एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के लक्षण। ज्यामितीय आंकड़े

परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड मात्राआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व पसलियाँ समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।

पार्श्व पसलियाँ तब समान होती हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं, या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पक्ष के चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों में एक ही द्विफलक (सपाट) कोण होते हैं।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।

किसी भी त्रिभुज के आसपास या सही पिरामिडकोई हमेशा एक क्षेत्र का वर्णन कर सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

शंकु के साथ पिरामिड का संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।

एक शंकु को एक पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।

पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)- यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर एक सेक्शन प्लेन के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े के समान होता है। पार्श्व चेहरे ट्रेपेज़ॉइड हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)- यह एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।

एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होकर 3: 1 के अनुपात में होते हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिड एक पिरामिड है जिसमें किनारों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- चारों चेहरों वाला एक चतुष्फलक - समबाहु त्रिभुज. यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (एक शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोटेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार होता है सही त्रिकोण. ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), जिसमें एक सामान्य आधार होता है, और कोने बेस प्लेन के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

परिभाषा

पिरामिडएक बहुभुज से बना एक बहुभुज है \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिभुज बहुभुज।
पद: \(PA_1A_2...A_n\) ।
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) ।

त्रिभुज \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) आदि। बुलाया साइड फेसपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। - पार्श्व पसलियां, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - आधार, बिंदु \(P\) - बैठक.

कदपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिराए गए लंबवत हैं।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

\((a)\) पिरामिड के किनारे बराबर हैं;

\((b)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;

\((c)\) पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।

\((d)\) पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुके होते हैं।

नियमित चतुष्फलकएक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

शर्तें \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।

सबूत

पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई बनाएं। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम सिद्ध करें कि \((a)\) का अर्थ \((b)\) है। चलो \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

इसलिये \(PH\perp \alpha\) , तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत है, इसलिए त्रिभुज समकोण हैं। तो ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पैर \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। तो \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) । इसका अर्थ है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। यह वृत्त, परिभाषा के अनुसार, बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिबद्ध है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) से है।

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों में बराबर। अत: उनके कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).

3) आइए हम सिद्ध करें कि \((c)\) का अर्थ है \((a)\) ।

पहले बिंदु के समान, त्रिभुज \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और पैर के साथ और तेज़ कोने. इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

4) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का अर्थ \((d)\) है।

इसलिये एक नियमित बहुभुज में, परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं (आमतौर पर, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदा हुआ वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार, (\(PH\) विमान के लिए लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि पक्षों के लंबवत अनुमान हैं) तिरछा \(PK_1, PK_2\), आदि। पक्षों के लंबवत \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)भुजाओं के फलकों और आधार के बीच के कोणों के बराबर। इसलिये त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (जैसा कि दो पैरों पर समकोण है), फिर कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।

5) आइए हम सिद्ध करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) से है।

इसी तरह चौथे बिंदु के लिए, त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर और न्यून कोण के साथ आयताकार), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) बराबर हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित एक वृत्त का केंद्र है। लेकिन जबसे नियमित बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। छत्तीसगढ़

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, कहलाती है एपोथेमा.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और माध्यिका और द्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई आधार की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकारयदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड के लिए, आधार से लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \(SR\) ऊँचाई है।

2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत, तब \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\) – समकोण त्रिभुज.

3. त्रिभुज \(\triangle SRN, \triangle SRK\)आयताकार भी हैं।
यानी इस किनारे से बनने वाला कोई भी त्रिभुज और इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण, जो आधार पर स्थित है, समकोण होगा।

\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है: \

परिणाम

मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(दायां त्रिभुज pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन है \(V_(\text(दाएं टेट्रा.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(छोटा पिरामिड)))\]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के किनारे के किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह तल पिरामिड को दो बहुफलकों में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड है (\(PB_1B_2...B_n\) ), और दूसरे को कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\))।

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) , जो एक दूसरे के समान हैं।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई किसी बिंदु से खींचा गया लंबवत है शीर्ष आधारनीचे के विमान तक।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के एक खंड द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड एक ऊंचाई है।

समन्वय विधि का उपयोग करके समस्या C2 को हल करते समय, कई छात्रों को एक ही समस्या का सामना करना पड़ता है। वे गणना नहीं कर सकते बिंदु निर्देशांकसूत्र में शामिल डॉट उत्पाद. सबसे बड़ी मुश्किलें हैं पिरामिड. और अगर आधार बिंदुओं को कम या ज्यादा सामान्य माना जाता है, तो सबसे ऊपर एक वास्तविक नरक है।

आज हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के बारे में बात करेंगे। एक त्रिकोणीय पिरामिड भी है (उर्फ - चतुर्पाश्वीय) यह एक अधिक जटिल डिजाइन है, इसलिए इसके लिए एक अलग पाठ समर्पित किया जाएगा।

आइए परिभाषा के साथ शुरू करें:

एक नियमित पिरामिड वह होता है जिसमें:

1. आधार एक नियमित बहुभुज है: त्रिभुज, वर्ग, आदि;
2. आधार तक खींची गई ऊंचाई इसके केंद्र से होकर गुजरती है।

विशेष रूप से, एक चतुर्भुज पिरामिड का आधार है वर्ग. चेप्स की तरह, केवल थोड़ा छोटा।

नीचे 1 के बराबर सभी किनारों वाले पिरामिड के लिए गणनाएँ दी गई हैं। यदि आपकी समस्या में ऐसा नहीं है, तो गणनाएँ नहीं बदलती हैं - बस संख्याएँ भिन्न होंगी।

चतुर्भुज पिरामिड के शीर्ष

तो, सही होने दें चतुर्भुज पिरामिड SABCD, जहाँ S सबसे ऊपर है, ABCD का आधार वर्ग है। सभी किनारे 1 के बराबर हैं। यह एक समन्वय प्रणाली में प्रवेश करने और सभी बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए आवश्यक है। हमारे पास है:

हम बिंदु ए पर मूल के साथ एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं:

1. अक्ष OX को किनारे AB के समानांतर निर्देशित किया जाता है;
2. अक्ष ओए - AD के समानांतर। चूँकि ABCD एक वर्ग है, AB AD;
3. अंत में, OZ अक्ष को समतल ABCD के लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।

अब हम निर्देशांक पर विचार करते हैं। अतिरिक्त निर्माण: एसएच - आधार पर खींची गई ऊंचाई। सुविधा के लिए हम पिरामिड के आधार को एक अलग आकृति में निकालेंगे। चूँकि बिंदु A , B , C और D OXY तल में स्थित हैं, उनका निर्देशांक z = 0 है। हमारे पास है:

1. ए = (0; 0; 0) - मूल के साथ मेल खाता है;
2. बी = (1; 0; 0) - मूल से ओएक्स अक्ष के साथ 1 कदम;
3. सी = (1; 1; 0) - ओएक्स अक्ष के साथ 1 और ओए अक्ष के साथ 1 से कदम;
4. डी = (0; 1; 0) - केवल ओए अक्ष के साथ कदम।
5. एच \u003d (0.5; 0.5; 0) - वर्ग का केंद्र, खंड एसी के मध्य।

यह बिंदु S के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है। ध्यान दें कि बिंदु S और H के x और y निर्देशांक समान हैं क्योंकि वे OZ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह बिंदु S के लिए z निर्देशांक ज्ञात करना बाकी है।

त्रिभुज एएसएच और एबीएच पर विचार करें:

1. एएस = एबी = 1 शर्त के अनुसार;
2. कोण AHS = AHB = 90° क्योंकि SH ऊँचाई है और AH HB वर्ग के विकर्णों के रूप में;
3. साइड एएच - आम।

इसलिए समकोण त्रिभुज ASH और ABH बराबरएक पैर और एक कर्ण। तो एसएच = बीएच = 0.5 बीडी। लेकिन BD 1 भुजा वाले वर्ग का विकर्ण है। इसलिए, हमारे पास है:

बिंदु S के कुल निर्देशांक:

अंत में, हम एक नियमित आयताकार पिरामिड के सभी शीर्षों के निर्देशांक लिखते हैं:

पसलियां अलग होने पर क्या करें

लेकिन क्या होगा अगर पिरामिड के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं हैं? इस मामले में, त्रिभुज AHS पर विचार करें:

त्रिभुज AHS- आयताकार, और कर्ण AS भी मूल पिरामिड SABCD का एक पार्श्व किनारा है। पैर एएच को आसानी से माना जाता है: एएच = 0.5 एसी। शेष पैर खोजें SH पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार. यह बिंदु S के लिए z निर्देशांक होगा।

एक कार्य। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD दिया गया है, जिसके आधार पर 1 भुजा वाला एक वर्ग है। किनारे का किनारा BS = 3. बिंदु S के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हम पहले से ही इस बिंदु के x और y निर्देशांक जानते हैं: x = y = 0.5। यह दो तथ्यों से होता है:

1. OXY तल पर बिंदु S का प्रक्षेपण बिंदु H है;
2. वहीं, बिंदु H वर्ग ABCD का केंद्र है, जिसकी सभी भुजाएं 1 के बराबर हैं।

यह बिंदु S के निर्देशांक को खोजने के लिए बनी हुई है। त्रिभुज AHS पर विचार करें। यह आयताकार है, कर्ण AS = BS = 3 के साथ, पैर AH आधा विकर्ण है। आगे की गणना के लिए, हमें इसकी लंबाई चाहिए:

त्रिभुज AHS के लिए पाइथागोरस प्रमेय: AH 2 + SH 2 = AS 2। हमारे पास है:

तो, बिंदु S के निर्देशांक:

• एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के बीच से उसके 1 हिस्से तक कम हो जाती है);
• साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सीएस , डी.एस. ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
• पिरामिड के ऊपर (वी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
• कद ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) एक बहुभुज है जिसमें पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी किनारों का आकार समान हो, तब:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अतिरिक्त, विलोम भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी किनारे समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ½ आधार की परिधि और पार्श्व फलक की ऊंचाई का गुणनफल है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक द्वितल कोणों के समद्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित किया गया है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।

यहां पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी एकत्र की गई है। उन सभी को परीक्षा की तैयारी के लिए गणित के ट्यूटर के साथ पढ़ाया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S इसमें नहीं पड़ा है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से कनेक्ट करें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिभुजाकार (n=3), चतुर्भुज (n=4), पंचकोणीय (n=5) आदि कहा जाता है। त्रिभुजाकार पिरामिड का वैकल्पिक नाम - चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार तल तक खींचा गया लंबवत है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

ट्यूटर की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणा को भ्रमित न करें। एक नियमित पिरामिड में, किनारे के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में, किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यह उसकी परिभाषा है। यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का तात्पर्य है कि बहुभुज का केंद्र P ऊंचाई के आधार के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोथेम क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो इसके सभी एपोथेम समान हैं। उलटा सच नहीं है।

उनकी शब्दावली के बारे में गणित शिक्षक: पिरामिड के साथ काम 80% दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से बनाया गया है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित के शिक्षक के लिए उनमें से पहले का नाम देना अधिक सुविधाजनक होता है एपोथेमिक, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा रूप से पेश करना होगा।

पिरामिड आयतन सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहाँ है, और पिरामिड की ऊँचाई है
2) , उत्कीर्ण गोले की त्रिज्या कहाँ है, और क्षेत्रफल है पूरी सतहपिरामिड।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों की दूरी है, और चार शेष किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

पिरामिड ऊंचाई आधार संपत्ति:

बिंदु P (आकृति देखें) पिरामिड के आधार पर उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोटेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई के समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पक्षों के लिए समान रूप से झुकी हुई है

गणित के शिक्षक की टिप्पणी: ध्यान दें कि सभी आइटम एक से एकजुट हैं सामान्य सम्पति: एक तरह से या किसी अन्य, पक्ष के चेहरे हर जगह भाग लेते हैं (एपोथेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, ट्यूटर याद करने के लिए कम सटीक, लेकिन अधिक सुविधाजनक फॉर्मूलेशन की पेशकश कर सकता है: बिंदु पी खुदा हुआ सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है, पिरामिड का आधार, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे साबित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेमिकल त्रिकोण बराबर हैं।

बिंदु P पिरामिड के आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है, यदि तीन में से एक स्थिति सत्य है:
1) सभी किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियां आधार की ओर समान रूप से झुकी हुई हैं
3) सभी पार्श्व पसलियाँ समान रूप से ऊँचाई की ओर झुकी होती हैं