विचाराधीन त्रिभुज एबीसी, जिसमें कोण सी- सीधा।

समकोण से सटे इस त्रिभुज की भुजाएँ (अर्थात। भुजाएँ AC और BC) कहा जाता है पैर, और समकोण के विपरीत पक्ष (अर्थात। साइड एबी) — कर्ण.

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि टाँगें ज्ञात हों

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है।

उदाहरण।

एक त्रिभुज ABC (कोण C \u003d 90º) में, पैर AC 5 सेमी है, और पैर BC 3 सेमी है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल है:

एस एबीसी \u003d 0.5 5 3 \u003d 7.5 सेमी 2।

त्रिभुज MNP में (कोण N = 90º) लेग PN 102 मिमी और लेग MN 76 मिमी है। त्रिभुज MNP का क्षेत्रफल है:

एस एबीसी \u003d 0.5 102 76 \u003d 3876 मिमी 2।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि दो भुजाएँ ज्ञात हों

यह पता लगाना आवश्यक है कि समकोण त्रिभुज की कौन सी विशेष भुजाएँ ज्ञात हैं: दो पैर या कर्ण और एक पैर, क्योंकि दृष्टिकोण बिल्कुल अलग होगा। वह मामला जब दो पैरों की लंबाई ज्ञात हो, ऊपर माना जाता है। नीचे हम उस मामले पर विचार करते हैं जब कर्ण और पैरों में से एक की लंबाई ज्ञात होती है।

पैर और कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

समाधान क्रम इस प्रकार है:

1. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, आपको दूसरे चरण की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता है;
2. आपको एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है जिसमें दो टाँगें दी गई हैं।

उदाहरण।

त्रिभुज ABC (कोण C \u003d 90º) में, पैर AC 6 सेमी है, और कर्ण AB 9.22 सेमी है। दूसरे पैर की लंबाई है

ईसा पूर्व \u003d जड़ (9.22 2 - 6 2) \u003d 7 सेमी।

अब, दो ज्ञात पैरों (AC \u003d 6 सेमी, BC \u003d 7 सेमी) का उपयोग करके, आप एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित कर सकते हैं:

एस एबीसी \u003d 0.5 6 7 \u003d 21 सेमी 2।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि कर्ण ज्ञात हो

किसी त्रिभुज के कर्ण की लंबाई जानकर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करना असंभव है, क्योंकि कर्ण विशिष्ट रूप से एक समकोण त्रिभुज को परिभाषित नहीं करता है। आखिरकार, कई त्रिकोणों में कर्ण की लंबाई समान हो सकती है, लेकिन पैरों की पूरी तरह से अलग लंबाई और, तदनुसार, विभिन्न क्षेत्र।

उदाहरण के लिए:

• कर्ण एसी = 10 सेमी, पैर एसी = 6 सेमी, बीसी = 8 सेमी, क्षेत्र एस = 0.5 6 8 = 24 सेमी 2;
• कर्ण एसी = 10 सेमी, पैर एसी = 5 सेमी, बीसी = 8.66 सेमी, क्षेत्र एस = 0.5 5 8.66 = 21.65 सेमी 2;
• कर्ण AC = 10 सेमी, पैर AC = 4 सेमी, BC = 9.165 सेमी, क्षेत्रफल S = 0.5 4 9.165 = 18.33 सेमी 2.

कर्ण की लंबाई के अलावा, एक त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, या तो पैरों में से एक की लंबाई, या तीव्र कोणों में से एक का मान जानना आवश्यक है।

कर्ण और पैरों में से एक द्वारा एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का निर्धारण ऊपर चर्चा की गई है।

कर्ण और कोण दिए गए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

कर्ण की लंबाई और उसके तीव्र कोणों में से एक के मूल्य को जानने के बाद, कोई भी दोनों पैरों की लंबाई पा सकता है - इस तीव्र कोण के निकट और इस कोण से विपरीत। इसके अलावा, दोनों पैरों की लंबाई जानकर, त्रिभुज का क्षेत्रफल आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

स्रोत:

• पी.एफ. फिल्चाकोव। प्राथमिक गणित की हैंडबुक। - के।: नौकोवा दुमका, 1967. - 442 पी।
• एम.या. वायगोडस्की। प्राथमिक गणित की हैंडबुक। - एम।: तकनीकी और सैद्धांतिक साहित्य का राज्य प्रकाशन गृह। - 412 पी।
• ई खलेबलिना। सार्वभौमिक स्कूल विश्वकोश. 2 वॉल्यूम में। वॉल्यूम 2 ​​(एम - जेड)। - एम .: अवंता +, 2003। - 592 पी।

विचाराधीन त्रिभुज एबीसी, जिसमें कोण सी- सीधा।

समकोण से सटे इस त्रिभुज की भुजाएँ (अर्थात। भुजाएँ AC और BC) कहा जाता है पैर, और समकोण के विपरीत पक्ष (अर्थात। साइड एबी) — कर्ण.

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि टाँगें ज्ञात हों

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है।

उदाहरण।

एक त्रिभुज ABC (कोण C \u003d 90º) में, पैर AC 5 सेमी है, और पैर BC 3 सेमी है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल है:

एस एबीसी \u003d 0.5 5 3 \u003d 7.5 सेमी 2।

त्रिभुज MNP में (कोण N = 90º) लेग PN 102 मिमी और लेग MN 76 मिमी है। त्रिभुज MNP का क्षेत्रफल है:

एस एबीसी \u003d 0.5 102 76 \u003d 3876 मिमी 2।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि दो भुजाएँ ज्ञात हों

यह पता लगाना आवश्यक है कि समकोण त्रिभुज की कौन सी विशेष भुजाएँ ज्ञात हैं: दो पैर या कर्ण और एक पैर, क्योंकि दृष्टिकोण बिल्कुल अलग होगा। वह मामला जब दो पैरों की लंबाई ज्ञात हो, ऊपर माना जाता है। नीचे हम उस मामले पर विचार करते हैं जब कर्ण और पैरों में से एक की लंबाई ज्ञात होती है।

पैर और कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

समाधान क्रम इस प्रकार है:

1. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, आपको दूसरे चरण की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता है;
2. आपको एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है जिसमें दो टाँगें दी गई हैं।

उदाहरण।

त्रिभुज ABC (कोण C \u003d 90º) में, पैर AC 6 सेमी है, और कर्ण AB 9.22 सेमी है। दूसरे पैर की लंबाई है

ईसा पूर्व \u003d जड़ (9.22 2 - 6 2) \u003d 7 सेमी।

अब, दो ज्ञात पैरों (AC \u003d 6 सेमी, BC \u003d 7 सेमी) का उपयोग करके, आप एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित कर सकते हैं:

एस एबीसी \u003d 0.5 6 7 \u003d 21 सेमी 2।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि कर्ण ज्ञात हो

किसी त्रिभुज के कर्ण की लंबाई जानकर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करना असंभव है, क्योंकि कर्ण विशिष्ट रूप से एक समकोण त्रिभुज को परिभाषित नहीं करता है। आखिरकार, कई त्रिकोणों में कर्ण की लंबाई समान हो सकती है, लेकिन पैरों की पूरी तरह से अलग लंबाई और, तदनुसार, विभिन्न क्षेत्र।

उदाहरण के लिए:

• कर्ण एसी = 10 सेमी, पैर एसी = 6 सेमी, बीसी = 8 सेमी, क्षेत्र एस = 0.5 6 8 = 24 सेमी 2;
• कर्ण एसी = 10 सेमी, पैर एसी = 5 सेमी, बीसी = 8.66 सेमी, क्षेत्र एस = 0.5 5 8.66 = 21.65 सेमी 2;
• कर्ण AC = 10 सेमी, पैर AC = 4 सेमी, BC = 9.165 सेमी, क्षेत्रफल S = 0.5 4 9.165 = 18.33 सेमी 2.

कर्ण की लंबाई के अलावा, एक त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, या तो पैरों में से एक की लंबाई, या तीव्र कोणों में से एक का मान जानना आवश्यक है।

कर्ण और पैरों में से एक द्वारा एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का निर्धारण ऊपर चर्चा की गई है।

कर्ण और कोण दिए गए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

कर्ण की लंबाई और उसके तीव्र कोणों में से एक के मूल्य को जानने के बाद, कोई भी दोनों पैरों की लंबाई पा सकता है - इस तीव्र कोण के निकट और इस कोण से विपरीत। इसके अलावा, दोनों पैरों की लंबाई जानकर, त्रिभुज का क्षेत्रफल आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

स्रोत:

• पी.एफ. फिल्चाकोव। प्राथमिक गणित की हैंडबुक। - के।: नौकोवा दुमका, 1967. - 442 पी।
• एम.या. वायगोडस्की। प्राथमिक गणित की हैंडबुक। - एम।: तकनीकी और सैद्धांतिक साहित्य का राज्य प्रकाशन गृह। - 412 पी।
• ई खलेबलिना। यूनिवर्सल स्कूल इनसाइक्लोपीडिया। 2 वॉल्यूम में। वॉल्यूम 2 ​​(एम - जेड)। - एम .: अवंता +, 2003। - 592 पी।

अनुदेश

कार्य 1।
एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि एक पैर की लंबाई दूसरे की लंबाई से 1 सेमी अधिक है, और त्रिभुज का क्षेत्रफल 28 सेमी है।

समाधान।
मूल क्षेत्र सूत्र S = (a*b)/2 = 28 लिखें। यह ज्ञात है कि b = a + 1, इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 28 = (a*(a+1))/2.
कोष्ठक खोलें, प्राप्त करें द्विघात समीकरणएक अज्ञात a^2 + a - 56 = 0 के साथ।
इस समीकरण की जड़ें खोजें, जिसके लिए विभेदक D = 1 + 224 = 225 की गणना करें। समीकरण के दो समाधान हैं: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 और a_2 = (-1 - √225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8।
दूसरी जड़ का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि खंड की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है, इसलिए a = 7 (सेमी)।
दूसरे पैर b = a + 1 = 8 (सेमी) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
यह तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करना बाकी है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एक समकोण त्रिभुज के लिए c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, इसलिए c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (सेमी)।

कार्य 2.
एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रफल 14 सेमी और कोण ACB 30° है।

समाधान।
मूल सूत्र S = (a*b)/2 = 14 लिखिए।
अब एक समकोण त्रिभुज के गुण के अनुसार कर्ण और त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल के माध्यम से पैरों की लंबाई को व्यक्त करें:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) 0.87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0.5*c.

प्राप्त मूल्यों को क्षेत्र सूत्र में बदलें:
14 = (0.87*0.5*c^2)/2, जहां से:
28 0.435*s^2 → c = √64.4 ≈ 8 (सेमी)।
आपने कर्ण की लंबाई ज्ञात कर ली है, अब अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए:
ए = 0.87*सी = 0.87*8 ≈ 7 (सेमी), बी = 0.5*सी = 0.5*8 = 4 (सेमी)।

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सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। पैर एक समकोण त्रिभुज की भुजा कहलाती है, जो समकोण से सटी होती है (अर्थात यह दूसरी भुजा से 90 डिग्री का कोण बनाती है)। हम पैरों की लंबाई a और b को निरूपित करने के लिए सहमत होंगे। पैरों के विपरीत समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का मान क्रमशः A और B कहलाएगा। कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत है (अर्थात विपरीत .) समकोण, त्रिभुज की अन्य भुजाओं के साथ न्यून कोण बनाता है)। आइए हम कर्ण की लंबाई को s से निरूपित करें। आवश्यक क्षेत्र को S से निरूपित करें।

अनुदेश

c कर्ण की लंबाई है (समकोण के विपरीत पक्ष);

ए, बी पैरों की लंबाई है (समकोण से सटे पक्ष);

ए पैर ए के विपरीत कोण है;

बी पैर बी के विपरीत कोण है।

यदि आपको तीव्र कोणों में से एक दिया गया है, उदाहरण के लिए, ए, और कर्ण, तो पैर मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं से पाए जा सकते हैं:

ए = सी * पाप (ए), बी = सी * क्योंकि (ए)।

यदि एक तीव्र कोण दिया गया है, उदाहरण के लिए, ए, और पैरों में से एक, उदाहरण के लिए, ए, तो कर्ण और दूसरे पैर की गणना संबंधों से की जाती है: b=a*tg(A), c=a *पाप (ए)।

उपयोगी सलाह

इस घटना में कि आप गणना के लिए आवश्यक कोणों में से किसी एक के साइन या कोसाइन का मूल्य नहीं जानते हैं, आप ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं, वे त्रिकोणमितीय कार्यों के मान प्रदान करते हैं एक बड़ी संख्या मेंकोने। इसके अलावा, अधिकांश आधुनिक कैलकुलेटर कोणों की साइन और कोसाइन की गणना करने में सक्षम हैं।

स्रोत:

• 2017 में एक समकोण त्रिभुज की भुजा की गणना कैसे करें

टिप 4: समकोण त्रिभुज का आधार कैसे ज्ञात करें

एक समकोण त्रिभुज के रूप में ऐसी आकृति में, एक दूसरे के सापेक्ष पक्षों का स्पष्ट अनुपात अनिवार्य रूप से होता है। उनमें से दो को जानने के बाद, आप हमेशा तीसरे को खोज सकते हैं। यह कैसे किया जा सकता है, आप नीचे दिए गए निर्देशों से सीखेंगे।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर।

अनुदेश

दोनों पैरों को चौकोर करें, और फिर उन्हें एक साथ जोड़ें a2 + b2। परिणाम कर्ण है ( आधार) वर्ग c2 में। अगला, आपको बस अंतिम संख्या की जड़ लेने की जरूरत है, और कर्ण पाया जाता है। यह विधिव्यवहार में उपयोग करने के लिए सबसे सरल और सबसे सुविधाजनक है। पार्टियों को खोजने की प्रक्रिया में मुख्य बात त्रिकोणइस प्रकार - सबसे आम गलती से बचने के लिए प्रारंभिक परिणाम से जड़ निकालना न भूलें। सूत्र दुनिया में सबसे प्रसिद्ध पायथागॉरियन प्रमेय के लिए धन्यवाद प्राप्त किया गया था, जो सभी स्रोतों में इस तरह दिखता है: a2+b2 = c2।

एक पैर a को उसके विपरीत कोण sin α की ज्या से विभाजित करें। यदि स्थिति में भुजाओं और ज्याओं का पता चल जाता है, तो कर्ण ज्ञात करने का यह विकल्प सर्वाधिक स्वीकार्य होगा। इस मामले में सूत्र का एक बहुत ही सरल रूप होगा: c=a/sin α। सभी गणनाओं से सावधान रहें।

एक को दो से गुणा करें। कर्ण की गणना की गई है। हमें जिस पक्ष की आवश्यकता है उसे खोजने का शायद यह सबसे प्राथमिक तरीका है। लेकिन, दुर्भाग्य से, इस पद्धति का उपयोग केवल एक मामले में किया जाता है - यदि कोई पक्ष है जो कोण के विपरीत एक डिग्री माप में संख्या तीस के बराबर है। यदि कोई है, तो आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि यह हमेशा कर्ण का आधा होगा। तदनुसार, आपको बस इसे दोगुना करना है और उत्तर तैयार है।

पैर a को कोण cos α की कोज्या से विभाजित करें जो इससे सटे हों। यह विधि केवल तभी उपयुक्त है जब आप पैरों में से एक और उससे सटे कोण के कोसाइन को जानते हों। यह विधि पहले आपके सामने प्रस्तुत की गई विधि से मिलती-जुलती है, जिसमें पैर का भी उपयोग किया जाता है, लेकिन कोसाइन के बजाय, विपरीत कोण की ज्या। केवल यहाँ इस मामले में सूत्र थोड़ा अलग संशोधित होगा दिखावट: с=a/ cos α. बस इतना ही।

सलाह 5: यदि एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात हों तो कोण कैसे ज्ञात करें?

ट्रे वर्ग, जिनमें से एक कोण समकोण (90 ° के बराबर) होता है, समकोण कहलाता है। इसकी सबसे लंबी भुजा हमेशा समकोण के विपरीत होती है और इसे कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पक्षोंस्केट्स कहलाते हैं। यदि इन तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो त्रिभुज के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए वर्गऔर मुश्किल नहीं है, क्योंकि वास्तव में आपको केवल एक कोण की गणना करने की आवश्यकता है। यह कई मायनों में किया जा सकता है।

अनुदेश

एक आयताकार त्रिभुज के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं (α, β, ) के मूल्यों की गणना करने के लिए उपयोग करें वर्ग. इस तरह की परिभाषा, उदाहरण के लिए, एक तीव्र कोण की साइन के लिए विपरीत पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में तैयार की जाती है। इसलिए, यदि पैरों की लंबाई (ए और बी) और कर्ण (सी) ज्ञात हैं, तो आप उदाहरण के लिए, कोण α की साइन पा सकते हैं, जो लंबाई को विभाजित करके पैर ए के विपरीत स्थित है। पक्षोंऔर लंबाई के लिए पक्षोंसी (कर्ण): पाप (α) = ए / सी। इस कोण की ज्या का मान जानने के बाद, आप साइन के व्युत्क्रम फलन - आर्क्सिन का उपयोग करके इसका मान डिग्री में पा सकते हैं। अर्थात्, α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C)। इसी तरह, आप त्रिभुज में एक और न्यून कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं वर्गई, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। चूँकि सभी कोणों का योग है वर्ग a हमेशा 180° होता है, और एक आयताकार त्रिभुज में वर्गयदि इनमें से एक कोण 90° के बराबर है, तो तीसरे कोण के मान की गणना 90° और पाए गए कोण के मान के बीच के अंतर के रूप में की जा सकती है: β=180°-90°-α=90°-α.

ज्या को परिभाषित करने के बजाय, आप एक न्यून कोण की कोज्या की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं, जिसे वांछित कोण से सटे पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में तैयार किया जाता है: cos(α)=B/ सी। और यहां, कोण के मान को डिग्री में खोजने के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (arccosine) का उपयोग करें: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C)। उसके बाद, पिछले चरण की तरह, लापता कोण का मान ज्ञात करना बाकी है: β=90°-α।

आप स्पर्शरेखा की एक समान परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं - यह वांछित कोण के विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात से आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है: tg(α)=A/B। डिग्री में कोण का मान फिर से व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के माध्यम से निर्धारित किया जाता है - चाप स्पर्शरेखा: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B)। लापता कोण सूत्र अपरिवर्तित रहेगा: β=90°-α.

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टिप 6: समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई कैसे ज्ञात करें

एक त्रिभुज को एक समकोण त्रिभुज माना जाता है यदि उसका एक कोना समकोण हो। पक्ष त्रिकोणसमकोण के विपरीत स्थित को कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पक्षों- कैथेटर। एक आयत की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए त्रिकोण, कई तरह से इस्तेमाल किया जा सकता है।

अनुदेश

1. दो पैरों के मान ज्ञात हैं

इस मामले में, एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
एस = 0.5ab

2. एक पैर और कर्ण ज्ञात हैं

ऐसी परिस्थितियों में, पाइथागोरस प्रमेय और उपरोक्त सूत्र का उपयोग करना सबसे तर्कसंगत है:
एस = 0.5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
जहां sqrt है वर्गमूल, c^2-a^2 - कर्ण और पैर के वर्ग के अंतर को दर्शाते हुए कट्टरपंथी अभिव्यक्ति।

3. त्रिभुज की सभी भुजाओं का मान दिया गया है

ऐसी समस्याओं के लिए, आप बगुला सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
एस = (पी-ए) (पी-बी),
जहाँ p अर्ध-परिधि है, जो निम्नलिखित व्यंजक द्वारा पाया जाता है: p = 0.5∙ (a+b+c)

4. एक पैर और कोण ज्ञात हैं

यहां यह त्रिकोणमितीय कार्यों की ओर मुड़ने लायक है। उदाहरण के लिए, tg(1) = 1/сtg(1) = b/a. यही है, इस अनुपात के लिए धन्यवाद, अज्ञात पैर का मूल्य निर्धारित करना संभव है। फिर समस्या पहले बिंदु तक कम हो जाती है।

समकोण त्रिभुज किसे कहते हैं?

त्रिभुज कई प्रकार के होते हैं। कुछ में सभी नुकीले कोने होते हैं, अन्य में एक अधिक नुकीला और दो नुकीला होता है, और अन्य में दो नुकीले और एक सीधे होते हैं। इस आधार पर, इनमें से प्रत्येक प्रकार ज्यामितीय आकारऔर नाम प्राप्त किया: तीव्र-कोण, अधिक-कोण और आयताकार। यानी एक त्रिभुज समकोण त्रिभुज कहलाता है, जिसमें एक कोण 90° का होता है। पहली के समान एक और परिभाषा है। एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ लंबवत होती हैं।

कर्ण और पैर

न्यून और अधिक त्रिभुज में, कोणों के शीर्षों को जोड़ने वाले खंडों को केवल भुजाएँ कहते हैं। एक आयताकार त्रिभुज की भुजाओं के अन्य नाम होते हैं। जो समकोण से सटे होते हैं उन्हें पैर कहा जाता है। समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है। ग्रीक से अनुवादित, "कर्ण" शब्द का अर्थ है "विस्तारित", और "पैर" - "लंबवत"।

कर्ण और पैरों के बीच संबंध

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कुछ निश्चित अनुपातों से परस्पर जुड़ी होती हैं, जो गणनाओं को बहुत सुविधाजनक बनाती हैं। उदाहरण के लिए, पैरों के आयामों को जानकर, आप कर्ण की लंबाई की गणना कर सकते हैं। इसे खोजने वाले गणितज्ञ के नाम पर रखा गया यह अनुपात पाइथागोरस प्रमेय कहलाता है और यह इस तरह दिखता है:

c2=a2+b2, जहां c कर्ण है, a और b पैर हैं। यानी कर्ण पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होगा। किसी भी पैर को खोजने के लिए, दूसरे पैर के वर्ग को कर्ण के वर्ग से घटाना और परिणामी अंतर से वर्गमूल निकालना पर्याप्त है।

आसन्न और विपरीत पैर

एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। अक्षर C का उपयोग समकोण के शीर्ष को निरूपित करने के लिए किया जाता है, A और B न्यून कोणों के शीर्ष हैं। प्रत्येक कोने के सामने की भुजाओं को उनके सम्मुख कोणों के नाम पर सुविधाजनक रूप से a, b और c कहा जाता है। कोण ए पर विचार करें। इसके लिए पैर ए विपरीत होगा, पैर बी - आसन्न। कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात को ज्या कहा जाता है। इस त्रिकोणमितीय फलन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: sinA=a/c. आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात को कोसाइन कहा जाता है। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: cosA=b/c.

इस प्रकार, कोण और एक भुजा को जानकर, इन सूत्रों का उपयोग करके दूसरी भुजा की गणना करना संभव है। दोनों पैर त्रिकोणमितीय संबंधों से भी जुड़े हुए हैं। आसन्न के विपरीत के अनुपात को स्पर्शरेखा कहा जाता है, और आसन्न के विपरीत के अनुपात को कोटैंजेंट कहा जाता है। इन अनुपातों को सूत्रों tgA=a/b या ctgA=b/a द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

त्रिभुज के प्रकार के आधार पर इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई विकल्प हैं। उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र S = a * b / 2 का उपयोग किया जाता है, जहाँ a और b उसके पैर होते हैं। यदि आप क्षेत्र जानना चाहते हैं समद्विबाहु त्रिकोण, तो इसके आधार और ऊंचाई के उत्पाद को दो से विभाजित करना आवश्यक है। अर्थात्, S= b*h/2, जहाँ b त्रिभुज का आधार है और h इसकी ऊँचाई है।

इसके बाद, आपको समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है। यहां निम्नलिखित सूत्र बचाव के लिए आता है: एस = ए * ए / 2, जहां पैर "ए" और "ए" आवश्यक रूप से समान मूल्यों के साथ होने चाहिए।

इसके अलावा, हमें अक्सर क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता होती है समभुज त्रिकोण. यह सूत्र द्वारा पाया जाता है: S= a * h/2, जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, और h इसकी ऊँचाई है। या इस सूत्र के अनुसार: S= √3/4 *a^2, जहाँ a भुजा है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

आपको एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, लेकिन साथ ही, समस्या की स्थितियाँ इसके दो पैरों के आयामों को एक साथ नहीं दर्शाती हैं? तब हम इस सूत्र (S= a * b/2) का सीधे प्रयोग नहीं कर पाएंगे।

कुछ पर विचार करें विकल्पसमाधान:

• यदि आप एक पैर की लंबाई नहीं जानते हैं, लेकिन कर्ण और दूसरे पैर के आयाम दिए गए हैं, तो हम महान पाइथागोरस की ओर मुड़ते हैं और, उनके प्रमेय के अनुसार (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 ), अज्ञात पैर की लंबाई की गणना करें, फिर इसका उपयोग त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने के लिए करें।
• यदि एक पैर की लंबाई और उसके विपरीत कोण का डिग्री ढलान दिया जाता है: हम सूत्र का उपयोग करके दूसरे पैर की लंबाई पाते हैं - a=b*ctg(C)।
• दिया गया है: एक पैर की लंबाई और उसके बगल के कोण की डिग्री ढलान: दूसरे पैर की लंबाई खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं - a=b*tg(C)।
• और अंत में, दिया गया: कर्ण का कोण और लंबाई: हम इसके दोनों पैरों की लंबाई की गणना निम्न सूत्रों के अनुसार करते हैं - b=c*sin(C) और a=c*cos(C)।

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्र सूत्र S \u003d b * h / 2 का उपयोग करके बहुत आसानी से और जल्दी से पाया जा सकता है, लेकिन, किसी एक संकेतक की अनुपस्थिति में, कार्य बहुत अधिक जटिल हो जाता है। आखिरकार, अतिरिक्त कदम उठाने की जरूरत है।

संभावित कार्य विकल्प:

• दिया गया है: एक भुजा की लंबाई और आधार की लंबाई। हम पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से ऊंचाई, यानी दूसरे पैर की लंबाई पाते हैं। बशर्ते कि आधार की लंबाई, दो से विभाजित, पैर है, और प्रारंभिक ज्ञात पक्ष कर्ण है।
• दिया गया है: आधार और भुजा और आधार के बीच का कोण। सूत्र h=c*ctg(B)/2 का उपयोग करके ऊंचाई की गणना करें ("सी" पक्ष को दो से विभाजित करना न भूलें)।
• दिया गया है: ऊंचाई और कोण जो आधार और भुजा द्वारा बनाया गया था: ऊंचाई खोजने के लिए सूत्र c=h*tg(B)*2 का उपयोग करें, और परिणाम को दो से गुणा करें। अगला, हम क्षेत्र की गणना करते हैं।
• ज्ञात: भुजा की लंबाई और उसके बीच का कोण और ऊँचाई। हल: आधार और ऊँचाई ज्ञात करने के लिए सूत्रों - c=a*sin(C)*2 और h=a*cos(C) का उपयोग करें, जिसके बाद हम क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

यदि सभी डेटा ज्ञात हैं, तो मानक सूत्र S = a * a / 2 का उपयोग करके हम समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करते हैं, लेकिन यदि कार्य में कुछ संकेतक इंगित नहीं किए जाते हैं, तो अतिरिक्त क्रियाएं की जाती हैं।

उदाहरण के लिए: हम दोनों पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं (हमें याद है कि एक समद्विबाहु में सही त्रिकोणवे बराबर हैं), लेकिन कर्ण की लंबाई दी गई है। आइए पाइथागोरस प्रमेय को समान पक्षों "ए" और "ए" को खोजने के लिए लागू करें। पाइथागोरस सूत्र: a^2+b^2=c^2. समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में, इसे इसमें परिवर्तित किया जाता है: 2a^2 = c^2। यह पता चला है कि पैर "ए" को खोजने के लिए, आपको कर्ण की लंबाई को 2 की जड़ से विभाजित करने की आवश्यकता है। समाधान का परिणाम समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के दोनों पैरों की लंबाई होगी। अगला, क्षेत्र खोजें।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

सूत्र S= √3/4*a^2 का उपयोग करके, आप आसानी से एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। यदि त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: S= 3√3/4*R^2, जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है।

यदि, समस्या की स्थिति के अनुसार, अंकित वृत्त की त्रिज्या दी गई है, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S= 3√3*r^2, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

इसके अलावा, यदि हम इस सूत्र से शुरू करते हैं - एस = ए * एच/2, तो समस्या में अज्ञात संकेतक ऊंचाई एच हो सकता है, इसे खोजने के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें। फिर त्रिभुज की ऊंचाई पैर होगी, इसका पार्श्व पक्ष कर्ण होगा, और जिस पक्ष की ऊंचाई जारी की गई है उसका आधा दूसरा पैर होगा। यदि एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हों, तो ऊँचाई ज्ञात करना कठिन नहीं होगा। उसके बाद, हम सूत्र S \u003d a * h / 2 के अनुसार क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

वीडियो त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें: