 1, एक्स = –2.

उत्तर: –2.

टास्क नंबर 6ज्यामिति की भाषा में वास्तविक स्थितियों की मॉडलिंग करते हुए, ज्यामितीय मात्रा (लंबाई, कोण, क्षेत्र) खोजने के लिए योजनामिति में। ज्यामितीय अवधारणाओं और प्रमेयों का उपयोग करके निर्मित मॉडलों का अध्ययन। कठिनाइयों का स्रोत, एक नियम के रूप में, योजनामिति के आवश्यक प्रमेयों की अज्ञानता या गलत अनुप्रयोग है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 129 के बराबर है। डे- भुजा के समानांतर माध्यिका रेखा अब. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तर.

समाधान।त्रिकोण सीडीईत्रिभुज के समान कैबदो कोनों पर, शीर्ष पर कोने के बाद से सीसामान्य, कोण सीडीईकोण के बराबर कैबसंगत कोणों के रूप में डे || अबकाटनेवाला एसी. इसलिये डेस्थिति से त्रिभुज की मध्य रेखा है, तो मध्य रेखा के गुण से | डे = (1/2)अब. तो समानता गुणांक 0.5 है। समान आकृतियों के क्षेत्रफल समरूपता गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित हैं, इसलिए

फलस्वरूप, स अबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

टास्क नंबर 7- फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न के आवेदन की जांच करता है। सफल कार्यान्वयन के लिए, व्युत्पन्न की अवधारणा का एक सार्थक, गैर-औपचारिक अधिकार आवश्यक है।

उदाहरण 7फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए आप = एफ(एक्स) एब्सिस्सा के साथ बिंदु पर एक्स 0 एक स्पर्श रेखा खींची जाती है, जो इस आलेख के बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के लंबवत होती है। पाना एफ′( एक्स 0).

समाधान। 1) आइए दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करें और बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

(आप – आप 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(आप 2 – आप 1)

(आप – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(आप – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–आप + 3 = –4एक्स+ 16| · (-एक)

आप – 3 = 4एक्स – 16

आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4.

2) स्पर्शरेखा का ढाल ज्ञात कीजिए क 2 जो रेखा के लंबवत है आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4, सूत्र के अनुसार:

3) स्पर्शरेखा का ढलान संपर्क बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न है। माध्यम, एफ′( एक्स 0) = क 2 = –0,25.

उत्तर: –0,25.

टास्क नंबर 8- परीक्षा के प्रतिभागियों के बीच प्राथमिक स्टीरियोमेट्री के ज्ञान की जांच करता है, सतह क्षेत्रों और आंकड़ों की मात्रा, डायहेड्रल कोणों को खोजने के लिए सूत्रों को लागू करने की क्षमता, समान आंकड़ों के संस्करणों की तुलना करने, ज्यामितीय आंकड़े, निर्देशांक और वैक्टर के साथ कार्रवाई करने में सक्षम होने के लिए , आदि।

एक गोले के चारों ओर परिबद्ध घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) वीघन = एक 3 (जहां एकघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

एक 3 = 216

एक = 3 √216

2) चूँकि गोला एक घन में अंकित है, इसका अर्थ है कि गोले के व्यास की लंबाई घन के किनारे की लंबाई के बराबर है, इसलिए डी = एक, डी = 6, डी = 2आर, आर = 6: 2 = 3.

टास्क नंबर 9- बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बदलने और सरल बनाने के लिए स्नातक की आवश्यकता होती है। एक संक्षिप्त उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य संख्या 9। USE में "गणना और परिवर्तन" अनुभाग के कार्य कई प्रकारों में विभाजित हैं:

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों के रूपांतरण;

संख्यात्मक/अक्षर अपरिमेय व्यंजकों का रूपांतरण;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

परिवर्तन लघुगणक व्यंजक;

संख्यात्मक/अक्षर त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण।

उदाहरण 9 tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 and

3π	< α < π.
4

समाधान। 1) आइए दोहरे तर्क सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

तन 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

इसलिए, tan 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए α दूसरी तिमाही का कोण है और tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

उत्तर: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# टास्क नंबर 10- व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित प्रारंभिक ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करता है। हम कह सकते हैं कि ये भौतिकी में समस्याएँ हैं, गणित में नहीं, बल्कि सभी आवश्यक सूत्र और मात्राएँ शर्त में दी गई हैं। समस्याओं को एक रेखीय हल करने के लिए कम किया जाता है या द्विघात समीकरण, या तो रैखिक या वर्ग असमानता. इसलिए, ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करने और उत्तर निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। उत्तर पूर्ण संख्या या अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में होना चाहिए।

द्रव्यमान के दो पिंड एम= 2 किग्रा प्रत्येक, समान गति से गति करते हुए वी= 10 m/s एक दूसरे से 2α के कोण पर। उनके पूर्णतः बेलोचदार संघटन के दौरान निर्मुक्त ऊर्जा (जूल में) व्यंजक द्वारा निर्धारित की जाती है क्यू = एमवी 2 पाप 2 α. किस छोटे कोण पर 2α (डिग्री में) पिंडों को चलना चाहिए ताकि टक्कर के परिणामस्वरूप कम से कम 50 जूल निकल सकें?
समाधान।समस्या को हल करने के लिए, हमें असमानता Q ≥ 50 को अंतराल 2α (0°; 180°) पर हल करना होगा।

एमवी 2 पाप 2 α 50

2 10 2 पाप 2 α 50

200 sin2α 50

चूँकि α (0°; 90°), हम केवल हल करेंगे

हम असमानता के समाधान को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करते हैं:

चूँकि धारणा α (0°; 90°) से, इसका अर्थ है कि 30° α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

टास्क नंबर 11- विशिष्ट है, लेकिन यह छात्रों के लिए मुश्किल साबित होता है। कठिनाइयों का मुख्य स्रोत एक गणितीय मॉडल का निर्माण (एक समीकरण तैयार करना) है। टास्क नंबर 11 शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 11.स्प्रिंग ब्रेक के दौरान, 11-ग्रेडर वास्या को परीक्षा की तैयारी के लिए 560 प्रशिक्षण समस्याओं को हल करना था। 18 मार्च को, स्कूल के आखिरी दिन, वास्या ने 5 समस्याओं का समाधान किया। फिर हर दिन उसने पिछले दिन की तुलना में उतनी ही अधिक समस्याओं का समाधान किया। निर्धारित करें कि छुट्टी के आखिरी दिन 2 अप्रैल को वास्या ने कितनी समस्याओं का समाधान किया।

समाधान:निरूपित एक 1 = 5 - 18 मार्च को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या, डी- वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की दैनिक संख्या, एन= 16 - 18 मार्च से 2 अप्रैल तक के दिनों की संख्या को मिलाकर, एस 16 = 560 - कार्यों की कुल संख्या, एक 16 - 2 अप्रैल को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या। यह जानते हुए कि हर दिन वास्या ने पिछले दिन की तुलना में समान संख्या में कार्यों को हल किया, तो आप योग खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं अंकगणितीय प्रगति:

560 = (5 + एक 16) 8,

5 + एक 16 = 560: 8,

5 + एक 16 = 70,

एक 16 = 70 – 5

एक 16 = 65.

उत्तर: 65.

टास्क नंबर 12- कार्यों के साथ कार्यों को करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करें, फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न लागू करने में सक्षम हों।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें आप= 10 एलएन ( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

समाधान: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> -9, यानी x (–9; )।

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

4) पाया गया बिंदु अंतराल (-9; ) से संबंधित है। हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं और चित्र में फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाते हैं:

वांछित अधिकतम बिंदु एक्स = –8.

यूएमके जी.के. की लाइन में गणित में कार्य कार्यक्रम को मुफ्त में डाउनलोड करें। मुरावीना, के.एस. मुराविना, ओ.वी. मुराविना 10-11 मुफ्त बीजगणित मैनुअल डाउनलोड करें

टास्क नंबर 13- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, जो समीकरणों को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

a) समीकरण को हल करें 2log 3 2 (2cos .) एक्स) - 5 लोग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos .) एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

log3(2cos एक्स) =	2	⇔	2cos एक्स = 9	⇔	क्योंकि एक्स =	4,5	क्योंकि \|cos एक्स\| ≤ 1,

log3(2cos एक्स) =	1		2cos एक्स = √3		क्योंकि एक्स =	√3
	2					2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

एक्स =	π	+ 2π क
	6

एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
	6

ख) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि दिए गए खंड की जड़ें हैं

11π	तथा	13π	.
6		6

उत्तर:एक)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

टास्क नंबर 14- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

बेलन के आधार के वृत्त का व्यास 20 है, बेलन का जनक 28 है। तल 12 और 16 लंबाई की जीवाओं के अनुदिश अपने आधारों को प्रतिच्छेद करता है। जीवाओं के बीच की दूरी 2√197 है।

a) सिद्ध कीजिए कि बेलन के आधारों के केंद्र इस तल के एक ही ओर स्थित हैं।

ख) इस तल और बेलन के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान: a) लंबाई 12 की एक जीवा आधार वृत्त के केंद्र से = 8 की दूरी पर है, और लंबाई 16 की एक जीवा, इसी तरह, 6 की दूरी पर है। बेलनों का आधार या तो 8 + 6 = 14, या 8 - 6 = 2 है।

तब जीवाओं के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

शर्त के अनुसार, दूसरी स्थिति का एहसास हुआ, जिसमें जीवाओं के अनुमान बेलन की धुरी के एक तरफ होते हैं। इसका अर्थ है कि अक्ष इस तल को बेलन के भीतर नहीं काटता है, अर्थात आधार इसके एक तरफ स्थित है। क्या साबित करने की जरूरत थी।

बी) आइए आधारों के केंद्रों को ओ 1 और ओ 2 के रूप में निरूपित करें। आधार के केंद्र से लंबाई 12 . की एक जीवा के साथ ड्रा करें मध्य लंबवतइस तार के लिए (इसकी लंबाई 8 है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है) और दूसरे आधार के केंद्र से दूसरे तार तक। वे इन जीवाओं के लम्बवत एक ही तल में स्थित हैं। आइए छोटी जीवा बी के मध्य बिंदु को ए से बड़ा, और ए के प्रक्षेपण को दूसरे आधार एच (एच β) पर कॉल करें। तब AB,AH β और, इसलिए, AB, AH जीवा के लंबवत हैं, अर्थात दिए गए तल के साथ आधार के प्रतिच्छेदन की रेखा।

अतः अभीष्ट कोण है

एबीएच = आर्कटान	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक 14.
	बिहार		8 – 6

कार्य संख्या 15- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, असमानताओं को हल करने की क्षमता की जाँच करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

उदाहरण 15असमानता को हल करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

समाधान:इस असमानता की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल (-1; +∞) है। तीन मामलों पर अलग से विचार करें:

1) चलो एक्स 2 – 3एक्स= 0, यानी। एक्स= 0 या एक्स= 3. इस मामले में, यह असमानता सच हो जाती है, इसलिए, इन मूल्यों को समाधान में शामिल किया जाता है।

2) चलो अब एक्स 2 – 3एक्स> 0, यानी। एक्स(-1; 0) (3; +∞)। इस मामले में, इस असमानता को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है ( एक्स 2 – 3एक्स) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 और एक सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करें एक्स 2 – 3एक्स. हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ –1, एक्स + 1 ≤ 2 –1 , एक्स 0.5 -1 या एक्स-0.5। परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (–1; –0,5].

3) अंत में, विचार करें एक्स 2 – 3एक्स < 0, при этом एक्स(0; 3)। इस मामले में, मूल असमानता को फॉर्म (3 .) में फिर से लिखा जाएगा एक्स – एक्स 2) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2. एक सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करने के बाद 3 एक्स – एक्स 2, हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ 1, एक्स + 1 ≤ 2, एक्स 1. क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (0; 1].

प्राप्त समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

उत्तर: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

टास्क नंबर 16- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांक और वैक्टर के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

पर समद्विबाहु त्रिकोण ABC, शीर्ष A पर 120° के कोण के साथ, एक समद्विभाजक BD खींचा गया है। आयत DEFH को त्रिभुज ABC में अंकित किया गया है ताकि भुजा FH खंड BC पर स्थित हो और शीर्ष E खंड AB पर स्थित हो। a) सिद्ध कीजिए कि FH = 2DH है। b) आयत DEFH का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि AB = 4 है।

समाधान:एक)

1) BEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, फिर EF = BE 30° के कोण के विपरीत पैर के गुण के कारण।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स 3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूँकि ABC समद्विबाहु है, तो B = C = 30˚।

BD, B का समद्विभाजक है, इसलिए ABD = DBC = 15˚।

4) DBH - आयताकार पर विचार करें, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - 3

2) एसडीईएफ़एच = ईडी ईएफ = (3 - √3) 2(3 - √3)

एसडीईएफ़एच = 24 - 12√3।

उत्तर: 24 – 12√3.

टास्क नंबर 17- एक विस्तृत उत्तर वाला कार्य, यह कार्य व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में ज्ञान और कौशल के अनुप्रयोग, गणितीय मॉडल बनाने और तलाशने की क्षमता का परीक्षण करता है। यह कार्य आर्थिक सामग्री के साथ एक पाठ कार्य है।

उदाहरण 17. 20 मिलियन रूबल की राशि में जमा राशि को चार साल के लिए खोलने की योजना है। प्रत्येक वर्ष के अंत में, बैंक वर्ष की शुरुआत में अपने आकार की तुलना में जमा राशि में 10% की वृद्धि करता है। इसके अलावा, तीसरे और चौथे वर्ष की शुरुआत में, जमाकर्ता सालाना जमा की भरपाई करता है एक्समिलियन रूबल, जहां एक्स - पूरेसंख्या। पाना उच्चतम मूल्य एक्स, जिस पर बैंक चार वर्षों में जमा राशि में 17 मिलियन से कम रूबल जोड़ देगा।

समाधान:पहले वर्ष के अंत में, योगदान 20 + 20 · 0.1 = 22 मिलियन रूबल होगा, और दूसरे के अंत में - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 मिलियन रूबल। तीसरे वर्ष की शुरुआत में, योगदान (मिलियन रूबल में) होगा (24.2 + .) एक्स), और अंत में - (24.2 + .) एक्स) + (24,2 + एक्स) 0.1 = (26.62 + 1.1 .) एक्स) चौथे वर्ष की शुरुआत में योगदान होगा (26.62 + 2.1 .) एक्स), और अंत में - (26.62 + 2.1 .) एक्स) + (26,62 + 2,1एक्स) 0.1 = (29.282 + 2.31 .) एक्स) शर्त के अनुसार, आपको सबसे बड़ा पूर्णांक x ज्ञात करना होगा जिसके लिए असमानता

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

उत्तर: 24.

टास्क नंबर 18- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। व्यायाम उच्च स्तरजटिलता एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि संयोजन के लिए है विभिन्न तरीके. कार्य 18 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए ठोस गणितीय ज्ञान के अतिरिक्त उच्च स्तर की गणितीय संस्कृति की भी आवश्यकता होती है।

किस पर एकअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + आप 2 ≤ 2एय – एक 2 + 1

	आप + एक ≤ \|एक्स\| – एक

ठीक दो समाधान हैं?

समाधान:इस प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (आप– एक) 2 ≤ 1

	आप ≤ \|एक्स\| – एक

यदि हम पहली असमानता के समाधान के समुच्चय को समतल पर खींचते हैं, तो हमें बिंदु (0, एक) दूसरी असमानता के समाधान का समुच्चय समतल का वह भाग होता है जो फलन के ग्राफ के नीचे स्थित होता है आप = | एक्स| – एक, और बाद वाला फ़ंक्शन का ग्राफ है
आप = | एक्स| , द्वारा नीचे स्थानांतरित किया गया एक. इस प्रणाली का समाधान प्रत्येक असमानता के समाधान सेट का प्रतिच्छेदन है।

नतीजतन, इस प्रणाली के केवल अंजीर में दिखाए गए मामले में दो समाधान होंगे। एक।

सर्कल और लाइनों के बीच संपर्क के बिंदु सिस्टम के दो समाधान होंगे। प्रत्येक सीधी रेखा का झुकाव कुल्हाड़ियों से 45° के कोण पर होता है। तो त्रिभुज पीक्यूआर- आयताकार समद्विबाहु। दूरसंचार विभाग क्यूनिर्देशांक हैं (0, एक), और बिंदु आर- निर्देशांक (0, - एक) इसके अलावा, कटौती जनसंपर्कतथा पी क्यू 1 के बराबर वृत्त त्रिज्या के बराबर हैं। इसलिए,

क्यूआर= 2एक = √2, एक =	√2	.
	2

उत्तर: एक =	√2	.
	2

टास्क नंबर 19- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 19 के सफल समापन के लिए, ज्ञात विधियों में से विभिन्न दृष्टिकोणों का चयन करते हुए, अध्ययन की गई विधियों को संशोधित करते हुए, समाधान की खोज करने में सक्षम होना आवश्यक है।

होने देना एस.एन.जोड़ पीएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य ( एक पी) यह जाना जाता है कि एस नहीं + 1 = 2एन 2 – 21एन – 23.

ए) सूत्र दें पीइस प्रगति के वें सदस्य।

बी) सबसे छोटा मॉड्यूल योग खोजें एस नहीं.

सी) सबसे छोटा खोजें पी, जिस पर एस नहींएक पूर्णांक का वर्ग होगा।

समाधान: ए) जाहिर है, एक = एस नहीं – एस नहीं- एक । इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एस नहीं = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस नहीं – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

बी) क्योंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन, फिर फ़ंक्शन पर विचार करें एस(एक्स) = | 2एक्स 2 – 25एक्स|. उसका ग्राफ चित्र में देखा जा सकता है।

यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के शून्य के सबसे निकट स्थित पूर्णांक बिंदुओं पर सबसे छोटा मान प्राप्त किया जाता है। जाहिर है ये बिंदु हैं। एक्स= 1, एक्स= 12 और एक्स= 13. चूंकि, एस(1) = |एस 1 | = |2 – 25| = 23, एस(12) = |एस 12 | = |2 144 - 25 12| = 12, एस(13) = |एस 13 | = |2 169 - 25 13| = 13, तो सबसे छोटा मान 12 है।

ग) यह पिछले पैराग्राफ से निम्नानुसार है कि एस.एन.सकारात्मक तब से एन= 13. चूंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन = एन(2एन- 25), तब स्पष्ट स्थिति जब यह व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, तब प्राप्त होता है जब एन = 2एन- 25, यानी साथ पी= 25.

यह 13 से 25 तक के मूल्यों की जांच करने के लिए बनी हुई है:

एस 13 = 13 1, एस 14 = 14 3, एस 15 = 15 5, एस 16 = 16 7, एस 17 = 17 9, एस 18 = 18 11, एस 19 = 19 13 एस 20 = 20 13, एस 21 = 21 17, एस 22 = 22 19, एस 23 = 23 21, एस 24 = 24 23.

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए पीपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं होता है।

उत्तर:एक) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

________________

*मई 2017 से, DROFA-VENTANA संयुक्त प्रकाशन समूह रूसी पाठ्यपुस्तक निगम का हिस्सा रहा है। निगम में एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस और LECTA डिजिटल शैक्षिक मंच भी शामिल है। सीईओअलेक्जेंडर ब्रिचकिन नियुक्त, स्नातक वित्तीय अकादमीरूसी संघ की सरकार के तहत, आर्थिक विज्ञान के उम्मीदवार, डिजिटल शिक्षा के क्षेत्र में DROFA प्रकाशन गृह की नवीन परियोजनाओं के प्रमुख ( इलेक्ट्रॉनिक रूपपाठ्यपुस्तकें, "रूसी इलेक्ट्रॉनिक स्कूल", डिजिटल शैक्षिक मंच LECTA)। DROFA पब्लिशिंग हाउस में शामिल होने से पहले, उन्होंने EKSMO-AST पब्लिशिंग होल्डिंग के रणनीतिक विकास और निवेश के लिए उपाध्यक्ष का पद संभाला था। आज, रूसी पाठ्यपुस्तक प्रकाशन निगम के पास संघीय सूची में शामिल पाठ्यपुस्तकों का सबसे बड़ा पोर्टफोलियो है - 485 शीर्षक (लगभग 40%, के लिए पाठ्यपुस्तकों को छोड़कर) उपचारात्मक विद्यालय) निगम के प्रकाशन गृह भौतिकी, ड्राइंग, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, भूगोल, खगोल विज्ञान में पाठ्यपुस्तकों के सेट के मालिक हैं, रूसी स्कूलों द्वारा सबसे अधिक मांग - ज्ञान के क्षेत्र जो देश की उत्पादन क्षमता को विकसित करने के लिए आवश्यक हैं। निगम के पोर्टफोलियो में पाठ्यपुस्तकें शामिल हैं और अध्ययन गाइडके लिये प्राथमिक स्कूलशिक्षा के क्षेत्र में राष्ट्रपति पुरस्कार से सम्मानित किया गया। ये विषय क्षेत्रों पर पाठ्यपुस्तकें और नियमावली हैं जो रूस की वैज्ञानिक, तकनीकी और औद्योगिक क्षमता के विकास के लिए आवश्यक हैं।

मूल्यांकन

दो भाग, समेत 19 कार्य. भाग 1 भाग 2

3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

जवाब

लेकिन तुम कर सकते हो एक कम्पास बनाओ कैलकुलेटरपरीक्षा पर उपयोग नहीं किया.

पासपोर्ट), रास्ताऔर केशिका या! लेने की अनुमति दीखुद के साथ पानी(एक पारदर्शी बोतल में) और भोजन

परीक्षा पत्र में शामिल हैं दो भाग, समेत 19 कार्य. भाग 1एक संक्षिप्त उत्तर के साथ जटिलता के बुनियादी स्तर के 8 कार्य शामिल हैं। भाग 2इसमें छोटे उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर के 4 कार्य और विस्तृत उत्तर के साथ उच्च स्तर की जटिलता के 7 कार्य शामिल हैं।

गणित में परीक्षा कार्य पूरा करने के लिए दिया गया है 3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

जवाबकार्यों के लिए 1-12 दर्ज किए गए हैं एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव के रूप में. कार्य के पाठ में उत्तर क्षेत्रों में संख्याएँ लिखें, और फिर उन्हें परीक्षा के दौरान जारी उत्तर पुस्तिका संख्या 1 में स्थानांतरित करें!

काम करते समय, आप काम के साथ जारी किए गए लोगों का उपयोग कर सकते हैं। आप केवल एक शासक का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन तुम कर सकते हो एक कम्पास बनाओअपने ही हाथों से। उन पर मुद्रित संदर्भ सामग्री वाले उपकरणों का उपयोग करना मना है। कैलकुलेटरपरीक्षा पर उपयोग नहीं किया.

परीक्षा के लिए आपके पास एक पहचान दस्तावेज होना चाहिए। पासपोर्ट), रास्ताऔर केशिका या काली स्याही से जेल पेन! लेने की अनुमति दीखुद के साथ पानी(एक पारदर्शी बोतल में) और भोजन(फल, चॉकलेट, बन, सैंडविच), लेकिन दालान में जाने के लिए कहा जा सकता है।

माध्यमिक सामान्य शिक्षा

लाइन यूएमके जीके मुरावीना। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (गहरा)

लाइन UMK Merzlyak। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

गणित

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

प्रोफाइल-स्तरीय परीक्षा का पेपर 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक चलता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता कार्यों का रूप है:

भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
भाग 2 में एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) और एक विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) शामिल हैं (निर्णय का पूरा रिकॉर्ड के लिए तर्क के साथ कार्रवाई की गई)।

"स्कूल प्रमाणपत्र प्राप्त करने के लिए, स्नातक को एकीकृत राज्य परीक्षा के रूप में दो अनिवार्य परीक्षाएं उत्तीर्ण करनी होंगी, जिनमें से एक गणित है। रूसी संघ में गणितीय शिक्षा के विकास की अवधारणा के अनुसार, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को दो स्तरों में विभाजित किया गया है: बुनियादी और विशिष्ट। आज हम प्रोफ़ाइल स्तर के विकल्पों पर विचार करेंगे।

टास्क नंबर 1- प्रायोगिक गतिविधियों में प्रारंभिक गणित में 5-9 ग्रेड के पाठ्यक्रम में अर्जित कौशल को लागू करने के लिए USE प्रतिभागियों की क्षमता की जाँच करता है। प्रतिभागी के पास कम्प्यूटेशनल कौशल होना चाहिए, तर्कसंगत संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, दशमलव अंशों को गोल करने में सक्षम होना चाहिए, माप की एक इकाई को दूसरी में बदलने में सक्षम होना चाहिए।

उदाहरण 1जिस अपार्टमेंट में पेट्र रहता है, वहां ठंडे पानी का मीटर (मीटर) लगाया गया था। पहली मई को मीटर ने 172 क्यूबिक मीटर की खपत दिखाई। मीटर पानी, और पहली जून को - 177 घन मीटर। मी. पीटर को मई के लिए ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए, यदि कीमत 1 घन मीटर है। ठंडे पानी का मी 34 रूबल 17 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें।

समाधान:

1) प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) ज्ञात कीजिए कि खर्च किए गए पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान किया जाएगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

उत्तर: 170,85.

टास्क नंबर 2- परीक्षा के सबसे सरल कार्यों में से एक है। अधिकांश स्नातक सफलतापूर्वक इसका सामना करते हैं, जो फ़ंक्शन की अवधारणा की परिभाषा के कब्जे को इंगित करता है। कार्य प्रकार संख्या 2 आवश्यकताओं के अनुसार कोडिफायर व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए एक कार्य है। कार्य संख्या 2 में वर्णन करना, कार्यों का उपयोग करना, मात्राओं के बीच विभिन्न वास्तविक संबंधों और उनके रेखांकन की व्याख्या करना शामिल है। टास्क नंबर 2 टेबल, डायग्राम, ग्राफ में प्रस्तुत जानकारी को निकालने की क्षमता का परीक्षण करता है। स्नातकों को फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के विभिन्न तरीकों के साथ तर्क के मूल्य से फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए और इसके ग्राफ के अनुसार फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करना चाहिए। फ़ंक्शन ग्राफ़ से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने और अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने में सक्षम होना भी आवश्यक है। समस्या की स्थितियों को पढ़ने, आरेख को पढ़ने में की गई गलतियाँ यादृच्छिक प्रकृति की होती हैं।

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समाधान:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - सभी खरीदे गए शेयरों का 3/4 बनाते हैं।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - व्यवसायी को 1000 शेयरों की बिक्री के बाद प्राप्त हुआ।

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - सभी कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को नुकसान हुआ।

उत्तर: 15000.

टास्क नंबर 3- पहले भाग के बुनियादी स्तर का एक कार्य है, यह "प्लानिमेट्री" पाठ्यक्रम की सामग्री के अनुसार ज्यामितीय आकृतियों के साथ क्रियाओं को करने की क्षमता की जाँच करता है। टास्क 3 चेकर पेपर पर एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, कोणों के डिग्री उपायों की गणना करने की क्षमता, परिधि की गणना करने की क्षमता आदि का परीक्षण करता है।

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम शिखर सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस= बी +	जी
	2

जहां वी = 10, जी = 6, इसलिए

एस = 18 +	6
	2

उत्तर: 20.

जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

3) सभी लाल शीर्षों वाला एक पंचभुज।

4) 10 + 5 + 1 = 16 बहुभुज जिसमें सभी लाल कोने हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज जिसका शीर्ष लाल है और एक नीला शीर्ष है।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिनमें सभी लाल शीर्ष या एक नीला शीर्ष है।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज जो नीले बिंदु का उपयोग करते हैं।

उत्तर: 10.

उदाहरण 5समीकरण को हल करें 2 3 + एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3 + . से भाग दें एक्स 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एक्स	=	2	,
5 3 + एक्स			5				5

जहाँ से यह इस प्रकार है कि 3 + एक्स = 1, एक्स = –2.

उत्तर: –2.

फलस्वरूप, स अबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

(आप – आप 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(आप 2 – आप 1)

(आप – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(आप – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–आप + 3 = –4एक्स+ 16| · (-एक)

आप – 3 = 4एक्स – 16

आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4.

उत्तर: –0,25.

एक गोले के चारों ओर परिबद्ध घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) वीघन = एक 3 (जहां एकघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

एक 3 = 216

एक = 3 √216

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों के रूपांतरण;

संख्यात्मक/अक्षर अपरिमेय व्यंजकों का रूपांतरण;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

संख्यात्मक/अक्षर त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण।

उदाहरण 9 tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 and

3π	< α < π.
4

समाधान। 1) आइए दोहरे तर्क सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

तन 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

इसलिए, tan 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए α दूसरी तिमाही का कोण है और tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

उत्तर: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# टास्क नंबर 10- व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित प्रारंभिक ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करता है। हम कह सकते हैं कि ये भौतिकी में समस्याएँ हैं, गणित में नहीं, बल्कि सभी आवश्यक सूत्र और मात्राएँ शर्त में दी गई हैं। कार्यों को एक रैखिक या द्विघात समीकरण, या एक रैखिक या द्विघात असमानता को हल करने के लिए कम कर दिया जाता है। इसलिए, ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करने और उत्तर निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। उत्तर पूर्ण संख्या या अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में होना चाहिए।

एमवी 2 पाप 2 α 50

2 10 2 पाप 2 α 50

200 sin2α 50

चूँकि α (0°; 90°), हम केवल हल करेंगे

हम असमानता के समाधान को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करते हैं:

समाधान:निरूपित एक 1 = 5 - 18 मार्च को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या, डी- वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की दैनिक संख्या, एन= 16 - 18 मार्च से 2 अप्रैल तक के दिनों की संख्या को मिलाकर, एस 16 = 560 - कार्यों की कुल संख्या, एक 16 - 2 अप्रैल को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या। यह जानते हुए कि हर दिन वास्या ने पिछले दिन की तुलना में समान संख्या में कार्यों को हल किया, तो आप अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

560 = (5 + एक 16) 8,

5 + एक 16 = 560: 8,

5 + एक 16 = 70,

एक 16 = 70 – 5

एक 16 = 65.

उत्तर: 65.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें आप= 10 एलएन ( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

समाधान: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> -9, यानी x (–9; )।

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

वांछित अधिकतम बिंदु एक्स = –8.

a) समीकरण को हल करें 2log 3 2 (2cos .) एक्स) - 5 लोग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos .) एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

log3(2cos एक्स) =	2	⇔	2cos एक्स = 9	⇔	क्योंकि एक्स =	4,5	क्योंकि \|cos एक्स\| ≤ 1,

log3(2cos एक्स) =	1		2cos एक्स = √3		क्योंकि एक्स =	√3
	2					2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

एक्स =	π	+ 2π क
	6

एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
	6

ख) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि दिए गए खंड की जड़ें हैं

11π	तथा	13π	.
6		6

उत्तर:एक)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

a) सिद्ध कीजिए कि बेलन के आधारों के केंद्र इस तल के एक ही ओर स्थित हैं।

ख) इस तल और बेलन के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

तब जीवाओं के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

बी) आइए आधारों के केंद्रों को ओ 1 और ओ 2 के रूप में निरूपित करें। आइए हम आधार के केंद्र से 12 लंबाई की एक जीवा के साथ इस जीवा पर लंबवत द्विभाजक (इसकी लंबाई 8 है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है) और दूसरे आधार के केंद्र से दूसरी जीवा तक खींचते हैं। वे इन जीवाओं के लम्बवत एक ही तल में स्थित हैं। आइए छोटी जीवा बी के मध्य बिंदु को ए से बड़ा, और ए के प्रक्षेपण को दूसरे आधार एच (एच β) पर कॉल करें। तब AB,AH β और, इसलिए, AB, AH जीवा के लंबवत हैं, अर्थात दिए गए तल के साथ आधार के प्रतिच्छेदन की रेखा।

अतः अभीष्ट कोण है

एबीएच = आर्कटान	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक 14.
	बिहार		8 – 6

उदाहरण 15असमानता को हल करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

प्राप्त समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

उत्तर: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में शीर्ष A पर 120° का कोण है, एक समद्विभाजक BD खींचा गया है। आयत DEFH को त्रिभुज ABC में अंकित किया गया है ताकि भुजा FH खंड BC पर स्थित हो और शीर्ष E खंड AB पर स्थित हो। a) सिद्ध कीजिए कि FH = 2DH है। b) आयत DEFH का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि AB = 4 है।

समाधान:एक)

1) BEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, फिर EF = BE 30° के कोण के विपरीत पैर के गुण के कारण।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स 3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूँकि ABC समद्विबाहु है, तो B = C = 30˚।

BD, B का समद्विभाजक है, इसलिए ABD = DBC = 15˚।

4) DBH - आयताकार पर विचार करें, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - 3

2) एसडीईएफ़एच = ईडी ईएफ = (3 - √3) 2(3 - √3)

एसडीईएफ़एच = 24 - 12√3।

उत्तर: 24 – 12√3.

उदाहरण 17. 20 मिलियन रूबल की राशि में जमा राशि को चार साल के लिए खोलने की योजना है। प्रत्येक वर्ष के अंत में, बैंक वर्ष की शुरुआत में अपने आकार की तुलना में जमा राशि में 10% की वृद्धि करता है। इसके अलावा, तीसरे और चौथे वर्ष की शुरुआत में, जमाकर्ता सालाना जमा की भरपाई करता है एक्समिलियन रूबल, जहां एक्स - पूरेसंख्या। उच्चतम मूल्य खोजें एक्स, जिस पर बैंक चार वर्षों में जमा राशि में 17 मिलियन से कम रूबल जोड़ देगा।

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

उत्तर: 24.

टास्क नंबर 18- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 18 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए ठोस गणितीय ज्ञान के अतिरिक्त उच्च स्तर की गणितीय संस्कृति की भी आवश्यकता होती है।

किस पर एकअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + आप 2 ≤ 2एय – एक 2 + 1

	आप + एक ≤ \|एक्स\| – एक

ठीक दो समाधान हैं?

समाधान:इस प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (आप– एक) 2 ≤ 1

	आप ≤ \|एक्स\| – एक

नतीजतन, इस प्रणाली के केवल अंजीर में दिखाए गए मामले में दो समाधान होंगे। एक।

क्यूआर= 2एक = √2, एक =	√2	.
	2

उत्तर: एक =	√2	.
	2

ए) सूत्र दें पीइस प्रगति के वें सदस्य।

बी) सबसे छोटा मॉड्यूल योग खोजें एस नहीं.

सी) सबसे छोटा खोजें पी, जिस पर एस नहींएक पूर्णांक का वर्ग होगा।

एस नहीं = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस नहीं – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

यह 13 से 25 तक के मूल्यों की जांच करने के लिए बनी हुई है:

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए पीपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं होता है।

उत्तर:एक) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

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*मई 2017 से, DROFA-VENTANA संयुक्त प्रकाशन समूह रूसी पाठ्यपुस्तक निगम का हिस्सा रहा है। निगम में एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस और LECTA डिजिटल शैक्षिक मंच भी शामिल है। अलेक्जेंडर ब्रिचकिन, रूसी संघ की सरकार के तहत वित्तीय अकादमी के स्नातक, आर्थिक विज्ञान के उम्मीदवार, डिजिटल शिक्षा के क्षेत्र में DROFA प्रकाशन गृह की नवीन परियोजनाओं के प्रमुख (पाठ्यपुस्तकों के इलेक्ट्रॉनिक रूप, रूसी इलेक्ट्रॉनिक स्कूल, LECTA डिजिटल शैक्षिक मंच) को महानिदेशक नियुक्त किया गया है। DROFA पब्लिशिंग हाउस में शामिल होने से पहले, उन्होंने EKSMO-AST पब्लिशिंग होल्डिंग के रणनीतिक विकास और निवेश के लिए उपाध्यक्ष का पद संभाला था। आज, रूसी पाठ्यपुस्तक प्रकाशन निगम के पास संघीय सूची में शामिल पाठ्यपुस्तकों का सबसे बड़ा पोर्टफोलियो है - 485 शीर्षक (लगभग 40%, सुधारात्मक स्कूलों के लिए पाठ्यपुस्तकों को छोड़कर)। निगम के प्रकाशन गृह भौतिकी, ड्राइंग, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, भूगोल, खगोल विज्ञान में पाठ्यपुस्तकों के सेट के मालिक हैं, रूसी स्कूलों द्वारा सबसे अधिक मांग - ज्ञान के क्षेत्र जो देश की उत्पादन क्षमता को विकसित करने के लिए आवश्यक हैं। निगम के पोर्टफोलियो में शिक्षा में राष्ट्रपति पुरस्कार से सम्मानित प्राथमिक विद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तकें और शिक्षण सहायक सामग्री शामिल हैं। ये विषय क्षेत्रों पर पाठ्यपुस्तकें और नियमावली हैं जो रूस की वैज्ञानिक, तकनीकी और औद्योगिक क्षमता के विकास के लिए आवश्यक हैं।