स्वतंत्र पुनर्परीक्षण और बर्नौली सूत्र। द्विपद वितरण

बर्नौली सूत्र- संभाव्यता सिद्धांत में एक सूत्र जो आपको किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता खोजने की अनुमति देता है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)स्वतंत्र परीक्षणों में। बर्नौली सूत्र आपको बड़ी संख्या में गणनाओं से छुटकारा पाने की अनुमति देता है - संभावनाओं का जोड़ और गुणा - पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ। इसका नाम उत्कृष्ट स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया, जिन्होंने यह सूत्र निकाला।

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संभाव्यता सिद्धांत। 22. बर्नौली सूत्र। समस्या को सुलझाना

बर्नौली सूत्र

20 बार-बार परीक्षण बर्नौली फॉर्मूला

उपशीर्षक

शब्दों

प्रमेय।यदि प्रायिकता पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)प्रतिस्पर्धा ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)प्रत्येक परीक्षण में स्थिर है, तो प्रायिकता पी के , एन (\displaystyle P_(k,n))कि घटना ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)बिल्कुल आता है k (\displaystyle k)एक बार n (\displaystyle n)स्वतंत्र परीक्षण के बराबर है: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), कहाँ पे q = 1 - p (\displaystyle q=1-p).

सबूत

इसे आयोजित होने दें n (\displaystyle n)स्वतंत्र परीक्षण, और यह ज्ञात है कि प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक घटना ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)संभावना के साथ आता है पी (ए) = पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी\बाएं(ए\दाएं)=पी)और इसलिए संभावना के साथ नहीं होता है पी (ए ¯) = 1 - पी = क्यू (\displaystyle पी\बाएं((\बार (ए))\दाएं)=1-p=q). चलो, प्रायिकता परीक्षण के दौरान भी पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)तथा q (\displaystyle q)अपरिवर्तित रहना। इसकी क्या प्रायिकता है कि परिणामस्वरूप n (\displaystyle n)स्वतंत्र परीक्षण, घटना ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)बिल्कुल आता है k (\displaystyle k)एक बार?

यह पता चला है कि परीक्षण परिणामों के "सफल" संयोजनों की संख्या की सटीक गणना करना संभव है जिसके लिए घटना ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)आता हे k (\displaystyle k)एक बार n (\displaystyle n)स्वतंत्र परीक्षण, वास्तव में संख्या संयोजन का है n (\displaystyle n)पर k (\displaystyle k) :

सी एन (के) = एन! क! (एन - के)! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n .){k!\left(n-k\right)!}}} !}.

साथ ही, चूंकि सभी परीक्षण स्वतंत्र हैं और उनके परिणाम असंगत हैं (घटना ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)या तो होता है या नहीं), तो "सफल" संयोजन प्राप्त करने की संभावना बिल्कुल है:।

अंत में, प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कि n (\displaystyle n)स्वतंत्र परीक्षण घटना ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)बिल्कुल आता है k (\displaystyle k)कई बार, आपको सभी "सफल" संयोजन प्राप्त करने की संभावनाओं को जोड़ना होगा। सभी "सफल" संयोजन प्राप्त करने की संभावनाएं समान और समान हैं p k q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), "सफल" संयोजनों की संख्या है सी एन (के) (\displaystyle सी_(एन)(के)), तो हम अंत में प्राप्त करते हैं:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k = C n k p k ⋅ (1 - p) n - k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

अंतिम अभिव्यक्ति बर्नौली सूत्र के अलावा और कुछ नहीं है। यह भी ध्यान रखना उपयोगी है कि, घटनाओं के समूह की पूर्णता के कारण, यह सत्य होगा:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).

विचार करना द्विपद वितरण, इसकी गणितीय अपेक्षा, प्रसरण, बहुलक की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन BINOM.DIST () का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व ग्राफ़ प्लॉट करेंगे। आइए हम वितरण पैरामीटर p का अनुमान लगाएं, गणितीय अपेक्षावितरण और मानक विचलन. बर्नौली वितरण पर भी विचार करें।

परिभाषा. उन्हें आयोजित होने दें एनपरीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में केवल 2 घटनाएं हो सकती हैं: घटना "सफलता" एक संभावना के साथ पी या घटना "विफलता" संभावना के साथ क्यू = 1-पी (तथाकथित बरनौली योजना,Bernoulliपरीक्षणों).

ठीक-ठीक आने की प्रायिकता एक्स इनमें सफलता एन परीक्षण के बराबर है:

नमूने में सफलताओं की संख्या एक्स एक यादृच्छिक चर है जिसमें द्विपद वितरण(अंग्रेज़ी) द्विपदवितरण) पीतथा एन– इस वितरण के पैरामीटर हैं।

याद रखें कि आवेदन करने के लिए बर्नौली योजनाएंऔर तदनुसार द्विपद वितरण,निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:

• प्रत्येक परीक्षण के ठीक दो परिणाम होने चाहिए, जिन्हें सशर्त रूप से "सफलता" और "विफलता" कहा जाता है।
• प्रत्येक परीक्षण का परिणाम पिछले परीक्षणों (परीक्षण स्वतंत्रता) के परिणामों पर निर्भर नहीं होना चाहिए।
• सफलता दर पी सभी परीक्षणों के लिए स्थिर होना चाहिए।

एमएस एक्सेल में द्विपद वितरण

MS EXCEL में, संस्करण 2010 से शुरू, के लिए द्विपद वितरणएक फ़ंक्शन है BINOM.DIST() , अंग्रेजी शीर्षक- BINOM.DIST (), जो आपको इस संभावना की गणना करने की अनुमति देता है कि नमूना बिल्कुल होगा एक्स"सफलताएं" (यानी। संभाव्यता घनत्व कार्य p(x), ऊपर सूत्र देखें), और अभिन्न वितरण समारोह(संभावना है कि नमूना होगा एक्सया कम "सफलताएं", 0 सहित)।

MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL में BINOMDIST () फ़ंक्शन था, जो आपको गणना करने की भी अनुमति देता है वितरण समारोहतथा संभावित गहराईपी (एक्स)। अनुकूलता के लिए BINOMDIST () को MS EXCEL 2010 में छोड़ दिया गया है।

उदाहरण फ़ाइल में ग्राफ़ हैं संभाव्यता वितरण घनत्वतथा .

द्विपद वितरणपदनाम है बी(एन; पी) .

टिप्पणी: भवन निर्माण के लिए अभिन्न वितरण समारोहसही फिट चार्ट प्रकार अनुसूची, के लिये वितरण घनत्व – समूहन के साथ हिस्टोग्राम. चार्ट बनाने के बारे में अधिक जानकारी के लिए आलेख मुख्य प्रकार के चार्ट पढ़ें।

टिप्पणी: उदाहरण फ़ाइल में सूत्र लिखने की सुविधा के लिए, मापदंडों के लिए नाम बनाए गए हैं द्विपद वितरण: एन और पी।

उदाहरण फ़ाइल MS EXCEL फ़ंक्शंस का उपयोग करके विभिन्न संभाव्यता गणनाएँ दिखाती है:

जैसा कि ऊपर की तस्वीर में देखा गया है, यह माना जाता है कि:

• जिस अनंत जनसंख्या से नमूना बनाया गया है उसमें 10% (या 0.1) अच्छे तत्व (पैरामीटर .) हैं पी, तीसरा फ़ंक्शन तर्क =BINOM.DIST() )
• प्रायिकता की गणना करने के लिए कि 10 तत्वों के नमूने में (पैरामीटर .) एन, फ़ंक्शन का दूसरा तर्क) ठीक 5 मान्य तत्व होंगे (पहला तर्क), आपको सूत्र लिखने की आवश्यकता है: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• अंतिम, चौथा तत्व सेट है = FALSE, यानी। फ़ंक्शन मान लौटाया जाता है वितरण घनत्व.

यदि चौथे तर्क का मान = TRUE है, तो BINOM.DIST() फ़ंक्शन मान लौटाता है अभिन्न वितरण समारोहया केवल वितरण समारोह. इस मामले में, आप इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि नमूने में अच्छी वस्तुओं की संख्या एक निश्चित सीमा से होगी, उदाहरण के लिए, 2 या उससे कम (0 सहित)।

ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र लिखना होगा:
= BINOM.DIST(2, 10, 0.1, TRUE)

टिप्पणी: x के गैर-पूर्णांक मान के लिए, . उदाहरण के लिए, निम्न सूत्र समान मान लौटाएंगे:
= बिनोम। जिला ( 2 ; दस; 0.1; सच)
= बिनोम। जिला ( 2,9 ; दस; 0.1; सच)

टिप्पणी: उदाहरण फ़ाइल में संभावित गहराईतथा वितरण समारोहपरिभाषा और COMBIN () फ़ंक्शन का उपयोग करके भी गणना की जाती है।

वितरण संकेतक

पर शीट पर उदाहरण फ़ाइल उदाहरणकुछ वितरण संकेतकों की गणना के लिए सूत्र हैं:

• = एन * पी;
• (वर्ग मानक विचलन) = n*p*(1-p);
• = (एन+1)*पी;
• =(1-2*p)*रूट(n*p*(1-p)).

हम सूत्र प्राप्त करते हैं गणितीय अपेक्षा द्विपद वितरणका उपयोग करते हुए बर्नौली योजना.

परिभाषा के अनुसार, एक यादृच्छिक चर X in बर्नौली योजना(बर्नौली यादृच्छिक चर) है वितरण समारोह:

इस वितरण को कहा जाता है बर्नौली वितरण.

टिप्पणी: बर्नौली वितरण- विशेष मामला द्विपद वितरणपैरामीटर एन = 1 के साथ।

आइए सफलता की विभिन्न संभावनाओं के साथ 100 संख्याओं के 3 सरणियाँ उत्पन्न करें: 0.1; 0.5 और 0.9। ऐसा करने के लिए, विंडो में पीढ़ी यादृच्छिक संख्या प्रत्येक प्रायिकता p के लिए निम्नलिखित पैरामीटर सेट करें:

टिप्पणी: यदि आप विकल्प सेट करते हैं यादृच्छिक बिखराव (यादृच्छिक बीज), तो आप जेनरेट की गई संख्याओं का एक निश्चित यादृच्छिक सेट चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह विकल्प = 25 सेट करके, आप विभिन्न कंप्यूटरों पर यादृच्छिक संख्याओं के समान सेट उत्पन्न कर सकते हैं (यदि, निश्चित रूप से, अन्य वितरण पैरामीटर समान हैं)। विकल्प मान 1 से 32,767 तक पूर्णांक मान ले सकता है। विकल्प का नाम यादृच्छिक बिखरावभ्रमित कर सकते हैं। इसका अनुवाद करना बेहतर होगा यादृच्छिक संख्याओं के साथ संख्या सेट करें.

नतीजतन, हमारे पास 100 नंबरों के 3 कॉलम होंगे, जिनके आधार पर, उदाहरण के लिए, हम सफलता की संभावना का अनुमान लगा सकते हैं पीसूत्र के अनुसार: सफलताओं की संख्या/100(सेमी। उदाहरण फ़ाइल शीट बर्नौली उत्पन्न करना).

टिप्पणी: के लिये बर्नौली वितरण p=0.5 के साथ, आप सूत्र =RANDBETWEEN(0;1) का उपयोग कर सकते हैं, जो .

यादृच्छिक संख्या पीढ़ी। द्विपद वितरण

मान लीजिए नमूने में 7 दोषपूर्ण वस्तुएँ हैं। इसका मतलब है कि यह "बहुत संभावना है" कि दोषपूर्ण उत्पादों का अनुपात बदल गया है। पी, जो हमारी उत्पादन प्रक्रिया की एक विशेषता है। हालांकि यह स्थिति "बहुत संभावना" है, एक संभावना है (अल्फा जोखिम, टाइप 1 त्रुटि, "गलत अलार्म") कि पीअपरिवर्तित रहा, और दोषपूर्ण उत्पादों की बढ़ती संख्या यादृच्छिक नमूने के कारण थी।

जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में देखा जा सकता है, 7 दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या है जो समान मूल्य पर p = 0.21 के साथ एक प्रक्रिया के लिए स्वीकार्य है। अल्फा. यह दर्शाता है कि जब किसी नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की सीमा पार हो जाती है, पी"शायद" बढ़ गया। वाक्यांश "संभावना" का अर्थ है कि केवल 10% संभावना (100% -90%) है कि दहलीज से ऊपर दोषपूर्ण उत्पादों के प्रतिशत का विचलन केवल यादृच्छिक कारणों से होता है।

इस प्रकार, नमूने में दोषपूर्ण उत्पादों की दहलीज से अधिक संख्या एक संकेत के रूप में काम कर सकती है कि प्रक्रिया परेशान हो गई है और बी का उत्पादन शुरू हो गया है के बारे मेंदोषपूर्ण उत्पादों का उच्च प्रतिशत।

टिप्पणी: MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL का एक फंक्शन CRITBINOM() था, जो BINOM.INV() के बराबर है। CRITBINOM () को संगतता के लिए MS EXCEL 2010 और उच्चतर में छोड़ दिया गया है।

द्विपद वितरण का अन्य वितरणों से संबंध

यदि पैरामीटर एन द्विपद वितरणअनंत की ओर जाता है और पी 0 पर जाता है, तो इस मामले में द्विपद वितरणअनुमानित किया जा सकता है।
सन्निकटन होने पर स्थितियां बनाना संभव है पॉसों वितरणअच्छा काम करता है:

• पी<0,1 (कम पीऔर अधिक एन, अधिक सटीक सन्निकटन);
• पी>0,9 (उस पर विचार करना क्यू=1- पी, इस मामले में गणना का उपयोग करके किया जाना चाहिए क्यू(एक एक्सके साथ प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एन- एक्स) इसलिए, कम क्यूऔर अधिक एन, अधिक सटीक सन्निकटन)।

0.1 . पर<=p<=0,9 и n*p>10 द्विपद वितरणअनुमानित किया जा सकता है।

इसकी बारी में, द्विपद वितरणजनसंख्या का आकार N होने पर एक अच्छे सन्निकटन के रूप में कार्य कर सकता है हाइपरज्यामितीय वितरणनमूना आकार n से बहुत बड़ा (यानी, N>>n या n/N<<1).

आप लेख में उपरोक्त वितरणों के संबंध के बारे में अधिक पढ़ सकते हैं। सन्निकटन के उदाहरण भी वहाँ दिए गए हैं, और शर्तों को समझाया गया है कि यह कब संभव है और किस सटीकता के साथ।

सलाह: आप लेख में एमएस एक्सेल के अन्य वितरणों के बारे में पढ़ सकते हैं।

आइए लंबे समय तक उदात्त के बारे में न सोचें - आइए एक परिभाषा के साथ तुरंत शुरू करें।

जब एक ही प्रकार के n स्वतंत्र प्रयोग किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में हमारे लिए रुचि की घटना A प्रकट हो सकती है, और इस घटना की संभावना P(A) = p ज्ञात होती है। यह प्रायिकता निर्धारित करने के लिए आवश्यक है कि n परीक्षणों के दौरान घटना A ठीक k बार घटित होगी।

बर्नौली योजना के अनुसार हल किए जाने वाले कार्य अत्यंत विविध हैं: साधारण लोगों से (जैसे कि "इस संभावना का पता लगाएं कि शूटर 10 में से 1 बार हिट करता है") से लेकर बहुत गंभीर (उदाहरण के लिए, प्रतिशत या ताश खेलने के लिए कार्य) . वास्तव में, इस योजना का उपयोग अक्सर उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण और विभिन्न तंत्रों की विश्वसनीयता से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जिनकी सभी विशेषताओं को काम शुरू करने से पहले जानना चाहिए।

आइए परिभाषा पर वापस जाएं। चूंकि हम स्वतंत्र परीक्षणों के बारे में बात कर रहे हैं, और प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की संभावना समान है, केवल दो परिणाम संभव हैं:

1. A, प्रायिकता p के साथ घटना A का घटित होना है;
2. "नहीं A" - घटना A प्रकट नहीं हुई, जो प्रायिकता q = 1 - p के साथ घटित होती है।

सबसे महत्वपूर्ण शर्त जिसके बिना बर्नौली योजना अपना अर्थ खो देती है वह है निरंतरता। हम चाहे कितने भी प्रयोग करें, हम उसी घटना A में रुचि रखते हैं, जो समान प्रायिकता p के साथ घटित होती है।

संयोग से, संभाव्यता सिद्धांत में सभी समस्याओं को स्थिर स्थितियों में कम नहीं किया जा सकता है। उच्च गणित में कोई भी सक्षम शिक्षक आपको इसके बारे में बताएगा। यहां तक ​​​​कि एक बॉक्स से रंगीन गेंदों को चुनना जितना आसान है, निरंतर परिस्थितियों के साथ प्रयोग नहीं है। उन्होंने एक और गेंद निकाली - बॉक्स में रंगों का अनुपात बदल गया। इसलिए संभावनाएं भी बदल गई हैं।

यदि स्थितियां स्थिर हैं, तो कोई इस संभावना को सटीक रूप से निर्धारित कर सकता है कि घटना A n में से ठीक k बार घटित होगी। हम इस तथ्य को एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

माना कि प्रत्येक प्रयोग में घटना A के घटित होने की प्रायिकता स्थिर और p के बराबर है। तब प्रायिकता कि n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A, ठीक k बार प्रकट होगी, की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहाँ C n k संयोजनों की संख्या है, q = 1 - p।

इस सूत्र को कहा जाता है: यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि नीचे दी गई समस्याएं इस सूत्र का उपयोग किए बिना पूरी तरह से हल हो गई हैं। उदाहरण के लिए, आप संभाव्यता जोड़ सूत्र लागू कर सकते हैं। हालांकि, गणना की मात्रा केवल अवास्तविक होगी।

एक कार्य। मशीन पर खराब उत्पाद बनने की प्रायिकता 0.2 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी मशीन पर उत्पादित दस भागों के एक बैच में ठीक k दोष रहित होगा। k = 0, 1, 10 के लिए समस्या हल करें।

धारणा के अनुसार, हम बिना किसी दोष के उत्पादों की रिहाई की घटना ए में रुचि रखते हैं, जो हर बार संभावना के साथ होता है p = 1 - 0.2 = 0.8। हमें इस घटना के k बार घटित होने की प्रायिकता निर्धारित करने की आवश्यकता है। घटना ए घटना "ए नहीं" के विपरीत है, अर्थात। दोषपूर्ण उत्पाद का उत्पादन।

इस प्रकार, हमारे पास है: n = 10; पी = 0.8; क्यू = 0.2।

इसलिए, हम इस संभावना को पाते हैं कि बैच के सभी भाग दोषपूर्ण हैं (k = 0), कि केवल एक भाग दोषपूर्ण है (k = 1), और यह कि कोई भी दोषपूर्ण भाग नहीं है (k = 10):

एक कार्य। सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। हथियार और पूंछ के कोट का नुकसान समान रूप से संभावित है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

1. हथियारों का कोट तीन बार गिरेगा;
2. हथियारों का कोट एक बार गिर जाएगा;
3. हथियारों का कोट कम से कम दो बार दिखाई देगा।

इसलिए, हम घटना ए में रुचि रखते हैं, जब हथियारों का कोट गिर जाता है। इस घटना की प्रायिकता p = 0.5 है। घटना ए को घटना "ए नहीं" द्वारा काउंटर किया जाता है, जब यह पूंछ आती है, जो कि संभावना q = 1 - 0.5 = 0.5 के साथ होती है। इस संभावना को निर्धारित करना आवश्यक है कि हथियारों का कोट k बार गिर जाएगा।

इस प्रकार, हमारे पास है: n = 6; पी = 0.5; क्यू = 0.5।

आइए हम इस संभावना को निर्धारित करें कि हथियारों का कोट तीन बार गिर गया, अर्थात। कश्मीर = 3:

अब आइए इस प्रायिकता का निर्धारण करें कि हथियारों का कोट केवल एक बार गिरे, अर्थात्। कश्मीर = 1:

यह निर्धारित करना बाकी है कि किस संभावना के साथ हथियारों का कोट कम से कम दो बार गिर जाएगा। मुख्य रोड़ा "कोई कम नहीं" वाक्यांश में है। यह पता चला है कि 0 और 1 को छोड़कर कोई भी k हमारे अनुरूप होगा, अर्थात। आपको योग X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6) का मान ज्ञात करना होगा।

ध्यान दें कि यह योग भी (1 - P 6 (0) - P 6 (1)) के बराबर है, अर्थात। सभी संभावित विकल्पों में से, यह उन लोगों को "कट आउट" करने के लिए पर्याप्त है जब हथियारों का कोट 1 बार गिर गया (k = 1) या बिल्कुल भी नहीं गिरा (k = 0)। चूंकि पी 6 (1) हम पहले से ही जानते हैं, यह पी 6 (0) को खोजना बाकी है:

एक कार्य। किसी टीवी में छिपे हुए दोष होने की प्रायिकता 0.2 है। गोदाम को 20 टीवी मिले। किस घटना की अधिक संभावना है: कि इस बैच में छिपे हुए दोषों वाले दो टीवी हैं या तीन?

रुचि की घटना A एक गुप्त दोष की उपस्थिति है। कुल टीवी n = 20, एक छिपे हुए दोष की संभावना p = 0.2। तदनुसार, एक छिपे हुए दोष के बिना एक टीवी सेट प्राप्त करने की संभावना q = 1 - 0.2 = 0.8 है।

हमें बर्नौली योजना के लिए प्रारंभिक शर्तें मिलती हैं: n = 20; पी = 0.2; क्यू = 0.8।

आइए दो "दोषपूर्ण" टीवी (k = 2) और तीन (k = 3) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करें:

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

जाहिर है, पी 20 (3)> पी 20 (2), यानी। छिपे हुए दोषों के साथ तीन टीवी मिलने की संभावना केवल दो ऐसे टीवी प्राप्त करने की अधिक संभावना है। इसके अलावा, अंतर कमजोर नहीं है।

फैक्टोरियल के बारे में एक छोटी सी टिप्पणी। जब वे प्रविष्टि "0!" देखते हैं, तो बहुत से लोगों को बेचैनी का एक अस्पष्ट अनुभव होता है। (पढ़ें "शून्य भाज्य")। तो, 0! = 1 परिभाषा के अनुसार।

अनुलेख और अंतिम कार्य में सबसे बड़ी संभावना छिपे हुए दोषों के साथ चार टीवी प्राप्त करना है। गणित करो और खुद देख लो।

यह सभी देखें:

पढ़ने और दूसरों के साथ साझा करने के लिए धन्यवाद

संभाव्य समस्याओं को हल करते समय, अक्सर ऐसी परिस्थितियों का सामना करना पड़ता है जिसमें एक ही परीक्षण कई बार दोहराया जाता है और प्रत्येक परीक्षण का परिणाम दूसरों के परिणामों से स्वतंत्र होता है। इस प्रयोग को भी कहा जाता है बार-बार स्वतंत्र परीक्षण की योजनाया बर्नौली योजना.

पुन: परीक्षण के उदाहरण:

1) कलश से एक गेंद का एकाधिक निष्कर्षण, बशर्ते कि उसके रंग के पंजीकरण के बाद निकाली गई गेंद को वापस कलश में डाल दिया जाए;

2) एक ही लक्ष्य पर शॉट के एक शूटर द्वारा दोहराव, बशर्ते कि प्रत्येक शॉट के साथ एक सफल हिट की संभावना को समान माना जाता है (शून्यिंग की भूमिका को ध्यान में नहीं रखा जाता है)।

तो, परीक्षण के परिणामस्वरूप संभव होने दें दो परिणाम: या तो एक घटना दिखाई देगी लेकिन, या इसके विपरीत घटना। आइए बर्नौली परीक्षण करें। इसका मतलब है कि सभी n परीक्षण स्वतंत्र हैं; प्रत्येक व्यक्ति या एकल परीक्षण में घटना $A$ की घटना की संभावना स्थिर है और परीक्षण से परीक्षण में नहीं बदलती है (यानी, परीक्षण समान परिस्थितियों में किए जाते हैं)। आइए हम एक ही परीक्षण में घटना $A$ के घटित होने की संभावना को अक्षर $p$ द्वारा निरूपित करें, अर्थात। $p=P(A)$, और विपरीत घटना की संभावना (घटना $A$ नहीं हुई) अक्षर $q=P(\overline(A))=1-p$ द्वारा दी गई है।

तब संभावना है कि घटना लेकिनइनमें दिखाई देंगे एनपरीक्षण बिल्कुल कबार, व्यक्त बर्नौली सूत्र

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

सफलताओं की संख्या (एक घटना की घटनाओं) के वितरण को कहा जाता है द्विपद वितरण.

बर्नौली सूत्र के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर

बर्नौली सूत्र का उपयोग करने वाली कुछ सबसे लोकप्रिय प्रकार की समस्याओं का विश्लेषण लेखों में किया जाता है और एक ऑनलाइन कैलकुलेटर प्रदान किया जाता है, आप लिंक का उपयोग करके उनके पास जा सकते हैं:

बर्नौली सूत्र पर समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण।एक कलश में 20 सफेद और 10 काली गेंदें हैं। 4 गेंदें निकाली जाती हैं, और निकाली गई प्रत्येक गेंद को कलश में वापस कर दिया जाता है, इससे पहले कि अगली गेंद निकाली जाती है और कलश में गेंदों को मिलाया जाता है।

बर्नौली सूत्र। समस्या को सुलझाना

खींची गई 4 गेंदों में से 2 के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।आयोजन लेकिन- एक सफेद गेंद मिली। तब संभावनाएं
, .
बर्नौली सूत्र के अनुसार, अभीष्ट प्रायिकता है
.

उदाहरण। 5 बच्चों वाले परिवार में 3 से अधिक लड़कियों के न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। लड़का और लड़की होने की संभावना समान मानी जाती है।

समाधान।लड़की होने की प्रायिकता
, फिर ।

आइए इस संभावना को खोजें कि परिवार में कोई लड़की नहीं है, एक, दो या तीन लड़कियों का जन्म हुआ:

, ,

, .

इसलिए, वांछित संभावना

.

उदाहरण।कार्यकर्ता द्वारा संसाधित भागों में औसतन 4% गैर-मानक होते हैं। परीक्षण के लिए लिए गए 30 भागों में से दो के गैर-मानक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।यहाँ अनुभव गुणवत्ता के लिए 30 भागों में से प्रत्येक की जाँच करने में निहित है।

घटना ए "एक गैर-मानक भाग की उपस्थिति" है, इसकी संभावना है, तो। यहाँ से, बर्नौली सूत्र द्वारा, हम पाते हैं
.

उदाहरण।बंदूक से प्रत्येक व्यक्ति के शॉट के लिए, लक्ष्य को मारने की संभावना 0.9 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 20 शॉट्स में से सफल शॉट्स की संख्या कम से कम 16 और अधिकतम 19 होगी।

समाधान।हम बर्नौली सूत्र द्वारा गणना करते हैं:

उदाहरण।घटना तक स्वतंत्र परीक्षण जारी है लेकिनकभी नहीं हुआ कएक बार। इसके लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए एनपरीक्षण (n k), यदि उनमें से प्रत्येक में .

समाधान।आयोजन पर- बिल्कुल एनपहले परीक्षण क-घटना की घटना लेकिननिम्नलिखित दो घटनाओं का उत्पाद है:

डी-IN एनवां परीक्षण लेकिनहो गई;

सी - पहले (एन-1)वां परीक्षण लेकिनदिखाई दिया (के-1)एक बार।

गुणन प्रमेय और बर्नौली का सूत्र आवश्यक प्रायिकता देता है:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि द्विपद कानून का उपयोग अक्सर कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा होता है। इसलिए, बढ़ते मूल्यों के साथ एनतथा एमअनुमानित सूत्रों (पॉइसन, मोइवर-लाप्लास) का उपयोग करना समीचीन हो जाता है, जिसकी चर्चा निम्नलिखित अनुभागों में की जाएगी।

वीडियो ट्यूटोरियल बर्नौली का सूत्र

उन लोगों के लिए जो अनुक्रमिक वीडियो स्पष्टीकरण में अधिक दृश्यमान हैं, एक 15-मिनट का वीडियो:

टोटल प्रोबेबिलिटी फॉर्मूला: थ्योरी और प्रॉब्लम सॉल्विंग के उदाहरण

कुल संभाव्यता सूत्र और घटनाओं की सशर्त संभावनाएं

कुल संभावना सूत्र संभाव्यता सिद्धांत के मूल नियमों का परिणाम है - जोड़ का नियम और गुणन का नियम।

कुल संभाव्यता सूत्र आपको किसी घटना की संभावना खोजने की अनुमति देता है ए, जो केवल प्रत्येक के साथ हो सकता है एनपारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं जो एक पूर्ण प्रणाली बनाती हैं यदि उनकी संभावनाएं ज्ञात हैं, और सशर्त संभावनाएं घटनाक्रम एप्रणाली की प्रत्येक घटना के संबंध में बराबर हैं।

घटनाओं को परिकल्पना भी कहा जाता है, वे परस्पर अनन्य हैं। इसलिए, साहित्य में आप उनके पदनाम को अक्षर से नहीं पा सकते हैं बी, लेकिन एक पत्र के साथ एच(परिकल्पना)।

ऐसी स्थितियों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए, 3, 4, 5, या सामान्य स्थिति में विचार करना आवश्यक है एनघटना की संभावना एहर घटना के साथ।

प्रायिकताओं के योग और गुणन के प्रमेयों का उपयोग करके, हम सिस्टम की प्रत्येक घटना की प्रायिकता के उत्पादों का योग प्राप्त करते हैं सशर्त संभाव्यता घटनाक्रम एसिस्टम में प्रत्येक घटना के लिए।

बर्नौली के 21 परीक्षण। बर्नौली सूत्र

यानी किसी घटना की प्रायिकता एसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

या सामान्य तौर पर

,

जिसे कहा जाता है कुल संभावना सूत्र .

कुल प्रायिकता सूत्र: समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1तीन समान दिखने वाले कलश हैं: पहले में 2 सफेद गेंदें और 3 काली गेंदें हैं, दूसरे में 4 सफेद और एक काला है, तीसरे में तीन सफेद गेंदें हैं। कोई बेतरतीब ढंग से कलशों में से एक के पास आता है और उसमें से एक गेंद निकालता है। लाभ उठा कुल संभावना सूत्रगेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। आयोजन ए- एक सफेद गेंद की उपस्थिति। हमने तीन परिकल्पनाएँ सामने रखीं:

- पहला कलश चुना गया है;

- दूसरा कलश चुना जाता है;

- तीसरा कलश चुना जाता है।

सशर्त घटना संभावनाएं एप्रत्येक परिकल्पना के लिए:

, , .

हम परिणाम के रूप में कुल संभाव्यता सूत्र लागू करते हैं - आवश्यक संभावना:

.

उदाहरण 2पहले संयंत्र में, प्रत्येक 100 प्रकाश बल्बों में से, औसतन 90 मानक वाले, दूसरे में - 95, तीसरे में - 85, और इन कारखानों के उत्पादों का उत्पादन 50%, 30% और 20% होता है, एक निश्चित क्षेत्र की दुकानों को आपूर्ति किए गए सभी बिजली के बल्बों का क्रमशः। एक मानक प्रकाश बल्ब खरीदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए हम एक मानक प्रकाश बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता को निरूपित करें: ए, और घटनाएँ कि खरीदे गए प्रकाश बल्ब का निर्माण क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे कारखानों में किया गया था। शर्त के अनुसार, इन घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात होती हैं: , , और घटना की सशर्त प्रायिकताएँ एउनमें से प्रत्येक के बारे में: , , . ये एक मानक प्रकाश बल्ब प्राप्त करने की संभावनाएं हैं, बशर्ते कि यह क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे कारखानों में निर्मित हो।

आयोजन एयदि कोई घटना घटित होती है तो घटित होगी या क- प्रकाश बल्ब पहले कारखाने में बनाया जाता है और मानक या एक घटना है ली- प्रकाश बल्ब दूसरे कारखाने में बनाया गया है और मानक है, या एक घटना है एम- लाइट बल्ब तीसरे कारखाने में निर्मित होता है और मानक है।

घटना के घटित होने की अन्य संभावनाएं एना। इसलिए, घटना एघटनाओं का योग है क, लीतथा एमजो असंगत हैं। संभाव्यता जोड़ प्रमेय को लागू करते हुए, हम एक घटना की संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं एजैसा

और प्रायिकता गुणन प्रमेय से हमें प्राप्त होता है

वह है, कुल संभाव्यता सूत्र का एक विशेष मामला.

प्रायिकताओं को सूत्र के बाईं ओर से प्रतिस्थापित करने पर, हम घटना की प्रायिकता प्राप्त करते हैं ए:

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उदाहरण 3विमान एयरपोर्ट पर उतर रहा है। यदि मौसम अनुमति देता है, तो पायलट उपकरण के अलावा, दृश्य अवलोकन का उपयोग करते हुए, विमान को लैंड करता है। इस मामले में, एक सफल लैंडिंग की संभावना है। यदि हवाई क्षेत्र कम बादलों से घिरा हुआ है, तो पायलट केवल उपकरणों पर उन्मुख होकर, विमान को लैंड करता है। इस मामले में, एक सफल लैंडिंग की संभावना है; .

अंधा लैंडिंग प्रदान करने वाले उपकरणों में विश्वसनीयता होती है (विफलता मुक्त संचालन की संभावना) पी. कम बादल और असफल अंधा लैंडिंग उपकरणों की उपस्थिति में, एक सफल लैंडिंग की संभावना है; . आंकड़े बताते हैं कि कलैंडिंग का%, हवाई क्षेत्र कम बादलों से ढका हुआ है। पाना घटना की पूरी संभावनाए- विमान की सुरक्षित लैंडिंग।

समाधान। परिकल्पना:

- कोई कम बादल नहीं;

- कम बादल छाए हुए हैं।

इन परिकल्पनाओं (घटनाओं) की संभावनाएं:

;

सशर्त संभाव्यता।

सशर्त संभाव्यता फिर से परिकल्पना के साथ कुल संभावना के लिए सूत्र द्वारा पाई जाती है

- ब्लाइंड लैंडिंग डिवाइस काम कर रहे हैं;

- ब्लाइंड लैंडिंग डिवाइस फेल हो गए।

इन परिकल्पनाओं की संभावनाएं हैं:

कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार

उदाहरण 4डिवाइस दो मोड में काम कर सकता है: सामान्य और असामान्य। डिवाइस के संचालन के सभी मामलों के 80% में सामान्य मोड देखा जाता है, और असामान्य - 20% मामलों में। एक निश्चित समय में डिवाइस के खराब होने की प्रायिकता टी 0.1 के बराबर; असामान्य 0.7 में। पाना पूर्ण संभावनासमय में डिवाइस की विफलता टी.

समाधान। हम फिर से डिवाइस की विफलता की संभावना को निरूपित करते हैं: ए. तो, प्रत्येक मोड (घटनाओं) में डिवाइस के संचालन के संबंध में, संभावनाओं को स्थिति से जाना जाता है: सामान्य मोड के लिए यह 80% () है, असामान्य मोड के लिए - 20% ()। घटना की संभावना ए(यानी, डिवाइस की विफलता) पहली घटना (सामान्य मोड) के आधार पर 0.1 (); दूसरी घटना के आधार पर (असामान्य मोड) - 0.7 ( ) हम इन मानों को कुल संभाव्यता सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं (अर्थात, सिस्टम की प्रत्येक घटना की संभावना के उत्पादों का योग और घटना की सशर्त संभावना एसिस्टम की प्रत्येक घटना के संबंध में) और हमारे पास आवश्यक परिणाम है।

बार-बार स्वतंत्र परीक्षणों की परिभाषा। संभाव्यता और सबसे संभावित संख्या की गणना के लिए बर्नौली सूत्र। बर्नौली सूत्र के लिए स्पर्शोन्मुख सूत्र (स्थानीय और अभिन्न, लाप्लास के प्रमेय)। अभिन्न प्रमेय का उपयोग करना। पॉइसन का सूत्र, असंभावित यादृच्छिक घटनाओं के लिए।

बार-बार स्वतंत्र परीक्षण

व्यवहार में, किसी को ऐसे कार्यों से निपटना पड़ता है जिन्हें बार-बार दोहराए जाने वाले परीक्षणों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक घटना ए प्रकट हो सकती है या नहीं भी हो सकती है। साथ ही, ब्याज का परिणाम प्रत्येक "व्यक्तिगत परीक्षण का परिणाम नहीं है, बल्कि एक निश्चित संख्या में परीक्षणों के परिणामस्वरूप घटना ए की घटनाओं की कुल संख्या है। ऐसी समस्याओं में, किसी को संभाव्यता निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए n परीक्षणों के परिणामस्वरूप घटना A की घटनाओं की किसी भी संख्या m की। उस मामले पर विचार करें जब परीक्षण स्वतंत्र हों और प्रत्येक परीक्षण में घटना A की संभावना घटना स्थिर हो। ऐसे परीक्षणों को कहा जाता है बार-बार निर्दलीय

स्वतंत्र परीक्षण का एक उदाहरण कई बैचों में से एक से लिए गए उत्पादों की उपयुक्तता का परीक्षण करना होगा। यदि इन बैचों में दोषों का प्रतिशत समान है, तो प्रत्येक मामले में चयनित उत्पाद के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता एक स्थिर संख्या है।

बर्नौली सूत्र

आइए अवधारणा का उपयोग करें कठिन घटना, जिसका अर्थ है कई प्राथमिक घटनाओं का संयोजन, जिसमें i -th टेस्ट में घटना A का प्रकट होना या न होना शामिल है। मान लीजिए n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक घटना में A या तो प्रायिकता p के साथ प्रकट हो सकता है या प्रायिकता q=1-p के साथ प्रकट नहीं हो सकता है। घटना बी_एम पर विचार करें, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि इन एन परीक्षणों में घटना ए बिल्कुल एम बार होगी और इसलिए, बिल्कुल (एन-एम) बार नहीं होगी। निरूपित A_i~(i=1,2,\ldots,(n))घटना A की घटना, a \overline(A)_i - i-वें परीक्षण में घटना A का न होना। परीक्षण की स्थिति की स्थिरता के कारण, हमारे पास है

ईवेंट A, विपरीत ईवेंट \overline(A) के साथ बारी-बारी से विभिन्न अनुक्रमों या संयोजनों में m बार प्रकट हो सकता है। इस प्रकार के संभावित संयोजनों की संख्या m द्वारा n तत्वों के संयोजनों की संख्या के बराबर है, अर्थात C_n^m । इसलिए, घटना B_m को एक दूसरे के साथ असंगत जटिल घटनाओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, और शब्दों की संख्या C_n^m के बराबर है:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

जहाँ घटना A प्रत्येक उत्पाद में m बार और \overline(A) - (n-m) बार होती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता गुणन प्रमेय के अनुसार सूत्र (3.1) में शामिल प्रत्येक यौगिक घटना की प्रायिकता p^(m)q^(n-m) के बराबर है। चूंकि इस तरह की घटनाओं की कुल संख्या C_n^m के बराबर है, फिर, असंगत घटनाओं के लिए संभाव्यता जोड़ प्रमेय का उपयोग करके, हम घटना की संभावना प्राप्त करते हैं B_m (हम इसे P_(m,n) द्वारा दर्शाते हैं)

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

सूत्र (3.2) कहलाता है बर्नौली सूत्र, और बार-बार परीक्षण जो स्वतंत्रता की स्थिति को संतुष्ट करते हैं और उनमें से प्रत्येक में घटना ए के घटित होने की संभावनाओं की निरंतरता को कहा जाता है बर्नौली परीक्षण, या बर्नौली योजना।

उदाहरण 1. खराद पर मशीनिंग भागों के 0.07 होने पर सहिष्णुता क्षेत्र से आगे जाने की संभावना है। इस संभावना का निर्धारण करें कि शिफ्ट के दौरान बेतरतीब ढंग से चुने गए पांच भागों में से एक व्यास आयाम निर्दिष्ट सहिष्णुता के अनुरूप नहीं है।

समाधान। समस्या की स्थिति बर्नौली योजना की आवश्यकताओं को पूरा करती है। इसलिए, मानते हुए n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, सूत्र (3.2) से हम प्राप्त करते हैं

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\approx0,\!262.

उदाहरण 2. अवलोकनों ने स्थापित किया है कि सितंबर में किसी क्षेत्र में 12 बरसात के दिन होते हैं। क्या प्रायिकता है कि इस महीने यादृच्छिक रूप से लिए गए 8 दिनों में से 3 दिन बरसाती होंगे?

समाधान।

P_(3;8)=C_8^3(\बाएं(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

घटना की घटनाओं की सबसे संभावित संख्या

सबसे संभावित उपस्थिति n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A को ऐसी संख्या m_0 कहा जाता है जिसके लिए इस संख्या के संगत प्रायिकता से अधिक या, के अनुसार कम से कम, घटना ए की अन्य संभावित घटना संख्याओं में से प्रत्येक की संभावना से कम नहीं। सबसे संभावित संख्या निर्धारित करने के लिए, घटना की संभावित संख्या की संभावनाओं की गणना करना आवश्यक नहीं है, यह एक अलग परीक्षण में परीक्षणों की संख्या और घटना ए की घटना की संभावना को जानने के लिए पर्याप्त है। मान लीजिए P_(m_0,n) सर्वाधिक संभावित संख्या m_0 के संगत प्रायिकता को दर्शाता है। सूत्र (3.2) का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

सर्वाधिक संभावित संख्या की परिभाषा के अनुसार, घटना A के क्रमशः m_0+1 और m_0-1 बार होने की प्रायिकता कम से कम P_(m_0,n) की प्रायिकता से अधिक नहीं होनी चाहिए, अर्थात।

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

मान P_(m_0,n) और प्रायिकताओं के लिए व्यंजक P_(m_0+1,n) और P_(m_0-1,n) को असमानताओं में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

इन असमानताओं को m_0 के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

पिछली असमानताओं को मिलाकर, हमें एक दोहरी असमानता मिलती है, जिसका उपयोग सबसे संभावित संख्या निर्धारित करने के लिए किया जाता है:

एनपी-क्यू\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

चूंकि असमानता (3.4) द्वारा परिभाषित अंतराल की लंबाई एक के बराबर है, अर्थात।

(एनपी+पी)-(एनपी-क्यू)=पी+क्यू=1,

और एक घटना n परीक्षणों में केवल एक पूर्णांक संख्या में घटित हो सकती है, तो यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि:

1) यदि np-q एक पूर्णांक है, तो सबसे संभावित संख्या के दो मान हैं, अर्थात्: m_0=np-q और m"_0=np-q+1=np+p ;

2) यदि np-q एक भिन्नात्मक संख्या है, तो एक सबसे संभावित संख्या है, अर्थात्: असमानता से प्राप्त भिन्नात्मक संख्याओं के बीच एकमात्र पूर्णांक (3.4);

3) यदि np एक पूर्णांक है, तो एक सर्वाधिक संभावित संख्या है, अर्थात्: m_0=np ।

n के बड़े मानों के लिए, सबसे संभावित संख्या के अनुरूप प्रायिकता की गणना करने के लिए सूत्र (3.3) का उपयोग करना असुविधाजनक है। यदि समानता (3.3) में हम स्टर्लिंग सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं

N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए मान्य है, और सबसे संभावित संख्या m_0=np लेते हैं, तो हम सबसे संभावित संख्या से संबंधित संभावना की अनुमानित गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:

P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

उदाहरण 2. यह ज्ञात है कि कारखाने द्वारा व्यापारिक आधार को आपूर्ति किए गए कुछ उत्पाद मानक की सभी आवश्यकताओं को पूरा नहीं करते हैं। 250 टुकड़ों की मात्रा में उत्पादों के एक बैच को आधार तक पहुंचाया गया। मानक की आवश्यकताओं को पूरा करने वाले उत्पादों की सबसे संभावित संख्या का पता लगाएं, और इस संभावना की गणना करें कि इस लॉट में उत्पादों की सबसे संभावित संख्या होगी।

समाधान। शर्त के अनुसार n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). असमानता (3.4) के अनुसार, हमारे पास है

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

कहाँ पे 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. इसलिए, 250 टुकड़ों के बैच में मानक की आवश्यकताओं को पूरा करने वाले उत्पादों की सबसे अधिक संभावना है। 234 के बराबर है। डेटा को सूत्र (3.5) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम बैच में सबसे अधिक संभावित आइटम होने की संभावना की गणना करते हैं:

P_(234,250)\लगभग\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\लगभग0,\!101

स्थानीय लाप्लास प्रमेय

n के बड़े मानों के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग करना बहुत कठिन है। उदाहरण के लिए, यदि n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, तो संभावना खोजने के लिए P_(30,50) अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करना आवश्यक है

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

स्वाभाविक रूप से, प्रश्न उठता है: क्या बर्नौली सूत्र का उपयोग किए बिना ब्याज की संभावना की गणना करना संभव है? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। स्थानीय लाप्लास प्रमेय एक स्पर्शोन्मुख सूत्र देता है जो आपको n परीक्षणों में घटनाओं की घटना की संभावना को लगभग m बार खोजने की अनुमति देता है, यदि परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है।

प्रमेय 3.1। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और शून्य और एक से भिन्न है, तो प्रायिकता P_(m,n) कि घटना A, n परीक्षणों में बिल्कुल m बार प्रकट होगी, लगभग बराबर है (अधिक सटीक रूप से, अधिक से अधिक n ) समारोह के मूल्य के लिए

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (एनपीक्यू))पर ।

ऐसी तालिकाएँ हैं जिनमें फ़ंक्शन मान होते हैं \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), तर्क x के सकारात्मक मूल्यों के अनुरूप। नकारात्मक तर्क मानों के लिए, समान तालिकाओं का उपयोग किया जाता है, क्योंकि \varphi(x) फ़ंक्शन सम है, अर्थात। \varphi(-x)=\varphi(x).

तो, लगभग संभावना है कि घटना ए एन परीक्षणों में ठीक एम बार दिखाई देगी,

P_(m,n)\लगभग\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),कहाँ पे x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

उदाहरण 3. 400 परीक्षणों में घटना A के ठीक 80 बार घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता 0.2 है।

समाधान। शर्त के अनुसार n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. हम स्पर्शोन्मुख लैपलेस सूत्र का उपयोग करते हैं:

P_(80,400)\लगभग\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (एक्स)।

आइए समस्या डेटा द्वारा परिभाषित मान x की गणना करें:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

तालिका adj के अनुसार, 1 हम पाते हैं \varphi(0)=0,\!3989. वांछित संभावना

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

बर्नौली सूत्र लगभग एक ही परिणाम की ओर ले जाता है (गणना उनकी बोझिलता के कारण छोड़ी जाती है):

P_(80,100)=0,\!0498.

लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय

मान लीजिए कि n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में घटना A के घटित होने की संभावना स्थिर और p के बराबर होती है। संभावना P_((m_1,m_2),n) की गणना करना आवश्यक है कि घटना A कम से कम m_1 और अधिकतम m_2 बार n परीक्षणों में दिखाई देगी (संक्षिप्तता के लिए, हम कहेंगे "m_1 से m_2 बार")। यह लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है।

प्रमेय 3.2. यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर और शून्य और एक से भिन्न है, तो लगभग प्रायिकता P_((m_1,m_2),n) वह घटना A परीक्षणों में m_1 से m_2 बार प्रकट होगी,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,डीएक्स,कहाँ पे ।

लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय के आवेदन की आवश्यकता वाली समस्याओं को हल करते समय, विशेष तालिकाओं का उपयोग किया जाता है, क्योंकि अनिश्चितकालीन अभिन्न \int(e^(-x^2/2)\,dx)प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया है। इंटीग्रल टेबल \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzएप में दिया गया है। 2, जहां फ़ंक्शन के मान \Phi(x) x के सकारात्मक मानों के लिए दिए गए हैं, x . के लिए<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 \Phi(x)=0,\!5 ले सकता है।

तो, लगभग प्रायिकता कि घटना A, n स्वतंत्र परीक्षणों में m_1 से m_2 बार प्रकट होगी,

P_((m_1,m_2),n)\लगभग\Phi(x"")-\Phi(x"),कहाँ पे x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

उदाहरण 4. प्रायिकता कि एक भाग मानकों के उल्लंघन में निर्मित होता है, p=0,\!2 । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 400 बेतरतीब ढंग से चुने गए गैर-मानक भागों में 70 से 100 भाग होंगे।

समाधान। शर्त के अनुसार p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. आइए लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का उपयोग करें:

P_((70,100),400)\लगभग\Phi(x"")-\Phi(x").

आइए हम एकीकरण की सीमाओं की गणना करें:

निचला

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

अपर

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

इस तरह

P_((70,100),400)\लगभग\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

टेबल ऐप के अनुसार। 2 खोज

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

वांछित संभावना

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का अनुप्रयोग

यदि संख्या m (n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या) m_1 से m_2 में बदल जाएगी, तो भिन्न \frac(m-np)(\sqrt(npq))से बदल जाएगा \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"इससे पहले \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". इसलिए, लाप्लास के अभिन्न प्रमेय को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

P\बाएं\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

आइए कार्य को इस प्रायिकता को खोजने के लिए सेट करें कि सापेक्ष आवृत्ति \frac(m)(n) के निरंतर प्रायिकता p से विचलन का निरपेक्ष मान दी गई संख्या \varepsilon>0 से अधिक नहीं है। दूसरे शब्दों में, हम असमानता की संभावना पाते हैं \बाएं|\frac(एम)(एन)-पी\दाएं|\leqslant\varepsilon, जो एक ही है -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. इस संभावना को निम्नानुसार दर्शाया जाएगा: P\बाएं\(\बाएं|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). इस संभावना के लिए सूत्र (3.6) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

P\बाएं\(\बाएं|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\लगभग2\Phi\बाएं(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) ))\सही)।

उदाहरण 5. प्रायिकता कि वह भाग गैर-मानक है, p=0,\!1 । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बेतरतीब ढंग से चुने गए 400 भागों में से, गैर-मानक भागों के प्रकट होने की सापेक्ष आवृत्ति प्रायिकता p=0,\!1 से निरपेक्ष मान में 0.03 से अधिक नहीं भटकती है।

समाधान। शर्त के अनुसार n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. हमें संभावना खोजने की जरूरत है P\बाएं\(\बाएं|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). सूत्र (3.7) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

P\बाएं\(\बाएं|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

टेबल ऐप के अनुसार। 2 हम पाते हैं \Phi(2)=0,\!4772 , इसलिए 2\Phi(2)=0,\!9544 । तो, वांछित संभावना लगभग 0.9544 के बराबर है। प्राप्त परिणाम का अर्थ इस प्रकार है: यदि हम प्रत्येक 400 भागों के पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में नमूने लेते हैं, तो इनमें से लगभग 95.44% नमूनों में निरंतर संभावना p=0,\!1 से सापेक्ष आवृत्ति का विचलन होता है। निरपेक्ष मान 0.03 से अधिक नहीं होगा।

अप्रत्याशित घटनाओं के लिए पॉइसन फॉर्मूला

यदि एक अलग परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता p शून्य के करीब है, तब भी बड़ी संख्यापरीक्षण n , लेकिन उत्पाद np के एक छोटे मूल्य के साथ, लैपलेस सूत्र द्वारा प्राप्त संभावनाएं P_(m, n) पर्याप्त सटीक नहीं हैं और एक और अनुमानित सूत्र की आवश्यकता है।

प्रमेय 3.3। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है लेकिन छोटी है, स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या n काफी बड़ी है, लेकिन उत्पाद का मान np=\lambda छोटा रहता है (दस से अधिक नहीं), तो प्रायिकता वह घटना A इन परीक्षणों में m बार घटित होती है,

P_(m,n)\लगभग\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

Poisson सूत्र का उपयोग करके गणना को सरल बनाने के लिए, Poisson फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित की गई है \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(परिशिष्ट 3 देखें)।

उदाहरण 6. मान लीजिए कि एक गैर-मानक भाग के निर्माण की प्रायिकता 0.004 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 भागों में से 5 गैर-मानक होंगे।

समाधान। यहां n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. तीनों संख्याएँ प्रमेय 3.3 की आवश्यकताओं को पूरा करती हैं, इसलिए वांछित घटना P_(5,1000) की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए हम पॉइसन सूत्र का उपयोग करते हैं। \lambda=4;m=5 के साथ पॉइसन फ़ंक्शन (ऐप। 3) के मूल्यों की तालिका के अनुसार हमें मिलता है P_(5,1000)\लगभग0,\!1563.

आइए लैपलेस के सूत्र का उपयोग करके उसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले m=5 के संगत x मान की गणना करते हैं:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\लगभग\frac(1)(1,\!996)\लगभग0 ,\!501.

अतः लाप्लास सूत्र के अनुसार वांछित प्रायिकता

P_(5,1000)\लगभग\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\लगभग0,\ !1763

और बर्नौली सूत्र के अनुसार, इसका सटीक मान

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.

इस तरह, रिश्तेदारों की गलतीअनुमानित लाप्लास सूत्र का उपयोग करके संभावनाओं की गणना P_(5,1000) है

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\लगभग0,\!196, या 13,\!6\%

और पॉइसन सूत्र के अनुसार -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\लगभग0,\!007, या 0,\!7\%

यानी कई गुना कम।
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एक आयामी यादृच्छिक चर आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
गणना करने के लिए ActiveX नियंत्रण सक्षम होना चाहिए!

दोहराए गए स्वतंत्र परीक्षणों को बर्नौली परीक्षण कहा जाता है यदि प्रत्येक परीक्षण में केवल दो संभावित परिणाम होते हैं और परिणामों की संभावनाएं सभी परीक्षणों के लिए समान रहती हैं।

आमतौर पर इन दो परिणामों को "सफलता" (एस) या "विफलता" (एफ) कहा जाता है और संबंधित संभावनाओं को दर्शाया जाता है पीतथा क्यू. यह स्पष्ट है कि पी 0, क्यू 0 और पी+क्यू=1.

प्रत्येक परीक्षण के प्राथमिक घटना स्थान में दो घटनाएँ Y और H होती हैं।

प्रारंभिक घटनाओं का स्थान एनबर्नौली परीक्षण Ω 2 . शामिल है एनप्राथमिक घटनाएँ, जो के क्रम (श्रृंखला) हैं एनप्रतीक Y और H। प्रत्येक प्रारंभिक घटना अनुक्रम के संभावित परिणामों में से एक है एनबर्नौली परीक्षण। चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं, इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, प्रायिकताओं को गुणा किया जाता है, अर्थात किसी विशेष अनुक्रम की प्रायिकता प्रतीकों U और H के स्थान पर प्राप्त गुणनफल है। पीतथा क्यूक्रमशः, अर्थात्, उदाहरण के लिए: आर( )=(यू यू एन यू एन... एन यू)= पी पी क्यू पी क्यू ... क्यू क्यू पी .

ध्यान दें कि बर्नौली परीक्षण के परिणाम को अक्सर 1 और 0 से दर्शाया जाता है, और फिर अनुक्रम में प्राथमिक घटना एनबर्नौली परीक्षण - एक श्रृंखला होती है जिसमें शून्य और एक होते हैं। उदाहरण के लिए: =(1, 0, 0, ..., 1, 1, 0)।

बर्नौली परीक्षण संभाव्यता सिद्धांत में मानी जाने वाली सबसे महत्वपूर्ण योजना है। इस योजना का नाम स्विस गणितज्ञ जे. बर्नौली (1654-1705) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने कार्यों में इस मॉडल का गहराई से अध्ययन किया।

मुख्य समस्या जो यहाँ हमारे लिए रुचिकर होगी: उस घटना की प्रायिकता क्या है जिसमें एनबर्नौली परीक्षण हुआ एमसफलता?

यदि इन शर्तों को पूरा किया जाता है, तो संभावना है कि, स्वतंत्र परीक्षणों के दौरान, एक घटना बिल्कुल देखा जाएगा एम समय (कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस प्रयोग में), द्वारा निर्धारित किया जाता है बर्नौली सूत्र:

(21.1)

कहाँ पे - घटना की संभावना हर परीक्षा में, और
संभावना है कि किसी दिए गए अनुभव में एक घटना है ऐसा नहीं हुआ।

अगर हम विचार करें पी एन (एम)एक समारोह के रूप में एम, तो यह एक संभाव्यता वितरण को परिभाषित करता है, जिसे द्विपद कहा जाता है। आइए जानते हैं इस रिश्ते के बारे में पी एन (एम)से एम, 0£ एम£ एन.

घटनाक्रम बीएम ( एम = 0, 1, ..., एन) घटना की घटनाओं की एक अलग संख्या से मिलकर लेकिनमें एनपरीक्षण असंगत हैं और एक पूरा समूह बनाते हैं। फलस्वरूप,
.

अनुपात पर विचार करें:

=
=
=
.

इसलिए यह इस प्रकार है कि पी एन (एम+1)>पी एन (एम),यदि (एन- एमपी> (एम+1)क्यू, अर्थात। समारोह पी एन (एम) बढ़ता है अगर एम< एनपी- क्यू. वैसे ही, पी एन (एम+1)< पी एन (एम),यदि (एन- एमपी< (एम+1)क्यू, अर्थात। पी एन (एम)घटता है अगर एम> एनपी- क्यू.

इस प्रकार एक संख्या है एम 0 , जिस पर पी एन (एम)अपने उच्चतम मूल्य तक पहुँचता है। हमे पता करने दें एम 0 .

संख्या के अर्थ के अनुसार एम 0 हमारे पास है पी एन (एम 0)³ पी एन (एम 0 -1) और पी एन (एम 0) ³ पी एन (एम 0 +1), इसलिए

, (21.2)

. (21.3)

असमानताओं को हल करना (21.2) और (21.3) के संबंध में एम 0, हमें मिलता है:

पी/ एम 0 ³ क्यू/(एन- एम 0 +1) Þ एम 0 £ एनपी+ पी,

क्यू/(एन- एम 0 ) ³ पी/(एम 0 +1) Þ एम 0 ³ एनपी- क्यू.

तो वांछित संख्या एम 0 असमानताओं को संतुष्ट करता है

एनपी- क्यू£ एम 0 £ एनपी + पी। (21.4)

इसलिये पी+क्यू=1, तो असमानता (21.4) द्वारा परिभाषित अंतराल की लंबाई एक के बराबर है और कम से कम एक पूर्णांक है एम 0 असमानताओं को संतुष्ट करना (21.4):

1) अगर एनपी - क्यूएक पूर्णांक है, तो दो मान हैं एम 0, अर्थात्: एम 0 = एनपी - क्यूतथा एम 0 = एनपी - क्यू + 1 = एनपी + पी;

2) अगर एनपी - क्यू- भिन्नात्मक, तो एक संख्या है एम 0 , अर्थात् असमानता से प्राप्त भिन्नात्मक संख्याओं के बीच एकमात्र पूर्णांक (21.4);

3) अगर एनपीएक पूर्णांक है, तो एक संख्या है एम 0, अर्थात् एम 0 = एनपी.

संख्या एम 0 को घटना के घटित होने का सबसे संभावित या सबसे संभावित मान (संख्या) कहा जाता है एकी एक श्रृंखला में एनस्वतंत्र परीक्षण।