पहली हिट से पहले लक्ष्य को प्रायिकता के साथ दागने दें पीप्रत्येक शॉट में लक्ष्य को मारना समान है और यह पिछले शॉट्स के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, बर्नौली योजना विचाराधीन प्रयोग में क्रियान्वित की जाती है। एक यादृच्छिक चर X के रूप में हम फायर किए गए शॉट्स की संख्या पर विचार करेंगे। जाहिर है, यादृच्छिक चर X के संभावित मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं: एक्स 1 =1, एक्स 2 = 2, ... तो संभावना है कि कशॉट्स के बराबर होगा

इस सूत्र में डालना क=1,2, ... हम पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति प्राप्त करते हैं पीऔर गुणक क्यू:

इस कारण से, सूत्र (6.11) द्वारा परिभाषित बंटन कहलाता है ज्यामितिक .

अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके, यह सत्यापित करना आसान है कि

.

हमे पता करने दें संख्यात्मक विशेषताएंज्यामितीय वितरण।

DSW के लिए गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

.

हम सूत्र द्वारा फैलाव की गणना करते हैं

.

इसके लिए हम पाते हैं

.

फलस्वरूप,

.

इसलिए, अपेक्षित मूल्यऔर ज्यामितीय वितरण का प्रसरण है

. (6.12)

6.4.* जनरेटिंग फंक्शन

DSV से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, संयोजन विधियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। संयोजक विश्लेषण के सबसे विकसित सैद्धांतिक तरीकों में से एक फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि है, जो अनुप्रयोगों में सबसे शक्तिशाली तरीकों में से एक है। आइए उसे संक्षेप में जानते हैं।

यदि यादृच्छिक चर केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है, अर्थात।

,

फिर जनरेटिंग फंक्शन किसी यादृच्छिक चर के प्रायिकता बंटन को फलन कहते हैं

, (6.13)

कहाँ पे जेडएक वास्तविक या जटिल चर है। ध्यान दें कि उत्पन्न करने वाले कार्यों के सेट के बीच  ( एक्स)और कई वितरण(पी ( = ) क)} एक-से-एक पत्राचार है.

मान लीजिए यादृच्छिक चर है द्विपद वितरण

.

फिर, न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

,

वे। द्विपद बंटन का जनक फलन रूप है

. (6.14)

परिशिष्ट। पॉसों वितरण उत्पन्न करने वाला फलन

रूप है

. (6.15)

ज्यामितीय वितरण का कार्य उत्पन्न करना

रूप है

. (6.16)

जनरेटिंग फ़ंक्शंस की मदद से, DSW की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं को खोजना सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा प्रारंभिक क्षण निम्नलिखित समानता से उत्पन्न करने वाले कार्य से संबंधित हैं:

, (6.17)

. (6.18)

फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि अक्सर सुविधाजनक होती है क्योंकि कुछ मामलों में फ़ंक्शन सीडब्ल्यूआर वितरणनिर्धारित करना बहुत मुश्किल है, जबकि जनरेटिंग फ़ंक्शन को कभी-कभी खोजना आसान होता है। उदाहरण के लिए, लगातार स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों की योजना पर विचार करें, लेकिन इसमें एक बदलाव करें। माना घटना की प्रायिकता एपरीक्षण से परीक्षण में भिन्न होता है। इसका मतलब यह है कि ऐसी योजना के लिए बर्नौली सूत्र अनुपयुक्त हो जाता है। इस मामले में वितरण फलन खोजने का कार्य काफी कठिनाइयाँ प्रस्तुत करता है। हालांकि, किसी दिए गए सर्किट के लिए, जनरेटिंग फ़ंक्शन आसानी से मिल जाता है, और इसके परिणामस्वरूप, संबंधित संख्यात्मक विशेषताएं भी आसानी से मिल जाती हैं।

जनरेटिंग फ़ंक्शंस का व्यापक उपयोग इस तथ्य पर आधारित है कि यादृच्छिक चर के योग के अध्ययन को संबंधित जनक कार्यों के उत्पादों के अध्ययन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। तो, अगर 1 , 2 ,…, एनस्वतंत्र, तो

होने देना पी क =पी क (ए) में "सफलता" की संभावना है क- बर्नौली योजना में परीक्षण (क्रमशः, क्यू क =1–पी क- में "विफलता" की संभावना कवें परीक्षण)। फिर, सूत्र (6.19) के अनुसार, जनरेटिंग फ़ंक्शन का रूप होगा

. (6.20)

इस जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं

.

यहाँ यह ध्यान में रखा गया है कि पी क + क्यू क= 1। अब, सूत्र (6.1) का उपयोग करते हुए, हम दूसरा प्रारंभिक क्षण पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले गणना करते हैं

तथा
.

किसी विशेष मामले में पी 1 =पी 2 =…=पी एन =पी(अर्थात द्विपद बंटन के मामले में) यह प्राप्त सूत्रों से पता चलता है कि M= एनपी, डी = एनपीक्यू.

हम असतत यादृच्छिक चर के वितरण के सबसे सामान्य कानूनों को अलग कर सकते हैं:

• द्विपद वितरण कानून
• पॉइज़न वितरण कानून
• ज्यामितीय वितरण कानून
• हाइपरजोमेट्रिक वितरण कानून

असतत यादृच्छिक चर के दिए गए वितरण के लिए, उनके मूल्यों की संभावनाओं की गणना, साथ ही संख्यात्मक विशेषताओं (गणितीय अपेक्षा, विचरण, आदि) को कुछ "सूत्रों" के अनुसार किया जाता है। इसलिए, इस प्रकार के वितरण और उनके मूल गुणों को जानना बहुत महत्वपूर्ण है।

1. द्विपद वितरण कानून।

असतत यादृच्छिक चर $X$ के अधीन है द्विपद नियमसंभाव्यता वितरण यदि यह मान लेता है $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\ बाएं (1-पी \ दाएं)) ^ (एन-के) $। वास्तव में, यादृच्छिक चर $X$ $n$ स्वतंत्र परीक्षणों में घटना $A$ की घटनाओं की संख्या है। यादृच्छिक चर $X$ के लिए संभाव्यता वितरण कानून:

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
एक्स_आई और 0 और 1 और \डॉट्स और एन \\
\hline
p_i और P_n\बाएं(0\दाएं) और P_n\बाएं(1\दाएं) और \डॉट्स और P_n\बाएं(n\दाएं) \\
\hline
\end(सरणी)$

इस तरह के एक यादृच्छिक चर के लिए, उम्मीद $M\left(X\right)=np$ है, विचरण $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ है।

उदाहरण . परिवार में दो बच्चे हैं। एक लड़के और एक लड़की की जन्म प्रायिकता को $0.5$ के बराबर मानते हुए, यादृच्छिक चर $\xi $ - परिवार में लड़कों की संख्या के वितरण का नियम ज्ञात कीजिए।

मान लें कि यादृच्छिक चर $\xi $ परिवार में लड़कों की संख्या है। मान जो $\xi:\ 0,\ ​​1,\ 2$ ले सकते हैं। इन मानों की संभावनाओं को सूत्र $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) द्वारा पाया जा सकता है )$, जहां $n =2$ - स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या, $p=0.5$ - $n$ परीक्षणों की श्रृंखला में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता। हम पाते हैं:

$P\बाएं(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\बाएं(1-0.5\दाएं))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$

$P\बाएं(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\बाएं(1-0.5\दाएं))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\बाएं(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\बाएं(1-0,5\दाएं))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

फिर यादृच्छिक चर $\xi $ का वितरण कानून $0,\ 1,\ 2$ और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार है, अर्थात:

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
\xi और 0 और 1 और 2 \\
\hline
पी(\xi) और 0.25 और 0.5 और 0.25 \\
\hline
\end(सरणी)$

वितरण कानून में संभावनाओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए, यानी $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

उम्मीद $M\बाएं(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, विचरण $D\बाएं(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ सीडीओटी 0.5=0.5$, औसत मानक विचलन$\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\लगभग 0.707$.

2. पॉइसन वितरण कानून।

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान ले सकता है $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k .)}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

टिप्पणी. इस वितरण की ख़ासियत यह है कि, प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर, हम अनुमान $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ पाते हैं, यदि प्राप्त अनुमान एक दूसरे के करीब हैं, तो हम यह दावा करने का कारण है कि यादृच्छिक चर पॉइसन वितरण कानून के अधीन है।

उदाहरण . पॉइसन वितरण कानून के अधीन यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: कारों की संख्या जिन्हें कल गैस स्टेशन द्वारा सेवित किया जाएगा; निर्मित उत्पाद में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या।

उदाहरण . संयंत्र ने $500$ उत्पादों को आधार पर भेजा। पारगमन में उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की संभावना $0.002$ है। क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या के बराबर यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून का पता लगाएं; जो $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ के बराबर है।

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ को क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या होने दें। ऐसा यादृच्छिक चर $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण कानून के अधीन है। मानों की प्रायिकताएं $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) हैं}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\बाएं(X=0\दाएं)=((1^0)\over (0 .)}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\बाएं(X=1\दाएं)=((1^1)\over (1 .)}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\बाएं(X=2\दाएं)=((1^2)\over (2 .)}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\बाएं(X=3\दाएं)=((1^3)\over (3 .)}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\बाएं(X=4\दाएं)=((1^4)\over (4 .)}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\बाएं(X=5\दाएं)=((1^5)\over (5 .)}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\बाएं(X=6\दाएं)=((1^6)\over (6 .)}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\बाएं(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम:

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 और 4 और 5 और 6 और ... और k \\
\hline
पी_आई और 0.368; और 0.368 और 0.184 और 0.061 और 0.015 और 0.003 और 0.001 और ... और (((लैम्ब्डा) ^ के) ओवर (के)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(सरणी)$

ऐसे यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर $\lambda $, यानी $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 के बराबर हैं। $.

3. वितरण का ज्यामितीय नियम।

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल प्राकृतिक मान ले सकता है $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ दाएं)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, तो हम कहते हैं कि ऐसा यादृच्छिक चर $X$ संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय नियम के अधीन है। वास्तव में, ज्यामितीय वितरण पहली सफलता के लिए बर्नौली का परीक्षण प्रतीत होता है।

उदाहरण . ज्यामितीय वितरण वाले यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या; पहली विफलता से पहले डिवाइस के परीक्षणों की संख्या; सिक्के की संख्या पहले शीर्ष पर आने से पहले उछाली जाती है, इत्यादि।

एक ज्यामितीय वितरण के अधीन एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता क्रमशः $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) हैं /पी^2$।

उदाहरण . मछली के स्पॉनिंग स्थान पर जाने के रास्ते में $4$ का ताला है। प्रत्येक ताले से मछली के गुजरने की प्रायिकता $p=3/5$ है। यादृच्छिक चर $X$ की एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें - ताले पर पहले पड़ाव से पहले मछली द्वारा पारित तालों की संख्या। $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ खोजें।

मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ मछली द्वारा स्लुइस पर पहले पड़ाव से पहले पारित होने वाले स्लुइस की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय नियम के अधीन है। यादृच्छिक चर $X जो मान ले सकते हैं वे हैं: 1, 2, 3, 4। इन मानों की संभावनाओं की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, जहां: $ p=2/5$ - ताले से मछली पकड़े जाने की प्रायिकता, $q=1-p=3/5$ - ताले से मछली के गुजरने की प्रायिकता, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$।

$P\बाएं(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\बाएं(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ ओवर(5))=0.4;$

$P\बाएं(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\बाएं(X=3\दाएं)=((2)\ओवर (5))\cdot (\बाएं(((3)\ओवर (5))\दाएं))^2=((2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\बाएं(X=4\दाएं)=((2)\ओवर (5))\cdot (\बाएं(((3)\ओवर (5))\दाएं))^3+(\बाएं(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
X_i और 1 और 2 और 3 और 4 \\
\hline
पी\बाएं(X_i\दाएं) और 0.4 और 0.24 और 0.144 और 0.216 \\
\hline
\end(सरणी)$

अपेक्षित मूल्य:

$M\बाएं(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

फैलाव:

$D\बाएं(X\दाएं)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ बायां(1-2,176\दाएं))^2+0,24\cdot (\बाएं(2-2,176\दाएं))^2+0,144\cdot (\बाएं(3-2,176\दाएं))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\बाएं(4-2.176\दाएं))^2\लगभग 1.377.$

मानक विचलन:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\लगभग 1,173.$

4. हाइपरजोमेट्रिक वितरण कानून।

यदि $N$ ऑब्जेक्ट हैं, जिनमें से $m$ ऑब्जेक्ट्स में दी गई संपत्ति है। बेतरतीब ढंग से, प्रतिस्थापन के बिना, $n$ ऑब्जेक्ट निकाले जाते हैं, जिनमें से $k$ ऑब्जेक्ट होते हैं जिनमें एक दी गई संपत्ति होती है। हाइपरजोमेट्रिक वितरण इस संभावना का अनुमान लगाना संभव बनाता है कि नमूने में बिल्कुल $k$ ऑब्जेक्ट्स में एक संपत्ति है। मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ नमूने में उन वस्तुओं की संख्या है जिनके पास दी गई संपत्ति है। फिर यादृच्छिक चर $X$ के मानों की प्रायिकताएँ:

$P\बाएं(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

टिप्पणी. एक्सेल $f_x$ फ़ंक्शन विज़ार्ड का HYPERGEOMET सांख्यिकीय फ़ंक्शन आपको इस संभावना को निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक निश्चित संख्या में परीक्षण सफल होंगे।

$f_x\से $ सांख्यिकीय$\से $ हाइपरजियोमेट$\से $ ठीक है. एक डायलॉग बॉक्स दिखाई देगा जिसे आपको भरना है। ग्राफ में Number_of_successes_in_sample$k$ का मान निर्दिष्ट करें। नमूने का आकार$n$ के बराबर है। ग्राफ में Number_of_successes_in_population$m$ का मान निर्दिष्ट करें। जनगणना$N$ के बराबर है।

ज्यामितीय वितरण कानून के अधीन एक असतत यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) हैं (1 -((एम)\ओवर (एन))\दाएं)\बाएं(1-((एन)\ओवर (एन))\दाएं))\ओवर (एन-1))$।

उदाहरण . बैंक के क्रेडिट विभाग में उच्च वित्तीय शिक्षा वाले 5 विशेषज्ञ और उच्च कानूनी शिक्षा वाले 3 विशेषज्ञ कार्यरत हैं। बैंक के प्रबंधन ने 3 विशेषज्ञों को उन्नत प्रशिक्षण के लिए भेजने का निर्णय लिया, उनका चयन यादृच्छिक रूप से किया।

ए) उच्च वित्तीय शिक्षा वाले विशेषज्ञों की संख्या की एक वितरण श्रृंखला बनाएं जिन्हें उन्नत प्रशिक्षण के लिए निर्देशित किया जा सकता है;

बी) इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं।

मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ चयनित तीन में से उच्च वित्तीय शिक्षा वाले विशेषज्ञों की संख्या है। मान जो $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ ले सकते हैं। यह यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मापदंडों के साथ हाइपरजोमेट्रिक वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है: $N=8$ - जनसंख्या आकार, $m=5$ - जनसंख्या में सफलताओं की संख्या, $n=3$ - नमूना आकार, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - नमूने में सफलताओं की संख्या। फिर संभावनाओं $P\left(X=k\right)$ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ सी_ (एन) ^ (एन)) $ से अधिक। हमारे पास है:

$P\बाएं(X=0\दाएं)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\लगभग 0.018;$

$P\बाएं(X=1\दाएं)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\लगभग 0.268;$

$P\बाएं(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\लगभग 0.536;$

$P\left(X=3\right)=(((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\लगभग 0.179.$

फिर यादृच्छिक चर $X$ की वितरण श्रृंखला:

$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 \\
\hline
पी_आई और 0.018 और 0.268 और 0.536 और 0.179 \\
\hline
\end(सरणी)$

आइए हम हाइपरजोमेट्रिक वितरण के सामान्य सूत्रों का उपयोग करके यादृच्छिक चर $X$ की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें।

$M\बाएं(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$डी\बाएं(एक्स\दाएं)=((एनएम\बाएं(1-((एम)\ओवर (एन))\दाएं)\बाएं(1-((एन)\ओवर (एन))\दाएं)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\दाएं))\ओवर (8-1))=((225)\ओवर (448))\लगभग 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\लगभग 0.7085.$

सांख्यिकी कई समस्याओं को हल करने में हमारी सहायता करती है, उदाहरण के लिए: जब एक नियतात्मक मॉडल बनाना संभव नहीं होता है, जब बहुत सारे कारक होते हैं, या जब हमें उपलब्ध डेटा को ध्यान में रखते हुए निर्मित मॉडल की संभावना का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। सांख्यिकी का संबंध अस्पष्ट है। ऐसा माना जाता है कि झूठ तीन प्रकार का होता है: झूठ, खुला झूठऔर सांख्यिकी। दूसरी ओर, आंकड़ों के कई "उपयोगकर्ता" इसे बहुत अधिक मानते हैं, पूरी तरह से यह नहीं समझते कि यह कैसे काम करता है: उदाहरण के लिए, किसी भी डेटा की सामान्यता की जांच किए बिना एक परीक्षण लागू करना। इस तरह की लापरवाही गंभीर त्रुटियां उत्पन्न कर सकती है और परीक्षण के "प्रशंसकों" को आंकड़ों से नफरत करने वालों में बदल सकती है। आइए धाराओं को i के ऊपर रखने का प्रयास करें और यह पता लगाएं कि कुछ घटनाओं का वर्णन करने के लिए यादृच्छिक चर के कौन से मॉडल का उपयोग किया जाना चाहिए और उनके बीच किस प्रकार का आनुवंशिक संबंध मौजूद है।

सबसे पहले, यह सामग्री संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी का अध्ययन करने वाले छात्रों के लिए रुचिकर होगी, हालांकि "परिपक्व" विशेषज्ञ इसे संदर्भ के रूप में उपयोग करने में सक्षम होंगे। निम्नलिखित कार्यों में से एक में, मैं एक्सचेंज ट्रेडिंग रणनीतियों के संकेतकों के महत्व का आकलन करने के लिए एक परीक्षण बनाने के लिए आंकड़ों का उपयोग करने का एक उदाहरण दिखाऊंगा।

काम पर विचार करेगा:

लेख के अंत में प्रतिबिंब के लिए दिया जाएगा। मैं इस पर अपने विचार अपने अगले लेख में साझा करूंगा।

दिए गए निरंतर वितरण में से कुछ विशेष मामले हैं।

असतत वितरण

अलग-अलग बिंदुओं पर परिभाषित गैर-भिन्न विशेषताओं वाली घटनाओं का वर्णन करने के लिए असतत वितरण का उपयोग किया जाता है। सीधे शब्दों में कहें, उन घटनाओं के लिए जिनके परिणाम को कुछ असतत श्रेणी के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है: सफलता या विफलता, एक पूर्णांक (उदाहरण के लिए, रूले, पासा का खेल), सिर या पूंछ, आदि।

किसी घटना के संभावित परिणामों में से प्रत्येक के घटित होने की प्रायिकता द्वारा एक असतत वितरण का वर्णन किया जाता है। किसी भी वितरण (निरंतर सहित) के लिए, अलग-अलग घटनाओं के लिए अपेक्षा और भिन्नता की अवधारणाएं परिभाषित की जाती हैं। हालांकि, यह समझा जाना चाहिए कि असतत यादृच्छिक घटना की अपेक्षा एक मूल्य है सामान्य मामलाएक यादृच्छिक घटना के परिणाम के रूप में अवास्तविक, बल्कि एक मूल्य के रूप में जिसके लिए घटनाओं के परिणामों का अंकगणितीय माध्य उनकी संख्या बढ़ने के साथ बढ़ेगा।

असतत यादृच्छिक घटनाओं के मॉडलिंग में, कॉम्बिनेटरिक्स एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, क्योंकि एक घटना के परिणाम की संभावना को संयोजनों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो संयोजनों की कुल संख्या के लिए वांछित परिणाम देते हैं। उदाहरण के लिए: टोकरी में 3 सफेद और 7 काली गेंदें हैं। जब हम टोकरी में से 1 गेंद का चयन करते हैं, तो हम इसे 10वीं गेंद बना सकते हैं विभिन्न तरीके(संयोजनों की कुल संख्या), लेकिन केवल 3 विकल्प जिनमें से चयन किया जाएगा सफेद गेंद(3 संयोजन जो वांछित परिणाम देते हैं)। इस प्रकार, एक सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता है: ()।

प्रतिस्थापन के साथ और प्रतिस्थापन के बिना नमूनों के बीच अंतर करना भी आवश्यक है। उदाहरण के लिए, दो सफेद गेंदों को चुनने की संभावना का वर्णन करने के लिए, यह निर्धारित करना महत्वपूर्ण है कि पहली गेंद टोकरी में वापस आ जाएगी या नहीं। यदि नहीं, तो हम प्रतिस्थापन के बिना एक नमूने के साथ काम कर रहे हैं () और संभावना इस प्रकार होगी: - प्रारंभिक नमूने से एक सफेद गेंद को चुनने की संभावना को टोकरी में शेष लोगों में से एक सफेद गेंद को फिर से चुनने की संभावना से गुणा किया जाता है। . यदि पहली गेंद को टोकरी में वापस कर दिया जाता है, तो यह रिटर्न फ़ेच () है। इस मामले में, दो सफेद गेंदों को चुनने की संभावना है।

यदि हम टोकरी के उदाहरण को इस प्रकार से थोड़ा औपचारिक रूप देते हैं: किसी घटना के परिणाम को दो मानों 0 या 1 में से एक को प्रायिकता के साथ लेने दें और क्रमशः, प्रस्तावित परिणामों में से प्रत्येक को प्राप्त करने की प्रायिकता के वितरण को बर्नौली वितरण कहा जाएगा :

परंपरागत रूप से, 1 के मान वाले परिणाम को "सफलता" कहा जाता है, और 0 के मान वाले परिणाम को "विफलता" कहा जाता है। यह स्पष्ट है कि "सफलता या असफलता" का परिणाम प्राप्त करना संभाव्यता के साथ होता है।

बर्नौली वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

परीक्षणों में सफलताओं की संख्या, जिसका परिणाम सफलता की संभावना के साथ वितरित किया जाता है (उदाहरण के लिए गेंदों को टोकरी में वापस करने के साथ), द्विपद वितरण द्वारा वर्णित किया गया है:

दूसरे तरीके से, हम कह सकते हैं कि द्विपद वितरण स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का वर्णन करता है जिसे सफलता की संभावना के साथ वितरित किया जा सकता है।
अपेक्षा और भिन्नता:

द्विपद वितरण केवल पुनर्प्रवेश नमूने के लिए मान्य है, अर्थात, जब सफलता की संभावना परीक्षणों की पूरी श्रृंखला के लिए स्थिर रहती है।

यदि मात्राओं में और क्रमशः मापदंडों के साथ द्विपद वितरण हैं, तो उनका योग भी मापदंडों के साथ द्विपद रूप से वितरित किया जाएगा।

एक ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां हम टोकरी से गेंदें खींचते हैं और सफेद गेंद तैयार होने तक उन्हें वापस लौटाते हैं। इस तरह के संचालन की संख्या एक ज्यामितीय वितरण द्वारा वर्णित है। दूसरे शब्दों में: ज्यामितीय वितरण प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना को देखते हुए पहली सफलता के लिए परीक्षणों की संख्या का वर्णन करता है। यदि परीक्षण में सफलता की संख्या निहित है, तो ज्यामितीय वितरण निम्न सूत्र द्वारा वर्णित किया जाएगा:

ज्यामितीय वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

ज्यामितीय वितरण आनुवंशिक रूप से वितरण से संबंधित है, जो एक निरंतर यादृच्छिक चर का वर्णन करता है: घटना से पहले का समय, घटनाओं की निरंतर तीव्रता के साथ। ज्यामितीय वितरण भी एक विशेष मामला है।

पास्कल वितरण वितरण का एक सामान्यीकरण है: यह विफलताओं की संख्या के वितरण का वर्णन करता है स्वतंत्र परीक्षण, जिसका परिणाम योग में सफलता की शुरुआत से पहले सफलता की संभावना के साथ वितरित किया जाता है। के लिए, हम मात्रा के लिए एक वितरण प्राप्त करते हैं।

जहां से संयोजनों की संख्या है।

नकारात्मक द्विपद वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

पास्कल के अनुसार वितरित स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग भी पास्कल के अनुसार वितरित किया जाता है: इसे वितरण दें, और -। चलो स्वतंत्र भी हो, तो उनके योग का वितरण होगा

अब तक, हमने पुनर्प्रवेश नमूनों के उदाहरणों को देखा है, अर्थात्, परीक्षण से परीक्षण में परिणाम की संभावना नहीं बदलती है।

अब प्रतिस्थापन के बिना स्थिति पर विचार करें और सफलता और विफलताओं की पूर्व निर्धारित संख्या के साथ आबादी से सफल नमूनों की संख्या की संभावना का वर्णन करें (टोकरी में सफेद और काली गेंदों की एक पूर्व निर्धारित संख्या, डेक में ट्रम्प कार्ड, दोषपूर्ण भागों में) खेल, आदि)।

मान लें कि कुल संग्रह में ऑब्जेक्ट हैं, जिनमें से "1" और "0" के रूप में लेबल किया गया है। हम "1" लेबल वाली किसी वस्तु के चयन को सफलता मानेंगे, और "0" लेबल के साथ विफलता के रूप में। आइए n परीक्षण करें, और चयनित ऑब्जेक्ट अब आगे के परीक्षणों में भाग नहीं लेंगे। सफलता की संभावना हाइपरजोमेट्रिक वितरण का पालन करेगी:

जहां से संयोजनों की संख्या है।

अपेक्षा और भिन्नता:

पॉसों वितरण

(यहां से लिया गया)

पॉइसन वितरण अपने "विषय" क्षेत्र में ऊपर दिए गए वितरण से काफी भिन्न होता है: अब यह किसी विशेष परीक्षण परिणाम की संभावना नहीं है, लेकिन घटनाओं की तीव्रता, यानी प्रति यूनिट समय की घटनाओं की औसत संख्या।

पोइसन वितरण घटनाओं की औसत तीव्रता के साथ समय के साथ स्वतंत्र घटनाओं के होने की संभावना का वर्णन करता है:

पोइसन वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

पॉइसन वितरण का विचरण और माध्य समान रूप से समान हैं।

के साथ संयोजन में पॉइसन वितरण, जो स्वतंत्र घटनाओं की शुरुआत के बीच के समय अंतराल का वर्णन करता है, विश्वसनीयता के सिद्धांत का गणितीय आधार बनाते हैं।

वितरण के साथ यादृच्छिक चर x और y () के उत्पाद की संभाव्यता घनत्व और निम्नानुसार गणना की जा सकती है:

नीचे दिए गए कुछ वितरण पियर्सन वितरण के विशेष मामले हैं, जो बदले में समीकरण का समाधान है:

जहां और वितरण पैरामीटर हैं। मापदंडों के मूल्यों के आधार पर, पियर्सन वितरण के 12 प्रकार हैं।

इस खंड में जिन वितरणों पर चर्चा की जाएगी, वे एक दूसरे के साथ घनिष्ठ संबंध रखते हैं। इन कनेक्शनों को इस तथ्य में व्यक्त किया जाता है कि कुछ वितरण अन्य वितरणों के विशेष मामले हैं, या अन्य वितरणों के साथ यादृच्छिक चर के परिवर्तनों का वर्णन करते हैं।

नीचे दिया गया आरेख कुछ निरंतर वितरणों के बीच संबंधों को दर्शाता है जिन पर इस पेपर में चर्चा की जाएगी। आरेख में, ठोस तीर यादृच्छिक चर के परिवर्तन को दिखाते हैं (तीर की शुरुआत प्रारंभिक वितरण को इंगित करती है, तीर का अंत - परिणामी एक), और बिंदीदार तीर सामान्यीकरण संबंध दिखाते हैं (तीर की शुरुआत इंगित करती है वितरण, जो तीर के अंत द्वारा इंगित एक का एक विशेष मामला है)। बिंदीदार तीरों के ऊपर पियर्सन वितरण के विशेष मामलों के लिए, संबंधित प्रकार के पियर्सन वितरण का संकेत दिया गया है।

नीचे दिए गए वितरणों का अवलोकन डेटा विश्लेषण और प्रक्रिया मॉडलिंग में होने वाले कई मामलों को शामिल करता है, हालांकि, निश्चित रूप से, इसमें विज्ञान के लिए ज्ञात सभी वितरण शामिल नहीं हैं।

सामान्य वितरण (गाऊसी वितरण)

(यहां से लिया गया)

मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण की संभावना घनत्व और गाऊसी फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

यदि और , तो ऐसे वितरण को मानक कहा जाता है।

सामान्य वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

एक सामान्य वितरण की परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समूह है।

सामान्य वितरण एक प्रकार VI वितरण है।

स्वतंत्र सामान्य मूल्यों के वर्गों का योग है, और स्वतंत्र गाऊसी मूल्यों का अनुपात वितरित किया जाता है।

सामान्य वितरण असीम रूप से विभाज्य है: सामान्य रूप से वितरित मात्राओं का योग और मापदंडों के साथ और, क्रमशः, भी है सामान्य वितरणमापदंडों के साथ , कहाँ और .

सामान्य वितरण मॉडल अच्छी तरह से वर्णन करने वाली मात्रा का वर्णन करता है प्राकृतिक घटनाथर्मोडायनामिक प्रकृति और माप त्रुटियों के शोर।

इसके अलावा, केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, समान क्रम की बड़ी संख्या में स्वतंत्र पदों का योग, शर्तों के वितरण की परवाह किए बिना, एक सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाता है। इस संपत्ति के कारण, सामान्य वितरण लोकप्रिय है सांख्यिकीय विश्लेषण, कई सांख्यिकीय परीक्षण सामान्य रूप से वितरित डेटा के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

जेड-टेस्ट सामान्य वितरण की अनंत विभाज्यता पर आधारित है। इस परीक्षण का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि सामान्य रूप से वितरित चर के नमूने की अपेक्षा कुछ मूल्य के बराबर है या नहीं। प्रसरण मान होना चाहिए ज्ञात. यदि विचरण का मान अज्ञात है और विश्लेषण किए गए नमूने के आधार पर गणना की जाती है, तो एक टी-परीक्षण के आधार पर।

मान लीजिए कि हमारे पास n स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित मात्रा का एक नमूना है आबादीसीओ मानक विचलनआइए हम इसका अनुमान लगाते हैं। तब मान का मानक सामान्य वितरण होगा। मानक वितरण की मात्राओं के साथ प्राप्त z मान की तुलना करके, कोई भी आवश्यक स्तर के महत्व के साथ परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार कर सकता है।

गाऊसी वितरण की व्यापकता के कारण, कई शोधकर्ता जो आंकड़ों को बहुत अच्छी तरह से नहीं जानते हैं, वे सामान्यता के लिए डेटा की जांच करना भूल जाते हैं, या "आंख से" वितरण घनत्व प्लॉट का मूल्यांकन करते हैं, यह विश्वास करते हुए कि वे गॉसियन डेटा के साथ काम कर रहे हैं। तदनुसार, सामान्य वितरण के लिए डिज़ाइन किए गए परीक्षणों को साहसपूर्वक लागू करना और पूरी तरह से गलत परिणाम प्राप्त करना। शायद, यहीं से सबसे भयानक प्रकार के झूठ के रूप में आँकड़ों के बारे में अफवाह आई।

एक उदाहरण पर विचार करें: हमें एक निश्चित मूल्य के प्रतिरोधों के एक सेट के प्रतिरोध को मापने की आवश्यकता है। प्रतिरोध की एक भौतिक प्रकृति होती है, यह मान लेना तर्कसंगत है कि नाममात्र मूल्य से प्रतिरोध विचलन का वितरण सामान्य होगा। हम मापते हैं, हमें प्रतिरोधक रेटिंग के आसपास के क्षेत्र में एक मोड के साथ मापा मूल्यों के लिए घंटी के आकार की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन मिलता है। क्या यह सामान्य वितरण है? यदि हाँ, तो यदि हम वितरण विचरण को पहले से जानते हैं, तो हम , या z-परीक्षण का उपयोग करके दोषपूर्ण प्रतिरोधों की तलाश करेंगे। मुझे लगता है कि बहुत से लोग ऐसा ही करेंगे।

लेकिन आइए प्रतिरोध माप तकनीक पर करीब से नज़र डालें: प्रतिरोध को वर्तमान प्रवाह के लिए लागू वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। हमने उपकरणों के साथ वर्तमान और वोल्टेज को मापा, जो बदले में, सामान्य रूप से त्रुटियों को वितरित करते हैं। यानी करंट और वोल्टेज के मापा मान हैं सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चरमापी गई मात्राओं के वास्तविक मूल्यों के अनुरूप गणितीय अपेक्षाओं के साथ। और इसका मतलब यह है कि प्राप्त प्रतिरोध मूल्यों को साथ में वितरित किया जाता है, न कि गॉस के अनुसार।

वितरण यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वर्णन करता है, जिनमें से प्रत्येक मानक के अनुसार वितरित किया जाता है सामान्य कानून :

स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या कहां है, .

वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

परिभाषा का क्षेत्र गैर-ऋणात्मक का समुच्चय है प्राकृतिक संख्या. एक असीम रूप से विभाज्य वितरण है। यदि और - को क्रमशः वितरित किया जाता है और स्वतंत्रता की डिग्री होती है, तो उनकी राशि भी वितरित की जाएगी और स्वतंत्रता की डिग्री होगी।

यह एक विशेष मामला है (और इसलिए एक प्रकार III वितरण) और एक सामान्यीकरण। वितरित पर वितरित मात्राओं का अनुपात .

पियर्सन की अच्छाई का फिट परीक्षण वितरण पर आधारित है। इस मानदंड का उपयोग यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि यादृच्छिक चर का एक नमूना एक निश्चित सैद्धांतिक वितरण से संबंधित है या नहीं।

मान लीजिए कि हमारे पास कुछ यादृच्छिक चर का एक नमूना है। इस नमूने के आधार पर, हम संभावनाओं की गणना करते हैं कि मान अंतराल () में गिरेंगे। मान लीजिए कि बंटन के विश्लेषणात्मक व्यंजक के बारे में भी एक धारणा है, जिसके अनुसार चयनित अंतरालों में गिरने की प्रायिकताएँ होनी चाहिए। फिर मात्राओं को सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाएगा।

हम मानक सामान्य वितरण में लाते हैं: ,
और कहां ।

प्राप्त मात्राओं में मापदंडों (0, 1) के साथ एक सामान्य वितरण होता है, और इसलिए, उनके वर्गों का योग स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ वितरित किया जाता है। स्वतंत्रता की डिग्री में कमी अंतराल में गिरने वाले मूल्यों की संभावनाओं के योग पर एक अतिरिक्त प्रतिबंध से जुड़ी है: यह 1 के बराबर होना चाहिए।

वितरण की मात्राओं के साथ मूल्य की तुलना करके, कोई भी आवश्यक स्तर के महत्व के साथ डेटा के सैद्धांतिक वितरण के बारे में परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार कर सकता है।

छात्र के वितरण का उपयोग टी-टेस्ट आयोजित करने के लिए किया जाता है: एक निश्चित मूल्य के लिए वितरित यादृच्छिक चर के नमूने के अपेक्षित मूल्य की समानता के लिए एक परीक्षण, या समान भिन्नता वाले दो नमूनों के अपेक्षित मूल्यों की समानता ( भिन्नताओं की समानता की जाँच की जानी चाहिए)। विद्यार्थी का t-वितरण एक वितरित यादृच्छिक चर के अनुपात को वितरित किए गए मान से बताता है।

स्वतंत्रता की डिग्री और क्रमशः के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर होने दें। तब मात्रा में स्वतंत्रता की डिग्री के साथ फिशर वितरण होगा, और मात्रा में फिशर वितरण स्वतंत्रता की डिग्री के साथ होगा।
फिशर वितरण को वास्तविक गैर-नकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है और इसकी संभावना घनत्व है:


फिशर वितरण की अपेक्षा और भिन्नता:

अपेक्षा के लिए परिभाषित किया गया है और भिन्नता के लिए परिभाषित किया गया है।

कई सांख्यिकीय परीक्षण फिशर वितरण पर आधारित होते हैं, जैसे कि प्रतिगमन मापदंडों के महत्व का आकलन, विषमलैंगिकता के लिए परीक्षण, और नमूना भिन्नताओं की समानता के लिए परीक्षण (एफ-टेस्ट, से अलग होने के लिए) एकदम सहीफिशर टेस्ट)।

एफ-टेस्ट: दो स्वतंत्र नमूने और वितरित डेटा वॉल्यूम और क्रमशः होने दें। आइए हम नमूना प्रसरणों की समानता के बारे में एक परिकल्पना को सामने रखें और सांख्यिकीय रूप से इसका परीक्षण करें।

आइए मूल्य की गणना करें। इसमें स्वतंत्रता की डिग्री के साथ फिशर वितरण होगा।

संबंधित फिशर वितरण की मात्राओं के साथ मूल्य की तुलना करके, हम इस परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार कर सकते हैं कि नमूना भिन्नताएं आवश्यक स्तर के महत्व के बराबर हैं।

घातीय (घातीय) वितरण और लाप्लास वितरण (दोहरा घातांक, दोहरा घातांक)

(यहां से लिया गया)

घातांकीय वितरण एक औसत तीव्रता पर होने वाली स्वतंत्र घटनाओं के बीच के समय अंतराल का वर्णन करता है। एक निश्चित अवधि में ऐसी घटना की घटनाओं की संख्या को असतत द्वारा वर्णित किया गया है। घातीय वितरण एक साथ विश्वसनीयता के सिद्धांत का गणितीय आधार बनाते हैं।

विश्वसनीयता के सिद्धांत के अलावा, घातीय वितरण का उपयोग सामाजिक घटनाओं के वर्णन में, अर्थशास्त्र में, सिद्धांत में किया जाता है कतार, परिवहन रसद में - जहां कहीं भी घटनाओं के प्रवाह को मॉडल करना आवश्यक हो।

घातांक वितरण एक विशेष स्थिति है (n=2 के लिए), और इसलिए । चूंकि घातीय रूप से वितरित मात्रा 2 डिग्री स्वतंत्रता के साथ एक ची-वर्ग मात्रा है, इसे दो स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित मात्राओं के वर्गों के योग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

साथ ही, घातांक वितरण एक ईमानदार मामला है

ज्यामितीय वितरण पर विचार करें, इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन OTRBINOM.DIST () का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व ग्राफ़ प्लॉट करेंगे।

ज्यामितीय वितरण(अंग्रेज़ी) ज्यामितीय वितरण) एक विशेष स्थिति है (r=1 के लिए)।

परीक्षण किए जाने दें, जिनमें से प्रत्येक में केवल घटना "सफलता" संभावना के साथ हो सकती है पी या घटना "विफलता" संभावना के साथ क्यू = 1-पी ()।

आइए परिभाषित करें एक्स परीक्षण की संख्या के रूप में जिसमें इसे पंजीकृत किया गया था सबसे पहला सफलता। इस मामले में, यादृच्छिक चर एक्स होगा ज्यामितीय वितरण:

एमएस एक्सेल में ज्यामितीय वितरण

MS EXCEL में, संस्करण 2010 से शुरू, के लिए नकारात्मक द्विपद वितरण एक फ़ंक्शन है OTRBINOM.DIST() , अंग्रेजी नाम NEGBINOM.DIST (), जो आपको घटना की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है विफलताओं की संख्यासफलताओं की निर्दिष्ट संख्या प्राप्त होने तक दी गई संभावनासफलता।

के लिये ज्यामितीय वितरणइस फ़ंक्शन का दूसरा तर्क 1 होना चाहिए, क्योंकि हम केवल पहली सफलता में रुचि रखते हैं।

यह परिभाषा ऊपर वाले से थोड़ी अलग है, जो इस संभावना की गणना करती है कि पहली सफलता बाद में होगी एक्सपरीक्षण. अंतर रेंज परिवर्तन की सीमा के नीचे आता है एक्स: यदि प्रायिकता को परीक्षणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो एक्स 1 से शुरू होने वाले मान ले सकते हैं, और यदि विफलताओं की संख्या के माध्यम से, तो 0 से शुरू करें। इसलिए, निम्न सूत्र मान्य है: p(x_ विफलताओं)=p(x_ परीक्षण-एक)। सेमी। उदाहरण फ़ाइल शीट उदाहरण, जहां गणना के 2 तरीके दिए गए हैं।

MS EXCEL फ़ंक्शन में लिए गए दृष्टिकोण का उपयोग नीचे किया गया है: विफलताओं की संख्या के माध्यम से।

हिसाब करना संभाव्यता घनत्व कार्य p(x), उपरोक्त सूत्र देखें, आपको INTBINOM.DIST() फ़ंक्शन में चौथा तर्क FALSE पर सेट करने की आवश्यकता है। हिसाब करना , आपको चौथा तर्क TRUE पर सेट करना होगा।

टिप्पणी : MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL का एक फ़ंक्शन INTERBINOMDIST() था जो आपको केवल गणना करने की अनुमति देता है संभावित गहराई. नमूना फ़ाइल में गणना करने के लिए INTBINOMDIST () फ़ंक्शन पर आधारित एक सूत्र है अभिन्न वितरण समारोह. परिभाषा के माध्यम से संभाव्यता की गणना के लिए एक सूत्र भी है।

उदाहरण फ़ाइल में ग्राफ़ हैं संभाव्यता वितरण घनत्वतथा अभिन्न वितरण समारोह.

टिप्पणी: p पैरामीटर के लिए सूत्र लिखने की सुविधा के लिए, a .

टिप्पणी: समारोह में DISTBINOM.DIST( ) गैर-पूर्णांक मान के साथ एक्स,। उदाहरण के लिए, निम्न सूत्र समान मान लौटाएंगे:
DISTBINOM.DIST( 2 ; एक; 0.4; सच)=
DISTBINOM.DIST( 2,9 ; एक; 0.4; सच)

कार्य

समस्या समाधान दिए गए हैं शीट पर उदाहरण फ़ाइल उदाहरण.

कार्य 1. एक तेल कंपनी तेल निकालने के लिए कुओं की खुदाई करती है। एक कुएं में तेल मिलने की प्रायिकता 20% है।
तीसरे प्रयास में पहला तेल प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पहला तेल खोजने में तीन प्रयास करेगा?
समाधान1:
= INTERBINOM.DIST(3-1, 1, 0.2, FALSE)
= इंटरबिनोम.डिस्ट (3-1, 1, 0.2, ट्रू)

टास्क 2. रेटिंग एजेंसी शहर में बेतरतीब राहगीरों का उनके पसंदीदा ब्रांड की कार के बारे में सर्वेक्षण करती है। बता दें कि 1% नागरिकों के पास पसंदीदा कार है लाडाग्रांट. 10 लोगों के सर्वेक्षण के बाद आप इस ब्रांड की कार के पहले प्रशंसक से मिलने की क्या संभावना है?
समाधान2: \u003d OTRBINOM.DIST (10-1, 1, 0.01; सच)=9,56%