एक सर्कल कैलकुलेटर के क्षेत्र की गणना करें। वृत्त क्षेत्र: सूत्र

एक वृत्त कई बिंदुओं का एक दृश्य संग्रह है जो केंद्र से समान दूरी पर हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि त्रिज्या, व्यास, संख्या और परिधि क्या हैं।

एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना में शामिल मात्रा

वृत्त के केंद्रीय बिंदु और वृत्त के किसी भी बिंदु से घिरी दूरी इस ज्यामितीय आकृति की त्रिज्या कहलाती है। एक वृत्त की सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है। वृत्त पर किन्हीं 2 बिंदुओं के बीच का रेखा खंड जो केंद्र बिंदु से होकर गुजरता है, व्यास कहलाता है। व्यास की लंबाई 2 से गुणा त्रिज्या की लंबाई के बराबर है।

एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए संख्या के मान का उपयोग किया जाता है। यह मान वृत्त के व्यास की परिधि के अनुपात के बराबर है और इसका एक स्थिर मान है। = 3.1415926। परिधि की गणना सूत्र L=2πR का उपयोग करके की जाती है।

त्रिज्या का उपयोग करके एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें

इसलिए, एक वृत्त का क्षेत्रफल संख्या के गुणनफल के बराबर होता है और वृत्त की त्रिज्या को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। उदाहरण के तौर पर, वृत्त की त्रिज्या की लंबाई 5 सेमी के बराबर लेते हैं। तब वृत्त S का क्षेत्रफल 3.14 * 5 ^ 2 = 78.5 वर्ग मीटर के बराबर होगा। सेमी।

व्यास के संदर्भ में वृत्त का क्षेत्रफल

वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करके वृत्त का क्षेत्रफल भी ज्ञात किया जा सकता है। इस स्थिति में, S = (π/4)*d^2, जहाँ d वृत्त का व्यास है। आइए वही उदाहरण लेते हैं जहां त्रिज्या 5 सेमी है। फिर इसका व्यास 5*2=10 सेमी होगा। सर्कल का क्षेत्रफल S=3.14/4*10^2=78.5 sq.cm है। परिणाम, जो पहले उदाहरण में कुल गणना के बराबर है, दोनों मामलों में गणना की शुद्धता की पुष्टि करता है।

परिधि के संदर्भ में एक वृत्त का क्षेत्रफल

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या को परिधि के माध्यम से दर्शाया जाता है, तो सूत्र इस तरह दिखेगा: R=(L/2)π। इस व्यंजक को वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें और परिणामस्वरूप हमें S=(L^2)/4π प्राप्त होता है। एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें परिधि 10 सेमी है। तब वृत्त का क्षेत्रफल S = (10 ^ 2) / 4 * 3.14 = 7.96 वर्ग मीटर है। सेमी।

एक वृत्त का क्षेत्रफल, एक उत्कीर्ण वर्ग की एक भुजा की लंबाई के संदर्भ में

यदि एक वृत्त में एक वर्ग अंकित है, तो वृत्त के व्यास की लंबाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई के बराबर होती है। वर्ग के किनारे के आकार को जानकर, आप आसानी से सूत्र द्वारा वृत्त का व्यास ज्ञात कर सकते हैं: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2। दूसरे शब्दों में, 2 की घात का व्यास वर्ग की भुजा के 2 गुणा 2 के घात के बराबर है.

किसी वृत्त के व्यास की लंबाई के मान की गणना करने के बाद, आप इसकी त्रिज्या का भी पता लगा सकते हैं, और फिर वृत्त का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए किसी एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक सर्कल का सेक्टर क्षेत्र

त्रिज्यखंड एक वृत्त का एक भाग होता है जो 2 त्रिज्याओं और उनके बीच एक चाप से घिरा होता है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको त्रिज्यखंड का कोण मापने की आवश्यकता है। उसके बाद, एक अंश की रचना करना आवश्यक है, जिसके अंश में सेक्टर के कोण का मान होगा, और हर में - 360। सेक्टर के क्षेत्र की गणना करने के लिए, मान उपरोक्त सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके गणना किए गए वृत्त के क्षेत्र से अंश को विभाजित करने के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाना चाहिए।

ज्यामिति में चारों ओरतल पर सभी बिंदुओं के कुछ समुच्चय को कहा जाता है, जो एक बिंदु से हटा दिए जाते हैं, जिसे इसका केंद्र कहा जाता है, जो किसी दिए गए बिंदु से अधिक नहीं होता है, जिसे इसकी त्रिज्या कहा जाता है। इस मामले में, सर्कल की बाहरी सीमा है घेरा, और यदि त्रिज्या की लंबाई शून्य के बराबर है, एक क्षेत्र मेंएक बिंदु तक गिर जाता है।

एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना

यदि आवश्यक है एक वृत्त का क्षेत्रफलसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

आर- सर्कल त्रिज्या

डी- सर्कल व्यास

एस- एक वृत्त का क्षेत्रफल

π - 3.14

इस ज्यामितीय आकृतिइंजीनियरिंग और वास्तुकला दोनों में बहुत आम है। मशीनों और तंत्रों के डिजाइनर विकसित होते हैं विभिन्न विवरण, जिनमें से कई के खंड ठीक हैं एक क्षेत्र में. उदाहरण के लिए, ये शाफ्ट, छड़, छड़, सिलेंडर, धुरी, पिस्टन आदि हैं। इन भागों के निर्माण में, रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है विभिन्न सामग्री(धातु, लकड़ी, प्लास्टिक), उनके खंड भी सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं एक क्षेत्र में. यह बिना कहे चला जाता है कि डेवलपर्स को अक्सर गणना करनी पड़ती है एक वृत्त का क्षेत्रफलव्यास या त्रिज्या के माध्यम से, इस उद्देश्य के लिए प्राचीन काल में खोजे गए सरल गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए।

ठीक तब गोल तत्ववास्तुकला में सक्रिय रूप से और व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। इसका सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण सर्कस है, जो एक प्रकार की इमारतें हैं जिन्हें विभिन्न प्रकार की इमारतों को धारण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है शानदार आयोजन. उनके अखाड़े आकार के होते हैं घेरा, और पहली बार वे पुरातनता में बनने लगे। वही शब्द " घेरा"लैटिन में अर्थ है" एक क्षेत्र में". यदि प्राचीन काल में सर्कस थे नाट्य प्रदर्शनऔर ग्लैडीएटर के झगड़े हुए, अब वे एक ऐसी जगह के रूप में काम करते हैं जहाँ लगभग अनन्य रूप से सर्कस प्रदर्शनप्रशिक्षकों, कलाबाजों, जादूगरों, जोकरों आदि की भागीदारी के साथ। सर्कस के मैदान का मानक व्यास 13 मीटर है, और यह बिल्कुल भी आकस्मिक नहीं है: तथ्य यह है कि यह अखाड़े के न्यूनतम आवश्यक ज्यामितीय पैरामीटर प्रदान करता है, जिसमें सर्कस के घोड़े एक सर्कल सरपट दौड़ सकते हैं। अगर हम गणना करें एक वृत्त का क्षेत्रफलव्यास के माध्यम से, यह पता चलता है कि सर्कस के मैदान के लिए यह मान 113.04 वर्ग मीटर है।

वास्तु तत्व जो एक वृत्त का रूप ले सकते हैं वे खिड़कियाँ हैं। बेशक, ज्यादातर मामलों में वे आयताकार या वर्गाकार होते हैं (मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण कि यह आर्किटेक्ट और बिल्डरों दोनों के लिए आसान है), लेकिन कुछ इमारतों में आप गोल खिड़कियां भी पा सकते हैं। इसके अलावा, हवा, समुद्र और नदी के जहाजों जैसे वाहनों में, वे अक्सर ऐसे ही होते हैं।

टेबल और कुर्सियों जैसे फर्नीचर के उत्पादन के लिए गोल तत्वों का उपयोग करना किसी भी तरह से असामान्य नहीं है। एक अवधारणा भी है गोल मेज़”, जिसका अर्थ है एक रचनात्मक चर्चा, जिसके दौरान विभिन्न महत्वपूर्ण समस्याओं की व्यापक चर्चा होती है और उन्हें हल करने के तरीके विकसित किए जाते हैं। टेबलटॉप के निर्माण के लिए, जिनके पास एक गोल आकार होता है, उनके उत्पादन के लिए विशेष उपकरण और उपकरण का उपयोग किया जाता है, जो काफी उच्च योग्यता वाले श्रमिकों की भागीदारी के अधीन होते हैं।

अनुदेश

त्रिज्या ज्ञात करने के लिए पाई का प्रयोग करें प्रसिद्ध चौकघेरा। यह स्थिरांक एक वृत्त के व्यास और उसकी सीमा (वृत्त) की लंबाई के बीच के अनुपात को निर्दिष्ट करता है। एक सर्कल की परिधि उस विमान का अधिकतम क्षेत्र है जिसे इसके साथ कवर किया जा सकता है, और व्यास दो त्रिज्या के बराबर है, इसलिए त्रिज्या वाला क्षेत्र भी एक दूसरे के साथ एक अनुपात के साथ सहसंबंधित होता है जिसे व्यक्त किया जा सकता है पाई की शर्तें इस स्थिरांक (π) को वृत्त के क्षेत्रफल (S) और वर्ग त्रिज्या (r) के रूप में परिभाषित किया गया है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिज्या को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है वर्गमूलक्षेत्र को पाई द्वारा विभाजित करने के भागफल से: r=√(S/π).

लंबे समय तक, एरास्टोफेन ने सबसे प्रसिद्ध पुस्तकालय, अलेक्जेंड्रिया पुस्तकालय का नेतृत्व किया प्राचीन विश्व. इस तथ्य के अलावा कि उन्होंने हमारे ग्रह के आकार की गणना की, उन्होंने कई महत्वपूर्ण आविष्कार और खोजें कीं। निर्धारित करने के लिए एक सरल विधि का आविष्कार किया अभाज्य सँख्या, जिसे अब "एरास्टोथेनीज़ की चलनी" कहा जाता है।

उन्होंने "दुनिया का नक्शा" बनाया, जिसमें उन्होंने उस समय दुनिया के सभी हिस्सों को प्राचीन यूनानियों को दिखाया। नक्शा अपने समय के लिए सर्वश्रेष्ठ में से एक माना जाता था। देशांतर और अक्षांश की एक प्रणाली और एक कैलेंडर विकसित किया जिसमें शामिल है अधिवर्ष. शस्त्रागार क्षेत्र का आविष्कार किया, एक यांत्रिक उपकरण जिसका उपयोग प्रारंभिक खगोलविदों द्वारा आकाश में तारों की स्पष्ट गति को प्रदर्शित करने और भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता था। उन्होंने एक स्टार कैटलॉग भी संकलित किया, जिसमें 675 सितारे शामिल थे।

स्रोत:

• दुनिया में पहली बार साइरेन के यूनानी वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने पृथ्वी की त्रिज्या की गणना की
• एराटोस्थनीज "पृथ्वी की गणना" की परिधि
• एरेटोस्थेनेज

एक वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? पहले त्रिज्या ज्ञात कीजिए। सरल और जटिल समस्याओं को हल करना सीखें।

एक वृत्त एक बंद वक्र है। वृत्त रेखा पर कोई भी बिंदु केंद्र बिंदु से समान दूरी पर होगा। एक वृत्त एक सपाट आकृति है, इसलिए क्षेत्र खोजने के साथ समस्याओं को हल करना आसान है। इस लेख में, हम देखेंगे कि एक त्रिभुज, समलम्बाकार, वर्ग में उत्कीर्ण एक वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए और इन आकृतियों के चारों ओर वर्णित किया जाए।

किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि त्रिज्या, व्यास और संख्या क्या हैं।

त्रिज्या आरवृत्त के केंद्र से घिरी दूरी है। एक वृत्त की सभी R-त्रिज्या की लंबाई बराबर होगी।

व्यास डीएक वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की रेखा है जो केंद्र बिंदु से होकर गुजरती है। इस खंड की लंबाई R-त्रिज्या गुणा 2 की लंबाई के बराबर है।

नंबरएक स्थिर मान है, जो 3.1415926 के बराबर है। गणित में, यह संख्या आमतौर पर 3.14 तक होती है।

त्रिज्या का उपयोग करके वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:

आर-त्रिज्या के माध्यम से एक सर्कल के एस-क्षेत्र को खोजने के लिए कार्यों को हल करने के उदाहरण:

एक कार्य:एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसकी त्रिज्या 7 सेमी है।

समाधान:एस=πआर², एस=3.14*7², एस=3.14*49=153.86 सेमी²।

उत्तर:वृत्त का क्षेत्रफल 153.86 वर्ग सेमी है।

D-व्यास के संदर्भ में एक वृत्त का S-क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:

एस को खोजने के लिए कार्यों को हल करने के उदाहरण, यदि डी ज्ञात है:

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एक कार्य:वृत्त का S ज्ञात कीजिए यदि उसका D 10 सेमी है।

समाधान:पी=π*डी²/4, पी=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 सेमी²।

उत्तर:एक सपाट गोल आकृति का क्षेत्रफल 78.5 cm² है।

परिधि ज्ञात होने पर S वृत्त ज्ञात करना:

सबसे पहले, पता लगाएं कि त्रिज्या क्या है। परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L=2πR, क्रमशः, त्रिज्या R, L/2π के बराबर होगी। अब हम R द्वारा सूत्र का उपयोग करके वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

समस्या के उदाहरण पर समाधान पर विचार करें:

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एक कार्य:एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि परिधि L ज्ञात है - 12 सेमी।

समाधान:पहले हम त्रिज्या पाते हैं: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91।

अब हम त्रिज्या के माध्यम से क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 cm²।

उत्तर:एक वृत्त का क्षेत्रफल 11.46 सेमी² है।

एक वर्ग में खुदे हुए वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान है। वर्ग की भुजा वृत्त का व्यास है। त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, आपको भुजा को 2 से विभाजित करना होगा।

एक वर्ग में अंकित वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:

एक वर्ग में खुदे हुए वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण:

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कार्य 1:एक वर्गाकार आकृति की भुजा ज्ञात होती है, जो 6 सेंटीमीटर के बराबर होती है। उत्कीर्ण वृत्त का S-क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:एस=π(ए/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 सेमी²।

उत्तर:एक सपाट गोल आकृति का क्षेत्रफल 28.26 सेमी² है।

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कार्य #2: एक वर्गाकार आकृति में अंकित एक वृत्त का S और उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए, यदि एक भुजा a=4 सेमी है।

ऐसे तय करें: पहले R=a/2=4/2=2 cm ज्ञात कीजिए।

अब आइए वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm²।

उत्तर:एक सपाट गोल आकृति का क्षेत्रफल 12.56 वर्ग सेमी² है।

एक वर्ग द्वारा परिबद्ध गोल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना थोड़ा अधिक कठिन है। लेकिन, सूत्र को जानकर, आप इस मान की गणना शीघ्रता से कर सकते हैं।

एक वर्गाकार आकृति के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का S ज्ञात करने का सूत्र:

एक वर्ग आकृति के पास वर्णित वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कार्यों को हल करने के उदाहरण:

एक कार्य

वृत्त जो में अंकित है त्रिकोणीय आकृतिएक वृत्त है जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। किसी भी त्रिभुजाकार आकृति में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, लेकिन केवल एक। वृत्त का केंद्र त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

में अंकित वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र समद्विबाहु त्रिकोण:

जब त्रिज्या ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: S=πR²।

में अंकित वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र सही त्रिकोण:

कार्यों को हल करने के उदाहरण:

कार्य 1

यदि इस समस्या में आपको 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल भी ज्ञात करना है, तो यह सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है: S=πR²

कार्य #2

समाधान:

अब जब आप त्रिज्या जानते हैं, तो आप त्रिज्या के संदर्भ में वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। ऊपर सूत्र देखें।

कार्य #3

एक समकोण और समद्विबाहु त्रिभुज के परिचालित वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, समस्या समाधान के उदाहरण

एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सभी सूत्र इस तथ्य पर आते हैं कि आपको सबसे पहले इसकी त्रिज्या ज्ञात करनी होगी। जब त्रिज्या ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल ज्ञात करना सरल है, जैसा कि ऊपर वर्णित है।

एक समकोण और समद्विबाहु त्रिभुज के परिगत एक वृत्त का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

समस्या समाधान के उदाहरण:

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक और उदाहरण यहां दिया गया है।

ऐसी समस्याओं को हल करना मुश्किल है, लेकिन अगर आप सभी सूत्रों को जानते हैं तो उन्हें महारत हासिल किया जा सकता है। छात्र 9वीं कक्षा में ऐसी समस्याओं का समाधान करते हैं।

एक आयताकार और समद्विबाहु समलम्बाकार में अंकित एक वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, समस्या समाधान के उदाहरण

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की दो बराबर भुजाएँ होती हैं। एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का एक कोण 90º के बराबर होता है। विचार करें कि समस्याओं को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके एक आयताकार और समद्विबाहु समलम्बाकार में अंकित एक वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए।

उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु समलम्बाकार में एक वृत्त अंकित होता है, जो संपर्क के बिंदु पर एक भुजा को खंडों m और n में विभाजित करता है।

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है:

में अंकित वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना आयताकार समलम्ब चतुर्भुज, निम्न सूत्र के अनुसार निर्मित होता है:

यदि पार्श्व पक्ष ज्ञात है, तो आप इस मान से त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं। समलम्ब चतुर्भुज के किनारे की ऊंचाई वृत्त के व्यास के बराबर है, और त्रिज्या आधा व्यास है। तदनुसार, त्रिज्या R=d/2 है।

समस्या समाधान के उदाहरण:

एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है जब उसके सम्मुख कोणों का योग 180º हो। इसलिए, केवल एक समद्विबाहु समलम्बाकार अंकित किया जा सकता है। एक आयताकार या समद्विबाहु समलम्बाकार के चारों ओर परिबद्ध एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के लिए त्रिज्या की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

समस्या समाधान के उदाहरण:

समाधान:इस मामले में बड़ा आधार केंद्र से होकर गुजरता है, क्योंकि एक समद्विबाहु समलम्बाकार एक वृत्त में अंकित है। केंद्र इस आधार को ठीक आधे में बांटता है। यदि आधार AB 12 है, तो त्रिज्या R निम्नानुसार पाई जा सकती है: R=12/2=6.

उत्तर:त्रिज्या 6 है।

ज्यामिति में, सूत्रों को जानना महत्वपूर्ण है। लेकिन उन सभी को याद रखना असंभव है, इसलिए कई परीक्षाओं में भी इसे एक विशेष रूप का उपयोग करने की अनुमति है। हालांकि, खोजने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है सही सूत्रकिसी विशेष समस्या को हल करने के लिए। सूत्रों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करने और सटीक उत्तर प्राप्त करने में सक्षम होने के लिए त्रिज्या और सर्कल के क्षेत्र को खोजने के लिए विभिन्न समस्याओं को हल करने का अभ्यास करें।

वीडियो: गणित | एक वृत्त और उसके भागों के क्षेत्रफल की गणना