त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि सभी भुजाएँ ज्ञात हों। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए 10 से अधिक सूत्र इंटरनेट पर पाए जा सकते हैं उनमें से कई का उपयोग समस्याओं में किया जाता है ज्ञात पार्टियांऔर त्रिभुज के कोने। हालाँकि, एक संख्या है कठिन उदाहरणजहाँ नियत कार्य की स्थिति के अनुसार त्रिभुज की केवल एक भुजा और कोण, या परिबद्ध या उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या, और एक और विशेषता ज्ञात हो। इस तरह के मामलों में एक सरल सूत्रलागू नहीं किया जा सकता।

नीचे दिए गए सूत्र उन 95 प्रतिशत समस्याओं का समाधान करेंगे जिनमें आपको त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है।
आइए सामान्य क्षेत्र सूत्रों पर विचार करें।
नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए त्रिभुज पर विचार करें

आकृति में और आगे के सूत्रों में, इसकी सभी विशेषताओं के शास्त्रीय पदनाम पेश किए गए हैं
a,b,c त्रिभुज की भुजाएँ हैं,
R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है,
r खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है,
एच [बी], एच [ए], एच [सी] - पक्षों के अनुसार खींची गई ऊंचाई ए, बी, सी।
अल्फा, बीटा, हम्मा - कोने के पास कोने।

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए मूल सूत्र

1. क्षेत्रफल त्रिभुज की भुजा के आधे गुणनफल के बराबर है और ऊँचाई इस भुजा तक कम है। सूत्र भाषा में इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है

इस प्रकार, यदि भुजा और ऊँचाई ज्ञात हो, तो प्रत्येक विद्यार्थी क्षेत्रफल ज्ञात करेगा।
वैसे, इस सूत्र से ऊंचाइयों के बीच एक उपयोगी संबंध निकाला जा सकता है

2. यदि हम ध्यान दें कि आसन्न भुजा के माध्यम से त्रिभुज की ऊंचाई निर्भरता द्वारा व्यक्त की जाती है

फिर क्षेत्र के पहले सूत्र से दूसरे के समान प्रकार का अनुसरण करें

सूत्रों को ध्यान से देखें - उन्हें याद रखना आसान है, क्योंकि काम में दो पक्ष और उनके बीच का कोण होता है। यदि हम त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को सही ढंग से निर्दिष्ट करते हैं (जैसा कि ऊपर की आकृति में है), तो हमें दो . मिलते हैं पक्ष ए, बी और कोण तीसरे . से संबंधित हैसी (हम्मा)।

3. एक त्रिभुज के कोणों के लिए, संबंध

निर्भरता आपको गणना में त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करने की अनुमति देती है

इस निर्भरता के उदाहरण अत्यंत दुर्लभ हैं, लेकिन आपको याद रखना चाहिए कि ऐसा एक सूत्र है।

4. यदि भुजा और दो आसन्न कोण ज्ञात हों, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

5. एक भुजा और आसन्न कोणों के कोटैंजेंट के पदों में क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है

अनुक्रमणिका को पुनर्व्यवस्थित करके, आप अन्य पक्षों के लिए निर्भरताएँ प्राप्त कर सकते हैं।

6. नीचे दिए गए क्षेत्र सूत्र का उपयोग कार्यों में किया जाता है जब एक त्रिभुज के शीर्ष निर्देशांक के साथ समतल पर दिए जाते हैं। इस मामले में, क्षेत्र आधे मॉड्यूलो निर्धारक के बराबर है।

7. बगुला का सूत्रत्रिभुज की ज्ञात भुजाओं वाले उदाहरणों में प्रयुक्त।
पहले त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करें

और फिर सूत्र द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करें

या

इसका उपयोग अक्सर कैलकुलेटर प्रोग्राम के कोड में किया जाता है।

8. यदि त्रिभुज की सभी ऊँचाइयाँ ज्ञात हों, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कैलकुलेटर पर गणना करना मुश्किल है, हालांकि, मैथकैड, मैथमैटिका, मेपल पैकेज में, क्षेत्र "एक दो" है।

9. निम्नलिखित सूत्र अंकित और परिबद्ध वृत्तों की ज्ञात त्रिज्याओं का उपयोग करते हैं।

विशेष रूप से, यदि किसी त्रिभुज की त्रिज्या और भुजाएँ, या उसका परिमाप ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है

10. ऐसे उदाहरणों में जहाँ परिबद्ध वृत्त की भुजाएँ और त्रिज्या या व्यास दिया गया है, क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

11. निम्न सूत्र त्रिभुज की भुजा और कोणों के संदर्भ में त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करता है।

और अंत में - विशेष मामले:
वर्ग सही त्रिकोण पैरों के साथ ए और बी उनके उत्पाद के आधे के बराबर है

एक समबाहु (नियमित) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र=

\u003d भुजा के वर्ग के गुणनफल का एक चौथाई और तीनों का मूल।

विचाराधीन त्रिभुज एबीसी, जिसमें कोण सी- सीधा।

से सटे इस त्रिभुज की भुजाएँ समकोण(वे। भुजाएँ AC और BC) कहा जाता है पैर, और समकोण के विपरीत पक्ष (अर्थात। साइड एबी) — कर्ण.

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि टाँगें ज्ञात हों

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है।

उदाहरण।

एक त्रिभुज ABC (कोण C \u003d 90º) में, पैर AC 5 सेमी है, और पैर BC 3 सेमी है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल है:

एसएबीसी = 0.5 5 3 = 7.5 सेमी2।

त्रिभुज MNP में (कोण N = 90º) लेग PN 102 मिमी और लेग MN 76 मिमी है। त्रिभुज MNP का क्षेत्रफल है:

एसएबीसी = 0.5 102 76 = 3876 मिमी2।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि दो भुजाएँ ज्ञात हों

यह पता लगाना आवश्यक है कि समकोण त्रिभुज की कौन सी विशेष भुजाएँ ज्ञात हैं: दो पैर या कर्ण और एक पैर, क्योंकि दृष्टिकोण बिल्कुल अलग होगा। वह मामला जब दो पैरों की लंबाई ज्ञात हो, ऊपर माना जाता है। नीचे हम उस मामले पर विचार करते हैं जब कर्ण और पैरों में से एक की लंबाई ज्ञात होती है।

पैर और कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

समाधान क्रम इस प्रकार है:

उदाहरण।

त्रिभुज ABC (कोण C \u003d 90º) में, पैर AC 6 सेमी है, और कर्ण AB 9.22 सेमी है। दूसरे पैर की लंबाई है

ईसा पूर्व \u003d जड़ (9.222 - 62) \u003d 7 सेमी।

अब, दो ज्ञात पैरों (AC \u003d 6 सेमी, BC \u003d 7 सेमी) का उपयोग करके, आप एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित कर सकते हैं:

एसएबीसी = 0.5 6 7 = 21 सेमी2।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि कर्ण ज्ञात हो

किसी त्रिभुज के कर्ण की लंबाई जानकर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करना असंभव है, क्योंकि कर्ण विशिष्ट रूप से एक समकोण त्रिभुज को परिभाषित नहीं करता है। आखिरकार, कई त्रिकोणों में कर्ण की लंबाई समान हो सकती है, लेकिन पैरों की पूरी तरह से अलग लंबाई और, तदनुसार, विभिन्न क्षेत्र।

उदाहरण के लिए:

• कर्ण AC = 10 सेमी, पैर AC = 6 सेमी, BC = 8 सेमी, क्षेत्रफल S = 0.5 6 8 = 24 सेमी2;
• कर्ण AC = 10 सेमी, पैर AC = 5 सेमी, BC = 8.66 सेमी, क्षेत्रफल S = 0.5 5 8.66 = 21.65 सेमी2;
• कर्ण AC = 10 सेमी, पैर AC = 4 सेमी, BC = 9.165 सेमी, क्षेत्रफल S = 0.5 4 9.165 = 18.33 सेमी2।

कर्ण की लंबाई के अलावा, एक त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, या तो पैरों में से एक की लंबाई, या तीव्र कोणों में से एक का मान जानना आवश्यक है।

कर्ण और पैरों में से एक द्वारा एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का निर्धारण ऊपर चर्चा की गई है।

कर्ण और कोण दिए गए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

कर्ण की लंबाई और उसके तीव्र कोणों में से एक के मूल्य को जानने के बाद, कोई भी दोनों पैरों की लंबाई पा सकता है - इस तीव्र कोण के निकट और इस कोण से विपरीत। इसके अलावा, दोनों पैरों की लंबाई जानकर, त्रिभुज का क्षेत्रफल आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

वर्ग ज्यामितीय आकृति - वर्ग इकाइयों में इस आकृति के आकार को दर्शाने वाली आकृति की संख्यात्मक विशेषता। किसी क्षेत्र के लिए मानक पदनाम एस अक्षर है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा और ऊँचाई के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई और उस तरफ खींची गई ऊंचाई की लंबाई का आधा गुणनफल होता है।

2. एक त्रिभुज के तीन भुजाओं के क्षेत्रफल का सूत्र।बगुला सूत्र।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है, जहाँ कारकों में से एक अर्ध-परिधि है, और अन्य तीन त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष पर अर्ध-परिधि का अंतर है।

एस = √p (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी)

3. दो भुजाओं पर त्रिभुज के क्षेत्रफल और उनके बीच के कोण का सूत्र.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके दोनों पक्षों के बीच के कोण की ज्या से गुणा किए जाने वाले गुणनफल का आधा होता है।

एस = 1/2 ए बी पाप

4. तीन भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का सूत्र।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके चारों ओर परिबद्ध वृत्त की चारों त्रिज्याओं से विभाजित उसकी सभी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है।

5. तीन भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का सूत्र.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के आधे परिमाप और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

पदनाम:

S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
h त्रिभुज की ऊँचाई है,
γ भुजाओं a और b के बीच का कोण है,
r खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है,
R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है,

p = (a + b + c)/2 त्रिभुज का आधा परिमाप है।

वर्ग क्षेत्र सूत्र

1. एक भुजा की लंबाई के साथ एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

2. विकर्ण की लंबाई के साथ एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण की लंबाई का आधा वर्ग है।

पदनाम:

S वर्ग का क्षेत्रफल है,
a वर्ग की भुजा की लंबाई है,
d वर्ग के विकर्ण की लंबाई है।

आयत क्षेत्र सूत्र

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

पदनाम:

S आयत का क्षेत्रफल है,
a, b आयत की भुजाओं की लंबाई हैं।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के संदर्भ में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र।
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है और ऊँचाई के इस तरफ की लंबाई कम होती है।

एस = आह

2. दो पक्षों पर एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल और उनके बीच के कोण का सूत्र.
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके पक्षों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है जो उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा होता है।

एस = ए बी sinα

3. दो विकर्णों और उनके बीच के कोण के संबंध में एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है, जो उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा होता है।

एस = 1/2 डी 1 डी 2 पाप γ

पदनाम:

S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
a, b समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
h समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई है,
d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाइयाँ हैं,
α समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण है,

γ समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण है।

समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊँचाई के संदर्भ में समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है और लंबाई ऊंचाई के इस तरफ गिरती है।

एस = आह

2. भुजा की लंबाई और कोण के संदर्भ में समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

एस = एक 2 पाप α

3. किसी समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई से क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों की लंबाई का आधा गुणनफल होता है।

एस = 1/2 डी 1 डी 2

पदनाम:

S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
a समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई है,
h समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई है,
α समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण है,
d 1, d 2 विकर्णों की लंबाइयाँ हैं।

समलंब क्षेत्र सूत्र

1. आधारों की लंबाई और ऊंचाई के अनुसार एक समलम्ब के क्षेत्रफल का सूत्र।
एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और उसकी ऊँचाई के योग का आधा होता है।

एस = 1/2 (ए + बी) एच

2. समलम्ब चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र.

एस = (ए + बी)/4|ए - बी| (पी - ए) (पी - बी) (पी - ए - सी) (पी - ए - डी)

पदनाम:

S समलम्ब का क्षेत्रफल है,
a, b समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई हैं,
सी, डी ट्रैपेज़ॉयड के किनारों की लंबाई हैं,

p = a + b + c + d समलम्ब चतुर्भुज का अर्ध परिमाप है।

उत्तल चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र

1. विकर्णों की लंबाई और उनके बीच के कोण द्वारा चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किया जाता है।

एस = 1/2 डी 1 डी 2 पाप α

पदनाम:

S चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
d 1, d 2 चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाइयाँ हैं,
α चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण है।

2. परिमित चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र (परिधि की लंबाई और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या से)।
एक उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल अर्धपरिमापी के गुणनफल और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।

3. भुजाओं की लंबाई और सम्मुख कोणों के मान से चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र।

एस = √ (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी) (पी - डी) - एबीसीडी कॉस 2 θ

4. एक चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है.

एस = √ (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी) (पी - डी)

पदनाम:

S चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
a, b, c, d चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
p = (a + b + c + d)/2 चतुर्भुज का अर्धपरिधि है,
θ = (α + β)/2 चतुर्भुज के दो विपरीत कोनों का आधा योग है।

वृत्त क्षेत्र सूत्र

1. त्रिज्या के संदर्भ में एक वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक वृत्त का क्षेत्रफल त्रिज्या और पाई के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

2. व्यास के संदर्भ में एक वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र.
एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास और पाई के वर्ग के गुणनफल का एक चौथाई है।

एस = 1/4 डी2

पदनाम:

S वृत्त का क्षेत्रफल है,
r वृत्त की त्रिज्या की लंबाई है,
डी सर्कल व्यास की लंबाई है;

अंडाकार क्षेत्र सूत्र

एक दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्षों की लंबाई और संख्या pi के गुणनफल के बराबर होता है।

पदनाम:

S दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है,
a दीर्घवृत्त के प्रमुख अर्ध-अक्ष की लंबाई है,
b दीर्घवृत्त के लघु अर्ध-अक्ष की लंबाई है;

स्रोत:

• ru.onlinemschool.com - ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र के लिए सूत्र;