वितरण फलन की माध्यिका ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं

फ़ैशन- प्रेक्षणों के समुच्चय में वह मान जो सबसे अधिक बार होता है

मो \u003d एक्स मो + एच मो * (एफ मो - एफ मो -1) : ((एफ मो - एफ मो -1) + (एफ मो - एफ मो + 1)),

यहाँ X Mo मोडल अंतराल की बाईं सीमा है, h Mo मोडल अंतराल की लंबाई है, f Mo-1 प्रीमॉडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo मोडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo+1 है पोस्टमॉडल अंतराल की आवृत्ति।

फैशन बिल्कुल निरंतर वितरणकिसी भी बिंदु को नाम दें स्थानीय अधिकतमवितरण घनत्व। के लिये असतत वितरणएक फ़ैशन कोई भी मान होता है, जिसकी प्रायिकता p, पड़ोसी मानों की प्रायिकताओं से अधिक होती है

मंझलानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसका मान मुझे ऐसा कहा जाता है, जिसके लिए यह समान रूप से संभावित है कि यादृच्छिक चर कम होगा या अधिक मैं, अर्थात।

एम ई \u003d (एन + 1) / 2 पी(एक्स < मैं) = पी(एक्स > मैं)

समान रूप से वितरित NEW

समान वितरण।एक सतत यादृच्छिक चर को खंड () पर समान रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका वितरण घनत्व कार्य (चित्र। 1.6, एक) की तरह लगता है:

पदनाम:- एसडब्ल्यू को समान रूप से वितरित किया जाता है।

तदनुसार, खंड पर वितरण कार्य (चित्र। 1.6, बी):

चावल। 1.6. एक यादृच्छिक चर के कार्य समान रूप से वितरित किए जाते हैं [ एक,बी]: एक- प्रायिकता घनत्व एफ(एक्स); बी- वितरण एफ(एक्स)

इस RV की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता व्यंजकों द्वारा निर्धारित की जाती है:

घनत्व फ़ंक्शन की समरूपता के कारण, यह माध्यिका के साथ मेल खाता है। फ़ैशन वर्दी वितरणनहीं है

उदाहरण 4 प्रतिक्रिया के लिए प्रतीक्षा समय फ़ोन कॉल 0 से 2 मिनट की सीमा में एक समान वितरण कानून का पालन करने वाला एक यादृच्छिक चर है। इस यादृच्छिक चर के समाकलन और अवकल वितरण फलन ज्ञात कीजिए।

27.सामान्य कानूनसंभाव्यता वितरण

एक सतत यादृच्छिक चर x में मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण होता है: m,s> 0, यदि संभाव्यता वितरण घनत्व का रूप है:

जहाँ: m गणितीय अपेक्षा है, s मानक विचलन है।

जर्मन गणितज्ञ गॉस के बाद सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर का पैरामीटर के साथ सामान्य वितरण होता है: एम, , निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम [एक्स];

अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को द्वारा निरूपित किया जाता है एक . यदि एक यादृच्छिक चर को नियम N(0,1) के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

घनत्व ग्राफ सामान्य वितरण, जिसे सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।

चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व

गुणएक सामान्य वितरण कानून के साथ एक यादृच्छिक चर।

1. यदि , तो प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कि यह मान किसी दिए गए अंतराल में आता है ( एक्स 1; एक्स 2) सूत्र का उपयोग किया जाता है:

2. एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन, मान (निरपेक्ष मान में) से अधिक नहीं होने की प्रायिकता के बराबर है।

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के बीच, सबसे पहले, उन पर ध्यान देना आवश्यक है जो संख्या अक्ष पर एक यादृच्छिक चर की स्थिति को चिह्नित करते हैं, अर्थात। कुछ औसत, अनुमानित मूल्य इंगित करें, जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों को समूहीकृत किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणना में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "औसत दीपक संचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है", हम इसके द्वारा एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत देते हैं जो इसका वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर स्थान, अर्थात। स्थान का विवरण।

संभाव्यता सिद्धांत में एक स्थिति की विशेषताओं में, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी एक यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।

एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें जिसमें संभावनाओं के साथ संभावित मान हैं। हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, हमें एक्स-अक्ष पर यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस उद्देश्य के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है, और इस मूल्य की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ औसत के दौरान प्रत्येक मूल्य को ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे, जिसे हम निम्न द्वारा निरूपित करेंगे:

या, यह देखते हुए,

. (5.6.1)

इस भारित औसत को कहा जाता है गणितीय अपेक्षाअनियमित चर। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक पर विचार किया - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है।

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्रीकरण में, गणितीय अपेक्षा की परिभाषा मान्य है, सख्ती से बोलना, केवल असतत यादृच्छिक चर के लिए; नीचे, हम इस अवधारणा को निरंतर मात्रा के मामले में सामान्यीकृत करेंगे।

गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आइए हम एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या की ओर मुड़ें। बता दें कि एब्सिस्सा वाले बिंदु एब्सिसा अक्ष पर स्थित होते हैं, जिसमें द्रव्यमान क्रमशः केंद्रित होते हैं, और . फिर, स्पष्ट रूप से, सूत्र (5.6.1) द्वारा परिभाषित गणितीय अपेक्षा और कुछ नहीं बल्कि भौतिक बिंदुओं की दी गई प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का भुज है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीब निर्भरता से जुड़ी होती है बड़ी संख्याप्रयोग। यह निर्भरता उसी प्रकार की है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर दृष्टिकोण के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य (संभाव्यता में अभिसरण) इसकी गणितीय अपेक्षा। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच एक संबंध की उपस्थिति से, एक परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध के अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है।

वास्तव में, एक वितरण श्रृंखला द्वारा विशेषता एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें:

कहाँ पे .

आइए स्वतंत्र प्रयोग करें, जिनमें से प्रत्येक में मात्रा एक निश्चित मूल्य लेती है। मान लीजिए कि मान एक बार दिखाई दिया, मान एक बार दिखाई दिया, सामान्य तौर पर मान एक बार दिखाई दिया। स्पष्टतः,

आइए हम मात्रा के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत, हम निरूपित करेंगे:

लेकिन किसी घटना की आवृत्ति (या सांख्यिकीय संभावना) से ज्यादा कुछ नहीं है; इस आवृत्ति को कहा जा सकता है। फिर

,

वे। एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की आवृत्तियों के उत्पादों के योग के बराबर है।

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, आवृत्तियाँ संगत प्रायिकताओं के निकट (संभाव्यता में अभिसरण) होंगी। नतीजतन, प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभाव्यता में अभिसरण)।

ऊपर दिए गए अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है बड़ी संख्या. हम अध्याय 13 में इस कानून का एक कठोर प्रमाण देंगे।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मान वाले प्रेक्षणों की श्रृंखला से अंकगणित माध्य के स्थायित्व के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा तक पहुंच जाता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, प्रयोगशाला में किसी पिंड को सटीक पैमानों पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

गणितीय अपेक्षा के लिए सूत्र (5.6.1) एक असतत यादृच्छिक चर के मामले से मेल खाता है। के लिये निरंतर मूल्यगणितीय अपेक्षा, निश्चित रूप से, योग द्वारा नहीं, बल्कि अभिन्न द्वारा व्यक्त की जाती है:

, (5.6.2)

मात्रा का वितरण घनत्व कहाँ है।

फॉर्मूला (5.6.2) सूत्र (5.6.1) से प्राप्त होता है, यदि हम इसमें अलग-अलग मानों को लगातार बदलते पैरामीटर x, संबंधित संभावनाओं - एक संभाव्यता तत्व के साथ, और अंतिम योग - एक अभिन्न के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। निम्नलिखित में, हम असंतत मात्राओं के लिए व्युत्पन्न सूत्रों को निरंतर मात्राओं के मामले में विस्तारित करने की इस पद्धति का उपयोग करेंगे।

यांत्रिक व्याख्या में, एक निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक ही अर्थ को बरकरार रखती है - गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के एब्सिस्सा उस स्थिति में जब द्रव्यमान लगातार एब्सिस्सा अक्ष के साथ घनत्व के साथ वितरित किया जाता है। यह व्याख्या अक्सर सरल यांत्रिक विचारों से अभिन्न (5.6.2) की गणना किए बिना गणितीय अपेक्षा को खोजना संभव बनाती है।

ऊपर, हमने मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए संकेतन की शुरुआत की। कुछ मामलों में, जब किसी मान को एक निश्चित संख्या के रूप में सूत्रों में शामिल किया जाता है, तो इसे एक अक्षर से निरूपित करना अधिक सुविधाजनक होता है। इन मामलों में, हम मूल्य की गणितीय अपेक्षा को निरूपित करेंगे:

सूत्रों के एक या दूसरे अंकन की सुविधा के आधार पर, भविष्य में समानांतर में अंकन और गणितीय अपेक्षा के लिए उपयोग किया जाएगा। आइए हम भी सहमत हों, यदि आवश्यक हो, तो शब्द "गणितीय अपेक्षा" को अक्षर m.o. द्वारा संक्षिप्त करने के लिए।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन।

उदाहरण के लिए, वितरण श्रृंखला के साथ एक असंतत यादृच्छिक चर पर विचार करें:

यह सत्यापित करना आसान है, अर्थात्। वितरण श्रृंखला समझ में आता है; हालांकि, इस मामले में योग अलग हो जाता है और इसलिए, मूल्य की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, हम जिन यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक अपेक्षा होती है।

ऊपर, हमने क्रमशः असंतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षा को व्यक्त करते हुए सूत्र (5.6.1) और (5.6.2) दिए।

यदि मात्रा मात्राओं से संबंधित है मिश्रित प्रकार, तो इसकी गणितीय अपेक्षा फॉर्म के एक सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

, (5.6.3)

जहां योग उन सभी बिंदुओं तक विस्तारित होता है जिन पर वितरण फ़ंक्शन टूट जाता है, और अभिन्न उन सभी वर्गों तक विस्तारित होता है जिन पर वितरण फ़ंक्शन निरंतर होता है।

सबसे महत्वपूर्ण स्थिति विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - अन्य स्थिति विशेषताओं का कभी-कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए, बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। हम पत्र के साथ मोड को नामित करने के लिए सहमत हैं। अंजीर पर। 5.6.1 और 5.6.2 क्रमशः असंतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए बहुलक दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "बहुविध" कहा जाता है (आंकड़े 5.6.3 और 5.6.4)।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है (चित्र 5.6.5 और 5.6.6)। इस तरह के वितरण को "एंटीमॉडल" कहा जाता है। प्रतिमॉडल वितरण का एक उदाहरण उदाहरण 5, n° 5.1 में प्राप्त वितरण है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। एक विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल (यानी एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के समरूपता के केंद्र और मोड के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक अन्य विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर का माध्यक उसका मान होता है जिसके लिए

वे। यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर से कम या अधिक होगा। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 5.6.7)।

फ़ैशन()सतत यादृच्छिक चर इसका मान है, जो इसकी संभाव्यता घनत्व के अधिकतम मान से मेल खाता है।

माध्यिका ()एक सतत यादृच्छिक चर इसका मान है, जो समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

बी15. द्विपद नियमवितरण और इसकी संख्यात्मक विशेषताएं. द्विपद वितरण बार-बार स्वतंत्र अनुभवों का वर्णन करता है। यह कानून एक बार किसी घटना के घटित होने को निर्धारित करता है स्वतंत्र परीक्षण, यदि इनमें से प्रत्येक अनुभव में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता अनुभव से अनुभव में परिवर्तित नहीं होती है। संभावना:

,

कहा पे: प्रयोग में एक घटना के घटित होने की ज्ञात संभावना है, जो अनुभव से अनुभव में नहीं बदलती है;

घटना के प्रयोग में न आने की प्रायिकता है;

प्रयोगों में घटना के घटित होने की निर्दिष्ट संख्या है;

द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या है।

बी15. समान वितरण कानून, वितरण समारोह और घनत्व के ग्राफ, संख्यात्मक विशेषताएं. एक सतत यादृच्छिक चर माना जाता है बराबर बाटना, यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:

अपेक्षित मूल्यसमान वितरण के साथ यादृच्छिक चर:

फैलावनिम्नानुसार गणना की जा सकती है:

मानक विचलनऐसा दिखाई देगा:

.

बी17. वितरण का घातांकीय नियम, फलन के रेखांकन और वितरण घनत्व, संख्यात्मक अभिलक्षण. घातांकी रूप से वितरणएक सतत यादृच्छिक चर एक वितरण है जिसे संभाव्यता घनत्व के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है:

,

जहां एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है।

इस मामले में संभाव्यता वितरण समारोह का रूप है:

एक घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा सामान्य सूत्र के आधार पर प्राप्त की जाती है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि जब:

.

इस व्यंजक को भागों द्वारा एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं: .

घातीय वितरण के लिए विचरण अभिव्यक्ति का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

.

संभाव्यता घनत्व के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं:

भागों द्वारा समाकलन की गणना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: .

बी16. सामान्य वितरण कानून, फ़ंक्शन के ग्राफ़ और वितरण घनत्व। मानक सामान्य वितरण। परिलक्षित सामान्य वितरण समारोह। सामान्यएक यादृच्छिक चर के ऐसे वितरण को कहा जाता है, जिसकी संभाव्यता घनत्व गाऊसी फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

मानक विचलन कहाँ है;

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है।

एक सामान्य वितरण घनत्व प्लॉट को सामान्य गाऊसी वक्र कहा जाता है।

बी18. मार्कोव की असमानता। सामान्यीकृत चेबीशेव की असमानता. यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो किसी के लिए मार्कोव की असमानता .

यह से उपजा है सामान्यीकृत चेबीशेव असमानता: मान लें कि फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है और गैर-ऋणात्मक है। यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो किसी भी असमानता के लिए .

बी19. चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या का कानून। इसका अर्थ। चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या के कानून का परिणाम। बर्नौली रूप में बड़ी संख्या का नियम। नीचे बड़ी संख्या का नियमसंभाव्यता सिद्धांत में, कई प्रमेयों को समझा जाता है, जिनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए बड़ी संख्या में प्रयोगात्मक डेटा के औसत मूल्य के एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन का तथ्य स्थापित होता है। इन प्रमेयों के प्रमाण चेबीशेव की असमानता पर आधारित हैं। संभावित मूल्यों के साथ एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करके यह असमानता प्राप्त की जा सकती है।

प्रमेय। एक परिमित अनुक्रम होने दें स्वतंत्र यादृच्छिक चर, समान गणितीय अपेक्षा और समान स्थिरांक द्वारा सीमित भिन्नताओं के साथ:

फिर, संख्या जो भी हो, घटना की प्रायिकता

पर एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

चेबीशेव का प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के पूरे सेट की औसत विशेषताओं और गणितीय आंकड़ों पर विचार करता है, जो इस चर के मूल्यों के सीमित सेट पर संचालित होता है। यह दर्शाता है कि कुछ यादृच्छिक चर के माप की पर्याप्त बड़ी संख्या के लिए, औसत अंकगणितीय मानये माप गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचते हैं।

20 में। विषय और कार्य गणितीय सांख्यिकी. सामान्य और नमूना आबादी। चयन विधि. गणित के आँकड़े- विज्ञान गणितीय तरीकेसंभाव्यता के सिद्धांत के आधार पर वैज्ञानिक और व्यावहारिक निष्कर्षों के लिए सांख्यिकीय डेटा का व्यवस्थितकरण और उपयोग।

गणितीय आँकड़ों के अध्ययन की वस्तुएँ यादृच्छिक घटनाएँ, मात्राएँ और कार्य हैं जो माना जाता है कि यादृच्छिक घटना की विशेषता है। निम्नलिखित घटनाएं यादृच्छिक हैं: नकद लॉटरी का एक टिकट जीतना, स्थापित आवश्यकताओं के साथ नियंत्रित उत्पाद का अनुपालन, इसके संचालन के पहले महीने के दौरान कार का परेशानी मुक्त संचालन, दैनिक कार्य अनुसूची के ठेकेदार द्वारा पूर्ति।

नमूना सेट बेतरतीब ढंग से चयनित वस्तुओं का एक संग्रह है।

सामान्य जनसंख्याउन वस्तुओं के समूह का नाम बताइए जिनसे नमूना बनाया जाता है।

21 पर। चयन के तरीके।

चयन के तरीके: 1 चयन जिसमें खंडन की आवश्यकता नहीं है आबादीभागों में। इनमें ए) सरल यादृच्छिक गैर-दोहराव चयन और बी) सरल यादृच्छिक पुनर्चयन शामिल हैं। 2) चयन, जिसमें सामान्य जनसंख्या को भागों में विभाजित किया जाता है। इनमें ए) टाइप सेलेक्शन, बी) मैकेनिकल सिलेक्शन और सी) सीरियल सिलेक्शन शामिल हैं।

सरल यादृच्छिकचयन कहलाता है, जिसमें सामान्य जनसंख्या से वस्तुओं को एक-एक करके निकाला जाता है।

ठेठचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं का चयन पूरी सामान्य आबादी से नहीं, बल्कि इसके प्रत्येक "विशिष्ट" भागों से किया जाता है।

यांत्रिकचयन कहलाता है, जिसमें सामान्य जनसंख्या को यंत्रवत् रूप से उतने समूहों में विभाजित किया जाता है जितने कि नमूने में शामिल की जाने वाली वस्तुएँ होती हैं, और प्रत्येक समूह से एक वस्तु का चयन किया जाता है।

धारावाहिकचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं को सामान्य आबादी से एक-एक करके नहीं, बल्कि "श्रृंखला" से चुना जाता है, जो निरंतर परीक्षा के अधीन होते हैं।

बी22. सांख्यिकीय और परिवर्तनशील श्रृंखला। अनुभवजन्य वितरण समारोह और उसके गुण. विविधता श्रृंखलाअसतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए। सामान्य आबादी से एक नमूना लिया जाए, और अध्ययन के तहत पैरामीटर का मूल्य एक बार, एक बार, आदि देखा गया। हालांकि, नमूना आकार देखे गए मान कहलाते हैं विकल्प, और अनुक्रम आरोही क्रम में लिखा गया एक प्रकार है - परिवर्तनशील श्रृंखला . प्रेक्षणों की संख्या कहलाती है आवृत्तियों, और नमूना आकार के साथ उनका संबंध - सापेक्ष आवृत्तियों.विविधता श्रृंखलातालिका के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

एक्स			…..
एन			….

नमूने का सांख्यिकीय वितरणविकल्पों की सूची और उनके संबंधित सापेक्ष आवृत्तियों को बुलाओ। सांख्यिकीय वितरणके रूप में कल्पना की जा सकती है:

एक्स			…..
वू			….

सापेक्ष आवृत्तियाँ कहाँ हैं।

अनुभवजन्य वितरण समारोहउस फ़ंक्शन को कॉल करें जो प्रत्येक मान x के लिए घटना X की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है

पाठ का उद्देश्य: संख्याओं के एक सेट के माध्यिका के बारे में छात्रों की समझ और सरल संख्यात्मक सेटों के लिए इसकी गणना करने की क्षमता, संख्याओं के अंकगणितीय माध्य सेट की अवधारणा को ठीक करना।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री की व्याख्या।

उपकरण: बोर्ड, पाठ्यपुस्तक, एड। यू.एन ट्यूरिना "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", प्रोजेक्टर के साथ कंप्यूटर।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के विषय को सूचित करें और उसके उद्देश्यों को तैयार करें।

2. पिछले ज्ञान की प्राप्ति।

छात्रों के लिए प्रश्न:

• संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य क्या है?
• अंकगणितीय माध्य संख्याओं के समूह में कहाँ स्थित होता है?
• संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य की क्या विशेषता है?
• संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य प्रायः कहाँ प्रयोग किया जाता है?

मौखिक कार्य:

संख्याओं के समुच्चय का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

प्रोजेक्टर से गृहकार्य की जाँच करना ( अनुलग्नक 1):

पाठ्यपुस्तक :: संख्या 12 (बी, डी), संख्या 18 (सी, डी)

3. नई सामग्री सीखना।

पिछले पाठ में, हम संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य जैसी सांख्यिकीय विशेषता से परिचित हुए। आज हम एक और सांख्यिकीय विशेषता के लिए एक पाठ समर्पित करेंगे - माध्यिका।

न केवल अंकगणितीय माध्य यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर किसी समुच्चय की संख्याएँ कहाँ स्थित हैं और उनका केंद्र कहाँ है। एक अन्य संकेतक माध्यिका है।

संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका वह संख्या होती है जो समुच्चय को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। "मध्य" के बजाय कोई "मध्य" कह सकता है।

सबसे पहले, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विश्लेषण करेंगे कि माध्यिका कैसे ज्ञात की जाए, और फिर हम एक सख्त परिभाषा देंगे।

प्रोजेक्टर का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मौखिक उदाहरण पर विचार करें ( परिशिष्ट 2)

स्कूल वर्ष के अंत में, 7 वीं कक्षा के 11 छात्रों ने 100 मीटर दौड़ने के लिए मानक पारित किया। निम्नलिखित परिणाम दर्ज किए गए:

लोगों द्वारा दूरी तय करने के बाद, पेट्या ने शिक्षक से संपर्क किया और पूछा कि उसका परिणाम क्या है।

"अधिकतम औसत: 16.9 सेकंड," शिक्षक ने उत्तर दिया

"क्यों?" पेट्या हैरान थी। - आखिरकार, सभी परिणामों का अंकगणितीय माध्य लगभग 18.3 सेकंड है, और मैं एक सेकंड या अधिक बेहतर तरीके से चला। और सामान्य तौर पर, कात्या का परिणाम (18.4) मेरी तुलना में औसत के बहुत करीब है।"

"आपका परिणाम औसत है क्योंकि पांच लोग आपसे बेहतर और पांच खराब भागे। तो तुम ठीक बीच में हो," शिक्षक ने कहा। [ 2 ]

संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम लिखिए:

1. संख्यात्मक सेट का आदेश दें (एक रैंक की गई श्रृंखला बनाएं)।
2. साथ ही हम संख्याओं के इस समूह की "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" संख्याओं को तब तक पार करते हैं जब तक कि एक या दो संख्याएँ न रह जाएँ।
3. यदि केवल एक संख्या है, तो वह माध्यिका है।
4. यदि दो संख्याएँ शेष हैं, तो माध्यिका शेष दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य होगा।

विद्यार्थियों को स्वतंत्र रूप से संख्याओं के समूह की माध्यिका की परिभाषा तैयार करने के लिए आमंत्रित करें, फिर पाठ्यपुस्तक में माध्यिका की दो परिभाषाएँ पढ़ें (पृष्ठ 50), फिर पाठ्यपुस्तक के उदाहरण 4 और 5 का विश्लेषण करें (पीपी। 50-52)

टिप्पणी:

छात्रों का ध्यान एक महत्वपूर्ण परिस्थिति की ओर आकर्षित करें: माध्यिका व्यावहारिक रूप से संख्याओं के सेट के व्यक्तिगत चरम मूल्यों के महत्वपूर्ण विचलन के प्रति असंवेदनशील है। आंकड़ों में, इस संपत्ति को स्थिरता कहा जाता है। एक सांख्यिकीय संकेतक की स्थिरता एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है, यह हमें यादृच्छिक त्रुटियों और व्यक्तिगत अविश्वसनीय डेटा के खिलाफ बीमा करती है।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

पाठ्यपुस्तक से आइटम 11 "माध्यिका" तक की संख्याओं का निर्णय।

संख्याओं का समूह: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,14।

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

क) संख्याओं का समूह: 3,4,11,17,21

बी) संख्याओं का सेट: 17,18,19,25,28

ग) संख्याओं का समूह: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

निष्कर्ष: विषम संख्या वाले सदस्यों वाली संख्याओं के समूह की माध्यिका बीच की संख्या के बराबर होती है।

ए) संख्याओं का सेट: 2, 4, 8 , 9.

मैं = (4+8):2=12:2=6

बी) संख्याओं का सेट: 1,3, 5,7 ,8,9.

मैं = (5+7):2=12:2=6

संख्याओं के एक समूह का माध्यिका जिसमें सदस्यों की एक सम संख्या होती है, मध्य में दो संख्याओं के योग का आधा होता है।

छात्र ने तिमाही के दौरान बीजगणित में निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

इस सेट का माध्य स्कोर और माध्यिका ज्ञात कीजिए। [ 3 ]

आइए संख्याओं का एक सेट ऑर्डर करें: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

केवल 10 संख्याएँ, माध्यिका ज्ञात करने के लिए आपको दो मध्य संख्याएँ लेनी होंगी और उनका आधा योग ज्ञात करना होगा।

मैं = (5+5):2 = 5

छात्रों से प्रश्न: यदि आप एक शिक्षक होते, तो आप इस छात्र को एक चौथाई के लिए क्या ग्रेड देते? उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

कंपनी के अध्यक्ष को 300,000 रूबल का वेतन मिलता है। उनके तीन प्रतिनियुक्तियों को प्रत्येक को 150,000 रूबल, चालीस कर्मचारी - प्रत्येक को 50,000 रूबल मिलते हैं। और एक क्लीनर का वेतन 10,000 रूबल है। कंपनी में वेतन का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। राष्ट्रपति के लिए विज्ञापन उद्देश्यों के लिए उपयोग करने के लिए इनमें से कौन सी विशेषता अधिक लाभदायक है?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (रूबल)

कार्य 3. (छात्रों को स्वयं हल करने के लिए आमंत्रित करें, प्रोजेक्टर का उपयोग करके कार्य को प्रोजेक्ट करें)

तालिका रूस में सबसे बड़ी झीलों और जलाशयों में पानी की अनुमानित मात्रा को घन मीटर में दिखाती है। किमी. (परिशिष्ट 3) [ 4 ]

ए) इन जलाशयों में पानी की औसत मात्रा का पता लगाएं (अंकगणित माध्य);

बी) जलाशय के औसत आकार (डेटा का माध्य) में पानी की मात्रा का पता लगाएं;

ग) आपकी राय में, इनमें से कौन सी विशेषता - अंकगणितीय माध्य या माध्यिका - एक विशिष्ट बड़े रूसी जलाशय के आयतन का सबसे अच्छा वर्णन करती है? उत्तर स्पष्ट कीजिए।

ए) 2459 घन। किमी

बी) 60 घन। किमी

c) माध्यिका, क्योंकि डेटा में वे मान होते हैं जो अन्य सभी से बहुत भिन्न होते हैं।

कार्य 4. मौखिक रूप से।

ए) सेट में कितनी संख्याएं हैं यदि इसका मध्य इसका नौवां सदस्य है?

B) समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि इसकी माध्यिका 7वें और 8वें पदों का अंकगणितीय माध्य है?

C) सात संख्याओं के एक समूह में, सबसे बड़ी संख्या में 14 की वृद्धि की गई। क्या इससे अंकगणितीय माध्य और माध्यिका दोनों बदल जाएंगे?

D) समुच्चय की प्रत्येक संख्या में 3 की वृद्धि की गई है। समांतर माध्य और माध्यिका का क्या होगा?

दुकान में मिठाइयां वजन के हिसाब से बिकती हैं। यह पता लगाने के लिए कि एक किलोग्राम में कितनी मिठाइयाँ हैं, माशा ने एक कैंडी का वजन खोजने का फैसला किया। उसने कई मिठाइयों का वजन किया और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

दोनों विशेषताएँ एक कैंडी के वजन का अनुमान लगाने के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि वे एक दूसरे से बहुत अलग नहीं हैं।

इसलिए, सांख्यिकीय जानकारी को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का उपयोग किया जाता है। कई मामलों में, कुछ विशेषताओं का कोई सार्थक अर्थ नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, सड़क दुर्घटनाओं के समय के बारे में जानकारी होने पर, इन आंकड़ों के अंकगणितीय माध्य के बारे में बात करना शायद ही समझ में आता है)।

1. होमवर्क: पैराग्राफ 11, नंबर 3,4,9,11।
2. सबक परिणाम। प्रतिबिंब।

साहित्य:

1. यू.एन. ट्यूरिन एट अल "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", एमसीएनएमओ पब्लिशिंग हाउस, जेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तक", मॉस्को 2008।
2. ई.ए. बनिमोविच, वी.ए. Bulychev "सांख्यिकी और संभाव्यता के मूल सिद्धांत", DROFA, मास्को 2004।
3. समाचार पत्र "गणित" संख्या 23, 2007।
4. ग्रेड 7, 2007/2008 खाते के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी के सिद्धांत पर परीक्षण का डेमो संस्करण। साल।

अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर एक्स, जो मूल्यों की एक सीमित संख्या लेता है एक्समैंसंभावनाओं के साथ आरमैं, योग कहा जाता है:

गणितीय अपेक्षानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसके मूल्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग कहा जाता है एक्ससंभाव्यता वितरण घनत्व पर एफ(एक्स):

(6बी)

अनुचित अभिन्न (6 .) बी) को पूर्ण रूप से अभिसरण माना जाता है (अन्यथा हम कहते हैं कि अपेक्षा एम(एक्स) मौजूद नहीं)। गणितीय अपेक्षा की विशेषता है अर्थअनियमित चर एक्स. इसका आयाम एक यादृच्छिक चर के आयाम के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

फैलाव। फैलावअनियमित चर एक्सनंबर कहा जाता है:

फैलाव है बिखरने की विशेषताएक यादृच्छिक चर के मूल्य एक्सइसके औसत मूल्य के सापेक्ष एम(एक्स) विचरण का आयाम यादृच्छिक चर वर्ग के आयाम के बराबर है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण (8) और गणितीय अपेक्षा (5) की परिभाषाओं के आधार पर और (6) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, हम प्रसरण के लिए समान अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

(9)

यहां एम = एम(एक्स).

फैलाव गुण:

मानक विचलन:

(11)

चूंकि मानक विचलन का आयाम यादृच्छिक चर के समान होता है, इसलिए यह फैलाव के माप के रूप में उपयोग किए जाने वाले विचरण से अधिक होता है।

वितरण क्षण। गणितीय अपेक्षा और विचरण की अवधारणाएँ यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं - वितरण क्षण. एक यादृच्छिक चर के वितरण क्षणों को एक यादृच्छिक चर के कुछ सरल कार्यों की गणितीय अपेक्षाओं के रूप में पेश किया जाता है। तो, आदेश का क्षण कबिंदु के सापेक्ष एक्स 0 उम्मीद कहा जाता है एम(एक्स–एक्स 0 )क. उत्पत्ति के सापेक्ष क्षण एक्स= 0 कहा जाता है प्रारंभिक क्षणऔर चिह्नित हैं:

(12)

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण माना यादृच्छिक चर का वितरण केंद्र है:

(13)

वितरण केंद्र के सापेक्ष क्षण एक्स= एमबुलाया केंद्रीय क्षणऔर चिह्नित हैं:

(14)

से (7) यह इस प्रकार है कि पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है:

केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के मूल्यों की उत्पत्ति पर निर्भर नहीं करते हैं, क्योंकि एक स्थिर मूल्य द्वारा बदलाव के साथ सेइसके वितरण के केंद्र को उसी मान से स्थानांतरित कर दिया गया है से, और केंद्र से विचलन नहीं बदलता है: एक्स – एम = (एक्स – से) – (एम – से).
अब यह स्पष्ट है कि फैलाव- ये है दूसरा क्रम केंद्रीय क्षण:

विषमता। तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(17)

मूल्यांकन करने के लिए कार्य करता है वितरण विषमता. यदि वितरण बिंदु के बारे में सममित है एक्स= एम, तो तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होगा (साथ ही विषम आदेशों के सभी केंद्रीय क्षण)। इसलिए, यदि तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से भिन्न है, तो वितरण सममित नहीं हो सकता है। विषमता के परिमाण का अनुमान एक आयामहीन का उपयोग करके लगाया जाता है विषमता गुणांक:

(18)

विषमता गुणांक (18) का चिह्न दाएं तरफा या बाएं तरफा विषमता (चित्र 2) को इंगित करता है।

चावल। 2. वितरण की विषमता के प्रकार।

अतिरिक्त। चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(19)

तथाकथित का मूल्यांकन करने के लिए कार्य करता है कुकुदता, जो सामान्य वितरण वक्र के संबंध में वितरण केंद्र के पास वितरण वक्र की स्थिरता (बिंदु) की डिग्री निर्धारित करता है। चूंकि एक सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस के रूप में ली गई मात्रा है:

(20)

अंजीर पर। 3 कर्टोसिस के विभिन्न मूल्यों के साथ वितरण घटता के उदाहरण दिखाता है। सामान्य वितरण के लिए इ= 0. सामान्य वक्र से अधिक शिखर वाले वक्रों में सकारात्मक कर्टोसिस होता है, और अधिक सपाट चोटियों वाले वक्रों में ऋणात्मक कुर्टोसिस होता है।

चावल। 3. वितरण वक्र विभिन्न डिग्री की स्थिरता (कुर्टोसिस) के साथ।

गणितीय आँकड़ों के इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उच्च क्रम के क्षणों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है।

फ़ैशन अलगयादृच्छिक चर इसका सबसे संभावित मूल्य है। फ़ैशन निरंतरएक यादृच्छिक चर इसका वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है (चित्र 2)। यदि वितरण वक्र में एक अधिकतम है, तो वितरण कहलाता है यूनिमॉडल. यदि वितरण वक्र में एक से अधिक अधिकतम हों, तो वितरण कहलाता है बहुविध. कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके वक्र अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होते हैं। इस तरह के वितरण को कहा जाता है प्रतिरूप. सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। किसी विशेष मामले में, के लिए मॉडल, अर्थात। एक मोड, एक सममित वितरण, और बशर्ते कि गणितीय अपेक्षा हो, बाद वाला वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

मंझला अनियमित चर एक्सइसका अर्थ है मैं, जिसके लिए समानता है: अर्थात। यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सकम या ज्यादा होगा मैं. ज्यामितीय मंझलाउस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)। सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका, बहुलक और माध्य समान होते हैं।