परिबद्ध x-अक्ष, एक समाकलनीय फलन का आलेख और रेखाखंड एक्स = ए \, \!तथा एक्स = बी\,\!, कहाँ पे एक\,\!तथा बी\,\!- एकीकरण सीमा (आंकड़ा देखें)।

संख्यात्मक एकीकरण को लागू करने की आवश्यकता अक्सर प्रतिनिधित्व की अनुपस्थिति के कारण हो सकती है और, परिणामस्वरूप, मूल्य की विश्लेषणात्मक गणना की असंभवता समाकलन परिभाषित करेंपर । यह भी संभव है कि प्रतिअवकलन का रूप इतना जटिल हो कि समाकल के मान को संख्यात्मक रूप से परिकलित करना तेज हो।

एक आयामी मामला

संख्यात्मक एकीकरण के अधिकांश तरीकों का मुख्य विचार इंटीग्रैंड को एक सरल तरीके से बदलना है, जिसके इंटीग्रल की आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जा सकती है। इस मामले में, फॉर्म के अभिन्न, सूत्रों के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए

मैं \लगभग \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

कहाँ पे एन\,\!उन बिंदुओं की संख्या है जिन पर इंटीग्रैंड के मूल्य की गणना की जाती है। अंक x_i\,\!विधि नोड कहलाते हैं, संख्या w_i\,\!- नोड वजन। जब समाकलन को शून्य, प्रथम और द्वितीय घात के बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो क्रमशः विधियाँ और (सिम्पसन) प्राप्त होती हैं। अक्सर समाकलन के मान का अनुमान लगाने के सूत्रों को द्विघात सूत्र कहा जाता है।

आयत विधि

आयत विधिइंटीग्रैंड को एक स्थिरांक से बदलकर प्राप्त किया जाता है। एक स्थिरांक के रूप में, आप खंड के किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ले सकते हैं \बाएं\,\!. सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन मान एक खंड के बीच में और उसके सिरों पर होते हैं। संबंधित संशोधनों को विधियाँ कहा जाता है मध्यम आयत, बायां आयततथा सही आयत. आयतों की विधि द्वारा एक निश्चित समाकल के मान की अनुमानित गणना का सूत्र है

मैं \लगभग f(x) (बी-ए),

कहाँ पे x=\frac(\बाएं(ए+बी\दाएं))(2), एक\,\!या बी\,\!, क्रमश।

समलम्बाकार विधि

यदि हम एकीकरण खंड के सिरों के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो हमें मिलता है समलम्बाकार विधि. ज्यामितीय विचारों से, इसे प्राप्त करना आसान है

मैं \लगभग \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

परवलय विधि

एकीकरण खंड के तीन बिंदुओं का उपयोग करके, हम इंटीग्रैंड को एक परवलय से बदल सकते हैं। आमतौर पर, खंड के सिरों और उसके मध्य बिंदु को ऐसे बिंदुओं के रूप में उपयोग किया जाता है। इस मामले में, सूत्र बहुत सरल है

मैं \लगभग \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

सटीकता बढ़ाना

एकीकरण के पूरे अंतराल पर एक बहुपद द्वारा एक फ़ंक्शन का अनुमान, एक नियम के रूप में, अभिन्न के मूल्य का अनुमान लगाने में एक बड़ी त्रुटि की ओर जाता है।

त्रुटि को कम करने के लिए, एकीकरण खंड को भागों में विभाजित किया जाता है और उनमें से प्रत्येक पर अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए एक संख्यात्मक विधि का उपयोग किया जाता है।

चूंकि विभाजनों की संख्या अनंत तक जाती है, अभिन्न का अनुमान किसी भी संख्यात्मक विधि के लिए अपने वास्तविक मूल्य पर जाता है।

उपरोक्त विधियां चरण को आधा करने की एक सरल प्रक्रिया की अनुमति देती हैं, जबकि प्रत्येक चरण में केवल नए जोड़े गए नोड्स पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना आवश्यक है। गणना त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है।

गॉस विधि

ऊपर वर्णित विधियां निश्चित रेखा खंड बिंदुओं (अंत और मध्यबिंदु) का उपयोग करती हैं और निम्न (क्रमशः, 1 और 3) हैं। यदि हम उन बिंदुओं को चुन सकते हैं जिन पर हम फ़ंक्शन मानों की गणना करते हैं एफ(एक्स)\,\!, तो यह संभव है, एकीकृत की गणनाओं की समान संख्या के साथ, अधिक विधियों को प्राप्त करने के लिए उच्च स्तरशुद्धता। तो दो के लिए (ट्रैपेज़ॉइड विधि में) इंटीग्रैंड के मूल्यों की गणना के लिए, आप एक विधि प्राप्त कर सकते हैं जो अब 1 की नहीं, बल्कि सटीकता के तीसरे क्रम की है:

मैं \लगभग \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

पर सामान्य मामलाका उपयोग करते हुए एन\,\!अंक, आप सटीकता के क्रम के साथ एक विधि प्राप्त कर सकते हैं 2एन-1\,\!. गाऊसी विधि के नोड्स का मान एन\,\!अंक डिग्री के लीजेंड्रे बहुपद की जड़ें हैं एन\,\!.

गाऊसी पद्धति के नोड्स के मूल्य और उनके वजन विशेष कार्यों की संदर्भ पुस्तकों में दिए गए हैं। गॉसियन फाइव-पॉइंट विधि सबसे अच्छी तरह से जानी जाती है।

गॉस-क्रोनरोड विधि

गॉस विधि का नुकसान यह है कि इसमें अभिन्न के प्राप्त मूल्य की त्रुटि का अनुमान लगाने का एक आसान (कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से) तरीका नहीं है। रन के नियम के उपयोग के लिए लगभग समान अंक पर इंटीग्रैंड की गणना की आवश्यकता होती है, इसके विपरीत, सटीकता में व्यावहारिक रूप से कोई लाभ दिए बिना सरल तरीके, जहां प्रत्येक नए विभाजन के साथ सटीकता कई गुना बढ़ जाती है। क्रोनरोड ने इंटीग्रल के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए निम्नलिखित विधि का प्रस्ताव रखा:

मैं \लगभग \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

कहाँ पे x_i\,\!- गॉस विधि नोड्स द्वारा एन\,\!अंक, और 3एन+2\,\!मापदंडों ए_आई\,\!, बी_आई\,\!, यी\,\!इस तरह से चुना जाता है कि विधि की सटीकता का क्रम बराबर है 3एन+1\,\!.

फिर, त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, कोई अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग कर सकता है

\डेल्टा = \बाएं(200 |I - I_G|\दाएं)^(1.5),

कहाँ पे मैं_जी\,\!- गॉस विधि द्वारा अनुमानित इंटीग्रल का मूल्य एन\,\!अंक। पुस्तकालय [

संख्यात्मक एकीकरण सूत्र प्रोग्रामिंग

परिचय

2. चतुर्भुज सूत्र

3. एकीकरण चरण का स्वचालित चयन

निष्कर्ष

ग्रंथ सूची सूची

परिचय

सार का उद्देश्य अध्ययन करना है और तुलनात्मक विश्लेषणकार्यों के संख्यात्मक एकीकरण के तरीके; भाषा में मशीन प्रोग्राम के रूप में इन विधियों का कार्यान्वयन उच्च स्तरऔर कंप्यूटर पर संख्यात्मक एकीकरण की समस्याओं का व्यावहारिक समाधान।

इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करते समय, अक्सर फॉर्म के एक निश्चित अभिन्न के मूल्यों की गणना करना आवश्यक हो जाता है

यदि फलन खंड पर सतत है [ एक, बी] और इसके प्रतिअवकलन को ज्ञात फलन द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, फिर ऐसे समाकलन की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के अनुसार की जाती है:

.

इंजीनियरिंग समस्याओं में, विश्लेषणात्मक रूप में इंटीग्रल का मूल्य प्राप्त करना शायद ही संभव हो। इसके अलावा, समारोह एफ(एक्स) दिया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रयोगात्मक डेटा की एक तालिका द्वारा। इसलिए, व्यवहार में, एक निश्चित अभिन्न की गणना करने के लिए, विशेष विधियों का उपयोग किया जाता है, जो प्रक्षेप तंत्र पर आधारित होते हैं।

इन विधियों के पीछे का विचार इस प्रकार है। सूत्र (1) का उपयोग करके अभिन्न की गणना करने के बजाय, फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना पहले की जाती है एफ(एक्स मैं) = यीकुछ नोड्स पर एक्स मैं Î[ एक, बी]. तब प्रक्षेप बहुपद चुना जाता है पी(एक्स) प्राप्त बिंदुओं से गुजरते हुए ( एक्स मैं, यी), जिसका उपयोग अभिन्न (1) के अनुमानित मूल्य की गणना में किया जाता है:

.

इस दृष्टिकोण को लागू करते समय, संख्यात्मक एकीकरण सूत्र निम्नलिखित लेते हैं: सामान्य फ़ॉर्म:

, (2)

इंटरपोलेशन नोड्स कहां हैं, ऐकुछ गुणांक हैं, आर- अवशिष्ट शब्द सूत्र की त्रुटि को दर्शाता है। ध्यान दें कि फॉर्म (2) के फॉर्मूले को क्वाड्रेचर फॉर्मूला कहा जाता है।

संख्यात्मक एकीकरण का ज्यामितीय अर्थ फ़ंक्शन के ग्राफ़ से बंधे एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करना है एफ(एक्स), एक भुज अक्ष और दो सीधी रेखाएं एक्स = एतथा एक्स = बी.क्षेत्र की अनुमानित गणना से चतुर्भुज सूत्रों में अवशिष्ट पद की अस्वीकृति हो जाती है आरविधि की त्रुटि की विशेषता है, जो अतिरिक्त रूप से कम्प्यूटेशनल त्रुटि द्वारा आरोपित है।

संख्यात्मक एकीकरण के तरीके

अनुप्रयुक्त अनुसंधान में अक्सर एक निश्चित समाकल के मूल्य की गणना करना आवश्यक हो जाता है

जैसा कि गणित के पाठ्यक्रम से जाना जाता है, सभी मामलों में अभिन्न की विश्लेषणात्मक गणना नहीं की जा सकती है। और उस मामले में भी जब इस अभिन्न के विश्लेषणात्मक रूप को खोजना संभव है, गणना प्रक्रिया अनुमानित परिणाम देती है, इसलिए इस अभिन्न के अनुमानित मूल्य की समस्या उत्पन्न होती है।

अनुमानित गणना का सार दो कार्यों में होता है: 1. n के बजाय एक परिमित संख्या चुनने में; 2. संबंधित खंड में एक बिंदु चुनने में।

पसंद के आधार पर, हमें इंटीग्रल की गणना के लिए अलग-अलग सूत्र मिलते हैं: बाएँ और दाएँ आयतों के लिए सूत्र (5), (6)

(5)

(6)

समलम्बाकार सूत्र:

सिम्पसन फॉर्मूला

बी, ए - माना खंड के सिरों।

उपरोक्त संख्यात्मक एकीकरण फ़ार्मुलों के साथ गणना परिणामों की तुलना करने के लिए, हम खंड को 6 बराबर खंडों में विभाजित करते हुए, 3 तरीकों से निम्नलिखित अभिन्न की गणना करते हैं:

बाएँ आयतों के सूत्र के अनुसार:

समलम्बाकार सूत्र के अनुसार:

सिम्पसन के सूत्र के अनुसार:

और विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त परिणाम बराबर है

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सिम्पसन सूत्र के अनुसार एकीकरण की संख्यात्मक विधि अधिक सटीक है, लेकिन सामान्य मामले में इसका उपयोग तब किया जाता है जब खंड को एक समान संख्या में अंतराल में विभाजित किया जाता है।

चतुर्भुज सूत्र

आयत सूत्रसबसे सरल द्विघात सूत्र हैं। आइए हम एकीकरण अंतराल को विभाजित करें [ ए, बी] पर पीबराबर भाग लंबा। ध्यान दें कि मान एचएकीकरण चरण कहा जाता है। विभाजित बिंदुओं पर एक्स 0 = ए,एक्स 1 = ए + एच, ..., एक्स एन = बीनिर्देशांक नोट करें आप 0 ,आप 1 ,…,Y nकुटिल एफ(एक्स), अर्थात। गणना करना मैं = एफ(एक्स मैं), x i = a+ ih = x i -1 + एच(मैं =) लंबाई के प्रत्येक खंड पर एचभुजाओं के साथ एक आयत बनाएँ एचतथा यी, कहाँ पे मैं =, अर्थात। खंडों के बाएँ सिरों पर परिकलित निर्देशांकों के मानों द्वारा। फिर वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र, जो समाकलन (1) का मान निर्धारित करता है, को लगभग आयतों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 1)। यहाँ से हमें आयतों का सूत्र प्राप्त होता है:

यदि, अभिन्न योग की गणना करते समय, हम फ़ंक्शन के मान लेते हैं एफ(एक्स) बाईं ओर नहीं, बल्कि लंबाई के खंडों के दाहिने छोर पर एच, जो अंजीर में दिखाया गया है। एक बिंदुयुक्त रेखा, तो हमें आयत सूत्र का दूसरा संस्करण मिलता है:

आयतों के सूत्र का तीसरा संस्करण फ़ंक्शन के मूल्यों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एफ(एक्स) लंबाई के प्रत्येक खंड के मध्य बिंदु पर गणना की गई एच(रेखा चित्र नम्बर 2):

. (5)

सूत्र (3), (4) और (4) क्रमशः बाएँ, दाएँ और केंद्रीय आयतों के सूत्र कहलाते हैं।

चावल। 2

समलम्बाकार सूत्र।यहाँ, प्रत्येक प्रारंभिक अंतराल पर [ एक्स मैं -1 , एक्स मैं] लंबाई एचनिर्देशांक के साथ अंक ( एक्स मैं -1 , यी-1) और ( एक्स मैं, यी) एक खंड से जुड़े हुए हैं (चित्र 3)। फिर इस अंतराल पर बने ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र उत्पाद 0.5 . द्वारा निर्धारित किया जाता है एच(यी -1 + यी) के लिए प्राथमिक समलम्बाकार क्षेत्रों को सारांशित करना मैं= हमें समाकल का सन्निकट मान प्राप्त होता है।

संख्यात्मक एकीकरण

व्याख्यान में चर्चा किए गए मुख्य प्रश्न:

2. न्यूटन-कोट्स द्विघात सूत्र

3. आयतों के सूत्र

4. समलम्बाकार सूत्र

5. सिम्पसन फॉर्मूला

6. गॉस के द्विघात सूत्र

7. मोंटे कार्लो विधि

1. संख्यात्मक एकीकरण की समस्या का विवरण

फॉर्म के एक निश्चित अभिन्न की गणना करना आवश्यक है, और फ़ंक्शन को सूत्र के रूप में और तालिका के रूप में दोनों में दिया जा सकता है।

न्यूटन-कोट्स द्विघात सूत्र

,
कहाँ पे - कोट्स गुणांक।
ये सूत्र एक ही एकीकरण खंड पर विभाजन खंडों की एक अलग संख्या n के लिए अलग-अलग प्रतिनिधित्व देते हैं।

आयत सूत्र

मान लीजिए कि यह अभिन्न की गणना करने के लिए आवश्यक है।
यदि एकीकरण खंड काफी बड़ा है, तो आपको इसे समान लंबाई के छोटे खंडों में तोड़ने की जरूरत है, जहां n खंडों की संख्या है, और प्रत्येक खंड पर एक आयत के साथ वक्रीय समलम्बाकार की जगह, इन आयतों के क्षेत्रों की गणना करें। फिर परिणामी क्षेत्रों को जोड़ा जाना चाहिए, और इस राशि को वांछित अभिन्न के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जाएगा।
आयतों के निर्माण के लिए, उन्हें अलग-अलग तरीकों से बनाया जा सकता है: आप प्रत्येक खंड (चित्र 1) के दाहिने छोर से वक्र f (x) के साथ चौराहे पर एक लंबवत खींच सकते हैं, आप कर सकते हैं - बाएं छोर से (रेखा चित्र नम्बर 2)

चावल। एक

चावल। 2

इसके आधार पर, गणना के सूत्र कुछ भिन्न होते हैं और क्रमशः दाएं या बाएं निर्देशांक वाले आयतों के सूत्र कहलाते हैं:

("दाएं" आयतों का सूत्र)

("बाएं" आयतों का सूत्र)
"मध्य" आयतों के लिए एक सूत्र भी है: जिसके लिए आयतों का निर्माण विभाजन के प्रत्येक खंड के मध्य बिंदुओं के माध्यम से किया जाता है:

· समलम्बाकार सूत्र

· सिम्पसन फॉर्मूला

विभाजन के प्रत्येक खंड पर वक्र के एक हिस्से को बदलना y = एफ (एक्स)एक परवलयिक वक्र पर, परिणामी आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करते हुए और उनका योग करते हुए, हम सिम्पसन सूत्र प्राप्त करते हैं:

·

· गॉस के द्विघात सूत्र

परंपरागत रूप से, मूल इंटीग्रल में क्वाडरेचर गॉसियन फ़ार्मुलों को प्राप्त करते समय, वेरिएबल का एक परिवर्तन किया जाता है, जो सेगमेंट पर इंटीग्रल को सेगमेंट पर इंटीग्रल में अनुवाद करता है [-1; एक]:

.
फिर ।
हम समाकलन के रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करेंगे।
यदि खंड के बजाय [-1; 1] चलती नोड्स t1, t2 को इंटरपोलेशन नोड्स के रूप में लेने के लिए, फिर आपको इन मानों को चुनने की आवश्यकता है ताकि ऊपर से ट्रैपेज़ॉइड का क्षेत्र बिंदु A1 (t1, (t1) से गुजरने वाली सीधी रेखा से घिरा हो। ) और A2 (t2, φ(t2)) कुछ . के किसी भी बहुपद के समाकल के बराबर था उच्चतम डिग्री.
यह मानते हुए कि यह तीसरी डिग्री का बहुपद है, हम t1, t2 की गणना करते हैं, जो कि और के बराबर होता है, केवल मानों की संख्या में अंतर होता है।
इसके अलावा, एकीकरण खंड को n भागों में तोड़कर, ऊपर वर्णित विचार को उनमें से प्रत्येक पर लागू करके, हम गॉस सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

संख्यात्मक एकीकरण का विचार अत्यंत सरल है और निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ से अनुसरण करता है - निश्चित अभिन्न का मूल्य संख्यात्मक रूप से फ़ंक्शन के ग्राफ से घिरे वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर है वाई = एफ (एक्स), भुज अक्ष और सीधी रेखाएं एक्स = ए, एक्स = बी. एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का लगभग क्षेत्रफल ज्ञात करने पर, हम समाकलन का मान प्राप्त करते हैं। औपचारिक रूप से, संख्यात्मक एकीकरण प्रक्रिया में यह तथ्य शामिल होता है कि खंड [ए, बी] को आंशिक खंडों में विभाजित किया जाता है, और फिर इंटीग्रैंड को उस पर आसानी से एकीकृत करने योग्य फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक निश्चित निर्भरता के अनुसार, मूल्यों को प्रक्षेपित करता है विभाजन बिंदुओं पर इंटीग्रैंड का। अब सबसे सरल पर विचार करें संख्यात्मक तरीकेएकीकरण।

तो समारोह वाई = एफ (एक्स)एक खंड पर समाकलनीय है और इसके समाकलन की गणना करना आवश्यक है। आइए के लिए एक अभिन्न योग बनाते हैं एफ (एक्स)खंड पर। ऐसा करने के लिए, हम बिंदुओं का उपयोग करके खंड को n बराबर भागों में विभाजित करते हैं: x 1 , x 2 ,… , x k ,… , x n-1.

यदि हम प्रत्येक भाग की लंबाई को द्वारा निरूपित करते हैं एक्स, तो , फिर प्रत्येक बिंदु के लिए एक्स केहोगा: (के = 0, 1, 2, …, एन)।

आइए अब हम द्वारा निरूपित करें वाई कोइंटीग्रैंड का मूल्य एफ (एक्स)अर्थात्, चलो डालते हैं (के = 0, 1, …, एन)।

फिर रकम समारोह के लिए अभिन्न होगा एफ (एक्स)खंड पर . (पहली राशि संकलित करते समय, हम फ़ंक्शन के मूल्यों पर विचार करते हैं वाई = एफ (एक्स)उन बिंदुओं पर जो आंशिक खंडों के बाएं छोर हैं, और दूसरे योग को संकलित करते समय, उन बिंदुओं पर जो इन खंडों के दाहिने छोर हैं।)

अभिन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

तथा

इसलिए, अनुमानित मूल्य के रूप में, अभिन्न योग लेना स्वाभाविक है ,वे। रखना:

वे (1)

तथा (1")

इन अनुमानित समानताओं को आयत सूत्र कहा जाता है।

उस स्थिति में जब एफ (एक्स) 0ज्यामितीय दृष्टिकोण से सूत्र (1) और (1') का अर्थ है कि वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल एएबीबी, वक्र के चाप से घिरा वाई = एफ (एक्स),एक्सिस ओहऔर प्रत्यक्ष एक्स = एतथा एक्स = बी, लगभग लिया जाता है समान क्षेत्रआधारों और ऊँचाइयों के साथ n आयतों से बनी एक चरणबद्ध आकृति: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1- सूत्र (1) (चित्र 8) और . के मामले में y 1 , y 2 , y 3 , …, y n- सूत्र (1") (चित्र 9) के मामले में।

सूत्रों (1) और (1") के उपरोक्त ज्यामितीय अर्थ के आधार पर, इन सूत्रों का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न की अनुमानित गणना की विधि को आमतौर पर कहा जाता है आयत विधि.

किसी भी अनुमानित गणना का एक निश्चित मूल्य तभी होता है जब इसमें शामिल त्रुटि का अनुमान होता है। इसलिए, आयत सूत्र केवल इंटीग्रल की अनुमानित गणना के लिए व्यावहारिक रूप से उपयुक्त होंगे, यदि परिणामी त्रुटि (किसी दिए गए n के लिए) का अनुमान लगाने के लिए एक सुविधाजनक तरीका है, जिससे विभाजन के भागों n की संख्या का पता लगाना भी संभव हो जाता है खंड, जो अनुमानित गणना की सटीकता की आवश्यक डिग्री की गारंटी देता है।

हम मान लेंगे कि फलन एफ (एक्स)खंड पर एक बाध्य व्युत्पन्न है, इसलिए एक संख्या है एम>0, कि असमानता से x के सभी मानों के लिए |f"(x)|M. इस असमानता का गुणात्मक अर्थ यह है कि फलन के मूल्य में परिवर्तन की दर सीमित होती है। वास्तविक प्राकृतिक प्रणालियों में, यह आवश्यकता लगभग हमेशा पूरी होती है। इन शर्तों के तहत, आयतों के सूत्र का उपयोग करके इंटीग्रल की गणना करते समय त्रुटि R n का निरपेक्ष मान, जिसकी हम अनुमति देते हैं, का अनुमान सूत्र द्वारा लगाया जा सकता है:

|आर एन | एम (बी-ए) 2 / 2n (2)

n में असीमित वृद्धि के साथ, व्यंजक एम (बी-ए) 2 / 2n, और इसलिए त्रुटि का निरपेक्ष मान आर नहींशून्य की ओर प्रवृत्त होगा, अर्थात्। सन्निकटन की सटीकता जितनी अधिक होगी, खंड को उतने ही समान भागों में विभाजित किया जाएगा। पूर्ण त्रुटिपरिणाम निश्चित रूप से दी गई संख्या से कम होगा >0 यदि आप लेवें

एन> एम (बी-ए) 2 / 2 .

इसलिए, निर्दिष्ट डिग्री सटीकता के साथ अभिन्न की गणना करने के लिए, खंड को भागों की संख्या में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, अधिक एम (बी-ए) 2 / 2 . .

आयतों की विधि सबसे सरल और साथ ही अनुमानित एकीकरण की सबसे कठिन विधि है। एक अन्य विधि द्वारा ध्यान देने योग्य छोटी त्रुटि दी जाती है - ट्रेपेज़ॉइड विधि।

यह स्पष्ट है कि विभाजन के खंडों की संख्या n जितनी अधिक होगी, सूत्र (3a) और (3b) द्वारा परिणाम उतना ही अधिक सटीक होगा। हालांकि, एकीकरण अंतराल के विभाजन खंडों की संख्या में वृद्धि करना हमेशा संभव नहीं होता है। इसलिए, विभाजन बिंदुओं की समान संख्या के लिए अधिक सटीक परिणाम देने वाले सूत्र बहुत रुचि रखते हैं।

इन सूत्रों में से सबसे सरल सूत्र (1) और (1") के सही भागों के अंकगणितीय माध्य के रूप में प्राप्त किया जाता है:

(4)

यह देखना आसान है ज्यामितीय अर्थयह सूत्र। यदि, विभाजन के प्रत्येक खंड पर, एकीकृत और y=f(x) के ग्राफ के चाप को एक जीवा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो इसे घटाता है ( रेखिक आंतरिक), तो हमें एक समलम्ब चतुर्भुज प्राप्त होता है जिसका क्षेत्रफल के बराबर होता है और इसलिए, सूत्र (4) ऐसे समलम्बाकार (चित्र 10) से बनी आकृति का क्षेत्रफल है। ज्यामितीय विचारों से, यह स्पष्ट है कि इस तरह की आकृति का क्षेत्र, आम तौर पर बोल रहा है, आयतों की विधि में माने जाने वाले चरणबद्ध आकृति के क्षेत्र की तुलना में एक वक्रतापूर्ण समलम्ब के क्षेत्र को अधिक सटीक रूप से व्यक्त करेगा।

सूत्र (4) में समान पदों को लाने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं

सूत्र (5) कहलाता है समलम्बाकार सूत्र.

ट्रेपेज़ॉइड सूत्र का उपयोग अक्सर व्यावहारिक गणना के लिए किया जाता है। त्रुटि अनुमान के लिए आर नहींजब (5) के बाईं ओर को दाईं ओर से बदल दिया जाता है, तो यह साबित होता है कि इसका निरपेक्ष मान असमानता को संतुष्ट करता है:

(6)

कहाँ पे एम 2खंड पर इंटीग्रैंड के दूसरे व्युत्पन्न का अधिकतम मापांक है, अर्थात।

.

फलस्वरूप, आर नहींकम से कम जितनी तेजी से घटती है।

पूर्ण त्रुटि आर नहींएक पूर्व निर्धारित संख्या से कम होगा > 0 यदि आप लेवें .

प्रक्षेप के क्रम को बढ़ाकर अनुमानित सूत्रों की सटीकता में उल्लेखनीय वृद्धि प्राप्त की जा सकती है। ऐसी अनुमानित एकीकरण विधियों में से एक परवलय विधि है। विधि का विचार इस तथ्य पर आधारित है कि, आंशिक अंतराल पर, सामान्य स्थिति में एक निश्चित परवलय का चाप वक्र के अधिक निकट होता है वाई = एफ (एक्स),इस वक्र के चाप के सिरों को जोड़ने वाली जीवा की तुलना में, और इसलिए संबंधित प्राथमिक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्रों के मान "ऊपर से" परवलों के चापों से बंधे होते हैं, जो संबंधित क्षेत्रों के मूल्यों के करीब होते हैं। वक्र के चाप द्वारा ऊपर से बंधे हुए आंशिक वक्रीय समलम्बाकार वाई = एफ (एक्स),संबंधित रेक्टिलिनियर ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्रों के मूल्यों की तुलना में। विधि का सार इस प्रकार है। खंड में बांटा गया है 2एनसमान भाग। मान लीजिए कि विभाजन बिंदु हैं

x 0 \u003d a, x 1, x 2, ... x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b, और परवलय के सूत्र के लिए - मान के अनुपात में, अर्थात। परवलय विधि समलम्बाकार विधि की तुलना में बहुत तेजी से अभिसरण करती है, जबकि कम्प्यूटेशनल तकनीक के दृष्टिकोण से, दोनों विधियाँ समान हैं।