घन के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल। घन का क्षेत्रफल और आयतन कैसे ज्ञात करें

क्यूब एक अद्भुत आकृति है। यह सब तरफ से समान है। इसका कोई भी फलक तुरन्त आधार या भुजा बन सकता है। और इससे कुछ नहीं बदलेगा। और उसके लिए सूत्र हमेशा याद रखने में आसान होते हैं। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपको क्या खोजना है - घन का आयतन या सतह क्षेत्र। बाद के मामले में, आपको कुछ नया सीखने की भी आवश्यकता नहीं है। एक वर्ग के क्षेत्रफल के लिए केवल सूत्र याद रखना पर्याप्त है।

एक क्षेत्र क्या है?

यह मान आमतौर पर दर्शाया जाता है लैटिन अक्षरएस। और यह भौतिकी और गणित जैसे स्कूली विषयों के लिए सच है। इसे लंबाई की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। यह सब समस्या में दी गई मात्रा पर निर्भर करता है। यह मिमी, सेमी, मी या किमी वर्ग हो सकता है। इसके अलावा, ऐसे मामले हैं जब इकाइयों को इंगित भी नहीं किया जाता है। हम बिना नाम वाले क्षेत्र की संख्यात्मक अभिव्यक्ति के बारे में बात कर रहे हैं।

तो क्षेत्र क्या है? यह वह मान है जो है संख्यात्मक विशेषताआंकड़ा या बड़ा शरीर माना जाता है। यह इसकी सतह के आकार को दर्शाता है, जो आकृति के किनारों तक सीमित है।

घन किस आकार को कहते हैं?

यह आंकड़ा एक बहुफलक है। और आसान नहीं। यह सही है, यानी इसमें सभी तत्व एक दूसरे के बराबर हैं। चाहे वह किनारे हों या किनारे। घन का प्रत्येक पृष्ठ एक वर्ग होता है।

क्यूब का दूसरा नाम एक नियमित हेक्साहेड्रोन है, यदि रूसी में, तो एक हेक्साहेड्रोन। इसे चतुर्भुज प्रिज्म या समानांतर चतुर्भुज से बनाया जा सकता है। इस शर्त के तहत कि सभी किनारे समान हों और कोण 90 डिग्री हों।

यह आंकड़ा इतना सामंजस्यपूर्ण है कि इसे अक्सर रोजमर्रा की जिंदगी में इस्तेमाल किया जाता है। उदाहरण के लिए, बच्चे के पहले खिलौने क्यूब्स हैं। और जो बड़े हैं उनके लिए मज़ा रूबिक क्यूब है।

घन अन्य आकृतियों और पिंडों से कैसे संबंधित है?

यदि आप एक घन का एक भाग बनाते हैं जो उसके तीन फलकों से होकर गुजरता है, तो यह एक त्रिभुज जैसा दिखाई देगा। जैसे-जैसे आप ऊपर से दूर जाते हैं, सेक्शन बड़ा होता जाता है। एक क्षण आएगा जब 4 फलक पहले से ही प्रतिच्छेद करेंगे, और खंड में आकृति एक चतुर्भुज बन जाएगी। यदि आप घन के केंद्र के माध्यम से एक खंड खींचते हैं ताकि यह इसके मुख्य विकर्णों के लंबवत हो, तो आपको एक नियमित षट्भुज मिलता है।

घन के अंदर, आप एक चतुष्फलक बना सकते हैं ( त्रिकोणीय पिरामिड) इसके एक कोने को चतुष्फलक के शीर्ष के रूप में लिया जाता है। शेष तीन घन के चयनित कोने के किनारों के विपरीत छोर पर स्थित शिखर के साथ मेल खाएंगे।

इसमें एक ऑक्टाहेड्रोन (एक उत्तल नियमित पॉलीहेड्रॉन जो दो जुड़े हुए पिरामिड की तरह दिखता है) को अंकित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको घन के सभी फलकों के केंद्र खोजने होंगे। वे अष्टफलक के शीर्ष होंगे।

रिवर्स ऑपरेशन भी संभव है, यानी ऑक्टाहेड्रोन के अंदर एक क्यूब फिट करना वास्तव में संभव है। केवल अब पहले के चेहरों के केंद्र दूसरे के लिए कोने बनेंगे।

विधि 1: एक घन के क्षेत्रफल को उसके किनारे से परिकलित करना

एक घन के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको इसके तत्वों में से एक को जानना होगा। हल करने का सबसे आसान तरीका यह है कि जब आप इसके किनारे या, दूसरे शब्दों में, वर्ग की भुजा को जानते हैं। आमतौर पर इस मान को लैटिन अक्षर "ए" द्वारा दर्शाया जाता है।

अब आपको उस सूत्र को याद रखने की आवश्यकता है जिसके द्वारा एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना की जाती है। भ्रमित न होने के लिए, इसका पदनाम S 1 अक्षर से पेश किया गया है।

सुविधा के लिए सभी सूत्रों को अंक देना बेहतर है। यह पहला होगा।

लेकिन यह सिर्फ एक वर्ग का क्षेत्रफल है। उनमें से छह हैं: 4 पक्षों पर और 2 नीचे और ऊपर। फिर घन के सतह क्षेत्र की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है: S = 6 * a 2 । उसका नंबर 2 है।

विधि 2: यदि शरीर का आयतन ज्ञात हो तो क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

से गणितीय अभिव्यक्तिहेक्साहेड्रोन की मात्रा के लिए, एक व्युत्पन्न होता है जिससे कोई किनारे की लंबाई की गणना कर सकता है। वहाँ है वो:

नंबरिंग जारी है, और यहाँ नंबर 3 है।

अब इसकी गणना की जा सकती है और दूसरे सूत्र में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यदि हम गणित के मानदंडों के अनुसार कार्य करते हैं, तो हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यह एक घन की संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल का सूत्र है, जिसका उपयोग आयतन ज्ञात होने पर किया जा सकता है। यह रिकॉर्ड संख्या 4 है।

विधि 3: एक घन के विकर्ण से क्षेत्रफल की गणना

यह सूत्र संख्या 5 है।

इससे घन के किनारे के लिए व्यंजक प्राप्त करना आसान है:

यह छठा सूत्र है। इसकी गणना करने के बाद, आप फिर से दूसरी संख्या के तहत सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन कुछ इस तरह लिखना बेहतर है:

यह क्रमांकित संख्या 7 निकला। यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम सूत्र चरण-दर-चरण गणना की तुलना में अधिक सुविधाजनक है।

विधि 4: एक घन के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक उत्कीर्ण या परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का उपयोग कैसे करें

यदि हम हेक्साहेड्रोन के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या को R अक्षर से निरूपित करते हैं, तो घन के सतह क्षेत्र की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके करना आसान होगा:

इसकी क्रम संख्या 8 है। यह इस तथ्य के कारण आसानी से प्राप्त होता है कि वृत्त का व्यास पूरी तरह से मुख्य विकर्ण के साथ मेल खाता है।

लैटिन अक्षर r के साथ उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या को निरूपित करते हुए, हम हेक्साहेड्रोन की पूरी सतह के क्षेत्र के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

यह सूत्र संख्या 9 है।

हेक्साहेड्रोन की पार्श्व सतह के बारे में कुछ शब्द

यदि समस्या में घन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, तो आपको ऊपर वर्णित तकनीक का उपयोग करने की आवश्यकता है। जब शरीर का किनारा पहले से ही दिया जाता है, तो बस वर्ग के क्षेत्रफल को 4 से गुणा करने की आवश्यकता होती है। यह आंकड़ा इस तथ्य के कारण प्रकट हुआ कि घन के केवल 4 पक्ष हैं। इसका गणितीय अंकन अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

इसकी संख्या 10 है। यदि कुछ अन्य मान दिए गए हैं, तो ऊपर वर्णित विधियों के समान ही आगे बढ़ें।

कार्य उदाहरण

पहली शर्त। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात होता है। यह 200 सेमी² के बराबर है। एक घन के मुख्य विकर्ण की गणना करें।

1 रास्ता। आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो संख्या 2 द्वारा इंगित किया गया है। इससे "ए" प्राप्त करना मुश्किल नहीं होगा। यह गणितीय संकेतन S बटा 6 के बराबर भागफल के वर्गमूल की तरह दिखेगा। संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद, आप प्राप्त करते हैं:

ए = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (सेमी)।

पांचवां सूत्र आपको घन के मुख्य विकर्ण की तुरंत गणना करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, आपको किनारे के मान को 3 से गुणा करना होगा। यह आसान है। उत्तर है कि विकर्ण 10 सेमी है।

2 रास्ते। यदि आप विकर्ण का सूत्र भूल गए हैं, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय को याद रखें।

इसी तरह यह पहली विधि में कैसा था, किनारे का पता लगाएं। फिर आपको कर्ण के लिए प्रमेय को दो बार लिखना होगा: पहला चेहरे पर त्रिभुज के लिए, दूसरा उसके लिए जिसमें आवश्यक विकर्ण हो।

x² = a² + a², जहाँ x वर्ग का विकर्ण है।

d² \u003d x² + a² \u003d a² + a² + a² \u003d 3 a²। इस प्रविष्टि से यह देखना आसान है कि विकर्ण का सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है। और फिर सभी गणनाएं होंगी, जैसा कि पहली विधि में है। यह थोड़ा लंबा है, लेकिन यह आपको सूत्र को याद रखने की अनुमति नहीं देता है, बल्कि इसे स्वयं प्राप्त करने की अनुमति देता है।

उत्तर: एक घन का विकर्ण 10 सेमी है।

दूसरी शर्त। द्वारा प्रसिद्ध क्षेत्रसतह, जो 54 सेमी 2 के बराबर है, घन की मात्रा की गणना करें।

दूसरी संख्या के नीचे सूत्र का उपयोग करके, आपको घन के किनारे का मान ज्ञात करना होगा। यह कैसे किया जाता है, पिछली समस्या को हल करने की पहली विधि में विस्तार से वर्णित किया गया है। सभी गणना करने के बाद, हम पाते हैं कि a \u003d 3 सेमी।

अब आपको घन के आयतन के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है, जिसमें किनारे की लंबाई को तीसरी शक्ति तक बढ़ाया जाता है। इसका मतलब है कि वॉल्यूम को निम्नानुसार माना जाएगा: वी \u003d 3 3 \u003d 27 सेमी 3।

उत्तर एक घन का आयतन 27 सेमी3 है।

तीसरी शर्त। एक घन के किनारे को खोजने के लिए आवश्यक है जिसके लिए निम्नलिखित शर्त पूरी होती है। किनारे को 9 इकाइयों से बढ़ाने से कुल सतह क्षेत्र 594 बढ़ जाता है।

चूंकि समस्या में कोई स्पष्ट संख्या नहीं है, केवल क्या था और क्या हो गया है, इसके बीच का अंतर है, तो अतिरिक्त अंकन पेश किया जाना चाहिए। ये मुश्किल नहीं है. वांछित मान "ए" के बराबर होने दें। तब घन का बढ़ा हुआ किनारा (a + 9) के बराबर होगा।

यह जानने के बाद, आपको घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र दो बार लिखना होगा। पहला - किनारे के प्रारंभिक मूल्य के लिए - एक नंबर 2 से मेल खाएगा। दूसरा थोड़ा अलग होगा। इसमें "a" के बजाय आपको योग (a + 9) लिखना होगा। चूंकि समस्या क्षेत्रों के अंतर से संबंधित है, इसलिए छोटे क्षेत्र को बड़े क्षेत्र से घटाना आवश्यक है:

6 * (ए + 9) 2 - 6 * ए 2 \u003d 594।

आपको परिवर्तन करने की जरूरत है। सबसे पहले, समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक 6, और फिर कोष्ठक में शेष को सरल करें। अर्थात् (ए + 9) 2 - ए 2। यहाँ वर्गों का अंतर लिखा है, जिसे इस प्रकार परिवर्तित किया जा सकता है: (a + 9 - a) (a + 9 + a)। व्यंजक को सरल बनाने के बाद, 9(2a + 9) प्राप्त होता है।

अब इसे 6 से गुणा किया जाना चाहिए, यानी वह संख्या जो कोष्ठक से पहले थी, और 594: 54 (2a + 9) \u003d 594 के बराबर थी। यह एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करना आसान है। सबसे पहले आपको कोष्ठक खोलने की जरूरत है, और फिर अज्ञात मान वाले शब्द को समानता के बाईं ओर और संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। एक समीकरण प्राप्त होगा: 2a \u003d 2. इससे यह देखा जा सकता है कि वांछित मान 1 है।

घन सबसे सरल त्रि-आयामी आकृतियों में से एक है। बर्फ के टुकड़े, चौकोर बक्से या नमक के क्रिस्टल से हर कोई परिचित है - ये सभी ऐसे आंकड़े हैं। किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी सतह पर सभी भुजाओं का कुल क्षेत्रफल होता है। इसके सभी छह फलक समानुपाती हैं, इसलिए उनमें से एक की लंबाई जानकर हम गणना कर सकते हैं पार्श्व क्षेत्रऔर किसी भी आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - आकृति क्या है?

घन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें समान आयाम होते हैं। इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान हैं, और प्रत्येक किनारे एक ही कोण पर अन्य किनारों से मिलते हैं। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना त्वरित और आसान है क्योंकि यह सर्वांगसम या अनुरूप वर्गों से बना होता है। तो, एक बार जब आप किसी एक वर्ग का आकार ज्ञात कर लेते हैं, तो आपको पूरी आकृति का क्षेत्रफल पता चल जाएगा।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - आकृति के फलक

यह दृष्टांत से देखा जा सकता है कि घन का आगे और पीछे का चेहरा, दो तरफ का चेहरा और नीचे की तरफ से एक ऊपरी भाग होता है। किसी भी घन का क्षेत्रफल छह सर्वांगसम वर्ग होगा। वास्तव में, यदि आप इसका विस्तार करते हैं, तो आप स्पष्ट रूप से छह वर्ग देख सकते हैं जो आकृति की समग्र सतह बनाते हैं।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक घन का क्षेत्रफल छह फलकों के क्षेत्रफल से बना होता है। चूंकि वे सभी समान हैं, उनमें से एक के क्षेत्र को जानना और मूल्य को 6 से गुणा करना पर्याप्त है। एक साधारण सूत्र का उपयोग करके आकृति का क्षेत्र भी पाया जाता है: एस \u003d 6 x a², जहाँ "a" घन की एक भुजा है।

एक घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - एक भुजा का क्षेत्रफल निर्धारित करें

आइए मान लें कि घन की ऊंचाई 2 सेमी है क्योंकि इसकी सतह वर्गों से बनी है, इसके सभी किनारों की लंबाई समान होगी। इसलिए, ऊंचाई के आयामों के आधार पर, इसकी लंबाई और चौड़ाई 2 सेमी होगी।
किसी एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, ज्यामिति के बुनियादी ज्ञान को याद रखें, जहाँ S = a², जहाँ a भुजाओं में से किसी एक की लंबाई है। हमारे मामले में, ए = 2 सेमी, इसलिए एस = (2 सेमी)² = 2 सेमी x 2 सेमी = 4 सेमी²।
सतह वर्गों में से एक का क्षेत्रफल 4 सेमी² है। अपने मान को वर्ग इकाइयों में शामिल करना सुनिश्चित करें।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - उदाहरण

चूंकि आकृति की पूरी सतह में छह आनुपातिक वर्ग होते हैं, इसलिए आपको सूत्र S \u003d 6 x a² का पालन करते हुए, एक तरफ के क्षेत्र को 6 से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, एस = 6 x 4 सेमी² = 24 सेमी²। एक त्रिविमीय आकृति का क्षेत्रफल 24 सेमी² है।

घन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि भुजा भिन्नों में है

यदि आपको भिन्न के साथ कार्य करना कठिन लगता है, तो इसे दशमलव में बदल दें।
उदाहरण के लिए, एक घन की ऊंचाई 2 1/2 सेमी है।

एस = 6 x (2½ सेमी)²
एस = 6 एक्स (2.5 सेमी)²
एस = 6 x 6.25 सेमी²
एस = 37.5 सेमी²
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 37.5 सेमी² है।

घन का क्षेत्रफल जानकर उसकी भुजा ज्ञात कीजिए

यदि किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात हो तो उसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात की जा सकती है।

एक घन का क्षेत्रफल 86.64 वर्ग सेमी है। आपको किनारे की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता है।
समाधान। चूंकि सतह क्षेत्र ज्ञात है, इसलिए आपको मान को 6 से विभाजित करके पीछे की ओर गिनने की आवश्यकता है, और फिर निकालें वर्गमूल.
आवश्यक गणना करने के बाद, हम 3.8 सेमी की लंबाई प्राप्त करते हैं।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - ऑनलाइन क्षेत्रफल माप

ऑनलाइनएमएसस्कूल साइट पर कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप जल्दी से एक घन के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। यह पक्ष के वांछित मूल्य को दर्ज करने के लिए पर्याप्त है और सेवा एक विस्तृत जारी करेगी कदम दर कदम समाधानकार्य।

तो, एक घन का क्षेत्रफल जानने के लिए, किसी एक भुजा के क्षेत्रफल की गणना करें, फिर परिणाम को 6 से गुणा करें, क्योंकि आकृति में 6 बराबर भुजाएँ हैं। गणना करते समय आप सूत्र S \u003d 6a² का उपयोग कर सकते हैं। यदि पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया गया है, तो उल्टे चरण करके पार्श्व भाग की लंबाई निर्धारित करना संभव है।

क्यूब पर ही पैनापन करें। यह दर्शाता है कि घन का कोई भी फलक एक वर्ग है। इस प्रकार, घन के फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या किसी भी वर्ग (घन के फलक) का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या तक कम हो जाती है। घन का कोई भी फलक संभव है, क्योंकि इसके सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बीच है।

उदाहरण: एक घन के किनारे की लंबाई 11 सेमी है, आपको इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

हल: चेहरे की लंबाई जानकर आप उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

एस = 11² = 121 सेमी²

उत्तर: 11 सेमी किनारे वाले घन के फलक का क्षेत्रफल 121 सेमी² है

टिप्पणी

किसी भी घन के शीर्ष पर 8 शीर्ष, 12 किनारे, 6 फलक और 3 फलक होते हैं।
घन एक ऐसी आकृति है जो रोजमर्रा की जिंदगी में अविश्वसनीय रूप से आम है। विभिन्न बच्चों और किशोर डिजाइनरों में खेल क्यूब्स, पासा, क्यूब्स को याद करने के लिए पर्याप्त है।
कई वास्तु तत्व घन आकार के होते हैं।
घन मीटर का उपयोग आयतन मापने के लिए किया जाता है विभिन्न पदार्थसमाज के विभिन्न क्षेत्रों में।
वैज्ञानिक दृष्टि से, घन मापीकिसी पदार्थ के आयतन का एक माप है जो 1 m . के किनारे की लंबाई वाले घन में फिट हो सकता है
इस प्रकार, आप मात्रा की अन्य इकाइयाँ दर्ज कर सकते हैं: घन मिलीमीटर, सेंटीमीटर, डेसीमीटर, आदि।
मात्रा की विभिन्न घन इकाइयों के अलावा, तेल और गैस उद्योग में एक और इकाई का उपयोग करना संभव है - बैरल (1m³ = 6.29 बैरल)

उपयोगी सलाह

यदि इसके किनारे की लंबाई घन के लिए जानी जाती है, तो, चेहरे के क्षेत्र के अलावा, इस घन के अन्य पैरामीटर पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए:
घन सतह क्षेत्र: S = 6*a²;
वॉल्यूम: वी = 6 * ए³;
खुदा हुआ गोले की त्रिज्या: r = a/2;
एक घन के चारों ओर परिबद्ध गोले की त्रिज्या: R = ((√3)*a))/2;
एक घन का विकर्ण (एक घन के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो इसके केंद्र से होकर गुजरता है): d = a*√3

स्रोत:

एक घन का क्षेत्रफल यदि किनारे 11 सेमी . हैं

एक घन एक नियमित बहुफलक है, जिसका प्रत्येक फलक एक वर्ग है। एक घन का क्षेत्रफल उसकी सतह का क्षेत्रफल होता है, जिसमें उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, अर्थात घन बनाने वाले वर्गों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

घन सबसे सरल त्रि-आयामी आकृतियों में से एक है। बर्फ के टुकड़े, चौकोर बक्से या नमक के क्रिस्टल से हर कोई परिचित है - ये सभी ऐसे आंकड़े हैं। किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी सतह पर सभी भुजाओं का कुल क्षेत्रफल होता है। इसके सभी छह फलक समानुपाती हैं, इसलिए उनमें से किसी एक की लंबाई जानकर किसी भी आकृति के पार्श्व क्षेत्र और सतह क्षेत्र की गणना करना संभव है।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - आकृति क्या है?

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - आकृति के फलक

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - भुजा का क्षेत्रफल निर्धारित करें

आइए मान लें कि घन की ऊंचाई 2 सेमी है क्योंकि इसकी सतह वर्गों से बनी है, इसके सभी किनारों की लंबाई समान होगी। इसलिए, ऊंचाई के आयामों के आधार पर, इसकी लंबाई और चौड़ाई 2 सेमी होगी।
किसी एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, ज्यामिति के बुनियादी ज्ञान को याद रखें, जहाँ S = a², जहाँ a भुजाओं में से किसी एक की लंबाई है। हमारे मामले में, ए = 2 सेमी, इसलिए एस = (2 सेमी)² = 2 सेमी x 2 सेमी = 4 सेमी²।
सतह वर्गों में से एक का क्षेत्रफल 4 सेमी² है। अपने मान को वर्ग इकाइयों में शामिल करना सुनिश्चित करें।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - उदाहरण

घन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि भुजा भिन्नों में है

एस = 6 x (2½ सेमी)²
एस = 6 एक्स (2.5 सेमी)²
एस = 6 x 6.25 सेमी²
एस = 37.5 सेमी²
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 37.5 सेमी² है।

घन का क्षेत्रफल जानकर उसकी भुजा ज्ञात कीजिए

एक घन का क्षेत्रफल 86.64 वर्ग सेमी है। आपको किनारे की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता है।
समाधान। चूंकि सतह क्षेत्र ज्ञात है, इसलिए आपको मान को 6 से विभाजित करके और फिर वर्गमूल लेकर पीछे की ओर गिनने की आवश्यकता है।
आवश्यक गणना करने के बाद, हम 3.8 सेमी की लंबाई प्राप्त करते हैं।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - ऑनलाइन क्षेत्रफल माप

ऑनलाइनएमएसस्कूल साइट पर कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप जल्दी से एक घन के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। यह पक्ष के वांछित मूल्य को दर्ज करने के लिए पर्याप्त है और सेवा कार्य के लिए एक विस्तृत चरण-दर-चरण समाधान जारी करेगी।

ज्यामितिमुख्य गणितीय विज्ञानों में से एक है, बुनियादी पाठ्यक्रमजो स्कूल में भी पढ़ाया जाता है। वास्तव में, विभिन्न आंकड़ों और कानूनों को जानने के लाभ सभी के जीवन में काम आएंगे। अक्सर ज्यामितीय समस्याएं होती हैं क्षेत्र ढूँढना. अगर साथ सपाट आंकड़ेछात्रों को कोई विशेष समस्या नहीं है तो मोटाकुछ मुश्किलें पैदा कर सकता है। गणना घन सतह क्षेत्र यह उतना आसान नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। लेकिन उचित ध्यान देने से सबसे कठिन कार्य भी हल हो जाता है।

ज़रूरी:

बुनियादी सूत्रों का ज्ञान;
- समस्या की शर्तें।

निर्देश:

सबसे पहले, आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि घन के क्षेत्रफल के लिए कौन सा सूत्र लागू होता है विशिष्ट मामला. इसके लिए आपको देखने की जरूरत है पूर्वनिर्धारित आंकड़ा पैरामीटर . क्या डेटा ज्ञात है: पसली की लंबाई, मात्रा, विकर्ण, चेहरा क्षेत्र. इसके आधार पर, सूत्र का चयन किया जाता है।
यदि, समस्या की स्थिति के अनुसार, यह जाना जाता है घन किनारे की लंबाई, तो यह लागू करने के लिए पर्याप्त है सबसे सरल सूत्रक्षेत्र खोजने के लिए। लगभग सभी जानते हैं कि एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं की लंबाई को गुणा करने पर पाया जाता है। घन के फलक- वर्ग, इसलिए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल इन वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। एक घन के छह फलक होते हैं, इसलिए घन के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार दिखाई देगा: एस=6*х 2 . कहाँ पे एक्स - घन किनारे की लंबाई.
आइए मान लें कि घन किनारासेट नहीं, लेकिन जाना जाता है। चूंकि किसी दिए गए आंकड़े की मात्रा की गणना तीसरी शक्ति तक बढ़ाकर की जाती है इसकी पसली की लंबाई, तो बाद वाले को काफी आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मात्रा को दर्शाने वाली संख्या से, तीसरी डिग्री की जड़ को निकालना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, संख्या के लिए 27 तीसरी जड़ संख्या है 3 . खैर, आगे क्या करना है, हमने इसे पहले ही सुलझा लिया है। इस प्रकार, ज्ञात आयतन वाले घन के क्षेत्रफल का सूत्र भी मौजूद होता है, जहाँ के बजाय एक्समात्रा का तीसरा मूल है।
कभी-कभी ही जाना जाता है विकर्ण लंबाई . अगर आपको याद हो पाइथागोरस प्रमेय, तो हम आसानी से किनारे की लंबाई की गणना कर सकते हैं। यहां पर्याप्त बुनियादी ज्ञान है। प्राप्त परिणाम को घन के सतह क्षेत्र के लिए पहले से ज्ञात सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाता है: एस=6*х 2 .
संक्षेप में, यह ध्यान देने योग्य है कि सही गणना के लिए, आपको किनारे की लंबाई जानने की आवश्यकता है। कार्यों में स्थितियां बहुत अलग हैं, इसलिए आपको सीखना चाहिए कि एक साथ कई क्रियाएं कैसे करें। यदि अन्य विशेषताओं को जाना जाता है ज्यामितीय आकृति, फिर अतिरिक्त सूत्रों और प्रमेयों की सहायता से घन के किनारे की गणना करना संभव है। और पहले से ही परिणाम के आधार पर, परिणाम की गणना करें।

एक घन एक नियमित बहुफलक है, जिसमें सभी फलक नियमित चतुर्भुज - वर्गों द्वारा बनते हैं। किसी भी घन के फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भारी गणना की आवश्यकता नहीं होती है।

अनुदेश

आरंभ करने के लिए, यह घन की परिभाषा पर ध्यान देने योग्य है। यह दर्शाता है कि घन का कोई भी फलक एक वर्ग है। इस प्रकार, घन के फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या किसी भी वर्ग (घन के फलक) का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या तक कम हो जाती है। आप घन के किसी भी फलक को ले सकते हैं, क्योंकि इसके सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है।

एक घन के फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसके किसी भी पक्ष के एक जोड़े को एक साथ गुणा करना होगा, क्योंकि वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। इसे इस प्रकार सूत्र में व्यक्त किया जा सकता है:

S = a?, जहाँ a वर्ग की भुजा (घन का किनारा) है।

उदाहरण: एक घन के किनारे की लंबाई 11 सेमी है, आपको इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

हल: चेहरे की लंबाई जानकर आप उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

एस = 11? = 121 सेमी?

उत्तर: 11 सेमी किनारे वाले घन के फलक का क्षेत्रफल 121 सेमी है?

टिप्पणी

किसी भी घन के शीर्ष पर 8 शीर्ष, 12 किनारे, 6 फलक और 3 फलक होते हैं।
घन एक ऐसी आकृति है जो रोजमर्रा की जिंदगी में अविश्वसनीय रूप से आम है। विभिन्न बच्चों और किशोर डिजाइनरों में खेल क्यूब्स, पासा, क्यूब्स को याद करने के लिए पर्याप्त है।
कई वास्तु तत्व घन आकार के होते हैं।
समाज के विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न पदार्थों के आयतन को मापने के लिए क्यूबिक मीटर का उपयोग किया जाता है।
वैज्ञानिक दृष्टि से, घन मापीकिसी पदार्थ के आयतन का एक माप है जो 1 m . के किनारे की लंबाई वाले घन में फिट हो सकता है
इस प्रकार, आप मात्रा की अन्य इकाइयाँ दर्ज कर सकते हैं: घन मिलीमीटर, सेंटीमीटर, डेसीमीटर, आदि।
तेल और गैस उद्योग में मात्रा की विभिन्न घन इकाइयों के अलावा, एक और इकाई संभव है - बैरल (1m? = 6.29 बैरल)

उपयोगी सलाह

यदि इसके किनारे की लंबाई घन के लिए जानी जाती है, तो, चेहरे के क्षेत्र के अलावा, इस घन के अन्य पैरामीटर पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए:
घन सतह क्षेत्र: S = 6*a?;
वॉल्यूम: वी = 6 * ए ?;
खुदा हुआ गोले की त्रिज्या: r = a/2;
एक घन के चारों ओर परिबद्ध गोले की त्रिज्या: R = ((?3)*a))/2;
एक घन का विकर्ण (एक घन के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो उसके केंद्र से होकर गुजरता है): d = a*?3