चेतवेरिकोव एस.यू., पोपोव एम.ए.

रूस, अर्थशास्त्र और उद्यमिता संस्थान (मास्को)

सिस्टम सिद्धांत कतारएक अनुप्रयुक्त गणितीय अनुशासन है जो अध्ययन करता है संख्यात्मक विशेषताएंअर्थव्यवस्था में होने वाली घटनाएं। इनमें टेलीफोन एक्सचेंज का संचालन, उपभोक्ता सेवा केंद्र, सुपरमार्केट में कैश रजिस्टर आदि शामिल हैं।

ऐसी वस्तुओं के गणितीय मॉडल क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) हैं जिन्हें निम्नानुसार वर्णित किया गया है: अनुरोध (सेवा के लिए आवेदन) सिस्टम में प्रवेश करते हैं, जिनमें से प्रत्येक को कुछ समय के लिए सेवित किया जाता है और फिर सिस्टम छोड़ देता है। हालांकि, संसाधनों की कमी (कैश रजिस्टरों की सेवा की संख्या, सेवा की गति, आदि) के कारण, सिस्टम एक साथ केवल एक निश्चित संख्या में दावों की सेवा करने में सक्षम है। इस मामले में गणितीय मॉडल क्यूएस कार्य गुणवत्ता के संख्यात्मक संकेतकों की गणना की समस्या को हल करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

क्यूएस मॉडल का निर्माण करते समय, दो प्रणालियों को मौलिक रूप से प्रतिष्ठित किया जाता है: नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, जो वास्तव में गणितीय मॉडल के प्रकार को निर्धारित करते हैं।

सबसे सरल नियतात्मक प्रणाली पर विचार करें जिसमें शामिल हैं पीसमान उपकरण, जिसमें आवश्यकताएं नियतात्मक (स्थिर) समय अंतराल पर पहुंचती हैं, और प्रत्येक आवश्यकता को पूरा करने का समय भी स्थिर होता है। जाहिर है कि अगर मांगें अंतराल पर आती हैं

और प्रत्येक आवश्यकता के लिए सेवा समय है

आवश्यक और पर्याप्त स्थितिप्रणाली का सामान्य कामकाज असमानता को पूरा करना है

अन्यथा, समय के साथ, सिस्टम में आवश्यकताएं जमा हो जाएंगी।

विकल्प एक्सऔर q का एक साधारण भौतिक अर्थ है:

एक्स- समय की प्रति इकाई या आने वाले प्रवाह की तीव्रता के अनुरोधों की औसत संख्या;

q आवश्यकताओं की औसत संख्या है जो प्रत्येक डिवाइस समय की प्रति यूनिट, या एक डिवाइस द्वारा सर्विसिंग आवश्यकताओं की तीव्रता को पूरा करने में सक्षम है;

/ 7ts - आवश्यकताओं की औसत संख्या जो सेवा करने में सक्षम हैं पीउपकरण, या पूरे सिस्टम के रखरखाव की तीव्रता की आवश्यकता।

इस प्रकार, स्थिति (1) का अर्थ है कि आने वाले प्रवाह की तीव्रता पूरे सिस्टम द्वारा सर्विसिंग आवश्यकताओं की तीव्रता से अधिक नहीं होनी चाहिए। मात्रा पर विचार करें

तथाकथित सिस्टम बूट।

तब असमानता (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस मामले में, लोड की व्याख्या उस समय के औसत अंश के रूप में की जा सकती है जिसके दौरान डिवाइस सर्विसिंग अनुरोधों में व्यस्त हैं, और 1 - पी का मान - उस समय के औसत अंश के रूप में जिसके दौरान डिवाइस निष्क्रिय हैं।

अंत में, नियतात्मक विशेषताओं वाली प्रणाली के कामकाज पर एक और नोट:

यदि प्रारंभिक समय में सिस्टम मुक्त है और शर्त (2) संतुष्ट है, तो सिस्टम में प्रवेश करने वाली प्रत्येक मांग तुरंत सेवा उपकरण बन जाती है;

मामले में पी

अंत में, यदि p > 1, तो प्रति इकाई समय में कतार औसतन कितनी बढ़ जाती है मिस्टर -1)।

वास्तविक कतार प्रणाली में, यादृच्छिकता के तत्व महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं:

सबसे पहले, दावों के आने के बीच का समय नियतात्मक नहीं है;

दूसरे, अनुरोधों का सेवा समय नियतात्मक नहीं है।

इसके अलावा, यादृच्छिकता के तत्व अन्य कारणों से प्रकट हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, कतार प्रणाली के तत्वों की विफलता।

यह पता चला है कि यादृच्छिकता के तत्व सेवा प्रणालियों के कामकाज की गुणवत्ता को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं। इसलिए, यदि लोड पी = 1 है, तो, नियतात्मक प्रणालियों के विपरीत, स्टोकेस्टिक सिस्टम में कतार औसतन समय के साथ अनंत हो जाती है। स्टोकेस्टिक सिस्टम में कतारें p . के मामले में भी बनती हैं

क्यूएस के औपचारिक विवरण पर विचार करें। क्यूएस के मुख्य पैरामीटर हैं:

आवश्यकताओं की आवक धारा;

प्रणाली संरचना;

सेवा आवश्यकताओं की अस्थायी विशेषताएं;

सेवा अनुशासन।

आइए इन विकल्पों पर एक नजर डालते हैं।

आने वाली धाराएक साधारण प्रणाली में आवश्यकताओं की प्राप्ति के यादृच्छिक क्षणों की विशेषता है, और जटिल प्रणालियों के लिए - इन क्षणों में आने वाली आवश्यकताओं के प्रकार द्वारा।

एक यादृच्छिक धारा निर्दिष्ट करते समय, आमतौर पर यह माना जाता है कि इनपुट स्ट्रीम आवर्तक है और, सबसे अधिक बार, पॉइसन।

आइए हम पॉइसन और आवर्तक द्वारा वास्तविक प्रणालियों में प्रवेश करने वाली मांगों के प्रवाह के विवरण की शुद्धता के बारे में कुछ टिप्पणी करें। यह स्पष्ट है कि वास्तविक प्रणालियों में परिणाम की अनुपस्थिति की संपत्ति अत्यंत दुर्लभ है, क्योंकि इस तरह की संपत्ति के साथ प्रवाह किसी भी मनमाने ढंग से छोटी अवधि में गैर-शून्य (यद्यपि अत्यंत छोटी) संभावना के साथ मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में आवश्यकताओं को प्राप्त कर सकता है। समय। हालांकि, अभ्यास से पता चलता है कि पोइसन द्वारा आने वाली धारा का विवरण ज्यादातर मामलों में पर्याप्त सटीकता के साथ वैध है। इस तथ्य की एक अतिरिक्त गणितीय पुष्टि खिनचिन प्रमेय है, जो कहती है कि संघ एक बड़ी संख्या मेंबहुत कमजोर बाधाओं के तहत "विरल" प्रवाह एक पॉइसन प्रवाह देता है।

पॉइसन प्रवाह की दूसरी संपत्ति - स्थिरता - भी आलोचना को बाहर नहीं निकालती है। वास्तव में, आने वाले प्रवाह की तीव्रता, एक नियम के रूप में, दिन, वर्ष आदि के समय पर निर्भर करती है। यदि प्रभाव के अभाव और सामान्यता के गुणों को संरक्षित किया जाता है, तो एक गैर-स्थिर पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है। कुछ मामलों में, गणना के लिए गणितीय मॉडल विकसित करना संभव है आर्थिक प्रणालीइस तरह के एक आने वाले प्रवाह के साथ, लेकिन परिणामी सूत्र बहुत बोझिल और कठिन हैं व्यावहारिक अनुप्रयोग. इस कारण से, गणना एक निश्चित समय अंतराल तक सीमित होती है जिसमें आने वाले प्रवाह की तीव्रता में थोड़ा बदलाव होता है।

यदि केवल सामान्यता संपत्ति को छोड़ दिया जाता है, तो एक गैर-साधारण पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है, जिसमें आवश्यकताओं के आगमन के क्षण एक साधारण पॉइसन प्रवाह बनाते हैं, लेकिन ऐसे प्रत्येक क्षण में यादृच्छिक संख्या में आवश्यकताएं आती हैं। अधिकांश परिणाम जो पॉइसन प्रवाह वाले सिस्टम के लिए मान्य होते हैं, वे व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित पॉइसन प्रवाह वाले सिस्टम पर ले जाते हैं।

QS संरचना सेट करने के लिएसिस्टम में उपलब्ध सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना और यह इंगित करना आवश्यक है कि किस प्रकार की आवश्यकताएं या यहां तक ​​कि प्रत्येक तत्व किस सेवा चरणों में सेवा कर सकता है। जिसमें अलग तत्वकई प्रकार के अनुरोधों की सेवा कर सकता है और, इसके विपरीत, एक ही प्रकार के अनुरोधों को कई तत्वों पर परोसा जा सकता है। निम्नलिखित में, हम मान लेंगे कि QS में एक या अधिक समान तत्व हैं, और उनमें से किसी पर भी प्रत्येक आवश्यकता को पूरा किया जा सकता है। इस प्रकार के तंत्र कहलाते हैं एक लाइन(एक तत्व) या बहु(कई आइटम)।

सेवा सिस्टम में सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा करने के अनुरोधों के लिए तत्व हो सकते हैं। यदि असीमित रूप से ऐसे कई तत्व हैं, तो वे प्रतीक्षा के साथ सिस्टम की बात करते हैं, यदि उनकी संख्या सीमित है - प्रतीक्षा स्थानों की सीमित संख्या वाले सिस्टम के बारे में, यदि वे बिल्कुल अनुपस्थित हैं (आवश्यकता जिसने उस समय सभी तत्वों पर कब्जा कर लिया था) सिस्टम में प्रवेश खो गया है; एक उदाहरण साधारण टेलीफोन सिस्टम है) - नुकसान वाले सिस्टम के बारे में।

समयऔपचारिक विवरण के लिए सेवा आवश्यकताएं भी एक जटिल वस्तु हैं। आमतौर पर यह माना जाता है कि सभी ग्राहकों के सेवा समय एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और समान रूप से यादृच्छिक चर वितरित किए जाते हैं। यदि QS को कई प्रकार के अनुरोध प्राप्त होते हैं, तो सेवा समय का वितरण अनुरोध के प्रकार पर निर्भर हो सकता है।

सेवा अनुशासनकतार की आवश्यकताओं के नियम और सेवा के लिए कतार से चुने जाने के क्रम में, आवश्यकताओं के बीच तत्वों का वितरण, और मल्टीफ़ेज़ सिस्टम में - सेवा चरणों के बीच शामिल हैं। हम मान लेंगे कि सिस्टम में सबसे सरल अनुशासन लागू किया गया है - आगमन के क्रम में आवश्यकता को पूरा करना (फीफो)। मल्टीलाइन सिस्टम में, सभी तत्वों के लिए एक सामान्य कतार बनाई जाती है, और कतार में पहला दावा किसी भी मुक्त तत्व को जाता है।

हालाँकि, QS अधिक जटिल सेवा विषयों का भी उपयोग करता है। इस तरह के विषयों का सबसे सरल उदाहरण सेवा का उलटा (रिवर्स) ऑर्डर (एलआईएफओ) है, जिसमें सिस्टम में आखिरी बार दर्ज की गई आवश्यकता को पूरा किया जाता है।

प्रणाली के तत्वों के एकसमान पृथक्करण का अनुशासन, जिसमें प्रत्येक पीसिस्टम में आवश्यकताओं को उसी दर पर सेवित किया जाता है 1/पी.कभी-कभी, जिस समय कोई आवश्यकता सिस्टम में प्रवेश करती है, उसकी सेवा का समय (किए जाने वाला कार्य) ज्ञात हो जाता है। फिर उन विषयों का उपयोग करना संभव है जो अनुरोधों के अवशिष्ट सेवा समय पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, न्यूनतम शेष सेवा समय के साथ पहली आवश्यकता को पूरा करने का अनुशासन किसी भी समय न्यूनतम कतार लंबाई प्राप्त करना संभव बनाता है। जटिल सेवा विषयों का उपयोग अक्सर बिना किसी अतिरिक्त लागत के, क्यूएस कार्यप्रणाली की गुणवत्ता में उल्लेखनीय सुधार करने की अनुमति देता है।

क्यूएस का एक विशेष वर्ग प्राथमिकता प्रणाली है जो कई प्राथमिकताओं के अनुरोधों की धाराएं प्राप्त करता है, और उच्च प्राथमिकताओं की आवश्यकताओं को निम्न प्राथमिकताओं की आवश्यकताओं पर प्राथमिकता मिलती है, अर्थात। पहले परोसा गया। प्राथमिकताएं सापेक्ष हो सकती हैं, जब उच्च प्राथमिकता वाले अनुरोध तत्वों पर कम प्राथमिकता वाले अनुरोधों की सेवाओं को बाधित नहीं करते हैं, और निरपेक्ष, जब ऐसा रुकावट होता है।

पूर्ण प्राथमिकताओं के मामले में, विभिन्न संशोधन भी संभव हैं: बाधित सेवा वाले कम सेवा वाले ग्राहक सिस्टम (ड्रॉपआउट के साथ सिस्टम) छोड़ देते हैं, उच्च प्राथमिकता वाले सभी ग्राहकों के सिस्टम को छोड़ने के बाद सेवित होते रहते हैं (बाद की देखभाल वाले सिस्टम), और सेवित होते हैं फिर से।

सेवा विषयों में ऐसे कारक भी शामिल होने चाहिए जैसे कि अगली आवश्यकता को पूरा करने से पहले प्रारंभिक चरण या एक मुफ्त प्रणाली में एक आवश्यकता आने के बाद, एक तत्व को दूसरे प्रकार की सेवा आवश्यकताओं के लिए स्विच करने का चरण, के अविश्वसनीय तत्वों द्वारा आवश्यकताओं को पूरा करना प्रणाली, आदि अंत में, एक अनुरोध जितना समय सिस्टम में खर्च करता है या सेवा शुरू होने के लिए प्रतीक्षा करने में लगने वाला समय सीमित हो सकता है।

आइए अब हम उन QS विशेषताओं का वर्णन करें जो उपयोगकर्ता के लिए रुचिकर हैं। कभी-कभी व्यवहार में उन्हें संभाव्य-अस्थायी विशेषताएँ कहा जाता है। उनमें से सबसे महत्वपूर्ण हैं कतार की लंबाई(अर्थात सेवा के लिए प्रतीक्षारत अनुरोधों की संख्या) और सेवा शुरू करने के अनुरोध के लिए प्रतीक्षा समय।चूंकि कतार की लंबाई और सेवा की शुरुआत के लिए प्रतीक्षा समय दोनों यादृच्छिक चर हैं, इसलिए, स्वाभाविक रूप से, उन्हें अपने स्वयं के वितरण द्वारा वर्णित किया जाता है। इसके अलावा, कतार की लंबाई और प्रतीक्षा समय का वितरण वर्तमान समय पर निर्भर करता है।

सिस्टम में नुकसान या प्रतीक्षा स्थानों की एक सीमित संख्या में, सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में भी शामिल हैं दावा खोने की संभावना।कभी-कभी, कतार की लंबाई के साथ, वे विचार करते हैं कुल गणनासिस्टम में आवश्यकताएंऔर सेवा के साथ-साथ प्रतीक्षा समय शुरू करें - सिस्टम में आवश्यकता का निवास समय।

सिस्टम में नुकसान या प्रतीक्षा स्थानों की एक सीमित संख्या के साथ-साथ प्रतीक्षा और लोडिंग वाले सिस्टम में p

क्यूइंग के सिद्धांत पर अधिकांश कार्य स्थिर विशेषताओं को खोजने के लिए समर्पित हैं, हालांकि गैर-स्थिर विशेषताओं का पर्याप्त विस्तार से अध्ययन किया गया है।

साहित्य

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• 2. फेलर वी.संभाव्यता के सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों का परिचय। टी.आई. एम.: मीर,
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• 3. गेदेंको बी.वी., कोवलेंको आई.एन.कतार के सिद्धांत का परिचय। मॉस्को: नौका, 1966।
• 4. साती टी.एल.कतार सिद्धांत के तत्व और इसके अनुप्रयोग। एम।: सोवियत। रेडियो, 1965.

प्रयोग में मानव गतिविधिएक ही प्रकार की समस्याओं को हल करने में पुन: प्रयोज्य उपयोग के लिए डिज़ाइन किए गए सिस्टम में होने वाली कतार प्रक्रियाओं द्वारा एक बड़े स्थान पर कब्जा कर लिया जाता है। ऐसी प्रणालियों को क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) कहा जाता है। ऐसी प्रणालियों के उदाहरण टेलीफोन सिस्टम, कंप्यूटर सिस्टम, मोटर वाहन, विमानन, रखरखाव प्रणाली, दुकानें, टिकट कार्यालयआदि।

प्रत्येक प्रणाली से बनी होती है निश्चित संख्यासेवारत इकाइयाँ (उपकरण, उपकरण, उपकरण "अंक, स्टेशन), जिन्हें सेवा चैनल कहा जाता है। चैनलों की संख्या के अनुसार, QS को एकल-चैनल और बहु-चैनल में विभाजित किया गया है। एकल-चैनल कतार प्रणाली की योजना है चित्र 6.2 में दिखाया गया है।

एप्लिकेशन आमतौर पर सिस्टम में नियमित रूप से प्रवेश नहीं करते हैं, लेकिन बेतरतीब ढंग से, अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) का एक यादृच्छिक प्रवाह बनाते हैं। प्रत्येक आवश्यकता की सेवा में या तो एक निश्चित समय लग सकता है, या अधिक बार, एक अनिश्चित समय लग सकता है। यादृच्छिक प्रकृति इस तथ्य की ओर ले जाती है कि क्यूएस असमान रूप से लोड होता है: कुछ समय में, बहुत बड़ी संख्या में आवेदन जमा हो जाते हैं (वे या तो लाइन में लग जाते हैं या क्यूएस को बिना सेवा के छोड़ देते हैं), जबकि अन्य अवधियों में क्यूएस एक अंडरलोड के साथ काम करता है। या बेकार है।

चावल। 6.2.

क्यूइंग सिस्टम के अध्ययन का उद्देश्य उनके कामकाज की गुणवत्ता का विश्लेषण करना और इसके सुधार के अवसरों की पहचान करना है। इसी समय, प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में "कार्य की गुणवत्ता" की अवधारणा का अपना विशिष्ट अर्थ होगा और विभिन्न मात्रात्मक संकेतकों द्वारा व्यक्त किया जाएगा। उदाहरण के लिए, ऐसे मात्रात्मक संकेतक जैसे सेवा के लिए कतार का आकार, सेवा का औसत समय, सेवा की प्रतीक्षा करना या सेवा प्रणाली में आवश्यकता का पता लगाना, सेवा उपकरणों का निष्क्रिय समय; विश्वास है कि सिस्टम द्वारा प्राप्त सभी अनुरोधों को पूरा किया जाएगा।

इस प्रकार, कतार प्रणाली के कामकाज की गुणवत्ता को किसी विशेष कार्य के प्रदर्शन की गुणवत्ता के रूप में नहीं समझा जाता है, जिसके लिए अनुरोध प्राप्त हुआ था, लेकिन सेवा की आवश्यकता की संतुष्टि की डिग्री।

कतार सिद्धांत का विषय निर्माण है गणितीय मॉडलक्यूएस के प्रदर्शन संकेतकों के साथ क्यूएस (चैनलों की संख्या, उनके प्रदर्शन, अनुप्रयोगों के प्रवाह की प्रकृति, आदि) की दी गई परिचालन स्थितियों को जोड़ना, जो अनुप्रयोगों के प्रवाह से निपटने की इसकी क्षमता का वर्णन करते हैं।

कतार प्रणाली का वर्गीकरण

पहली विशेषता जो किसी को कतारबद्ध कार्यों को वर्गीकृत करने की अनुमति देती है, वह उस समय सर्विंग सिस्टम द्वारा प्राप्त मांगों का व्यवहार है जब सभी मशीनें व्यस्त होती हैं।

कुछ मामलों में, एक दावा जो सिस्टम में ऐसे समय में प्रवेश करता है जब सभी मशीनें व्यस्त होती हैं, उनके जारी होने की प्रतीक्षा नहीं कर सकती है और सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देती है, अर्थात। दी गई सेवा प्रणाली के लिए दावा खो गया है। ऐसी सेवा प्रणालियों को नुकसान वाली प्रणाली कहा जाता है, और उनके आधार पर तैयार की गई समस्याओं को नुकसान वाले सिस्टम के लिए सेवा समस्याएं कहा जाता है।

यदि, दूसरी ओर, कोई मांग, सिस्टम में प्रवेश करके, कतार में प्रवेश करती है और डिवाइस के जारी होने की प्रतीक्षा करती है, तो ऐसे सिस्टम को प्रतीक्षा के साथ सिस्टम कहा जाता है, और संबंधित कार्यों को प्रतीक्षा के साथ सिस्टम में सेवा कार्य कहा जाता है। उम्मीद के साथ QS को उप-विभाजित किया गया है अलग - अलग प्रकारकतार कैसे व्यवस्थित की जाती है, इस पर निर्भर करता है: सीमित या असीमित कतार लंबाई के साथ, सीमित प्रतीक्षा समय के साथ, आदि।

क्यूएस उन आवश्यकताओं की संख्या में भी भिन्न होते हैं जो एक साथ सर्विंग सिस्टम में हो सकती हैं। आवंटित करें:

• 1) आवश्यकताओं के सीमित प्रवाह वाले सिस्टम;
• 2) आवश्यकताओं के असीमित प्रवाह वाले सिस्टम।

रूपों के आधार पर आंतरिक संगठनसिस्टम में सेवाएं हैं:

• 1) आदेशित सेवा के साथ सिस्टम;
• 2) अव्यवस्थित सेवा वाले सिस्टम।

क्यूएस के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण कदम अध्ययन के तहत प्रक्रिया की विशेषता वाले मानदंडों का चुनाव है। चुनाव अध्ययन के तहत समस्याओं के प्रकार, समाधान द्वारा प्राप्त लक्ष्य पर निर्भर करता है।

अक्सर व्यवहार में ऐसी प्रणालियाँ होती हैं जिनमें आवश्यकताओं का प्रवाह सबसे सरल के करीब होता है, और सेवा समय एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है। ये प्रणालियाँ कतार सिद्धांत में पूरी तरह से विकसित हैं।

एक उद्यम की स्थितियों में, प्रतीक्षा के साथ कार्य, सेवा उपकरणों की एक सीमित संख्या के साथ, आवश्यकताओं के सीमित प्रवाह के साथ, और अव्यवस्थित सर्विसिंग के साथ, विशिष्ट हैं।

23 अक्टूबर 2013 दोपहर 02:22 बजे

चीख़: मॉडलिंग कतार प्रणाली

• प्रोग्रामिंग,
• ओओपी,
• समानांतर प्रोग्रामिंग

स्क्वीक जैसी प्रोग्रामिंग भाषा के बारे में हबरे के बारे में बहुत कम जानकारी है। मैं इसके बारे में मॉडलिंग क्यूइंग सिस्टम के संदर्भ में बात करने की कोशिश करूंगा। मैं दिखाऊंगा कि एक साधारण वर्ग कैसे लिखना है, इसकी संरचना का वर्णन करना है और इसे ऐसे प्रोग्राम में उपयोग करना है जो कई चैनलों के माध्यम से अनुरोधों को पूरा करेगा।

स्क्वाकी के बारे में कुछ शब्द

स्क्वीक स्मॉलटाक -80 प्रोग्रामिंग भाषा का एक खुला, क्रॉस-प्लेटफ़ॉर्म कार्यान्वयन है जिसमें गतिशील टाइपिंग और कचरा संग्रहकर्ता है। इंटरफ़ेस काफी विशिष्ट है, लेकिन डिबगिंग और विश्लेषण के लिए काफी सुविधाजनक है। स्क्वीक पूरी तरह से ओओपी की अवधारणा का अनुपालन करता है। सब कुछ वस्तुओं से बना है, यहाँ तक कि संरचनाएँ भी अगर-तो-अन्य, के लिए, जबकिउनकी मदद से लागू किया गया। संपूर्ण सिंटैक्स फॉर्म में ऑब्जेक्ट को संदेश भेजने के लिए उबलता है:

<объект> <сообщение>

कोई भी विधि हमेशा एक वस्तु लौटाती है और उसे एक नया संदेश भेजा जा सकता है।
स्क्वीक का उपयोग अक्सर प्रक्रिया मॉडलिंग के लिए किया जाता है, लेकिन मल्टीमीडिया एप्लिकेशन और विभिन्न प्रकार के शैक्षिक प्लेटफॉर्म बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में भी इसका उपयोग किया जा सकता है।

कतार प्रणाली

क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) में एक या अधिक चैनल होते हैं जो कई स्रोतों से अनुप्रयोगों को संसाधित करते हैं। प्रत्येक अनुरोध को पूरा करने का समय निश्चित या मनमाना हो सकता है, साथ ही उनके आगमन के बीच का अंतराल भी। यह एक टेलीफोन एक्सचेंज, लॉन्ड्री, स्टोर में कैशियर, टाइपिंग ब्यूरो आदि हो सकता है। यह कुछ इस तरह दिखता है:

सीएमओ में कई स्रोत शामिल हैं जो इसमें आते हैं सामान्य कतारऔर प्रसंस्करण चैनल उपलब्ध होते ही रखरखाव के लिए भेज दिए जाते हैं। वास्तविक सिस्टम की विशिष्ट विशेषताओं के आधार पर, मॉडल में अनुरोध स्रोतों और सेवा चैनलों की एक अलग संख्या हो सकती है और कतार की लंबाई और अनुरोधों (विफलताओं) को खोने की संबंधित संभावना पर अलग-अलग प्रतिबंध हो सकते हैं।

क्यूएस मॉडलिंग करते समय, औसत और अधिकतम कतार लंबाई का अनुमान लगाने, सेवा आवृत्ति से इनकार करने, औसत चैनल लोड और उनकी संख्या निर्धारित करने के कार्य आमतौर पर हल किए जाते हैं। कार्य के आधार पर, मॉडल में प्रक्रियाओं के व्यवहार पर आवश्यक सांख्यिकीय डेटा एकत्र करने, संचय करने और संसाधित करने के लिए सॉफ़्टवेयर ब्लॉक शामिल हैं। क्यूएस विश्लेषण में सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला इवेंट फ्लो मॉडल रेगुलर और पॉइसन हैं। घटनाओं की घटना के बीच एक ही समय में नियमित लोगों की विशेषता होती है, जबकि पॉसों वाले यादृच्छिक होते हैं।

थोड़ा सा गणित

पॉइसन प्रवाह के लिए, घटनाओं की संख्या एक्सलंबाई अंतराल के भीतर गिरना τ (ताऊ) बिंदु के निकट टी, पॉइसन कानून के अनुसार वितरित:
कहाँ पे ए (टी, )- समय अंतराल में होने वाली घटनाओं की औसत संख्या τ .
प्रति इकाई समय में घटने वाली घटनाओं की औसत संख्या बराबर होती है (टी). इसलिए, प्रति समय अंतराल में घटनाओं की औसत संख्या τ , समय के क्षण के साथ टी, के बराबर होगा:

समय टीदो घटनाओं के बीच (टी) = स्थिरांक =कानून के अनुसार वितरित:
यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व टीकी तरह लगता है:
समय अंतराल के छद्म यादृच्छिक पॉइसन अनुक्रम प्राप्त करने के लिए मैंप्रश्न हल करें:
कहाँ पे मैंअंतराल पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक संख्या है।
हमारे मामले में, यह अभिव्यक्ति देता है:

यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करके, आप संपूर्ण खंड लिख सकते हैं। यहां, अंतराल पर समान रूप से वितरित पूर्णांक उत्पन्न करने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं:
कहाँ पे आर आई- एक और यादृच्छिक पूर्णांक;
आर- कुछ बड़ी अभाज्य संख्या (जैसे 2311);
क्यू- पूर्णांक - अंतराल की ऊपरी सीमा, उदाहरण के लिए, 2 21 = 2097152;
रेमो- पूर्णांकों के विभाजन से शेषफल प्राप्त करने की क्रिया।

आरंभिक मूल्य R0आमतौर पर मनमाने ढंग से सेट किया जाता है, उदाहरण के लिए, टाइमर रीडिंग का उपयोग करना:
कुल समय सेकंड
अंतराल पर समान रूप से वितरित संख्याओं को प्राप्त करने के लिए, हम भाषा ऑपरेटर का उपयोग करते हैं:

रैंड क्लास

अंतराल पर समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या प्राप्त करने के लिए, हम एक वर्ग बनाते हैं - वास्तविक संख्याओं का एक जनरेटर:

फ्लोट वैरिएबलवर्डसबक्लास: #रैंड "क्लास नेम" इंस्टेंस वेरिएबलनाम: "" "इंस्टेंस वेरिएबल" क्लास वेरिएबलनाम: "आर" "क्लास वेरिएबल" पूल डिक्शनरी: "" " सामान्य शब्दकोश" श्रेणी: "नमूना" "श्रेणी का नाम"
तरीके:

"आरंभीकरण" init R:= Time TotalSeconds.next "अगला छद्म यादृच्छिक संख्या" अगला R:= (R * 2311 + 1) रिम: 2097152। ^(R/2097152) asFloat
सेंसर की प्रारंभिक स्थिति सेट करने के लिए, एक संदेश भेजें रैंड इनिटा.
दूसरा पाने के लिए यादृच्छिक संख्याभेजना अगला रैंड.

आवेदन प्रसंस्करण कार्यक्रम

तो, एक साधारण उदाहरण के रूप में, आइए निम्नलिखित कार्य करें। मान लीजिए कि हमें अनुरोधों के बीच एक यादृच्छिक समय अंतराल के साथ एक स्रोत से अनुरोधों के नियमित प्रवाह के रखरखाव का अनुकरण करने की आवश्यकता है। अलग-अलग प्रदर्शन के दो चैनल हैं, जो क्रमशः 2 और 7 यूनिट समय में सर्विसिंग एप्लिकेशन की अनुमति देते हैं। प्रत्येक चैनल द्वारा दिए गए अनुरोधों की संख्या को 100 समय इकाइयों के अंतराल में दर्ज करना आवश्यक है।

चीख़ कोड

"अस्थायी चर घोषित करना" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysप्राथमिकता कतार जारी रखें r | "प्रारंभिक चर सेटिंग्स" रैंड init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. टी2:= -1. जारी रखें: = सच। sysPriority:= प्रोसेसर सक्रियप्रोसेस प्राथमिकता। "वर्तमान प्राथमिकता" कतार: = सेमाफोर नया। "क्यूई मॉडल का दावा करें" "प्रक्रिया बनाएं - चैनल मॉडल 1" s1: = s1 + 1. proc1 निलंबित। प्रक्रिया लंबित सेवा समाप्ति को निलंबित करें"] .proc1: = शून्य। प्रक्रिया 1 का संदर्भ निकालें"] प्राथमिकता: (sysPriority + 1)) फिर से शुरू। "नई प्राथमिकता पृष्ठभूमि से बड़ी है" "प्रक्रिया बनाएं - चैनल मॉडल 2" .proc2:= nil.] प्राथमिकता: (sysPriority + 1)) फिर से शुरू करें। "मुख्य प्रक्रिया और स्रोत मॉडल का निरंतर विवरण" जबकि ट्रू: [आर: = (रैंड अगला * 10) गोल। (आर = 0) अगर सही है:। ((SysTime रेम: r) = 0) अगर सही है:। "अनुरोध भेजें" "सेवा प्रक्रिया स्विच" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. "मॉडल का समय टिक रहा है"]। "अनुरोध काउंटर स्थिति दिखाएं" पॉपअपमेनू सूचित करता है: "proc1:", (s1 प्रिंटस्ट्रिंग),", proc2: ", (एस 2 प्रिंटस्ट्रिंग)। जारी रखें: = झूठा।

स्टार्टअप पर, हम देखते हैं कि प्रक्रिया 1 31 अनुरोधों को संसाधित करने में कामयाब रही, और प्रक्रिया 2 केवल 11:

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परिचय

अध्याय 1. सैद्धांतिक भाग

1.1 विफलताओं के साथ कतारबद्ध प्रणाली

1.2 कतार प्रणाली की मॉडलिंग

1.3 विफलताओं के साथ सबसे सरल QS

1.4 विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

1.5 विफलताओं के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

1.6 सीमित कतार लंबाई के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

1.7 असीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

1.8 मल्टीचैनल क्यूएस सीमित कतार लंबाई के साथ

1.9 असीमित कतार के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

1.10 क्यूएस मॉडलिंग एल्गोरिदम

अध्याय 2. व्यावहारिक भाग

अध्याय 3. सुरक्षा विनियम

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

प्रति हाल के समय मेंअधिकांश में विभिन्न क्षेत्रोंअभ्यास, तथाकथित क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) के संचालन से संबंधित विभिन्न संभाव्य समस्याओं को हल करना आवश्यक हो गया।

ऐसी प्रणालियों के उदाहरण हैं: टेलीफोन एक्सचेंज, मरम्मत की दुकानें, टिकट कार्यालय, टैक्सी रैंक, हेयरड्रेसर आदि।

इस पाठ्यक्रम परियोजना का विषय ठीक ऐसी समस्या का समाधान है।

हालांकि, प्रस्तावित समस्या में, एक क्यूएस की जांच की जाएगी, जिसमें आवेदनों के 2 प्रवाहों पर विचार किया जाता है, जिनमें से एक की प्राथमिकता होती है।

साथ ही, मानी जाने वाली प्रक्रियाएं गैर-मार्कोवियन हैं, क्योंकि समय कारक महत्वपूर्ण है।

इसलिए, इस समस्या का समाधान प्रणाली के विश्लेषणात्मक विवरण पर नहीं, बल्कि सांख्यिकीय मॉडलिंग पर आधारित है।

उद्देश्य टर्म परीक्षाएक कतार प्रणाली के रूप में मुख्य उपकरण के प्रतिनिधित्व के आधार पर उत्पादन प्रक्रिया का मॉडलिंग है।

लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्य निर्धारित किए गए थे: - उत्पादन प्रक्रिया प्रबंधन की विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए; - समय पर उत्पादन प्रक्रिया के संगठन पर विचार करें; - उत्पादन चक्र की अवधि को कम करने के लिए मुख्य विकल्प दें;

उद्यम में उत्पादन प्रक्रिया के प्रबंधन के तरीकों का विश्लेषण करने के लिए;

क्यूएस के सिद्धांत का उपयोग करके उत्पादन प्रक्रिया के मॉडलिंग की विशेषताओं पर विचार करें;

उत्पादन प्रक्रिया का एक मॉडल विकसित करें और क्यूएस की मुख्य विशेषताओं का मूल्यांकन करें, इसके आगे के सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की संभावनाएं प्रस्तुत करें।

सैद्धांतिक ज्ञान का समेकन और उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए कौशल प्राप्त करना;

रिपोर्ट में एक परिचय, तीन अध्याय, एक निष्कर्ष, संदर्भों की एक सूची, आवेदन शामिल हैं।

दूसरा अध्याय कतार प्रणाली की सैद्धांतिक सामग्री से संबंधित है। और तीसरे में हम कतार प्रणाली की समस्या की गणना करते हैं।

अध्याय 1. सैद्धांतिक भाग

1.1 कतार प्रणालीसीविफलताओं

एक क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) किसी भी सिस्टम को यादृच्छिक समय पर पहुंचने वाले किसी भी अनुरोध (आवश्यकताओं) को पूरा करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। सर्विसिंग अनुरोधों में सीधे शामिल होने वाले किसी भी उपकरण को सर्विस चैनल (या "डिवाइस") कहा जाता है। सीएमओ सिंगल और मल्टी चैनल दोनों हैं।

विफलताओं के साथ QS और कतार के साथ QS हैं। क्यूएस में इनकार के साथ, एक अनुरोध जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, एक इनकार प्राप्त करता है, क्यूएस छोड़ देता है, और फिर इसके संचालन में भाग नहीं लेता है। क्यूएस में एक क्यू के साथ, एक दावा जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं क्यूएस को नहीं छोड़ते हैं, लेकिन कतार में प्रवेश करते हैं और एक चैनल के मुक्त होने तक प्रतीक्षा करते हैं। कतार में स्थानों की संख्या m सीमित और असीमित दोनों हो सकती है। जब एम = 0, क्यू के साथ क्यूएस विफलताओं के साथ क्यूएस में बदल जाता है। एक कतार न केवल उसमें खड़े अनुरोधों की संख्या (कतार की लंबाई) तक सीमित हो सकती है, बल्कि प्रतीक्षा समय (ऐसे क्यूएस को "अधीर ग्राहकों के साथ सिस्टम" कहा जाता है) द्वारा भी सीमित किया जा सकता है।

क्यूएस का एक विश्लेषणात्मक अध्ययन सबसे सरल है यदि घटनाओं के सभी प्रवाह जो इसे एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करते हैं, सबसे सरल (स्थिर पॉइसन) हैं। इसका मतलब यह है कि धाराओं में घटनाओं के बीच के समय अंतराल में संबंधित धारा की तीव्रता के बराबर पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण होता है। क्यूएस के लिए, इस धारणा का अर्थ है कि अनुरोधों का प्रवाह और सेवा का प्रवाह दोनों ही सबसे सरल हैं। एक सेवा प्रवाह को एक के बाद एक लगातार व्यस्त चैनल द्वारा दिए गए अनुरोधों के प्रवाह के रूप में समझा जाता है। यह प्रवाह केवल तभी सरल होता है जब अनुरोध tservice का सेवा समय एक घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर हो। इस वितरण एम का पैरामीटर औसत सेवा समय का पारस्परिक है:

"सेवा प्रवाह सबसे सरल है" वाक्यांश के बजाय, वे अक्सर कहते हैं "सेवा समय सांकेतिक है"। कोई भी QS जिसमें सभी प्रवाह सरल होते हैं, सरल QS कहलाते हैं।

यदि सभी घटना प्रवाह सरल हैं, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया असतत राज्यों और निरंतर समय के साथ एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया है। इस प्रक्रिया के लिए कुछ शर्तों के तहत, एक अंतिम स्थिर शासन होता है, जिसमें राज्यों की संभावनाएं और प्रक्रिया की अन्य विशेषताएं दोनों समय पर निर्भर नहीं होती हैं।

QS मॉडल आधुनिक कंप्यूटिंग सिस्टम के अलग-अलग सबसिस्टम का वर्णन करने के लिए सुविधाजनक हैं, जैसे कि प्रोसेसर-मेन मेमोरी सबसिस्टम, इनपुट-आउटपुट चैनल, आदि।

संपूर्ण रूप से कंप्यूटिंग सिस्टम परस्पर जुड़े हुए सबसिस्टम का एक सेट है, जिसकी बातचीत एक संभाव्य प्रकृति की है। एक निश्चित समस्या को हल करने के लिए एक आवेदन जो कंप्यूटिंग सिस्टम में प्रवेश करता है, गिनती के चरणों के अनुक्रम से गुजरता है, बाहरी भंडारण उपकरणों और इनपुट-आउटपुट उपकरणों तक पहुंचता है।

ऐसे चरणों का एक निश्चित क्रम पूरा होने के बाद, जिसकी संख्या और अवधि कार्यक्रम की जटिलता पर निर्भर करती है, अनुरोध को सेवित माना जाता है और कंप्यूटिंग सिस्टम को छोड़ देता है।

इस प्रकार, संपूर्ण रूप से कंप्यूटिंग सिस्टम को QS के एक सेट द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक अलग डिवाइस या उसी प्रकार के उपकरणों के समूह के कामकाज की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है जो सिस्टम का हिस्सा हैं।

कतारबद्ध सिद्धांत का कार्य क्यूएस के विभिन्न राज्यों की संभावनाओं का पता लगाना है, साथ ही दिए गए मापदंडों के बीच संबंध स्थापित करना है (चैनलों की संख्या n, अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता l, सेवा समय का वितरण, आदि) और क्यूएस की प्रदर्शन विशेषताओं। ऐसी विशेषताओं पर विचार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित:

आवेदनों की औसत संख्या ए, क्यूएस द्वारा प्रति यूनिट समय, या निरपेक्ष throughputसीएमओ;

आने वाले अनुरोध क्यू या क्यूएस के सापेक्ष थ्रूपुट की सर्विसिंग की संभावना; क्यू \u003d ए / एल;

रोथक विफलता संभावना, यानी। संभावना है कि प्राप्त आवेदन की तामील नहीं की जाएगी और खारिज कर दी जाएगी; रोटक = 1 - क्यू;

क्यूएस में आवेदनों की औसत संख्या (सेवा की गई या लाइन में प्रतीक्षा कर रही है);

कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

सीएमओ (कतार में या सेवा के तहत) में एक आवेदन द्वारा बिताया गया औसत समय;

औसत समय एक आवेदन कतार में खर्च करता है;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या।

पर सामान्य मामलाये सभी विशेषताएं समय पर निर्भर हैं। लेकिन कई क्यूएस काफी लंबे समय तक स्थिर परिस्थितियों में काम करते हैं, और इसलिए स्थिर के करीब एक शासन उनके लिए स्थापित होने का समय है।

हम यहां हर जगह हैं, हर बार विशेष रूप से इसे निर्दिष्ट किए बिना, हम राज्यों की अंतिम संभावनाओं और इसके संचालन के सीमित स्थिर मोड से संबंधित क्यूएस दक्षता की अंतिम विशेषताओं की गणना करेंगे।

एक क्यूएस को खुला कहा जाता है यदि अनुप्रयोगों के आने वाले प्रवाह की तीव्रता क्यूएस की स्थिति पर निर्भर नहीं होती है।

सीमित स्थिर मोड में किसी भी खुले क्यूएस के लिए, सिस्टम में एक ग्राहक के औसत निवास समय को लिटिल फॉर्मूला का उपयोग करके सिस्टम में ग्राहकों की औसत संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है:

जहां एल अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता है।

एक समान सूत्र (जिसे लिटिल का सूत्र भी कहा जाता है) एक कतार में टिकट के औसत समय और एक कतार में टिकटों की औसत संख्या से संबंधित है:

लिटिल के सूत्र बहुत उपयोगी हैं, क्योंकि वे आपको दक्षता विशेषताओं (औसत निवास समय और ग्राहकों की औसत संख्या) दोनों की गणना करने की अनुमति नहीं देते हैं, लेकिन उनमें से केवल एक ही।

हम विशेष रूप से इस बात पर जोर देते हैं कि सूत्र (1) और (2) किसी भी खुले क्यूएस (एकल-चैनल, बहु-चैनल, किसी भी प्रकार के अनुरोध प्रवाह और सेवा प्रवाह के लिए) के लिए मान्य हैं; ग्राहक प्रवाह और सेवाओं के लिए एकमात्र आवश्यकता यह है कि वे स्थिर हों।

उसी प्रकार सार्वभौमिक अर्थखुले क्यूएस के लिए एक सूत्र है जो पूर्ण थ्रूपुट ए के माध्यम से व्यस्त चैनलों की औसत संख्या व्यक्त करता है:

सेवा प्रवाह की तीव्रता कहां है।

सबसे सरल क्यूएस से संबंधित कतार के सिद्धांत की बहुत सारी समस्याएं, मृत्यु और प्रजनन की योजना का उपयोग करके हल की जाती हैं।

राज्यों की अंतिम संभावनाएँ सूत्रों द्वारा व्यक्त की जाती हैं:

स्क्रॉल क्यूइंग सिस्टम की विशेषताओं को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

· औसत सेवा समय;

कतार में औसत प्रतीक्षा समय;

एसएमओ में बिताया गया औसत समय;

औसत कतार लंबाई

सीएमओ में आवेदनों की औसत संख्या;

सेवा चैनलों की संख्या;

अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह की तीव्रता;

सेवा तीव्रता;

भार तीव्रता;

लोड फैक्टर

सापेक्ष थ्रूपुट;

निरपेक्ष थ्रूपुट

क्यूएस डाउनटाइम का हिस्सा;

सेवित अनुप्रयोगों का हिस्सा;

खोए हुए आवेदनों का अनुपात;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

मुफ्त चैनलों की औसत संख्या;

चैनल लोड फैक्टर;

चैनलों का औसत निष्क्रिय समय।

1 . 2 कतार प्रणाली की मॉडलिंग

एक राज्य से दूसरे राज्य में क्यूएस संक्रमण अच्छी तरह से परिभाषित घटनाओं के प्रभाव में होता है - आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सर्विसिंग। समय के यादृच्छिक क्षणों में एक के बाद एक घटनाओं के घटित होने का क्रम तथाकथित घटनाओं की धारा बनाता है। ऐसे प्रवाह के उदाहरण व्यावसायिक गतिविधियांविभिन्न प्रकृति के प्रवाह हैं - माल, पैसा, दस्तावेज, परिवहन, ग्राहक, खरीदार, टेलीफोन कॉल, बातचीत। प्रणाली का व्यवहार आमतौर पर एक से नहीं, बल्कि घटनाओं की कई धाराओं द्वारा एक साथ निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी स्टोर में ग्राहक सेवा ग्राहक प्रवाह और सेवा प्रवाह द्वारा निर्धारित की जाती है; इन प्रवाहों में, खरीदारों की उपस्थिति के क्षण, कतार में बिताया गया समय और प्रत्येक खरीदार की सेवा करने में लगने वाला समय यादृच्छिक होता है।

इस मामले में, प्रवाह की मुख्य विशेषता पड़ोसी घटनाओं के बीच समय का संभाव्य वितरण है। विभिन्न धाराएँ हैं जो अपनी विशेषताओं में भिन्न हैं।

घटनाओं की एक धारा को नियमित कहा जाता है यदि इसमें होने वाली घटनाएं एक के बाद एक पूर्व निर्धारित और कड़ाई से परिभाषित समय अंतराल पर होती हैं। ऐसा प्रवाह आदर्श है और व्यवहार में बहुत दुर्लभ है। अधिक बार अनियमित प्रवाह होते हैं जिनमें नियमितता का गुण नहीं होता है।

घटनाओं की एक धारा स्थिर कहलाती है यदि किसी समय अंतराल में आने वाली घटनाओं की संभावना केवल इस अंतराल की लंबाई पर निर्भर करती है और इस पर निर्भर नहीं करती है कि यह अंतराल समय संदर्भ बिंदु से कितनी दूर स्थित है। प्रवाह की स्थिरता का अर्थ है कि इसकी संभाव्य विशेषताएं समय से स्वतंत्र हैं; विशेष रूप से, इस तरह के प्रवाह की तीव्रता समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या है और स्थिर रहती है। व्यवहार में, प्रवाह को आमतौर पर केवल एक निश्चित सीमित समय अंतराल के लिए स्थिर माना जा सकता है। आमतौर पर, ग्राहकों का प्रवाह, उदाहरण के लिए, एक स्टोर में कार्य दिवस के दौरान महत्वपूर्ण रूप से बदल जाता है। हालांकि, कुछ निश्चित समय अंतरालों को अलग करना संभव है जिसके भीतर इस प्रवाह को स्थिर माना जा सकता है, जिसमें निरंतर तीव्रता होती है।

घटनाओं की एक धारा को परिणामों के बिना एक धारा कहा जाता है यदि समय के मनमाने ढंग से चुने गए अंतराल में से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या दूसरे पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है, यह भी मनमाने ढंग से चुने गए अंतराल है, बशर्ते कि ये अंतराल प्रतिच्छेद न करें। बिना किसी परिणाम के प्रवाह में, घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से क्रमिक समय पर प्रकट होती हैं। उदाहरण के लिए, एक स्टोर में प्रवेश करने वाले ग्राहकों के प्रवाह को बिना किसी परिणाम के प्रवाह माना जा सकता है, क्योंकि जिन कारणों से उनमें से प्रत्येक के आने का कारण अन्य ग्राहकों के लिए समान कारणों से संबंधित नहीं हैं।

घटनाओं की एक धारा को सामान्य कहा जाता है यदि केवल एक घटना के टकराने की संभावना की तुलना में बहुत कम समय के लिए दो या दो से अधिक घटनाओं के एक साथ टकराने की संभावना नगण्य है। एक सामान्य धारा में, घटनाएँ दो या अधिक बार के बजाय एक बार में घटित होती हैं। यदि एक प्रवाह में एक साथ स्थिरता, सामान्यता और परिणाम की अनुपस्थिति के गुण होते हैं, तो ऐसे प्रवाह को घटनाओं का सबसे सरल (या पॉइसन) प्रवाह कहा जाता है। सिस्टम पर इस तरह के प्रवाह के प्रभाव का गणितीय विवरण सबसे सरल है। इसलिए, विशेष रूप से, सरलतम प्रवाह अन्य मौजूदा प्रवाहों के बीच एक विशेष भूमिका निभाता है।

समय अक्ष पर कुछ समय अंतराल t पर विचार करें। आइए मान लें कि इस अंतराल में एक यादृच्छिक घटना की संभावना पी है, और संभावित घटनाओं की कुल संख्या n है। घटनाओं के सामान्य प्रवाह की संपत्ति की उपस्थिति में, संभावना पी पर्याप्त रूप से छोटा मान होना चाहिए, और मैं पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में हूं, क्योंकि सामूहिक घटनाओं पर विचार किया जाता है।

इन शर्तों के तहत, समय अंतराल t में एक निश्चित संख्या में घटनाओं t को हिट करने की संभावना की गणना करने के लिए, आप पॉइसन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

पीएम, एन = am_e-a; (एम = 0, एन),

जहाँ मान a \u003d pr समय अंतराल t पर पड़ने वाली घटनाओं की औसत संख्या है, जिसे घटनाओं X के प्रवाह की तीव्रता के माध्यम से निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है: a \u003d l f

प्रवाह तीव्रता X का आयाम प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या है। p और l, p और f के बीच निम्नलिखित संबंध है:

एन = एल टी; पी = एफ / टी

जहां टी समय की पूरी अवधि है जिस पर घटनाओं के प्रवाह की क्रिया पर विचार किया जाता है।

ऐसी धारा में घटनाओं के बीच समय अंतराल टी के वितरण को निर्धारित करना आवश्यक है। चूँकि यह एक यादृच्छिक चर है, आइए इसका वितरण फलन ज्ञात करें। जैसा कि प्रायिकता सिद्धांत से ज्ञात होता है, समाकलन वितरण फलन F(t) प्रायिकता है कि मान T, समय t से कम होगा।

एफ (टी) = पी (टी

शर्त के अनुसार, समय T के दौरान कोई घटना नहीं होनी चाहिए, और समय अंतराल t पर कम से कम एक घटना दिखाई देनी चाहिए। इस प्रायिकता की गणना समय अंतराल (0; t) पर विपरीत घटना की प्रायिकता का उपयोग करके की जाती है, जहां कोई घटना नहीं घटी, अर्थात। एम = 0, तब

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

छोटे? टी के लिए, आप फ़ंक्शन ई-एक्सटी को प्रतिस्थापित करके प्राप्त अनुमानित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, शक्तियों में श्रृंखला में विस्तार के केवल दो शब्दों के साथ, तो कम से कम एक घटना को कम समय अंतराल में मारने की संभावना? टी is

पी (टी

दो क्रमिक घटनाओं के बीच समय अंतराल का वितरण घनत्व समय के संबंध में F(t) को अलग करके प्राप्त किया जाता है,

एफ (टी) = एल ई- एल टी, टी? 0

प्राप्त वितरण घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोई यादृच्छिक चर टी की संख्यात्मक विशेषताओं को प्राप्त कर सकता है: गणितीय अपेक्षा एम (टी), विचरण डी (टी) और मानक विचलन वाई (टी)।

एम (टी) = एल ?? 0 टी * ई-एलटी * डीटी = 1 / एल; डी(टी)=1/ एल2 ; वाई (टी) = 1 / एल।

यहां से हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: सबसे सरल प्रवाह में किन्हीं दो पड़ोसी घटनाओं के बीच औसत समय अंतराल T औसतन 1/l है, और इसका मानक विचलन भी 1/l है, जहां, प्रवाह की तीव्रता है, अर्थात। समय की प्रति इकाई होने वाली घटनाओं की औसत संख्या। ऐसे गुणों वाले यादृच्छिक चर के वितरण का नियम M(T) = T को घातांक (या घातांक) कहा जाता है, और मान l इस घातीय नियम का एक पैरामीटर है। इस प्रकार, सबसे सरल प्रवाह के लिए, पड़ोसी घटनाओं के बीच समय अंतराल की गणितीय अपेक्षा इसके मानक विचलन के बराबर है। इस मामले में, समय अंतराल t में सर्विसिंग के लिए आने वाले अनुरोधों की संख्या k के बराबर होने की संभावना पॉइसन कानून द्वारा निर्धारित की जाती है:

पीके (टी) = (एलटी) के / के! *ई-एल टी,

जहां एल - अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता, क्यूएस प्रति यूनिट समय में घटनाओं की औसत संख्या, उदाहरण के लिए [व्यक्ति / मिनट; रगड़ / घंटा; चेक / घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टन/वर्ष]।

अनुप्रयोगों के इस तरह के प्रवाह के लिए, दो पड़ोसी अनुप्रयोगों टी के बीच का समय संभाव्यता घनत्व के साथ तेजी से वितरित किया जाता है:

(टी)= एल ई-एल टी।

सेवा प्रारंभ कतार t में यादृच्छिक प्रतीक्षा समय को भी घातीय रूप से वितरित माना जा सकता है:

? (टोच) = वी * ई-वी तोच,

जहां v कतार मार्ग प्रवाह की तीव्रता है, जो समय की प्रति यूनिट सेवा के लिए गुजरने वाले आवेदनों की औसत संख्या से निर्धारित होती है:

v=1/बिंदु,

जहां कतार में सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय है।

अनुरोधों का आउटपुट प्रवाह चैनल में सेवा प्रवाह के साथ जुड़ा हुआ है, जहां सेवा अवधि टोब्स भी एक यादृच्छिक चर है और कई मामलों में एक संभाव्यता घनत्व के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है:

?(t obs)=µ*e µ t obs,

जहां सेवा प्रवाह की तीव्रता है, अर्थात। प्रति यूनिट समय पर दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या:

µ=1/ t प्रेक्षण [लोग/मिनट; रगड़ / घंटा; चेक / घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टन/वर्ष],

जहां t obs सर्विसिंग अनुरोधों के लिए औसत समय है।

क्यूएस की एक महत्वपूर्ण विशेषता, जो संकेतक एल और μ को जोड़ती है, लोड की तीव्रता है: с= l/ µ, जो सेवा चैनल अनुरोधों के इनपुट और आउटपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री को दर्शाता है और की स्थिरता को निर्धारित करता है कतार प्रणाली।

घटनाओं के सबसे सरल प्रवाह की अवधारणा के अलावा, अक्सर अन्य प्रकार के प्रवाह की अवधारणाओं का उपयोग करना आवश्यक होता है। घटनाओं की एक धारा को पाम स्ट्रीम कहा जाता है जब इस धारा में क्रमिक घटनाओं T1, T2, ..., Tk ..., Tn के बीच समय अंतराल स्वतंत्र, समान रूप से वितरित, यादृच्छिक चर होते हैं, लेकिन सबसे सरल धारा के विपरीत, वे हैं जरूरी नहीं कि एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाए। सबसे सरल प्रवाह पाम प्रवाह का एक विशेष मामला है।

पाम धारा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तथाकथित एरलांग धारा है।

यह धारा सबसे सरल धारा को "पतला" करके प्राप्त की जाती है। इस तरह के "पतला" एक निश्चित नियम के अनुसार एक साधारण धारा से घटनाओं का चयन करके किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम सरलतम प्रवाह के तत्वों से केवल हर दूसरी घटना को ध्यान में रखने के लिए सहमत हैं, तो हमें एक दूसरे क्रम का एरलांग प्रवाह मिलता है। यदि हम केवल हर तीसरी घटना को लेते हैं, तो तीसरे क्रम का एक एरलांग प्रवाह बनता है, और इसी तरह।

किसी भी k-th क्रम की Erlang धाराएँ प्राप्त करना संभव है। जाहिर है, सबसे सरल प्रवाह पहले क्रम का एरलांग प्रवाह है।

क्यूइंग सिस्टम का कोई भी अध्ययन इस बात के अध्ययन से शुरू होता है कि क्या परोसा जाना चाहिए, और इसलिए ग्राहकों की आने वाली धारा और इसकी विशेषताओं की जांच के साथ।

चूंकि समय क्षण t और अनुरोधों की प्राप्ति के लिए समय अंतराल , फिर सेवा संचालन की अवधि t obs और कतार में प्रतीक्षा समय, साथ ही कतार की लंबाई lch यादृच्छिक चर हैं, इसलिए, विशेषताएँ क्यूएस राज्य एक संभाव्य प्रकृति के हैं, और उनका विवरण कतार सिद्धांत के तरीकों और मॉडलों को लागू करना चाहिए।

विशेषताएँ k, f, l, Loch, Toch, v, tobs, µ, p, Pk ऊपर सूचीबद्ध QS के लिए सबसे आम हैं, जो आमतौर पर उद्देश्य फ़ंक्शन का केवल कुछ हिस्सा हैं, क्योंकि इसे ध्यान में रखना भी आवश्यक है वाणिज्यिक गतिविधि के संकेतक।

1 . 3 विफलताओं के साथ सबसे सरल क्यूएस

विफलताओं वाला एक n-चैनल QS तीव्रता l के साथ अनुप्रयोगों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है; सेवा समय - एक पैरामीटर के साथ सांकेतिक। क्यूएस राज्यों को क्यूएस में अनुरोधों की संख्या के अनुसार क्रमांकित किया जाता है (कतार की अनुपस्थिति के कारण, यह व्यस्त चैनलों की संख्या के साथ मेल खाता है):

S0 - QS मुफ़्त है;

S1 - एक चैनल पर कब्जा है, बाकी मुफ्त हैं;

...;

एस क- व्यस्त कचैनल, बाकी मुफ़्त हैं (1 कएन);

…;

एस एन- सब व्यस्त हैं एनचैनल।

अंतिम राज्य संभावनाएं एरलांग सूत्रों द्वारा व्यक्त की जाती हैं:

जहां एस = एल / एम।

प्रदर्शन गुण:

ए = (1-पी एन); क्यू = 1-पी एन; पीपी = पी एन; =(1-पी एन).

बड़े मूल्यों के लिए पीराज्य की संभावनाओं (1*) की गणना सारणीबद्ध कार्यों का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है:

(जहर वितरण) और

,

जिनमें से पहले को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

इन कार्यों का उपयोग करते हुए, Erlang सूत्र (1*) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

.

1.4 विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

आइए हम सेवा के इनकार के साथ एक साधारण सिंगल-चैनल क्यूएस का विश्लेषण करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है, और सेवा तीव्रता एम के साथ पॉइसन प्रवाह की कार्रवाई के तहत होती है।

एकल-चैनल QS n=1 के संचालन को एक लेबल वाले राज्य ग्राफ (3.1) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक राज्य S0 से दूसरे S1 में QS संक्रमण तीव्रता के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह की कार्रवाई के तहत होता है, और रिवर्स संक्रमण तीव्रता m के साथ सेवा प्रवाह की कार्रवाई के तहत होता है।

आइए हम उपरोक्त नियमों के अनुसार राज्य की संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की प्रणाली लिखें:

जहां से हमें राज्य S0 की प्रायिकता p0(t) निर्धारित करने के लिए अवकल समीकरण प्राप्त होता है:

इस समीकरण को प्रारंभिक स्थितियों के तहत इस धारणा के तहत हल किया जा सकता है कि सिस्टम इस समय t=0 राज्य S0 में था, फिर р0(0)=1, р1(0)=0.

इस मामले में, अंतर समीकरण का समाधान हमें इस संभावना को निर्धारित करने की अनुमति देता है कि चैनल मुक्त है और सेवा में व्यस्त नहीं है:

तब चैनल के व्यस्त होने की प्रायिकता निर्धारित करने की प्रायिकता के लिए व्यंजक प्राप्त करना कठिन नहीं है:

प्रायिकता p0(t) समय के साथ घटती जाती है और t> की सीमा में घटती जाती है? आकार लेता है

और प्रायिकता p1(t) उसी समय 0 से बढ़ जाती है, जो t> के रूप में सीमा की ओर प्रवृत्त होती है? मूल्य के लिए

ये संभाव्यता सीमाएं कोलमोगोरोव समीकरणों से सीधे शर्त के तहत प्राप्त की जा सकती हैं

फ़ंक्शन p0(t) और p1(t) एकल-चैनल QS में क्षणिक प्रक्रिया का निर्धारण करते हैं और विचाराधीन सिस्टम की समय-स्थिर विशेषता के साथ अपनी सीमा स्थिति में QS के घातीय सन्निकटन की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ, हम मान सकते हैं कि QS में क्षणिक प्रक्रिया 3f के बराबर समय के भीतर समाप्त हो जाती है।

प्रायिकता p0(t) QS के सापेक्ष थ्रूपुट को निर्धारित करती है, जो समय की प्रति यूनिट आने वाले अनुरोधों की कुल संख्या के संबंध में सेवित अनुरोधों के अनुपात को निर्धारित करती है।

वास्तव में, p0(t) प्रायिकता है कि समय t पर पहुंचने वाला दावा सेवा के लिए स्वीकार किया जाएगा। कुल मिलाकर, l अनुरोध औसतन प्रति यूनिट समय पर आते हैं, और lp0 अनुरोध उनसे सेवित होते हैं।

फिर अनुरोधों के पूरे प्रवाह के संबंध में सेवित अनुरोधों का हिस्सा मूल्य द्वारा निर्धारित किया जाता है

टी> की सीमा में? व्यावहारिक रूप से पहले से ही t>3f पर सापेक्ष थ्रूपुट का मान बराबर होगा

निरपेक्ष थ्रूपुट, जो t>? की सीमा में समय की प्रति इकाई समय पर दिए गए अनुरोधों की संख्या निर्धारित करता है, इसके बराबर है:

तदनुसार, अस्वीकार किए गए आवेदनों का हिस्सा समान सीमित शर्तों के तहत है:

और असेवित अनुरोधों की कुल संख्या बराबर है

सेवा से इनकार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस के उदाहरण हैं: स्टोर में ऑर्डर डेस्क, ट्रकिंग कंपनी का नियंत्रण कक्ष, गोदाम कार्यालय, एक वाणिज्यिक कंपनी का प्रबंधन कार्यालय, जिसके साथ टेलीफोन द्वारा संचार स्थापित किया जाता है।

1.5 विफलताओं के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

वाणिज्यिक गतिविधियों में, मल्टी-चैनल सीएमओ के उदाहरण कई टेलीफोन चैनलों के साथ वाणिज्यिक उद्यमों के कार्यालय हैं, मॉस्को में ऑटो स्टोर में सबसे सस्ती कारों की उपलब्धता के लिए एक मुफ्त संदर्भ सेवा में 7 टेलीफोन नंबर हैं, और, जैसा कि आप जानते हैं, यह बहुत है के माध्यम से प्राप्त करना और सहायता प्राप्त करना मुश्किल है।

नतीजतन, ऑटो की दुकानें ग्राहकों को खो रही हैं, बेची गई कारों की संख्या और बिक्री राजस्व, कारोबार, लाभ बढ़ाने का अवसर।

टूरिस्ट टूर कंपनियों के पास एक्सप्रेस-लाइन जैसे दो, तीन, चार या अधिक चैनल हैं।

आइए हम सेवा के इनकार के साथ एक बहु-चैनल QS पर विचार करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है।

प्रत्येक चैनल में सेवा प्रवाह की तीव्रता m होती है। QS अनुरोधों की संख्या के आधार पर, इसकी अवस्थाएँ Sk निर्धारित की जाती हैं, जिन्हें एक लेबल किए गए ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है:

S0 - सभी चैनल मुफ्त हैं k=0,

S1 - केवल एक चैनल पर कब्जा है, k=1,

S2 - केवल दो चैनलों का कब्जा है, k=2,

Sk - k चैनलों पर कब्जा है,

एसएन - सभी एन चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, के = एन।

एक मल्टीचैनल QS की अवस्थाएँ यादृच्छिक समय पर अचानक बदल जाती हैं। एक राज्य से संक्रमण, उदाहरण के लिए, S0 से S1, तीव्रता के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के प्रभाव में होता है, और इसके विपरीत - तीव्रता m के साथ सर्विसिंग अनुरोधों के प्रवाह के प्रभाव में।

राज्य Sk से Sk-1 में सिस्टम के संक्रमण के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा चैनल जारी किया गया है, इसलिए QS को स्थानांतरित करने वाली घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता किमी है, इसलिए, सिस्टम को स्थानांतरित करने वाली घटनाओं का प्रवाह एसएन से एसएन -1 की तीव्रता एनएम है।

इस तरह से शास्त्रीय एरलांग समस्या तैयार की जाती है, जिसका नाम डेनिश इंजीनियर - गणितज्ञ - कतार के सिद्धांत के संस्थापक के नाम पर रखा गया है।

क्यूएस में होने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया "जन्म-मृत्यु" प्रक्रिया का एक विशेष मामला है और इसे एरलांग अंतर समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो किसी को विचाराधीन प्रणाली की स्थिति की सीमित संभावनाओं के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने की अनुमति देता है, जिसे कहा जाता है एरलांग सूत्र:

.

विफलताओं p0, p1, p2, ..., pk, ..., pn के साथ n-चैनल QS के राज्यों की सभी संभावनाओं की गणना करने के बाद, हम सेवा प्रणाली की विशेषताओं का पता लगा सकते हैं।

सेवा से इनकार करने की संभावना इस संभावना से निर्धारित होती है कि आने वाले सेवा अनुरोध सभी n चैनलों को व्यस्त पाएंगे, सिस्टम राज्य में होगा Sn:

के = एन।

विफलताओं, विफलता और रखरखाव की घटनाओं वाले सिस्टम में घटनाओं का एक पूरा समूह होता है, इसलिए:

रोथक+रॉब्स=1

इस आधार पर, सापेक्ष थ्रूपुट सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

क्यू \u003d पोब्स \u003d 1-रोटक \u003d 1-Pn

QS का निरपेक्ष थ्रूपुट सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

ए = एल * रॉब्स

सेवा की संभावना, या सेवित अनुरोधों का अनुपात, क्यूएस के सापेक्ष थ्रूपुट को निर्धारित करता है, जिसे किसी अन्य सूत्र द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है:

इस अभिव्यक्ति से, आप सेवा के तहत आवेदनों की औसत संख्या निर्धारित कर सकते हैं, या, वही क्या है, सर्विसिंग द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या

चैनल अधिभोग दर व्यस्त चैनलों की औसत संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात से निर्धारित होती है

सेवा द्वारा चैनल ऑक्यूपेंसी की संभावना, जो ऑक्यूपेंसी लोड के औसत समय और चैनलों के निष्क्रिय समय tpr को ध्यान में रखती है, निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

इस अभिव्यक्ति से, आप चैनलों का औसत निष्क्रिय समय निर्धारित कर सकते हैं

स्थिर अवस्था में सिस्टम में आवेदन का औसत निवास समय लिटिल के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

त्मो \u003d एनजेड / एल।

1.6 सीमित कतार लंबाई के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

व्यावसायिक गतिविधियों में, प्रतीक्षा के साथ QS (कतार) अधिक सामान्य हैं।

एक सीमित कतार के साथ एक साधारण एकल-चैनल QS पर विचार करें, जिसमें कतार में स्थानों की संख्या m एक निश्चित मान है। नतीजतन, एक आवेदन जो उस समय आता है जब कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है, सेवा के लिए स्वीकार नहीं किया जाता है, कतार में प्रवेश नहीं करता है, और सिस्टम छोड़ देता है।

इस क्यूएस का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3.4 और अंजीर में दिए गए ग्राफ के साथ मेल खाता है। 2.1 "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रिया का वर्णन करते हुए, इस अंतर के साथ कि केवल एक चैनल की उपस्थिति में।

सेवा के "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रिया का अंकित ग्राफ, सेवा प्रवाह की सभी तीव्रताएँ समान हैं

क्यूएस राज्यों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

S0 - सर्विस चैनल फ्री है,

एस, - सेवा चैनल व्यस्त है, लेकिन कतार नहीं है,

S2 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में एक अनुरोध है,

S3 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में दो अनुरोध हैं,

एसएम+1 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में सभी एम स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है, कोई भी अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया गया है।

क्यूएस की यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए, पहले बताए गए नियमों और सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है। आइए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं को परिभाषित करने वाले व्यंजक लिखें:

p0 के लिए व्यंजक इस मामले में सरल तरीके से लिखा जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि p के संबंध में हर एक ज्यामितीय प्रगति है, फिर उपयुक्त परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है:

सी = (1- साथ)

यह सूत्र 1 के अलावा सभी p के लिए मान्य है, लेकिन यदि p = 1 है, तो p0 = 1/(m + 2), और अन्य सभी संभावनाएं भी 1/(m + 2) के बराबर हैं।

यदि हम m = 0 मान लेते हैं, तो हम सेवा के इनकार के साथ पहले से ही माने गए सिंगल-चैनल QS की प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS के विचार से गुजरते हैं।

वास्तव में, m = 0 के मामले में सीमांत प्रायिकता p0 के लिए व्यंजक का रूप है:

पो \u003d एम / (एल + एम)

और l \u003d m के मामले में, इसका मान p0 \u003d 1/2 है।

आइए प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS की मुख्य विशेषताओं को परिभाषित करें: सापेक्ष और निरपेक्ष थ्रूपुट, विफलता की संभावना, साथ ही कतार में औसत कतार लंबाई और आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय।

अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाता है यदि यह उस समय आता है जब क्यूएस पहले से ही एसएम + 1 राज्य में है और इसलिए, कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है और एक चैनल सेवा करता है

इसलिए, विफलता की संभावना घटना की संभावना से निर्धारित होती है

एसएम+1 कहता है:

पोटक = दोपहर+1 = सेमी+1 * पी0

सापेक्ष थ्रूपुट, या समय की प्रति यूनिट आने वाले सेवित अनुरोधों का अनुपात, अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

क्यू \u003d 1- पॉट \u003d 1- सेमी + 1 * पी0

निरपेक्ष बैंडविड्थ है:

सेवा कतार में खड़े अनुप्रयोगों की औसत संख्या यादृच्छिक चर k की गणितीय अपेक्षा से निर्धारित होती है - कतार में खड़े अनुप्रयोगों की संख्या

यादृच्छिक मूल्य k निम्नलिखित केवल पूर्णांक मान लेता है:

1 - कतार में एक आवेदन है,

2 - कतार में दो आवेदन हैं,

t-कतार में सभी स्थानों पर कब्जा है

इन मूल्यों की संभावनाएं राज्य एस 2 से शुरू होने वाली संबंधित राज्य संभावनाओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं। असतत यादृच्छिक चर k का वितरण नियम निम्नानुसार दर्शाया गया है:

तालिका 1. एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम

इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है:

लोच = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

सामान्य स्थिति में, p? 1 के लिए, इस योग को ज्यामितीय प्रगति मॉडल का उपयोग करके अधिक सुविधाजनक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

लोच = पी2 * 1 बजे * (मिमी*पी+1)*पी0

विशेष स्थिति में p = 1 पर, जब सभी प्रायिकता pk समान हो जाती है, तो कोई व्यक्ति संख्या श्रृंखला के पदों के योग के लिए व्यंजक का उपयोग कर सकता है।

1+2+3+ मी = एम(एम+1)

तब हमें सूत्र मिलता है

एल "ओच \u003d एम (एम + 1)* पी0 = एम (एम + 1)(पी = 1)।

समान तर्क और परिवर्तनों को लागू करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि अनुरोध और कतार की सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है

प्वाइंट \u003d लोच / ए (पी? 1 पर) और टी 1 ओच \u003d एल "ओच / ए (पी \u003d 1 पर)।

ऐसा परिणाम, जब यह पता चलता है कि Tox ~ 1/l, अजीब लग सकता है: अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता में वृद्धि के साथ, ऐसा लगता है कि कतार की लंबाई बढ़नी चाहिए और औसत प्रतीक्षा समय कम होना चाहिए। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि, सबसे पहले, लोच का मान एल और एम का एक कार्य है और दूसरा, विचाराधीन क्यूएस की सीमित कतार लंबाई एम अनुप्रयोगों से अधिक नहीं है।

एक अनुरोध जो क्यूएस पर ऐसे समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, अस्वीकार कर दिया जाता है, और, परिणामस्वरूप, क्यूएस में इसका "प्रतीक्षा" समय शून्य होता है। यह सामान्य मामले में (पी? 1 के लिए) टोक्रोस्टोम एल में कमी की ओर जाता है, क्योंकि ऐसे अनुप्रयोगों का अनुपात एल की वृद्धि के साथ बढ़ता है।

यदि हम कतार की लंबाई पर प्रतिबंध को छोड़ देते हैं, अर्थात। एस्पायर एम->>?, फिर केस पी< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए, प्रायिकता p k शून्य हो जाती है। इसलिए, सापेक्ष थ्रूपुट क्यू = 1 होगा, और पूर्ण थ्रूपुट ए - एल क्यू - एल के बराबर होगा, इसलिए, आने वाले सभी अनुरोधों की सेवा की जाती है, और औसत कतार की लंबाई बराबर होगी:

लोच = पी2 1-पी

और लिटिल के सूत्र के अनुसार औसत प्रतीक्षा समय

प्वाइंट \u003d लोच / ए

सीमा पी . में<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?) इसलिए, राज्यों की सीमित संभावनाओं को निर्धारित नहीं किया जा सकता है: क्यू = 1 के लिए वे शून्य के बराबर हैं। वास्तव में, सीएमओ अपने कार्यों को पूरा नहीं करता है, क्योंकि यह आने वाले सभी अनुप्रयोगों की सेवा करने में सक्षम नहीं है।

यह निर्धारित करना आसान है कि सेवित अनुरोधों का हिस्सा और निरपेक्ष थ्रूपुट, क्रमशः, औसत c और m, हालांकि, कतार में असीमित वृद्धि, और, परिणामस्वरूप, इसमें प्रतीक्षा समय, इस तथ्य की ओर जाता है कि थोड़ी देर बाद , अनुरोध असीमित समय के लिए कतार में जमा होने लगते हैं।

क्यूएस की विशेषताओं में से एक के रूप में, क्यूएस में आवेदन के रहने के औसत समय Tsmo का उपयोग किया जाता है, जिसमें कतार में बिताया गया औसत समय और औसत सेवा समय शामिल है। इस मान की गणना लिटिल के सूत्रों द्वारा की जाती है: यदि कतार की लंबाई सीमित है, तो कतार में आवेदनों की औसत संख्या बराबर है:

एलएमओ = एम+1 ;2

टीएसएमओ = लीएसएमओ;पी पर?1

और फिर कतार प्रणाली में अनुरोध का औसत निवास समय (कतार में और सेवा के तहत दोनों) के बराबर है:

टीएसएमओ = एम+1 पी पर?1 2m

1.7 असीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

वाणिज्यिक गतिविधियों में, उदाहरण के लिए, एक वाणिज्यिक निदेशक असीमित प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस है, क्योंकि वह, एक नियम के रूप में, एक अलग प्रकृति के अनुप्रयोगों की सेवा के लिए मजबूर है: दस्तावेज़, टेलीफोन वार्तालाप, अधीनस्थों के साथ बैठकें और बातचीत, के प्रतिनिधि कर निरीक्षक, पुलिस, वस्तु विशेषज्ञ, विपणक, उत्पाद आपूर्तिकर्ता और उच्च स्तर की वित्तीय जिम्मेदारी के साथ वस्तु और वित्तीय क्षेत्र में समस्याओं का समाधान करते हैं, जो अनुरोधों की अनिवार्य पूर्ति से जुड़ा होता है जो कभी-कभी अपनी आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए बेसब्री से प्रतीक्षा करते हैं, और अनुचित सेवा त्रुटियां आमतौर पर आर्थिक रूप से बहुत मूर्त होती हैं। मार्कोव विफलता रखरखाव मॉडल

उसी समय, बिक्री (सेवा) के लिए आयात किए गए सामान, जबकि गोदाम में, सेवा (बिक्री) के लिए एक कतार बनाते हैं।

कतार की लंबाई बेची जाने वाली वस्तुओं की संख्या है। इस स्थिति में, विक्रेता सामान परोसने वाले चैनल के रूप में कार्य करते हैं।

यदि बिक्री के लिए माल की मात्रा बड़ी है, तो इस मामले में हम उम्मीद के साथ क्यूएस के एक विशिष्ट मामले से निपट रहे हैं।

आइए सेवा प्रतीक्षा के साथ सबसे सरल एकल-चैनल QS पर विचार करें, जो तीव्रता l और सेवा तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है।

इसके अलावा, उस समय प्राप्त अनुरोध जब चैनल सर्विसिंग में व्यस्त है, कतारबद्ध है और सर्विसिंग की प्रतीक्षा कर रहा है।

ऐसी प्रणाली का नामांकित राज्य ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3.5

इसकी संभावित अवस्थाओं की संख्या अनंत है:

चैनल मुफ़्त है, कोई कतार नहीं है;

चैनल सेवा में व्यस्त है, कोई कतार नहीं है;

चैनल व्यस्त है, एक अनुरोध कतार में है;

चैनल व्यस्त है, आवेदन कतार में है।

असीमित कतार के साथ एक क्यूएस के राज्यों की संभावना का आकलन करने के लिए मॉडल एक क्यूएस के लिए अलग-अलग सूत्रों से असीमित कतार के साथ प्राप्त किया जा सकता है जब एम> ?:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यूएस के लिए सूत्र में सीमित कतार लंबाई के साथ

पहले पद 1 और हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।

ऐसा क्रम पर अनंत पदों की संख्या का योग है।

यह योग तब अभिसरण करता है जब प्रगति, अनंत रूप से घटती है, जो कि क्यूएस के स्थिर-राज्य संचालन को निर्धारित करती है, साथ में, समय के साथ कतार अनंत तक बढ़ सकती है।

चूंकि माना क्यूएस में कतार की लंबाई की कोई सीमा नहीं है, इसलिए किसी भी आवेदन को परोसा जा सकता है, इसलिए, क्रमशः सापेक्ष थ्रूपुट, और पूर्ण थ्रूपुट

k अनुप्रयोगों के लिए कतार में होने की संभावना के बराबर है:

कतार में आवेदनों की औसत संख्या -

सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या -

सिस्टम में एक आवेदन का औसत निवास समय -

सिस्टम के साथ एक आवेदन का औसत निवास समय -

यदि प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS में, अनुरोधों की प्राप्ति की तीव्रता सेवा की तीव्रता से अधिक है, तो कतार लगातार बढ़ेगी। इस संबंध में, सबसे बड़ी रुचि एक स्थिर मोड में स्थिर क्यूएस के संचालन का विश्लेषण है।

1.8 सीमित कतार लंबाई के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

आइए हम एक मल्टी-चैनल QS पर विचार करें, जिसके इनपुट को तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है, और प्रत्येक चैनल की सेवा तीव्रता है, कतार में स्थानों की अधिकतम संभव संख्या मी द्वारा सीमित है। क्यूएस की असतत अवस्थाएं सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों की संख्या से निर्धारित होती हैं, जिन्हें रिकॉर्ड किया जा सकता है।

सभी चैनल मुफ़्त हैं, ;

केवल एक चैनल पर कब्जा है (कोई भी), ;

केवल दो चैनलों पर कब्जा है (कोई भी), ;

सभी चैनल व्यस्त हैं।

जबकि क्यूएस इनमें से किसी भी राज्य में है, वहां कोई कतार नहीं है। सभी सेवा चैनल व्यस्त होने के बाद, बाद के अनुरोध एक कतार बनाते हैं, जिससे सिस्टम की आगे की स्थिति का निर्धारण होता है:

सभी चैनल व्यस्त हैं और एक आवेदन कतार में है,

सभी चैनल व्यस्त हैं और दो आवेदन कतार में हैं,

सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है और कतार में सभी जगहों पर कब्जा कर लिया गया है,

क्यूएस का उच्च संख्या वाले राज्य में संक्रमण तीव्रता के साथ आने वाले अनुरोधों के प्रवाह द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि, शर्त के अनुसार, इन अनुरोधों को समान चैनलों द्वारा प्रत्येक चैनल के लिए समान सेवा प्रवाह की तीव्रता के साथ परोसा जाता है। इस मामले में, नए चैनलों के कनेक्शन के साथ सेवा प्रवाह की कुल तीव्रता ऐसी स्थिति तक बढ़ जाती है जब सभी n चैनल व्यस्त होते हैं। कतार के आगमन के साथ, सेवा की तीव्रता अधिक बढ़ जाती है, क्योंकि यह पहले से ही अधिकतम मूल्य के बराबर पहुंच चुकी है।

आइए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं के लिए व्यंजक लिखें:

हर के साथ पदों के योग के लिए ज्यामितीय प्रगति सूत्र का उपयोग करके के लिए अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जा सकता है:

एक कतार का गठन संभव है जब एक नया प्राप्त अनुरोध सिस्टम में आवश्यकताओं से कम नहीं पाता है, अर्थात। जब सिस्टम में आवश्यकताएं होंगी।

ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए सभी चैनलों के व्यस्त होने की प्रायिकता संबंधित प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है

इसलिए, एक कतार बनाने की संभावना के बराबर है:

सेवा से वंचित होने की संभावना तब होती है जब सभी चैनल और कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है:

सापेक्ष थ्रूपुट के बराबर होगा:

पूर्ण बैंडविड्थ -

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या -

निष्क्रिय चैनलों की औसत संख्या -

चैनलों का ऑक्यूपेंसी (उपयोग) गुणांक -

चैनल डाउनटाइम अनुपात -

कतारों में आवेदनों की औसत संख्या -

यदि यह सूत्र भिन्न रूप धारण कर लेता है -

एक कतार में औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा दिया जाता है -

क्यूएस में एक आवेदन का औसत निवास समय, एकल-चैनल क्यूएस के लिए, औसत सेवा समय से कतार में औसत प्रतीक्षा समय से अधिक है, जो बराबर है, क्योंकि आवेदन हमेशा केवल एक चैनल द्वारा परोसा जाता है:

1.9 असीमित कतार के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

आइए हम प्रतीक्षा के साथ एक बहु-चैनल क्यूएस और कतार की असीमित लंबाई पर विचार करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है और जिसमें प्रत्येक चैनल के लिए सेवा तीव्रता होती है।

नामांकित अवस्था ग्राफ चित्र 3.7 में दिखाया गया है। इसमें अनंत अवस्थाएँ हैं:

एस - सभी चैनल मुफ्त हैं, के = 0;

एस - एक चैनल पर कब्जा कर लिया गया है, बाकी मुफ्त हैं, के = 1;

एस - दो चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, बाकी मुफ्त हैं, के = 2;

एस - सभी एन चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, के = एन, कोई कतार नहीं है;

S - सभी n चैनल व्यस्त हैं, एक अनुरोध कतार में है, k=n+1,

S - सभी n चैनल व्यस्त हैं, r अनुरोध कतार में हैं, k=n+r,

जब हम m की सीमा से गुजरते हैं तो हम सीमित कतार वाले मल्टीचैनल QS के सूत्रों से राज्यों की प्रायिकता प्राप्त करते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पी के लिए अभिव्यक्ति में ज्यामितीय प्रगति का योग लोड स्तर p/n>1 पर विचलन करता है, कतार अनिश्चित काल तक बढ़ेगी, और पी/एन पर<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

कोई कतार नहीं

चूंकि ऐसी प्रणालियों में सेवा से इनकार नहीं किया जा सकता है, थ्रूपुट विशेषताएं हैं:

कतार में आवेदनों की औसत संख्या -

कतार में औसत प्रतीक्षा समय -

सीएमओ में आवेदनों की औसत संख्या -

संभावना है कि क्यूएस ऐसी स्थिति में है जहां कोई अनुरोध नहीं है और कोई चैनल पर कब्जा नहीं है अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह संभावना सर्विस चैनल डाउनटाइम का औसत अंश निर्धारित करती है। k अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त होने की प्रायिकता -

इस आधार पर, सभी चैनलों के सेवा में व्यस्त होने की संभावना या समय का अनुपात निर्धारित करना संभव है

यदि सभी चैनल पहले से ही सेवा के कब्जे में हैं, तो राज्य की संभावना अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है

कतार में होने की संभावना पहले से ही सेवा में व्यस्त सभी चैनलों को खोजने की संभावना के बराबर है

कतार में और सेवा की प्रतीक्षा में अनुरोधों की औसत संख्या इसके बराबर है:

लिटल के सूत्र के अनुसार कतार में आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय:

और सिस्टम में

सेवा द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या:

औसत मुफ्त चैनल:

सेवा चैनल अधिभोग दर:

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि पैरामीटर इनपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री की विशेषता है, उदाहरण के लिए, स्टोर में ग्राहक सेवा प्रवाह की तीव्रता के साथ। सेवा प्रक्रिया स्थिर होगी यदि, हालांकि, औसत कतार की लंबाई और ग्राहकों के लिए सेवा शुरू करने के लिए औसत प्रतीक्षा समय सिस्टम में बढ़ जाएगा और इसलिए, क्यूएस अस्थिर रूप से काम करेगा।

1.10 क्यूएस मॉडलिंग एल्गोरिदम

समस्या में माना जाने वाला QS एक QS है:

दोहरी चैनल सेवा;

एक दो-चैनल इनपुट स्ट्रीम (इसमें 2 इनपुट हैं, जिनमें से एक अनुरोध I की एक यादृच्छिक स्ट्रीम प्राप्त करता है, दूसरा इनपुट अनुरोध II की एक स्ट्रीम प्राप्त करता है)।

आवेदनों की प्राप्ति और सेवा के समय का निर्धारण:

· अनुरोधों की प्राप्ति और सेवा का समय किसी दिए गए घातीय वितरण कानून के साथ बेतरतीब ढंग से उत्पन्न होता है;

· अनुरोधों की प्राप्ति और सेवा की तीव्रता निर्धारित की जाती है;

माना क्यूएस की कार्यप्रणाली:

प्रत्येक चैनल एक बार में एक अनुरोध परोसता है;

यदि कोई नया अनुरोध आने पर कम से कम एक चैनल मुफ़्त है, तो आने वाला अनुरोध सेवा में प्रवेश करता है;

यदि कोई अनुप्रयोग नहीं हैं, तो सिस्टम निष्क्रिय है।

सेवा अनुशासन:

अनुरोधों की प्राथमिकता I: यदि सिस्टम व्यस्त है (दोनों चैनल अनुरोधों को पूरा करते हैं), और चैनलों में से एक पर अनुरोध II का कब्जा है, तो अनुरोध I अनुरोध II को पूर्ववत करता है; एप्लिकेशन II सिस्टम को सेवित नहीं छोड़ता है;

यदि अनुरोध II के आने तक दोनों चैनल व्यस्त हैं, तो अनुरोध II प्रस्तुत नहीं किया जाता है;

यदि अनुरोध के आने के क्षण तक मैं दोनों चैनल अनुरोध I की सेवा करते हैं, तो प्राप्त अनुरोध I सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देता है;

मॉडलिंग कार्य: अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह के मापदंडों को जानना, सिस्टम के व्यवहार का अनुकरण करना और इसकी दक्षता की मुख्य विशेषताओं की गणना करना। T के मान को छोटे मानों से बड़े मानों में बदलकर (समय अंतराल जिसके दौरान सेवा के लिए QS में पहली और दूसरी धाराओं के आवेदन प्राप्त करने की एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है), प्रदर्शन में परिवर्तन खोजना संभव है मानदंड और इष्टतम चुनें।

क्यूएस के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मानदंड:

· विफलता की संभावना;

· सापेक्ष थ्रूपुट;

· पूर्ण थ्रूपुट;

मॉडलिंग सिद्धांत:

हम प्रारंभिक शर्तों का परिचय देते हैं: सिस्टम का कुल समय, अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता का मान; प्रणाली के कार्यान्वयन की संख्या;

हम समय के क्षण उत्पन्न करते हैं जिस पर अनुरोध आते हैं, अनुरोध II के अनुरोध I के आगमन का क्रम, प्रत्येक आने वाले अनुरोध का सेवा समय;

हम गिनते हैं कि कितने आवेदन प्रस्तुत किए गए, और कितने अस्वीकृत हुए;

हम क्यूएस की दक्षता मानदंड की गणना करते हैं;

अध्याय2 . व्यावहारिक भाग

चित्र 1. ओपीएसएस की समय पर निर्भरता

कार्यक्रम CAN_SMO;

चैनल = (मुफ़्त, दावा 1, दावा 2);

तीव्रता = शब्द;

सांख्यिकी = शब्द;

CHANNAL1, CHANNAL2: CHANNAL; (चैनल)

टी_, टी, टीसी1, टीसी2: टाइम; (समय)

एल 1, एल 2, एन 1, एन 2: तीव्रता; (तीव्रता)

सेवित1, नहीं_सेवित1,

सेवित2, नहीं_सेवित2,

एस: सांख्यिकी; (सांख्यिकी)

एम, एन: पूर्णांक; (कार्यान्वयन की संख्या)

समारोह डब्ल्यू (टी: समय; एल: तीव्रता): बूलियन; (यह निर्धारित करता है कि कोई आदेश प्रकट हुआ है या नहीं)

प्रारंभ (प्रवाह तीव्रता l द्वारा)

अगर यादृच्छिक< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

समारोह एफ (टी: समय; एन: तीव्रता): समय; (यह निर्धारित करता है कि अनुरोध कब तक संसाधित किया जाएगा)

प्रारंभ करें (सर्विसिंग अनुरोधों की तीव्रता के अनुसार n)

एफ: = टी + राउंड (60/(एन));

चित्र 2. ओपीपीएस की समय पर निर्भरता

WRITELN ("क्यूएस कार्य कार्यान्वयन की संख्या दर्ज करें");

writeln (एम, "वें कार्यान्वयन");

चैनल1:= मुफ़्त; चैनल 2: = मुफ़्त;

एल1:= 3; एल2:= 1; n1:= 2; n2: = 1;

सर्वर1:= 0; not_served1:= 0;

सर्वर2:= 0; not_served2:= 0;

लिखें ("क्यूएस अध्ययन समय दर्ज करें - टी:"); रीडलन (_T_);

अगर CHANNAL1 = CLAIM1 तो inc(served1) और inc(served2);

चैनल1:= मुफ़्त;

writeln ("चैनल 1 ने अनुरोध पूरा किया");

अगर CHANNAL2 = CLAIM1 तो inc(served1) और inc(served2);

चैनल 2: = मुफ़्त;

writeln ("चैनल 2 ने ऑर्डर पूरा किया");

चित्रा 3. समय-समय पर सिस्टम में विफलता की संभावना का ग्राफ

writeln ("अनुरोध प्राप्त 1");

अगर CHANNAL1 = मुफ़्त तो

CHANNAL1 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी1: = एफ (टी, एन 1); writeln ("चैनल 1 को अनुरोध 1 प्राप्त हुआ"); समाप्त

और अगर CHANNAL2 = मुफ़्त तो

CHANNAL2 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी 2: = एफ (टी, एन 1); writeln ("चैनल 2 ने अनुरोध 1 स्वीकार किया"); समाप्त

अन्यथा यदि CHANNAL1 = CLAIM2 तो

CHANNAL1 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी1: = एफ (टी, एन 1); इंक (not_served2); writeln ("चैनल 1 ने टिकट 2 के बजाय टिकट 1 स्वीकार किया"); समाप्त

अन्यथा यदि CHANNAL2 = CLAIM2 तो

CHANNAL2 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी 2: = एफ (टी, एन 1); इंक (not_served2); writeln ("चैनल 2 ने टिकट 2 के बजाय टिकट 1 स्वीकार किया"); समाप्त

अन्य शुरुआत इंक (not_served1); writeln ("अनुरोध 1 प्रस्तुत नहीं किया गया"); समाप्त;

चित्र 4. समय पर आवेदनों की संख्या की निर्भरता

writeln ("अनुरोध 2 प्राप्त हुआ");

अगर CHANNAL1 = मुफ़्त तो

CHANNAL1 शुरू करें: = CLAIM2; टीसी 1: = एफ (टी, एन 2); writeln ("चैनल 1 ने अनुरोध 2 स्वीकार कर लिया है"); अंत

और अगर CHANNAL2 = मुफ़्त तो

CHANNAL2 शुरू करें: = CLAIM2; टीसी 2: = एफ (टी, एन 2); writeln ("चैनल 2 ने अनुरोध 2 स्वीकार किया"); अंत

अन्य शुरुआत इंक (not_served2); writeln ("अनुरोध 2 प्रस्तुत नहीं किया गया"); समाप्त;

एस: = सेवित1 + नोट_सेवित1 + सेवित2 + नोट_सेवित2;

राइटल ("क्यूएस ऑपरेशन टाइम", _ टी_);

writeln ("चैनल 1 द्वारा परोसा गया:", सर्व किया गया 1);

writeln ("चैनल 2 द्वारा परोसा गया:", सर्व किया गया 2);

writeln ("प्राप्त अनुरोध:", एस);

writeln ("आदेश दिया गया:", सेवित 1 + सेवित 2);

writeln ("कोई अनुरोध नहीं दिया गया:", not_served1+not_served2);

(लेखन ("सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की तीव्रता: ", (सेवित1+ सेवित2)/_T_:2:3;)

writeln ("एब्सोल्यूट सिस्टम थ्रूपुट:", (सेवित1+सेवित2)/टी:2:3);

writeln ("विफलता की संभावना:", (not_served1+not_served2)/S*100:2:1,,"%");

writeln ("सापेक्ष सिस्टम थ्रूपुट:", (सेवित1+सेवित2)/एस:2:3);

writeln ("सिमुलेशन समाप्त");

तालिका 2. क्यूएस कार्य के परिणाम

क्यूएस के लक्षण

प्रचालन का समय

प्राप्त आवेदन

आवेदन प्रस्तुत किए गए

आवेदन प्रस्तुत नहीं किए गए

निरपेक्ष सिस्टम थ्रूपुट

सापेक्ष प्रणाली थ्रूपुट

अध्याय 3संरक्षा विनियम

सामान्य प्रावधान

· सुरक्षा निर्देशों और आचरण के नियमों से परिचित व्यक्तियों को कंप्यूटर क्लास में काम करने की अनुमति है।

· निर्देशों के उल्लंघन के मामले में, छात्र को काम से निलंबित कर दिया जाता है और शिक्षक की लिखित अनुमति के साथ ही अध्ययन करने की अनुमति दी जाती है।

· कंप्यूटर कक्षा में छात्रों के काम की अनुमति केवल शिक्षक (इंजीनियर, प्रयोगशाला सहायक) की उपस्थिति में ही दी जाती है।

· याद रखें कि प्रत्येक छात्र अपने कार्यस्थल की स्थिति और उस पर रखे उपकरणों की सुरक्षा के लिए जिम्मेदार है।

काम शुरू करने से पहले:

· काम शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि उपकरण और तारों को कोई दृश्य क्षति नहीं है। कंप्यूटर और बाह्य उपकरणों को स्थिर स्थिति में टेबल पर रखा जाना चाहिए।

· छात्रों को उपकरणों के अंदर जाने की सख्त मनाही है। आप केवल शिक्षक की अनुमति से उपकरणों को चालू कर सकते हैं।

कंप्यूटर क्लास में काम करते समय यह निषिद्ध है:

1. शिक्षक की अनुमति के बिना कक्षा में प्रवेश करना और छोड़ना।

2. कक्षा के लिए लेट होना।

3. ठंड के मौसम में बाहरी कपड़ों में गंदे और गीले जूते, धूल भरे कपड़ों में कक्षा में प्रवेश करना।

4. गीले हाथों से कंप्यूटर पर काम करें।

5. विदेशी वस्तुओं को कार्यस्थल पर रखें।

6. काम के दौरान उठें, घूमें, पड़ोसी से बात करें।

7. शिक्षक की अनुमति के बिना उपकरण चालू और बंद करें।

8. उपकरण को चालू और बंद करने के आदेश का उल्लंघन करें।

9. कंप्यूटर बंद होने पर कीबोर्ड और माउस को स्पर्श करें, फर्नीचर और उपकरण ले जाएं।

10. डिस्प्ले स्क्रीन, केबल, कनेक्टिंग वायर, कनेक्टर्स, प्लग और सॉकेट को टच करें।

11. बिना अनुमति के शिक्षक के कार्यस्थल पर पहुंचें

पीसी के साथ काम करते समय मानव स्वास्थ्य के लिए मुख्य खतरा बिजली के झटके का खतरा है। इसलिए, यह निषिद्ध है:

1. उन उपकरणों पर काम करें जिनमें दृश्य दोष हैं। सिस्टम ब्लॉक खोलें।

2. केबल कनेक्ट या डिस्कनेक्ट करें, कनेक्टिंग केबल्स, तारों और सॉकेट, ग्राउंडिंग डिवाइस के कनेक्टर्स को स्पर्श करें।

3. स्क्रीन और मॉनिटर के पिछले हिस्से, कीबोर्ड को स्पर्श करें।

4. उपकरण का स्वयं निवारण करने का प्रयास करें।

5. गीले कपड़े और गीले हाथों से काम करें

6. शिक्षक और प्रयोगशाला सहायक की आवश्यकताओं को पूरा करना; मौन और व्यवस्था बनाए रखें;

7. ऑनलाइन रहते हुए, केवल अपने नाम और पासवर्ड के तहत काम करें;

8. संचालन के तरीके का निरीक्षण करें (स्वच्छता नियमों और विनियमों के अनुसार);

9. शिक्षक की अनुमति से ही काम शुरू और खत्म करें।

10. स्वास्थ्य में तेज गिरावट के मामले में (आंखों में दर्द की उपस्थिति, दृश्यता में तेज गिरावट, तेज पर ध्यान केंद्रित करने या ध्यान केंद्रित करने में असमर्थता, उंगलियों और हाथों में दर्द, हृदय गति में वृद्धि), तुरंत कार्यस्थल छोड़ दें , शिक्षक को घटना की रिपोर्ट करें और डॉक्टर से परामर्श लें;

11. कार्यस्थल को साफ रखें।

12. शिक्षक की अनुमति से काम खत्म करें।

13. पूर्ण किए गए कार्य को सौंपें।

14. सभी सक्रिय प्रोग्रामों से बाहर निकलें और कंप्यूटर को इनायत से बंद करें।

15. कार्यस्थल को क्रम में रखें।

16. अगले पाठ के लिए कार्यालय की तैयारी की जाँच करने के लिए कर्तव्य अधिकारी को।

उपकरण के संचालन के दौरान निम्नलिखित से सावधान रहना आवश्यक है: - बिजली का झटका;

- यांत्रिक क्षति, आघात

आपात स्थिति के मामले में:

1. यदि चिंगारी, जलने की गंध या अन्य समस्याओं का पता चलता है, तो तुरंत काम बंद कर दें और शिक्षक को इसके बारे में सूचित करें।

2. यदि किसी को विद्युत प्रवाह की चपेट में आ जाता है, तो यह आवश्यक है: काम करना बंद कर दें और सुरक्षित दूरी पर चले जाएं; वोल्टेज बंद करें (कैबिनेट के स्विचबोर्ड पर); शिक्षक को सूचित करें प्राथमिक चिकित्सा शुरू करें और डॉक्टर को बुलाएं।

3. आग लगने की स्थिति में यह आवश्यक है कि: काम बंद करो और निकासी शुरू करो; शिक्षक को सूचित करें और फायर ब्रिगेड को फोन करें (दूरभाष। 01); वोल्टेज बंद करें (कैबिनेट के स्विचबोर्ड पर); आग बुझाने वाले यंत्र से आग बुझाना शुरू करें (आग को पानी से बुझाना मना है।

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के लिये विफलताओं के साथ सीएमओ:

के लिये असीमित प्रतीक्षा के साथ सीएमओनिरपेक्ष और सापेक्ष थ्रूपुट दोनों अपना अर्थ खो देते हैं, क्योंकि आने वाले प्रत्येक अनुरोध को जल्दी या बाद में परोसा जाएगा। ऐसे क्यूएस के लिए, महत्वपूर्ण संकेतक हैं:

के लिये सीएमओ मिश्रित प्रकारसंकेतकों के दोनों समूहों का उपयोग किया जाता है: सापेक्ष और . दोनों पूर्ण बैंडविड्थ, और अपेक्षा की विशेषताएं।

क्यूइंग ऑपरेशन के उद्देश्य के आधार पर, उपरोक्त किसी भी संकेतक (या संकेतकों का एक सेट) को प्रदर्शन मानदंड के रूप में चुना जा सकता है।

विश्लेषणात्मक मॉडलक्यूएस समीकरणों या सूत्रों का एक सेट है जो आपको इसके संचालन के दौरान सिस्टम राज्यों की संभावनाओं को निर्धारित करने और आने वाले प्रवाह और सेवा चैनलों की ज्ञात विशेषताओं के आधार पर प्रदर्शन संकेतकों की गणना करने की अनुमति देता है।

एक मनमाना QS . के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक मॉडल नहीं है. क्यूएस के सीमित विशेष मामलों के लिए विश्लेषणात्मक मॉडल विकसित किए गए हैं। विश्लेषणात्मक मॉडल जो वास्तविक प्रणालियों का कम या ज्यादा सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं, एक नियम के रूप में, जटिल और देखने में मुश्किल होते हैं।

यदि क्यूएस में होने वाली प्रक्रियाएं मार्कोवियन हैं (अनुरोधों का प्रवाह सरल है, सेवा समय तेजी से वितरित किया जाता है) तो क्यूएस के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग की बहुत सुविधा होती है। इस मामले में, क्यूएस में सभी प्रक्रियाओं को साधारण अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और सीमित स्थिति में, स्थिर राज्यों के लिए - रैखिक बीजीय समीकरणों द्वारा और उन्हें हल करके, चयनित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करते हैं।

आइए कुछ QS के उदाहरणों पर विचार करें।

2.5.1. विफलताओं के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

उदाहरण 2.5. तीन यातायात निरीक्षक ट्रक चालकों के बिल की जांच करते हैं। यदि कम से कम एक निरीक्षक मुक्त है, तो गुजरने वाले ट्रक को रोक दिया जाता है। यदि सभी निरीक्षक व्यस्त हैं, तो ट्रक बिना रुके गुजर जाता है। ट्रकों का प्रवाह सबसे सरल है, एक घातीय वितरण के साथ चेक समय यादृच्छिक है।

ऐसी स्थिति को तीन-चैनल क्यूएस द्वारा विफलताओं (एक कतार के बिना) के साथ अनुकरण किया जा सकता है। सिस्टम खुला है, सजातीय अनुप्रयोगों के साथ, एकल-चरण, बिल्कुल विश्वसनीय चैनलों के साथ।

राज्यों का विवरण:

सभी निरीक्षक स्वतंत्र हैं;

एक निरीक्षक व्यस्त है;

दो निरीक्षक व्यस्त हैं;

तीन निरीक्षक व्यस्त हैं।

सिस्टम स्टेट्स का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 2.11.

चावल। 2.11.

ग्राफ पर: - ट्रकों के प्रवाह की तीव्रता; - एक यातायात निरीक्षक द्वारा दस्तावेज़ जाँच की तीव्रता।

उन कारों के हिस्से को निर्धारित करने के लिए सिमुलेशन किया जाता है जिनका परीक्षण नहीं किया जाएगा।

समाधान

संभावना का वांछित हिस्सा तीनों निरीक्षकों के रोजगार की संभावना है। चूंकि राज्य ग्राफ "मृत्यु और प्रजनन" की एक विशिष्ट योजना का प्रतिनिधित्व करता है, हम निर्भरता (2.2) का उपयोग करके पाएंगे।

यातायात निरीक्षकों के इस पद के थ्रूपुट की विशेषता हो सकती है सापेक्ष थ्रूपुट:

उदाहरण 2.6. टोही समूह से रिपोर्ट प्राप्त करने और संसाधित करने के लिए, तीन अधिकारियों के एक समूह को एसोसिएशन के टोही विभाग को सौंपा गया था। रिपोर्टिंग की अपेक्षित दर प्रति घंटे 15 रिपोर्ट है। एक अधिकारी द्वारा एक रिपोर्ट का औसत प्रसंस्करण समय है। प्रत्येक अधिकारी किसी भी टोही समूह से रिपोर्ट प्राप्त कर सकता है। जारी किया गया अधिकारी प्राप्त रिपोर्टों में से अंतिम को संसाधित करता है। आने वाली रिपोर्टों को कम से कम 95% की संभावना के साथ संसाधित किया जाना चाहिए।

निर्धारित करें कि क्या तीन अधिकारियों का सौंपा गया समूह सौंपे गए कार्य को पूरा करने के लिए पर्याप्त है।

समाधान

अधिकारियों का एक समूह तीन चैनलों से मिलकर विफलताओं के साथ सीएमओ के रूप में काम करता है।

तीव्रता के साथ रिपोर्टों का प्रवाह सबसे सरल माना जा सकता है, क्योंकि यह कई टोही समूहों का योग है। रखरखाव तीव्रता . वितरण कानून अज्ञात है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह दिखाया गया है कि विफलता वाले सिस्टम के लिए यह मनमाना हो सकता है।

राज्यों का विवरण और क्यूएस का राज्य ग्राफ उदाहरण 2.5 में दिए गए के समान होगा।

चूंकि राज्य ग्राफ एक "मृत्यु और प्रजनन" योजना है, इसके लिए राज्य की संभावनाओं को सीमित करने के लिए तैयार अभिव्यक्तियां हैं:

रिश्ता कहलाता है अनुप्रयोगों के प्रवाह की कम तीव्रता. इसका भौतिक अर्थ इस प्रकार है: मूल्य एक अनुरोध के औसत सेवा समय के लिए क्यूएस में आने वाले अनुरोधों की औसत संख्या है।

उदाहरण में .

माना QS में, विफलता तब होती है जब तीनों चैनल व्यस्त होते हैं, अर्थात . फिर:

इसलिये विफलता की संभावनारिपोर्ट के प्रसंस्करण में 34% () से अधिक है, तो समूह के कर्मियों को बढ़ाना आवश्यक है। आइए हम समूह की संरचना को दोगुना करें, अर्थात QS में अब छह चैनल होंगे, और गणना करें:

इस प्रकार, केवल छह अधिकारियों का एक समूह आने वाली रिपोर्टों को 95% की संभावना के साथ संसाधित करने में सक्षम होगा।

2.5.2. प्रतीक्षा के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

उदाहरण 2.7. रिवर फोर्सिंग सेक्शन में एक ही प्रकार की 15 क्रॉसिंग सुविधाएं हैं। क्रॉसिंग औसत 1 यूनिट/मिनट पर पहुंचने वाले उपकरणों का प्रवाह, उपकरण की एक इकाई को पार करने का औसत समय 10 मिनट (क्रॉसिंग सुविधा की वापसी को ध्यान में रखते हुए) है।

क्रॉसिंग की मुख्य विशेषताओं का मूल्यांकन करें, जिसमें उपकरण के एक टुकड़े के आने पर तत्काल क्रॉसिंग की संभावना शामिल है।

समाधान

निरपेक्ष बैंडविड्थ, यानी क्रॉसिंग पर आने वाली हर चीज लगभग तुरंत पार हो जाती है।

ऑपरेटिंग क्रॉसिंग सुविधाओं की औसत संख्या:

क्रॉसिंग उपयोग और डाउनटाइम अनुपात:

उदाहरण को हल करने के लिए एक कार्यक्रम भी विकसित किया गया था। क्रॉसिंग पर उपकरण के आने के समय अंतराल, क्रॉसिंग के समय को एक घातीय कानून के अनुसार वितरित करने के लिए लिया जाता है।

50 रन के बाद फेरी उपयोग दर व्यावहारिक रूप से समान है: .