गणितीय मॉडल के निर्माण के चरण। गणितीय मॉडल बनाने की विशेषताएं

इस लेख में, हम उदाहरण प्रस्तुत करते हैं गणितीय मॉडल. इसके अलावा, हम मॉडल बनाने के चरणों पर ध्यान देंगे और गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कुछ समस्याओं का विश्लेषण करेंगे।

हमारा एक और मुद्दा अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल है, जिसके उदाहरण हम थोड़ी देर बाद परिभाषा पर विचार करेंगे। हम "मॉडल" की अवधारणा के साथ अपनी बातचीत शुरू करने का प्रस्ताव करते हैं, संक्षेप में उनके वर्गीकरण पर विचार करें और हमारे मुख्य प्रश्नों पर आगे बढ़ें।

"मॉडल" की अवधारणा

हम अक्सर "मॉडल" शब्द सुनते हैं। यह क्या है? इस शब्द की कई परिभाषाएँ हैं, यहाँ उनमें से केवल तीन हैं:

• एक विशिष्ट वस्तु जो जानकारी प्राप्त करने और संग्रहीत करने के लिए बनाई गई है, कुछ गुणों या विशेषताओं को दर्शाती है, और इसी तरह, इस वस्तु के मूल (इस विशिष्ट वस्तु को व्यक्त किया जा सकता है) अलग रूप: मानसिक, संकेतों का उपयोग करके विवरण, और इसी तरह);
• एक मॉडल का अर्थ किसी विशिष्ट स्थिति, जीवन या प्रबंधन का प्रदर्शन भी है;
• किसी वस्तु की एक छोटी प्रति एक मॉडल के रूप में काम कर सकती है (वे और अधिक के लिए बनाई गई हैं विस्तृत अध्ययनऔर विश्लेषण, जैसा कि मॉडल संरचना और संबंधों को दर्शाता है)।

पहले कही गई हर बात के आधार पर, हम एक छोटा निष्कर्ष निकाल सकते हैं: मॉडल आपको एक जटिल प्रणाली या वस्तु के बारे में विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देता है।

सभी मॉडलों को कई विशेषताओं के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• उपयोग के क्षेत्र द्वारा (शैक्षिक, प्रयोगात्मक, वैज्ञानिक और तकनीकी, गेमिंग, सिमुलेशन);
• गतिकी द्वारा (स्थिर और गतिशील);
• ज्ञान की शाखा द्वारा (भौतिक, रासायनिक, भौगोलिक, ऐतिहासिक, सामाजिक, आर्थिक, गणितीय);
• प्रस्तुति की विधि (सामग्री और सूचनात्मक) के अनुसार।

सूचना मॉडल, बदले में, संकेत और मौखिक में विभाजित हैं। और प्रतिष्ठित - कंप्यूटर और गैर-कंप्यूटर पर। आइए अब हम गणितीय मॉडल के उदाहरणों पर विस्तार से विचार करें।

गणित का मॉडल

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक गणितीय मॉडल विशेष गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके किसी वस्तु या घटना की कुछ विशेषताओं को दर्शाता है। दुनिया के नियमों को अपनी विशिष्ट भाषा में मॉडल करने के लिए गणित की आवश्यकता होती है।

गणितीय निदर्शन की पद्धति की उत्पत्ति इस विज्ञान के आगमन के साथ-साथ हजारों वर्ष पूर्व काफ़ी समय पहले हुई थी। हालांकि, इस मॉडलिंग पद्धति के विकास के लिए कंप्यूटर (इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर) की उपस्थिति से प्रोत्साहन मिला।

अब चलो वर्गीकरण पर चलते हैं। इसे कुछ संकेतों के अनुसार भी किया जा सकता है। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

हम पिछले वर्गीकरण को रोकने और करीब से देखने का प्रस्ताव करते हैं, क्योंकि यह मॉडलिंग के सामान्य पैटर्न और बनाए जा रहे मॉडल के लक्ष्यों को दर्शाता है।

वर्णनात्मक मॉडल

इस अध्याय में, हम वर्णनात्मक गणितीय मॉडल पर अधिक विस्तार से ध्यान देने का प्रस्ताव करते हैं। सब कुछ बहुत स्पष्ट करने के लिए, एक उदाहरण दिया जाएगा।

आरंभ करने के लिए, इस दृश्य को वर्णनात्मक कहा जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि हम केवल गणना और पूर्वानुमान करते हैं, लेकिन हम किसी भी तरह से घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते हैं।

एक वर्णनात्मक गणितीय मॉडल का एक आकर्षक उदाहरण एक धूमकेतु की पृथ्वी से उड़ान पथ, गति, दूरी की गणना है जिसने हमारे विस्तार पर आक्रमण किया सौर प्रणाली. यह मॉडल वर्णनात्मक है, क्योंकि प्राप्त सभी परिणाम हमें केवल किसी प्रकार के खतरे से आगाह कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, हम घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते। हालांकि, प्राप्त गणनाओं के आधार पर, पृथ्वी पर जीवन को संरक्षित करने के लिए कोई उपाय करना संभव है।

अनुकूलन मॉडल

अब हम आर्थिक और गणितीय मॉडलों के बारे में थोड़ी बात करेंगे, जिसके उदाहरण विभिन्न स्थितियाँ हो सकते हैं। इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो कुछ स्थितियों में सही उत्तर खोजने में मदद करते हैं। उनके पास कुछ पैरामीटर होने चाहिए। इसे बहुत स्पष्ट करने के लिए, कृषि भाग से एक उदाहरण पर विचार करें।

हमारे पास अन्न भंडार है, लेकिन अनाज बहुत जल्दी खराब हो जाता है। इस मामले में, हमें सही चुनने की जरूरत है तापमान व्यवस्थाऔर भंडारण प्रक्रिया को अनुकूलित करें।

इस प्रकार, हम "अनुकूलन मॉडल" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। गणितीय अर्थ में, यह समीकरणों की एक प्रणाली है (दोनों रैखिक और नहीं), जिसका समाधान किसी विशेष आर्थिक स्थिति में इष्टतम समाधान खोजने में मदद करता है। हमने गणितीय मॉडल (अनुकूलन) का एक उदाहरण माना है, लेकिन मैं एक और बात जोड़ना चाहूंगा: यह प्रकार अत्यधिक समस्याओं के वर्ग से संबंधित है, वे आर्थिक प्रणाली के कामकाज का वर्णन करने में मदद करते हैं।

हम एक और बारीकियों पर ध्यान देते हैं: मॉडल पहन सकते हैं अलग चरित्र(नीचे दी गई तालिका देखें)।

बहु मानदंड मॉडल

अब हम आपको बहुउद्देश्यीय अनुकूलन के गणितीय मॉडल के बारे में थोड़ी बात करने के लिए आमंत्रित करते हैं। इससे पहले, हमने किसी एक मानदंड के अनुसार प्रक्रिया को अनुकूलित करने के लिए गणितीय मॉडल का एक उदाहरण दिया था, लेकिन क्या होगा यदि उनमें से बहुत सारे हैं?

बहु-मापदंड कार्य का एक महत्वपूर्ण उदाहरण लोगों के बड़े समूहों के उचित, स्वस्थ और साथ ही किफायती पोषण का संगठन है। सेना, स्कूल कैंटीन में अक्सर ऐसे काम आते हैं, गर्मियों में लगने वाला शिविर, अस्पताल और इतने पर।

इस कार्य में हमें क्या मापदंड दिए गए हैं?

1. भोजन स्वस्थ होना चाहिए।
2. भोजन का खर्च कम से कम रखा जाना चाहिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये लक्ष्य बिल्कुल मेल नहीं खाते हैं। इसका मतलब यह है कि किसी समस्या को हल करते समय, इष्टतम समाधान की तलाश करना आवश्यक है, दो मानदंडों के बीच संतुलन।

खेल मॉडल

गेम मॉडल के बारे में बोलते हुए, "गेम थ्योरी" की अवधारणा को समझना आवश्यक है। सीधे शब्दों में कहें तो ये मॉडल वास्तविक संघर्षों के गणितीय मॉडल को दर्शाते हैं। यह केवल समझने योग्य है कि, वास्तविक संघर्ष के विपरीत, एक गेम गणितीय मॉडल के अपने विशिष्ट नियम होते हैं।

अब मैं गेम थ्योरी से कम से कम जानकारी दूंगा, जिससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि गेम मॉडल क्या है। और इसलिए, मॉडल में आवश्यक रूप से पार्टियां (दो या अधिक) होती हैं, जिन्हें आमतौर पर खिलाड़ी कहा जाता है।

सभी मॉडलों में कुछ विशेषताएं होती हैं।

गेम मॉडल को जोड़ा या एकाधिक किया जा सकता है। यदि हमारे पास दो विषय हैं, तो संघर्ष जोड़ा जाता है, यदि अधिक - एकाधिक। एक विरोधी खेल को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है, इसे शून्य-योग वाला खेल भी कहा जाता है। यह एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक प्रतिभागी का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर होता है।

सिमुलेशन मॉडल

इस खंड में, हम सिमुलेशन गणितीय मॉडल पर ध्यान केंद्रित करेंगे। कार्यों के उदाहरण हैं:

• सूक्ष्मजीवों की संख्या की गतिशीलता का मॉडल;
• आणविक गति का मॉडल, और इसी तरह।

इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो वास्तविक प्रक्रियाओं के यथासंभव करीब हैं। द्वारा सब मिलाकर, वे प्रकृति में किसी भी अभिव्यक्ति की नकल करते हैं। पहले मामले में, उदाहरण के लिए, हम एक कॉलोनी में चींटियों की संख्या की गतिशीलता का मॉडल बना सकते हैं। इस मामले में, आप प्रत्येक व्यक्ति के भाग्य का निरीक्षण कर सकते हैं। इस मामले में, गणितीय विवरण का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, अधिक बार लिखित शर्तें होती हैं:

• पांच दिनों के बाद, मादा अंडे देती है;
• बीस दिनों के बाद चींटी मर जाती है, इत्यादि।

तो वर्णन करते थे बड़ी प्रणाली. गणितीय निष्कर्ष प्राप्त सांख्यिकीय डेटा का प्रसंस्करण है।

आवश्यकताएं

यह जानना बहुत जरूरी है कि इस प्रकार के मॉडल के लिए कुछ आवश्यकताएं हैं, जिनमें से नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं।

मॉडलिंग कदम

कुल मिलाकर, गणितीय मॉडलिंग में चार चरणों को अलग करने की प्रथा है।

1. मॉडल के कुछ हिस्सों को जोड़ने वाले कानूनों का निर्माण।
2. गणितीय समस्याओं का अध्ययन।
3. व्यावहारिक और सैद्धांतिक परिणामों के संयोग का पता लगाना।
4. मॉडल का विश्लेषण और आधुनिकीकरण।

आर्थिक और गणितीय मॉडल

इस खंड में, हम संक्षेप में इस मुद्दे पर प्रकाश डालेंगे। कार्यों के उदाहरण हो सकते हैं:

• मांस उत्पादों के उत्पादन के लिए एक उत्पादन कार्यक्रम का गठन, उत्पादन का अधिकतम लाभ सुनिश्चित करना;
• एक फर्नीचर कारखाने में उत्पादित होने वाली मेजों और कुर्सियों की इष्टतम संख्या की गणना करके संगठन के लाभ को अधिकतम करना, और इसी तरह।

आर्थिक-गणितीय मॉडल एक आर्थिक अमूर्तता प्रदर्शित करता है, जिसे गणितीय शब्दों और संकेतों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

कंप्यूटर गणितीय मॉडल

कंप्यूटर गणितीय मॉडल के उदाहरण हैं:

• फ्लोचार्ट, डायग्राम, टेबल आदि का उपयोग करते हुए हाइड्रोलिक्स कार्य;
• ठोस यांत्रिकी पर समस्याएं, और इसी तरह।

एक कंप्यूटर मॉडल एक वस्तु या प्रणाली की एक छवि है, जिसे इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:

• टेबल;
• ब्लॉक आरेख;
• आरेख;
• ग्राफिक्स, और इतने पर।

साथ ही, यह मॉडल सिस्टम की संरचना और इंटरकनेक्शन को दर्शाता है।

एक आर्थिक और गणितीय मॉडल का निर्माण

हम पहले ही बात कर चुके हैं कि आर्थिक-गणितीय मॉडल क्या है। समस्या को हल करने का एक उदाहरण अभी माना जाएगा। वर्गीकरण में बदलाव के साथ लाभ बढ़ाने के लिए रिजर्व की पहचान करने के लिए हमें उत्पादन कार्यक्रम का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

हम समस्या पर पूरी तरह से विचार नहीं करेंगे, बल्कि केवल एक आर्थिक और गणितीय मॉडल का निर्माण करेंगे। हमारे कार्य की कसौटी लाभ को अधिकतम करना है। फिर फ़ंक्शन का रूप है: Л=р1*х1+р2*х2… अधिकतम की ओर झुकाव। इस मॉडल में, p प्रति इकाई लाभ है, x उत्पादित इकाइयों की संख्या है। इसके अलावा, निर्मित मॉडल के आधार पर, गणना करना और सारांशित करना आवश्यक है।

एक साधारण गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण

एक कार्य।मछुआरा निम्नलिखित पकड़ के साथ लौटा:

• 8 मछलियाँ - उत्तरी समुद्र के निवासी;
• 20% पकड़ - दक्षिणी समुद्र के निवासी;
• स्थानीय नदी से एक भी मछली नहीं मिली।

उसने दुकान से कितनी मछलियाँ खरीदीं?

तो, इस समस्या का गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण इस प्रकार है। हम मछलियों की कुल संख्या को x के रूप में निरूपित करते हैं। इस शर्त के बाद, 0.2x दक्षिणी अक्षांशों में रहने वाली मछलियों की संख्या है। अब हम सभी उपलब्ध सूचनाओं को मिलाते हैं और समस्या का गणितीय मॉडल प्राप्त करते हैं: x=0.2x+8। हम समीकरण को हल करते हैं और इसका उत्तर प्राप्त करते हैं मुख्य प्रश्न: 10 मछलियाँ उसने दुकान से खरीदीं।

1. गणितीय मॉडलिंग

और गणितीय मॉडल बनाने की प्रक्रिया।

गणित मॉडलिंगगणित की भाषा में उनके अनुमानित विवरण का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की वस्तुओं और प्रक्रियाओं का अध्ययन करने की एक विधि है - गणितीय मॉडल।

गणितीय मॉडल बनाने की प्रक्रिया को सशर्त रूप से कई मुख्य चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

1) गणितीय मॉडल का निर्माण;

2) संबंधित कम्प्यूटेशनल समस्याओं का सूत्रीकरण, अनुसंधान और समाधान;

3) व्यवहार में मॉडल की गुणवत्ता की जांच करना और मॉडल को संशोधित करना।

इन चरणों की मुख्य सामग्री पर विचार करें।

गणितीय मॉडल का निर्माण। एक गणितीय मॉडल एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है जो एक निश्चित भौतिक प्रणाली या घटना के विश्लेषण के परिणामस्वरूप पाई जाती है, जिसमें इस प्रणाली या घटना के कई अज्ञात पैरामीटर शामिल होते हैं, जिन्हें प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर निर्धारित किया जाता है।टिप्पणियों और प्रयोगों की मदद से, अभ्यास घटना की मुख्य "विशेषताओं" को प्रकट करते हैं, जिनकी तुलना कुछ मात्राओं से की जाती है। एक नियम के रूप में, ये मात्राएँ संख्यात्मक मान लेती हैं, अर्थात वे चर, सदिश, आव्यूह, फलन आदि हैं।

घटना की "विशेषताओं" के बीच स्थापित आंतरिक संबंधों को गणितीय मॉडल में शामिल मात्राओं को जोड़ने वाली समानता, असमानता, समीकरण और तार्किक संरचनाओं का रूप दिया जाता है। इस प्रकार, गणितीय मॉडल प्रकृति के नियमों के गणित की भाषा में एक रिकॉर्ड बन जाता है।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि गणितीय मॉडल अनिवार्य रूप से अध्ययन के तहत घटना की अनंत जटिलता और इसके विवरण की वांछित सादगी के बीच एक समझौता का प्रतिनिधित्व करता है।

गणितीय मॉडल को अक्सर स्थिर और गतिशील में विभाजित किया जाता है। स्टेटिक मॉडलउनकी पूर्णता, अपरिवर्तनीयता (यानी, स्टैटिक्स में) की धारणा पर एक घटना या स्थिति का वर्णन करता है। गतिशील मॉडलवर्णन करता है कि एक घटना कैसे आगे बढ़ती है या एक स्थिति एक राज्य से दूसरे में बदल जाती है (यानी, गतिकी में)। गतिशील मॉडल का उपयोग करते समय, एक नियम के रूप में, सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति निर्धारित की जाती है, और फिर समय के साथ इस स्थिति में परिवर्तन का अध्ययन किया जाता है। गतिशील मॉडल में, वांछित समाधान अक्सर समय का एक कार्य होता है वाई = वाई (टी),चर टीऐसे मॉडलों में, एक नियम के रूप में, यह प्रतिष्ठित है और एक विशेष भूमिका निभाता है।

कम्प्यूटेशनल समस्याओं का विवरण, अनुसंधान और समाधान।उन मात्राओं के मूल्यों को खोजने के लिए जो शोधकर्ता के लिए रुचिकर हैं या गणितीय मॉडल में शामिल अन्य मात्राओं पर निर्भरता की प्रकृति का पता लगाने के लिए, गणितीय समस्याओं को सेट किया जाता है और फिर हल किया जाता है।

आइए मुख्य प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए प्रकट करें। ऐसा करने के लिए, हम सशर्त रूप से गणितीय मॉडल में शामिल सभी मात्राओं को तीन समूहों में विभाजित करते हैं:

1) प्रारंभिक (इनपुट) डेटा x,

2) मॉडल पैरामीटरएक,

3) वांछित समाधान (आउटपुट डेटा) y.

एक)। सबसे आम समाधान तथाकथित है प्रत्यक्ष कार्य, जिसका निरूपण इस प्रकार है: इनपुट डेटा के दिए गए मान के लिए एक्सनिश्चित पैरामीटर मानों के लिए एकसमाधान खोजने की जरूरत है वाईप्रत्यक्ष समस्या को हल करने की प्रक्रिया को एक घटना में निहित कारण और प्रभाव संबंध के गणितीय मॉडलिंग के रूप में माना जा सकता है। फिर इनपुट एक्सघटना के "कारणों" की विशेषता है, जो अनुसंधान की प्रक्रिया में दिए गए हैं और विविध हैं, और वांछित समाधान वाई -"परिणाम"।

गणितीय विवरण को किसी एक घटना पर लागू नहीं करने के लिए, बल्कि प्रकृति के करीब की घटनाओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए, वास्तव में, एक भी गणितीय मॉडल नहीं बनाया गया है, बल्कि मॉडल का एक निश्चित पैरामीट्रिक परिवार है। इस परिवार से एक विशिष्ट मॉडल का चुनाव मॉडल मापदंडों के मूल्यों को तय करके किया जाता है एक।उदाहरण के लिए, समीकरणों में शामिल कुछ गुणांक ऐसे मापदंडों के रूप में कार्य कर सकते हैं।

2))। तथाकथित के समाधान द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है उलटा समस्याइनपुट डेटा की परिभाषा में शामिल है एक्सइस मूल्य के लिए पर(मॉडल पैरामीटर एक,जैसा कि प्रत्यक्ष समस्या में तय किया गया है)। उलटा समस्या का समाधान है एक निश्चित अर्थ में"कारणों" का पता लगाने का प्रयास एक्सप्रसिद्ध "परिणाम" के लिए नेतृत्व किया वाईएक नियम के रूप में, विपरीत समस्याओं को प्रत्यक्ष की तुलना में हल करना अधिक कठिन होता है।

3))। दो प्रकार के कार्यों के अलावा, एक और प्रकार का उल्लेख किया जाना चाहिए - पहचान कार्य।एक व्यापक अर्थ में, एक मॉडल की पहचान करने का कार्य कई संभावित मॉडलों में से एक को चुनना है जो कि सबसे अच्छा तरीकाअध्ययन के तहत घटना का वर्णन करता है। इस फॉर्मूलेशन में, यह समस्या व्यावहारिक रूप से अनसुलझी समस्या की तरह दिखती है। अधिक बार, पहचान की समस्या को एक संकीर्ण अर्थ में समझा जाता है, मॉडल के दिए गए पैरामीट्रिक परिवार से एक विशेष गणितीय मॉडल को चुनने की समस्या के रूप में (इसके मापदंडों को चुनकर) अवलोकन के परिणामों के साथ मॉडल के परिणामों का मिलान करने के लिए एक निश्चित मानदंड के अर्थ में एक इष्टतम तरीके से।

ये तीन प्रकार की समस्याएं (प्रत्यक्ष, प्रतिलोम और पहचान संबंधी समस्याएं) कहलाती हैं कंप्यूटिंग कार्य।प्रस्तुति की सुविधा के लिए, समस्या के प्रकार की परवाह किए बिना, हम निर्धारित की जाने वाली मात्राओं के सेट को निम्नलिखित में से क्या कहेंगे? वांछित समाधानऔर द्वारा निरूपित वाई,और मूल्यों का सेट इनपुट डेटाऔर द्वारा निरूपित एक्स।

एक नियम के रूप में, एक कम्प्यूटेशनल समस्या का समाधान एक परिमित सूत्र के रूप में इनपुट डेटा के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हालांकि, इसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि इस तरह की समस्या का समाधान नहीं खोजा जा सकता है। विशेष विधियाँ हैं जिन्हें कहा जाता है संख्यात्मक(या कंप्यूटिंग)।वे आपको इनपुट डेटा के संख्यात्मक मूल्यों पर अंकगणितीय संचालन के अनुक्रम के समाधान के संख्यात्मक मूल्य की प्राप्ति को कम करने की अनुमति देते हैं। हालाँकि, समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों का उपयोग शायद ही कभी किया जाता था, क्योंकि उनके उपयोग में गणना की एक विशाल मात्रा का प्रदर्शन शामिल होता है। इसलिए, ज्यादातर मामलों में, कंप्यूटर के आगमन से पहले, जटिल गणितीय मॉडल के उपयोग से बचना और सरलतम परिस्थितियों में घटनाओं का अध्ययन करना आवश्यक था, जब एक विश्लेषणात्मक समाधान खोजना संभव था। कंप्यूटिंग तंत्र की अपूर्णता विज्ञान और प्रौद्योगिकी में गणितीय मॉडल के व्यापक उपयोग को रोकने वाला एक कारक बन गया।

कंप्यूटर के आगमन ने स्थिति को नाटकीय रूप से बदल दिया। गणितीय मॉडलों के वर्ग जिनका विस्तार से अध्ययन किया जा सकता है, उनका नाटकीय रूप से विस्तार हुआ है। कई लोगों का समाधान, हाल ही में दुर्गम तक, कम्प्यूटेशनल समस्याएं एक रोजमर्रा की वास्तविकता बन गई हैं।

व्यवहार में मॉडल की गुणवत्ता की जाँच करना और मॉडल को संशोधित करना. इस स्तर पर, अध्ययन के तहत घटना का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल की उपयुक्तता को स्पष्ट किया गया है। सैद्धांतिक निष्कर्ष और एक काल्पनिक गणितीय मॉडल से उत्पन्न होने वाले विशिष्ट परिणामों की तुलना प्रयोगात्मक डेटा से की जाती है। यदि वे एक-दूसरे का खंडन करते हैं, तो चुना गया मॉडल अनुपयुक्त है और इसे पहले चरण में लौटकर संशोधित किया जाना चाहिए। यदि परिणाम स्वीकार्य विवरण के साथ मेल खाते हैं यह घटनासटीकता, तब मॉडल को उपयुक्त माना जा सकता है। बेशक, मॉडल की विश्वसनीयता की डिग्री और इसकी प्रयोज्यता की सीमाओं को स्थापित करने के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

समीक्षा प्रश्न:

1. गणितीय मॉडल क्या है?

2. गणितीय मॉडल के निर्माण के मुख्य चरण क्या हैं?

3. हल ​​किए जाने वाले मुख्य प्रकार के कार्य?

2. इंजीनियरिंग को हल करने के मुख्य चरण

कंप्यूटर से सहायता प्राप्त कार्य

कंप्यूटर का उपयोग करके इंजीनियरिंग समस्या के समाधान को कई क्रमिक चरणों में विभाजित किया जा सकता है। हम निम्नलिखित चरणों को अलग करते हैं:

1) समस्या बयान;

2) गणितीय मॉडल का चुनाव या निर्माण;

3) कम्प्यूटेशनल समस्या का बयान;

4) कम्प्यूटेशनल समस्या के गुणों का प्रारंभिक (प्री-मशीन) विश्लेषण;

5) संख्यात्मक विधि का चुनाव या निर्माण;

6) एल्गोरिथम और प्रोग्रामिंग;

7) प्रोग्राम डिबगिंग;

8) कार्यक्रम के लिए खाता;

9) परिणामों का प्रसंस्करण और व्याख्या;

10) गणितीय मॉडल के परिणामों और सुधार का उपयोग।

मचान समस्या. प्रारंभ में, लागू समस्या सबसे सामान्य रूप में तैयार की जाती है:

कुछ घटना का अन्वेषण करें

दिए गए गुणों के साथ एक उपकरण डिज़ाइन करें

कुछ शर्तों आदि के तहत किसी वस्तु के व्यवहार का पूर्वानुमान दें।

इस स्तर पर, समस्या विवरण की विशिष्टता होती है। साथ ही, अध्ययन के उद्देश्य को स्पष्ट करने के लिए प्राथमिक ध्यान दिया जाता है।

यह बहुत ही महत्वपूर्ण और जिम्मेदार चरण इस विषय क्षेत्र में स्वीकृत भाषा में समस्या के एक विशिष्ट निरूपण के साथ समाप्त होता है। कंप्यूटर के उपयोग द्वारा प्रदान की जाने वाली संभावनाओं का ज्ञान समस्या के अंतिम सूत्रीकरण पर महत्वपूर्ण प्रभाव डाल सकता है।

गणितीय मॉडल का चयन या निर्माण।अध्ययन के तहत घटना या वस्तु के बाद के विश्लेषण के लिए, गणित की भाषा में इसका औपचारिक विवरण देना आवश्यक है, अर्थात गणितीय मॉडल का निर्माण करना। संबंधित प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए ज्ञात और स्वीकृत के बीच एक मॉडल का चयन करना अक्सर संभव होता है, लेकिन अक्सर ज्ञात मॉडल के एक महत्वपूर्ण संशोधन की भी आवश्यकता होती है, और कभी-कभी मौलिक रूप से नए मॉडल का निर्माण करना आवश्यक हो जाता है।

कम्प्यूटेशनल समस्या का विवरण।स्वीकृत गणितीय मॉडल के आधार पर, एक कम्प्यूटेशनल समस्या (या ऐसी कई समस्याएं) तैयार की जाती हैं। इसके समाधान के परिणामों का विश्लेषण करते हुए, शोधकर्ता अपने प्रश्नों के उत्तर प्राप्त करने की अपेक्षा करता है।

कम्प्यूटेशनल समस्या के गुणों का प्रारंभिक विश्लेषण।इस स्तर पर, कम्प्यूटेशनल समस्या के गुणों का प्रारंभिक (प्री-मशीन) अध्ययन, समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता का स्पष्टीकरण, साथ ही इनपुट डेटा में त्रुटियों के लिए समस्या के समाधान की स्थिरता का अध्ययन। निष्पादित किए गए हैं।

संख्यात्मक विधि का चुनाव या निर्माण।कंप्यूटर पर एक कम्प्यूटेशनल समस्या को हल करने के लिए, संख्यात्मक विधियों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

अक्सर एक इंजीनियरिंग समस्या का समाधान कम कर दिया जाता है लगातार समाधानमानक कम्प्यूटेशनल समस्याएं जिनके लिए कुशल संख्यात्मक विधियों का विकास किया गया है। इस स्थिति में, इनमें से कोई एक विकल्प है ज्ञात तरीके, या हल की जा रही समस्या की विशेषताओं के लिए उनका अनुकूलन। हालाँकि, यदि उभरती हुई कम्प्यूटेशनल समस्या नई है, तो संभव है कि इसे हल करने के लिए कोई तैयार तरीके न हों।

एक ही कम्प्यूटेशनल समस्या को हल करने के लिए आमतौर पर कई तरीकों का इस्तेमाल किया जा सकता है। इन विधियों की विशेषताओं को जानना आवश्यक है, जिस मापदंड से उनकी गुणवत्ता का आकलन किया जाता है, ताकि एक ऐसी विधि का चयन किया जा सके जो समस्या को सबसे प्रभावी तरीके से हल करने की अनुमति दे। यहां चुनाव स्पष्ट से बहुत दूर है। यह अनिवार्य रूप से समाधान के लिए आवश्यकताओं पर, उपलब्ध संसाधनों पर, उपयोग के लिए उपलब्ध पर निर्भर करता है कंप्यूटर विज्ञानआदि।

एल्गोरिथम और प्रोग्रामिंग।आमतौर पर पिछले चरण में चयनित संख्यात्मक विधिइसमें समस्या के समाधान का केवल एक योजनाबद्ध आरेख होता है, जिसमें कई विवरण शामिल नहीं होते हैं, जिसके बिना कंप्यूटर पर विधि का कार्यान्वयन असंभव है। कंप्यूटर पर लागू एल्गोरिथम प्राप्त करने के लिए गणना के सभी चरणों का विस्तृत विवरण आवश्यक है। इस एल्गोरिथम को चुनी हुई प्रोग्रामिंग भाषा में अनुवाद करने के लिए प्रोग्राम को संकलित करना कम कर दिया गया है।

ऐसे पुस्तकालय हैं जहां से तैयार मॉड्यूल के उपयोगकर्ता अपने कार्यक्रम, या चरम मामलों में, उन्हें खरोंच से एक कार्यक्रम लिखना पड़ता है।

प्रोग्राम डिबगिंग।इस स्तर पर, कंप्यूटर की सहायता से प्रोग्राम में त्रुटियों का पता लगाया जाता है और उन्हें ठीक किया जाता है।

प्रोग्रामिंग त्रुटियों को समाप्त करने के बाद, कार्यक्रम का गहन परीक्षण करना आवश्यक है - ज्ञात समाधानों के साथ विशेष रूप से चयनित परीक्षण समस्याओं पर इसके संचालन की शुद्धता की जांच करना।

कार्यक्रम खाता।इस स्तर पर, कंप्यूटर पर स्वचालित मोड में संकलित प्रोग्राम के अनुसार समस्या का समाधान किया जाता है। यह प्रक्रिया, जिसके दौरान इनपुट डेटा को कंप्यूटर द्वारा परिणाम में परिवर्तित किया जाता है, कहलाती है कंप्यूटिंग प्रक्रिया।एक नियम के रूप में, उन पर समस्या के समाधान की निर्भरता की एक पूरी तरह से पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए विभिन्न इनपुट डेटा के साथ गणना को कई बार दोहराया जाता है।

प्रसंस्करण और परिणामों की व्याख्या. कंप्यूटर गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त आउटपुट डेटा, एक नियम के रूप में, संख्याओं के बड़े सरणी होते हैं, जिन्हें तब धारणा के लिए सुविधाजनक रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

परिणामों का उपयोग करना और गणितीय मॉडल को सही करना।अंतिम चरण गणना परिणामों को व्यवहार में उपयोग करना है, दूसरे शब्दों में, परिणामों को लागू करने के लिए।

बहुत बार, उनके प्रसंस्करण और व्याख्या के चरण में किए गए परिणामों का विश्लेषण उपयोग किए गए गणितीय मॉडल की अपूर्णता और इसके सुधार की आवश्यकता को इंगित करता है। इस मामले में, गणितीय मॉडल को संशोधित किया जाता है (उसी समय, एक नियम के रूप में, यह अधिक जटिल हो जाता है) और नया चक्रसमस्या को सुलझाना।

समीक्षा प्रश्न:

1. कंप्यूटर का उपयोग करके इंजीनियरिंग समस्या को हल करने के मुख्य चरण?

3. कम्प्यूटेशनल प्रयोग

गणितीय मॉडल बनाने और कंप्यूटर का उपयोग करके इंजीनियरिंग समस्याओं के समाधान के लिए बड़ी मात्रा में काम करने की आवश्यकता होती है। पूर्ण पैमाने पर प्रयोगों के संगठन में किए गए संबंधित कार्य के साथ सादृश्य को देखना आसान है: प्रयोगों का एक कार्यक्रम तैयार करना, एक प्रायोगिक सेटअप बनाना, नियंत्रण प्रयोग करना, धारावाहिक प्रयोग करना) प्रायोगिक डेटा का प्रसंस्करण और उनकी व्याख्या, आदि।हालाँकि, कम्प्यूटेशनल प्रयोग एक वास्तविक वस्तु पर नहीं, बल्कि इसके गणितीय मॉडल पर किया जाता है, और प्रायोगिक सेटअप की भूमिका एक विशेष रूप से विकसित प्रोग्राम से लैस कंप्यूटर द्वारा निभाई जाती है। इस संबंध में, इंजीनियरिंग और वैज्ञानिक और तकनीकी समस्याओं को हल करने में बड़ी जटिल गणना करने पर विचार करना स्वाभाविक है: कंप्यूटिंग प्रयोग,और पिछले पैराग्राफ में वर्णित समाधान के चरणों का क्रम इसके चक्रों में से एक के रूप में।

आइए हम एक प्राकृतिक प्रयोग की तुलना में अभिकलनात्मक प्रयोग के कुछ लाभों पर ध्यान दें:

1. एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग आमतौर पर एक भौतिक प्रयोग से सस्ता होता है।

2. इस प्रयोग से आसानी से और सुरक्षित रूप से छेड़छाड़ की जा सकती है।

3. इसे फिर से दोहराया जा सकता है (यदि आवश्यक हो) और किसी भी समय बाधित किया जा सकता है।

4. इस प्रयोग के दौरान, आप उन परिस्थितियों का अनुकरण कर सकते हैं जो प्रयोगशाला में नहीं बनाई जा सकतीं।

हम ध्यान दें कि कई मामलों में पूर्ण पैमाने पर प्रयोग करना मुश्किल (और कभी-कभी असंभव) होता है, क्योंकि तेज प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जा रहा है, जिन वस्तुओं तक पहुंचना मुश्किल है या आम तौर पर पहुंच योग्य नहीं है, उनकी जांच की जा रही है। अक्सर, एक पूर्ण पैमाने पर प्राकृतिक प्रयोग विनाशकारी या अप्रत्याशित परिणामों से जुड़ा होता है ( परमाणु युद्ध, साइबेरियन नदियों का मोड़) या लोगों के जीवन या स्वास्थ्य के लिए खतरे के साथ। अक्सर अनुसंधान और परिणामों की भविष्यवाणी की आवश्यकता होती है विनाशकारी घटनाएं(एनपीपी परमाणु रिएक्टर दुर्घटना, ग्लोबल वार्मिंग, भूकंप)। इन मामलों में, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग अनुसंधान का मुख्य साधन बन सकता है। ध्यान दें कि इसकी मदद से उनके डिजाइन के चरण में नए, अभी तक निर्मित संरचनाओं और सामग्रियों के गुणों की भविष्यवाणी करना संभव है।

एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग का एक महत्वपूर्ण नुकसान यह है कि इसके परिणामों की प्रयोज्यता स्वीकृत गणितीय मॉडल द्वारा सीमित है।

एक नए उत्पाद या तकनीकी प्रक्रिया के निर्माण में निम्न में से एक विकल्प शामिल है: एक बड़ी संख्या मेंवैकल्पिक विकल्प, साथ ही कई मापदंडों के लिए अनुकूलन। इसलिए, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के दौरान, गणनाओं को बार-बार किया जाता है विभिन्न मूल्यइनपुट पैरामीटर। अपेक्षित सटीकता के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए और एक स्वीकार्य समय सीमा के भीतर, यह आवश्यक है कि प्रत्येक विकल्प की गणना पर न्यूनतम समय खर्च किया जाए।

इंजीनियरिंग गतिविधि के एक विशिष्ट क्षेत्र में एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के लिए सॉफ्टवेयर के विकास से एक बड़े का निर्माण होता है सॉफ़्टवेयर पैकेज. इसमें इंटरकनेक्टेड एप्लिकेशन प्रोग्राम और सिस्टम टूल्स शामिल हैं, जिसमें एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के पाठ्यक्रम के प्रबंधन, प्रसंस्करण और इसके परिणाम प्रस्तुत करने के लिए उपयोगकर्ता को प्रदान किए गए टूल शामिल हैं। कार्यक्रमों के इस सेट को कभी-कभी कहा जाता है समस्या-उन्मुख अनुप्रयोग पैकेज।

समीक्षा प्रश्न:

1. एक प्राकृतिक प्रयोग की तुलना में एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के लाभ?

2. एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के नुकसान?

4. समस्याओं को हल करने के सबसे सरल तरीके

4.1. किसी फ़ंक्शन की जड़ ढूँढना।

खंड को लिंग द्वारा विभाजित करने की विधि(विली विधि)।

हम खंड को आधे में विभाजित करते हैं ( एसी=दप) आधे का चयन करें जहां फ़ंक्शन अक्ष को काटता है 0x, फिर निरूपित करें सेप्रति पर, अर्थात। सी = बीऔर इसे फिर से आधे में बांट लें। आधे का चुनाव उत्पाद द्वारा किया जाता है ( लेकिन)´¦( पर) यदि गुणनफल 0 से बड़ा है, तो कोई जड़ नहीं है।

जीवाओं की विधि (सेकेन्ट)।

(बी ० ए)/2 £ इएन³ लकड़ी का लट्ठा 2((बी ० ए)/2)

(Y y 0)(एक्स-एक्स 1)=(Y y 1)(एक्स-एक्स 0)

आप=0; आप 0(एक्स-एक्स 1)=आप 1(एक्स-एक्स 0)

गणितीय मॉडल के निर्माण का सार यह है कि वास्तविक प्रणाली को गणितीय उपकरण का उपयोग करके सरल, योजनाबद्ध और वर्णित किया जाता है। गणितीय मॉडल का निर्माण निम्नलिखित चरणों से गुजरता है 1 .

संगठन के सामने आने वाली समस्या को हल करने के लिए अध्ययन का उद्देश्य स्थापित किया गया है;

सिस्टम बनाने वाले तत्वों का निर्धारण किया जाता है;

चयनित तत्वों को कार्यात्मक और प्रदान करने में समूहीकृत किया जाता है;

तत्वों के बीच सभी प्रकार के लिंक परिभाषित हैं;

सेवा संगठन की क्षमताओं के आधार पर प्रत्येक तत्व के संभावित स्वीकार्य मूल्य निर्धारित किए जाते हैं;

विशेषताएँ निर्धारित की जाती हैं सिस्टम तत्वअध्ययन की दृष्टि से महत्वपूर्ण है।

संचालन का औपचारिकरणनिम्नलिखित चरणों में होता है:

सिस्टम विशेषताओं का निर्धारण;

प्रणाली की प्रत्येक विशेषता का अध्ययन किया जाता है;

अध्ययन के प्रयोजनों के लिए आवश्यक विशेषताओं की पहचान की जाती है;

प्रणाली के नियंत्रित और अप्रबंधित मापदंडों का निर्धारण;

सिस्टम के नियंत्रित मापदंडों पर प्रतिबंध निर्धारित किए जाते हैं;

उद्देश्य समारोह तैयार किया गया है।

मॉडल की पर्याप्तता की जाँचयह सत्यापित करना है कि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

क्या सभी महत्वपूर्ण कारक मॉडल में शामिल हैं;

क्या मॉडल में महत्वहीन कारक हैं;

क्या कारकों के मूल्यों पर प्रतिबंध सही ढंग से परिभाषित हैं;

क्या चरों के बीच कार्यात्मक संबंध सही ढंग से परिभाषित है;

प्रशिक्षण और नियंत्रण डेटा सेट का उपयोग करके मॉडल का सत्यापन।

टिप्पणी।मॉडल की पर्याप्तता की आवश्यकता मॉडल की सादगी की आवश्यकता के विरोध में है।

समस्याओं को हल करने के लिए मॉडल का उपयोग करनानिम्नलिखित क्रम में जा सकते हैं:

प्राप्त मॉडल के आधार पर, समस्या को हल करने के लिए कई परिदृश्य प्रस्तावित हैं;

प्रत्येक समस्या समाधान परिदृश्य के लिए, एक दक्षता अनुपात की गणना परिणाम और लागत के अनुपात के बराबर की जाती है;

समस्या समाधान परिदृश्यों को समस्या समाधान दक्षता के गुणांक के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है;

गणना और उनके विश्लेषण के परिणाम ग्राफिक मॉडल का उपयोग करके दृश्य धारणा के लिए सुविधाजनक दृश्य रूप में एक रिपोर्ट के रूप में तैयार किए जाते हैं;

संगठन के सामने आने वाली समस्या को हल करने के लिए प्रबंधकीय निर्णय लेने के लिए उद्यम के प्रमुख को रिपोर्ट का हस्तांतरण। समस्या को हल करने पर उद्यम के प्रमुख को प्रस्तावित रिपोर्ट प्रकृति में सलाहकार है। उद्यम के प्रमुख का निर्णय कानूनी रूप से बाध्यकारी है। इसलिए, प्रबंधक का निर्णय विभिन्न तरीकों और इसे हल करने के तरीकों का उपयोग करके समस्या के व्यवस्थित विश्लेषण पर आधारित होना चाहिए: प्राप्त मॉडलिंग रिपोर्ट पर, साथ ही साथ अन्य संभव समस्या समाधानअन्य स्रोतों (योजना विभाग, विकास और पूर्वानुमान विभाग) से प्राप्त।

3. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विवरण

व्यापार की अनुकूलन समस्याओं को हल करने के क्षेत्र में रैखिक प्रोग्रामिंग विधियां सबसे विकसित हैं। ये विधियां पर्याप्त सटीकता के साथ वर्णन करना संभव बनाती हैं चौड़ा घेराव्यापार अभ्यास के कार्य (व्यापार कारोबार की योजना बनाना, शहर में माल की आपूर्ति की योजना बनाना, व्यापार उद्यमों को आपूर्तिकर्ताओं से जोड़ना, माल के तर्कसंगत परिवहन का आयोजन (परिवहन कार्य))।

रैखिक प्रोग्रामिंग विधियों के लिए परस्पर संबंधित कारकों की एक प्रणाली की आवश्यकता होती है, जो संसाधनों के इष्टतम उपयोग का आकलन करने के लिए एक मानदंड है।

इष्टतमएक योजना माना जाता है जो एक चरम प्रदान करता है वस्तुनिष्ठ कार्य(उदाहरण के लिए, अधिकतम आय या न्यूनतम वितरण लागत), उपयोग किए गए संसाधनों पर प्रतिबंधों के अधीन।

उदाहरण के लिए, इष्टतम नियोजित समाधानों की खोज को न्यूनतम लागत पर नियोजित प्रभाव प्राप्त करने या सीमित संसाधनों का उपयोग करते समय अधिकतम प्रभाव प्राप्त करने के लिए कम किया जा सकता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग - चर के बीच एक रैखिक संबंध द्वारा विशेषता चरम समस्याओं को हल करने के लिए सिद्धांत और विधियों के लिए समर्पित गणितीय प्रोग्रामिंग का एक क्षेत्र।

सबसे सामान्य रूप में, एल.पी. समस्या को निम्नानुसार लिखा जा सकता है। दिए गए प्रकार की कमी

या तथाकथित में। विहित रूप, जिसमें सभी तीन संकेतित मामलों को कम किया जा सकता है:

गैर-ऋणात्मक संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है एक्स जे (जे= 1, 2, ...,एन) जो रैखिक रूप को छोटा (या अधिकतम) करता है

वांछित संख्याओं की गैर-नकारात्मकता इस प्रकार लिखी गई है: एक्स जे ≥ 0.

इस प्रकार, सामान्य कार्य प्रस्तुत किया गया है गणितीय प्रोग्रामिंग आरक्षण के साथ: कैसे प्रतिबंध , तथा वस्तुनिष्ठ कार्य रैखिक, एक आवश्यक चर गैर-ऋणात्मक हैं .

पदनामों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:

बीमैं- रकम संसाधन मेहरबान मैं ;

एम- इन संसाधनों के प्रकारों की संख्या;

एकआईजेयू- प्रकार की संसाधन खपत दर मैंउत्पाद की प्रति यूनिट जे;

एक्सजे- रकम उत्पादों मेहरबान जे, और ऐसी प्रजातियों की संख्या - एन;

सीजे - आय (या अन्य लाभ) इस उत्पादन की एक इकाई से, और एक कार्य के मामले में न्यूनतम के लिए - खर्च उत्पादन की प्रति इकाई;

संसाधन क्रमांकन को तीन भागों में विभाजित किया गया है:

1 से . तक एम 1 , पहले मामले में - "अब और नहीं"

से एम 1 + 1 ऊपर एम 2 सेकंड में - "वही"

से एम 2 + 1 ऊपर एम

इन संसाधनों के खर्च पर क्या प्रतिबंध लगाए गए हैं, इसके आधार पर तीसरे में - "कम नहीं";

जेड- अधिकतमकरण के मामले में, उदाहरण के लिए, उत्पादन या आय की मात्रा, न्यूनीकरण के मामले में, लागत मूल्य, कच्चे माल की खपत आदि।

आइए एक और पदनाम जोड़ें, यह थोड़ा कम दिखाई देगा:

वीमैं- इष्टतम अनुमान मैं-वें संसाधन।

यहां "प्रोग्रामिंग" शब्द की व्याख्या इस तथ्य से की गई है कि अज्ञात चर जो समस्या को हल करने की प्रक्रिया में पाए जाते हैं, आमतौर पर एक साथ कार्यक्रम निर्धारित करते हैं ( योजना ) कुछ का काम आर्थिक वस्तु . शब्द "रैखिक" इस तथ्य को दर्शाता है कि चर के बीच एक रैखिक संबंध है। इस मामले में, जैसा कि संकेत दिया गया है, समस्या का अनिवार्य रूप से एक चरम चरित्र है, अर्थात, इसमें खोज शामिल है चरम (अधिकतम या न्यूनतम) वस्तुनिष्ठ कार्य .

इसे शुरू से ही चेतावनी दी जानी चाहिए: रैखिकता का आधार, जब वास्तविक अर्थव्यवस्था में अधिकांश निर्भरता अधिक जटिल गैर-रैखिक प्रकृति की होती है, वास्तविकता का एक सरलीकरण है। कुछ मामलों में यह पर्याप्त रूप से यथार्थवादी है, जबकि अन्य में एल.पी. की समस्याओं को हल करके प्राप्त निष्कर्ष बहुत अपूर्ण हो जाते हैं।

आइए स्पष्ट करें रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का सूत्रीकरण एक सेवा संगठन द्वारा स्वयं के उत्पादों को जारी करने की योजना बनाने के उदाहरण पर।

दिया गया:

संसाधन: कार्मिक, मशीनरी और उपकरण, कच्चा माल, वित्त, सूचना, समय, निर्माण प्रौद्योगिकी, भूमि और अन्य संसाधन।

(ए और बी - क्रमशः 2 प्रकार के संसाधनों के संख्यात्मक मूल्यों को दर्शाते हैं);

उत्पादों का उत्पादन किया जाता है अलग - अलग प्रकार, माप की समान इकाइयों के साथ, रूबल में व्यक्त किया गया। या टुकड़ों में।

(एक्स 1 और एक्स 2 - आइए आउटपुट 2 के संख्यात्मक मूल्यों को निरूपित करें);

उत्पादन की एक इकाई के उत्पादन के लिए संसाधन लागत के मानदंड हैं;

(ए 1 और ए 2 संसाधन के संख्यात्मक मूल्य हैं, क्रमशः 1 और 2 प्रकार के उत्पादों के उत्पादन के लिए लागत दर,

c1 और c2 क्रमशः पहले और दूसरे प्रकार के उत्पादों के उत्पादन के लिए संसाधन B के लागत मानदंडों के संख्यात्मक मान हैं)

उत्पादन की एक इकाई की बिक्री से लाभ मार्जिन हैं।

(c1 और c2 - संबंधित उत्पादों X1 और X2 की एक इकाई की बिक्री से प्राप्त लाभ के बराबर लाभ मार्जिन)

एक उद्देश्य कार्य है जो निर्मित उत्पादों की बिक्री से उद्यम के लाभ को दर्शाता है;

(एफ = s1X1 + s2X2 - लाभ)

ज़रूरी: आउटपुट एक्स 1 और एक्स 2 के ऐसे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए जिन पर उपयोग किए गए संसाधन ए और बी के मूल्यों से अधिक नहीं थे, और उद्देश्य फ़ंक्शन को अधिकतम मूल्य प्राप्त हुआ

हम समस्या कथन प्रस्तुत करते हैंगणितीय (औपचारिक रूप) में:

लक्ष्य समारोह:

प्रतिबंध:

ज़रूरी X 1 और X 2 के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिन पर उद्देश्य फलन अधिकतम हो जाएगा और X 1 और X 2 के संसाधनों और संख्यात्मक मानों पर सभी प्रतिबंधों का पालन किया जाएगा।

समाधान।

कार्यक्रम के साथ " समाधान की तलाश", एक्सेल में उपलब्ध है, समस्या को निम्नलिखित क्रम में हल किया गया है:

कोशिकाओं का चयन किया जाता है जहां वांछित मान X 1 और X 2 स्थित होंगे;

अलग-अलग कोशिकाओं में दर्ज किए जाते हैं (कोशिकाओं का चुनाव मनमाना हो सकता है):

संसाधन लागत दर a 1 , a 2 , c 1 , c 2 ;

संसाधनों के आकार ए और बी;

1 से और 2 से लाभ दर;

प्रतिबंध सूत्र:

ए 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2; 1 एक्स 1 + में 2 एक्स 2 में;

उद्देश्य समारोह सूत्र:

एस 1 एक्स 1 + एस 2 एक्स 2;

हम "समाधान की खोज" कार्यक्रम की ओर मुड़ते हैं, उपयुक्त क्षेत्रों में कार्यक्रम की विशेषताओं को दर्ज करते हैं, समाधान प्राप्त करते हैं: एक्स 1 और एक्स 2 के संख्यात्मक मान;

उद्देश्य फ़ंक्शन की बाधाओं और शर्तों के अनुपालन के लिए समाधान का विश्लेषण किया जाता है। आवंटित संसाधनों के उपयोग की डिग्री के बारे में एक निष्कर्ष निकाला जाता है;

यदि संसाधनों का पूर्ण उपयोग नहीं किया जाता है, तो लागत दरों में परिवर्तन किया जा सकता है। यदि समस्या को हल करने में कुछ माल का उत्पादन नहीं होता है, तो न्यूनतम उत्पादन पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगाए जाने चाहिए।

2.2.1 गणितीय दृष्टिकोण के दृष्टिकोण से "एक समस्या एक मॉडल और कुछ गणितीय सिद्धांत के ढांचे के भीतर इसके आवेदन के लिए एक एल्गोरिदम है" आवेदन के लिए गणितीय तरीकेसमस्या के गणितीय मॉडल के निर्माण के लिए अनुसंधान की आवश्यकता है। गणित का मॉडलकार्य एक विशेष तार्किक निर्माण है जो गणितीय सिद्धांत के संदर्भ में उद्देश्यपूर्ण रूप से एक उद्देश्य प्रक्रिया या घटना का वर्णन करता है जो एक विशिष्ट कार्य को रेखांकित करता है। ऐसे मॉडल को हल करने की प्रक्रिया निर्णय लेने वाले की सोच प्रक्रिया का एक प्रकार का एनालॉग है।

एक मॉडल अध्ययन के तहत एक वास्तविक वस्तु या घटना की एक छवि है, जिसे उपकरणों के एक निश्चित सेट का उपयोग करके बनाया गया है। मॉडल वस्तुओं (घटनाओं) को समझने में बहुत सुविधा प्रदान करते हैं, हमें हमारे लिए रुचि की स्थितियों में उनके व्यवहार की भविष्यवाणी करने और विश्लेषण के एकीकृत तरीकों को लागू करने की अनुमति देते हैं। विचाराधीन समस्या के दृष्टिकोण से, मॉडल अध्ययन के तहत वस्तु (घटना) की विशेषताओं (गुणों) के दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण है। मॉडलिंग का उद्देश्य एक ऐसा विवरण तैयार करना है जो पर्याप्त रूप से सटीक, पूर्ण, संक्षिप्त और समझने और विश्लेषण करने में आसान हो।

गणितीय मॉडल के तत्व चर, पैरामीटर, कनेक्शन (गणितीय) और सूचना हैं।

गणितीय मॉडल की सामान्य योग्यता, एक नियम के रूप में, निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार की जाती है:

समय में मॉडल का व्यवहार;

इनपुट जानकारी के प्रकार

पैरामीटर, भाव, निर्माण जो गणितीय मॉडल बनाते हैं;

गणितीय मॉडल की संरचना;

प्रयुक्त गणितीय उपकरण का प्रकार।

इस वर्गीकरण के अनुसार, गणितीय मॉडल हैं गतिशील(समय एक स्वतंत्र चर की भूमिका निभाता है, और समय के साथ प्रणाली का व्यवहार बदलता है); स्थिर(समय से स्वतंत्र); अर्ध-स्थैतिक या असतत-घटना(बाहरी प्रभावों के अनुसार प्रणाली का व्यवहार एक स्थिर अवस्था से दूसरी में बदलता है)। यदि मॉडल के इन तत्वों को पर्याप्त रूप से सटीक रूप से स्थापित किया गया है और सिस्टम के व्यवहार को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है, तो मॉडल है नियतात्मकअन्यथा - स्टोकेस्टिक. यदि सूचना और पैरामीटर निरंतर मान हैं, और गणितीय संबंध स्थिर हैं, तो मॉडल निरंतर, अन्यथा - अलग. यदि मॉडल पैरामीटर तय किए गए हैं और सिमुलेशन ऑब्जेक्ट के व्यवहार के अनुसार सिमुलेशन के दौरान नहीं बदलते हैं, तो यह निश्चित-पैरामीटर मॉडल, अन्यथा - समय-या स्थान-भिन्न मापदंडों के साथ मॉडल. गणितीय मॉडल हो सकता है जटिल, जटिल, श्रेणीबद्धयदि आप प्राथमिक उप-प्रणालियों को ढूंढ सकते हैं जो इसे बनाते हैं। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न है, क्योंकि इसका समाधान मॉडलिंग को काफी सरल बना सकता है, उदाहरण के लिए, वितरित सिस्टम का परिचालन प्रबंधन, खासकर अगर मॉडल को एक पेड़ या नेटवर्क संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। जिस प्रकार के गणितीय उपकरण का उपयोग किया जाता है, उसके अनुसार हम बात करेंगे विश्लेषणात्मक, संभाव्य-सांख्यिकीय और अस्पष्टमॉडल।

मॉडल के लिए मुख्य आवश्यकताएं:

पर्याप्तता (विश्वसनीयता);

पूर्णता;

गैर-अतिरेक;

स्वीकार्य कार्यभार।

पर्याप्तता और पूर्णता का मतलब है कि मॉडल में मॉडलिंग ऑब्जेक्ट की सभी आवश्यक (समस्या हल होने की दृष्टि से) विशेषताएं होनी चाहिए और पर्याप्त सटीकता के साथ इन सुविधाओं में इससे भिन्न नहीं होना चाहिए। इसमें विशेष रूप से, मॉडल की जा रही प्रणाली के कामकाज के उद्देश्यों के लिए इष्टतमता मानदंड की पर्याप्तता की समस्या भी शामिल है। गैर-अतिरेक की आवश्यकता के संबंध में, मॉडल को कई छोटे, माध्यमिक कारकों के साथ "भरा हुआ" नहीं होना चाहिए जो केवल गणितीय विश्लेषण को जटिल बनाते हैं और अध्ययन के परिणामों को देखना मुश्किल बनाते हैं। स्वीकार्य श्रम तीव्रता का मतलब है कि एक मॉडल बनाने की लागत को स्थापित संसाधन बाधाओं का पालन करना चाहिए और मॉडल के उपयोग का प्रभाव इसे बनाने की लागत से अधिक होना चाहिए। उसी समय, मॉडलिंग की लागत का आकलन करते समय, सभी प्रतिभागियों के समय और प्रयास को ध्यान में रखना चाहिए जो सीधे मॉडल बनाने और आवश्यक जानकारी एकत्र करने, प्रशिक्षण के लिए लागत और समय, प्रसंस्करण और भंडारण की लागत दोनों में शामिल हैं। जानकारी। मॉडल के लिए ये आवश्यकताएं विरोधाभासी हैं। उदाहरण के लिए, एक ओर यह काफी पूर्ण होना चाहिए, और दूसरी ओर, यह काफी सरल और कम लागत वाला होना चाहिए। यही है, गणितीय मॉडल का निर्माण काफी हद तक रचनात्मकता है, जिसके लिए उपयुक्त गणितीय और व्यावहारिक ज्ञान, अनुभव और योग्यता की उपलब्धता की आवश्यकता होती है।

2.2.2 निर्णय लेने की समस्या के संबंध में, कोई सीपीआर मॉडल, निर्णय लेने के माहौल का एक मॉडल (समस्या की स्थिति का एक वर्णनात्मक मॉडल), निर्णय लेने की प्रक्रिया का एक मॉडल, कंप्यूटर निर्णय का एक मॉडल के बारे में बात कर सकता है। -मेकिंग सिस्टम (निर्णय समर्थन प्रणाली)।

एक विशिष्ट सीआरए के मॉडल का निर्धारण करते समय, सीआरए के वर्गीकरण की पहले से मानी गई प्रणाली के ढांचे के भीतर हमारे द्वारा पहचाने गए वर्गीकरण सुविधाओं के संबंध में इसका मूल्यांकन करना आवश्यक है और इस तरह के मूल्यांकन के परिणामों के आधार पर, निर्धारित करें सीपीआर मॉडल संबंधित विशेषताओं के टपल के रूप में। उदाहरण के लिए, एक व्यक्तिगत निर्णय निर्माता के लिए डीपीआर के सामान्य औपचारिक मॉडल को टपल के रूप में दर्शाया जा सकता है

;

और निर्णय निर्माता समूह के लिए एक टपल के रूप में

< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,

जहां एक समस्या की स्थिति है; टी निर्णय लेने का समय है; आर - निर्णय लेने के लिए उपलब्ध संसाधन; एस = (एस 1, ..., एस एन) स्वीकार्य स्थितियों का सेट है जो विषय क्षेत्र को परिभाषित करता है और इस तरह समस्या की स्थिति को स्पष्ट करता है; G=(G 1 ,…,G k) निर्णय लेते समय पीछा किए गए लक्ष्यों का समूह है; बी = (बी 1 ,…,बी एल) - प्रतिबंधों का सेट; ए = (ए 1,…, ए एम) - वैकल्पिक समाधानों का सेट; f निर्णय निर्माता का वरीयता कार्य है; के - चयन मानदंड; F(f) समूह वरीयता फलन है; एल समूह वरीयताओं के गठन के लिए व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के समन्वय का सिद्धांत है; ए * इष्टतम समाधान है।

आइए हम चयन मानदंड K और वरीयता फ़ंक्शन के मॉडल में उपस्थिति की व्याख्या करें। अनुभव से पता चलता है कि चयन मानदंड के संदर्भ में, अक्सर "पूर्वानुमान", "स्वाद" और किसी विशेष निर्णय निर्माता की प्राथमिकताओं की पूरी श्रृंखला को व्यक्त करना संभव नहीं होता है। वास्तविक जेडपीआर पर विचार करते समय आम तौर पर उत्पन्न होने वाले कई विशेष मानदंडों की सहायता से, कुछ लक्ष्यों को केवल रेखांकित किया जाता है, जो अक्सर बहुत विरोधाभासी हो जाते हैं। एक नियम के रूप में, इन लक्ष्यों को एक ही समय में प्राप्त नहीं किया जा सकता है, और इसलिए समझौता करने के लिए कुछ अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होती है। दूसरे शब्दों में, यदि हम अपने आप को संभावित समाधानों और वेक्टर मानदंड के सेट तक सीमित रखते हैं, तो ZPR "अनिर्धारित" हो जाता है। यह "निर्धारण" तब एक वेक्टर मानदंड के आधार पर एक प्रभावी समाधान की पसंद की कमजोर तार्किक वैधता को प्रभावित करता है। एक उचित विकल्प बनाने के लिए, वेक्टर मानदंड के अलावा, निर्णय निर्माता की प्राथमिकताओं के बारे में कुछ अतिरिक्त जानकारी होनी चाहिए। यह अंत करने के लिए, बहु-मापदंड कार्य में एक फ़ंक्शन शामिल करना आवश्यक है जो मौजूदा प्राथमिकताओं के संबंध का वर्णन करता है।

अंकन A'A अक्सर समाधान A' पर समाधान A' की वरीयता को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक दो संभावित समाधान A' और A' संबंध A'A' या संबंध A'A से संबंधित नहीं हैं। '। निर्णय के ऐसे जोड़े हो सकते हैं कि निर्णय निर्माता उनमें से किसी एक को वरीयता देने में सक्षम नहीं है। व्यवहार में, निर्णय लेने वाले की स्वीकार्य विकल्पों की किसी भी जोड़ी के लिए वरीयता संबंध निर्धारित करने की क्षमता अत्यंत दुर्लभ है (उदाहरण के लिए, किए गए निर्णयों के परिणामों को पूरी तरह और सटीक रूप से निर्धारित करने की असंभवता के कारण)।

वरीयता संबंध को परिभाषित करते समय, निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:

वरीयता संबंध इस अर्थ में सख्त है कि किसी भी व्यवहार्य समाधान ए' के ​​लिए फॉर्म ए'ए' की स्थिति को संतुष्ट करना असंभव है - क्योंकि कोई भी समाधान स्वयं से बेहतर नहीं हो सकता है;

यदि ए'ए' और ए'ए''', तो ए'ए''' (संक्रमण की संपत्ति)।

अक्सर (उदाहरण के लिए, पदानुक्रमित वितरित वातावरण के प्रबंधन के संदर्भ में निर्णय लेते समय), निर्णय लेने की प्रक्रिया को मॉडल करने की आवश्यकता होती है। निर्णय लेने की प्रक्रिया को तथाकथित निर्णय वृक्ष के रूप में योजनाबद्ध रूप से दर्शाया जाता है। इस तरह के पेड़ का निर्माण निर्णय लेने की प्रक्रिया के अपघटन पर आधारित है - स्वतंत्र कार्यात्मक उप-प्रक्रियाओं का आवंटन और अधिक विशिष्ट कार्य, साथ ही उनके बीच संबंध स्थापित करना, जिसके परिणामस्वरूप सामान्य निर्णय -मेकिंग प्रक्रिया को परस्पर संबंधित पदानुक्रमित स्थानीय डीपीआर के अनुक्रम के समाधान के रूप में दर्शाया गया है। अपघटन के मुख्य सिद्धांत प्रत्येक उप-प्रक्रियाओं की सापेक्ष स्वतंत्रता हैं (अर्थात, एक विशिष्ट नियंत्रण वस्तु की उपस्थिति); संपूर्ण प्रणाली के लिए सामान्य निर्णय लेने के लक्ष्यों के अनुरूप स्पष्ट रूप से परिभाषित स्थानीय निर्णय लेने के लक्ष्यों के साथ कार्यों और डीपीआर के उपयुक्त सेट की उपस्थिति; उपप्रक्रिया में शामिल तत्वों की संरचना का अनुकूलन। परिचालन गुणवत्ता प्रबंधन की समस्या के ढांचे के भीतर निर्णय लेने की समस्या पर विचार करते समय इस मुद्दे पर बाद में विचार किया जाएगा।

2.2.3 समग्र मॉडलिंग प्रक्रिया में मुख्य चरण हैं:

1) कार्य का विश्लेषण;

2) कार्य के संदर्भ में मॉडलिंग ऑब्जेक्ट और उसके पर्यावरण का विश्लेषण;

3) मॉडल का निर्माण (संश्लेषण);

4) विश्वसनीयता के लिए निर्मित मॉडल का सत्यापन;

5) मॉडल का आवेदन;

6) मॉडल अपडेट (आवश्यकतानुसार)।

1) एक मॉडल बनाने से पहले, आपको पहले मॉडल के मुख्य उद्देश्य को निर्धारित करने की आवश्यकता है - निर्णय लेने वाले को उसके सामने आने वाली समस्या को हल करने में मदद करने के लिए मॉडल का उपयोग करने के लिए आपको कौन सा आउटपुट डेटा प्राप्त करने की आवश्यकता है।

फिर आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि मॉडल बनाने के लिए कौन सी जानकारी की आवश्यकता है और किस आउटपुट जानकारी की आवश्यकता है। इसके अलावा, मॉडल बनाने की लागत और इसका उपयोग करने वाले लोगों की प्रतिक्रिया का आकलन किया जाना चाहिए। एक मॉडल जिसकी निर्माण और उपयोग की लागत उससे प्राप्त लाभों से अधिक है, किसी की आवश्यकता नहीं है, और एक मॉडल जो बहुत जटिल है, उपयोगकर्ताओं द्वारा समझा नहीं जा सकता है और व्यवहार में लागू नहीं किया जाएगा।

2) मॉडल वस्तु के विवरण पर आधारित होता है, जो वस्तु को बनाने वाले तत्वों को उजागर करने, उनके बीच संबंध की पहचान करने, निर्धारित करने के आधार पर (समस्या को हल करने और उपलब्ध जानकारी के अनुसार) बनता है। विचाराधीन समस्या के लिए आवश्यक विशेषताएँ और मानदंड। उसी स्तर पर, परिकल्पनाएं बनाई जाती हैं, बाद के सत्यापन के अधीन, अध्ययन के तहत वस्तु में निहित पैटर्न के बारे में, कुछ मापदंडों में परिवर्तन की वस्तु पर प्रभाव की प्रकृति और तत्वों के बीच संबंधों के बारे में, संभावित परिणाम निर्धारित करने वाले संबंध लिए गए निर्णयों का अध्ययन किया जाता है, और अस्पष्ट, अस्पष्ट बयानों या परिभाषाओं को समाप्त कर दिया जाता है। , जिन्हें प्रतिस्थापित किया जाता है, शायद अनुमानित, लेकिन स्पष्ट बयान जो विभिन्न व्याख्याओं की अनुमति नहीं देते हैं

3) गणितीय मॉडलिंग का सार गणितीय योजनाओं का चयन है जो वास्तविकता में होने वाली प्रक्रियाओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है।

गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, घटना को किसी तरह सरल, योजनाबद्ध किया जाता है; घटना को प्रभावित करने वाले अनगिनत कारकों में से, सबसे महत्वपूर्ण लोगों की अपेक्षाकृत कम संख्या को चुना जाता है, और परिणामी योजना को एक या किसी अन्य गणितीय उपकरण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। गणितीय मॉडल बनाने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। प्रत्येक मामले में, मॉडल का निर्माण कार्य, उपलब्ध प्रारंभिक डेटा, समाधान की आवश्यक सटीकता और मॉडल बनाने वाले विश्लेषक की व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के आधार पर किया जाता है।

गणितीय मॉडल बनाते समय, निम्नलिखित गतिविधियाँ की जाती हैं:

- प्रणाली के सभी तत्वों का विश्लेषण जो किए गए निर्णयों की दक्षता को प्रभावित करते हैं और विभिन्न निर्णय विकल्पों के साथ संगठन के कामकाज पर उनमें से प्रत्येक के प्रभाव की डिग्री का आकलन करते हैं;

- उन तत्वों की सूची से बहिष्करण जो समाधानों की पसंद को प्रभावित नहीं करते (या नगण्य रूप से प्रभावित करते हैं);

- मॉडल को सरल बनाने के लिए कुछ परस्पर संबंधित तत्वों का प्रारंभिक समूह (उदाहरण के लिए, किराए की लागत, परिसर के रखरखाव और अन्य को सशर्त रूप से निश्चित लागतों में जोड़ा जाता है);

- सिस्टम पर प्रभाव की उनकी स्थायी या परिवर्तनशील प्रकृति को स्पष्ट करने के बाद तत्वों की सूची का निर्धारण (परिवर्तनीय तत्वों के हिस्से के रूप में, सिस्टम के उप-तत्व स्थापित होते हैं जो उनके मूल्य को प्रभावित करते हैं; उदाहरण के लिए, परिवहन लागत निर्भर करती है ले जाया गया माल की मात्रा, दूरी, ईंधन लागत, आदि पर);

- प्रत्येक उप-तत्व को एक निश्चित प्रतीक निर्दिष्ट करना और संबंधित गणितीय संरचनाओं को संकलित करना।

एक गणितीय मॉडल आमतौर पर समस्या को हल करने के लिए प्रस्तावित पद्धति पर ध्यान देने के साथ बनाया जाता है। दूसरी ओर, गणितीय अध्ययन करने या किसी समाधान की व्याख्या करने की प्रक्रिया में, गणितीय मॉडल को परिष्कृत करना या महत्वपूर्ण रूप से बदलना आवश्यक हो सकता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, निर्णय लेने की समस्याओं में वर्तमान में उपयोग किए जाने वाले गणितीय मॉडल को मोटे तौर पर तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: विश्लेषणात्मक, सांख्यिकीय और अस्पष्ट औपचारिकता पर आधारित।

पूर्व को किसी भी रूप में लिखे गए समस्या के मापदंडों के बीच सूत्र, विश्लेषणात्मक निर्भरता की स्थापना की विशेषता है: बीजीय समीकरण, साधारण अंतर समीकरण, आंशिक अंतर समीकरण, आदि। आमतौर पर, विश्लेषणात्मक मॉडल की मदद से, यह संभव है संतोषजनक सटीकता के साथ कुछ विशुद्ध रूप से तकनीकी प्रक्रियाओं का वर्णन करें, जो ज्ञात भौतिक कानूनों पर आधारित हैं।

सांख्यिकीय मॉडल का उपयोग उपयुक्त संभाव्य और सांख्यिकीय डेटा और नियमितताओं की उपलब्धता को निर्धारित करता है।

अस्पष्ट औपचारिकता पर आधारित मॉडलों का उपयोग डेटा के अभाव में उचित है जो पहले दो प्रकार के मॉडलों के उपयोग की अनुमति देगा।

इसे सही ठहराने के लिए निर्मित मॉडल को उचित विश्लेषण के अधीन किया जाना चाहिए। सबसे महत्वपूर्ण बिंदु तैयार मॉडल के ढांचे के भीतर समाधान के अस्तित्व या प्राप्त करने का प्रमाण है। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो या तो समस्या का सूत्रीकरण या उसके गणितीय औपचारिकरण के तरीकों को ठीक किया जाना चाहिए।

4) व्यवहार में, वैधता के लिए मॉडल की जांच करना लगभग हमेशा आवश्यक होता है। सबसे पहले, वास्तविक घटना के लिए मॉडल के पत्राचार की डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है, यह स्थापित करने के लिए कि क्या मॉडल में वास्तविक स्थिति के सभी आवश्यक कारकों को ध्यान में रखा गया है। दूसरा, आपको यह समझने की जरूरत है कि मॉडलिंग वास्तव में समस्या को हल करने में कैसे मदद करता है। अतीत में हुई स्थिति के विरुद्ध मॉडल का परीक्षण करना वांछनीय है।

मॉडल के साथ अध्ययन के तहत वस्तु की तुलना (मूल्यांकन) का एक सफल परिणाम वस्तु के पर्याप्त ज्ञान, मॉडलिंग के अंतर्निहित सिद्धांतों की शुद्धता और यह कि बनाया गया मॉडल व्यावहारिक है।

अक्सर पहले सिमुलेशन परिणाम आवश्यकताओं को पूरा नहीं करते हैं। इसके लिए अतिरिक्त शोध और मॉडल में संबंधित परिवर्तन की आवश्यकता है।

5) मॉडल के आवेदन के संबंध में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि मॉडल के अपर्याप्त उपयोग का मुख्य कारण यह है कि जिन प्रबंधकों के लिए वे बनाए जाते हैं वे अक्सर प्राप्त परिणामों को पूरी तरह से नहीं समझते हैं और इसलिए उन्हें लागू करने से डरते हैं। इसका कारण इस क्षेत्र में उनके ज्ञान की कमी है। इसका मुकाबला करने के लिए, सिस्टम विश्लेषकों को मॉडल का उपयोग करने की क्षमताओं और तरीकों के बारे में प्रबंधकों को शिक्षित करने में काफी अधिक समय व्यतीत करने की आवश्यकता है।

6) मॉडल को अद्यतन किया जाता है यदि प्रबंधन को अधिक सुविधाजनक रूप या अतिरिक्त डेटा में आउटपुट डेटा की आवश्यकता होती है। संगठन के लक्ष्यों और संबंधित निर्णय लेने के मानदंडों में परिवर्तन के मामले में, या जब अतिरिक्त जानकारी प्राप्त होती है जो वर्तमान मॉडल को स्पष्ट करने और सुधारने की अनुमति देती है, तो मॉडल के अद्यतन की भी आवश्यकता हो सकती है। बाद की स्थिति अपर्याप्तता की समस्या से संबंधित है, मॉडल बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली प्राथमिक जानकारी की अशुद्धि। यदि बाहरी वातावरण मोबाइल है, तो इसके बारे में जानकारी जल्दी से अपडेट की जानी चाहिए, लेकिन यह पर्याप्त समय नहीं हो सकता है या यह बहुत महंगा हो सकता है। मॉडल के निर्माण में अंतर्निहित मान्यताओं की अविश्वसनीयता का मुख्य कारण सूचना सीमाएं हैं। अक्सर ऐसी स्थितियां होती हैं जब सभी महत्वपूर्ण कारकों के बारे में जानकारी प्राप्त करना और मॉडल में इसका उपयोग करना असंभव होता है। उन धारणाओं का उपयोग करने के लिए सावधानी बरती जानी चाहिए जिनका सटीक अनुमान और निष्पक्ष रूप से सत्यापन नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, यह धारणा कि अगले वर्ष की बिक्री में एक निश्चित राशि की वृद्धि होगी, सत्यापन योग्य नहीं है)।

2.2.4 मॉडल बनाते समय, निम्नलिखित सिफारिशों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

आमतौर पर, गणितीय मॉडल का मुख्य मोटे निर्माण (प्रकार, सामान्य योजना) पहले निर्धारित किया जाता है, और फिर इस निर्माण का विवरण निर्दिष्ट किया जाता है (चर और मापदंडों की एक विशिष्ट सूची, संबंधों का रूप);

मॉडल के अनावश्यक विवरण से बचना चाहिए, क्योंकि यह अनावश्यक रूप से मॉडल को जटिल बनाता है। मॉडल की जटिलता की ऐसी विशेषताओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जैसे कि गणितीय निर्भरता के रूप, यादृच्छिकता और अनिश्चितता के कारकों को ध्यान में रखते हुए, आदि। मॉडल की अत्यधिक जटिलता और बोझिलता अनुसंधान प्रक्रिया को जटिल बनाती है। न केवल सूचना और गणितीय समर्थन की वास्तविक संभावनाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि प्राप्त प्रभाव के साथ मॉडलिंग की लागतों की तुलना करना भी आवश्यक है (जैसे-जैसे मॉडल की जटिलता बढ़ती है, लागत में वृद्धि प्रभाव में वृद्धि से अधिक हो सकती है);

गणितीय मॉडल की महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक विभिन्न गुणवत्ता की समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग की संभावित संभावना है। इसलिए, यहां तक ​​​​कि जब एक नए कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इसे हल करने के लिए पहले से ही ज्ञात मॉडल (या उनके व्यक्तिगत घटकों) का उपयोग करने की संभावना का विश्लेषण करना आवश्यक है;

एक ऐसा मॉडल प्राप्त करने का प्रयास करना आवश्यक है जो गणितीय समस्याओं के एक अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग से संबंधित हो। अक्सर यह मॉडल की प्रारंभिक मान्यताओं के कुछ सरलीकरण द्वारा किया जा सकता है जो प्रतिरूपित वस्तु की आवश्यक विशेषताओं को विकृत नहीं करते हैं।

मॉडलिंग की सकारात्मक विशेषताएं भी हैं:

- अधिक उन्नत सिद्ध निर्णय लेने वाली तकनीकों का उपयोग;

- निर्णयों की उच्च स्तर की वैधता;

- निर्णय लेने के समय में कमी;

- रिवर्स ऑपरेशन करने की संभावना।

उलटा ऑपरेशन की ख़ासियत यह है कि, एक मॉडल और प्रारंभिक डेटा होने पर, कोई न केवल निर्णय ले सकता है, बल्कि वांछित परिणाम पर भी ध्यान केंद्रित कर सकता है और यह निर्धारित कर सकता है कि इसके लिए कौन से प्रारंभिक डेटा की आवश्यकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एन की मात्रा में लाभ कमाने पर ध्यान केंद्रित करते हुए, कोई अन्य संकेतकों के मात्रात्मक मूल्यों को भी स्थापित कर सकता है जो प्रत्यक्ष और परोक्ष रूप से नियोजित परिणाम की उपलब्धि को प्रभावित करते हैं (स्थिति (वस्तु) के बारे में नया ज्ञान प्राप्त करना) पहले उपलब्ध नहीं था; निष्कर्ष तैयार करना जो सबसे सार्थक तार्किक तर्क के साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता)।

गणितीय मॉडल बनाने के लिए, आपको चाहिए:

1. वास्तविक वस्तु या प्रक्रिया का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें;
2. इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों पर प्रकाश डालिए;
3. चर परिभाषित करें, अर्थात्। पैरामीटर जिनके मूल्य वस्तु की मुख्य विशेषताओं और गुणों को प्रभावित करते हैं;
4. तार्किक और गणितीय संबंधों (समीकरण, समानता, असमानता, तार्किक और गणितीय निर्माण) का उपयोग करके चर के मूल्य पर किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के मूल गुणों की निर्भरता का वर्णन करें;
5. प्रतिबंधों, समीकरणों, समानता, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करके किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के आंतरिक कनेक्शन को उजागर करना;
6. परिभाषित करना बाहरी संबंधऔर प्रतिबंधों, समीकरणों, समानता, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों की सहायता से उनका वर्णन करें।

गणितीय मॉडलिंग, किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली का अध्ययन करने और उनके गणितीय विवरण को संकलित करने के अलावा, इसमें शामिल हैं:

1. एक एल्गोरिथ्म का निर्माण जो किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के व्यवहार को मॉडल करता है;
2. कम्प्यूटेशनल और प्राकृतिक प्रयोग के आधार पर मॉडल और वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की पर्याप्तता का सत्यापन;
3. मॉडल समायोजन;
4. मॉडल का उपयोग करना।

अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं और प्रणालियों का गणितीय विवरण इस पर निर्भर करता है:

1. एक वास्तविक प्रक्रिया या प्रणाली की प्रकृति और भौतिकी, रसायन विज्ञान, यांत्रिकी, थर्मोडायनामिक्स, हाइड्रोडायनामिक्स, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, प्लास्टिसिटी के सिद्धांत, लोच के सिद्धांत आदि के नियमों के आधार पर संकलित की जाती है।
2. वास्तविक प्रक्रियाओं और प्रणालियों के अध्ययन और अध्ययन की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता।

गणितीय मॉडल का निर्माण आमतौर पर विचाराधीन वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के सबसे सरल, सबसे मोटे गणितीय मॉडल के निर्माण और विश्लेषण के साथ शुरू होता है। भविष्य में, यदि आवश्यक हो, तो मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, वस्तु के साथ इसके पत्राचार को और अधिक पूर्ण बनाया जाता है।

आइए एक साधारण उदाहरण लेते हैं। आपको डेस्क के सतह क्षेत्र को निर्धारित करने की आवश्यकता है। आमतौर पर, इसके लिए इसकी लंबाई और चौड़ाई को मापा जाता है, और फिर परिणामी संख्याओं को गुणा किया जाता है। इस तरह की एक प्रारंभिक प्रक्रिया का वास्तव में निम्नलिखित अर्थ है: वास्तविक वस्तु (तालिका की सतह) को एक अमूर्त गणितीय मॉडल - एक आयत द्वारा बदल दिया जाता है। तालिका की सतह की लंबाई और चौड़ाई को मापने के परिणामस्वरूप प्राप्त आयामों को आयत के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, और इस तरह के आयत का क्षेत्रफल लगभग तालिका के वांछित क्षेत्र के रूप में लिया जाता है। हालाँकि, डेस्क आयत मॉडल सबसे सरल, सबसे कच्चा मॉडल है। समस्या के लिए अधिक गंभीर दृष्टिकोण के साथ, तालिका क्षेत्र निर्धारित करने के लिए आयत मॉडल का उपयोग करने से पहले, इस मॉडल की जांच की जानी चाहिए। जाँच निम्नानुसार की जा सकती है: तालिका के विपरीत पक्षों की लंबाई, साथ ही इसके विकर्णों की लंबाई को मापें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। यदि, आवश्यक सटीकता के साथ, विपरीत पक्षों की लंबाई और विकर्णों की लंबाई जोड़ीदार समान हैं, तो तालिका की सतह को वास्तव में एक आयत माना जा सकता है। अन्यथा, आयत मॉडल को अस्वीकार करना होगा और एक चतुर्भुज मॉडल के साथ प्रतिस्थापित करना होगा। सामान्य दृष्टि से. सटीकता के लिए उच्च आवश्यकता के साथ, मॉडल को और भी अधिक परिष्कृत करना आवश्यक हो सकता है, उदाहरण के लिए, तालिका के कोनों की गोलाई को ध्यान में रखना।

इसकी मदद से एक साधारण उदाहरणयह दिखाया गया था कि गणितीय मॉडल विशिष्ट रूप से जांच की गई वस्तु, प्रक्रिया या द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है व्यवस्था.

या (कल पुष्टि की जानी है)

मैट को हल करने के तरीके। मॉडल:

1, प्रकृति के नियमों के आधार पर मी. का निर्माण (विश्लेषणात्मक विधि)

2. सांख्यिकीय की सहायता से औपचारिक तरीका। प्रसंस्करण और माप परिणाम (सांख्यिकीय दृष्टिकोण)

3. तत्वों के मॉडल (जटिल प्रणाली) के आधार पर मीटर का निर्माण

1, विश्लेषणात्मक - पर्याप्त अध्ययन के साथ प्रयोग करें। सामान्य नियमितता ज्ञात। मॉडल।

2. प्रयोग। जानकारी के अभाव में

3. नकली एम। - वस्तु एसएसटी के गुणों की पड़ताल करता है। सामान्यतया।

गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण।

गणित का मॉडल- ये है गणितीय प्रतिनिधित्ववास्तविकता।

गणित मॉडलिंगगणितीय मॉडलों के निर्माण और अध्ययन की प्रक्रिया है।

गणितीय तंत्र का उपयोग करने वाले सभी प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञान अनिवार्य रूप से गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं: वे किसी वस्तु को उसके गणितीय मॉडल से बदल देते हैं और फिर बाद वाले का अध्ययन करते हैं। वास्तविकता के साथ गणितीय मॉडल का संबंध परिकल्पना, आदर्शीकरण और सरलीकरण की एक श्रृंखला की मदद से किया जाता है। गणितीय विधियों की मदद से, एक नियम के रूप में, एक आदर्श वस्तु का वर्णन किया जाता है, जिसे सार्थक मॉडलिंग के चरण में बनाया जाता है।

मॉडल की आवश्यकता क्यों है?

बहुत बार, किसी वस्तु का अध्ययन करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। मूल स्वयं कभी-कभी अनुपलब्ध होता है, या इसका उपयोग उचित नहीं है, या मूल की भागीदारी महंगा है। सिमुलेशन की मदद से इन सभी समस्याओं को हल किया जा सकता है। एक निश्चित अर्थ में मॉडल अध्ययन के तहत वस्तु को बदल सकता है।

मॉडल के सबसे सरल उदाहरण

एक तस्वीर को एक व्यक्ति का मॉडल कहा जा सकता है। किसी व्यक्ति को पहचानने के लिए उसकी तस्वीर देखना ही काफी है।

वास्तुकार ने नए आवासीय क्षेत्र का लेआउट बनाया। वह अपने हाथ की गति से किसी ऊंची इमारत को एक हिस्से से दूसरे हिस्से में ले जा सकता है। हकीकत में ऐसा संभव नहीं होगा।

मॉडल प्रकार

मॉडल में विभाजित किया जा सकता है सामग्री"तथा आदर्श. उपरोक्त उदाहरण भौतिक मॉडल हैं। आदर्श मॉडल में अक्सर एक प्रतिष्ठित आकार होता है। उसी समय, वास्तविक अवधारणाओं को कुछ संकेतों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिन्हें कागज पर, कंप्यूटर मेमोरी आदि में आसानी से तय किया जा सकता है।

गणित मॉडलिंग

गणितीय मॉडलिंग साइन मॉडलिंग के वर्ग से संबंधित है। उसी समय, किसी भी गणितीय वस्तु से मॉडल बनाए जा सकते हैं: संख्याएं, कार्य, समीकरण, आदि।

गणितीय मॉडल का निर्माण

गणितीय मॉडल के निर्माण के कई चरण हैं:

1. कार्य को समझना, हमारे लिए सबसे महत्वपूर्ण गुणों, गुणों, मूल्यों और मापदंडों को उजागर करना।

2. अंकन का परिचय।

3. प्रतिबंधों की एक प्रणाली तैयार करना जो दर्ज किए गए मूल्यों से संतुष्ट होना चाहिए।

4. शर्तों का निर्माण और रिकॉर्डिंग जो वांछित इष्टतम समाधान को संतुष्ट करना चाहिए।

मॉडलिंग की प्रक्रिया खत्म नहीं होती एक मॉडल का निर्माण, औरशुरुआत। एक मॉडल संकलित करने के बाद, वे उत्तर खोजने, समस्या को हल करने के लिए एक विधि चुनते हैं। उत्तर मिलने के बाद, इसकी तुलना वास्तविकता से करें। और यह संभव है कि उत्तर संतुष्ट न हो, जिस स्थिति में मॉडल को संशोधित किया जाता है या यहां तक ​​कि एक पूरी तरह से अलग मॉडल चुना जाता है।

गणितीय मॉडल का उदाहरण

एक कार्य

उत्पादन संघ, जिसमें दो फर्नीचर कारखाने शामिल हैं, को अपने मशीन पार्क को अपग्रेड करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, पहले फर्नीचर कारखाने को तीन मशीनों को बदलने की जरूरत है, और दूसरी सात को। दो मशीन टूल फैक्ट्रियों में ऑर्डर दिए जा सकते हैं। पहला कारखाना 6 से अधिक मशीनों का उत्पादन नहीं कर सकता है, और दूसरा कारखाना एक आदेश स्वीकार करेगा यदि उनमें से कम से कम तीन हैं। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि ऑर्डर कैसे दिया जाए।