सबसे सरल कतार प्रणाली के गणितीय मॉडल। एक व्यावहारिक पाठ में, हम इस पथ पर विचार करेंगे और सिमुलेशन परिणामों की तुलना सैद्धांतिक समाधान से करेंगे
परिचय
अध्याय I. कतार सेवा की समस्याओं का निरूपण
1.1 सामान्य सिद्धांतसिद्धांतों कतार
1.2 कतार प्रणाली की मॉडलिंग
1.3 क्यूएस राज्य ग्राफ
1.4 स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं
दूसरा अध्याय। कतारबद्ध प्रणालियों का वर्णन करने वाले समीकरण
2.1 कोलमोगोरोव समीकरण
2.2 "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रियाएँ
2.3 कतारबद्ध समस्याओं का आर्थिक और गणितीय सूत्रीकरण
अध्याय III। कतारबद्ध प्रणालियों के मॉडल
3.1 सेवा से इनकार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस
3.2 मल्टीचैनल क्यूएस सेवा से इनकार के साथ
3.3 बहु-चरण पर्यटन सेवा प्रणाली का मॉडल
3.4 सिंगल-चैनल क्यूएस सीमित कतार लंबाई के साथ
3.5 असीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस
3.6 मल्टीचैनल क्यूएस सीमित कतार लंबाई के साथ
3.7 असीमित कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस
3.8 सुपरमार्केट कतार प्रणाली विश्लेषण
निष्कर्ष
परिचय
वर्तमान में, बड़ी मात्रा में साहित्य सामने आया है जो सीधे कतार के सिद्धांत, इसके गणितीय पहलुओं के विकास के साथ-साथ इसके आवेदन के विभिन्न क्षेत्रों - सैन्य, चिकित्सा, परिवहन, व्यापार, विमानन, आदि के लिए समर्पित है।
कतारबद्ध सिद्धांत संभाव्यता सिद्धांत पर आधारित है और गणितीय सांख्यिकी. कतार के सिद्धांत का प्रारंभिक विकास डेनिश वैज्ञानिक ए.के. एरलांग (1878-1929), टेलीफोन एक्सचेंजों के डिजाइन और संचालन के क्षेत्र में अपने कार्यों के साथ।
क्यूइंग सिद्धांत अनुप्रयुक्त गणित का एक क्षेत्र है जो उत्पादन, सेवा और नियंत्रण प्रणालियों में प्रक्रियाओं के विश्लेषण से संबंधित है जिसमें सजातीय घटनाओं को कई बार दोहराया जाता है, उदाहरण के लिए, उपभोक्ता सेवा उद्यमों में; सूचना प्राप्त करने, संसाधित करने और संचारित करने के लिए सिस्टम में; स्वचालित उत्पादन लाइनें, आदि। इस सिद्धांत के विकास में एक महान योगदान रूसी गणितज्ञों A.Ya द्वारा किया गया था। खिनचिन, बी.वी. गेदेंको, ए.एन. कोलमोगोरोव, ई.एस. वेंटज़ेल और अन्य।
क्यूइंग थ्योरी का विषय इन प्रक्रियाओं को नियंत्रित करने के सर्वोत्तम तरीकों को खोजने के लिए अनुप्रयोगों के प्रवाह की प्रकृति, सेवा चैनलों की संख्या, एक व्यक्तिगत चैनल के प्रदर्शन और कुशल सेवा के बीच संबंध स्थापित करना है। क्यूइंग सिद्धांत के कार्य एक अनुकूलन प्रकृति के होते हैं और अंततः सिस्टम के ऐसे संस्करण को निर्धारित करने के आर्थिक पहलू को शामिल करते हैं, जो सेवा की प्रतीक्षा, सेवा के लिए समय और संसाधनों की हानि, और डाउनटाइम से कुल लागत प्रदान करेगा। सेवा चैनलों की।
व्यावसायिक गतिविधियों में, कतार के सिद्धांत के अनुप्रयोग को अभी तक वांछित वितरण नहीं मिला है।
यह मुख्य रूप से लक्ष्य निर्धारित करने में कठिनाई, व्यावसायिक गतिविधियों की सामग्री की गहरी समझ की आवश्यकता के साथ-साथ विश्वसनीय और सटीक उपकरण के कारण है जो व्यावसायिक गतिविधियों में प्रबंधकीय निर्णयों के परिणामों के लिए विभिन्न विकल्पों की गणना करने की अनुमति देता है।
अध्याय मैं . कतारबद्ध कार्य निर्धारित करना
1.1 कतार सिद्धांत की सामान्य अवधारणा
विभिन्न क्षेत्रों में कतार की प्रकृति बहुत सूक्ष्म और जटिल है। वाणिज्यिक गतिविधि आंदोलन के चरणों में कई कार्यों के प्रदर्शन से जुड़ी होती है, उदाहरण के लिए, उत्पादन के क्षेत्र से उपभोग के क्षेत्र में वस्तुओं का एक समूह। इस तरह के संचालन माल की लोडिंग, परिवहन, उतराई, भंडारण, प्रसंस्करण, पैकेजिंग, बिक्री हैं। इस तरह के बुनियादी संचालन के अलावा, माल की आवाजाही की प्रक्रिया के साथ है बड़ी मात्राभुगतान दस्तावेजों, कंटेनरों, धन, कारों, ग्राहकों, आदि के साथ प्रारंभिक, प्रारंभिक, साथ, समानांतर और बाद के संचालन।
वाणिज्यिक गतिविधि के सूचीबद्ध अंशों को यादृच्छिक समय पर माल, धन, आगंतुकों की बड़े पैमाने पर प्राप्ति की विशेषता है, फिर उचित संचालन करके उनकी सुसंगत सेवा (आवश्यकताओं, अनुरोधों, अनुप्रयोगों की संतुष्टि), जिनमें से निष्पादन समय भी यादृच्छिक है। यह सब काम में असमानता पैदा करता है, वाणिज्यिक संचालन में अंडरलोड, डाउनटाइम और ओवरलोड उत्पन्न करता है। कतारें बहुत परेशानी का कारण बनती हैं, उदाहरण के लिए, कैफे, कैंटीन, रेस्तरां, या कमोडिटी डिपो में कार चालक, अनलोडिंग, लोडिंग या कागजी कार्रवाई की प्रतीक्षा में आगंतुक। इस संबंध में, विश्लेषण की समस्याएं हैं मौजूदा विकल्पसंचालन के पूरे सेट का प्रदर्शन, उदाहरण के लिए, एक सुपरमार्केट, एक रेस्तरां या कार्यशालाओं में अपने उत्पादों के उत्पादन के लिए अपने काम का मूल्यांकन करने के लिए, कमजोर लिंक और भंडार की पहचान करने के लिए अंततः बढ़ाने के उद्देश्य से सिफारिशों को विकसित करने के लिए। वाणिज्यिक गतिविधियों की दक्षता।
इसके अलावा, व्यापारिक मंजिल, कन्फेक्शनरी की दुकान, एक रेस्तरां, कैफे, कैंटीन, योजना विभाग, लेखा विभाग के सभी सेवा स्तरों के भीतर कई संचालन करने के लिए एक नए किफायती, तर्कसंगत विकल्प के निर्माण, संगठन और योजना से संबंधित अन्य कार्य उत्पन्न होते हैं। कार्मिक विभाग, आदि।
कतारबद्ध संगठन के कार्य लगभग सभी क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं मानव गतिविधि, उदाहरण के लिए, विक्रेताओं द्वारा दुकानों में खरीदारों को सेवा, उद्यमों में आगंतुकों को सेवा खानपान, उपभोक्ता सेवा उद्यमों में ग्राहक सेवा, प्रदान करना टेलीफोन पर बातचीतएक टेलीफोन एक्सचेंज में, एक पॉलीक्लिनिक में रोगियों को चिकित्सा देखभाल प्रदान करना, आदि। उपरोक्त सभी उदाहरणों में, बड़ी संख्या में उपभोक्ताओं की आवश्यकताओं को पूरा करने की आवश्यकता है।
इन उद्देश्यों के लिए विशेष रूप से बनाए गए क्यूइंग थ्योरी (क्यूएमटी) के तरीकों और मॉडलों का उपयोग करके सूचीबद्ध कार्यों को सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत बताता है कि किसी को या किसी चीज़ की सेवा करना आवश्यक है, जिसे "सेवा के लिए अनुरोध (आवश्यकता)" की अवधारणा द्वारा परिभाषित किया गया है, और सेवा संचालन किसी या किसी चीज़ द्वारा किया जाता है जिसे सेवा चैनल (नोड्स) कहा जाता है। वाणिज्यिक गतिविधियों में अनुप्रयोगों की भूमिका माल, आगंतुकों, धन, लेखा परीक्षकों, दस्तावेजों द्वारा निभाई जाती है, और सेवा चैनलों की भूमिका विक्रेताओं, प्रशासकों, रसोइयों, हलवाई, वेटर, कैशियर, व्यापारी, लोडर, वाणिज्यिक उपकरण आदि द्वारा निभाई जाती है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक प्रकार में, उदाहरण के लिए, व्यंजन तैयार करने की प्रक्रिया में एक रसोइया एक सेवा चैनल है, और दूसरे में, वह सेवा के लिए अनुरोध के रूप में कार्य करता है, उदाहरण के लिए, माल प्राप्त करने के लिए उत्पादन प्रबंधक को।
सेवाओं की प्राप्ति की विशाल प्रकृति के कारण, आवेदन फॉर्म प्रवाह जिन्हें सर्विसिंग संचालन से पहले इनकमिंग कहा जाता है, और सेवा शुरू होने की संभावित प्रतीक्षा के बाद, यानी। डाउनटाइम कतार में, प्रपत्र सेवा चैनलों में प्रवाहित होती है, और फिर अनुरोधों का एक आउटगोइंग प्रवाह बनता है। सामान्य तौर पर, अनुप्रयोगों के आने वाले प्रवाह, कतार, सेवा चैनलों और अनुप्रयोगों के आउटगोइंग प्रवाह के तत्वों का सेट सबसे सरल एकल-चैनल कतार प्रणाली - क्यूएस बनाता है।
एक प्रणाली परस्पर और का एक सेट है। उद्देश्यपूर्ण रूप से परस्पर क्रिया करने वाले भाग (तत्व)। वाणिज्यिक गतिविधियों में इस तरह के सरल क्यूएस के उदाहरण माल की प्राप्ति और प्रसंस्करण के स्थान, दुकानों, कैफे, कैंटीन में ग्राहकों के साथ निपटान केंद्र, एक अर्थशास्त्री, लेखाकार, व्यापारी, वितरण पर रसोइया आदि की नौकरी हैं।
जब सेवा अनुरोध सिस्टम को छोड़ देता है तो सेवा प्रक्रिया को पूर्ण माना जाता है। सेवा प्रक्रिया को लागू करने के लिए आवश्यक समय अंतराल की अवधि मुख्य रूप से सेवा अनुरोध अनुरोध की प्रकृति, सेवा प्रणाली की स्थिति और सेवा चैनल पर निर्भर करती है।
दरअसल, सुपरमार्केट में खरीदार के ठहरने की अवधि एक ओर, इस पर निर्भर करती है व्यक्तिगत गुणखरीदार, उसके अनुरोध, उस सामान की श्रेणी पर जिसे वह खरीदने जा रहा है, और दूसरी ओर, सेवा संगठन और सेवा कर्मियों के रूप में, जो खरीदार द्वारा सुपरमार्केट में बिताए गए समय और तीव्रता को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित कर सकता है सेवा की। उदाहरण के लिए, कैशियर-नियंत्रकों ने कैश रजिस्टर पर काम करने की "अंधा" पद्धति में महारत हासिल करने के लिए, निपटान नोड्स के थ्रूपुट को 1.3 गुना बढ़ाना और प्रत्येक कैश रजिस्टर में ग्राहकों के साथ बस्तियों पर खर्च किए गए समय को प्रति दिन 1.5 घंटे से अधिक बचाना संभव बना दिया। . सुपरमार्केट में सिंगल सेटलमेंट नोड की शुरूआत से खरीदार को ठोस लाभ मिलता है। इसलिए, यदि बस्तियों के पारंपरिक रूप के साथ, एक ग्राहक के लिए सेवा का समय औसतन 1.5 मिनट है, तो एकल निपटान नोड की शुरूआत के साथ - 67 सेकंड। इनमें से 44 सेकंड सेक्शन में खरीदारी करने में और 23 सेकंड सीधे खरीदारी के भुगतान पर खर्च किए जाते हैं। यदि खरीदार अलग-अलग वर्गों में कई खरीदारी करता है, तो दो खरीद 1.4 गुना, तीन - 1.9, पांच - 2.9 गुना खरीदकर समय की हानि कम हो जाती है।
अनुरोधों को पूरा करने से हमारा तात्पर्य किसी आवश्यकता को पूरा करने की प्रक्रिया से है। सेवा प्रकृति में अलग है। हालांकि, सभी उदाहरणों में, प्राप्त अनुरोधों को किसी डिवाइस द्वारा सेवित करने की आवश्यकता होती है। कुछ मामलों में, सेवा एक व्यक्ति द्वारा की जाती है (एक विक्रेता द्वारा ग्राहक सेवा, कुछ मामलों में लोगों के समूह द्वारा (एक पॉलीक्लिनिक में एक चिकित्सा आयोग द्वारा रोगी सेवा), और कुछ मामलों में तकनीकी उपकरणों (सोडा पानी की बिक्री) द्वारा , मशीनों द्वारा सैंडविच) उपकरणों का एक सेट जो सेवा अनुप्रयोगों को सेवा चैनल कहा जाता है।
यदि सेवा चैनल समान अनुरोधों को पूरा करने में सक्षम हैं, तो सेवा चैनल सजातीय कहलाते हैं। सजातीय सेवा चैनलों के एक सेट को सेवा प्रणाली कहा जाता है।
कतार प्रणाली को यादृच्छिक समय पर बड़ी संख्या में अनुरोध प्राप्त होते हैं, जिसकी सेवा अवधि भी एक यादृच्छिक चर है। कतार प्रणाली में ग्राहकों के क्रमिक आगमन को ग्राहकों की आने वाली धारा कहा जाता है, और ग्राहकों के कतार प्रणाली को छोड़ने के क्रम को आउटबाउंड स्ट्रीम कहा जाता है।
सेवा संचालन के निष्पादन की अवधि के वितरण की यादृच्छिक प्रकृति, सेवा आवश्यकताओं के आगमन की यादृच्छिक प्रकृति के साथ, इस तथ्य की ओर ले जाती है कि सेवा चैनलों में एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है, जिसे "कहा जा सकता है (सादृश्य द्वारा) अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के साथ) सर्विसिंग अनुरोधों का प्रवाह या केवल सेवा का प्रवाह।
ध्यान दें कि क्यूइंग सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहक बिना सेवित हुए इसे छोड़ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि ग्राहक को स्टोर में वांछित उत्पाद नहीं मिलता है, तो वह बिना परोसे स्टोर छोड़ देता है। वांछित उत्पाद उपलब्ध होने पर खरीदार भी स्टोर छोड़ सकता है, लेकिन एक लंबी कतार है, और खरीदार के पास समय नहीं है।
क्यूइंग का सिद्धांत क्यूइंग से जुड़ी प्रक्रियाओं के अध्ययन से संबंधित है, विशिष्ट क्यूइंग समस्याओं को हल करने के तरीकों के विकास से संबंधित है।
सेवा प्रणाली की दक्षता का अध्ययन करते समय, सिस्टम में सेवा चैनलों को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
सेवा चैनलों की समानांतर व्यवस्था के साथ, किसी भी मुफ्त चैनल द्वारा अनुरोध किया जा सकता है। ऐसी सेवा प्रणाली का एक उदाहरण स्वयं-सेवा स्टोर में एक निपटान नोड है, जहां सेवा चैनलों की संख्या कैशियर-नियंत्रकों की संख्या के साथ मेल खाती है।
व्यवहार में, एक एप्लिकेशन को अक्सर कई सर्विस चैनलों द्वारा क्रमिक रूप से सेवित किया जाता है। इस स्थिति में, अगला सर्विस चैनल पिछले चैनल के अपना काम पूरा करने के बाद अनुरोध को पूरा करना शुरू कर देता है। ऐसी प्रणालियों में, सेवा प्रक्रिया प्रकृति में बहु-चरणीय होती है, एक चैनल द्वारा किसी एप्लिकेशन की सेवा को सेवा चरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी स्वयं-सेवा स्टोर में विक्रेताओं के साथ विभाग हैं, तो खरीदारों को पहले विक्रेता और फिर कैशियर-नियंत्रक द्वारा सेवा प्रदान की जाती है।
सेवा प्रणाली का संगठन व्यक्ति की इच्छा पर निर्भर करता है। क्यूइंग के सिद्धांत में कार्यप्रणाली की गुणवत्ता को यह नहीं समझा जाता है कि सेवा कितनी अच्छी तरह से की जाती है, लेकिन सेवा प्रणाली कितनी पूरी तरह भरी हुई है, क्या सेवा चैनल निष्क्रिय हैं, क्या एक कतार बनती है।
व्यावसायिक गतिविधियों में, कतार प्रणाली में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोग समग्र रूप से सेवा की गुणवत्ता के लिए उच्च दावे करते हैं, जिसमें न केवल उन विशेषताओं की सूची शामिल है जो ऐतिहासिक रूप से विकसित हुई हैं और सीधे कतार के सिद्धांत में मानी जाती हैं, बल्कि विशिष्ट अतिरिक्त विशेषताएं भी शामिल हैं वाणिज्यिक गतिविधि की विशिष्टताएं, विशेष रूप से व्यक्तिगत रखरखाव प्रक्रियाओं में, जिनकी आवश्यकताएं अब तक बहुत बढ़ गई हैं। इस संबंध में, वाणिज्यिक गतिविधि के संकेतकों को भी ध्यान में रखना आवश्यक है।
सेवा प्रणाली का काम ऐसे संकेतकों की विशेषता है। जैसे सेवा प्रतीक्षा समय, कतार की लंबाई, सेवा से वंचित होने की संभावना, सेवा चैनलों के डाउनटाइम की संभावना, सेवा की लागत और अंततः सेवा की गुणवत्ता के साथ संतुष्टि, जिसमें व्यावसायिक प्रदर्शन भी शामिल है। सेवा प्रणाली की गुणवत्ता में सुधार करने के लिए, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि सेवा चैनलों के बीच आने वाले अनुप्रयोगों को कैसे वितरित किया जाए, आपके पास कितने सेवा चैनल होने चाहिए, व्यावसायिक प्रदर्शन में सुधार के लिए सेवा चैनलों या सेवा उपकरणों को कैसे व्यवस्थित या समूहित किया जाए। इन समस्याओं को हल करने के लिए है प्रभावी तरीकामॉडलिंग, जिसमें गणित सहित विभिन्न विज्ञानों की उपलब्धियों को शामिल और संयोजित किया जाता है।
1.2 कतार प्रणाली की मॉडलिंग
एक राज्य से दूसरे राज्य में क्यूएस संक्रमण अच्छी तरह से परिभाषित घटनाओं के प्रभाव में होता है - आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सर्विसिंग। समय के यादृच्छिक क्षणों में एक के बाद एक घटनाओं के घटित होने का क्रम तथाकथित घटनाओं की धारा बनाता है। वाणिज्यिक गतिविधियों में इस तरह के प्रवाह के उदाहरण विभिन्न प्रकृति के प्रवाह हैं - माल, पैसा, दस्तावेज, परिवहन, ग्राहक, ग्राहक, फोन कॉल, बातचीत। प्रणाली का व्यवहार आमतौर पर एक से नहीं, बल्कि घटनाओं की कई धाराओं द्वारा एक साथ निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी स्टोर में ग्राहक सेवा ग्राहक प्रवाह और सेवा प्रवाह द्वारा निर्धारित की जाती है; इन प्रवाहों में, खरीदारों की उपस्थिति के क्षण, कतार में बिताया गया समय और प्रत्येक खरीदार की सेवा करने में लगने वाला समय यादृच्छिक होता है।
इस मामले में, प्रवाह की मुख्य विशेषता पड़ोसी घटनाओं के बीच समय का संभाव्य वितरण है। विभिन्न धाराएँ हैं जो अपनी विशेषताओं में भिन्न हैं।
घटनाओं की एक धारा को नियमित कहा जाता है यदि इसमें होने वाली घटनाएं एक के बाद एक पूर्व निर्धारित और कड़ाई से परिभाषित समय अंतराल पर होती हैं। ऐसा प्रवाह आदर्श है और व्यवहार में बहुत दुर्लभ है। अधिक बार अनियमित प्रवाह होते हैं जिनमें नियमितता का गुण नहीं होता है।
घटनाओं की एक धारा स्थिर कहलाती है यदि समय अंतराल में किसी भी संख्या में घटनाओं के गिरने की संभावना केवल इस अंतराल की लंबाई पर निर्भर करती है और यह इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि यह अंतराल समय की शुरुआत से कितनी दूर है। एक प्रवाह की स्थिरता का मतलब है कि इसकी संभाव्य विशेषताएं समय से स्वतंत्र हैं, विशेष रूप से, इस तरह के प्रवाह की तीव्रता समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या है और स्थिर रहती है। व्यवहार में, प्रवाह को आमतौर पर केवल एक निश्चित सीमित समय अंतराल के लिए स्थिर माना जा सकता है। आमतौर पर, ग्राहकों का प्रवाह, उदाहरण के लिए, एक स्टोर में कार्य दिवस के दौरान महत्वपूर्ण रूप से बदल जाता है। हालांकि, कुछ निश्चित समय अंतरालों को अलग करना संभव है जिसके भीतर इस प्रवाह को स्थिर माना जा सकता है, जिसमें निरंतर तीव्रता होती है।
घटनाओं की एक धारा को परिणामों के बिना एक धारा कहा जाता है यदि समय के मनमाने ढंग से चुने गए अंतराल में से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या दूसरे पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है, यह भी मनमाने ढंग से चुने गए अंतराल है, बशर्ते कि ये अंतराल प्रतिच्छेद न करें। बिना किसी परिणाम के प्रवाह में, घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से क्रमिक समय पर प्रकट होती हैं। उदाहरण के लिए, एक स्टोर में प्रवेश करने वाले ग्राहकों के प्रवाह को बिना किसी परिणाम के प्रवाह माना जा सकता है, क्योंकि जिन कारणों से उनमें से प्रत्येक के आने का कारण अन्य ग्राहकों के लिए समान कारणों से संबंधित नहीं हैं।
घटनाओं की एक धारा को सामान्य कहा जाता है यदि केवल एक घटना के टकराने की संभावना की तुलना में बहुत कम समय के लिए दो या दो से अधिक घटनाओं के एक साथ टकराने की संभावना नगण्य है। एक सामान्य धारा में, घटनाएँ दो या अधिक बार के बजाय एक बार में घटित होती हैं। यदि एक प्रवाह में एक साथ स्थिरता, सामान्यता और परिणाम की अनुपस्थिति के गुण होते हैं, तो ऐसे प्रवाह को घटनाओं का सबसे सरल (या पॉइसन) प्रवाह कहा जाता है। सिस्टम पर इस तरह के प्रवाह के प्रभाव का गणितीय विवरण सबसे सरल है। इसलिए, विशेष रूप से, सरलतम प्रवाह अन्य मौजूदा प्रवाहों के बीच एक विशेष भूमिका निभाता है।
समय अक्ष पर कुछ समय अंतराल t पर विचार करें। आइए मान लें कि इस अंतराल p, और . से टकराने वाली एक यादृच्छिक घटना की संभावना कुल गणनासंभावित घटनाएँ - n। घटनाओं के प्रवाह की सामान्यता की संपत्ति की उपस्थिति में, संभावना p पर्याप्त रूप से छोटा मान होना चाहिए, और i - पर्याप्त रूप से एक बड़ी संख्या में, चूंकि सामूहिक घटनाओं पर विचार किया जाता है। इन शर्तों के तहत, एक समय अंतराल t में निश्चित संख्या में घटनाओं t को हिट करने की संभावना की गणना करने के लिए, आप पॉइसन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
पी एम, एन = एक एम_ई-ए; (एम = 0, एन),
जहाँ मान a = pr समय अंतराल t पर पड़ने वाली घटनाओं की औसत संख्या है, जिसे घटनाओं X के प्रवाह की तीव्रता के माध्यम से निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है: a=
प्रवाह तीव्रता X का आयाम प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या है। पी और , पी और के बीच निम्नलिखित संबंध है:
जहां टी समय की पूरी अवधि है जिस पर घटनाओं के प्रवाह की क्रिया पर विचार किया जाता है।
ऐसी धारा में घटनाओं के बीच समय अंतराल टी के वितरण को निर्धारित करना आवश्यक है। चूँकि यह एक यादृच्छिक चर है, आइए इसका वितरण फलन ज्ञात करें। जैसा कि प्रायिकता सिद्धांत से ज्ञात होता है, समाकलन वितरण फलन F(t) प्रायिकता है कि मान T, समय t से कम होगा।
शर्त के अनुसार, समय T के दौरान कोई घटना नहीं होनी चाहिए, और समय अंतराल t पर कम से कम एक घटना दिखाई देनी चाहिए। इस प्रायिकता की गणना समय अंतराल (0; t) पर विपरीत घटना की प्रायिकता का उपयोग करके की जाती है, जहां कोई घटना नहीं घटी, अर्थात। एम = 0, फिर
एफ (टी) = 1-पी 0 = 1-(ए 0 *ई-ए)0!=1-ई-एक्सटी, टी≥0
छोटे ∆t के लिए, t की घातों में एक श्रृंखला में विस्तार के केवल दो पदों के साथ फ़ंक्शन e-Xt को प्रतिस्थापित करके प्राप्त अनुमानित सूत्र प्राप्त किया जा सकता है, फिर कम से कम एक घटना के छोटे समय अंतराल में गिरने की संभावना टी is
पी (टी<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt
दो क्रमिक घटनाओं के बीच समय अंतराल का वितरण घनत्व समय के संबंध में F(t) को अलग करके प्राप्त किया जाता है,
एफ (टी) = λe- λ टी, टी≥0
प्राप्त वितरण घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोई संख्यात्मक विशेषताओं को प्राप्त कर सकता है अनियमित चरटी: अपेक्षित मूल्यएम (टी), फैलाव डी (टी) और माध्य मानक विचलन(टी)।
(Т)= λ ∞ 0 t*e - t *dt=1/ ; डी(टी)=1/ 2 ; (टी)=1/ ।
इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: सबसे सरल प्रवाह में किसी भी दो पड़ोसी घटनाओं के बीच औसत समय अंतराल टी औसतन 1/λ है, और इसका मानक विचलन भी 1/λ है, जहां, प्रवाह तीव्रता है, यानी। समय की प्रति इकाई होने वाली घटनाओं की औसत संख्या। ऐसे गुणों वाले यादृच्छिक चर का वितरण नियम M(T) = T को घातांक (या घातांक) कहा जाता है, और मान इस घातांकीय नियम का एक पैरामीटर है। इस प्रकार, सबसे सरल प्रवाह के लिए, पड़ोसी घटनाओं के बीच समय अंतराल की गणितीय अपेक्षा इसके मानक विचलन के बराबर है। इस मामले में, समय अंतराल t में सर्विसिंग के लिए आने वाले अनुरोधों की संख्या k के बराबर होने की संभावना पॉइसन कानून द्वारा निर्धारित की जाती है:
पी के (टी)=(λt) के / के! *ई-λ टी ,
जहां अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता है, QS प्रति यूनिट समय में घटनाओं की औसत संख्या, उदाहरण के लिए [व्यक्ति / मिनट; रगड़ / घंटा; चेक / घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टन/वर्ष]।
अनुप्रयोगों के इस तरह के प्रवाह के लिए, दो पड़ोसी अनुप्रयोगों टी के बीच का समय संभाव्यता घनत्व के साथ तेजी से वितरित किया जाता है:
(टी)= e - t ।
सेवा प्रारंभ कतार में यादृच्छिक प्रतीक्षा समय को भी तेजी से वितरित माना जा सकता है:
ƒ (टी ओच) = वी * ई - वी टी ओच,
जहां v कतार मार्ग प्रवाह की तीव्रता है, जो समय की प्रति यूनिट सेवा के लिए गुजरने वाले आवेदनों की औसत संख्या से निर्धारित होती है:
जहां टी ओच - कतार में सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय।
अनुरोधों का आउटपुट प्रवाह चैनल में सेवा प्रवाह के साथ जुड़ा हुआ है, जहां सेवा अवधि t obs भी एक यादृच्छिक चर है और कई मामलों में संभाव्यता घनत्व के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है:
ƒ(t obs)=µ*e µ t obs,
जहां सेवा प्रवाह की तीव्रता है, अर्थात। प्रति यूनिट समय पर दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या:
µ=1/ t ओब्स [व्यक्ति/मिनट; रगड़ / घंटा; चेक / घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टन/वर्ष],
जहां t obs सेवा अनुप्रयोगों के लिए औसत समय है।
क्यूएस की एक महत्वपूर्ण विशेषता, जो संकेतक λ और μ को जोड़ती है, लोड की तीव्रता है: ρ= / , जो सेवा चैनल अनुरोधों के इनपुट और आउटपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री को दर्शाता है और की स्थिरता को निर्धारित करता है कतार प्रणाली।
घटनाओं के सबसे सरल प्रवाह की अवधारणा के अलावा, अक्सर अन्य प्रकार के प्रवाह की अवधारणाओं का उपयोग करना आवश्यक होता है। घटनाओं की एक धारा को पाम स्ट्रीम कहा जाता है जब इस धारा में क्रमिक घटनाओं T 1, T 2, ..., T k ..., T n के बीच का समय अंतराल स्वतंत्र, समान रूप से वितरित, यादृच्छिक चर होता है, लेकिन सबसे सरल के विपरीत धारा, वे आवश्यक रूप से घातीय कानून के अनुसार वितरित नहीं होते हैं। सबसे सरल प्रवाह पाम प्रवाह का एक विशेष मामला है।
पाम धारा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तथाकथित एरलांग धारा है।
यह धारा सबसे सरल धारा को "पतला" करके प्राप्त की जाती है। इस तरह के "पतला" एक निश्चित नियम के अनुसार एक साधारण धारा से घटनाओं का चयन करके किया जाता है।
उदाहरण के लिए, यदि हम सरलतम प्रवाह के तत्वों से केवल हर दूसरी घटना को ध्यान में रखने के लिए सहमत हैं, तो हमें एक दूसरे क्रम का एरलांग प्रवाह मिलता है। यदि हम केवल हर तीसरी घटना को लेते हैं, तो तीसरे क्रम का एक एरलांग प्रवाह बनता है, और इसी तरह।
किसी भी k-th क्रम की Erlang धाराएँ प्राप्त करना संभव है। जाहिर है, सबसे सरल प्रवाह पहले क्रम का एरलांग प्रवाह है।
क्यूइंग सिस्टम का कोई भी अध्ययन इस बात के अध्ययन से शुरू होता है कि क्या परोसा जाना चाहिए, और इसलिए ग्राहकों की आने वाली धारा और इसकी विशेषताओं की जांच के साथ।
चूंकि समय t के क्षण और अनुरोधों की प्राप्ति के समय अंतराल , फिर सेवा संचालन की अवधि t obs और कतार t och में प्रतीक्षा समय, साथ ही साथ कतार l och की लंबाई यादृच्छिक चर हैं, फिर, इसलिए, क्यूएस राज्य की विशेषताएं एक संभाव्य प्रकृति की हैं, और उनके विवरण के लिए यह क्यूइंग सिद्धांत के तरीकों और मॉडलों को लागू करता है।
उपरोक्त विशेषताएँ k, , , L och, T och, v, t obs, µ, p, P k QS के लिए सबसे आम हैं, जो आमतौर पर उद्देश्य फ़ंक्शन का केवल कुछ हिस्सा हैं, क्योंकि यह भी आवश्यक है वाणिज्यिक गतिविधि के संकेतकों को ध्यान में रखें।
1.3 क्यूएस राज्य ग्राफ
असतत राज्यों और निरंतर समय के साथ यादृच्छिक प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते समय, सीएमओ के संभावित राज्यों के एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व के एक प्रकार का उपयोग करना सुविधाजनक होता है (चित्र। 6.2.1) एक ग्राफ के रूप में इसके संभावित निश्चित राज्यों के अंकन के साथ। QS राज्यों को आमतौर पर या तो आयतों या वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है, और एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण की संभावित दिशाएँ इन राज्यों को जोड़ने वाले तीरों द्वारा उन्मुख होती हैं। उदाहरण के लिए, किसी न्यूज़स्टैंड में एक यादृच्छिक सेवा प्रक्रिया के एकल-चैनल सिस्टम का लेबल किया गया राज्य ग्राफ़ अंजीर में दिखाया गया है। 1.3.
चावल। 1.3. लेबल किया गया QS राज्य ग्राफ़
सिस्टम तीन राज्यों में से एक में हो सकता है: एस 0 - चैनल मुक्त है, निष्क्रिय है, एस 1 - चैनल सर्विसिंग में व्यस्त है, एस 2 - चैनल सर्विसिंग में व्यस्त है और एक आवेदन कतार में है। राज्य S 0 से S l तक प्रणाली का संक्रमण तीव्रता 01 के साथ अनुप्रयोगों के सबसे सरल प्रवाह के प्रभाव में होता है, और राज्य S l से राज्य S 0 में तीव्रता के साथ सेवा प्रवाह 01 सिस्टम को स्थानांतरित करता है। तीरों से जुड़ी प्रवाह तीव्रता वाले कतार प्रणाली के राज्य ग्राफ को लेबल कहा जाता है। चूंकि सिस्टम का एक या दूसरे राज्य में रहना संभाव्य है, इसलिए संभावना: p i (t) कि सिस्टम S स्थिति में होगा t समय t को QS की i-th स्थिति की प्रायिकता कहा जाता है और संख्या द्वारा निर्धारित किया जाता है सेवा के लिए प्राप्त अनुरोधों की।
सिस्टम में होने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया में यह तथ्य शामिल होता है कि यादृच्छिक समय पर t 0 , t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n सिस्टम क्रमिक रूप से एक या किसी अन्य पहले से ज्ञात असतत अवस्था में होता है। ऐसा। घटनाओं के एक यादृच्छिक अनुक्रम को मार्कोव श्रृंखला कहा जाता है, यदि प्रत्येक चरण के लिए, एक राज्य S t से किसी अन्य Sj में संक्रमण की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि सिस्टम कब और कैसे राज्य S t में चला गया। मार्कोव श्रृंखला को राज्यों की संभावना का उपयोग करके वर्णित किया गया है, और वे घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, इसलिए उनका योग एक के बराबर होता है। यदि संक्रमण की संभावना संख्या k पर निर्भर नहीं करती है, तो मार्कोव श्रृंखला को सजातीय कहा जाता है। कतार प्रणाली की प्रारंभिक स्थिति को जानने के बाद, सेवा के लिए प्राप्त अनुरोधों की k- संख्या के किसी भी मूल्य के लिए राज्यों की संभावनाओं का पता लगाया जा सकता है।
1.4 स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं
एक राज्य से दूसरे राज्य में क्यूएस संक्रमण यादृच्छिक रूप से होता है और यह एक यादृच्छिक प्रक्रिया है। QS का कार्य असतत अवस्थाओं के साथ एक यादृच्छिक प्रक्रिया है, क्योंकि समय पर इसकी संभावित अवस्थाओं को पहले से सूचीबद्ध किया जा सकता है। इसके अलावा, एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण अचानक, यादृच्छिक समय पर होता है, यही वजह है कि इसे निरंतर समय के साथ एक प्रक्रिया कहा जाता है। इस प्रकार, क्यूएस का कार्य असतत राज्यों और निरंतर के साथ एक यादृच्छिक प्रक्रिया है; समय। उदाहरण के लिए, मॉस्को में क्रिस्टल कंपनी में थोक खरीदारों की सेवा करने की प्रक्रिया में, प्रोटोजोआ के सभी संभावित राज्यों को पहले से ठीक करना संभव है। मादक पेय पदार्थों की आपूर्ति, इसके लिए भुगतान, कागजी कार्रवाई, उत्पादों की रिहाई और प्राप्ति, तैयार उत्पादों के गोदाम से अतिरिक्त लोडिंग और हटाने के लिए एक समझौते के समापन के क्षण से वाणिज्यिक सेवाओं के पूरे चक्र में शामिल सीएमओ।
यादृच्छिक प्रक्रियाओं की कई किस्मों में से, व्यावसायिक गतिविधि में सबसे व्यापक वे प्रक्रियाएं हैं जिनके लिए भविष्य में किसी भी समय प्रक्रिया की विशेषताएं केवल इसकी स्थिति पर निर्भर करती हैं और प्रागितिहास पर निर्भर नहीं होती हैं - अतीत पर। उदाहरण के लिए, क्रिस्टल प्लांट से मादक पेय प्राप्त करने की संभावना तैयार उत्पाद गोदाम में इसकी उपलब्धता पर निर्भर करती है, अर्थात। इस समय इसकी स्थिति, और यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अन्य खरीदारों ने कब और कैसे इन उत्पादों को प्राप्त किया और अतीत में ले लिया।
ऐसी यादृच्छिक प्रक्रियाओं को परिणाम के बिना प्रक्रियाएं या मार्कोव प्रक्रियाएं कहा जाता है, जिसमें एक निश्चित वर्तमान के साथ, क्यूएस की भविष्य की स्थिति अतीत पर निर्भर नहीं होती है। सिस्टम में चलने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया को मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है, या "परिणामों के बिना प्रक्रिया" कहा जाता है यदि इसमें निम्नलिखित गुण हैं: प्रत्येक बार t 0 के लिए, सिस्टम के किसी भी राज्य t> t 0 की संभावना S i, - भविष्य में (t>t Q ) केवल वर्तमान में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है (t = t 0 पर) और यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि सिस्टम इस स्थिति में कब और कैसे आया, अर्थात। अतीत में प्रक्रिया कैसे विकसित हुई, इसकी वजह से।
मार्कोव स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को दो वर्गों में विभाजित किया गया है: असतत और निरंतर राज्यों के साथ प्रक्रियाएं। असतत अवस्थाओं के साथ एक प्रक्रिया उन प्रणालियों में उत्पन्न होती है जिनमें केवल कुछ निश्चित अवस्थाएँ होती हैं, जिनके बीच कुछ समय के अग्रिम क्षणों में ज्ञात नहीं होने पर कूद संक्रमण संभव होता है। असतत राज्यों के साथ एक प्रक्रिया के उदाहरण पर विचार करें। फर्म के कार्यालय में दो टेलीफोन हैं। इस सेवा प्रणाली के लिए निम्नलिखित राज्य संभव हैं: S o - टेलीफोन निःशुल्क हैं; एस एल - फोन में से एक व्यस्त है; एस 2 - दोनों फोन व्यस्त हैं।
इस प्रणाली में होने वाली प्रक्रिया यह है कि प्रणाली बेतरतीब ढंग से एक असतत अवस्था से दूसरी अवस्था में कूद जाती है।
निरंतर अवस्थाओं वाली प्रक्रियाओं को एक राज्य से दूसरे राज्य में निरंतर सुचारू संक्रमण की विशेषता होती है। ये प्रक्रियाएं आर्थिक वस्तुओं की तुलना में तकनीकी उपकरणों के लिए अधिक विशिष्ट हैं, जहां आमतौर पर केवल लगभग एक ही प्रक्रिया की निरंतरता के बारे में बात कर सकता है (उदाहरण के लिए, माल के स्टॉक की निरंतर खपत), जबकि वास्तव में प्रक्रिया में हमेशा एक असतत चरित्र होता है। . इसलिए, नीचे हम केवल असतत अवस्थाओं वाली प्रक्रियाओं पर विचार करेंगे।
असतत राज्यों के साथ मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रियाएं, बदले में, असतत समय के साथ प्रक्रियाओं में और निरंतर समय के साथ प्रक्रियाओं में विभाजित होती हैं। पहले मामले में, एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण केवल निश्चित, पूर्व-निर्धारित समय पर होता है, जबकि इन क्षणों के बीच के अंतराल में सिस्टम अपनी स्थिति को बरकरार रखता है। दूसरे मामले में, सिस्टम का एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण किसी भी यादृच्छिक समय पर हो सकता है।
व्यवहार में, निरंतर समय के साथ प्रक्रियाएं बहुत अधिक सामान्य होती हैं, क्योंकि सिस्टम का एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण आमतौर पर किसी निश्चित समय पर नहीं, बल्कि किसी भी यादृच्छिक समय पर होता है।
निरंतर समय के साथ प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए, एक मॉडल का उपयोग तथाकथित मार्कोव श्रृंखला के रूप में सिस्टम के असतत राज्यों, या एक सतत मार्कोव श्रृंखला के रूप में किया जाता है।
अध्याय द्वितीय . कतार प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरण
2.1 कोलमोगोरोव समीकरण
असतत प्रणाली के साथ एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया के गणितीय विवरण पर विचार करें S o , S l , S 2 (चित्र 6.2.1 देखें) और निरंतर समय। हम मानते हैं कि राज्य एस से राज्य एसजे में कतार प्रणाली के सभी संक्रमण तीव्रता के साथ घटनाओं के सबसे सरल प्रवाह के प्रभाव में होते हैं, और दूसरे प्रवाह के प्रभाव में रिवर्स संक्रमण ij,। हम संकेतन p i को इस प्रायिकता के रूप में पेश करते हैं कि समय t सिस्टम S i अवस्था में है। किसी भी समय टी के लिए, सामान्यीकरण की स्थिति लिखना उचित है - सभी राज्यों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है:
Σपी मैं (टी)=पी 0 (टी)+ पी 1 (टी)+ पी 2 (टी)=1
आइए हम समय t पर प्रणाली का विश्लेषण करें, एक छोटा समय वृद्धि t सेट करें, और संभावना p 1 (t + t) खोजें कि समय पर सिस्टम (t + t) राज्य S 1 में होगा, जो विभिन्न विकल्पों द्वारा प्राप्त किया जाता है। :
ए) इस समय प्रणाली t प्रायिकता के साथ p 1 (t) राज्य S 1 में थी और थोड़े समय के लिए वेतन वृद्धि t कभी किसी अन्य पड़ोसी राज्य में नहीं गई - न तो S 0 और न ही bS 2। सिस्टम को राज्य एस 1 से तीव्रता (λ 10 + λ 12) के साथ कुल सरल प्रवाह से बाहर निकाला जा सकता है, क्योंकि सबसे सरल प्रवाह का सुपरपोजिशन भी सबसे सरल प्रवाह है। इस आधार पर, राज्य एस 1 से कम समय में बाहर निकलने की संभावना t लगभग (λ 10 +λ 12)* t के बराबर है। तब इस अवस्था को न छोड़ने की प्रायिकता के बराबर होती है ।तदनुसार, प्रायिकता गुणन प्रमेय के आधार पर प्रणाली के राज्य Si में बने रहने की प्रायिकता के बराबर है:
पी 1 (टी);
बी) सिस्टम एक पड़ोसी राज्य एस ओ में था और थोड़े समय में राज्य में पारित हो गया एस ओ सिस्टम का संक्रमण प्रवाह 01 के प्रभाव में होता है, जिसकी संभावना लगभग 01 t के बराबर होती है
इस मामले में सिस्टम राज्य एस 1 में होने की संभावना पी ओ (टी)λ 01 t के बराबर है;
सी) प्रणाली राज्य एस 2 में थी और समय के दौरान t राज्य एस 1 में तीव्रता 21 के साथ प्रवाह के प्रभाव में लगभग λ 21 Δt के बराबर संभावना के साथ पारित हुआ। संभावना है कि सिस्टम एस 1 राज्य में होगा पी 2 (टी) λ 21 Δt के बराबर है।
इन विकल्पों के लिए प्रायिकता जोड़ प्रमेय को लागू करने पर, हम व्यंजक प्राप्त करते हैं:
पी 2 (टी+Δt)= पी 1 (टी) + पी ओ (टी)λ 01 t+p 2 (टी) λ 21 Δt,
जिसे अलग तरह से लिखा जा सकता है:
पी 2 (टी + Δt) -पी 1 (टी) / t \u003d पी ओ (टी) 01 + पी 2 (टी) 21 - पी 1 (टी) (λ 10 + λ 12) ।
t-> 0 पर सीमा से गुजरते हुए, अनुमानित समानताएं सटीक में बदल जाती हैं, और फिर हम प्रथम-क्रम व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं
डीपी 2 /डीटी= पी 0 01 +पी 2 λ 21 -पी 1 (λ 10 +λ 12),
जो एक अंतर समीकरण है।
सिस्टम के अन्य सभी राज्यों के लिए इसी तरह से तर्क करना, हम सिस्टम प्राप्त करते हैं विभेदक समीकरण, जिन्हें ए.एन. कहा जाता है। कोलमोगोरोव:
डीपी 0 / डीटी = पी 1 λ 10,
डीपी 1 /डीटी= पी 0 01 +पी 2 λ 21 -पी 1 (λ 10 +λ 12) ,
डीपी 2 /डीटी= पी 1 λ 12 +पी 2 λ 21।
कोलमोगोरोव समीकरणों को संकलित करने के लिए सामान्य नियम हैं।
कोलमोगोरोव समीकरण समय p i (t) के एक फलन के रूप में QS राज्यों S i की सभी संभावनाओं की गणना करना संभव बनाता है। यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, यह दिखाया गया है कि यदि सिस्टम के राज्यों की संख्या सीमित है, और उनमें से प्रत्येक से किसी अन्य राज्य में जाना संभव है, तो राज्यों की सीमित (अंतिम) संभावनाएं हैं जो इंगित करती हैं सिस्टम द्वारा इस अवस्था में बिताए गए समय का औसत सापेक्षिक मूल्य। यदि राज्य एस 0 की सीमांत संभावना पी 0 = 0.2 के बराबर है, तो, औसतन 20% समय, या कार्य समय का 1/5, सिस्टम राज्य एस ओ में है। उदाहरण के लिए, सेवा अनुरोधों के अभाव में k = 0, p 0 = 0.2,; इसलिए, प्रति दिन औसतन 2 घंटे, सिस्टम S o स्थिति में है और कार्य दिवस 10 घंटे होने पर निष्क्रिय है।
चूंकि सिस्टम की सीमित संभावनाएं स्थिर हैं, कोलमोगोरोव समीकरणों में संबंधित डेरिवेटिव को शून्य मानों के साथ बदलकर, हम रैखिक की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं बीजीय समीकरणक्यूएस के स्थिर मोड का वर्णन। समीकरणों की इस तरह की प्रणाली को निम्नलिखित नियमों के अनुसार QS राज्यों के लेबल वाले ग्राफ के अनुसार संकलित किया गया है: समीकरण में समान चिह्न के बाईं ओर सभी प्रवाहों की कुल तीव्रता से गुणा की गई स्थिति सी की सीमित संभावना पी है। सिस्टम को दिए गए राज्य S i का आउटपुट (आउटगोइंग एरो), और समान चिह्न के दाईं ओर - सिसिस्टम की स्थिति में प्रवेश करने वाले (आने वाले तीर) की संभावना से सभी प्रवाह की तीव्रता के उत्पादों का योग वे राज्य जहां से ये प्रवाह उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए, एक और समीकरण जोड़ना आवश्यक है जो सामान्यीकरण की स्थिति निर्धारित करता है, क्योंकि सभी क्यूएस राज्यों की संभावनाओं का योग 1: n है
उदाहरण के लिए, एक क्यूएस के लिए जिसमें तीन राज्यों एस ओ, एस 1, एस 2 अंजीर का लेबल वाला ग्राफ है। 6.2.1, बताए गए नियम के आधार पर संकलित समीकरणों की कोलमोगोरोव प्रणाली के निम्नलिखित रूप हैं:
राज्य के लिए एस ओ → पी 0 λ 01 = पी 1 λ 10
राज्य एस 1 → पी 1 (λ 10 + λ 12) = पी 0 λ 01 + पी 2 λ 21 के लिए
राज्य एस 2 → पी 2 λ 21 = पी 1 λ 12 . के लिए
p0 +p1 +p2 =1
डीपी 4 (टी) / डीटी \u003d 34 पी 3 (टी) - 43 पी 4 (टी),
पी 1 (टी)+ पी 2 (टी)+ पी 3 (टी)+ पी 4 (टी)=1 ।
इन समीकरणों में, हमें और अधिक प्रारंभिक शर्तें जोड़नी होंगी। उदाहरण के लिए, यदि t = 0 पर सिस्टम S, S 1 अवस्था में है, तो प्रारंभिक शर्तों को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
पी 1 (0)=1, पी 2 (0)= पी 3 (0)= पी 4 (0)=0 ।
क्यूएस के राज्यों के बीच संक्रमण आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सेवा के प्रभाव में होता है। उस मामले में संक्रमण की संभावना जहां घटनाओं का प्रवाह सबसे सरल है, समय t के दौरान किसी घटना के घटित होने की संभावना से निर्धारित होता है, अर्थात। संक्रमण प्रायिकता तत्व का मान ij t, जहां ij उन घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता है जो सिस्टम को राज्य i से राज्य i में स्थानांतरित करती हैं (राज्य ग्राफ पर संबंधित तीर के साथ)।
यदि सिस्टम को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करने वाली घटनाओं के सभी प्रवाह सबसे सरल हैं, तो सिस्टम में होने वाली प्रक्रिया एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया होगी, यानी। परिणाम के बिना प्रक्रिया। इस मामले में, प्रणाली का व्यवहार काफी सरल है, यह निर्धारित किया जाता है कि क्या इन सभी सरल घटना प्रवाह की तीव्रता ज्ञात है। उदाहरण के लिए, यदि सिस्टम में निरंतर समय के साथ एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया होती है, तो राज्य की संभावनाओं के लिए समीकरणों की कोलमोगोरोव प्रणाली लिखी जाती है और इस प्रणाली को दी गई प्रारंभिक स्थितियों के तहत एकीकृत किया जाता है, हम समय के एक समारोह के रूप में सभी राज्य संभावनाएं प्राप्त करते हैं:
पी मैं (टी), पी 2 (टी),…., पी एन (टी) ।
कई मामलों में, व्यवहार में, यह पता चला है कि समय के एक समारोह के रूप में राज्यों की संभावनाएं इस तरह से व्यवहार करती हैं कि
लिम पी मैं (टी) = पी मैं (i=1,2,…,एन) ; टी→∞
प्रारंभिक स्थितियों के प्रकार की परवाह किए बिना। इस मामले में, वे कहते हैं कि t->∞ पर सिस्टम राज्यों की सीमित संभावनाएं हैं और सिस्टम में कुछ सीमित स्थिर मोड स्थापित किया गया है। इस मामले में, सिस्टम बेतरतीब ढंग से अपने राज्यों को बदलता है, लेकिन इनमें से प्रत्येक राज्य को एक निश्चित स्थिर संभावना के साथ किया जाता है, जो कि प्रत्येक राज्य में सिस्टम द्वारा खर्च किए जाने वाले औसत समय से निर्धारित होता है।
यदि सिस्टम में सभी डेरिवेटिव 0 के बराबर सेट किए गए हैं, तो राज्य पी की सीमित संभावनाओं की गणना करना संभव है, क्योंकि कोलमोगोरोव समीकरणों में टी-> समय पर निर्भरता गायब हो जाती है। फिर अंतर समीकरणों की प्रणाली साधारण रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली में बदल जाती है, जो सामान्यीकरण की स्थिति के साथ, राज्यों की सभी सीमित संभावनाओं की गणना करना संभव बनाती है।
2.2 "जन्म - मृत्यु" की प्रक्रियाएँ
सजातीय मार्कोव प्रक्रियाओं में, यादृच्छिक प्रक्रियाओं का एक वर्ग है जो निर्माण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है गणितीय मॉडलजनसांख्यिकी, जीव विज्ञान, चिकित्सा (महामारी विज्ञान), अर्थशास्त्र, वाणिज्यिक गतिविधियों के क्षेत्र में। ये तथाकथित "जन्म-मृत्यु" प्रक्रियाएं हैं, मार्कोव निम्नलिखित रूप के स्टोकेस्टिक राज्य रेखांकन के साथ प्रक्रिया करता है:
| S3 |
| केजेएलएस नहीं |
μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1
चावल। 2.1 नामांकित जन्म-मृत्यु प्रक्रिया ग्राफ
यह ग्राफ एक प्रसिद्ध जैविक व्याख्या को पुन: प्रस्तुत करता है: मूल्य k एक निश्चित आबादी के एक नए प्रतिनिधि के जन्म की तीव्रता को दर्शाता है, उदाहरण के लिए, खरगोश, और वर्तमान जनसंख्या आकार k है; μ का मान इस जनसंख्या के एक प्रतिनिधि की मृत्यु (बिक्री) की तीव्रता है, यदि जनसंख्या का वर्तमान आयतन k के बराबर है। विशेष रूप से, जनसंख्या असीमित हो सकती है (मार्कोव प्रक्रिया के राज्यों की संख्या अनंत है, लेकिन गणनीय है), तीव्रता शून्य के बराबर हो सकती है (पुनर्जन्म की संभावना के बिना आबादी), उदाहरण के लिए, जब का प्रजनन खरगोश रुक जाते हैं।
अंजीर में दिखाए गए स्टोकेस्टिक ग्राफ द्वारा वर्णित "जन्म-मृत्यु" की मार्कोव प्रक्रिया के लिए। 2.1, हम अंतिम वितरण पाते हैं। सिस्टम S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, S n की स्थिति की सीमित संभावनाओं की परिमित संख्या n के लिए समीकरणों को संकलित करने के नियमों का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक राज्य के लिए संबंधित समीकरणों की रचना करेंगे:
राज्य के लिए एस 0 -λ 0 पी 0 =μ 0 पी 1 ;
राज्य के लिए S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = 0 p 0 +μ 1 p 2 , जो राज्य S 0 के लिए पिछले समीकरण को ध्यान में रखते हुए, λ 1 p 1 के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है = μ 1 पी 2।
इसी तरह, सिस्टम S 2 , S 3 ,…, S k ,…, S n की शेष अवस्थाओं के लिए समीकरण बना सकते हैं। नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:
समीकरणों की इस प्रणाली को हल करके, कोई व्यंजक प्राप्त कर सकता है जो कतार प्रणाली की अंतिम अवस्थाओं को निर्धारित करता है:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि राज्यों p 1 , p 2 , p 3 ,…, p n की अंतिम संभावनाओं को निर्धारित करने के सूत्रों में ऐसे पद शामिल हैं जो हैं अभिन्न अंगव्यंजक का योग जो p 0 को निर्धारित करता है। इन शब्दों के अंशों में राज्य ग्राफ के तीरों पर सभी तीव्रता के उत्पाद होते हैं जो बाएं से दाएं राज्य के एस के लिए जाते हैं, और भाजक सभी तीव्रताओं के उत्पाद होते हैं जो तीरों पर खड़े होते हैं जो दाएं से बाएं ओर जाते हैं। राज्य एस के माना जाता है, यानी। μ 0, μ 1, μ 2, μ 3,… μ k। इस संबंध में, हम इन मॉडलों को अधिक कॉम्पैक्ट रूप में लिखते हैं:
के = 1, एन
2.3 कतारबद्ध समस्याओं का आर्थिक और गणितीय सूत्रीकरण
समस्या का सही या सबसे सफल आर्थिक और गणितीय सूत्रीकरण व्यावसायिक गतिविधियों में कतार प्रणाली में सुधार के लिए सिफारिशों की उपयोगिता को काफी हद तक निर्धारित करता है।
इस संबंध में, सिस्टम में प्रक्रिया की सावधानीपूर्वक निगरानी करना, महत्वपूर्ण लिंक की खोज और पहचान करना, समस्या तैयार करना, लक्ष्य की पहचान करना, संकेतक निर्धारित करना और क्यूएस के काम के मूल्यांकन के लिए आर्थिक मानदंडों की पहचान करना आवश्यक है। इस मामले में, सबसे सामान्य, अभिन्न संकेतक एक ओर, सेवा प्रणाली के रूप में वाणिज्यिक गतिविधि के क्यूएस की लागत हो सकती है, और दूसरी ओर, अनुप्रयोगों की लागत, जिसमें एक अलग भौतिक सामग्री हो सकती है।
के. मार्क्स ने अंततः गतिविधि के किसी भी क्षेत्र में दक्षता में वृद्धि को समय की बचत के रूप में माना और इसे सबसे महत्वपूर्ण आर्थिक कानूनों में से एक के रूप में देखा। उन्होंने लिखा है कि समय की अर्थव्यवस्था, साथ ही उत्पादन की विभिन्न शाखाओं के बीच कार्य समय का नियोजित वितरण, सामूहिक उत्पादन पर आधारित पहला आर्थिक कानून बना हुआ है। यह कानून सामाजिक गतिविधि के सभी क्षेत्रों में प्रकट होता है।
वाणिज्यिक क्षेत्र में नकदी प्रवाह सहित माल के लिए, दक्षता मानदंड माल के संचलन के समय और गति से संबंधित है और बैंक में नकदी प्रवाह की तीव्रता को निर्धारित करता है। संचलन का समय और गति, वाणिज्यिक गतिविधि के आर्थिक संकेतक होने के नाते, इन्वेंट्री में निवेश किए गए धन के उपयोग की प्रभावशीलता की विशेषता है। इन्वेंटरी टर्नओवर औसत इन्वेंट्री की वसूली की औसत दर को दर्शाता है। कमोडिटी टर्नओवर और इन्वेंट्री स्तर के संकेतक ज्ञात मॉडलों से निकटता से संबंधित हैं। इस प्रकार, अस्थायी विशेषताओं के साथ वाणिज्यिक गतिविधि के इन और अन्य संकेतकों के संबंध का पता लगाना और स्थापित करना संभव है।
नतीजतन, एक वाणिज्यिक उद्यम या संगठन की दक्षता व्यक्तिगत सेवा संचालन करने के लिए कुल समय का योग है, जबकि एक ही समय में, आबादी के लिए, समय की लागत में यात्रा का समय, एक स्टोर, कैंटीन, कैफे, रेस्तरां, प्रतीक्षा करना शामिल है। सेवा की शुरुआत के लिए, मेनू से परिचित होना, उत्पाद चयन, गणना, आदि। जनसंख्या द्वारा बिताए गए समय की संरचना के किए गए अध्ययनों से संकेत मिलता है कि इसका एक महत्वपूर्ण हिस्सा तर्कहीन रूप से खर्च किया जाता है। नोटिस जो व्यावसायिक गतिविधिअंततः मानव की जरूरतों को पूरा करने के उद्देश्य से। इसलिए, क्यूएस मॉडलिंग प्रयासों में प्रत्येक प्राथमिक सेवा संचालन के लिए समय विश्लेषण शामिल होना चाहिए। उपयुक्त विधियों की सहायता से QS संकेतकों के संबंध के मॉडल बनाए जाने चाहिए। यह सबसे आम और प्रसिद्ध आर्थिक संकेतकों की आवश्यकता है, जैसे कि टर्नओवर, लाभ, वितरण लागत, लाभप्रदता, और अन्य, आर्थिक और गणितीय मॉडल में सेवा प्रणालियों की बारीकियों द्वारा निर्धारित संकेतकों के एक अतिरिक्त उभरते समूह के साथ जुड़े हुए हैं और पेश किए गए हैं। कतार सिद्धांत की बारीकियों के द्वारा ही।
उदाहरण के लिए, विफलताओं के साथ क्यूएस संकेतक की विशेषताएं हैं: कतार में अनुप्रयोगों के लिए प्रतीक्षा समय टी पीटी = 0, क्योंकि इस तरह की प्रणालियों में इसकी प्रकृति से एक कतार का अस्तित्व असंभव है, फिर एल पीटी = 0 और, इसलिए, इसके बनने की प्रायिकता P pt = 0. अनुरोधों की संख्या के अनुसार k, सिस्टम का ऑपरेटिंग मोड, इसकी स्थिति निर्धारित की जाती है: k=0 के साथ - निष्क्रिय चैनल, 1 के साथ
असीमित प्रतीक्षा के साथ एक क्यूएस के लिए, यह विशिष्ट है कि अनुरोध पी ओब्स = 1 की सेवा की संभावना है, क्योंकि कतार की लंबाई और सेवा की शुरुआत के लिए प्रतीक्षा समय सीमित नहीं है, यानी। औपचारिक रूप से एल ओच →∞ और टी ओच →∞। सिस्टम में संचालन के निम्नलिखित तरीके संभव हैं: k=0 पर, 1 . पर एक साधारण सेवा चैनल है
क्यूएस में कतार की लंबाई पर एक सीमा के साथ प्रतीक्षा के साथ, यदि सिस्टम में अनुरोधों की संख्या k = 0 है, तो 1 के साथ एक निष्क्रिय चैनल है
इस प्रकार, क्यूइंग सिस्टम की विशेषताओं की सूची को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: औसत सेवा समय - टी ओब्स; कतार में औसत प्रतीक्षा समय - टी ओच; एसएमओ में औसत प्रवास - टी एसएमओ; कतार की औसत लंबाई - एल ओच; सीएमओ में आवेदनों की औसत संख्या - एल सीएमओ; सेवा चैनलों की संख्या - n; अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह की तीव्रता - ; सेवा तीव्रता - μ; भार तीव्रता - ; लोड फैक्टर - α; सापेक्ष थ्रूपुट - क्यू; निरपेक्ष थ्रूपुट - ए; QS - 0 में निष्क्रिय समय का हिस्सा; सेवित अनुप्रयोगों का हिस्सा - आर ओब्स; खोए हुए अनुरोधों का अनुपात - P otk, व्यस्त चैनलों की औसत संख्या - n z; मुफ्त चैनलों की औसत संख्या - n सेंट; चैनल लोड फैक्टर - के जेड; चैनलों का औसत निष्क्रिय समय - टी पीआर।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कभी-कभी कमजोरियों की पहचान करने और क्यूएस में सुधार के लिए सिफारिशों को विकसित करने के लिए दस प्रमुख संकेतकों का उपयोग करना पर्याप्त होता है।
यह अक्सर एक समन्वित कार्य श्रृंखला या क्यूएस के सेट के मुद्दों के समाधान से जुड़ा होता है।
उदाहरण के लिए, वाणिज्यिक गतिविधियों में, क्यूएस के आर्थिक संकेतकों को भी ध्यान में रखना आवश्यक है: कुल लागत - सी; परिसंचरण लागत - io, खपत लागत - आईपी, एक आवेदन की सर्विसिंग के लिए लागत - С 1, एक आवेदन की वापसी से जुड़े नुकसान - у1, चैनल परिचालन लागत - С सी, चैनल डाउनटाइम लागत - पीआर, पूंजी निवेश - सी कैप, कम वार्षिक लागत - सी पीआर, वर्तमान लागत - सी तकनीक, क्यूएस की आय प्रति यूनिट समय - डी 1
लक्ष्य निर्धारित करने की प्रक्रिया में, क्यूएस संकेतकों के अंतर्संबंधों को प्रकट करना आवश्यक है, जो कि उनकी मूल संबद्धता के अनुसार, दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: पहला सी आईओ को संभालने की लागत से संबंधित है, जो द्वारा निर्धारित किया जाता है चैनलों के रखरखाव द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की संख्या, क्यूएस को बनाए रखने की लागत, सेवा की तीव्रता, चैनलों की लोडिंग की डिग्री, और उनकी दक्षता। क्यूएस के थ्रूपुट का उपयोग, आदि; संकेतकों का दूसरा समूह वास्तविक अनुरोधों की लागत से निर्धारित होता है सी संयुक्त, सेवा में प्रवेश, जो आने वाले प्रवाह का निर्माण करता है, सेवा की प्रभावशीलता को महसूस करता है और कतार की लंबाई, प्रतीक्षा समय जैसे संकेतकों से जुड़ा होता है सेवा, सेवा से वंचित होने की संभावना, आवेदन के क्यूएस में रहने का समय आदि।
संकेतकों के ये समूह इस अर्थ में विरोधाभासी हैं कि एक समूह के प्रदर्शन में सुधार, उदाहरण के लिए, सेवा चैनलों (वेटर, कुक, लोडर, कैशियर) की संख्या में वृद्धि करके कतार की लंबाई या प्रतीक्षा समय को कम करना, जुड़ा हुआ है समूह के प्रदर्शन में गिरावट के साथ, क्योंकि इससे सेवा चैनलों के डाउनटाइम में वृद्धि हो सकती है, उन्हें बनाए रखने की लागत आदि। इस संबंध में, क्यूएस के निर्माण के लिए सेवा कार्यों को औपचारिक रूप देना काफी स्वाभाविक है ताकि वास्तविक अनुरोधों के संकेतकों और सिस्टम की क्षमताओं का उपयोग करने की पूर्णता के बीच एक उचित समझौता स्थापित किया जा सके। इसके लिए, क्यूएस की प्रभावशीलता का एक सामान्यीकृत, अभिन्न संकेतक चुनना आवश्यक है, जिसमें एक साथ दोनों समूहों के दावे और क्षमताएं शामिल हैं। इस तरह के एक संकेतक के रूप में, आर्थिक दक्षता का एक मानदंड चुना जा सकता है, जिसमें संचलन की लागत C io और अनुप्रयोगों C ip दोनों की लागत शामिल है, जिसका कुल लागत C. न्यूनतम के साथ एक इष्टतम मूल्य होगा। इस आधार पर, उद्देश्य समस्या का कार्य निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
С= (С आईओ + С आईपी) →मिनट
चूंकि वितरण लागतों में क्यूएस - सी पूर्व और सेवा चैनलों के डाउनटाइम - सी पीआर के संचालन से जुड़ी लागत शामिल है, और अनुरोधों की लागत में शामिल नहीं किए गए अनुरोधों के प्रस्थान से जुड़े नुकसान शामिल हैं - सी एन, और कतार में रहने के साथ - सी पीटी, फिर इन संकेतकों को निम्नलिखित तरीके से ध्यान में रखते हुए उद्देश्य फ़ंक्शन को फिर से लिखा जा सकता है:
सी \u003d ((सी पीआर एन एसवी + सी एक्स एन एच) + सी ओच आर ओब्स λ (टी ओच + टी ओब्स) + सी आर ओटीके से) → मिनट।
कार्य के आधार पर, चर, यानी प्रबंधनीय, संकेतक हो सकते हैं: सेवा चैनलों की संख्या, सेवा चैनलों का संगठन (समानांतर, क्रमिक रूप से, मिश्रित तरीके से), कतार अनुशासन, सर्विसिंग अनुप्रयोगों में प्राथमिकता, चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता , आदि। कार्य में कुछ संकेतक अप्रबंधित के रूप में प्रकट होते हैं, जो आमतौर पर स्रोत डेटा होता है। उद्देश्य फ़ंक्शन में दक्षता मानदंड के रूप में, टर्नओवर, लाभ या आय भी हो सकती है, उदाहरण के लिए, लाभप्रदता, फिर नियंत्रित क्यूएस संकेतकों के इष्टतम मूल्य स्पष्ट रूप से पहले से ही अधिकतमकरण पर हैं, जैसा कि पिछले संस्करण में है।
कुछ मामलों में, आपको ऑब्जेक्टिव फ़ंक्शन लिखने के लिए दूसरे विकल्प का उपयोग करना चाहिए:
सी \u003d (सी पूर्व एन एस + सी पीआर (एन-एन एस) + सी ओटीके * पी ओटीके *λ + सी सिस्ट * एन एस ) → मिनट
एक सामान्य मानदंड के रूप में, उदाहरण के लिए, उद्यमों में ग्राहक सेवा संस्कृति का स्तर चुना जा सकता है, फिर उद्देश्य फ़ंक्शन को निम्नलिखित मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है:
के बारे में \u003d [(जेड पु * के वाई) + (जेड पीवी * के सी) + (जेड पीडी * के डी) + (जेड पीजेड * के जेड) + (जेड बाय * के 0) + (जेड केटी * के सीटी)]*के एमपी,
जहां जेड पु - माल की श्रेणी की स्थिरता के संकेतक का महत्व;
के वाई - माल के वर्गीकरण की स्थिरता का गुणांक;
जेड पीवी - माल बेचने के प्रगतिशील तरीकों की शुरूआत के संकेतक का महत्व;
K इन - माल बेचने के प्रगतिशील तरीकों की शुरूआत का गुणांक;
Zpd - अतिरिक्त सेवा के संकेतक का महत्व;
के डी - अतिरिक्त सेवा का गुणांक;
Z pz - खरीद के पूरा होने के संकेतक का महत्व;
के एस - खरीद के पूरा होने का गुणांक;
3 पर - सेवा में प्रतीक्षा करने में लगने वाले समय के संकेतक का महत्व;
के बारे में - सेवा की प्रतीक्षा में बिताए गए समय का एक संकेतक;
kt - टीम के काम की गुणवत्ता के संकेतक का महत्व;
के केटी - टीम के काम की गुणवत्ता का गुणांक;
के एमपी - ग्राहकों की राय में सेवा की संस्कृति का संकेतक;
क्यूएस के विश्लेषण के लिए, आप क्यूएस की प्रभावशीलता के मूल्यांकन के लिए अन्य मानदंड चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, विफलताओं वाले सिस्टम के लिए इस तरह के मानदंड के रूप में, आप विफलता रेफरी की संभावना चुन सकते हैं, जिसका मूल्य पूर्व निर्धारित मूल्य से अधिक नहीं होगा। उदाहरण के लिए, आवश्यकता पी otk<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.
उद्देश्य फ़ंक्शन के निर्माण के बाद, समस्या को हल करने के लिए शर्तों को निर्धारित करना, प्रतिबंध ढूंढना, संकेतकों के प्रारंभिक मूल्यों को निर्धारित करना, अप्रबंधित संकेतकों को उजागर करना, विश्लेषण के लिए सभी संकेतकों के संबंध के मॉडल का एक सेट बनाना या चुनना आवश्यक है। क्यूएस का प्रकार, अंततः नियंत्रित संकेतकों के इष्टतम मूल्यों को खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, रसोइयों, वेटरों, कैशियर, लोडर, भंडारण सुविधाओं की मात्रा आदि की संख्या।
अध्याय तृतीय . कतार प्रणाली के मॉडल
3.1 सेवा से इनकार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस
आइए हम सेवा के इनकार के साथ एक साधारण सिंगल-चैनल क्यूएस का विश्लेषण करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है, और सेवा तीव्रता μ के साथ पॉइसन प्रवाह की कार्रवाई के तहत होती है।
एकल-चैनल QS n=1 के संचालन को एक लेबल वाले राज्य ग्राफ (3.1) के रूप में दर्शाया जा सकता है।
एक राज्य एस 0 से दूसरे एस 1 में क्यूएस संक्रमण तीव्रता के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह की कार्रवाई के तहत होता है, और रिवर्स संक्रमण तीव्रता μ के साथ सेवा प्रवाह की कार्रवाई के तहत होता है।
| S0 |
| एस 1 |
एस 0 - सर्विस चैनल मुफ्त है; एस 1 - चैनल सर्विसिंग में व्यस्त है;
चावल। 3.1 एकल-चैनल QS का लेबल किया गया राज्य ग्राफ
आइए हम उपरोक्त नियमों के अनुसार राज्य की संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की प्रणाली लिखें:
जहां से हम राज्य एस 0 की संभावना पी 0 (टी) निर्धारित करने के लिए अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं:
इस समीकरण को प्रारंभिक स्थितियों के तहत इस धारणा के तहत हल किया जा सकता है कि सिस्टम इस समय t=0 राज्य S 0 में था, फिर р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.
इस मामले में, अंतर समीकरण समाधान आपको इस संभावना को निर्धारित करने की अनुमति देता है कि चैनल मुक्त है और सेवा में व्यस्त नहीं है:
तब चैनल के व्यस्त होने की प्रायिकता निर्धारित करने की प्रायिकता के लिए व्यंजक प्राप्त करना कठिन नहीं है:
प्रायिकता p 0 (t) समय के साथ घटती जाती है और सीमा में t→∞ के मान की ओर झुकाव होता है
और संभावना पी 1 (टी) एक ही समय में 0 से बढ़ जाती है, सीमा में टी → के रूप में मूल्य के लिए प्रवृत्ति होती है
ये संभाव्यता सीमाएं कोलमोगोरोव समीकरणों से सीधे शर्त के तहत प्राप्त की जा सकती हैं
फ़ंक्शन पी 0 (टी) और पी 1 (टी) एकल-चैनल क्यूएस में क्षणिक प्रक्रिया का निर्धारण करते हैं और क्यूएस के घातीय सन्निकटन की प्रक्रिया का वर्णन इसकी सीमा स्थिति में करते हैं, जिसमें विचाराधीन सिस्टम की समय निरंतर विशेषता होती है।
अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ, हम मान सकते हैं कि क्यूएस में क्षणिक प्रक्रिया 3τ के बराबर समय के भीतर समाप्त हो जाती है।
संभाव्यता पी 0 (टी) क्यूएस के सापेक्ष थ्रूपुट को निर्धारित करता है, जो आने वाले अनुरोधों की कुल संख्या के संबंध में सर्विस्ड अनुरोधों का अनुपात निर्धारित करता है, प्रति यूनिट समय।
दरअसल, पी 0 (टी) संभावना है कि समय टी पर आने वाला अनुरोध सेवा के लिए स्वीकार किया जाएगा। कुल मिलाकर, λ अनुरोध औसतन प्रति यूनिट समय पर आते हैं, और λр 0 अनुरोध उनसे सेवित होते हैं।
फिर अनुरोधों के पूरे प्रवाह के संबंध में सेवित अनुरोधों का हिस्सा मूल्य द्वारा निर्धारित किया जाता है
t→∞ की सीमा में, लगभग पहले से ही t>3τ पर, सापेक्ष क्षमता का मान बराबर होगा
निरपेक्ष थ्रूपुट, जो t→∞ की सीमा में समय की प्रति इकाई समय पर दिए गए अनुरोधों की संख्या निर्धारित करता है, इसके बराबर है:
तदनुसार, अस्वीकार किए गए आवेदनों का हिस्सा समान सीमित शर्तों के तहत है:
एक कुल गणनाअसेवित अनुरोध
सेवा से इनकार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस के उदाहरण हैं: स्टोर में ऑर्डर डेस्क, ट्रकिंग कंपनी का नियंत्रण कक्ष, गोदाम कार्यालय, एक वाणिज्यिक कंपनी का प्रबंधन कार्यालय, जिसके साथ टेलीफोन द्वारा संचार स्थापित किया जाता है।
3.2 मल्टीचैनल क्यूएस सेवा से इनकार के साथ
वाणिज्यिक गतिविधियों में, मल्टी-चैनल सीएमओ के उदाहरण कई टेलीफोन चैनलों के साथ वाणिज्यिक उद्यमों के कार्यालय हैं, मॉस्को में ऑटो स्टोर में सबसे सस्ती कारों की उपलब्धता के लिए एक मुफ्त संदर्भ सेवा में 7 टेलीफोन नंबर हैं, और, जैसा कि आप जानते हैं, यह बहुत है के माध्यम से प्राप्त करना और सहायता प्राप्त करना मुश्किल है।
नतीजतन, ऑटो की दुकानें ग्राहकों को खो रही हैं, बेची गई कारों की संख्या और बिक्री राजस्व, कारोबार, लाभ बढ़ाने का अवसर।
टूरिस्ट टूर कंपनियों के पास एक्सप्रेस-लाइन जैसे दो, तीन, चार या अधिक चैनल हैं।
अंजीर में सेवा से इनकार के साथ एक मल्टीचैनल QS पर विचार करें। 3.2, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है ।
| S0 |
| एस 1 |
| एस को |
| एस नहीं |
μ 2μkμ (k+1)μ nμ
चावल। 3.2. विफलताओं के साथ एक मल्टीचैनल QS का लेबल किया गया राज्य ग्राफ़
प्रत्येक चैनल में सेवा प्रवाह की तीव्रता μ होती है। QS अनुप्रयोगों की संख्या के अनुसार, इसकी अवस्थाएँ S k निर्धारित की जाती हैं, जिन्हें लेबल किए गए ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है:
एस 0 - सभी चैनल मुफ्त हैं k=0,
एस 1 - केवल एक चैनल पर कब्जा है, के = 1,
एस 2 - केवल दो चैनलों का कब्जा है, के = 2,
S k - k चैनल व्यस्त हैं,
एस एन - सभी एन चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, के = एन।
एक मल्टीचैनल QS की अवस्थाएँ यादृच्छिक समय पर अचानक बदल जाती हैं। एक राज्य से संक्रमण, उदाहरण के लिए, एस 0 से एस 1, तीव्रता के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के प्रभाव में होता है, और इसके विपरीत - तीव्रता μ के साथ सर्विसिंग अनुरोधों के प्रवाह के प्रभाव में होता है। राज्य S k से S k -1 तक प्रणाली के संक्रमण के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा चैनल जारी किया जाना है, इसलिए, QS को स्थानांतरित करने वाली घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता kμ है, इसलिए, घटनाओं की धारा जो सिस्टम को S n से S n -1 में स्थानांतरित करता है, इसकी तीव्रता nμ है। इस तरह से शास्त्रीय एरलांग समस्या तैयार की जाती है, जिसका नाम डेनिश इंजीनियर और गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने कतार के सिद्धांत की स्थापना की थी।
क्यूएस में होने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया "जन्म-मृत्यु" प्रक्रिया का एक विशेष मामला है और इसे एरलांग अंतर समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो किसी को विचाराधीन प्रणाली की स्थिति की सीमित संभावनाओं के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने की अनुमति देता है, जिसे कहा जाता है एरलांग सूत्र:
.
विफलताओं के साथ n-चैनल QS के राज्यों की सभी संभावनाओं की गणना करने के बाद р 0 , р 1 , р 2 , …,р k ,…, р n , हम सेवा प्रणाली की विशेषताओं का पता लगा सकते हैं।
सेवा से इनकार करने की संभावना इस संभावना से निर्धारित होती है कि आने वाले सेवा अनुरोध सभी n चैनलों को व्यस्त पाएंगे, सिस्टम S n स्थिति में होगा:
के = एन।
विफलताओं, विफलता और रखरखाव की घटनाओं वाले सिस्टम में घटनाओं का एक पूरा समूह होता है, इसलिए
आर ओटीके + आर ओब्स \u003d 1
इस आधार पर, सापेक्ष थ्रूपुट सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
क्यू \u003d पी ओब्स \u003d 1-आर ओटीके \u003d 1-आर एन
QS का निरपेक्ष थ्रूपुट सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है
सेवा की संभावना, या सेवित अनुरोधों का अनुपात, क्यूएस के सापेक्ष थ्रूपुट को निर्धारित करता है, जिसे किसी अन्य सूत्र द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है:
इस अभिव्यक्ति से, आप सेवा के तहत आवेदनों की औसत संख्या निर्धारित कर सकते हैं, या, वही क्या है, सर्विसिंग द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या
चैनल अधिभोग दर व्यस्त चैनलों की औसत संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात से निर्धारित होती है
चैनलों की सेवा में व्यस्त होने की संभावना, जो औसत व्यस्त समय टी व्यस्त और डाउनटाइम टी पीआर चैनलों को ध्यान में रखती है, निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:
इस अभिव्यक्ति से, आप चैनलों का औसत निष्क्रिय समय निर्धारित कर सकते हैं
स्थिर अवस्था में सिस्टम में आवेदन का औसत निवास समय लिटिल के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
टी सीएमओ \u003d एन सी / ।
3.3 बहु-चरण पर्यटन सेवा प्रणाली का मॉडल
वास्तविक जीवन में, पर्यटक सेवा प्रणाली बहुत अधिक जटिल दिखती है, इसलिए ग्राहकों और ट्रैवल एजेंसियों दोनों के अनुरोधों और आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए समस्या विवरण का विस्तार करना आवश्यक है।
ट्रैवल एजेंसी की दक्षता बढ़ाने के लिए, ऑपरेशन की शुरुआत से लेकर उसके पूरा होने तक संभावित ग्राहक के व्यवहार को समग्र रूप से मॉडल करना आवश्यक है। मुख्य क्यूइंग सिस्टम की इंटरकनेक्शन संरचना में वास्तव में विभिन्न प्रकार के क्यूएस होते हैं (चित्र। 3.3)।
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भुगतान उड़ान पलायन
चावल। 3.3 बहु-चरण पर्यटन सेवा प्रणाली का मॉडल
छुट्टी पर जाने वाले पर्यटकों की सामूहिक सेवा की स्थिति से समस्या आराम की सही जगह (दौरे) का निर्धारण करना है, जो आवेदक की आवश्यकताओं के लिए पर्याप्त है, जो उसके स्वास्थ्य और वित्तीय क्षमताओं और सामान्य रूप से बाकी के बारे में विचारों के अनुरूप है। इसमें उन्हें ट्रैवल एजेंसियों द्वारा सहायता प्रदान की जा सकती है, जिसकी खोज आमतौर पर सीएमओ आर के विज्ञापन संदेशों से की जाती है, फिर कंपनी चुनने के बाद, सीएमओ टी के फोन पर परामर्श प्राप्त होता है, संतोषजनक बातचीत के बाद, आगमन पर ट्रैवल एजेंसी और संदर्भ के साथ व्यक्तिगत रूप से अधिक विस्तृत परामर्श प्राप्त करना, फिर दौरे के लिए भुगतान करना और उड़ान सीएमओ ए के लिए एयरलाइन से सेवाएं प्राप्त करना और अंततः होटल सीएमओ 0 पर सेवा प्राप्त करना। कंपनी के क्यूएस के काम में सुधार के लिए सिफारिशों का और विकास टेलीफोन द्वारा ग्राहकों के साथ बातचीत की पेशेवर सामग्री में बदलाव से जुड़ा है। ऐसा करने के लिए, ग्राहकों के साथ संदर्भ के संवाद के विवरण से संबंधित विश्लेषण को गहरा करना आवश्यक है, क्योंकि प्रत्येक टेलीफोन बातचीत वाउचर की खरीद के लिए एक समझौते के निष्कर्ष की ओर नहीं ले जाती है। रखरखाव कार्य की औपचारिकता ने व्यावसायिक लेनदेन के विषय की विशेषताओं और उनके सटीक मूल्यों की एक पूर्ण (आवश्यक और पर्याप्त) सूची बनाने की आवश्यकता का संकेत दिया। फिर इन विशेषताओं को क्रमबद्ध किया जाता है, उदाहरण के लिए, युग्मित तुलनाओं की विधि द्वारा, और उनके महत्व की डिग्री के अनुसार एक संवाद में व्यवस्थित किया जाता है, उदाहरण के लिए: मौसम (सर्दी), महीना (जनवरी), जलवायु (शुष्क), हवा का तापमान (+ 25 "सी), आर्द्रता (40%), भौगोलिक स्थिति (भूमध्य रेखा के करीब), उड़ान समय (5 घंटे तक), स्थानांतरण, देश (मिस्र), शहर (हर्गडा), समुद्र (लाल), समुद्र के पानी का तापमान ( +23 डिग्री सेल्सियस), होटल रैंक (4 सितारे, काम कर रहे एयर कंडीशनिंग, कमरे में शैम्पू गारंटी), समुद्र से दूरी (300 मीटर तक), दुकानों से दूरी (आस-पास), डिस्को और शोर के अन्य स्रोतों से दूरी ( दूर, होटल में नींद के दौरान मौन), भोजन (स्वीडिश टेबल - नाश्ता, रात का खाना, प्रति सप्ताह मेनू परिवर्तन की आवृत्ति), होटल (प्रिंस, मार्लिन-इन, ऑवर-पैलेस), भ्रमण (काहिरा, लक्सर, प्रवाल द्वीप, स्कूबा) डाइविंग), मनोरंजन शो, खेलकूद के खेल, दौरे की कीमत, भुगतान का प्रकार , बीमा सामग्री, अपने साथ क्या ले जाना है, मौके पर क्या खरीदना है, गारंटी, दंड।
एक और बहुत महत्वपूर्ण संकेतक है जो क्लाइंट के लिए फायदेमंद है, जिसे संक्षारक पाठक द्वारा स्वतंत्र रूप से स्थापित करने का प्रस्ताव है। फिर, सूचीबद्ध विशेषताओं x i की जोड़ीदार तुलना की विधि का उपयोग करके, आप एक तुलना मैट्रिक्स n x p बना सकते हैं, जिसके तत्व निम्नलिखित नियम के अनुसार क्रमिक रूप से पंक्तियों में भरे जाते हैं:
0 यदि विशेषता कम महत्वपूर्ण है,
और ij = 1, यदि विशेषता समतुल्य है,
2 यदि विशेषता हावी है।
उसके बाद, लाइन S i =∑a ij के प्रत्येक संकेतक के लिए आकलन के योग के मूल्य, प्रत्येक विशेषता का वजन M i = S i /n 2 और, तदनुसार, अभिन्न मानदंड निर्धारित किए जाते हैं, जिसके आधार पर सूत्र के अनुसार किसी ट्रेवल एजेंसी, टूर या होटल का चयन करना संभव है
एफ = ∑ एम आई * एक्स आई -» मैक्स।
इस प्रक्रिया में संभावित त्रुटियों को खत्म करने के लिए, उदाहरण के लिए, 5-पॉइंट रेटिंग स्केल को विशेषताओं के एक ग्रेडेशन के साथ पेश किया जाता है बी i (x i) सिद्धांत के अनुसार बदतर (बी i = 1 अंक) - बेहतर (बी i = 5) अंक)। उदाहरण के लिए, दौरा जितना महंगा होगा, उतना ही बुरा, सस्ता होगा, बेहतर होगा। इसके आधार पर, उद्देश्य फ़ंक्शन का एक अलग रूप होगा:
एफ बी = ∑ एम आई * बी आई * एक्स आई -> मैक्स।
इस प्रकार, गणितीय विधियों और मॉडलों के अनुप्रयोग के आधार पर, औपचारिकता के लाभों का उपयोग करते हुए, समस्या विवरण को अधिक सटीक और अधिक निष्पक्ष रूप से तैयार करना और लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए व्यावसायिक गतिविधियों में QS प्रदर्शन में उल्लेखनीय सुधार करना संभव है।
3.4 सिंगल-चैनल क्यूएस सीमित कतार लंबाई के साथ
व्यावसायिक गतिविधियों में, प्रतीक्षा के साथ QS (कतार) अधिक सामान्य हैं।
एक सीमित कतार के साथ एक साधारण एकल-चैनल QS पर विचार करें, जिसमें कतार में स्थानों की संख्या m एक निश्चित मान है। नतीजतन, एक आवेदन जो उस समय आता है जब कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है, सेवा के लिए स्वीकार नहीं किया जाता है, कतार में प्रवेश नहीं करता है, और सिस्टम छोड़ देता है।
इस क्यूएस का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3.4 और अंजीर में दिए गए ग्राफ के साथ मेल खाता है। 2.1 "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रिया का वर्णन करते हुए, इस अंतर के साथ कि केवल एक चैनल की उपस्थिति में।
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μ μμμ... μ
चावल। 3.4. सेवा के "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रिया का अंकित ग्राफ, सेवा प्रवाह की सभी तीव्रताएँ समान हैं
क्यूएस राज्यों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
एस0 - सर्विस चैनल फ्री है,
एस, - सेवा चैनल व्यस्त है, लेकिन कतार नहीं है,
एस 2 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में एक अनुरोध है,
एस 3 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में दो अनुरोध हैं,
एस एम +1 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में सभी एम स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है, कोई भी अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया गया है।
क्यूएस की यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए, पहले बताए गए नियमों और सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है। आइए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं को परिभाषित करने वाले व्यंजक लिखें:
पी 1 = * ओ
पी 2 \u003d 2 * 0
पी के =ρ के * 0
पी एम+1 = पी एम=1 * 0
पी0 = -1
पी 0 के लिए अभिव्यक्ति इस मामले में और अधिक सरलता से लिखी जा सकती है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि पी के संबंध में हर एक ज्यामितीय प्रगति है, फिर उपयुक्त परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है:
ρ= (1- ρ )
यह सूत्र 1 के अलावा सभी p के लिए मान्य है, लेकिन यदि p = 1 है, तो p 0 = 1/(m + 2), और अन्य सभी संभावनाएं भी 1/(m + 2) के बराबर हैं। यदि हम m = 0 मान लेते हैं, तो हम सेवा के इनकार के साथ पहले से ही माने गए सिंगल-चैनल QS की प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS के विचार से गुजरते हैं। वास्तव में, स्थिति m = 0 में सीमांत प्रायिकता p 0 के लिए व्यंजक का रूप है:
पी ओ \u003d μ / (λ + μ)
और = μ के मामले में इसका मान p 0 = 1/2 है।
आइए प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस की मुख्य विशेषताओं को परिभाषित करें: सापेक्ष और पूर्ण थ्रूपुट, विफलता की संभावना, साथ ही औसत कतार लंबाई और कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय।
अनुरोध को अस्वीकार कर दिया जाता है यदि यह उस समय आता है जब क्यूएस पहले से ही राज्य एस एम +1 में है और, परिणामस्वरूप, कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है और एक चैनल कार्य करता है। इसलिए, विफलता की संभावना की संभावना से निर्धारित होता है दिखावट
राज्य एस एम +1:
पी ओपन \u003d पी एम +1 \u003d एम +1 * पी 0
सापेक्ष थ्रूपुट, या समय की प्रति यूनिट आने वाले सेवित अनुरोधों का अनुपात, अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है
क्यू \u003d 1- पी ओटीके \u003d 1- एम+1 * पी 0
निरपेक्ष बैंडविड्थ है:
सेवा के लिए आवेदनों की औसत संख्या एल ओच क्यूइंग एक यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से निर्धारित होती है - कतार में आवेदनों की संख्या
यादृच्छिक चर k निम्नलिखित केवल पूर्णांक मान लेता है:
1 - कतार में एक आवेदन है,
2 - कतार में दो आवेदन हैं,
t-कतार में सभी स्थानों पर कब्जा है
इन मूल्यों की संभावनाएं राज्य एस 2 से शुरू होने वाली संबंधित राज्य संभावनाओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं। असतत यादृच्छिक चर k का वितरण नियम निम्नानुसार दर्शाया गया है:
| क | 1 | 2 | एम |
| अनुकरणीय | p2 | पी 3 | पी एम+1 |
इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है:
एल पीटी = 1* पी 2 +2* पी 3 +...+ एम* पी एम +1
पर सामान्य मामलापी 1 के लिए, इस योग को ज्यामितीय प्रगति मॉडल का उपयोग करके अधिक सुविधाजनक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:
एल ओच \u003d पी 2 * 1- पी एम * (एम-एम * पी + 1)*पी0
विशेष स्थिति में p = 1 पर, जब सभी प्रायिकताएँ p k समान हो जाती हैं, तो आप संख्या श्रृंखला के पदों के योग के लिए व्यंजक का उपयोग कर सकते हैं।
1+2+3+ मी = एम ( एम +1)
तब हमें सूत्र मिलता है
एल 'ओच = एम (एम + 1)* पी 0 = एम (एम + 1)(पी = 1)।
समान तर्क और परिवर्तनों को लागू करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि अनुरोध और कतार की सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है
टी ओच \u003d एल ओच / ए (पी 1 पर) और टी 1 ओच \u003d एल 'ओच / ए (पी \u003d 1 पर)।
ऐसा परिणाम, जब यह पता चलता है कि och ~ 1/ , अजीब लग सकता है: अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता में वृद्धि के साथ, ऐसा लगता है कि कतार की लंबाई बढ़नी चाहिए और औसत प्रतीक्षा समय कम होना चाहिए। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि, सबसे पहले, एल ओच का मान λ और μ का एक कार्य है और दूसरा, विचाराधीन क्यूएस की सीमित कतार लंबाई एम अनुप्रयोगों से अधिक नहीं है।
एक अनुरोध जो क्यूएस पर ऐसे समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, अस्वीकार कर दिया जाता है, और, परिणामस्वरूप, क्यूएस में इसका "प्रतीक्षा" समय शून्य होता है। यह सामान्य मामले में (पी 1 के लिए) में वृद्धि के साथ ओच में कमी की ओर जाता है, क्योंकि ऐसे अनुप्रयोगों का अनुपात λ में वृद्धि के साथ बढ़ता है।
यदि हम कतार की लंबाई पर प्रतिबंध को छोड़ देते हैं, अर्थात। प्रवृत्ति m-> →∞, फिर मामले p< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
पी के =पी के *(1 - पी)
पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए, प्रायिकता p k शून्य हो जाती है। इसलिए, सापेक्ष थ्रूपुट क्यू = 1 होगा, और पूर्ण थ्रूपुट ए -λ क्यू - के बराबर होगा, इसलिए, आने वाले सभी अनुरोधों को सेवित किया जाता है, और औसत कतार की लंबाई बराबर होगी:
एल ओच = पी 2 1-पी
और लिटिल के सूत्र के अनुसार औसत प्रतीक्षा समय
टी ओच \u003d एल ओच / ए
सीमा पी . में<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.
क्यूएस की विशेषताओं में से एक के रूप में, क्यूएस में एक आवेदन के रहने के औसत समय Tsmo का उपयोग किया जाता है, जिसमें कतार में बिताया गया औसत समय और औसत सेवा समय शामिल है। इस मान की गणना लिटिल के सूत्रों द्वारा की जाती है: यदि कतार की लंबाई सीमित है, तो कतार में आवेदनों की औसत संख्या बराबर है:
एलसीएम = एम +1 ;2
टी सीएमओ = ली एसएमओ;पी 1 . के लिए
फिर कतार प्रणाली में अनुरोध का औसत निवास समय (कतार में और सेवा के तहत दोनों) के बराबर है:
टी सीएमओ = एम +1 पी ≠1 2μ . के लिए
3.5 असीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस
वाणिज्यिक गतिविधियों में, उदाहरण के लिए, एक वाणिज्यिक निदेशक असीमित प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस है, क्योंकि वह, एक नियम के रूप में, एक अलग प्रकृति के अनुप्रयोगों की सेवा के लिए मजबूर है: दस्तावेज़, टेलीफोन वार्तालाप, अधीनस्थों के साथ बैठकें और बातचीत, के प्रतिनिधि कर निरीक्षक, पुलिस, व्यापारी, विपणक, उत्पाद आपूर्तिकर्ता और उच्च स्तर की वित्तीय जिम्मेदारी के साथ वस्तु और वित्तीय क्षेत्र में समस्याओं का समाधान करते हैं, जो अनुरोधों की अनिवार्य पूर्ति से जुड़ा होता है जो कभी-कभी अपनी आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए बेसब्री से प्रतीक्षा करते हैं, और अनुचित सेवा त्रुटियाँ आमतौर पर आर्थिक रूप से बहुत मूर्त होती हैं।
उसी समय, बिक्री (सेवा) के लिए आयात किए गए सामान, जबकि गोदाम में, सेवा (बिक्री) के लिए एक कतार बनाते हैं।
कतार की लंबाई बेची जाने वाली वस्तुओं की संख्या है। इस स्थिति में, विक्रेता सामान परोसने वाले चैनल के रूप में कार्य करते हैं। यदि बिक्री के लिए अभिप्रेत माल की मात्रा बड़ी है, तो इस मामले में हम उम्मीद के साथ QS के एक विशिष्ट मामले से निपट रहे हैं।
आइए सेवा प्रतीक्षा के साथ सबसे सरल एकल-चैनल QS पर विचार करें, जो तीव्रता λ और सेवा तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है।
इसके अलावा, उस समय प्राप्त अनुरोध जब चैनल सर्विसिंग में व्यस्त है, कतारबद्ध है और सर्विसिंग की प्रतीक्षा कर रहा है।
ऐसी प्रणाली का नामांकित राज्य ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3.5
इसकी संभावित अवस्थाओं की संख्या अनंत है:
चैनल मुफ़्त है, कोई कतार नहीं है;
चैनल सेवा में व्यस्त है, कोई कतार नहीं है;
चैनल व्यस्त है, एक अनुरोध कतार में है;
चैनल व्यस्त है, आवेदन कतार में है।
एक असीमित कतार के साथ एक क्यूएस के राज्यों की संभावना का अनुमान लगाने के लिए मॉडल एक क्यूएस के लिए अलग-अलग सूत्रों से प्राप्त किया जा सकता है जिसमें असीमित कतार के साथ एम → के रूप में सीमा को पारित किया जा सकता है:
चावल। 3.5 असीमित कतार के साथ एकल-चैनल QS की अवस्थाओं का ग्राफ़।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यूएस के लिए सूत्र में सीमित कतार लंबाई के साथ
पहले पद 1 और हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है। ऐसा क्रम अनंत संख्या में पदों का योग है। यह योग तब अभिसरण करता है जब प्रगति, अनंत रूप से घटती है, जो कि क्यूएस के स्थिर-राज्य संचालन को निर्धारित करती है, साथ में, कतार समय के साथ अनंत तक बढ़ सकती है।
चूंकि विचाराधीन क्यूएस में कतार की लंबाई की कोई सीमा नहीं है, इसलिए किसी भी अनुरोध को पूरा किया जा सकता है, इसलिए, क्रमशः सापेक्ष थ्रूपुट, और निरपेक्ष थ्रूपुट
k अनुप्रयोगों के लिए कतार में होने की संभावना के बराबर है:
;
कतार में आवेदनों की औसत संख्या -
सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या -
;
सिस्टम में एक आवेदन का औसत निवास समय -
;
सिस्टम के साथ आवेदन का औसत निवास समय -
.
यदि प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS में, अनुरोधों की प्राप्ति की तीव्रता सेवा की तीव्रता से अधिक है, तो कतार लगातार बढ़ेगी। इस संबंध में, सबसे बड़ी दिलचस्पी स्थिर क्यूएस का विश्लेषण है जो स्थिर मोड में चल रहा है।
3.6 मल्टीचैनल क्यूएस सीमित कतार लंबाई के साथ
एक मल्टी-चैनल QS पर विचार करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है, और प्रत्येक चैनल की सेवा तीव्रता है, कतार में स्थानों की अधिकतम संभव संख्या मी द्वारा सीमित है। क्यूएस की असतत अवस्थाएं सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों की संख्या से निर्धारित होती हैं, जिन्हें रिकॉर्ड किया जा सकता है।
सभी चैनल मुफ़्त हैं, ;
केवल एक चैनल पर कब्जा है (कोई भी), ;
केवल दो चैनलों पर कब्जा है (कोई भी), ;
सभी चैनल व्यस्त हैं।
जबकि क्यूएस इनमें से किसी भी राज्य में है, वहां कोई कतार नहीं है। सभी सेवा चैनल व्यस्त होने के बाद, बाद के अनुरोध एक कतार बनाते हैं, जिससे सिस्टम की आगे की स्थिति का निर्धारण होता है:
सभी चैनल व्यस्त हैं और एक आवेदन कतार में है,
सभी चैनल व्यस्त हैं और दो आवेदन कतार में हैं,
सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है और कतार में सभी जगहों पर कब्जा कर लिया गया है,
चित्र 3.6 . में m स्थानों तक सीमित कतार के साथ n-चैनल QS की अवस्थाओं का आलेख
चावल। 3.6 एक n-चैनल QS का राज्य ग्राफ, कतार की लंबाई m . पर एक सीमा के साथ
क्यूएस का उच्च संख्या वाले राज्य में संक्रमण तीव्रता के साथ आने वाले अनुरोधों के प्रवाह द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि, शर्त के अनुसार, इन अनुरोधों को समान चैनलों द्वारा प्रत्येक चैनल के लिए समान सेवा प्रवाह दर के साथ सेवित किया जाता है। इस मामले में, नए चैनलों के कनेक्शन के साथ सेवा प्रवाह की कुल तीव्रता ऐसी स्थिति तक बढ़ जाती है जब सभी n चैनल व्यस्त होते हैं। कतार के आगमन के साथ, सेवा की तीव्रता और अधिक बढ़ जाती है, क्योंकि यह पहले से ही अपने अधिकतम मूल्य के बराबर पहुंच चुकी है।
आइए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं के लिए व्यंजक लिखें:
हर के साथ पदों के योग के लिए ज्यामितीय प्रगति सूत्र का उपयोग करके के लिए अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जा सकता है:
एक कतार का गठन संभव है जब एक नया प्राप्त अनुरोध सिस्टम में आवश्यकताओं से कम नहीं पाता है, अर्थात। जब सिस्टम में आवश्यकताएं होंगी। ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए सभी चैनलों के व्यस्त होने की प्रायिकता संबंधित प्रायिकताओं के योग के बराबर है। इसलिए, एक कतार बनने की प्रायिकता है:
सेवा से वंचित होने की संभावना तब होती है जब सभी चैनल और कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है:
सापेक्ष थ्रूपुट के बराबर होगा:
पूर्ण बैंडविड्थ -
व्यस्त चैनलों की औसत संख्या -
निष्क्रिय चैनलों की औसत संख्या -
चैनलों का ऑक्यूपेंसी (उपयोग) गुणांक -
चैनल निष्क्रिय अनुपात -
कतारों में आवेदनों की औसत संख्या -
यदि , यह सूत्र भिन्न रूप धारण कर लेता है -
एक कतार में औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा दिया जाता है -
क्यूएस में एक आवेदन का औसत निवास समय, एकल-चैनल क्यूएस के लिए, कतार में औसत प्रतीक्षा समय से औसत सेवा समय के बराबर है, क्योंकि आवेदन हमेशा केवल एक चैनल द्वारा परोसा जाता है:
3.7 असीमित कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस
आइए हम प्रतीक्षा के साथ एक मल्टी-चैनल क्यूएस और कतार की असीमित लंबाई पर विचार करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है और जिसमें प्रत्येक चैनल की सेवा तीव्रता होती है। नामांकित अवस्था ग्राफ चित्र 3.7 में दिखाया गया है। इसमें अनंत अवस्थाएँ हैं:
एस - सभी चैनल मुफ्त हैं, के = 0;
एस - एक चैनल पर कब्जा कर लिया गया है, बाकी मुफ्त हैं, के = 1;
एस - दो चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, बाकी मुफ्त हैं, के = 2;
एस - सभी एन चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, के = एन, कोई कतार नहीं है;
S - सभी n चैनल व्यस्त हैं, एक अनुरोध कतार में है, k=n+1,
S - सभी n चैनल व्यस्त हैं, r अनुरोध कतार में हैं, k=n+r,
जब हम m की सीमा से गुजरते हैं तो हम सीमित कतार वाले मल्टीचैनल QS के सूत्रों से राज्यों की प्रायिकता प्राप्त करते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पी के लिए अभिव्यक्ति में ज्यामितीय प्रगति का योग लोड स्तर p/n>1 पर विचलन करता है, कतार अनिश्चित काल तक बढ़ेगी, और पी/एन पर<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.
कोई कतार नहीं
| … | … |
Fig.3.7 मल्टीचैनल QS . का लेबल किया गया राज्य ग्राफ
असीमित कतार के साथ
जिसके लिए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं के लिए व्यंजक परिभाषित करते हैं:
चूंकि ऐसी प्रणालियों में सेवा से इनकार नहीं किया जा सकता है, थ्रूपुट विशेषताएं हैं:
कतार में आवेदनों की औसत संख्या -
कतार में औसत प्रतीक्षा समय
सीएमओ में आवेदनों की औसत संख्या -
संभावना है कि क्यूएस राज्य में है जब कोई अनुरोध नहीं है और कोई चैनल पर कब्जा नहीं है अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है
यह संभावना सर्विस चैनल डाउनटाइम का औसत अंश निर्धारित करती है। k अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त होने की संभावना है
इस आधार पर, सभी चैनलों के सेवा में व्यस्त होने की संभावना या समय का अनुपात निर्धारित करना संभव है
यदि सभी चैनल पहले से ही सेवा के कब्जे में हैं, तो राज्य की संभावना अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है
कतार में होने की संभावना पहले से ही सेवा में व्यस्त सभी चैनलों को खोजने की संभावना के बराबर है
कतार में और सेवा की प्रतीक्षा में अनुरोधों की औसत संख्या इसके बराबर है:
लिटल के सूत्र के अनुसार कतार में आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय: और सिस्टम में
सेवा द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या:
मुफ़्त चैनलों की औसत संख्या:
सेवा चैनल अधिभोग दर:
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि पैरामीटर इनपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री की विशेषता है, उदाहरण के लिए, स्टोर में ग्राहक सेवा प्रवाह की तीव्रता के साथ। सेवा प्रक्रिया स्थिर होगी यदि, हालांकि, औसत कतार की लंबाई और ग्राहकों के लिए सेवा शुरू करने के लिए औसत प्रतीक्षा समय सिस्टम में बढ़ जाएगा और इसलिए, क्यूएस अस्थिर रूप से काम करेगा।
3.8 सुपरमार्केट कतार प्रणाली विश्लेषण
व्यावसायिक गतिविधि के महत्वपूर्ण कार्यों में से एक बड़े पैमाने पर सेवा की व्यापार और तकनीकी प्रक्रिया का तर्कसंगत संगठन है, उदाहरण के लिए, एक सुपरमार्केट में। विशेष रूप से, किसी व्यापारिक उद्यम के रोकड़ बिंदु की क्षमता का निर्धारण करना कोई आसान कार्य नहीं है। इस तरह के आर्थिक और संगठनात्मक संकेतक जैसे खुदरा स्थान के प्रति 1 मीटर 2 टर्नओवर का भार, उद्यम का थ्रूपुट, स्टोर में ग्राहकों द्वारा बिताया गया समय, साथ ही ट्रेडिंग फ्लोर के तकनीकी समाधान के स्तर के संकेतक: कैश नोड के थ्रूपुट द्वारा निर्धारित कई मामलों में स्वयं-सेवा क्षेत्रों और निपटान नोड के क्षेत्रों का अनुपात, स्थापना और प्रदर्शनी क्षेत्रों के गुणांक। इस मामले में, सेवा के दो क्षेत्रों (चरणों) का थ्रूपुट: स्वयं सेवा क्षेत्र और निपटान नोड का क्षेत्र (चित्र। 4.1)।
| सीएमओ | सीएमओ |
खरीदारों के इनपुट प्रवाह की तीव्रता;
स्व-सेवा क्षेत्र के खरीदारों के आगमन की तीव्रता;
निपटान नोड में खरीदारों के आगमन की तीव्रता;
सेवा के प्रवाह की तीव्रता।
चित्र 4.1. सुपरमार्केट ट्रेडिंग फ्लोर के दो चरण के सीएमओ का मॉडल
सेटलमेंट नोड का मुख्य कार्य ट्रेडिंग फ्लोर में ग्राहकों का उच्च थ्रूपुट प्रदान करना और एक आरामदायक ग्राहक सेवा बनाना है। निपटान नोड के थ्रूपुट को प्रभावित करने वाले कारकों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है:
1) आर्थिक और संगठनात्मक कारक: सुपरमार्केट में दायित्व की प्रणाली; एक खरीद की औसत लागत और संरचना;
2) नकद बिंदु की संगठनात्मक संरचना;
3) तकनीकी और तकनीकी कारक: प्रयुक्त प्रकार के कैश रजिस्टर और कैश बूथ; नियंत्रक-खजांची द्वारा उपयोग की जाने वाली ग्राहक सेवा तकनीक; ग्राहक प्रवाह की तीव्रता के नकदी बिंदु की क्षमता का अनुपालन।
कारकों के इन समूहों में से, सबसे बड़ा प्रभाव कैश रजिस्टर की संगठनात्मक संरचना और ग्राहक प्रवाह की तीव्रता के साथ कैश रजिस्टर की क्षमता के अनुपालन पर पड़ता है।
सेवा प्रणाली के दोनों चरणों पर विचार करें:
1) स्व-सेवा क्षेत्र में खरीदारों द्वारा माल की पसंद;
2) निपटान नोड के क्षेत्र में ग्राहक सेवा। खरीदारों का आने वाला प्रवाह स्वयं-सेवा चरण में प्रवेश करता है, और खरीदार स्वतंत्र रूप से अपनी जरूरत की कमोडिटी इकाइयों का चयन करता है, जिससे उन्हें एक ही खरीद में बनाया जाता है। इसके अलावा, इस चरण का समय इस बात पर निर्भर करता है कि कमोडिटी ज़ोन परस्पर कैसे स्थित हैं, उनके पास किस तरह का मोर्चा है, खरीदार किसी विशेष उत्पाद को चुनने में कितना समय लगाता है, खरीद की संरचना क्या है, आदि।
स्वयं-सेवा क्षेत्र से ग्राहकों का आउटगोइंग प्रवाह एक साथ कैश पॉइंट क्षेत्र में आने वाला प्रवाह है, जिसमें क्रमिक रूप से कतार में ग्राहक की प्रतीक्षा करना और फिर नियंत्रक-कैशियर द्वारा उसकी सेवा करना शामिल है। चेकआउट नोड को नुकसान के साथ एक कतार प्रणाली के रूप में या प्रतीक्षा के साथ एक कतार प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।
हालाँकि, न तो पहली और न ही दूसरी मानी जाने वाली प्रणालियाँ निम्नलिखित कारणों से सुपरमार्केट के चेकआउट काउंटर पर सेवा प्रक्रिया का वास्तव में वर्णन करना संभव बनाती हैं:
पहले संस्करण में, कैश रजिस्टर, जिसकी क्षमता को नुकसान वाले सिस्टम के लिए डिज़ाइन किया जाएगा, के लिए कैशियर नियंत्रकों के रखरखाव के लिए महत्वपूर्ण पूंजी निवेश और वर्तमान लागत दोनों की आवश्यकता होती है;
दूसरे संस्करण में, चेकआउट नोड, जिसकी क्षमता उम्मीदों के साथ एक सिस्टम के लिए डिज़ाइन की जाएगी, सेवा की प्रतीक्षा कर रहे ग्राहकों के लिए समय की एक बड़ी बर्बादी की ओर ले जाती है। उसी समय, पीक ऑवर्स के दौरान, निपटान नोड का क्षेत्र "अतिप्रवाह" और खरीदारों की कतार स्वयं-सेवा क्षेत्र में "बहती है", जो अन्य खरीदारों द्वारा माल के चयन के लिए सामान्य शर्तों का उल्लंघन करती है।
इस संबंध में, सेवा के दूसरे चरण को एक सीमित कतार वाली प्रणाली के रूप में, प्रतीक्षा के साथ एक प्रणाली के बीच मध्यवर्ती और नुकसान वाली प्रणाली के रूप में विचार करने की सलाह दी जाती है। यह माना जाता है कि एक ही समय में एल से अधिक नहीं हो सकता है, और एल = एन + एम, जहां एन कैश डेस्क पर ग्राहकों की संख्या है, एम लाइन में खड़े ग्राहकों की संख्या है, और कोई भी m+1- एप्लिकेशन सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देता है।
यह स्थिति एक ओर, निपटान नोड क्षेत्र के क्षेत्र को सीमित करने की अनुमति देती है, अधिकतम स्वीकार्य कतार की लंबाई को ध्यान में रखते हुए, और दूसरी ओर, ग्राहकों द्वारा नकदी पर सेवा की प्रतीक्षा करने के समय पर एक सीमा पेश करने के लिए। बिंदु, यानी उपभोक्ता उपभोग की लागत को ध्यान में रखें।
इस रूप में समस्या को स्थापित करने की वैधता की पुष्टि सुपरमार्केट में ग्राहक प्रवाह के सर्वेक्षणों से होती है, जिसके परिणाम तालिका में दिए गए हैं। 4.1, जिसके विश्लेषण से कैश प्वाइंट पर औसत लंबी कतार और खरीदारी नहीं करने वाले खरीदारों की संख्या के बीच घनिष्ठ संबंध का पता चला।
| खुलने का समय | हफ्ते का दिन | ||||||||
| शुक्रवार | शनिवार | रविवार | |||||||
मोड़, |
रकम खरीददारों कोई खरीदारी नहीं |
मोड़, |
रकम खरीददारों कोई खरीदारी नहीं |
मोड़, |
रकम खरीददारों कोई खरीदारी नहीं |
||||
| लोग | % | लोग | % | लोग | % | ||||
| 9 से 10 . तक | 2 | 38 | 5 | 5 | 60 | 5,4 | 7 | 64 | 4,2 |
| 10 से 11 . तक | 3 | 44 | 5,3 | 5 | 67 | 5 | 6 | 62 | 3,7 |
| 11 से 12 . तक | 3 | 54 | 6,5 | 4 | 60 | 5,8 | 7 | 121 | 8,8 |
| 12 से 13 . तक | 2 | 43 | 4,9 | 4 | 63 | 5,5 | 8 | 156 | 10 |
| 14 से 15 . तक | 2 | 48 | 5,5 | 6 | 79 | 6,7 | 7 | 125 | 6,5 |
| 15 से 16 . तक | 3 | 61 | 7,3 | 6 | 97 | 6,4 | 5 | 85 | 7,2 |
| 16 से 17 . तक | 4 | 77 | 7,1 | 8 | 140 | 9,7 | 5 | 76 | 6 |
| 17 से 18 . तक | 5 | 91 | 6,8 | 7 | 92 | 8,4 | 4 | 83 | 7,2 |
| 18 से 19 . तक | 5 | 130 | 7,3 | 6 | 88 | 5,9 | 7 | 132 | 8 |
| 19 से 20 . तक | 6 | 105 | 7,6 | 6 | 77 | 6 | |||
| 20 से 21 . तक | 6 | 58 | 7 | 5 | 39 | 4,4 | |||
| कुल | 749 | 6,5 | 862 | 6,3 | 904 | 4,5 | |||
सुपरमार्केट की चेकआउट इकाई के संचालन के संगठन में एक और महत्वपूर्ण विशेषता है, जो इसके थ्रूपुट को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है: एक्सप्रेस चेकआउट (एक या दो खरीद) की उपस्थिति। नकद सेवा के प्रकार द्वारा सुपरमार्केट में ग्राहकों के प्रवाह की संरचना के एक अध्ययन से पता चलता है कि टर्नओवर प्रवाह 12.9% (तालिका 4.2) है।
| सप्ताह के दिन | ग्राहक प्रवाह | व्यापार कारोबार | ||||
| कुल | एक्सप्रेस चेकआउट द्वारा | दैनिक प्रवाह का % | कुल | एक्सप्रेस चेकआउट द्वारा | दैनिक कारोबार का% | |
| गर्मी की अवधि | ||||||
| सोमवार | 11182 | 3856 | 34,5 | 39669,2 | 3128,39 | 7,9 |
| मंगलवार | 10207 | 1627 | 15,9 | 38526,6 | 1842,25 | 4,8 |
| बुधवार | 10175 | 2435 | 24 | 33945 | 2047,37 | 6 |
| गुरुवार | 10318 | 2202 | 21,3 | 36355,6 | 1778,9 | 4,9 |
| शुक्रवार | 11377 | 2469 | 21,7 | 43250,9 | 5572,46 | 12,9 |
| शनिवार | 10962 | 1561 | 14,2 | 39873 | 1307,62 | 3,3 |
| रविवार | 10894 | 2043 | 18,8 | 35237,6 | 1883,38 | 5,1 |
| सर्दियों की अवधि | ||||||
| सोमवार | 10269 | 1857 | 18,1 | 37121,6 | 2429,73 | 6,5 |
| मंगलवार | 10784 | 1665 | 15,4 | 38460,9 | 1950,41 | 5,1 |
| बुधवार | 11167 | 3729 | 33,4 | 39440,3 | 4912,99 | 12,49,4 |
| गुरुवार | 11521 | 2451 | 21,3 | 40000,7 | 3764,58 | 9,4 |
| शुक्रवार | 11485 | 1878 | 16,4 | 43669,5 | 2900,73 | 6,6 |
| शनिवार | 13689 | 2498 | 18,2 | 52336,9 | 4752,77 | 9,1 |
| रविवार | 13436 | 4471 | 33,3 | 47679,9 | 6051,93 | 12,7 |
सेवा प्रक्रिया के गणितीय मॉडल के अंतिम निर्माण के लिए, उपरोक्त कारकों को ध्यान में रखते हुए, यादृच्छिक चर के वितरण कार्यों के साथ-साथ ग्राहकों के आने वाले और बाहर जाने वाले प्रवाह का वर्णन करने वाली यादृच्छिक प्रक्रियाओं को निर्धारित करना आवश्यक है:
1) स्व-सेवा क्षेत्र में सामान चुनने के लिए खरीदारों के समय को वितरित करने का कार्य;
2) साधारण कैश डेस्क और एक्सप्रेस कैश डेस्क के लिए नियंत्रक-कैशियर के काम के समय को वितरित करने का कार्य;
3) सेवा के पहले चरण में ग्राहकों के आने वाले प्रवाह का वर्णन करने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया;
4) साधारण कैश डेस्क और एक्सप्रेस कैश डेस्क के लिए सेवा के दूसरे चरण में आने वाले प्रवाह का वर्णन करने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया।
कतार प्रणाली की विशेषताओं की गणना के लिए मॉडल का उपयोग करना सुविधाजनक है यदि कतार प्रणाली में अनुरोधों का आने वाला प्रवाह सबसे सरल पॉइसन प्रवाह है, और अनुरोधों का सेवा समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।
कैश नोड के क्षेत्र में ग्राहकों के प्रवाह के अध्ययन से पता चला है कि इसके लिए एक पॉइसन प्रवाह अपनाया जा सकता है।
कैशियर नियंत्रकों द्वारा ग्राहक सेवा समय का वितरण कार्य घातीय है; इस तरह की धारणा से बड़ी त्रुटियां नहीं होती हैं।
निस्संदेह ब्याज सुपरमार्केट के नकद विभाग में ग्राहकों के प्रवाह की सर्विसिंग की विशेषताओं का विश्लेषण है, जिसकी गणना तीन प्रणालियों के लिए की जाती है: नुकसान के साथ, अपेक्षा के साथ, और मिश्रित प्रकार.
नकद बिंदु पर ग्राहक सेवा प्रक्रिया के मापदंडों की गणना एक वाणिज्यिक उद्यम के लिए एस = 650 के बिक्री क्षेत्र के साथ निम्नलिखित आंकड़ों के आधार पर की गई थी।
उद्देश्य फ़ंक्शन QS विशेषताओं से बिक्री आय के संबंध (मानदंड) के सामान्य रूप में लिखा जा सकता है:
जहां - कैश डेस्क में सामान्य प्रकार के = 7 कैश डेस्क और = 2 एक्सप्रेस कैश डेस्क होते हैं,
साधारण कैश डेस्क के क्षेत्र में ग्राहक सेवा की तीव्रता - 0.823 लोग / मिनट;
सामान्य कैश डेस्क के क्षेत्र में कैश रजिस्टर के भार की तीव्रता 6.65 है,
एक्सप्रेस चेकआउट के क्षेत्र में ग्राहक सेवा की तीव्रता - 2.18 लोग / मिनट;
नियमित कैश डेस्क के क्षेत्र में आने वाले प्रवाह की तीव्रता - 5.47 लोग / मिनट
एक्सप्रेस कैश डेस्क के क्षेत्र में कैश रजिस्टर के भार की तीव्रता 1.63 है,
एक्सप्रेस चेकआउट क्षेत्र में आने वाले प्रवाह की तीव्रता 3.55 लोग/मिनट है;
कैश नोड के डिज़ाइन किए गए क्षेत्र के अनुसार कतार की लंबाई की सीमा के साथ QS मॉडल के लिए, एक कैश डेस्क पर लाइन में खड़े ग्राहकों की अधिकतम स्वीकार्य संख्या m = 10 ग्राहक मानी जाती है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नकद बिंदु पर आवेदनों के नुकसान की संभावना और ग्राहकों के प्रतीक्षा समय के अपेक्षाकृत छोटे निरपेक्ष मूल्यों को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित शर्तों का पालन किया जाना चाहिए: 
तालिका 6.6.3 निपटान नोड के क्षेत्र में कार्य कर रहे क्यूएस की गुणवत्ता विशेषताओं के परिणाम दिखाती है।
गणना कार्य दिवस की सबसे व्यस्त अवधि के लिए 17:00 से 21:00 बजे तक की गई थी। यह इस अवधि के दौरान है, जैसा कि सर्वेक्षणों के परिणामों से पता चला है कि खरीदारों के एक दिवसीय प्रवाह का लगभग 50% गिर जाता है।
तालिका में डेटा से। 4.3 यह इस प्रकार है कि यदि गणना के लिए चुना गया था:
1) इनकार के साथ मॉडल, फिर खरीदारों के प्रवाह का 22.6% नियमित कैश डेस्क द्वारा परोसा जाता है, और तदनुसार एक्सप्रेस चेकआउट द्वारा प्रदान किए गए खरीदारों के प्रवाह का 33.6%, खरीदारी किए बिना छोड़ना होगा;
2) उम्मीद के साथ एक मॉडल, तो निपटान नोड में अनुरोधों का कोई नुकसान नहीं होना चाहिए;
टैब। 4.3 निपटान नोड के क्षेत्र में ग्राहक कतार प्रणाली की विशेषताएं
| चेकआउट प्रकार | नोड में चेकआउट की संख्या | सीएमओ प्रकार | क्यूएस विशेषताएं | ||
| व्यस्त कैश डेस्क की औसत संख्या, | सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय, | आवेदन खोने की संभावना, | |||
| नियमित कैश डेस्क | 7 | असफलताओं के साथ उम्मीद के साथ प्रतिबंध के साथ |
|||
| एक्सप्रेस कैश डेस्क | 2 | असफलताओं के साथ उम्मीद के साथ प्रतिबंध के साथ |
|||
3) कतार की लंबाई पर एक सीमा के साथ एक मॉडल, फिर साधारण कैश डेस्क द्वारा परोसे जाने वाले खरीदारों के प्रवाह का केवल 0.12% और एक्सप्रेस चेकआउट द्वारा प्रदान किए गए खरीदारों के प्रवाह का 1.8% खरीदारी किए बिना ट्रेडिंग फ्लोर छोड़ देगा। इसलिए, कतार की लंबाई की सीमा वाला मॉडल कैश पॉइंट के क्षेत्र में ग्राहकों की सेवा करने की प्रक्रिया का अधिक सटीक और वास्तविक वर्णन करना संभव बनाता है।
ब्याज नकद बिंदु की क्षमता की तुलनात्मक गणना है, दोनों एक्सप्रेस कैश रजिस्टर के साथ और बिना। तालिका में। 4.4 सुपरमार्केट के तीन मानक आकारों की चेकआउट प्रणाली की विशेषताओं को दिखाता है, क्यूएस के लिए मॉडल के अनुसार गणना की जाती है, जो कार्य दिवस की सबसे व्यस्त अवधि के लिए 17 से 21 घंटे तक कतार की लंबाई की सीमा के साथ होती है।
इस तालिका में डेटा के विश्लेषण से पता चलता है कि तकनीकी डिजाइन के चरण में "नकद सेवा के प्रकार से ग्राहकों के प्रवाह की संरचना" कारक को ध्यान में नहीं रखने से निपटान नोड के क्षेत्र में 22- की वृद्धि हो सकती है- 33%, और इसलिए, क्रमशः, व्यापार और तकनीकी उपकरणों की स्थापना और प्रदर्शनी क्षेत्रों में कमी और व्यापारिक मंजिल पर रखे गए कमोडिटी मास।
कैश पॉइंट की क्षमता निर्धारित करने की समस्या परस्पर संबंधित विशेषताओं की एक श्रृंखला है। इस प्रकार, इसकी क्षमता बढ़ाने से ग्राहकों के लिए सेवा के लिए प्रतीक्षा करने का समय कम हो जाता है, आवश्यकताओं के नुकसान की संभावना कम हो जाती है और परिणामस्वरूप, टर्नओवर का नुकसान होता है। इसके साथ ही, स्वयं-सेवा क्षेत्र, व्यापार और तकनीकी उपकरणों के सामने, और व्यापारिक मंजिल पर माल के द्रव्यमान को तदनुसार कम करना आवश्यक है। साथ ही, कैशियर की मजदूरी और अतिरिक्त नौकरियों के उपकरण की लागत बढ़ रही है। इसीलिए
| संख्या पी / पी | क्यूएस विशेषताएं | माप की इकाई | पद | अंतरिक्ष बेचने वाले सुपरमार्केट के प्रकारों द्वारा गणना किए गए संकेतक, वर्ग। एम | ||||||||||||||||
| एक्सप्रेस चेकआउट के बिना | एक्सप्रेस चेकआउट सहित | |||||||||||||||||||
| 650 | 1000 | 2000 | 650 | 1000 | 2000 | |||||||||||||||
| नियमित कैश डेस्क | एक्सप्रेस कैश डेस्क | नियमित कैश डेस्क | एक्सप्रेस कैश डेस्क | नियमित कैश डेस्क | एक्सप्रेस कैश डेस्क | |||||||||||||||
| 1 | खरीदारों की संख्या | लोग | क | 2310 | 3340 | 6680 | 1460 | 850 | 2040 | 1300 | 4080 | 2600 | ||||||||
| 2 | आने वाले प्रवाह की तीव्रता | λ | 9,64 | 13,9 | 27,9 | 6,08 | 3,55 | 8,55 | 5,41 | 17,1 | 10,8 | |||||||||
| 3 | रखरखाव तीव्रता | व्यक्ति/मिनट | μ | 0,823 | 0,823 | 0,823 | 0,823 | 2,18 | 0,823 | 2,18 | 0,823 | 2,18 | ||||||||
| 4 | लोड तीव्रता | - | ρ | 11,7 | 16,95 | 33,8 | 6,65 | 1,63 | 10,35 | 2,48 | 20,7 | 4,95 | ||||||||
| 5 | नकद रजिस्टरों की संख्या | पीसीएस। | एन | 12 | 17 | 34 | 7 | 2 | 11 | 3 | 21 | 5 | ||||||||
| 6 | निपटान नोड के कैश डेस्क की कुल संख्या | पीसीएस। | Σn | 12 | 17 | 34 | 9 | 14 | 26 | |||||||||||
अनुकूलन गणना करना आवश्यक है। आइए हम 650m2 सुपरमार्केट के चेकआउट काउंटर पर सेवा प्रणाली की विशेषताओं पर विचार करें, तालिका 1 में इसके चेकआउट काउंटर की विभिन्न क्षमताओं के लिए सीमित कतार लंबाई वाले QS मॉडल का उपयोग करके गणना की गई है। 4.5.
तालिका में डेटा के विश्लेषण के आधार पर। 4.5, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जैसे-जैसे कैश रजिस्टर की संख्या बढ़ती है, कतार में खरीदारों के लिए प्रतीक्षा समय बढ़ता जाता है, और फिर एक निश्चित बिंदु के बाद यह तेजी से गिरता है। ग्राहकों के लिए प्रतीक्षा समय अनुसूची में परिवर्तन की प्रकृति समझ में आती है यदि हम समानांतर में मांग के नुकसान की संभावना में परिवर्तन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि जब पीओएस नोड की क्षमता अत्यधिक छोटी है, तो 85% से अधिक ग्राहक बिना सेवा के छोड़ देंगे, और शेष ग्राहकों को बहुत कम समय में सेवा प्रदान की जाएगी। पीओएस नोड की क्षमता जितनी अधिक होगी, दावों के नुकसान की संभावना उतनी ही अधिक होगी, और इसलिए कतार में उनके प्रतीक्षा का समय तदनुसार बढ़ जाएगा। उम्मीदों के बाद और नुकसान की संभावना नाटकीय रूप से कम हो जाएगी।
650 रिटेल आउटलेट के लिए, नियमित कैश रजिस्टर क्षेत्र के लिए यह सीमा 6 और 7 कैश रजिस्टर के बीच है। क्रमशः 7 कैश रजिस्टर के साथ, औसत प्रतीक्षा समय 2.66 मिनट है, और आवेदन खोने की संभावना बहुत कम है - 0.1%। इस प्रकार, जो आपको सामूहिक ग्राहक सेवा की न्यूनतम कुल लागत प्राप्त करने की अनुमति देगा।
| नकद सेवा का प्रकार | नोड एन, पीसी में कैश रजिस्टर की संख्या। | सेवा प्रणाली की विशेषताएं | 1 घंटे रगड़ के लिए औसत राजस्व। | 1 घंटे के लिए राजस्व का औसत नुकसान रूबल | निपटान नोड के क्षेत्र में खरीदारों की संख्या | बस्ती नोड क्षेत्र का क्षेत्र, Sy, m | नोड ज़ोन 650/ Sy . के क्षेत्र का विशिष्ट गुरुत्व | |
| औसत प्रतीक्षा समय, टी, मिनट | आवेदन खोने की संभावना | |||||||
| नियमित कैश डेस्क के क्षेत्र | ||||||||
| एक्सप्रेस चेकआउट क्षेत्र | ||||||||
निष्कर्ष
तालिका में डेटा के विश्लेषण के आधार पर। 4.5 हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जैसे-जैसे कैश रजिस्टर की संख्या बढ़ती है, कतार में खरीदारों के लिए प्रतीक्षा समय बढ़ता जाता है। और फिर एक निश्चित बिंदु के बाद यह तेजी से गिरता है। ग्राहकों के लिए प्रतीक्षा समय अनुसूची में परिवर्तन की प्रकृति को समझा जा सकता है यदि हम समानांतर में दावों के नुकसान की संभावना में परिवर्तन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि जब कैश नोड की क्षमता अत्यधिक छोटी होती है, तो 85% से अधिक ग्राहक बिना सेवा के छोड़ देंगे, और शेष ग्राहकों को बहुत कम समय में सेवा प्रदान की जाएगी। कैश नोड की शक्ति जितनी अधिक होगी। इस प्रकार, आवश्यकताओं के नुकसान की संभावना कम हो जाएगी और तदनुसार, अधिक से अधिक खरीदार उनकी सेवा की प्रतीक्षा करेंगे, जिसका अर्थ है कि कतार में उनका प्रतीक्षा समय तदनुसार बढ़ जाएगा। निपटान नोड इष्टतम शक्ति से अधिक हो जाने के बाद, प्रतीक्षा समय और नुकसान की संभावना में तेजी से कमी आएगी।
650 वर्ग मीटर के बिक्री क्षेत्र वाले सुपरमार्केट के लिए। मीटर, पारंपरिक कैश रजिस्टर के क्षेत्र के लिए यह सीमा 6-8 कैश रजिस्टर के बीच है। क्रमशः 7 कैश रजिस्टर के साथ, औसत प्रतीक्षा समय 2.66 मिनट है, और आवेदन खोने की संभावना बहुत कम है - 0.1%। इस प्रकार, कार्य नकद बिंदु की ऐसी क्षमता का चयन करना है, जो आपको सामूहिक ग्राहक सेवा की न्यूनतम कुल लागत प्राप्त करने की अनुमति देगा।
इस संबंध में, समस्या को हल करने में अगला कदम कुल लागत और ऊपर सूचीबद्ध कारकों को ध्यान में रखते हुए, विभिन्न प्रकार के क्यूएस मॉडल के उपयोग के आधार पर नकद बिंदु की क्षमता को अनुकूलित करना है।
गणितीय (अमूर्त) वस्तु, जिसके तत्व हैं (चित्र। 2.1):
- इनपुट (आने वाली) सेवा के लिए आवेदनों (आवश्यकताओं) का प्रवाह;
- सेवा उपकरण (चैनल);
- सेवा की प्रतीक्षा में आवेदनों की एक कतार;
- सेवित अनुरोधों का आउटपुट (आउटगोइंग) प्रवाह;
- सेवा में रुकावट के बाद देखभाल के लिए अनुरोधों का प्रवाह;
- अप्रयुक्त अनुरोधों का प्रवाह।
प्रार्थना(अनुरोध, आवश्यकता, कॉल, क्लाइंट, संदेश, पैकेज) - क्यूएस में प्रवेश करने वाली वस्तु और डिवाइस में सेवा की आवश्यकता होती है। समय के रूप में वितरित लगातार आवेदनों का सेट अनुप्रयोगों का इनपुट प्रवाह।
चावल। 2.1.
सेवा उपकरण(डिवाइस, डिवाइस, चैनल, लाइन, टूल, कार, राउटर, आदि) - क्यूएस एलिमेंट, जिसका उद्देश्य सर्विस रिक्वेस्ट करना है।
सेवा- सेवा उपकरण में कुछ समय के लिए अनुरोध में देरी।
सेवा अवधि- डिवाइस में एप्लिकेशन का विलंब समय (सेवा)।
भंडारण युक्ति(बफर, इनपुट बफर, आउटपुट बफर) - सेवारत डिवाइस के सामने अनुप्रयोगों की प्रतीक्षा के लिए स्थानों का एक सेट। प्रतीक्षा स्थलों की संख्या - भंडारण क्षमता।
सीएमओ द्वारा प्राप्त एक आवेदन दो राज्यों में हो सकता है:
- 1) सर्विस(डिवाइस में);
- 2) अपेक्षाएं(संचयक में), यदि सभी उपकरण अन्य अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त हैं।
संचायक और प्रतीक्षारत सेवा प्रपत्र में दावे मोड़अनुप्रयोग। सेवा प्रतीक्षित संचायक में आवेदनों की संख्या - कतार की लंबाई।
बफरिंग अनुशासन(कतार अनुशासन) - आने वाले अनुप्रयोगों को ड्राइव (बफर) में दर्ज करने का नियम।
सेवा अनुशासन- डिवाइस में सेवा के लिए कतार से अनुरोध चुनने का नियम।
प्राथमिक्ता- संचयक में प्रवेश करने या अन्य वर्गों के अनुप्रयोगों के संबंध में एक वर्ग के डिवाइस अनुप्रयोगों में सर्विसिंग के लिए कतार से चयन करने के लिए प्रीमेप्टिव अधिकार (संसाधनों पर कब्जा करने के लिए)।
कई कतारबद्ध प्रणालियाँ हैं जो संरचनात्मक और कार्यात्मक संगठन में भिन्न हैं। साथ ही, कई मामलों में क्यूएस प्रदर्शन संकेतकों की गणना के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों के विकास में कई प्रतिबंध और धारणाएं शामिल हैं जो अध्ययन के तहत क्यूएस के सेट को सीमित करती हैं। इसीलिए एक मनमाना जटिल संरचना QS के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक मॉडल नहीं है।
क्यूएस विश्लेषणात्मक मॉडल समीकरणों या सूत्रों का एक सेट है जो आने वाले प्रवाह और सेवा चैनलों, बफरिंग और सेवा विषयों के ज्ञात मानकों के आधार पर इसके संचालन और प्रदर्शन संकेतकों के दौरान सिस्टम राज्यों की संभावनाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।
यदि QS में होने वाली प्रक्रियाएं मार्कोवियन हैं (अनुप्रयोगों का प्रवाह सबसे सरल है, सेवा समय तेजी से वितरित किया जाता है) तो QS का विश्लेषणात्मक मॉडलिंग बहुत सुविधाजनक है। इस मामले में, क्यूएस में सभी प्रक्रियाओं को साधारण अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और सीमित स्थिति में - स्थिर राज्यों के लिए - रैखिक बीजीय समीकरणों द्वारा और, गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों में उपलब्ध किसी भी तरीके से उन्हें हल करने के बाद, चयनित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करते हैं .
IM सिस्टम में, QS को लागू करते समय, निम्नलिखित प्रतिबंध और धारणाएँ स्वीकार की जाती हैं:
- आवेदन प्रणाली में दर्ज किया गया हाथों हाथकतार में कोई अनुरोध नहीं होने पर सेवा में आता है और डिवाइस मुफ़्त है;
- किसी भी समय रखरखाव के लिए डिवाइस में केवल हो सकता है एकअनुरोध;
- डिवाइस में किसी भी अनुरोध की सेवा समाप्त होने के बाद, अगले अनुरोध को तत्काल सर्विसिंग के लिए कतार से चुना जाता है, यानी डिवाइस निष्क्रिय नहीं होतायदि कतार में कम से कम एक आवेदन है;
- क्यूएस में आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सेवा की अवधि सिस्टम में पहले से मौजूद आवेदनों की संख्या या किसी अन्य कारक पर निर्भर नहीं करती है;
- सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की तीव्रता पर निर्भर नहीं करती है।
आइए हम QS के कुछ तत्वों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।
अनुप्रयोगों का इनपुट (आने वाला) प्रवाह। घटनाओं का प्रवाहएक के बाद एक और कुछ में घटित होने वाली सजातीय घटनाओं का एक क्रम कहा जाता है, आम तौर पर बोलते हुए, यादृच्छिक रूप सेसमय में अंक। यदि घटना दावों की उपस्थिति में होती है, तो हमारे पास आवेदन प्रवाह।सामान्य स्थिति में अनुप्रयोगों के प्रवाह का वर्णन करने के लिए, समय अंतराल t = . निर्धारित करना आवश्यक है टी को - टी के-1आसन्न क्षणों के बीच टी के _ केतथा टी कोक्रमांक के साथ आवेदनों की प्राप्ति प्रति - 1 और प्रतिक्रमश: (प्रति - 1, 2, ...; टी 0 - 0 - समय का प्रारंभिक क्षण)।
अनुप्रयोग प्रवाह की मुख्य विशेषता इसकी है एक्स तीव्रता- समय की प्रति यूनिट क्यूएस इनपुट पर पहुंचने वाले आवेदनों की औसत संख्या। मान टी = 1/एक्सको परिभाषित करता है लगातार दो आदेशों के बीच औसत समय अंतराल।
प्रवाह कहा जाता है नियतात्मकयदि समय अंतराल टी टूआसन्न अनुप्रयोगों के बीच कुछ पूर्व-ज्ञात मान लेते हैं। यदि अंतराल समान हैं (एक्स से= टी सभी के लिए कश्मीर = 1, 2, ...), तब धारा कहलाती है नियमित।अनुरोधों के नियमित प्रवाह के पूर्ण विवरण के लिए, प्रवाह की तीव्रता निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है एक्सया अंतराल t = . का मान 1 / एक्स।
एक धारा जिसमें समय अंतराल एक्स केआसन्न अनुप्रयोगों के बीच यादृच्छिक चर हैं, जिन्हें कहा जाता है यादृच्छिक रूप से।सामान्य स्थिति में अनुप्रयोगों के यादृच्छिक प्रवाह के पूर्ण विवरण के लिए, प्रत्येक समय अंतराल के लिए वितरण नियम F fc (x fc) निर्धारित करना आवश्यक है। एक्स के, के = 1,2, ....
यादृच्छिक धारा जिसमें सभी समय अंतराल एक्स बी एक्स 2,... आसन्न लगातार ग्राहकों के बीच वितरण कार्यों FjCij), F 2 . द्वारा वर्णित स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं (x 2), ... क्रमशः, के साथ प्रवाह कहा जाता है सीमित परिणाम।
यादृच्छिक धारा कहलाती है आवर्तक,यदि सभी समय अंतराल एक्सबीटी 2 , ... अनुप्रयोगों के बीच वितरित इसी कानून के तहतएफ (टी)। कई आवर्त धाराएँ हैं। प्रत्येक वितरण कानून अपना आवर्तक प्रवाह उत्पन्न करता है। आवर्तक धाराएँ अन्यथा पाम धाराएँ कहलाती हैं।
अगर तीव्रता एक्सऔर लगातार अनुरोधों के बीच अंतराल का वितरण कानून F(t) समय के साथ नहीं बदलता है, तो अनुरोधों के प्रवाह को कहा जाता है स्थावरअन्यथा, अनुप्रयोग प्रवाह है गैर-स्थिर।
अगर हर पल टी को QS के इनपुट पर केवल एक ग्राहक दिखाई दे सकता है, तो ग्राहकों के प्रवाह को कहा जाता है साधारण।यदि एक से अधिक आवेदन किसी भी समय प्रकट हो सकते हैं, तो आवेदनों का प्रवाह है असाधारण,या समूह।
अनुरोधों के प्रवाह को प्रवाह कहा जाता है कोई परिणाम नहीं,यदि आवेदन प्राप्त होते हैं ध्यान दिए बिनाएक दूसरे से, अर्थात्। अगले आवेदन की प्राप्ति का क्षण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि इस क्षण से पहले कब और कितने आवेदन प्राप्त हुए हैं।
बिना प्रभाव के एक स्थिर सामान्य प्रवाह कहलाता है सबसे साधारण।
सबसे सरल प्रवाह में अनुरोधों के बीच समय अंतराल t के अनुसार वितरित किया जाता है घातीय (उदाहरणात्मक) कानून:वितरण फलन के साथ F(t) = 1 - ई ~ एम;वितरण घनत्व/(च) = हे ~ "एल,कहाँ पे एक्स > 0 - वितरण पैरामीटर - अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता।
सरलतम प्रवाह को अक्सर कहा जाता है पॉइसन।नाम इस तथ्य से आता है कि इस प्रवाह के लिए घटना की संभावना P fc (At) ठीक है प्रतिएक निश्चित समय अंतराल के लिए अनुरोध पर निर्धारित किया जाता है पॉइसन का नियम:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पॉइसन प्रवाह, सबसे सरल के विपरीत, हो सकता है:
- स्थावर,अगर तीव्रता एक्ससमय के साथ नहीं बदलता है;
- गैर-स्थिर,यदि प्रवाह दर समय पर निर्भर करती है: एक्स=>। (टी)।
साथ ही, परिभाषा के अनुसार सबसे सरल प्रवाह हमेशा स्थिर होता है।
कतारबद्ध मॉडल का विश्लेषणात्मक अध्ययन अक्सर अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह की धारणा के तहत किया जाता है, जो इसमें निहित कई उल्लेखनीय विशेषताओं के कारण होता है।
1. प्रवाह का योग (एकीकरण)। क्यूएस सिद्धांत में सबसे सरल प्रवाह समान है सामान्य कानूनसंभाव्यता सिद्धांत में वितरण: एक प्रवाह के लिए सीमा में संक्रमण जो कि मनमानी विशेषताओं के साथ प्रवाह का योग है जिसमें शब्दों की संख्या में अनंत वृद्धि होती है और उनकी तीव्रता में कमी सबसे सरल प्रवाह की ओर ले जाती है।
जोड़ एनतीव्रता के साथ स्वतंत्र स्थिर सामान्य प्रवाह एक्स एक्स एक्स 2 ,..., एक्सएनतीव्रता के साथ सरलतम प्रवाह बनाता है
एक्स = वाई, ^ आईबशर्ते कि जोड़ा गया प्रवाह अधिक हो या
कुल प्रवाह पर कम समान रूप से छोटा प्रभाव। व्यवहार में, कुल प्रवाह सबसे सरल के करीब है एन > 5. सो जब स्वतंत्र सरलतम प्रवाहों का योग होता है, तो कुल प्रवाह सबसे सरल होगाकिसी भी मूल्य के लिए एन।
- 2. प्रवाह की संभाव्यता दुर्लभता। संभाव्य(लेकिन गैर नियतात्मक) रेयरफैक्शन सबसे सरल प्रवाहअनुप्रयोग, जिसमें कोई भी अनुप्रयोग कुछ संभाव्यता के साथ यादृच्छिक रूप से होता है आरप्रवाह से बाहर रखा गया है चाहे अन्य अनुप्रयोगों को बाहर रखा गया हो या नहीं, गठन की ओर जाता है सबसे सरल प्रवाहतीव्रता के साथ एक्स* = पीएक्स,कहाँ पे एक्स- प्रारंभिक प्रवाह की तीव्रता। बहिष्कृत अनुप्रयोगों का प्रवाह तीव्रता के साथ एक्स ** = (1 - पी) एक्स- बहुत प्रोटोजोआबहे।
- 3. दक्षता। यदि सेवा देने वाले चैनल (उपकरण) तीव्रता के साथ अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के लिए डिज़ाइन किए गए हैं एक्स,फिर अन्य प्रकार के प्रवाह (उसी तीव्रता के साथ) की सर्विसिंग कम दक्षता के साथ प्रदान नहीं की जाएगी।
- 4. सादगी। अनुप्रयोगों के सबसे सरल प्रवाह की धारणा कई गणितीय मॉडलों को मापदंडों पर क्यूएस संकेतकों की निर्भरता को स्पष्ट रूप में प्राप्त करने की अनुमति देती है। सबसे बड़ी संख्या विश्लेषणात्मक परिणामसरलतम क्रम प्रवाह के लिए प्राप्त किया।
अनुप्रयोग प्रवाह वाले मॉडलों का विश्लेषण जो सरलतम से भिन्न होते हैं, आमतौर पर गणितीय गणनाओं को जटिल बनाते हैं और हमेशा एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। इस विशेषता के कारण "सरल" प्रवाह को इसका नाम मिला।
सेवा शुरू करने के लिए अनुप्रयोगों के अलग-अलग अधिकार हो सकते हैं। इस मामले में, आवेदनों को कहा जाता है विषम।सेवा की शुरुआत में दूसरों पर अनुप्रयोगों के कुछ प्रवाह के लाभ प्राथमिकताओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
इनपुट स्ट्रीम की एक महत्वपूर्ण विशेषता है भिन्नता का गुणांक
जहाँ t int - अंतराल की लंबाई की गणितीय अपेक्षा; के बारे में- अंतराल x int (यादृच्छिक चर) की लंबाई का मानक विचलन।
सबसे सरल प्रवाह (a = -, m = -) के लिए हमारे पास v = 1 है। अधिकांश के लिए
वास्तविक प्रवाह 0
सेवा चैनल (उपकरण)। चैनल की मुख्य विशेषता सेवा की अवधि है।
सेवा अवधि- डिवाइस में एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया समय - सामान्य स्थिति में, मान यादृच्छिक होता है। क्यूएस के गैर-समान भार के मामले में, विभिन्न वर्गों के अनुरोधों के लिए सेवा समय वितरण कानूनों या केवल औसत मूल्यों से भिन्न हो सकता है। इस मामले में, आमतौर पर यह माना जाता है कि प्रत्येक वर्ग के अनुरोधों के लिए सेवा समय स्वतंत्र है।
अक्सर, चिकित्सक यह मानते हैं कि सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि अधिक वितरित की जाती है घातीय कानूनजो विश्लेषणात्मक गणनाओं को बहुत सरल करता है। यह इस तथ्य के कारण है कि सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाएं समय अंतराल के घातीय वितरण के साथ होती हैं मार्कोवप्रक्रियाएं:
जहां सी - सेवा तीव्रता,यहां पी = _--; टी 0 बीएसएल - गणित-
सेवा के लिए टिक प्रतीक्षा समय।
घातांक वितरण के अलावा, एरलांग / सी-वितरण, हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण, त्रिकोणीय वितरण और कुछ अन्य हैं। यह हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए, क्योंकि यह दिखाया गया है कि क्यूएस दक्षता मानदंड का मूल्य सेवा समय वितरण कानून के रूप पर बहुत कम निर्भर करता है।
क्यूएस के अध्ययन में, सेवा का सार, सेवा की गुणवत्ता, विचार से बाहर हो जाती है।
चैनल हो सकते हैं बिल्कुल विश्वसनीयवे। असफल मत हो। बल्कि अध्ययन में इसे स्वीकार किया जा सकता है। चैनल हो सकता है अंतिम विश्वसनीयता।इस मामले में, क्यूएस मॉडल बहुत अधिक जटिल है।
क्यूएस दक्षता न केवल इनपुट स्ट्रीम और सेवा चैनलों के मापदंडों पर निर्भर करती है, बल्कि उस क्रम पर भी निर्भर करती है जिसमें आने वाले अनुरोधों को सेवित किया जाता है, अर्थात। अनुप्रयोगों के प्रवाह को प्रबंधित करने के तरीकों से जब वे सिस्टम में प्रवेश करते हैं और सेवा के लिए भेजे जाते हैं।
अनुप्रयोगों के प्रवाह को प्रबंधित करने के तरीके विषयों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
- बफरिंग;
- सर्विस।
बफरिंग और रखरखाव विषयों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
- विभिन्न वर्गों के अनुप्रयोगों के बीच प्राथमिकताओं की उपलब्धता;
- अनुप्रयोगों को कतार से बाहर धकेलने की एक विधि (बफ़रिंग विषयों के लिए) और सेवा अनुरोध निर्दिष्ट करना (सेवा विषयों के लिए);
- सेवा अनुरोधों को पूर्व-खाली करने या चुनने का नियम;
- प्राथमिकताओं को बदलने की क्षमता।
सूचीबद्ध सुविधाओं के अनुसार बफरिंग विषयों (कतार) के वर्गीकरण का एक प्रकार अंजीर में दिखाया गया है। 2.2.
निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं की कमीविभिन्न वर्गों के अनुप्रयोगों के बीच, सभी बफरिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता और प्राथमिकता।
द्वारा अनुप्रयोगों को भंडारण से बाहर धकेलने की विधिबफरिंग विषयों के निम्नलिखित वर्गों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:
- अनुरोधों को क्राउड आउट किए बिना - सिस्टम में प्रवेश करने वाले और ड्राइव को पूरी तरह से भरे हुए पाए जाने वाले अनुरोध खो गए हैं;
- इस वर्ग के आवेदन के विस्थापन के साथ, अर्थात। प्राप्त आवेदन के समान वर्ग;
- न्यूनतम प्राथमिकता के वर्ग से आवेदन के विस्थापन के साथ;
- कम प्राथमिकता वाले वर्गों के समूह से आवेदन के विस्थापन के साथ।
चावल। 2.2.
बफरिंग विषय निम्नलिखित का उपयोग कर सकते हैं संचायक से अनुरोध निकालने के नियम:
- आकस्मिक विस्थापन;
- अंतिम आदेश का अपवर्जन, अर्थात्। बाद में सिस्टम में प्रवेश किया;
- एक "लॉन्ग" ऑर्डर को क्राउड आउट करना, यानी। सभी पहले प्राप्त आवेदनों की तुलना में लंबे समय तक संचायक में स्थित है।
अंजीर पर। 2.3 बफरिंग के विषयों के समान सुविधाओं के अनुसार सर्विसिंग अनुप्रयोगों के लिए विषयों का वर्गीकरण दिखाता है।
कभी-कभी मॉडलों में भंडारण क्षमता को असीमित माना जाता है, हालांकि वास्तविक प्रणाली में यह सीमित है। ऐसी धारणा उचित है जब भंडारण क्षमता अतिप्रवाह के कारण वास्तविक प्रणाली में ऑर्डर खोने की संभावना 10 _3 से कम है। इस मामले में, अनुरोधों के प्रदर्शन पर अनुशासन का व्यावहारिक रूप से कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं की कमीविभिन्न वर्गों के अनुरोधों के बीच, सभी सेवा विषयों के साथ-साथ बफरिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता और प्राथमिकता वाले।
द्वारा सेवा टिकट कैसे आवंटित किए जाते हैंसेवा विषयों को विषयों में विभाजित किया जा सकता है:
- एकल मोड;
- समूह मोड;
- संयुक्त मोड।
चावल। 2.3.
सेवा विषयों में एकल मोडहर बार सेवा केवल एक असाइन किया गयाअनुरोध, जिसके लिए पिछले अनुरोध की सेवा समाप्त होने के बाद कतारों को स्कैन किया जाता है।
सेवा विषयों में समूह मोडहर बार सेवा आवेदनों का एक समूह सौंपा गया हैएक कतार, जिसके लिए पहले से निर्दिष्ट समूह के सभी अनुरोधों के बाद ही कतारों को स्कैन किया जाता है। टिकटों के नए नियत समूह में दी गई कतार के सभी टिकट शामिल हो सकते हैं। असाइन किए गए समूह अनुरोध कतार से क्रमिक रूप से चयनितऔर डिवाइस द्वारा सेवित होते हैं, जिसके बाद निर्दिष्ट सेवा अनुशासन के अनुसार सेवा के लिए अन्य कतार के अनुप्रयोगों के अगले समूह को असाइन किया जाता है।
संयुक्त मोड- एकल और समूह मोड का एक संयोजन, जब अनुरोध कतार का हिस्सा एकल मोड में संसाधित होता है, और दूसरा भाग - समूह मोड में।
सेवा विषयों का उपयोग कर सकते हैं निम्नलिखित नियमसेवा अनुरोधों का चयन।
गैर प्राथमिकता(एप्लिकेशन के पास प्रारंभिक सेवा विशेषाधिकार नहीं हैं - संसाधन कैप्चर):
- पहले आओ पहले पाओ सेवा फीफो (पहली बार -पहले बाहर,पेहले आये पेहलॆ गये)
- रिवर्स सर्विस- आवेदन मोड में कतार से चुना गया है जीवन (आखरी अंदर - पहले बाहर,अंतिम अंदर प्रथम बाहर)
- यादृच्छिक सेवा- आवेदन मोड में कतार से चुना गया है हाशिया (यादृच्छिक रूप से- बेतरतीब);
- चक्रीय सेवा- अनुक्रम 1, 2 में ड्राइव के चक्रीय मतदान की प्रक्रिया में आवेदनों का चयन किया जाता है, एचसे एच- ड्राइव की संख्या), जिसके बाद निर्दिष्ट अनुक्रम दोहराया जाता है;
वरीयता(एप्लिकेशन के पास प्रारंभिक सेवा के लिए विशेषाधिकार हैं - संसाधन पर कब्जा):
- साथ सापेक्ष प्राथमिकताएं- यदि अनुरोध की वर्तमान सर्विसिंग के दौरान, उच्च प्राथमिकता वाले अनुरोध सिस्टम में प्रवेश करते हैं, तो प्राथमिकता के बिना भी वर्तमान अनुरोध की सर्विसिंग बाधित नहीं होती है, और प्राप्त अनुरोधों को कतार में भेज दिया जाता है; सापेक्ष प्राथमिकताएं केवल एप्लिकेशन की वर्तमान सेवा के अंत में एक भूमिका निभाती हैं जब कतार से एक नया सेवा अनुरोध चुना जाता है।
- साथ पूर्ण प्राथमिकताएं- उच्च प्राथमिकता के साथ अनुरोध प्राप्त होने पर, कम प्राथमिकता वाले अनुरोध की सेवा बाधित होती है और प्राप्त अनुरोध सर्विसिंग के लिए भेजा जाता है; एक बाधित आवेदन को कतार में वापस किया जा सकता है या सिस्टम से हटाया जा सकता है; यदि आवेदन को कतार में वापस कर दिया जाता है, तो इसकी आगे की सेवा बाधित स्थान या नए सिरे से की जा सकती है;
- सीओ मिश्रित प्राथमिकताएं- व्यक्तिगत अनुप्रयोगों की सेवा के लिए कतार में प्रतीक्षा समय पर सख्त प्रतिबंध के लिए उन्हें पूर्ण प्राथमिकताओं के असाइनमेंट की आवश्यकता होती है; परिणामस्वरूप, कम प्राथमिकताओं वाले अनुप्रयोगों के लिए प्रतीक्षा समय अस्वीकार्य रूप से बड़ा हो सकता है, हालांकि व्यक्तिगत अनुप्रयोगों में प्रतीक्षा समय का अंतर होता है; सभी प्रकार के अनुरोधों पर प्रतिबंधों को पूरा करने के लिए, पूर्ण प्राथमिकताओं के साथ, कुछ अनुरोधों को सापेक्ष प्राथमिकताएं दी जा सकती हैं, और बाकी को गैर-प्राथमिकता मोड में परोसा जा सकता है;
- साथ वैकल्पिक प्राथमिकताएं- सापेक्ष प्राथमिकताओं का एक एनालॉग, प्राथमिकता को केवल एक कतार और असाइनमेंट के अनुरोधों के समूह की वर्तमान सर्विसिंग के पूरा होने के क्षणों में ध्यान में रखा जाता है नया समूहसेवा के लिए;
- निर्धारित मरम्मत- विभिन्न वर्गों (विभिन्न दुकानों में स्थित) के अनुरोधों को एक निश्चित अनुसूची के अनुसार सेवा के लिए चुना जाता है जो अनुरोधों की मतदान कतारों के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है, उदाहरण के लिए, अनुरोधों के तीन वर्गों (संचयक) के मामले में, अनुसूची इस तरह दिख सकती है (2, 1, 3, 3, 1, 2) या (1, 2, 3, 3, 2, 1)।
कंप्यूटर आईएम सिस्टम में, एक नियम के रूप में, अनुशासन डिफ़ॉल्ट रूप से लागू किया जाता है फीफो.हालांकि, उनके पास ऐसे उपकरण हैं जो उपयोगकर्ता को शेड्यूल के अनुसार सेवा विषयों को व्यवस्थित करने का अवसर प्रदान करते हैं।
सीएमओ द्वारा प्राप्त आवेदनों को वर्गों में बांटा गया है। QS में, जो एक अमूर्त गणितीय मॉडल है, आवेदन के लिए हैं विभिन्न वर्ग इस घटना में कि वे सिम्युलेटेड वास्तविक प्रणाली में निम्न में से कम से कम एक विशेषता से भिन्न हैं:
- सेवा की अवधि;
- प्राथमिकताएं।
यदि एप्लिकेशन सेवा अवधि और प्राथमिकताओं में भिन्न नहीं होते हैं, तो उन्हें एक ही वर्ग के अनुप्रयोगों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें वे विभिन्न स्रोतों से आते हैं।
मिश्रित प्राथमिकताओं के साथ सेवा विषयों के गणितीय विवरण के लिए, हम उपयोग करते हैं प्राथमिकता मैट्रिक्स,जो एक वर्ग आव्यूह है Q = (q, ;), मैं, जे - 1,..., I, I - सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों के वर्गों की संख्या।
तत्व क्यू (जेमैट्रिक्स वर्ग अनुरोधों की प्राथमिकता निर्धारित करता है मैंवर्ग अनुप्रयोगों के संबंध में; और स्वीकार कर सकते हैं निम्नलिखित मान:
- 0 - कोई प्राथमिकता नहीं;
- 1 - सापेक्ष प्राथमिकता;
- 2 - पूर्ण प्राथमिकता।
प्राथमिकता मैट्रिक्स के तत्वों को निम्नलिखित को पूरा करना चाहिए आवश्यकताएं:
- क्यू नहीं= 0, चूंकि एक ही वर्ग के अनुरोधों के बीच कोई प्राथमिकता निर्धारित नहीं की जा सकती है;
- यदि क्यू (जे = 1 या 2 तब क्यू^ = 0, क्योंकि यदि वर्ग अनुप्रयोग मैंवर्ग अनुरोधों पर वरीयता लें जे,तब उत्तरार्द्ध वर्ग के दावों पर पूर्वता नहीं ले सकता मैं (मैं, जे = 1, ..., मैं)।
निर्भर करना प्राथमिकताओं को बदलने के अवसरसिस्टम के संचालन के दौरान, बफरिंग और सर्विसिंग के प्राथमिकता वाले विषयों को दो वर्गों में बांटा गया है:
- 1) के साथ स्थिर प्राथमिकताएं,जो समय के साथ नहीं बदलते;
- 2) के साथ गतिशील प्राथमिकताएं,जो विभिन्न कारकों के आधार पर सिस्टम के संचालन के दौरान बदल सकता है, उदाहरण के लिए, जब किसी वर्ग के अनुप्रयोगों की कतार की लंबाई के लिए एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य तक पहुंच जाता है जिसमें प्राथमिकता नहीं होती है या कम प्राथमिकता होती है, तो यह हो सकता है उच्च प्राथमिकता दी है।
IM कंप्यूटर सिस्टम में, आवश्यक रूप से एक ही तत्व (ऑब्जेक्ट) होता है, जिसके माध्यम से और केवल इसके माध्यम से, मॉडल में अनुरोध दर्ज किए जाते हैं। डिफ़ॉल्ट रूप से, सभी दर्ज किए गए एप्लिकेशन गैर-प्राथमिकता वाले होते हैं। लेकिन अनुक्रम 1, 2, ... में प्राथमिकताएं निर्दिष्ट करने की संभावनाएं हैं, जिसमें मॉडल के निष्पादन के दौरान, अर्थात्। गतिकी में।
आउटगोइंग स्ट्रीम QS को छोड़कर सेवित अनुरोधों का प्रवाह है। वास्तविक प्रणालियों में, अनुप्रयोग कई क्यूएस से गुजरते हैं: पारगमन संचार, उत्पादन पाइपलाइन, आदि। इस मामले में, आउटगोइंग स्ट्रीम अगले QS के लिए इनकमिंग स्ट्रीम है।
पहले QS की आने वाली धारा, बाद के QS से होकर गुजरती है, विकृत हो जाती है, और यह विश्लेषणात्मक मॉडलिंग को जटिल बनाती है। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सबसे सरल इनपुट स्ट्रीम और घातीय सेवा के साथ(वे। मार्कोव सिस्टम में) आउटपुट स्ट्रीम भी सबसे सरल है।यदि सेवा समय में गैर-घातीय वितरण है, तो आउटगोइंग स्ट्रीम न केवल सरल है, बल्कि आवर्तक भी है।
ध्यान दें कि आउटगोइंग अनुरोधों के बीच का समय अंतराल सेवा अंतराल के समान नहीं है। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि अगली सेवा समाप्त होने के बाद, क्यूएस अनुप्रयोगों की कमी के कारण कुछ समय के लिए निष्क्रिय है। इस मामले में, आउटगोइंग प्रवाह अंतराल में QS का निष्क्रिय समय और डाउनटाइम के बाद आने वाले पहले अनुरोध का सेवा अंतराल शामिल होता है।
QS में, सेवित अनुरोधों के आउटगोइंग प्रवाह के अलावा, हो सकता है अप्रयुक्त अनुरोधों का प्रवाह।यदि ऐसा क्यूएस एक आवर्तक प्रवाह प्राप्त करता है, और सेवा घातीय है, तो बिना सेवा वाले ग्राहकों का प्रवाह भी आवर्तक है।
मुफ़्त चैनल कतारें। मल्टी-चैनल QS में, निःशुल्क चैनलों की कतारें बनाई जा सकती हैं। मुफ़्त चैनलों की संख्या एक यादृच्छिक मान है। शोधकर्ताओं को इस यादृच्छिक चर की विभिन्न विशेषताओं में रुचि हो सकती है। आम तौर पर, यह प्रति सर्वेक्षण अंतराल और उनके लोड कारकों में सेवा द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या है।
जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, वास्तविक वस्तुओं में, अनुरोध कई क्यूएस में क्रमिक रूप से सेवित होते हैं।
क्रमिक रूप से परस्पर जुड़े QS का एक परिमित सेट जो उनमें परिसंचारी अनुप्रयोगों को संसाधित करता है, कहलाता है कतारबद्ध नेटवर्क (सेमो) (चित्र 2.4, एक)।
चावल। 2.4.
SEMO को भी कहा जाता है मल्टीफ़ेज़ क्यूएस।
हम बाद में QEMO IM के निर्माण के उदाहरण पर विचार करेंगे।
क्यूएस के मुख्य तत्व अनुरोध (जी) के नोड्स (यू) और स्रोत (जनरेटर) हैं।
गांठनेटवर्क एक कतार प्रणाली है।
स्रोत- नेटवर्क में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों का एक जनरेटर और नेटवर्क नोड्स में सेवा के कुछ चरणों की आवश्यकता होती है।
QEMO की सरलीकृत छवि के लिए एक ग्राफ का उपयोग किया जाता है।
काउंट सेमो- एक निर्देशित ग्राफ (डिग्राफ), जिसके कोने QEM नोड्स से मेल खाते हैं, और आर्क्स नोड्स के बीच अनुप्रयोगों के संक्रमण का प्रतिनिधित्व करते हैं (चित्र। 2.4, बी)।
इसलिए, हमने QS की मूल अवधारणाओं पर विचार किया है। लेकिन IM के लिए कंप्यूटर सिस्टम के विकास और उनके सुधार में, वर्तमान में QS के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में निहित विशाल रचनात्मक क्षमता का भी उपयोग किया जाता है।
इस रचनात्मक क्षमता की बेहतर धारणा के लिए, पहले सन्निकटन के रूप में, आइए हम क्यूएस मॉडल के वर्गीकरण पर ध्यान दें।
कतार सिद्धांत के मॉडल
कतारबद्ध सिद्धांत अनुप्रयुक्त गणित का एक क्षेत्र है जो जटिल प्रणालियों की विभिन्न प्रकृति का अध्ययन करने के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं और संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करता है। कतारबद्ध सिद्धांत सीधे अनुकूलन से संबंधित नहीं है। इसका उद्देश्य, सिस्टम में "प्रवेश" के अवलोकन के परिणामों के आधार पर, इसकी क्षमताओं की भविष्यवाणी करना और किसी विशेष स्थिति के लिए सर्वोत्तम सेवा को व्यवस्थित करना और यह समझना है कि बाद वाला सिस्टम की लागत को कैसे प्रभावित करेगा।
कतार सिद्धांत के मॉडलआवश्यकताओं की प्राप्ति की यादृच्छिक प्रकृति और सेवा की अवधि को ध्यान में रखते हुए, सेवाओं के लिए बड़े पैमाने पर मांग की प्रक्रियाओं का वर्णन करें।
क्यूइंग थ्योरी मॉडल का उद्देश्य आने वाले यादृच्छिक प्रवाह के बारे में जानकारी के आधार पर कतार प्रणाली की क्षमताओं की भविष्यवाणी करना, किसी विशेष स्थिति के लिए आवश्यकताओं की सर्वोत्तम पूर्ति को व्यवस्थित करना और मूल्यांकन करना है कि यह इसकी लागत को कैसे प्रभावित करेगा।
एक कतार प्रणाली (क्यूएस) तब उत्पन्न होती है जब सेवा के लिए आवेदनों (आवश्यकताओं) की एक बड़ी उपस्थिति होती है और उनकी बाद की संतुष्टि होती है।
क्यूएस की एक विशेषता अध्ययन के तहत घटना की यादृच्छिक प्रकृति है। QS . का एक विशिष्ट उदाहरण - टेलीफोन नेटवर्क (टेलीफोन सेट के लीवर से हैंडसेट उठाकर, ग्राहक टेलीफोन नेटवर्क की किसी एक लाइन पर बातचीत की सर्विसिंग के लिए अनुरोध करता है)।
सीएमओ के मुख्य तत्वहैं:
सेवा के लिए आवेदनों (आवश्यकताओं) का आने वाला प्रवाह;
सेवा के लिए अनुरोधों की कतार;
सेवा उपकरण (चैनल);
सेवित अनुरोधों का आउटगोइंग प्रवाह (चित्र 8.5)।
क्यूएस का ऐसा तत्व कतार के रूप में कुछ प्रणालियों में अनुपस्थित हो सकता है, लेकिन साथ ही, क्यूएस में अन्य तत्व भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, असेवित अनुरोधों का एक आउटगोइंग प्रवाह।
कतारबद्ध प्रणालियों से संबंधित प्रणालियों के लिए, समस्याओं का एक निश्चित वर्ग होता है, जिसका समाधान उत्तर देने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रश्न:
चित्र 8.5 - सामान्यीकृत क्यूएस योजना
दस्तावेज़ या अन्य प्रकार की जानकारी तैयार करने में कतार या देरी को कम करने के लिए किसी सेवा को किस दर पर किया जाना चाहिए या एक निश्चित दर पर और आवश्यकताओं के आने वाले प्रवाह के अन्य मानकों पर प्रदर्शन किया जाना चाहिए?
देरी या कतार और उसके परिमाण की प्रायिकता क्या है? कतार में अनुरोध कब तक है और इसकी देरी को कैसे कम किया जाए?
दावा (ग्राहक) खोने की संभावना क्या है?
सर्विस चैनलों का इष्टतम भार कितना होना चाहिए? सिस्टम के किन मापदंडों के तहत लाभ की न्यूनतम हानि प्राप्त की जाती है?
इस सूची में कई अन्य कार्य जोड़े जा सकते हैं।
निम्नलिखित कार्यों और प्रक्रियाओं को क्यूइंग सिस्टम के रूप में दर्शाया जा सकता है: हवाई अड्डे पर विमान उतरना, गैस स्टेशनों पर कारों की सर्विसिंग, बर्थ पर जहाजों को उतारना, दुकानों में ग्राहकों की सेवा करना, क्लिनिक में मरीजों को प्राप्त करना, मरम्मत की दुकान में ग्राहकों की सेवा करना आदि।
अक्सर अनुप्रयोगों की इनपुट धाराको सबसे सरल प्रवाह के रूप में दर्शाया गया है, जिसमें स्थिरता, परिणामों की कमी और सामान्यता की संपत्ति है।
प्रवाह स्थिर है यदि संभावित शासन समय पर निर्भर नहीं है। सामान्य प्रवाह तब होता है जब समय की अवधि के लिए दो या दो से अधिक अनुप्रयोगों की उपस्थिति की संभावना होती है τ की तुलना में एक अतिसूक्ष्म मान है τ. यदि अनुरोधों की प्राप्ति प्रक्रिया के इतिहास पर निर्भर नहीं करती है, तो प्रवाह का कोई परिणाम नहीं होता है।
सबसे सरल प्रवाह के लिए, क्यूएस में अनुरोधों का आगमन पॉसों वितरण कानून द्वारा वर्णित है
पी से ( τ
) 
,
जहां पी के ( τ ) - समय के लिए आवेदन प्राप्त होने की संभावना τ ;
λ - इनपुट स्ट्रीम की तीव्रता।
एक महत्वपूर्ण शोध संपत्ति जो एक पॉइसन स्ट्रीम की है, वह यह है कि स्प्लिट-एंड-कॉम्बिनेशन प्रक्रिया फिर से पॉइसन स्ट्रीम उत्पन्न करती है। फिर, यदि इनपुट स्ट्रीम से बनता है एनस्वतंत्र स्रोत, जिनमें से प्रत्येक तीव्रता के साथ एक पॉइसन प्रवाह उत्पन्न करता है λ मैं (i = 1, 2, ..., एन), तो इसकी तीव्रता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी
λ = λ एल + λ 2 +...+ λ एन।
पोइसन प्रवाह के एन स्वतंत्र प्रवाह में विभाजन के मामले में, हम प्राप्त करते हैं कि प्रवाह तीव्रता λ मैं r i . के बराबर होऊंगा λ , जहां r i आवश्यकताओं की इनपुट स्ट्रीम में i-th स्ट्रीम का हिस्सा है।
एक कतार सेवा के लिए प्रतीक्षा कर रहे अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) का एक समूह है।
कतार के गठन की स्वीकार्यता और प्रकृति के आधार पर, कतार प्रणाली को इसमें विभाजित किया गया है:
1. विफलताओं के साथ क्यूएस - कतार की अनुमति नहीं है, इसलिए, एक अनुरोध जो ऐसे समय में आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, अस्वीकार कर दिया जाता है और खो जाता है। उदाहरण: स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज (एक निश्चित तिथि तक आदेशों का निष्पादन), किसी वस्तु की वायु रक्षा प्रणाली (एक लक्ष्य थोड़े समय के लिए फायरिंग क्षेत्र में रहता है)।
2. असीमित प्रतीक्षा के साथ क्यूएस - एक आने वाला अनुरोध, सभी सेवा उपकरणों को व्यस्त रखते हुए, कतार में लग जाता है और सेवा की प्रतीक्षा करता है। प्रतीक्षा स्थानों की संख्या (कतार की लंबाई) सीमित नहीं है। प्रतीक्षा समय सीमित नहीं है। उदाहरण: उपभोक्ता सेवा प्रतिष्ठान जैसे घड़ी और जूते की मरम्मत की दुकानें।
3. मिश्रित प्रकार के क्यूएस। इन प्रणालियों में एक कतार है
जो प्रतिबंधों के अधीन हैं। उदाहरण के लिए: कतार की अधिकतम लंबाई के लिए (मैं टाइप करता हूं - सीमित डीओ के साथ) या कतार में आवेदन की प्रतीक्षा के समय के लिए (पी प्रकार - सीमित वीओ के साथ)। टाइप I सीएमओ के उदाहरण सीमित भंडारण स्थान के साथ रेडियो उपकरण मरम्मत की दुकानें हैं। फलों और सब्जियों को बेचने वाले बिक्री आउटलेट जिन्हें सीमित समय के लिए संग्रहीत किया जा सकता है, मिश्रित प्रकार II सीएमओ हैं।
जिस क्रम में सेवा अनुरोध प्राप्त होते हैं उसे सेवा अनुशासन कहा जाता है।
क्यूएस में एक क्यू के साथ, सेवा अनुशासन के लिए निम्नलिखित विकल्प हो सकते हैं:
ए) आवेदन प्राप्त करने के क्रम में (पहले आओ - पहले पाओ) - दुकानें, उपभोक्ता सेवा उद्यम;
बी) रसीद के उल्टे क्रम में, यानी अंतिम आवेदन पहले दिया जाता है (अंतिम में - पहले पाओ) - बंकर से रिक्त स्थान को हटाना;
ग) प्राथमिकता के अनुसार (क्लिनिक में द्वितीय विश्व युद्ध के प्रतिभागी);
d) यादृच्छिक क्रम में (दुश्मन के हवाई हमले को खदेड़ते समय वस्तु की वायु रक्षा प्रणाली में)।
मुख्य पैरामीटर सेवा प्रक्रियाचैनल द्वारा अनुरोध को पूरा करने का समय (डिवाइस j की सेवा) माना जाता है - t j (j=1,2,…,m)।
प्रत्येक विशेष मामले में टी जे का मूल्य कई कारकों द्वारा निर्धारित किया जाता है: आवेदन प्राप्त करने की तीव्रता, कलाकार की योग्यता, कार्य की तकनीक, पर्यावरण इत्यादि। एक यादृच्छिक चर टी जे के वितरण के नियम बहुत भिन्न हो सकते हैं, लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला घातीय वितरण कानून है। यादृच्छिक चर t j के वितरण फलन का रूप है:
एफ(टी) \u003d एल - ई - μt,
जहां एम एक सकारात्मक पैरामीटर है जो सर्विसिंग आवश्यकताओं की तीव्रता को निर्धारित करता है;
जहां E (t) सेवा आवश्यकताओं के यादृच्छिक चर t j की गणितीय अपेक्षा है।
घातीय वितरण की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति इस प्रकार है। एक ही प्रकार के कई सेवा चैनलों की उपस्थिति में और अनुरोध आने पर उनकी पसंद की समान संभावना होने पर, सभी एम चैनलों द्वारा सेवा समय का वितरण फॉर्म का एक घातीय कार्य होगा:
यदि QS में अमानवीय चैनल होते हैं, तो यदि
सभी चैनल सजातीय हैं, तो .
सेवा उपकरणों (चैनल) की संख्या के अनुसार, QS को इसमें विभाजित किया गया है:
एक चैनल;
मल्टीचैनल।
क्यूएस की संरचना और इसके तत्वों की विशेषताओं को चित्र 8.6 में दिखाया गया है।
क्यूएस के अध्ययन में ऐसे संकेतक खोजने शामिल हैं जो सेवा प्रणाली की गुणवत्ता और काम करने की स्थिति और संकेतकों को दर्शाते हैं जो किए गए निर्णयों के आर्थिक परिणामों को दर्शाते हैं।
क्यूएस के विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा प्रणाली की स्थिति की अवधारणा है। एक राज्य एक प्रणाली का विवरण है, जिसके आधार पर उसके भविष्य के व्यवहार की भविष्यवाणी की जा सकती है।
चित्र 8.6 - क्यूएस तत्वों की संरचना और विशेषताएं
क्यूएस का विश्लेषण करते समय, औसत सेवा संकेतक निर्धारित किए जाते हैं। हल की जा रही समस्या के आधार पर, वे हो सकते हैं:
औसत कतार लंबाई,
लाइन में औसत प्रतीक्षा समय,
औसत प्रतिशतसेवित (या अस्वीकृत) आवेदन, व्यस्त (या निष्क्रिय) चैनलों की औसत संख्या,
एसएमओ, आदि में बिताया गया औसत समय।
निम्नलिखित का उपयोग अनुकूलन मानदंड के रूप में किया जाता है:
सीएमओ के संचालन से अधिकतम लाभ;
चैनलों के डाउनटाइम, कतार में अनुरोधों के डाउनटाइम और असेवित अनुरोधों के प्रस्थान से जुड़े न्यूनतम कुल नुकसान;
निर्दिष्ट थ्रूपुट सुनिश्चित करना।
चर पैरामीटर आमतौर पर हैं: चैनलों की संख्या, उनका प्रदर्शन, कतार की लंबाई और अनुशासन, सेवा की प्राथमिकता।
आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न
1. गणितीय मॉडल और मॉडलिंग की अवधारणा।
2. एक आर्थिक और सांख्यिकीय मॉडल क्या है और उत्पादन प्रकार्य?
3. प्रबंधन में ग्राफिकल और ग्राफ-एनालिटिकल मॉडल का अनुप्रयोग।
4. उपयोग सहसंबंध विश्लेषणमापदंडों के बीच संबंध की पहचान करने के लिए
5. प्रतिगमन मॉडल के निर्माण के प्रकार और तरीके।
6. सांख्यिकीय अध्ययनकारण संबंध।
7. विवरण के चार पहलुओं के अनुसार गणितीय मॉडलों का वर्गीकरण (वी.ए. कार्दश के अनुसार)।
8. अनुप्रयुक्त गणितीय उपकरण के अनुसार मॉडलों का वर्गीकरण। संतुलन मॉडल की अवधारणा।
9. मॉडलिंग के चरण। पर्याप्तता के लिए मॉडल की जाँच करना।
10. कतार प्रणाली (क्यूएस) की अवधारणा। एसएमओ के घटक।
11. क्यूएस विफलताओं के साथ और एक कतार के साथ। कतार के प्रकार।
12. सिंगल-चैनल और मल्टी-चैनल क्यूएस। सेवा विषय
13. क्यूएस मॉडलिंग। क्यूएस मॉडल पर प्रयोगों के दौरान प्राप्त संकेतक।
14. कतार प्रणाली के अनुकूलन के लिए मानदंड।
नीचे हम सबसे सरल क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) के उदाहरणों पर विचार करेंगे। "सरल" की अवधारणा का अर्थ "प्राथमिक" नहीं है। इन प्रणालियों के गणितीय मॉडल लागू होते हैं और व्यावहारिक गणनाओं में सफलतापूर्वक उपयोग किए जाते हैं।
विफलताओं के साथ एकल चैनल smo
दिया गया: सिस्टम में एक सेवा चैनल है, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है। सेवाओं के प्रवाह में तीव्रता है। एक अनुरोध जो सिस्टम को व्यस्त पाता है उसे तुरंत छोड़ देता है।
पाना: क्यूएस का निरपेक्ष और सापेक्ष थ्रूपुट और संभावना है कि समय टी पर पहुंचने वाले दावे को खारिज कर दिया जाएगा।
किसी के लिए सिस्टम टी> 0 दो अवस्थाओं में हो सकता है: एस 0 - चैनल मुफ़्त है; एस 1 - चैनल व्यस्त है। से संक्रमण एस 0 इंच एस 1 अनुरोध की उपस्थिति और उसकी सेवा की तत्काल शुरुआत के साथ जुड़ा हुआ है। से संक्रमण एसमें 1 एसअगली सेवा के पूरा होते ही 0 किया जाता है (चित्र 4)।
चित्र 4. विफलताओं के साथ एकल-चैनल QS की स्थिति का ग्राफ़
इस और अन्य क्यूएस की आउटपुट विशेषताओं (दक्षता विशेषताओं) को बिना निष्कर्ष और सबूत के दिया जाएगा।
निरपेक्ष बैंडविड्थ(प्रति यूनिट समय पर दिए गए आवेदनों की औसत संख्या):
जहां - अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता (आने वाले अनुप्रयोगों के बीच औसत समय अंतराल का पारस्परिक -);
- सेवाओं के प्रवाह की तीव्रता (औसत सेवा समय का पारस्परिक)
सापेक्ष बैंडविड्थ(सिस्टम द्वारा दिए गए आवेदनों का औसत हिस्सा):
विफलता की संभावना(संभावना है कि दावा सीएमओ को अप्रभावित छोड़ देगा):
निम्नलिखित संबंध स्पष्ट हैं: i.
उदाहरण. तकनीकी प्रणाली में एक मशीन होती है। मशीन को औसतन 0.5 घंटे में भागों के निर्माण के लिए आवेदन प्राप्त होते हैं। एक भाग के लिए औसत निर्माण समय बराबर होता है। यदि किसी पुर्जे के निर्माण के लिए आवेदन प्राप्त होने पर मशीन व्यस्त रहती है, तो उसे (भाग) दूसरी मशीन को भेज दिया जाता है। सिस्टम के निरपेक्ष और सापेक्ष थ्रूपुट और भाग के निर्माण में विफलता की संभावना का पता लगाएं।
वे। इस मशीन पर औसतन लगभग 46% भागों को संसाधित किया जाता है।
.
वे। औसतन, लगभग 54% पुर्जे प्रसंस्करण के लिए अन्य मशीनों को भेजे जाते हैं।
एन - चैनल smo विफलताओं के साथ (एरलैंग समस्या)
यह कतार सिद्धांत में पहली समस्याओं में से एक है। यह टेलीफोनी की व्यावहारिक जरूरतों से उत्पन्न हुआ और 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में डेनिश गणितज्ञ एरलांग द्वारा हल किया गया था।
दिया गया: सिस्टम है एन- चैनल जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करते हैं। सेवाओं के प्रवाह में तीव्रता है। एक अनुरोध जो सिस्टम को व्यस्त पाता है उसे तुरंत छोड़ देता है।
पाना: क्यूएस की पूर्ण और सापेक्ष क्षमता; संभावना है कि एक समय पर एक आदेश आ रहा है टी, मना कर दिया जाएगा; एक साथ दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या (या, दूसरे शब्दों में, व्यस्त चैनलों की औसत संख्या)।
समाधान. सिस्टम की स्थिति एस(क्यूएस) को सिस्टम में अनुरोधों की अधिकतम संख्या के अनुसार क्रमांकित किया जाता है (यह व्यस्त चैनलों की संख्या के साथ मेल खाता है):
एस 0 - सीएमओ में कोई आवेदन नहीं है;
एस 1 - क्यूएस में एक अनुरोध है (एक चैनल व्यस्त है, बाकी मुफ्त हैं);
एस 2 - क्यूएस में दो एप्लिकेशन हैं (दो चैनल व्यस्त हैं, बाकी मुफ्त हैं);
एस n - क्यूएस में है एन- आवेदन (सभी) एन- चैनल व्यस्त हैं)।
क्यूएस राज्य ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 5
Fig.5 विफलताओं के साथ एन-चैनल क्यूएस के लिए राज्य ग्राफ
राज्य का ग्राफ इस तरह से क्यों चिह्नित किया जाता है? राज्य से बाहर एस 0 राज्य करने के लिए एस 1 सिस्टम तीव्रता के साथ अनुप्रयोगों के प्रवाह द्वारा स्थानांतरित किया जाता है (जैसे ही कोई एप्लिकेशन आता है, सिस्टम से स्विच हो जाता है एस 0 इंच एसएक)। अगर सिस्टम राज्य में होता एस 1 और दूसरा अनुरोध आया है, यह राज्य में जाता है एस 2 आदि
निचले तीरों (ग्राफ के चाप) के लिए इतनी तीव्रता क्यों? सिस्टम को राज्य में रहने दें एस 1 (एक चैनल काम करता है)। यह समय की प्रति यूनिट सेवाओं का उत्पादन करता है। इसलिए, राज्य से संक्रमण चाप एस 1 प्रति राज्य एस 0 तीव्रता से भरा हुआ है। अब सिस्टम को राज्य में रहने दें एस 2 (दो चैनल काम करते हैं)। उसे जाने के लिए एस 1, आपको पहले चैनल या दूसरे की सेवा पूरी करनी होगी। इनके प्रवाह की कुल तीव्रता आदि के बराबर होती है।
किसी दिए गए QS की आउटपुट विशेषताओं (दक्षता विशेषताओं) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।
शुद्धthroughputयोग्यता:
कहाँ पे एन- क्यूएस चैनलों की संख्या;
क्यूएस की प्रारंभिक अवस्था में होने की संभावना है जब सभी चैनल मुक्त होते हैं (क्यूएस के राज्य में होने की अंतिम संभावना एस 0);
चित्र 6. मृत्यु और प्रजनन योजना के लिए राज्य का ग्राफ
निर्धारण के लिए एक सूत्र लिखने के लिए, चित्र 6 . पर विचार करें
इस आंकड़े में दिखाए गए ग्राफ को "मृत्यु और प्रजनन" योजना के लिए राज्य ग्राफ भी कहा जाता है। आइए पहले (बिना प्रमाण के) के लिए सामान्य सूत्र लिखें:
वैसे, क्यूएस राज्यों की शेष अंतिम संभावनाएं इस प्रकार लिखी जाएंगी।
एस 1 जब एक चैनल व्यस्त हो:
QS के राज्य में होने की प्रायिकता एस 2, अर्थात् जब दो चैनल व्यस्त हों:
QS के राज्य में होने की प्रायिकता एसएन, यानी जब सभी चैनल व्यस्त हैं।
अब विफलताओं वाले n-चैनल QS के लिए
सापेक्ष थ्रूपुट:
याद रखें कि यह सिस्टम द्वारा प्रदान किए गए अनुप्रयोगों का औसत हिस्सा है। जिसमें
संभावनाअसफलता:
याद रखें कि यह संभावना है कि आवेदन सीएमओ को बिना सेवा के छोड़ देगा। जाहिर सी बात है कि।
व्यस्त चैनलों की औसत संख्या (एक साथ दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या):
अक्सर विश्लेषण में आर्थिक प्रणालीनिम्नलिखित स्थिति में उत्पन्न होने वाली तथाकथित कतारबद्ध समस्याओं को हल करना होगा। विभिन्न क्षमताओं के स्टेशनों की एक निश्चित संख्या से युक्त कार रखरखाव प्रणाली का विश्लेषण करने दें। प्रत्येक स्टेशन पर (सिस्टम का तत्व) हो सकता है, कम से कम, दो विशिष्ट स्थितियाँ:
- इस स्टेशन के लिए आवेदनों की संख्या बहुत अधिक है, कतारें हैं, और आपको सेवा में देरी के लिए भुगतान करना होगा;
- स्टेशन को बहुत कम अनुरोध प्राप्त होते हैं और अब स्टेशन डाउनटाइम के कारण होने वाले नुकसान को ध्यान में रखना आवश्यक है।
यह स्पष्ट है कि इस मामले में सिस्टम विश्लेषण का लक्ष्य आय के नुकसान के बीच कुछ संबंध निर्धारित करना है कतारोंऔर नुकसान सिर्फ मैंस्टेशन।
कतार सिद्धांत- सिस्टम सिद्धांत का एक विशेष खंड संभाव्यता सिद्धांत का एक खंड है जिसमें गणितीय मॉडल का उपयोग करके कतार प्रणाली का अध्ययन किया जाता है।
कतार प्रणाली (क्यूएस)- यह एक मॉडल है जिसमें शामिल हैं: 1) आवश्यकताओं, कॉल या सेवा की आवश्यकता वाले ग्राहकों का एक यादृच्छिक प्रवाह; 2) इस सेवा के कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिथ्म; 3) रखरखाव के लिए चैनल (उपकरण)।
सीएमओ के उदाहरण कैश डेस्क, गैस स्टेशन, हवाई अड्डे, विक्रेता, हेयरड्रेसर, डॉक्टर, टेलीफोन एक्सचेंज और अन्य सुविधाएं हैं जो कुछ अनुप्रयोगों की सेवा करते हैं।
कतारबद्ध सिद्धांत समस्याइष्टतम लागत पर उच्च सेवा दक्षता सुनिश्चित करने के लिए क्यूएस के तर्कसंगत निर्माण और उनके काम के तर्कसंगत संगठन के लिए विकासशील सिफारिशें शामिल हैं।
इस वर्ग की समस्याओं की मुख्य विशेषता विश्लेषण के परिणामों और दो बाहरी कारकों पर प्राप्त सिफारिशों की स्पष्ट निर्भरता है: प्राप्ति की आवृत्ति और आदेशों की जटिलता (और इसलिए उनके निष्पादन का समय)।
कतार के सिद्धांत का विषय अनुप्रयोगों के प्रवाह की प्रकृति, एक अलग सेवा चैनल के प्रदर्शन, चैनलों की संख्या और सेवा की दक्षता के बीच संबंध स्थापित करना है।
जैसा क्यूएस विशेषताएंसोच-विचार किया हुआ:
- आवेदनों का औसत प्रतिशत जो अस्वीकार कर दिया गया है और सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ दिया गया है;
- अलग-अलग चैनलों और पूरे सिस्टम का औसत डाउनटाइम;
- कतार में औसत प्रतीक्षा समय;
- संभावना है कि प्राप्त आवेदन को तुरंत सेवित किया जाएगा;
- कतार लंबाई वितरण कानून और अन्य।
हम जोड़ते हैं कि अनुरोध (आवश्यकताएं) संक्षेपण और दुर्लभता के बिंदुओं के साथ यादृच्छिक रूप से (यादृच्छिक समय पर) क्यूएस दर्ज करते हैं। प्रत्येक अनुरोध के लिए सेवा समय भी यादृच्छिक होता है, जिसके बाद सेवा चैनल मुक्त हो जाता है और अगले अनुरोध को पूरा करने के लिए तैयार होता है। चैनलों की संख्या और उनके प्रदर्शन के आधार पर प्रत्येक क्यूएस की एक निश्चित क्षमता होती है। बैंडविड्थसीएमओशायद शुद्ध(प्रति यूनिट समय पर दिए गए आवेदनों की औसत संख्या) और रिश्तेदार(प्रस्तुत किए गए आवेदनों की संख्या और प्रस्तुत किए गए आवेदनों की संख्या का औसत अनुपात)।
3.1 कतार प्रणाली के मॉडल।
प्रत्येक QS को व्यंजक द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है: (ए / बी / सी): (डी / ई / एफ) , कहाँ पे
एक - अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह का वितरण;
बी - अनुप्रयोगों के आउटपुट प्रवाह का वितरण;
सी - सेवा तंत्र का विन्यास;
डी - कतार अनुशासन;
इ - प्रतीक्षारत ब्लॉक;
एफ स्रोत की क्षमता है।
अब आइए प्रत्येक विशेषता पर करीब से नज़र डालें।
अनुप्रयोगों की इनपुट स्ट्रीम- सिस्टम द्वारा प्राप्त आवेदनों की संख्या। इनपुट प्रवाह की तीव्रता द्वारा विशेषता मैं.
अनुप्रयोगों की आउटपुट स्ट्रीम- सिस्टम द्वारा दिए गए आवेदनों की संख्या। आउटपुट प्रवाह की तीव्रता द्वारा विशेषता एम.
प्रणाली विन्यासमतलब चैनलों और सर्विस नोड्स की कुल संख्या। एसएमओ में शामिल हो सकते हैं:
- एक चैनलसेवाएं (एक रनवे, एक विक्रेता);
- सेवा का एक चैनल, सहित एकाधिक सीरियल नोड्स(कैंटीन, क्लिनिक, कन्वेयर);
- कई समान चैनलसमानांतर में जुड़ी सेवाएं (गैस स्टेशन, सूचना डेस्क, रेलवे स्टेशन)।
इस प्रकार, सिंगल- और मल्टी-चैनल QS को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
दूसरी ओर, यदि क्यूएस में सभी सेवा चैनल व्यस्त हैं, तो संपर्क किया गया आवेदन कतार में रह सकता है, या सिस्टम को छोड़ सकता है (उदाहरण के लिए, एक बचत बैंक और एक टेलीफोन एक्सचेंज)। इस मामले में, हम एक कतार (प्रतीक्षा) वाले सिस्टम और विफलताओं वाले सिस्टम के बारे में बात कर रहे हैं।
मोड़अनुप्रयोगों का एक सेट है जो सेवा के लिए सिस्टम में प्रवेश कर चुका है और सेवा की प्रतीक्षा कर रहा है। कतार को कतार की लंबाई और उसके अनुशासन की विशेषता है।
कतार अनुशासनकतार से अनुरोधों को पूरा करने का नियम है। मुख्य प्रकार की कतारों में निम्नलिखित शामिल हैं:
- PERPPO (पहले आओ, पहले पाओ) सबसे आम प्रकार है;
- POSPPO (अंतिम आओ - पहले पाओ);
- SOP (आवेदन का यादृच्छिक चयन) - डेटा बैंक से।
- पीआर - प्राथमिकता सेवा।
कतार की लंबाईशायद
- असीमित - तब कोई शुद्ध अपेक्षा वाली प्रणाली की बात करता है;
- शून्य के बराबर - फिर वे विफलताओं वाली प्रणाली के बारे में बात करते हैं;
- लंबाई में सीमित (मिश्रित प्रकार प्रणाली)।
वेटिंग ब्लॉक- सिस्टम की "क्षमता" - सिस्टम में अनुप्रयोगों की कुल संख्या (कतार में और सेवा पर)। इस तरह, ई = सी +डी.
स्रोत क्षमताजो सेवा अनुरोध उत्पन्न करता है, वह अधिकतम अनुरोध है जो QS में प्रवेश कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक हवाई अड्डे पर, स्रोत क्षमता सभी मौजूदा विमानों की संख्या से सीमित होती है, और एक टेलीफोन एक्सचेंज की स्रोत क्षमता पृथ्वी के निवासियों की संख्या के बराबर होती है, अर्थात। इसे असीमित माना जा सकता है।
क्यूएस मॉडल की संख्या इन घटकों के संभावित संयोजनों की संख्या से मेल खाती है।
3.2 आवश्यकताओं की इनपुट स्ट्रीम।
समय के हर खिंचाव के साथ एक, एक+ टी ], आइए हम एक यादृच्छिक चर को जोड़ते हैं एक्स, समय के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त अनुरोधों की संख्या के बराबर टी.
अनुरोधों के प्रवाह को कहा जाता है स्थावर, यदि वितरण नियम अंतराल के प्रारंभिक बिंदु पर निर्भर नहीं करता है एक, लेकिन केवल दिए गए अंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है टी. उदाहरण के लिए, दिन के दौरान टेलीफोन एक्सचेंज में आवेदनों का प्रवाह ( टी\u003d 24 घंटे) को स्थिर नहीं माना जा सकता, लेकिन 13 से 14 घंटे ( टी\u003d 60 मिनट) - आप कर सकते हैं।
प्रवाह कहा जाता है कोई परिणाम नहीं, यदि प्रवाह का इतिहास भविष्य में आवश्यकताओं की प्राप्ति को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात। आवश्यकताएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।
प्रवाह कहा जाता है साधारण, यदि बहुत कम समय में एक से अधिक अनुरोध सिस्टम में प्रवेश नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, नाई के लिए प्रवाह सामान्य है, लेकिन रजिस्ट्री कार्यालय में नहीं। लेकिन अगर एक यादृच्छिक चर के रूप में एक्सरजिस्ट्री कार्यालय में प्रवेश करने वाले आवेदनों के जोड़े पर विचार करें, तो ऐसा प्रवाह सामान्य होगा (यानी, कभी-कभी एक असाधारण प्रवाह को सामान्य में घटाया जा सकता है)।
प्रवाह कहा जाता है सबसे साधारण, अगर यह स्थिर है, बिना किसी प्रभाव के और सामान्य है।
मुख्य प्रमेय।यदि प्रवाह सबसे सरल है, तो r.v. एक्स [ए। ए + टी] पोइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, अर्थात। .
कोरोलरी 1. सबसे सरल प्रवाह को पॉइसन प्रवाह भी कहा जाता है।
परिणाम 2. एम(एक्स)= एम(एक्स [ एक , एक + टी ] )= मैंटी, अर्थात। दौरान टी मैंटीअनुप्रयोग। इसलिए, समय की एक इकाई के लिए, सिस्टम औसतन प्राप्त करता है मैंअनुप्रयोग। इस मान को कहा जाता है तीव्रताआगत प्रवाह।
उदाहरण पर विचार करें .
स्टूडियो को प्रतिदिन औसतन 3 आवेदन प्राप्त होते हैं। प्रवाह को सबसे सरल मानते हुए, अगले दो दिनों के भीतर अनुरोधों की संख्या कम से कम 5 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान।
कार्य के अनुसार, मैं=3, टी= 2 दिन, पॉइसन इनपुट स्ट्रीम, एन
5. हल करते समय, विपरीत घटना को पेश करना सुविधाजनक होता है, जिसमें यह तथ्य होता है कि समय के दौरान टी 5 से कम आवेदन प्राप्त होंगे। इसलिए, पॉइसन सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं 
^
3.3 सिस्टम की स्थिति। संक्रमण का मैट्रिक्स और ग्राफ।
समय में एक यादृच्छिक क्षण में, क्यूएस एक राज्य से दूसरे राज्य में जाता है: व्यस्त चैनलों की संख्या, अनुरोधों और कतारों की संख्या, आदि, परिवर्तन। इस प्रकार, क्यूएस के साथ एनचैनल और कतार की लंबाई . के बराबर एम, निम्नलिखित राज्यों में से एक में हो सकता है:
इ 0 - सभी चैनल मुफ्त हैं;
इ 1 - एक चैनल पर कब्जा है;
इ एन- सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है;
इ एन +1 - सभी चैनल व्यस्त हैं और एक अनुरोध कतार में है;
इ एन + एम- सभी चैनल और कतार में सभी जगहों पर कब्जा है।
विफलताओं वाली एक समान प्रणाली राज्यों में हो सकती है इ 0 – इ एन .
शुद्ध अपेक्षा वाले QS के लिए, राज्यों का एक अनंत सेट होता है। इस तरह, स्थिति इ एन समय पर क्यूएस टी मात्रा है एन एप्लिकेशन (आवश्यकताएं) जो एक निश्चित समय पर सिस्टम में हैं, अर्थात। एन= एन(टी) - यादृच्छिक मूल्य, इ एन (टी) इस यादृच्छिक चर के परिणाम हैं, और पी एन (टी) संभावना है कि सिस्टम राज्य में है इ एन .
हम सिस्टम की स्थिति से पहले से ही परिचित हैं। ध्यान दें कि सिस्टम के सभी राज्य समान नहीं हैं। सिस्टम की स्थिति को कहा जाता है स्रोतअगर सिस्टम इस राज्य को छोड़ सकता है लेकिन इसमें वापस नहीं आ सकता है। सिस्टम की स्थिति को कहा जाता है पृथक,यदि सिस्टम इस स्थिति से बाहर या प्रवेश नहीं कर सकता है।
सिस्टम के राज्यों की छवियों की कल्पना करने के लिए, आरेखों (तथाकथित संक्रमण ग्राफ़) का उपयोग किया जाता है, जिसमें तीर एक राज्य से दूसरे राज्य में सिस्टम के संभावित संक्रमणों के साथ-साथ ऐसे संक्रमणों की संभावनाओं को इंगित करते हैं।
चित्र 3.1 - संक्रमण ग्राफ
| कॉम्प. | ई 0 | ई 1 | ई 2 | |
| ई 0 | पी 0.0 | पी 0.1 | पी 0.2 | |
| ई 1 | पी 1.0 | आर 1.1 | आर 1.2 | |
| ई 2 | आर 2.0 | आर 2.2 | आर 2.2 |
कभी-कभी ट्रांज़िशन मैट्रिक्स का उपयोग करना भी सुविधाजनक होता है। इस मामले में, पहले कॉलम का अर्थ है सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति (वर्तमान), और फिर इन राज्यों से अन्य राज्यों में संक्रमण की संभावनाएं दी गई हैं।
चूंकि सिस्टम अनिवार्य रूप से एक से गुजरेगा
दूसरे के लिए राज्य, तो प्रत्येक पंक्ति में संभावनाओं का योग हमेशा एक के बराबर होता है।
3.4 सिंगल-चैनल क्यूएस।
3.4.1 विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।
हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जो आवश्यकताओं को पूरा करती हैं:
(पी/ई/1):(-/1/¥) । आइए हम यह भी मान लें कि ग्राहक का सेवा समय सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है। यहाँ और नीचे, "P" का अर्थ है कि इनपुट प्रवाह पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, अर्थात। सबसे सरल, "ई" का अर्थ है कि आउटपुट प्रवाह तेजी से वितरित किया जाता है। साथ ही यहां और नीचे, मुख्य सूत्र बिना प्रमाण के दिए गए हैं।
ऐसी प्रणाली के लिए, दो राज्य संभव हैं: इ 0 - प्रणाली मुक्त है और इ 1 - सिस्टम व्यस्त है। आइए एक ट्रांज़िशन मैट्रिक्स बनाएं। चलो ले लो डीटीसमय की एक अनंत राशि है। बता दें कि घटना ए में इस तथ्य को शामिल किया गया है कि सिस्टम में समय के दौरान डीटीएक अनुरोध प्राप्त हुआ। घटना बी इस तथ्य में शामिल है कि समय के दौरान डीटीएक अनुरोध दिया गया है। आयोजन लेकिन मैं , क- दौरान डीटीसिस्टम राज्य से जाएगा इ मैंएक राज्य में इ क. इसलिये मैंइनपुट प्रवाह की तीव्रता है, तो समय के दौरान डीटीऔसतन सिस्टम में प्रवेश करता है एल*डीटीआवश्यकताएं। यानी एक दावा मिलने की प्रायिकता पी (ए) =मैं* डीटी, और विपरीत घटना की संभावना (А)=1-एल*डीटी.पी (बी) =एफ(डीटी)= पी(बी< डी टी)=1- इ - एम डी टी = एम डीटी- समय पर अनुरोध को पूरा करने की संभावना डीटी. फिर ए 00 - आवेदन प्राप्त नहीं होगा या प्राप्त नहीं होगा, लेकिन परोसा जाएगा। ए 00 \u003d + ए * वी. आर 00 \u003d 1 - एल*डीटी. (हमने ध्यान में रखा कि (डीटी) 2 एक अनंत मूल्य है)
ए 01 - आवेदन प्राप्त होगा, लेकिन तामील नहीं किया जाएगा। ए 01 = ए *
. आर 01 =
एल*डीटी.
और 10 - आवेदन की तामील की जाएगी और कोई नया नहीं होगा। ए 10 \u003d बी * एक। आर 10 = एम*डीटी.
और 11 - आवेदन नहीं दिया जाएगा या एक नया आ जाएगा जो अभी तक परोसा नहीं गया है। ए 11 = +वी *
ए. आर 01 = 1-
एम*डीटी.
इस प्रकार, हम संक्रमण मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:
| कॉम्प. | ई 0 | ई 1 |
| ई 0 | 1-एल * डीटी | मैं * डीटी |
| ई 1 | एम * डीटी | 1-मीटर * डीटी |
सिस्टम डाउनटाइम और विफलता की संभावना।
आइए अब इस प्रणाली के राज्य में होने की प्रायिकता ज्ञात करें इ 0
किसी भी समय टी(वे। आर 0
(
टी)
) फंक्शन ग्राफ 
चित्र 3.2 में दिखाया गया है।
ग्राफ का स्पर्शोन्मुख एक सीधी रेखा है 
.
जाहिर है, किसी बिंदु से टी, 
1
चित्र 3.2
हम अंत में इसे प्राप्त करते हैं तथा 
, कहाँ पे आर 1
(टी)
संभावना है कि समय पर टी
सिस्टम व्यस्त है (अर्थात स्थिति में है इ 1
).
यह स्पष्ट है कि क्यूएस ऑपरेशन की शुरुआत में, चल रही प्रक्रिया स्थिर नहीं होगी: यह एक "संक्रमणकालीन", गैर-स्थिर मोड होगा। कुछ समय बाद (जो इनपुट और आउटपुट प्रवाह की तीव्रता पर निर्भर करता है), यह प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी और सिस्टम एक स्थिर, स्थिर संचालन की स्थिति में चला जाएगा, और संभाव्य विशेषताएं अब समय पर निर्भर नहीं होंगी।
स्थिर संचालन मोड और सिस्टम लोड फैक्टर।
यदि सिस्टम के किसी राज्य में होने की प्रायिकता इ क, अर्थात। आर क (टी),
समय पर निर्भर नहीं करता टी, तो वे कहते हैं कि QS ने स्थापित किया है स्थिर मोडकाम। उसी समय, मूल्य 
बुलाया सिस्टम लोड फैक्टर(या अनुप्रयोगों के प्रवाह की कम घनत्व)। फिर संभावनाओं के लिए आर 0
(टी)
तथा आर 1
(टी)
हमें निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं: 
, 
. आप यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं: कैसे अधिक अनुपातसिस्टम लोड हो रहा है, सिस्टम के विफल होने की संभावना अधिक है (यानी, सिस्टम के व्यस्त होने की संभावना)।
कार वॉश में मेंटेनेंस के लिए एक यूनिट होती है। पॉसों वितरण में कारें 5 कारों/घंटा की दर से पहुंचती हैं। एक कार के लिए औसत सेवा समय 10 मिनट है। यदि QS स्थिर मोड में है, तो आने वाली कार के सिस्टम में व्यस्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान।कार्य के अनुसार, मैं=5, एम आप
= 5/6। हमें संभावना खोजने की जरूरत है आर 1
सिस्टम फेल होने की संभावना है। 
.
3.4.2 असीमित कतार लंबाई के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।
हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जो आवश्यकताओं को पूरा करती हैं: (Р/Е/1):(d/¥/¥)। सिस्टम किसी एक राज्य में हो सकता है इ 0 , …, इ क, ... विश्लेषण से पता चलता है कि कुछ समय बाद ऐसी प्रणाली एक स्थिर मोड में काम करना शुरू कर देती है, अगर आउटपुट प्रवाह की तीव्रता इनपुट प्रवाह की तीव्रता से अधिक हो जाती है (यानी, सिस्टम लोड फैक्टर एक से कम है)। इस स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं
जिसका समाधान हम पाते हैं। इस प्रकार, बशर्ते कि आप<1, получим 
आखिरकार, 
तथा 
QS के राज्य में होने की प्रायिकता है इ कयादृच्छिक समय पर।
प्रणाली की औसत विशेषताएं।
सिस्टम में आवश्यकताओं की असमान प्राप्ति और सेवा समय में उतार-चढ़ाव के कारण, सिस्टम में एक कतार बन जाती है। ऐसी प्रणाली के लिए, आप एक्सप्लोर कर सकते हैं:
- एन - क्यूएस में आवश्यकताओं की संख्या (कतार में और सेवा में);
- वी - कतार की लंबाई;
- वू - सेवा शुरू प्रतीक्षा समय;
- वू 0 सिस्टम में बिताया गया कुल समय है।
हमें दिलचस्पी होगी औसत विशेषताएं(अर्थात, हम माने गए यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा लेते हैं, और याद रखें कि आप<1).
सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या है।
औसत कतार लंबाई है।
सेवा की शुरुआत के लिए औसत प्रतीक्षा समय है, अर्थात। लाइन में प्रतीक्षा समय।
- औसत समय जो एप्लिकेशन सिस्टम में खर्च करता है - कतार में और सेवा के लिए।
कार वॉश में सर्विस के लिए एक ब्लॉक होता है और कतार के लिए जगह होती है। पॉसों वितरण में कारें 5 कारों/घंटा की दर से पहुंचती हैं। एक कार के लिए औसत सेवा समय 10 मिनट है। सभी औसत क्यूएस विशेषताओं का पता लगाएं।
समाधान। मैं=5, एम=60मिनट/10मिनट = 6. लोड फैक्टर आप
= 5/6। तब सिस्टम में कारों की औसत संख्या 
, औसत कतार लंबाई 
, सेवा शुरू होने का औसत प्रतीक्षा समय 
घंटे = 50 मिनट, और अंत में सिस्टम में बिताया गया औसत समय 
घंटा।
3.4.3 मिश्रित प्रकार के सिंगल-चैनल क्यूएस।
मान लीजिए कि कतार की लंबाई है एमआवश्यकताएं। फिर, किसी के लिए एस£
एम, राज्य में क्यूएस खोजने की संभावना इ 1+
एस, सूत्र द्वारा गणना की जाती है 
, अर्थात। एक आवेदन दिया जा रहा है और दूसरा एसआवेदन कतार में हैं।
सिस्टम डाउनटाइम की संभावना है 
,
और सिस्टम की विफलता की संभावना है 
.
प्रत्येक के लिए तीन सिंगल-चैनल सिस्टम दिए गए हैं मैं=5, एम =6. लेकिन पहली प्रणाली विफलताओं के साथ है, दूसरी शुद्ध प्रतीक्षा के साथ है, और तीसरी सीमित कतार की लंबाई के साथ है, एम= 2. इन तीन प्रणालियों की डाउनटाइम संभावनाओं को खोजें और तुलना करें।
समाधान।सभी प्रणालियों के लिए लोड फैक्टर आप= 5/6। विफलताओं वाली प्रणाली के लिए 
. शुद्ध अपेक्षा वाली प्रणाली के लिए 
. सीमित कतार लंबाई वाले सिस्टम के लिए 
. निष्कर्ष स्पष्ट है: जितने अधिक अनुप्रयोग कतार में होंगे, सिस्टम डाउनटाइम की संभावना उतनी ही कम होगी।
3.5 मल्टीचैनल क्यूएस।
3.5.1 मल्टीचैनल QS विफलताओं के साथ।
हम सिस्टम (Р/Е/s) पर विचार करेंगे:(-/s/¥) इस धारणा के तहत कि सेवा समय इनपुट स्ट्रीम पर निर्भर नहीं करता है और सभी लाइनें स्वतंत्र रूप से काम करती हैं। मल्टीचैनल सिस्टम, लोड फैक्टर के अलावा, गुणांक द्वारा भी विशेषता हो सकती है 
, कहाँ पे एस- सेवा चैनलों की संख्या। मल्टीचैनल क्यूएस की खोज करते हुए, हम राज्य में सिस्टम की संभावना के लिए निम्नलिखित सूत्र (एरलांग सूत्र) प्राप्त करते हैं इ कयादृच्छिक समय पर:
, के = 0, 1, …
लागत कार्य।
सिंगल-चैनल सिस्टम की तरह, लोड फैक्टर में वृद्धि से सिस्टम के विफल होने की संभावना बढ़ जाती है। दूसरी ओर, सेवा लाइनों की संख्या में वृद्धि से सिस्टम या व्यक्तिगत चैनलों के डाउनटाइम की संभावना में वृद्धि होती है। इस प्रकार, इस QS के लिए सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या ज्ञात करना आवश्यक है। निःशुल्क सेवा लाइनों की औसत संख्या सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती है 
. आइए परिचय देते हैं सी ( एस) – लागत कार्यक्यूएस पर निर्भर करता है साथ 1
- एक इनकार की लागत (एक अधूरे आवेदन के लिए जुर्माना) और से साथ 2
- समय की प्रति यूनिट एक लाइन के डाउनटाइम की लागत।
इष्टतम विकल्प खोजने के लिए, आपको लागत फ़ंक्शन का न्यूनतम मूल्य (और यह किया जा सकता है) खोजने की आवश्यकता है: से(एस) = साथ 1*
मैं *
पी एस +सी 2*
, जिसका ग्राफ चित्र 3.3 में दिखाया गया है:
चित्र 3.3
लागत फ़ंक्शन के न्यूनतम मूल्य की खोज यह है कि हम इसके मूल्यों को पहले पाते हैं एस = 1, फिर के लिए एस = 2, फिर के लिए एस = 3, आदि। जब तक किसी चरण में फ़ंक्शन का मान ( एस) पिछले वाले से बड़ा नहीं होगा। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन अपने न्यूनतम तक पहुंच गया है और बढ़ना शुरू हो गया है। उत्तर सेवा चैनलों की संख्या है (मान .) एस) जिसके लिए लागत फलन न्यूनतम है।
उदाहरण .
कितनी सेवा लाइनों में विफलताओं के साथ QS होना चाहिए, यदि मैं\u003d 2reb / घंटा, एम\u003d 1reb / घंटा, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 7 हजार रूबल है, एक पंक्ति के लिए डाउनटाइम की लागत 2 हजार रूबल है। घंटे में?
समाधान। आप = 2/1=2. साथ 1 =7, साथ 2 =2.
आइए मान लें कि क्यूएस के दो सर्विस चैनल हैं, यानी। एस
= 2. फिर 
. फलस्वरूप, सी(2) = सी 1
*एल*पी 2
+सी 2
*(2-
वाई*(1-पी 2
))
= =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.
चलो दिखावा करते हैं कि एस
=3. फिर 
, सी(3) = सी 1
*एल*पी 3
+सी 2
*
=5.79.
आइए मान लें कि चार चैनल हैं, यानी। एस
= 4। फिर 
, 
, सी(4) = सी 1
*एल*पी 4
+सी 2
*
=5.71.
आइए मान लें कि क्यूएस में पांच सर्विस चैनल हैं, यानी। एस
=5. फिर 
, सी(5) = 6.7 - पिछले मान से अधिक। इसलिए, सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या चार है।
3.5.2 क्यू के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस।
हम सिस्टम (Р/Е/s) पर विचार करेंगे:(d/d+s/¥) इस धारणा के तहत कि सेवा समय इनपुट प्रवाह पर निर्भर नहीं करता है और सभी लाइनें स्वतंत्र रूप से काम करती हैं। हम कहेंगे कि सिस्टम स्थापित हो गया है स्थिर संचालन, यदि आने वाले दावों की औसत संख्या सिस्टम की सभी लाइनों पर दिए गए दावों की औसत संख्या से कम है, अर्थात। मैं
पी (डब्ल्यू> 0)
सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा की संभावना है, 
.
अंतिम विशेषता सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने की समस्या को हल करने की अनुमति देती है ताकि सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा की संभावना किसी दिए गए संख्या से कम हो। ऐसा करने के लिए, यह क्रमिक रूप से उम्मीद की संभावना की गणना करने के लिए पर्याप्त है एस =1, एस =2, एस= 3 आदि
उदाहरण .
एसएमओ - एक छोटे से माइक्रोडिस्ट्रिक्ट का एम्बुलेंस स्टेशन। मैं=3 कॉल प्रति घंटा, और एम= एक टीम के लिए प्रति घंटे 4 कॉल। स्टेशन पर कितने चालक दल होने चाहिए ताकि बाहर निकलने की प्रतीक्षा की संभावना 0.01 से कम हो?
समाधान।सिस्टम लोड फैक्टर आप
= 0.75। मान लें कि दो टीमें उपलब्ध हैं। आइए हम सेवा के शुरू होने की प्रतीक्षा की प्रायिकता ज्ञात करें एस =2. 
, 
.
मान लीजिए कि तीन ब्रिगेड हैं, यानी। एस=3. सूत्रों के अनुसार, हम पाते हैं कि आर 0 =8/17, पी(वू>0)=0.04>0.01 .
मान लीजिए कि स्टेशन पर चार क्रू हैं, यानी। एस= 4। तब हमें वह मिलता है आर 0 =416/881, पी(वू>0)=0.0077<0.01 . इसलिए स्टेशन पर चार ब्रिगेड होनी चाहिए।
3.6 आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न
- कतार के सिद्धांत का विषय और कार्य।
- क्यूएस, उनके मॉडल और पदनाम।
- आवश्यकताएँ इनपुट स्ट्रीम। इनपुट स्ट्रीम की तीव्रता।
- सिस्टम की स्थिति। संक्रमण का मैट्रिक्स और ग्राफ।
- विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।
- कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस। विशेषताएं।
- संचालन का स्थिर तरीका। सिस्टम लोड फैक्टर
- विफलताओं के साथ मल्टीचैनल क्यूएस।
- लागत समारोह अनुकूलन।
- एक कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस। विशेषताएं।
3.7 स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम
- गैस स्टेशन के स्नैक बार में एक काउंटर है। पॉइसन वितरण के अनुसार कारें प्रति 5 मिनट में औसतन 2 कारों के साथ आती हैं। औसतन, 1.5 मिनट एक आदेश को पूरा करने के लिए पर्याप्त है, हालांकि सेवा की अवधि एक घातीय कानून के अनुसार वितरित की जाती है। खोजें: क) स्टाल के निष्क्रिय होने की प्रायिकता; बी) औसत प्रदर्शन; ग) आने वाली कारों की संख्या कम से कम 10 होने की संभावना है।
- एक्स-रे मशीन आपको प्रति घंटे औसतन 7 लोगों की जांच करने की अनुमति देती है। आगंतुकों की तीव्रता प्रति घंटे 5 लोग हैं। स्थिर संचालन मानते हुए, औसत विशेषताओं का निर्धारण करें।
- क्यूएस में सेवा समय एक घातीय कानून का पालन करता है,
एम = प्रति घंटे 7 आवश्यकताएँ। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि a) सेवा समय 3 से 30 मिनट के बीच है; बी) दावा एक घंटे के भीतर परोसा जाएगा। फ़ंक्शन मान तालिका का उपयोग करें इ एक्स . - नदी बंदरगाह में एक बर्थ है, इनपुट प्रवाह की तीव्रता प्रति दिन 5 जहाजों है। लोडिंग और अनलोडिंग ऑपरेशन की तीव्रता प्रति दिन 6 जहाज है। संचालन के स्थिर मोड को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम की सभी औसत विशेषताओं का निर्धारण करें।
- मैं=3, एम=2, प्रत्येक विफलता के लिए दंड 5 है, और डाउनटाइम लागत प्रति पंक्ति 2 है?
- सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या क्या है जो एक QS के पास होनी चाहिए यदि मैं=3, एम = 1, प्रत्येक विफलता के लिए दंड 7 है, और डाउनटाइम लागत प्रति पंक्ति 3 है?
- सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या क्या है जो एक QS के पास होनी चाहिए यदि मैं=4, एम=2, प्रत्येक विफलता के लिए दंड 5 है, और डाउनटाइम लागत प्रति पंक्ति 1 है?
- विमान के लिए रनवे की संख्या निर्धारित करें, इस आवश्यकता के अधीन कि प्रतीक्षा संभावना 0.05 से कम होनी चाहिए। इसी समय, इनपुट प्रवाह की तीव्रता 27 विमान प्रति दिन है, और उनकी सेवा की तीव्रता प्रति दिन 30 विमान है।
- कार्य की लय सुनिश्चित करने के लिए एक कार्यशाला में कितनी समान स्वतंत्र कन्वेयर लाइनें होनी चाहिए, जिसमें उत्पादों के प्रसंस्करण की प्रतीक्षा की संभावना 0.03 से कम होनी चाहिए (प्रत्येक उत्पाद एक पंक्ति द्वारा निर्मित होता है)। यह ज्ञात है कि ऑर्डर प्राप्त करने की तीव्रता प्रति घंटे 30 उत्पाद है, और एक उत्पाद को एक पंक्ति में संसाधित करने की तीव्रता 36 उत्पाद प्रति घंटे है।
- एक सतत यादृच्छिक चर X को पैरामीटर l=5 के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। वितरण फलन, विशेषताओं और आर.वी. से टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। X 0.17 से 0.28 की सीमा में है।
- एक मिनट में PBX पर आने वाली कॉलों की औसत संख्या 3 है। मान लें कि प्रवाह पॉइसन है, तो 2 मिनट में होने वाली प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) दो कॉल; बी) दो से कम कॉल; ग) कम से कम दो कॉल।
- एक बॉक्स में 17 भाग हैं, जिनमें से 4 खराब हैं। असेंबलर यादृच्छिक रूप से 5 टुकड़े खींचता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि क) सभी निकाले गए भाग उच्च गुणवत्ता के हैं; बी) निकाले गए भागों में से 3 दोषपूर्ण हैं।
- विफलताओं वाले QS में कितने चैनल होने चाहिए यदि मैं\u003d 2reb / घंटा, एम\u003d 1 मांग / घंटा, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 8 हजार रूबल है, एक लाइन के लिए डाउनटाइम की लागत 2 हजार रूबल है। घंटे में?
लोड हो रहा है...