प्रथम स्तर

पिरामिड। दृश्य गाइड (2019)

एक पिरामिड क्या है?

वह कैसी दिखती है?

आप देखते हैं: नीचे पिरामिड में (वे कहते हैं " बेस पर”) कुछ बहुभुज, और इस बहुभुज के सभी कोने अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़े हुए हैं (इस बिंदु को “कहा जाता है” शिखर»).

इस पूरी संरचना में है साइड फेस, पार्श्व पसलियांतथा आधार पसलियां. आइए एक बार फिर इन सभी नामों के साथ एक पिरामिड बनाएं:

कुछ पिरामिड बहुत अजीब लग सकते हैं, लेकिन वे अभी भी पिरामिड ही हैं।

यहाँ, उदाहरण के लिए, काफी "तिरछा" पिरामिड.

और नामों के बारे में थोड़ा और: यदि पिरामिड के आधार पर एक त्रिभुज है, तो पिरामिड को त्रिभुज कहा जाता है;

उसी समय, जिस बिंदु पर वह गिर गया कद, कहा जाता है ऊंचाई का आधार. ध्यान दें कि "कुटिल" पिरामिड में कदपिरामिड के बाहर भी हो सकता है। ऐशे ही:

और इसमें भयानक कुछ भी नहीं है। यह एक तिरछे त्रिभुज जैसा दिखता है।

सही पिरामिड।

बहुत सारे कठिन शब्द? आइए समझें: " आधार पर - सही"- यह समझ में आता है। और अब याद रखें कि एक नियमित बहुभुज का एक केंद्र होता है - एक बिंदु जो और का केंद्र होता है, तथा।

खैर, और शब्द "शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है" का अर्थ है कि ऊंचाई का आधार बिल्कुल आधार के केंद्र में पड़ता है। देखो कितनी चिकनी और प्यारी लग रही है दायां पिरामिड.

हेक्सागोनल: आधार पर - एक नियमित षट्भुज, शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

चौकोर: आधार पर - एक वर्ग, शीर्ष को इस वर्ग के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

त्रिकोणीय: आधार पर एक नियमित त्रिभुज है, शीर्ष को इस त्रिभुज की ऊंचाइयों (वे भी माध्यिका और समद्विभाजक हैं) के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

अत्यधिक महत्वपूर्ण गुण सही पिरामिड:

सही पिरामिड में

• सभी पार्श्व किनारे समान हैं।
• सभी तरफ किनारे समद्विबाहु त्रिभुजऔर ये सभी त्रिभुज बराबर हैं।

पिरामिड वॉल्यूम

पिरामिड के आयतन का मुख्य सूत्र:

यह बिल्कुल कहाँ से आया? यह इतना आसान नहीं है, और सबसे पहले आपको यह याद रखने की जरूरत है कि पिरामिड और शंकु में सूत्र में मात्रा होती है, लेकिन सिलेंडर नहीं होता है।

अब आइए सबसे लोकप्रिय पिरामिडों की मात्रा की गणना करें।

मान लें कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा बराबर है। मुझे खोजने की जरूरत है और।

यह एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

आइए याद करें कि इस क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" है - यह, और "" - यह भी, एह।

आइए अब ढूंढते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

क्या फर्क पड़ता है? यह परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है, क्योंकि पिरामिडसहीऔर इसलिए केंद्र।

चूँकि - प्रतिच्छेदन बिंदु और माध्यिका भी।

(पाइथागोरस प्रमेय के लिए)

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

आइए सब कुछ वॉल्यूम फॉर्मूला में प्लग करें:

ध्यान:यदि आपके पास नियमित टेट्राहेड्रोन (यानी) है, तो सूत्र है:

मान लें कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा बराबर है।

यहां खोजने की जरूरत नहीं है; क्योंकि आधार पर एक वर्ग है, और इसलिए।

हमे पता करने दें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

हम जानते हैं? लगभग। नज़र:

(हमने इसे समीक्षा करके देखा)।

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

और अब हम वॉल्यूम फॉर्मूला में स्थानापन्न करते हैं।

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को।

कैसे ढूंढें? देखिए, एक षट्भुज में ठीक छह समान नियमित त्रिभुज होते हैं। एक नियमित त्रिभुज के आयतन की गणना करते समय हमने पहले ही एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल खोज लिया है। त्रिकोणीय पिरामिड, यहां हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

अब आइए खोजें (यह)।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

लेकिन क्या फर्क पड़ता है? यह आसान है क्योंकि (और बाकी सभी भी) सही है।

हम स्थानापन्न करते हैं:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

पिरामिड। संक्षेप में मुख्य के बारे में

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें किसी भी फ्लैट बहुभुज (), एक बिंदु होता है जो आधार के तल (पिरामिड के शीर्ष) में नहीं होता है और पिरामिड के शीर्ष को आधार के बिंदुओं (साइड किनारों) से जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं )

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल पर गिरा एक लंबवत।

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित पिरामिड की संपत्ति:

• एक नियमित पिरामिड में, सभी किनारे बराबर होते हैं।
• सभी भुजा फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

ज्यामिति का अध्ययन करने से बहुत पहले छात्रों को पिरामिड की अवधारणा का पता चलता है। दुनिया के प्रसिद्ध महान मिस्र के अजूबों को दोष दें। इसलिए, इस अद्भुत पॉलीहेड्रॉन का अध्ययन शुरू करते हुए, अधिकांश छात्र पहले से ही इसकी स्पष्ट रूप से कल्पना करते हैं। उपरोक्त सभी जगहें सही आकार में हैं। क्या दायां पिरामिड, और इसके क्या गुण हैं और इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

संपर्क में

परिभाषा

पिरामिड की कई परिभाषाएँ हैं। प्राचीन काल से, यह बहुत लोकप्रिय रहा है।

उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने इसे एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित किया, जिसमें समतल होते हैं, जो एक से शुरू होकर एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण करते हैं।

बगुला ने अधिक सटीक सूत्रीकरण प्रदान किया। उन्होंने जोर देकर कहा कि यह एक आंकड़ा था कि त्रिभुज के रूप में एक आधार और तल है,एक बिंदु पर अभिसरण।

आधुनिक व्याख्या के आधार पर, पिरामिड को एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें एक निश्चित के-गॉन और के फ्लैट त्रिकोणीय आंकड़े होते हैं जिनमें एक सामान्य बिंदु होता है।

आओ हम इसे नज़दीक से देखें, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं?

• k-gon को आकृति का आधार माना जाता है;
• 3-कोण वाली आकृतियाँ पार्श्व भाग की भुजाओं के रूप में उभरी हुई हैं;
• ऊपरी भाग, जिससे पार्श्व तत्व उत्पन्न होते हैं, शीर्ष कहलाता है;
• शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंडों को किनारे कहा जाता है;
• यदि एक सीधी रेखा को ऊपर से आकृति के तल तक 90 डिग्री के कोण पर उतारा जाता है, तो आंतरिक स्थान में संलग्न इसका भाग पिरामिड की ऊंचाई है;
• हमारे पॉलीहेड्रॉन के किनारे के किसी भी तत्व में, आप एक लंबवत खींच सकते हैं, जिसे एपोथेम कहा जाता है।

किनारों की संख्या की गणना सूत्र 2*k का उपयोग करके की जाती है, जहां k, k-गॉन की भुजाओं की संख्या है। एक पिरामिड जैसे बहुफलक के कितने फलक होते हैं, यह समीकरण k + 1 द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण!पिरामिड सही स्वरूपएक त्रिविमीय आकृति कहलाती है जिसका आधार तल समान भुजाओं वाला k-gon है।

मूल गुण

सही पिरामिड कई गुण हैंजो उसके लिए अद्वितीय हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

1. आधार सही रूप का एक आंकड़ा है।
2. पिरामिड के किनारों, पार्श्व तत्वों को सीमित करते हुए, समान संख्यात्मक मान होते हैं।
3. पार्श्व तत्व समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
4. आकृति की ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र में पड़ता है, जबकि यह एक साथ खुदा हुआ और वर्णित का केंद्रीय बिंदु है।
5. सभी पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।
6. आधार के संबंध में सभी पार्श्व सतहों का झुकाव कोण समान होता है।

सभी सूचीबद्ध गुणों के लिए धन्यवाद, तत्व गणना का प्रदर्शन बहुत सरल है। उपरोक्त गुणों के आधार पर, हम ध्यान देते हैं दो संकेत:

1. उस स्थिति में जब बहुभुज एक वृत्त में फिट हो जाता है, पार्श्व फलकों के आधार के साथ समान कोण होंगे।
2. बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते समय, शीर्ष से निकलने वाले पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई और आधार के साथ समान कोण होंगे।

वर्ग आधारित है

नियमित चतुर्भुज पिरामिड - एक वर्ग पर आधारित एक बहुफलक।

इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो दिखने में समद्विबाहु हैं।

एक समतल पर, एक वर्ग को दर्शाया गया है, लेकिन वे एक नियमित चतुर्भुज के सभी गुणों पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा को उसके विकर्ण से जोड़ना आवश्यक है, तो निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है: विकर्ण वर्ग की भुजा के गुणनफल के बराबर होता है और दो का वर्गमूल।

एक नियमित त्रिभुज पर आधारित

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसका आधार नियमित 3-गॉन होता है।

यदि आधार है सही त्रिकोण, और किनारे के किनारे आधार के किनारों के बराबर हैं, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाता है।

एक चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु 3-गॉन होते हैं। इस मामले में, आपको कुछ बिंदुओं को जानने की जरूरत है और गणना करते समय उन पर समय बर्बाद नहीं करना चाहिए:

• किसी भी आधार पर पसलियों के झुकाव का कोण 60 डिग्री है;
• सभी आंतरिक चेहरों का मान भी 60 डिग्री है;
• कोई भी चेहरा आधार के रूप में कार्य कर सकता है;
• आकृति के अंदर खींचे गए समान तत्व हैं।

एक बहुफलक के खंड

किसी भी बहुफलक में होते हैं कई प्रकार के खंडविमान। अक्सर एक स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में वे दो के साथ काम करते हैं:

• अक्षीय;
• समानांतर आधार।

एक पॉलीहेड्रॉन को एक विमान के साथ प्रतिच्छेद करके एक अक्षीय खंड प्राप्त किया जाता है जो शीर्ष, पार्श्व किनारों और अक्ष से गुजरता है। इस मामले में, अक्ष शीर्ष से खींची गई ऊंचाई है। काटने वाला विमान सभी चेहरों के साथ चौराहे की रेखाओं से सीमित होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिभुज होता है।

ध्यान!एक नियमित पिरामिड में, अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

यदि कटिंग प्लेन आधार के समानांतर चलता है, तो परिणाम दूसरा विकल्प है। इस मामले में, हमारे पास आधार के समान एक आकृति के संदर्भ में है।

उदाहरण के लिए, यदि आधार एक वर्ग है, तो आधार के समानांतर खंड भी एक वर्ग होगा, केवल छोटे आकार का।

इस स्थिति के तहत समस्याओं को हल करते समय, आंकड़ों की समानता के संकेतों और गुणों का उपयोग किया जाता है, थेल्स प्रमेय पर आधारित. सबसे पहले, समानता के गुणांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

यदि विमान को आधार के समानांतर खींचा जाता है, और यह पॉलीहेड्रॉन के ऊपरी हिस्से को काट देता है, तो निचले हिस्से में एक नियमित रूप से छोटा पिरामिड प्राप्त होता है। तब काटे गए बहुफलक के आधार समरूप बहुभुज कहलाते हैं। इस मामले में, पार्श्व फलक समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं। अक्षीय खंड भी समद्विबाहु है।

एक काटे गए पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, एक अक्षीय खंड में, यानी एक ट्रेपोजॉइड में ऊंचाई खींचना आवश्यक है।

सतह क्षेत्र

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हल की जाने वाली मुख्य ज्यामितीय समस्याएं हैं: एक पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करना।

सतह क्षेत्र दो प्रकार के होते हैं:

• पार्श्व तत्वों का क्षेत्र;
• संपूर्ण सतह क्षेत्र।

शीर्षक से ही स्पष्ट है कि यह किस बारे में है। पार्श्व सतहकेवल पार्श्व तत्व शामिल हैं। इससे यह इस प्रकार है कि इसे खोजने के लिए, आपको केवल पार्श्व विमानों के क्षेत्रों को जोड़ना होगा, यानी समद्विबाहु 3-गॉन के क्षेत्र। आइए पार्श्व तत्वों के क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें:

1. एक समद्विबाहु 3-गॉन का क्षेत्रफल Str=1/2(aL) है, जहां a आधार की भुजा है, L एपोथेम है।
2. पार्श्व तलों की संख्या आधार पर k-gon के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में चार पार्श्व तल होते हैं। इसलिए, चार अंकों के क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जाता है क्योंकि मान 4a=POS, जहाँ POS आधार की परिधि है। और व्यंजक 1/2 * रोसन इसकी अर्ध-परिधि है।
3. इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक नियमित पिरामिड के पार्श्व तत्वों का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के बराबर है: साइड \u003d रोसन * एल।

वर्ग पूरी सतहपिरामिड में पार्श्व विमानों और आधार के क्षेत्रों का योग होता है: Sp.p. = Sside + Sbase।

आधार के क्षेत्र के लिए, यहाँ सूत्र का उपयोग बहुभुज के प्रकार के अनुसार किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का आयतनआधार समतल क्षेत्र के गुणनफल और तीन से विभाजित ऊँचाई के बराबर है: V=1/3*Sbase*H, जहाँ H बहुफलक की ऊँचाई है।

ज्यामिति में एक नियमित पिरामिड क्या है

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के गुण

पिरामिड। छोटा पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है कद पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी पक्षों के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड के सभी किनारे आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- कद;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। कद काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और . के क्षेत्र निचला आधार;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- कद;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड सही है, इसका मतलब आधार पर है समभुज त्रिकोणऔर सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एकदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएतथा ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है एक. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी आधार भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलंब है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एकतथा बी (एक> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ए बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ए बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है

पिरामिड अवधारणा

परिभाषा 1

ज्यामितीय आकृति, एक बहुभुज और एक बिंदु जो बहुभुज के सभी शीर्षों से जुड़े इस बहुभुज वाले तल में नहीं होता है, पिरामिड कहलाता है (चित्र 1)।

जिस बहुभुज से पिरामिड बनाया गया है उसे पिरामिड का आधार कहा जाता है, बिंदु से जुड़ने से प्राप्त त्रिभुज पिरामिड के पार्श्व फलक होते हैं, त्रिभुज की भुजाएँ पिरामिड की भुजाएँ होती हैं, और बिंदु सभी के लिए समान होता है। त्रिभुज पिरामिड का शीर्ष है।

पिरामिड के प्रकार

पिरामिड के आधार पर कोनों की संख्या के आधार पर, इसे त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और इसी तरह कहा जा सकता है (चित्र 2)।

चित्र 2।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड एक नियमित पिरामिड है।

आइए हम एक नियमित पिरामिड के गुण का परिचय दें और उसे सिद्ध करें।

प्रमेय 1

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

एक नियमित $n-$गोनल पिरामिड पर विचार करें जिसमें शीर्ष $S$ ऊंचाई $h=SO$ है। आइए आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें (चित्र 4)।

चित्र 4

त्रिभुज $SOA$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं

जाहिर है, किसी भी साइड एज को इस तरह से परिभाषित किया जाएगा। इसलिए, सभी भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर होती हैं, अर्थात सभी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज होती हैं। आइए हम साबित करें कि वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि आधार एक नियमित बहुभुज है, सभी पक्षों के आधार एक दूसरे के बराबर हैं। नतीजतन, त्रिभुजों की समानता के III चिन्ह के अनुसार सभी भुजाएँ समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अब हम एक नियमित पिरामिड की अवधारणा से संबंधित निम्नलिखित परिभाषा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

एक नियमित पिरामिड का एपोथेम इसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।

जाहिर है, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी एपोथेम समान हैं।

प्रमेय 2

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधार के पक्ष को $a$ और एपोथेम को $d$ के रूप में निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक अन्य प्रकार का पिरामिड छोटा पिरामिड है।

परिभाषा 4

यदि एक साधारण पिरामिड के माध्यम से इसके आधार के समानांतर एक तल खींचा जाता है, तो इस तल और आधार के तल के बीच बनने वाली आकृति को काटे गए पिरामिड (चित्र 5) कहा जाता है।

चित्रा 5. छोटा पिरामिड

काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

प्रमेय 3

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र को आधारों और एपोथेम के अर्धवृत्ताकार योग के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधारों की भुजाओं को क्रमशः $a\ और\ b$ से और एपोथेम को $d$ से निरूपित करें। इसलिए, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है

चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं, तो

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कार्य उदाहरण

उदाहरण 1

एक काटे गए त्रिभुजाकार पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह एक नियमित पिरामिड से प्राप्त होता है जिसमें आधार पक्ष 4 और एपोथेम 5 पार्श्व चेहरों की मध्य रेखा से गुजरने वाले विमान द्वारा काटकर प्राप्त किया जाता है।

समाधान।

मध्य रेखा प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं कि काटे गए पिरामिड का ऊपरी आधार $4\cdot \frac(1)(2)=2$ के बराबर है, और एपोथेम $5\cdot \frac(1)( के बराबर है) 2)=2.5$।

तब, प्रमेय 3 से, हम प्राप्त करते हैं

परिभाषा

पिरामिडएक बहुभुज से बना एक बहुभुज है \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिभुज बहुभुज।
पद: \(PA_1A_2...A_n\) ।
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) ।

त्रिभुज \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) आदि। बुलाया साइड फेसपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। - पार्श्व पसलियां, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - आधार, बिंदु \(P\) - बैठक.

कदपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिराए गए लंबवत हैं।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

\((a)\) पिरामिड के किनारे बराबर हैं;

\((b)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;

\((c)\) पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।

\((d)\) पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुके होते हैं।

नियमित चतुष्फलकएक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

शर्तें \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।

सबूत

पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई बनाएं। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम सिद्ध करें कि \((a)\) का अर्थ \((b)\) है। चलो \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

इसलिये \(PH\perp \alpha\) , तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत है, इसलिए त्रिभुज समकोण हैं। तो ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पैर \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। तो \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) । इसका अर्थ है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। यह वृत्त, परिभाषा के अनुसार, बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिबद्ध है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) से है।

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों में बराबर। अत: उनके कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).

3) आइए हम सिद्ध करें कि \((c)\) का अर्थ है \((a)\) ।

पहले बिंदु के समान, त्रिभुज \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और पैर के साथ और तेज़ कोने. इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

4) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का अर्थ \((d)\) है।

इसलिये एक नियमित बहुभुज में, परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं (आमतौर पर, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदा हुआ वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार, (\(PH\) विमान के लिए लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि पक्षों के लंबवत अनुमान हैं) तिरछा \(PK_1, PK_2\), आदि। पक्षों के लंबवत \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)भुजाओं के फलकों और आधार के बीच के कोणों के बराबर। इसलिये त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (जैसा कि दो पैरों पर समकोण है), फिर कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।

5) आइए हम सिद्ध करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) से है।

इसी तरह चौथे बिंदु के लिए, त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर और न्यून कोण के साथ आयताकार के रूप में), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) बराबर हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित एक वृत्त का केंद्र है। लेकिन जबसे पर नियमित बहुभुजउत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। छत्तीसगढ़

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, कहलाती है एपोथेमा.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलकों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और माध्यिका और द्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई आधार की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकारयदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड के लिए, आधार से लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \(SR\) ऊँचाई है।

2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत, तब \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\)सही त्रिकोण हैं।

3. त्रिभुज \(\triangle SRN, \triangle SRK\)आयताकार भी हैं।
यानी इस किनारे से बनने वाला कोई भी त्रिभुज और इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण, जो आधार पर स्थित हो, समकोण होगा।

\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है: \

परिणाम

मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(दायां त्रिभुज pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन है \(V_(\text(दाएं टेट्रा.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(छोटा पिरामिड)))\]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के किनारे के किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह तल पिरामिड को दो बहुफलकों में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड है (\(PB_1B_2...B_n\) ), और दूसरे को कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\))।

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) , जो एक दूसरे के समान हैं।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई किसी बिंदु से खींचा गया लंबवत है ऊपरी आधारनीचे के विमान तक।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के एक खंड द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड एक ऊंचाई है।