अनुदेश

कार्य 1।
त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि एक पैर दूसरे से 1 सेमी लंबा है, और त्रिभुज 28 सेमी है।

समाधान।
मूल क्षेत्र सूत्र S = (a*b)/2 = 28 लिखें। यह ज्ञात है कि b = a + 1, इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 28 = (a*(a+1))/2.
कोष्ठक खोलें, प्राप्त करें द्विघात समीकरणएक अज्ञात a^2 + a - 56 = 0 के साथ।
विभेदक डी = 1 + 224 = 225 की गणना करके इसे खोजें। समीकरण के दो समाधान हैं: a_1 = (-1 + 225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 और a_2 = (-1 - 225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8।
दूसरे का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि एक खंड की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है, इसलिए a = 7 (सेमी)।
दूसरे पैर b = a + 1 = 8 (सेमी) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
तीसरे पक्ष की लंबाई बनी हुई है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार सही त्रिकोण c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, इसलिए c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (सेमी)।

कार्य 2.
एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रफल 14 सेमी और कोण ACB 30° है।

समाधान।
मूल सूत्र S = (a*b)/2 = 14 लिखिए।
अब एक समकोण त्रिभुज के गुण के अनुसार कर्ण और त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल के माध्यम से पैरों की लंबाई को व्यक्त करें:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) 0.87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0.5*c.

प्राप्त मूल्यों को क्षेत्र सूत्र में बदलें:
14 = (0.87*0.5*c^2)/2, जहां से:
28 0.435*s^2 → c = √64.4 ≈ 8 (सेमी)।
आपने कर्ण की लंबाई ज्ञात कर ली है, अब अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए:
ए = 0.87*सी = 0.87*8 ≈ 7 (सेमी), बी = 0.5*सी = 0.5*8 = 4 (सेमी)।

संबंधित वीडियो

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। पैर को एक समकोण त्रिभुज की भुजा कहते हैं, जो समकोण से सटी होती है (अर्थात यह दूसरी भुजा से 90 डिग्री का कोण बनाती है)। हम पैरों की लंबाई a और b को निरूपित करने के लिए सहमत होंगे। पैरों के विपरीत समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का मान क्रमशः A और B कहलाएगा। कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत है (अर्थात विपरीत .) समकोण, त्रिभुज की अन्य भुजाओं के साथ न्यून कोण बनाता है)। आइए हम कर्ण की लंबाई को s से निरूपित करें। आवश्यक क्षेत्र को S से निरूपित करें।

अनुदेश

सूत्र S = (a ^ 2) / (2 * tg (A)) लागू करें यदि आपको केवल एक पैर (a) दिया जाता है, लेकिन इस पैर के विपरीत कोण (A) भी ज्ञात है। चिन्ह "^2" वर्ग को दर्शाता है।

सूत्र S=(a^2)*tg(B)/2 d का उपयोग करें यदि आपको केवल एक पैर (a) दिया गया है, लेकिन आप इस पैर (B) से सटे कोण को भी जानते हैं।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

• "विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित में मैनुअल", संस्करण। जी.एन. याकोवलेवा, 1982।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंध को गणित की एक शाखा त्रिकोणमिति में शामिल किया गया है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को खोजने के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानना पर्याप्त है, और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के लिए कुछ साधन हैं, उदाहरण के लिए, एक कैलकुलेटर या ब्रैडिस टेबल। एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को ज्ञात करने की समस्याओं के मुख्य मामलों पर विचार करें।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर, ब्रैडिस टेबल।

अनुदेश

यदि एक तीव्र कोण दिया गया है, उदाहरण के लिए, ए, और पैरों में से एक, उदाहरण के लिए, ए, तो कर्ण और दूसरे पैर की गणना संबंधों से की जाती है: b=a*tg(A), c=a *पाप (ए)।

उपयोगी सलाह

इस घटना में कि आप गणना के लिए आवश्यक कोणों में से किसी एक के साइन या कोसाइन का मूल्य नहीं जानते हैं, आप ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं, वे त्रिकोणमितीय कार्यों के मान प्रदान करते हैं एक बड़ी संख्या मेंकोने। इसके अलावा, अधिकांश आधुनिक कैलकुलेटर कोणों की साइन और कोसाइन की गणना करने में सक्षम हैं।

स्रोत:

• 2019 में समकोण त्रिभुज की भुजा की गणना कैसे करें

टिप 4: समकोण त्रिभुज का आधार कैसे ज्ञात करें

एक समकोण त्रिभुज के रूप में ऐसी आकृति में, एक दूसरे के सापेक्ष पक्षों का स्पष्ट अनुपात अनिवार्य रूप से होता है। उनमें से दो को जानने के बाद, आप हमेशा तीसरे को खोज सकते हैं। यह कैसे किया जा सकता है, आप नीचे दिए गए निर्देशों से सीखेंगे।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर।

अनुदेश

दोनों पैरों को चौकोर करें, और उन्हें एक साथ जोड़ें a2 + b2। परिणाम कर्ण है ( आधार) वर्ग c2 में। अगला, आपको बस बाद से जड़ निकालने की जरूरत है, और कर्ण पाया जाता है। यह विधिपर प्रयोग करने में आसान और आसान है। पार्टियों को खोजने की प्रक्रिया में मुख्य बात त्रिकोणइस प्रकार - सबसे आम गलती से बचने के लिए प्रारंभिक परिणाम से जड़ निकालना न भूलें। सूत्र दुनिया में सबसे प्रसिद्ध पायथागॉरियन प्रमेय के लिए धन्यवाद प्राप्त किया गया था, जो सभी स्रोतों में दिखता है: a2+b2 = c2।

एक पैर a को उसके विपरीत कोण sin α की ज्या से विभाजित करें। यदि स्थिति में पक्ष और ज्या ज्ञात हो तो कर्ण ज्ञात करने का यह विकल्प स्वीकार्य होगा। इस मामले में सूत्र का एक बहुत ही सरल रूप होगा: c=a/sin α। सभी गणनाओं से सावधान रहें।

एक को दो से गुणा करें। कर्ण की गणना की गई है। यह शायद हमें हाथ लगाने का सबसे प्राथमिक तरीका है। लेकिन, दुर्भाग्य से, इस पद्धति का उपयोग केवल एक मामले में किया जाता है - यदि डिग्री माप में कोण के विपरीत स्थित पक्ष संख्या तीस के बराबर है। यदि कोई है, तो आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि यह हमेशा कर्ण का आधा होगा। तदनुसार, आपको बस इसे दोगुना करना है और आपका काम हो गया।

पैर a को कोण cos α की कोज्या से विभाजित करें जो इससे सटे हों। यह विधि केवल तभी उपयुक्त है जब आप पैरों में से एक और उससे सटे कोण के कोसाइन को जानते हों। यह विधि पहले आपके सामने प्रस्तुत की गई विधि से मिलती-जुलती है, जिसमें पैर का भी उपयोग किया जाता है, लेकिन कोसाइन के बजाय, विपरीत कोण की ज्या। केवल इस मामले में यह थोड़ा अलग संशोधित होगा दिखावट: с=a/ cos α. बस इतना ही।

सलाह 5: यदि एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात हों तो कोण कैसे ज्ञात करें?

ट्रे वर्ग, जिनमें से एक कोण समकोण (90 ° के बराबर) होता है, समकोण कहलाता है। इसकी सबसे लंबी भुजा हमेशा समकोण के विपरीत होती है और इसे कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पक्षोंस्केट्स कहलाते हैं। यदि इन तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो त्रिभुज के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए वर्गऔर मुश्किल नहीं है, क्योंकि वास्तव में आपको केवल एक कोण की गणना करने की आवश्यकता है। यह कई मायनों में किया जा सकता है।

अनुदेश

एक आयताकार त्रि के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा की मात्रा (α, β, γ) की गणना करने के लिए उपयोग करें। जैसे, उदाहरण के लिए, साइन के लिए न्यून कोणविपरीत पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में। इसलिए, यदि पैरों की लंबाई (ए और बी) और कर्ण (सी) है, तो आप उदाहरण के लिए, कोण α की साइन पा सकते हैं, जो लंबाई को विभाजित करके पैर ए के विपरीत स्थित है। पक्षोंऔर लंबाई के लिए पक्षोंसी (कर्ण): पाप (α) = ए / सी। इस कोण की ज्या का मान जानने के बाद, आप साइन के व्युत्क्रम फलन - आर्क्सिन का उपयोग करके इसका मान डिग्री में पा सकते हैं। अर्थात्, α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C)। इसी प्रकार, आप त्रिभुज में न्यून कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं। वर्गई, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। चूँकि सभी कोणों का योग है वर्ग a 180° है, और tre . में है वर्गयदि कोणों में से एक 90° के बराबर है, तो तीसरे कोण के मान की गणना 90° और पाए गए कोण के मान के बीच के अंतर के रूप में की जा सकती है: β=180°-90°-α=90°-α.

ज्या को परिभाषित करने के बजाय, आप एक न्यून कोण की कोज्या की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं, जिसे वांछित कोण से सटे पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में तैयार किया जाता है: cos(α)=B/ सी। और यहां, कोण के मान को डिग्री में खोजने के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (arccosine) का उपयोग करें: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C)। उसके बाद, पिछले चरण की तरह, लापता कोण का मान ज्ञात करना बाकी है: β=90°-α।

आप एक समान स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं - यह वांछित कोण के विपरीत पैर की लंबाई और आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है: tg(α)=A/B। डिग्री में कोण मान फिर से व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के माध्यम से निर्धारित किया जाता है - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B)। लापता कोण सूत्र अपरिवर्तित रहेगा: β=90°-α.

संबंधित वीडियो

टिप 6: समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई कैसे ज्ञात करें

एक त्रिभुज को एक समकोण त्रिभुज माना जाता है यदि उसका एक कोना समकोण हो। पक्ष त्रिकोणसमकोण के विपरीत स्थित को कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पक्षों- कैथेटर। एक आयत की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए त्रिकोण, कई तरह से इस्तेमाल किया जा सकता है।

अनुदेश

1. दो पैरों के मान ज्ञात हैं

इस मामले में, एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
एस = 0.5ab

2. एक पैर और कर्ण ज्ञात हैं

ऐसी परिस्थितियों में, पाइथागोरस प्रमेय और उपरोक्त सूत्र का उपयोग करना सबसे तर्कसंगत है:
एस = 0.5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
जहां sqrt है वर्गमूल, c^2-a^2 - कर्ण और पैर के वर्ग के अंतर को दर्शाने वाला कट्टरपंथी अभिव्यक्ति।

3. त्रिभुज की सभी भुजाओं का मान दिया गया है

ऐसी समस्याओं के लिए, आप बगुला सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
एस = (पी-ए) (पी-बी),
जहाँ p अर्ध-परिधि है, जो निम्नलिखित व्यंजक द्वारा पाया जाता है: p = 0.5∙ (a+b+c)

4. एक पैर और कोण ज्ञात हैं

यहां यह त्रिकोणमितीय कार्यों की ओर मुड़ने लायक है। उदाहरण के लिए, tg(1) = 1/сtg(1) = b/a. यही है, इस अनुपात के लिए धन्यवाद, अज्ञात पैर का मूल्य निर्धारित करना संभव है। फिर समस्या पहले बिंदु तक कम हो जाती है।

5. ज्ञात कर्ण और कोण

इस मामले में, साइन और कोसाइन के त्रिकोणमितीय कार्यों का भी उपयोग किया जाता है: cos(2)=1/sin(2) = b/c. फिर समस्या का समाधान लेख के दूसरे पैराग्राफ में कम हो जाता है।

संबंधित वीडियो

टिप 11: एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के नाम क्या हैं?

पहले के समान परिभाषा। एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ लंबवत होती हैं।

कर्ण और पैर

न्यून और अधिक त्रिभुज में, कोणों के शीर्षों को जोड़ने वाले खंडों को केवल भुजाएँ कहते हैं। पक्ष के अन्य नाम हैं। जो समकोण से सटे होते हैं उन्हें पैर कहा जाता है। समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है। ग्रीक से अनुवादित, "कर्ण" शब्द का अर्थ है "विस्तारित", और "पैर" - "लंबवत"।

कर्ण और पैरों के बीच संबंध

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कुछ निश्चित अनुपातों से परस्पर जुड़ी होती हैं, जो गणनाओं को बहुत सुविधाजनक बनाती हैं। उदाहरण के लिए, पैरों के आयामों को जानकर, आप कर्ण की लंबाई की गणना कर सकते हैं। इसकी खोज करने वाले के नाम पर इस अनुपात को पाइथागोरस प्रमेय कहा गया और यह इस तरह दिखता है:

c2=a2+b2, जहां c कर्ण है, a और b पैर हैं। यानी कर्ण पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होगा। किसी भी पैर को खोजने के लिए, दूसरे पैर के वर्ग को कर्ण के वर्ग से घटाना और परिणामी अंतर से वर्गमूल निकालना पर्याप्त है।

आसन्न और विपरीत पैर

एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। अक्षर C का उपयोग समकोण के शीर्ष को निरूपित करने के लिए किया जाता है, A और B न्यून कोणों के शीर्ष हैं। प्रत्येक कोने के सामने की भुजाओं को उनके सम्मुख कोणों के नाम पर सुविधाजनक रूप से a, b और c कहा जाता है। कोण ए पर विचार करें। इसके लिए पैर ए विपरीत होगा, पैर बी - आसन्न। विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात कहलाता है। इस त्रिकोणमितीय फलन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: sinA=a/c. आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात को कोसाइन कहा जाता है। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: cosA=b/c.

इस प्रकार, कोण और एक भुजा को जानकर, इन सूत्रों का उपयोग करके दूसरी भुजा की गणना करना संभव है। दोनों पैर त्रिकोणमितीय संबंधों से भी जुड़े हुए हैं। आसन्न के विपरीत के अनुपात को स्पर्शरेखा कहा जाता है, और आसन्न के विपरीत के अनुपात को कोटैंजेंट कहा जाता है। इन अनुपातों को सूत्रों tgA=a/b या ctgA=b/a द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

त्रिभुज के प्रकार के आधार पर इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई विकल्प हैं। उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र S = a * b / 2 का उपयोग किया जाता है, जहाँ a और b उसके पैर होते हैं। यदि आप क्षेत्र जानना चाहते हैं समद्विबाहु त्रिकोण, तो इसके आधार और ऊंचाई के उत्पाद को दो से विभाजित करना आवश्यक है। अर्थात्, S= b*h/2, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h इसकी ऊँचाई है।

इसके बाद, आपको समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है। यहां निम्नलिखित सूत्र बचाव के लिए आता है: एस = ए * ए / 2, जहां पैर "ए" और "ए" आवश्यक रूप से समान मूल्यों के साथ होने चाहिए।

इसके अलावा, हमें अक्सर क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता होती है समभुज त्रिकोण. यह सूत्र द्वारा पाया जाता है: S= a * h/2, जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, और h इसकी ऊँचाई है। या इस सूत्र के अनुसार: S= √3/4 *a^2, जहाँ a भुजा है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

आपको एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, लेकिन साथ ही, समस्या की स्थितियाँ इसके दो पैरों के आयामों को एक साथ नहीं दर्शाती हैं? तब हम इस सूत्र (S= a * b/2) का सीधे प्रयोग नहीं कर पाएंगे।

कुछ पर विचार करें विकल्पसमाधान:

• यदि आप एक पैर की लंबाई नहीं जानते हैं, लेकिन कर्ण और दूसरे पैर के आयाम दिए गए हैं, तो हम महान पाइथागोरस की ओर मुड़ते हैं और, उनके प्रमेय के अनुसार (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 ), अज्ञात पैर की लंबाई की गणना करें, फिर इसका उपयोग त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने के लिए करें।
• यदि एक पैर की लंबाई और उसके विपरीत कोण की डिग्री ढलान दी गई है: हम सूत्र का उपयोग करके दूसरे पैर की लंबाई पाते हैं - a=b*ctg(C)।
• दिया गया है: एक पैर की लंबाई और उसके बगल के कोण की डिग्री ढलान: दूसरे पैर की लंबाई खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं - a=b*tg(C)।
• और अंत में, दिया गया: कर्ण का कोण और लंबाई: हम उसके दोनों पैरों की लंबाई की गणना निम्न सूत्रों के अनुसार करते हैं - b=c*sin(C) और a=c*cos(C)।

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्र सूत्र S \u003d b * h / 2 का उपयोग करके बहुत आसानी से और जल्दी से पाया जा सकता है, लेकिन, किसी एक संकेतक की अनुपस्थिति में, कार्य बहुत अधिक जटिल हो जाता है। आखिरकार, अतिरिक्त कदम उठाने की जरूरत है।

संभावित कार्य विकल्प:

• दिया गया है: एक भुजा की लंबाई और आधार की लंबाई। हम पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से ऊंचाई, यानी दूसरे पैर की लंबाई पाते हैं। बशर्ते कि आधार की लंबाई, दो से विभाजित, पैर है, और प्रारंभिक ज्ञात पक्ष कर्ण है।
• दिया गया है: आधार और भुजा और आधार के बीच का कोण। सूत्र h=c*ctg(B)/2 का उपयोग करके ऊंचाई की गणना करें ("सी" पक्ष को दो से विभाजित करना न भूलें)।
• दिया गया है: ऊंचाई और कोण जो आधार और भुजा द्वारा बनाया गया था: ऊंचाई खोजने के लिए सूत्र c=h*tg(B)*2 का उपयोग करें, और परिणाम को दो से गुणा करें। अगला, हम क्षेत्र की गणना करते हैं।
• ज्ञात: भुजा की लंबाई और उसके बीच का कोण और ऊँचाई। हल: आधार और ऊँचाई ज्ञात करने के लिए सूत्रों - c=a*sin(C)*2 और h=a*cos(C) का उपयोग करें, जिसके बाद हम क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

यदि सभी डेटा ज्ञात हैं, तो मानक सूत्र S = a * a / 2 का उपयोग करके हम समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करते हैं, लेकिन यदि कार्य में कुछ संकेतक इंगित नहीं किए जाते हैं, तो अतिरिक्त क्रियाएं की जाती हैं।

उदाहरण के लिए: हम दोनों पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं (हमें याद है कि वे एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में बराबर हैं), लेकिन कर्ण की लंबाई दी गई है। आइए पाइथागोरस प्रमेय को समान पक्षों "ए" और "ए" को खोजने के लिए लागू करें। पाइथागोरस सूत्र: a^2+b^2=c^2. समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में, इसे इसमें परिवर्तित किया जाता है: 2a^2 = c^2। यह पता चला है कि पैर "ए" को खोजने के लिए, आपको कर्ण की लंबाई को 2 की जड़ से विभाजित करने की आवश्यकता है। समाधान का परिणाम समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के दोनों पैरों की लंबाई होगी। अगला, क्षेत्र खोजें।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

सूत्र S= √3/4*a^2 का उपयोग करके, आप आसानी से एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। यदि त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: S= 3√3/4*R^2, जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है।

वास्तव में एक समकोण त्रिभुज लगभग हर कोने पर पाया जाता है। इस आकृति के गुणों का ज्ञान, साथ ही इसके क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, निस्संदेह न केवल ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए, बल्कि जीवन स्थितियों में भी आपके लिए उपयोगी होगी।

त्रिकोण ज्यामिति

प्राथमिक ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन जुड़े हुए खंड होते हैं जो तीन कोण (दो न्यून और एक सीधे) बनाते हैं। एक समकोण त्रिभुज एक मूल आकृति है, जिसमें कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो त्रिकोणमिति की नींव बनाते हैं। एक साधारण त्रिभुज के विपरीत, एक आयताकार आकृति की भुजाओं के अपने नाम होते हैं:

• कर्ण एक त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित होती है।
• पैर - खंड जो एक समकोण बनाते हैं। विचाराधीन कोण के आधार पर, पैर इसके निकट हो सकता है (इस कोण को कर्ण के साथ बना रहा है) या विपरीत (कोण के विपरीत झूठ बोल रहा है)। गैर-आयताकार त्रिभुजों के लिए कोई पैर नहीं हैं।

यह पैरों और कर्ण का अनुपात है जो त्रिकोणमिति का आधार बनाता है: साइन, स्पर्शरेखा और छेदक को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

हकीकत में समकोण त्रिभुज

यह आंकड़ा वास्तविकता में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। डिजाइन और तकनीक में त्रिभुजों का उपयोग किया जाता है, इसलिए आकृति के क्षेत्रफल की गणना इंजीनियरों, वास्तुकारों और डिजाइनरों को करनी पड़ती है। टेट्राहेड्रा या प्रिज्म के आधारों में एक त्रिभुज का आकार होता है - त्रि-आयामी आंकड़े जो रोजमर्रा की जिंदगी में आसानी से मिल जाते हैं। इसके अलावा, एक वर्ग वास्तविकता में एक "सपाट" समकोण त्रिभुज का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है। एक वर्ग एक ताला बनाने वाला, ड्राइंग, निर्माण और बढ़ईगीरी उपकरण है जिसका उपयोग स्कूली बच्चों और इंजीनियरों दोनों द्वारा कोनों के निर्माण के लिए किया जाता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल है मात्रा का ठहरावत्रिभुज की भुजाओं से कितना तल घिरा है। एक साधारण त्रिभुज का क्षेत्रफल पांच तरीकों से पाया जा सकता है, हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके या इस तरह के चर के साथ गणना में काम करना, जैसे कि आधार, पक्ष, कोण और खुदा हुआ या परिचालित वृत्त की त्रिज्या। सबसे अधिक सरल सूत्रक्षेत्र के रूप में व्यक्त किया जाता है:

जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, h उसकी ऊँचाई है।

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र और भी सरल है:

जहां ए और बी पैर हैं।

हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ काम करते हुए, आप तीन जोड़ी मापदंडों का उपयोग करके एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

• दो पैर;
• पैर और आसन्न कोण;
• पैर और विपरीत कोण।

कार्यों या रोजमर्रा की स्थितियों में, आपको चर के विभिन्न संयोजन दिए जाएंगे, इसलिए कैलकुलेटर का यह रूप आपको कई तरीकों से त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देता है। आइए एक दो उदाहरण देखें।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

सिरेमिक टाइल

मान लीजिए कि आप रसोई की दीवारों को सिरेमिक टाइलों से पंक्तिबद्ध करना चाहते हैं, जिनका आकार एक समकोण त्रिभुज का है। टाइलों की खपत को निर्धारित करने के लिए, आपको क्लैडिंग के एक तत्व के क्षेत्र और इलाज की जाने वाली सतह के कुल क्षेत्रफल का पता लगाना होगा। आपको 7 संसाधित करने की आवश्यकता है वर्ग मीटर. एक तत्व के पैरों की लंबाई प्रत्येक 19 सेमी है, तो टाइल का क्षेत्रफल इसके बराबर होगा:

इसका मतलब है कि एक तत्व का क्षेत्रफल 24.5 वर्ग सेंटीमीटर या 0.01805 वर्ग मीटर है। इन मापदंडों को जानकर, आप गणना कर सकते हैं कि एक दीवार के 7 वर्ग मीटर को खत्म करने के लिए आपको 7 / 0.01805 = 387 फेसिंग टाइल्स की आवश्यकता होगी।

स्कूल का काम

भीतर आएं स्कूल का कामज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, केवल यह जानते हुए कि एक पैर की भुजा 5 सेमी है, और विपरीत कोण का मान 30 डिग्री है। हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को दर्शाने वाला चित्रण है। यदि भुजा a = 5 सेमी है, तो इसका सम्मुख कोण कोण अल्फा है, जो 30 डिग्री के बराबर है। इस डेटा को कैलकुलेटर फॉर्म में दर्ज करें और परिणाम प्राप्त करें:

इस प्रकार, कैलकुलेटर न केवल किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करता है, बल्कि आसन्न पैर और कर्ण की लंबाई, साथ ही दूसरे कोण का मान भी निर्धारित करता है।

निष्कर्ष

आयताकार त्रिभुज हमारे जीवन में वस्तुतः हर कोने पर पाए जाते हैं। ऐसे आंकड़ों का क्षेत्र निर्धारित करना आपके लिए न केवल ज्यामिति में स्कूल के कार्यों को हल करते समय, बल्कि रोजमर्रा और व्यावसायिक गतिविधियों में भी उपयोगी होगा।

एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण 90° का होता है। यदि दो पैर ज्ञात हों तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। आप निश्चित रूप से लंबा रास्ता तय कर सकते हैं - कर्ण ढूंढ सकते हैं और क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह केवल लगेगा अतिरिक्त समय. इसलिए एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों के उत्पाद का आधा है।

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का एक उदाहरण।
पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज दिया गया है एक= 8 सेमी, बी= 6 सेमी.
हम क्षेत्र की गणना करते हैं:
क्षेत्रफल है: 24 सेमी 2

एक समकोण त्रिभुज में भी पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है। - दोनों पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र की गणना उसी तरह की जाती है जैसे एक नियमित समकोण त्रिभुज के लिए की जाती है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का एक उदाहरण:
पैरों के साथ एक त्रिभुज दिया गया एक= 4 सेमी, बी\u003d 4 सेमी। क्षेत्र की गणना करें:
हम क्षेत्र की गणना करते हैं: \u003d 8 सेमी 2

यदि स्थिति में एक पैर दिया गया हो तो कर्ण के संबंध में एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय से हम अज्ञात पैर की लंबाई पाते हैं। उदाहरण के लिए, कर्ण दिया गया है सीऔर पैर एक, टांग बीके बराबर होगा:
अगला, हम सामान्य सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करते हैं। कर्ण का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की गणना करने का एक उदाहरण ऊपर वर्णित के समान है।

विचार करना दिलचस्प काम, जो त्रिभुज को हल करने के लिए सूत्रों के ज्ञान को समेकित करने में मदद करेगा।
एक कार्य: एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 180 वर्ग मीटर है। देखें कि त्रिभुज की छोटी टाँग ज्ञात कीजिए यदि वह दूसरे से 31 सेमी कम है।
समाधान: पैरों को निरूपित करें एकतथा बी. अब आइए डेटा को क्षेत्र सूत्र में बदलें: हम यह भी जानते हैं कि एक पैर दूसरे से छोटा है एक – बी= 31 सेमी
पहली शर्त से हम पाते हैं कि
हम इस स्थिति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

चूँकि हमें भुजाएँ मिली हैं, हम ऋण चिह्न हटाते हैं।
यह पता चला है कि पैर एक= 40 सेमी, और बी= 9 सेमी.

त्रिभुज - समतल ज्यामितीय आकृति 90° के बराबर एक कोण के साथ। इसी समय, ज्यामिति में अक्सर ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक होता है। यह कैसे करना है, हम आगे बताएंगे।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे सरल सूत्र

प्रारंभिक डेटा, जहाँ: a और b समकोण से निकलने वाले त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

अर्थात्, क्षेत्रफल समकोण से निकलने वाली दोनों भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर होता है। बेशक, एक साधारण त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला हेरॉन का सूत्र है, लेकिन मूल्य निर्धारित करने के लिए, आपको तीन पक्षों की लंबाई जानने की जरूरत है। तदनुसार, आपको कर्ण की गणना करनी होगी, और यह अतिरिक्त समय है।

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

यह एक प्रसिद्ध और मूल सूत्र है, लेकिन इसके लिए आपको पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दो पैरों के साथ कर्ण की गणना करनी होगी।

इस सूत्र में: a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और p अर्ध-परिधि है।

कर्ण और कोण दिए गए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

अगर आपकी समस्या में किसी भी टांग का पता नहीं है, तो ज्यादा से ज्यादा इस्तेमाल करें सरल तरीके सेआप नहीं कर सकते। मूल्य निर्धारित करने के लिए, आपको पैरों की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। यह केवल शामिल कोण के कर्ण और कोज्या द्वारा किया जाता है।

b=c×cos(α)

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक पैर की लंबाई जानने के बाद, आप समकोण से निकलने वाली दूसरी भुजा की गणना कर सकते हैं।

बी 2 \u003d सी 2 -ए 2

इस सूत्र में, c और a क्रमशः कर्ण और पाद हैं। अब आप पहले सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। उसी तरह, दूसरे और कोण को देखते हुए, पैरों में से एक की गणना की जा सकती है। इस मामले में, वांछित पक्षों में से एक पैर के उत्पाद और कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होगा। क्षेत्रफल की गणना करने के अन्य तरीके हैं, लेकिन मूल प्रमेयों और नियमों को जानकर, आप आसानी से वांछित मूल्य पा सकते हैं।

यदि आपके पास त्रिभुज की कोई भुजा नहीं है, लेकिन केवल माध्यिका और एक कोण है, तो आप भुजाओं की लंबाई की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज को दो से विभाजित करने के लिए माध्यिका के गुणों का उपयोग करें। तदनुसार, यह एक न्यून कोण से निकलने पर कर्ण के रूप में कार्य कर सकता है। एक समकोण से निकलने वाले त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल सूत्रों और पाइथागोरस प्रमेय को जानकर, आप एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, जिसमें केवल एक कोण और एक भुजा की लंबाई हो।