त्रिभुज का लम्ब समद्विभाजक क्या होता है। त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदु

पिछले पाठ में, हमने एक कोण के समद्विभाजक के गुणों पर विचार किया, जो एक त्रिभुज में संलग्न और मुक्त दोनों हैं। त्रिभुज में तीन कोण शामिल हैं, और उनमें से प्रत्येक के लिए द्विभाजक के माने गए गुण संरक्षित हैं।

प्रमेय:

त्रिभुज के समद्विभाजक AA 1, BB 1, CC 1 एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

पहले दो समद्विभाजक BB 1 और СС 1 पर विचार करें। वे प्रतिच्छेद करते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु O मौजूद है। इसे साबित करने के लिए, इसके विपरीत मान लीजिए: दिए गए द्विभाजक प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, जिस स्थिति में वे समानांतर हैं। तब रेखा BC एक छेदक और कोणों का योग है , यह इस तथ्य का खंडन करता है कि पूरे त्रिभुज में कोणों का योग होता है।

तो, दो समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन का बिंदु O मौजूद है। इसके गुणों पर विचार करें:

बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह अपनी भुजाओं BA और BC से समान दूरी पर है। यदि OK BC पर लम्ब है, OL, BA पर लम्ब है, तो इन लम्बों की लम्बाइयाँ - के बराबर हैं। साथ ही, बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है और इसकी भुजाओं CB और CA से समान दूरी पर है, लंबवत OM और OK बराबर हैं।

हमें निम्नलिखित समानताएँ मिलीं:

, अर्थात्, बिंदु O से त्रिभुज की भुजाओं पर गिराए गए तीनों लम्ब एक दूसरे के बराबर हैं।

हम लंब OL और OM की समानता में रुचि रखते हैं। यह समानता कहती है कि बिंदु O कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, इसलिए यह इसके समद्विभाजक AA 1 पर स्थित है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

इसके अलावा, त्रिभुज में तीन खंड होते हैं, जिसका अर्थ है कि हमें एक खंड के गुणों पर विचार करना चाहिए।

खंड AB दिया गया है। किसी भी खंड में एक मध्य होता है, और इसके माध्यम से एक लंबवत खींचा जा सकता है - हम इसे पी द्वारा निरूपित करते हैं। अत: p लम्ब समद्विभाजक है।

चावल। 2. प्रमेय के लिए चित्रण

लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

सिद्ध कीजिए कि (चित्र 2)।

सबूत:

त्रिभुजों पर विचार करें और . वे आयताकार और बराबर हैं, क्योंकि उनके पास एक आम पैर ओएम है, और एओ और ओबी के पैर बराबर हैं, इस प्रकार, हमारे पास दो हैं सही त्रिकोण, दो पैरों में बराबर। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के कर्ण भी बराबर होते हैं, अर्थात् जो सिद्ध किया जाना था।

विलोम प्रमेय सत्य है।

खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इस खंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है।

खंड AB दिया गया है, इसका लंबवत समद्विभाजक p है, बिंदु M खंड के सिरों से समान दूरी पर है। सिद्ध कीजिए कि बिंदु M खण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 3)।

चावल। 3. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

आइए एक त्रिकोण पर विचार करें। यह समद्विबाहु है, जैसा कि शर्त के अनुसार है। त्रिभुज की माध्यिका पर विचार करें: बिंदु O आधार AB का मध्यबिंदु है, OM माध्यिका है। संपत्ति के अनुसार समद्विबाहु त्रिकोण, इसके आधार पर खींची गई माध्यिका ऊँचाई और समद्विभाजक दोनों होती है। इसलिए इसका पालन होता है। लेकिन रेखा p भी AB पर लंबवत है। हम जानते हैं कि खंड AB पर एक लम्ब बिंदु O पर खींचा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और p संपाती हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि बिंदु M रेखा p से संबंधित है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक बिंदु एक खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित होता है यदि और केवल अगर यह इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है।

इसलिए, हम दोहराते हैं कि एक त्रिभुज में तीन खंड होते हैं और उनमें से प्रत्येक पर लंबवत द्विभाजक की संपत्ति लागू होती है।

प्रमेय:

त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक त्रिकोण दिया गया है। इसके पक्षों के लंबवत: P 1 से BC, P 2 से AC, P 3 से AB तक।

सिद्ध कीजिए कि लम्ब Р 1, Р 2 और Р 3 बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 4)।

चावल। 4. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

दो मध्य लंबवत् P 2 और P 3 पर विचार करें, वे प्रतिच्छेद करते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु O मौजूद है। आइए हम इस तथ्य को विरोधाभास से साबित करें - मान लें कि लंबवत P2 और P3 समानांतर हैं। तब कोण सीधा होता है, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग होता है। अतः, तीन लंब समद्विभाजक में से दो के प्रतिच्छेदन का एक बिंदु O है। बिंदु O के गुण: यह भुजा AB के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह खंड AB: के सिरों से समान दूरी पर है। यह भुजा AC के लम्ब समद्विभाजक पर भी स्थित है, इसलिए . हमने निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त की हैं।

एक त्रिभुज में तथाकथित चार उल्लेखनीय बिंदु होते हैं: माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु और लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 1

एक त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और शीर्ष से प्रारंभ करते हुए प्रतिच्छेदन बिंदु को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करती हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी माध्यिका है। चूँकि माध्यिकाएँ भुजाओं को आधे में विभाजित करती हैं। मध्य रेखा $A_1B_1$ पर विचार करें (चित्र 1)।

चित्र 1. त्रिभुज की माध्यिकाएँ

प्रमेय 1 से, $AB||A_1B_1$ और $AB=2A_1B_1$, इसलिए $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$। इसलिए त्रिभुज $ABM$ और $A_1B_1M$ पहले त्रिभुज समानता मानदंड के अनुसार समान हैं। फिर

इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 2

त्रिभुज के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $AM,\ BP,\ CK$ इसके समद्विभाजक हैं। बिंदु $O$ को द्विभाजक $AM\ और\ BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। इस बिंदु से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचिए (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज के समद्विभाजक

प्रमेय 3

एक गैर-विस्तारित कोण के द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके पक्षों से समान दूरी पर है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OX=OZ,\ OX=OY$। इसलिए $OY=OZ$। इसलिए बिंदु $O$ कोण $ACB$ के किनारों से समान दूरी पर है और इसलिए इसके द्विभाजक $CK$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 4

त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

मान लीजिए एक त्रिभुज $ABC$ दिया गया है, $n,\ m,\ p$ इसके लंब समद्विभाजक। बिंदु $O$ को लंबवत द्विभाजक $n\ और\ m$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें (चित्र 3)।

चित्र 3. त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक

प्रमाण के लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है।

प्रमेय 5

किसी खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु दिए गए खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OB=OC,\ OB=OA$। इसलिए $OA=OC$। इसका मतलब यह है कि बिंदु $O$ खंड $AC$ के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके लंबवत द्विभाजक $p$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 6

किसी त्रिभुज की ऊँचाइयाँ या उनके विस्तार एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहां $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी ऊंचाई है। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से शीर्ष के सम्मुख भुजा के समांतर एक रेखा खींचिए। हमें एक नया त्रिभुज $A_2B_2C_2$ मिलता है (चित्र 4)।

चित्र 4. त्रिभुज की ऊँचाई

चूँकि $AC_2BC$ और $B_2ABC$ एक उभयनिष्ठ भुजा वाले समांतर चतुर्भुज हैं, तो $AC_2=AB_2$, अर्थात बिंदु $A$ भुजा $C_2B_2$ का मध्यबिंदु है। इसी तरह, हम पाते हैं कि बिंदु $B$ पक्ष $C_2A_2$ का मध्यबिंदु है, और बिंदु $C$ पक्ष $A_2B_2$ का मध्यबिंदु है। निर्माण से हमारे पास $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ है। अत: $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ त्रिभुज $A_2B_2C_2$ के लम्ब समद्विभाजक हैं। फिर, प्रमेय 4 से, हमारे पास यह है कि ऊँचाई $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

प्लैनिमेट्री शब्दों की शब्दावली- यहां प्लैनिमेट्री से शब्दों की एकत्रित परिभाषाएं दी गई हैं। इस शब्दकोश में शब्दों के संदर्भ (इस पृष्ठ पर) इटैलिक में हैं। # ए बी सी डी ई एफ एफ जी आई के एल एम एन ओ पी आर एस ... विकिपीडिया

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प्रमेय:

त्रिभुज के समद्विभाजक AA 1, BB 1, CC 1 एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

हमें निम्नलिखित समानताएँ मिलीं:

चावल। 2. प्रमेय के लिए चित्रण

लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

सिद्ध कीजिए कि (चित्र 2)।

सबूत:

त्रिभुजों पर विचार करें और . वे आयताकार और बराबर हैं, क्योंकि उनके पास एक आम पैर ओएम है, और एओ और ओबी के पैर स्थिति के बराबर हैं, इसलिए हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं जो दो पैरों में बराबर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के कर्ण भी बराबर होते हैं, अर्थात् जो सिद्ध किया जाना था।

विलोम प्रमेय सत्य है।

चावल। 3. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

आइए एक त्रिकोण पर विचार करें। यह समद्विबाहु है, जैसा कि शर्त के अनुसार है। त्रिभुज की माध्यिका पर विचार करें: बिंदु O आधार AB का मध्यबिंदु है, OM माध्यिका है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, उसके आधार तक खींची गई माध्यिका ऊँचाई और समद्विभाजक दोनों होती है। इसलिए इसका पालन होता है। लेकिन रेखा p भी AB पर लंबवत है। हम जानते हैं कि खंड AB पर एक लम्ब बिंदु O पर खींचा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और p संपाती हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि बिंदु M रेखा p से संबंधित है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

प्रमेय:

त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक त्रिकोण दिया गया है। इसके पक्षों के लंबवत: P 1 से BC, P 2 से AC, P 3 से AB तक।

सिद्ध कीजिए कि लम्ब Р 1, Р 2 और Р 3 बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 4)।

चावल। 4. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत: