संख्यात्मक एकीकरण समलम्बाकार विधि c. आयतों और समलंबों के सूत्रों का उपयोग करके समाकलनों की गणना
मॉडलिंग में इंटीग्रल की गणना अक्सर होती है। संख्यात्मक विधियों को आमतौर पर तब लागू किया जाता है जब पर्याप्त रूप से अनवांटेड इंटीग्रल लेते हैं जटिल कार्य, जो प्रारंभिक रूप से सारणीबद्ध हैं, या किसी तालिका में एकीकृत करते समय कार्य सेट करें, जो आर्थिक अनुप्रयोगों में बहुत अधिक सामान्य है।
संकल्पना संख्यात्मक एकीकरण.
सभी संख्यात्मक तरीकेइस तथ्य पर आधारित हैं कि इंटीग्रैंड को लगभग एक सरल (क्षैतिज या तिरछी सीधी रेखा, दूसरे, तीसरे या उच्च क्रम के परवलय) से बदल दिया जाता है, जिससे अभिन्न आसानी से लिया जाता है। नतीजतन, एकीकरण सूत्र प्राप्त होते हैं, जिन्हें क्वाड्रेचर कहा जाता है, व्यक्तिगत बिंदुओं पर इंटीग्रैंड के निर्देशांक के भारित योग के रूप में:
जितने छोटे अंतराल पर प्रतिस्थापन किया जाता है, उतनी ही सटीक रूप से इंटीग्रल की गणना की जाती है। इसलिए, प्रारंभिक खंड [ए, बी] को सटीकता में सुधार के लिए कई समान या असमान अंतरालों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक पर एकीकरण सूत्र लागू किया जाता है, और फिर परिणाम जोड़े जाते हैं।
ज्यादातर मामलों में, संख्यात्मक एकीकरण की त्रुटि दोहरे एकीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है: प्रारंभिक चरण के साथ (चरण एक समान विभाजन द्वारा निर्धारित किया जाता है खंड बी-एखंडों की संख्या से n \ h \u003d (b-a) / n) u एक कदम के साथ 2 गुना बढ़ गया। इंटीग्रल के परिकलित मूल्यों के बीच का अंतर त्रुटि को निर्धारित करता है।
दक्षता तुलना विभिन्न तरीकेबहुपद की डिग्री के अनुसार किया जाता है, जो इस विधि द्वारा बिना त्रुटि के बिल्कुल एकीकृत होता है। इस तरह के बहुपद की डिग्री जितनी अधिक होगी, विधि की सटीकता उतनी ही अधिक होगी, यह उतना ही अधिक कुशल होगा।
सबसे सरल तरीके तरीके हैं आयतों(बाएं और दाएं) और समलंब.पहले मामले में, इंटीग्रैंड को एक क्षैतिज रेखा (y = c0) द्वारा कोटि के मान से बदल दिया जाता है, अर्थात। फ़ंक्शन मान, क्रमशः, अनुभाग के बाईं या दाईं ओर, दूसरे मामले में - एक झुकी हुई सीधी रेखा (y \u003d c 1 x + c 0)। एकीकरण सूत्र जब खंड [ए, बी] को एक समान चरण एच के साथ क्रमशः एन भागों में विभाजित किया जाता है, तो फॉर्म लेते हैं:
एकीकरण के एक खंड के लिए:
के लिये पीएकीकरण अनुभाग:
यह देखना आसान है कि आयतों की विधि में समाकल की गणना ठीक तभी की जा सकती है जब च (एक्स) = साथ(स्थिरांक), और समलम्बाकार विधि में - कब एफ(एक्स) रैखिक या टुकड़ावार रैखिक।
अंजीर पर। तुलना के लिए 4 विभिन्न वर्गों के साथ आयतों के उदाहरण दिखाता है। यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि सही आकृति में सभी आयतों का क्षेत्रफल वक्र के नीचे के क्षेत्र से कम भिन्न होता है एफ (एक्स),बाईं ओर की तुलना में।
चावल। 4. बाईं आयत विधि का चित्रण:
एक- एकीकरण खंड के 3 विभाजन खंडों के साथ [ए, बी];
बी- एकीकरण खंड के 6 विभाजन खंडों के साथ [ए, बी]
आयत विधि नहीं मिलती व्यावहारिक अनुप्रयोगमहत्वपूर्ण त्रुटियों के कारण, जिसे अंजीर से भी देखा जाता है। चार।
अंजीर पर। 5 समलम्बाकार विधि द्वारा समाकल की गणना का एक उदाहरण दिखाता है। आयतों की विधि की तुलना में, समलम्ब चतुर्भुज विधि अधिक सटीक है, क्योंकि एक समलम्ब चतुर्भुज एक आयत की तुलना में अधिक सटीक रूप से संबंधित वक्रीय समलंब चतुर्भुज को प्रतिस्थापित करता है। चित्र 5.
गलती आरअभ्यास में दोहरी गणना का उपयोग करके समलम्बाकार विधि द्वारा अभिन्न की गणना निम्नलिखित संबंध से निर्धारित की जा सकती है:
कहाँ पे मेंतथा मैं पी/2- क्रमशः, विभाजन की संख्या के साथ अभिन्न का मान पीतथा पी/2.त्रुटि का निर्धारण करने के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ भी हैं, लेकिन उन्हें इंटीग्रैंड के दूसरे व्युत्पन्न के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए उनके पास केवल सैद्धांतिक मूल्य होता है। दोहरी गणना के उपयोग के साथ, किसी दिए गए एकीकरण त्रुटि को सुनिश्चित करने के लिए एकीकरण चरण (यानी, विभाजन की संख्या n) के स्वचालित चयन को व्यवस्थित करना संभव है (क्रमिक रूप से चरण को दोगुना करना और त्रुटि को नियंत्रित करना)।
हमें बाएं आयतों की विधि मिलती है:
हमें सही आयतों की विधि मिलती है:
हम समलम्बाकार विधि प्राप्त करते हैं:
समलम्बाकार विधिसंख्यात्मक एकीकरण विधियों में से एक है। यह आपको सटीकता की पूर्व निर्धारित डिग्री के साथ निश्चित इंटीग्रल की गणना करने की अनुमति देता है।
सबसे पहले, हम समलम्बाकार विधि के सार का वर्णन करते हैं और समलम्बाकार सूत्र प्राप्त करते हैं। अगला, हम अनुमान लिखते हैं पूर्ण त्रुटिविधि और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करें। अंत में, आइए समलम्बाकार विधि की तुलना आयतों की विधि से करें।
पृष्ठ नेविगेशन।
ट्रेपोजॉइड विधि का सार।
आइए अपने आप को निम्नलिखित कार्य निर्धारित करें: आइए हमें निश्चित अभिन्न की गणना करने की आवश्यकता है, जहां अंतराल पर इंटीग्रैंड y=f(x) निरंतर है।
आइए खंड को बिंदुओं के साथ n लंबाई के बराबर अंतराल में विभाजित करें। इस मामले में, विभाजन चरण पाया जाता है क्योंकि नोड्स समानता से निर्धारित होते हैं।
प्रारंभिक अंतराल पर समाकलन पर विचार करें 
.
चार मामले संभव हैं (आंकड़ा उनमें से सबसे सरल दिखाता है, जिसमें सब कुछ कम हो जाता है क्योंकि n असीम रूप से बढ़ता है):
हर खंड पर आइए फ़ंक्शन y=f(x) को निर्देशांक के साथ बिंदुओं से गुजरने वाले रेखा खंड के साथ बदलें। हम उन्हें नीली रेखाओं के साथ चित्र में चित्रित करते हैं:
समाकल के अनुमानित मान के रूप में, हम व्यंजक लेते हैं 
, यानी, चलो लेते हैं 
.
आइए जानें इसका क्या मतलब है ज्यामितीय अर्थलिखित अनुमानित समानता। इससे यह समझना संभव होगा कि संख्यात्मक एकीकरण की मानी गई विधि को समलम्बाकार विधि क्यों कहा जाता है।
हम जानते हैं कि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के योग के आधे गुणा के गुणनफल के रूप में पाया जाता है। इसलिए, पहले मामले में, एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग आधारों वाले समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होता है 
और ऊंचाई एच, बाद के मामले में निश्चित अभिन्न लगभग है क्षेत्रफल के बराबरआधारों के साथ समलम्ब चतुर्भुज 
और ऊंचाई h को ऋण चिह्न के साथ लिया गया है। दूसरे और तीसरे मामलों में, अनुमानित मूल्य समाकलन परिभाषित करेंनीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए लाल और नीले क्षेत्रों के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है।
इस प्रकार, हम यहाँ आ गए हैं समलम्बाकार विधि का सार, जिसमें प्रत्येक प्रारंभिक अंतराल पर फॉर्म के इंटीग्रल के योग के रूप में एक निश्चित इंटीग्रल का प्रतिनिधित्व होता है और बाद में अनुमानित प्रतिस्थापन होता है .
समलम्बाकार सूत्र।
निश्चित समाकल के पांचवें गुण के आधार पर 
.
यदि हम इंटीग्रल के बजाय उनके अनुमानित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं: 
समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान।
समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटिके रूप में रेटेड
.
समलम्बाकार विधि का ग्राफिक चित्रण।
चलो लाते हैं समलम्बाकार विधि का ग्राफिक चित्रण:
समलम्बाकार विधि द्वारा निश्चित समाकलों की अनुमानित गणना के उदाहरण।
आइए उदाहरणों का उपयोग कुछ इंटीग्रल की अनुमानित गणना में ट्रेपेज़ॉइड विधि के अनुप्रयोग का विश्लेषण करने के लिए करें।
मूल रूप से दो प्रकार के कार्य हैं:
- या खंड n के विभाजनों की दी गई संख्या के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा निश्चित समाकल की गणना करें,
- या आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य पाएं।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी दिए गए n के लिए, मध्यवर्ती गणना पर्याप्त सटीकता के साथ की जानी चाहिए, और n जितना बड़ा होगा, गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होनी चाहिए।
यदि किसी निश्चित सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न की गणना करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, 0.01 तक, तो हम अनुशंसा करते हैं कि मध्यवर्ती गणना परिमाण के दो या तीन क्रम अधिक सटीक रूप से की जाए, अर्थात 0.0001 - 0.00001 तक। यदि निर्दिष्ट सटीकता बड़े n पर प्राप्त की जाती है, तो मध्यवर्ती गणना और भी अधिक सटीकता के साथ की जानी चाहिए।
उदाहरण के लिए, आइए एक निश्चित समाकलन लें, जिसका मान हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके परिकलित कर सकते हैं, ताकि हम इस परिणाम की तुलना समलम्बाकार विधि का उपयोग करके प्राप्त अनुमानित मान से कर सकें।
इसलिए, 
.
उदाहरण।
n = 10 के लिए समलम्बाकार विधि का प्रयोग करके निश्चित समाकल की गणना कीजिए।
समाधान।
समलम्बाकार विधि का सूत्र है 
. यही है, इसे लागू करने के लिए, हमारे लिए सूत्र का उपयोग करके चरण एच की गणना करना, नोड्स का निर्धारण करना और इंटीग्रैंड के संबंधित मूल्यों की गणना करना पर्याप्त है।
आइए विभाजन चरण की गणना करें: 
.
हम नोड्स को परिभाषित करते हैं और उनमें इंटीग्रैंड के मूल्यों की गणना करते हैं (हम चार दशमलव स्थान लेंगे): 
सुविधा के लिए, गणना परिणाम तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं:
हम उन्हें समलम्बाकार विधि के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 
प्राप्त मूल्य न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र द्वारा गणना किए गए मान के साथ सौवें तक मेल खाता है।
उदाहरण।
निश्चित इंटीग्रल की गणना करें 
0.01 की सटीकता के साथ समलम्बाकार विधि।
समाधान।
हमें शर्त से क्या मिलता है: a = 1; बी = 2; 
.
इस मामले में, सबसे पहले, हम एकीकरण खंड के विभाजन बिंदुओं की संख्या पाते हैं, अर्थात n। हम निरपेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं 
. इस प्रकार, यदि हम n पाते हैं जिसके लिए असमानता होगी 
, तो दिए गए n के लिए समलम्बाकार सूत्र हमें आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित समाकलन का अनुमानित मान देगा।
आइए पहले ढूंढते हैं उच्चतम मूल्यखंड पर फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न का मापांक। 
फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है द्विघात परवलय, हम इसके गुणों से जानते हैं कि यह सकारात्मक है और अंतराल पर बढ़ रहा है, इसलिए 
. जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे उदाहरण में, खोजने की प्रक्रिया काफी सरल है। अधिक जटिल मामलों के लिए, अनुभाग देखें। यदि इसे खोजना बहुत कठिन है, तो इस उदाहरण के बाद हम कार्रवाई का एक वैकल्पिक तरीका देंगे।
आइए अपनी असमानता पर वापस जाएं और परिणामी मूल्य को इसमें बदलें:
इसलिये n एक प्राकृत संख्या है (n प्रारंभिक अंतरालों की संख्या है जिसमें एकीकरण खंड विभाजित है), तो हम n = 6, 7, 8, ... ले सकते हैं, n = 6 लेते हैं। यह हमें न्यूनतम गणना के साथ ट्रैपेज़ॉइडल विधि की आवश्यक सटीकता प्राप्त करने की अनुमति देगा (हालाँकि n = 10 के साथ हमारे मामले में यह मैन्युअल गणना करने के लिए अधिक सुविधाजनक है)।
इसलिए, n मिला, अब पिछले उदाहरण की तरह आगे बढ़ें।
कदम की गणना करें: 
.
ग्रिड नोड्स और उन पर इंटीग्रैंड के मूल्यों का पता लगाएं: 
आइए गणना के परिणामों को तालिका में रखें: 
हम प्राप्त परिणामों को समलम्बाकार सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 
हम मूल्यों की तुलना करने के लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके मूल समाकलन की गणना करते हैं: 
इसलिए, आवश्यक सटीकता प्राप्त की जाती है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता से संख्या n खोजना एक बहुत ही सरल प्रक्रिया नहीं है, विशेष रूप से एकीकृत के लिए जटिल प्रकार. इसलिए, निम्नलिखित विधि का सहारा लेना तर्कसंगत है।
n नोड्स के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा प्राप्त निश्चित समाकल का अनुमानित मान किसके द्वारा निरूपित किया जाएगा।
एक मनमाना संख्या n चुनें, उदाहरण के लिए n = 10। ट्रेपेज़ॉइड विधि के सूत्र का उपयोग करके, हम n = 10 के लिए प्रारंभिक अभिन्न की गणना करते हैं और दो बार नोड्स की संख्या के लिए, अर्थात n = 20 के लिए। हम दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान पाते हैं। यदि यह आवश्यक सटीकता से कम है 
, तो हम गणना को रोकते हैं और मान को निश्चित अभिन्न के अनुमानित मूल्य के रूप में लेते हैं, पहले इसे सटीकता के आवश्यक क्रम तक गोल करते हैं। अन्यथा, हम नोड्स की संख्या को दोगुना करते हैं (हम n = 40 लेते हैं) और चरणों को दोहराते हैं।
समलम्बाकार विधि संख्यात्मक एकीकरण विधियों में से एक है। यह आपको सटीकता की पूर्व निर्धारित डिग्री के साथ निश्चित इंटीग्रल की गणना करने की अनुमति देता है।
आइए हम खुद को निम्नलिखित समस्या निर्धारित करें: आइए हमें एक निश्चित अभिन्न की गणना करने की आवश्यकता है, जहां समाकलन है वाई = एफ (एक्स)निरंतर
खंड .
आइए खंड को विभाजित करें पर एनसमान लंबाई अंतराल एचबिंदु इस मामले में, विभाजन चरण पाया जाता है कि कौन से नोड्स समानता से निर्धारित होते हैं।
प्रारंभिक अंतराल पर समाकलन पर विचार करें 
.
चार संभावित मामले हैं (आंकड़ा उनमें से सबसे सरल दिखाता है, जिसमें सब कुछ अनंत वृद्धि के साथ कम हो जाता है एन):
हर खंड पर 
फ़ंक्शन को बदलें वाई = एफ (एक्स)निर्देशांक के साथ बिंदुओं से गुजरने वाला एक रेखा खंड और। हम उन्हें नीली रेखाओं के साथ चित्र में चित्रित करते हैं:
समाकल के अनुमानित मान के रूप में, हम व्यंजक लेते हैं 
, यानी, चलो लेते हैं 
.
आइए जानें कि ज्यामितीय अर्थ में लिखित अनुमानित समानता का क्या अर्थ है। इससे यह समझना संभव होगा कि संख्यात्मक एकीकरण की मानी गई विधि को समलम्बाकार विधि क्यों कहा जाता है।
हम जानते हैं कि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के योग के आधे गुणा के गुणनफल के रूप में पाया जाता है। इसलिए, पहले मामले में, एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग आधारों वाले समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होता है 
और ऊंचाई एच, बाद के मामले में, निश्चित समाकल आधारों के साथ समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लगभग बराबर होता है 
और ऊंचाई एचमाइनस साइन के साथ लिया गया। दूसरे और तीसरे मामले में, निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए लाल और नीले क्षेत्रों के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है।
इस प्रकार, हम यहाँ आ गए हैं समलम्बाकार विधि का सार, जिसमें प्रत्येक प्रारंभिक खंड पर देखे गए इंटीग्रल के योग के रूप में एक निश्चित इंटीग्रल का प्रतिनिधित्व होता है और बाद में अनुमानित प्रतिस्थापन होता है 
.
समलम्बाकार सूत्र।
निश्चित समाकल के पांचवें गुण के आधार पर 
.
यदि हम समाकलकों के स्थान पर उनके सन्निकट मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है समलम्बाकार सूत्र:
समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान।
समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटिके रूप में मूल्यांकन किया गया।
समलम्बाकार विधि का ग्राफिक चित्रण।
3. सिम्पसन विधि (परवलय)
यह एक अधिक सटीक तरीका है - इंटीग्रैंड का ग्राफ एक टूटी हुई रेखा से नहीं, बल्कि छोटे परवलयों द्वारा पहुंचा जाता है। कितने मध्यवर्ती खंड - इतने छोटे परवलय। यदि हम समान तीन खंड लेते हैं, तो सिम्पसन विधि आयत विधि या समलम्बाकार विधि की तुलना में और भी अधिक सटीक सन्निकटन देगी।
चलो समारोह वाई = एफ (एक्स)खंड पर निरंतर और हमें निश्चित अभिन्न की गणना करने की आवश्यकता है।
आइए खंड को विभाजित करें पर एनलंबाई बिंदुओं के प्राथमिक खंड। बिंदुओं को क्रमशः खंडों के मध्य बिंदु होने दें। इस मामले में, सभी "नोड्स" समानता से निर्धारित होते हैं।
परवलय विधि का सार।
प्रत्येक अंतराल पर, समाकलन एक द्विघात परवलय द्वारा अनुमानित किया जाता है 
बिंदुओं से गुजर रहा है। इसलिए विधि का नाम - परवलय की विधि।
यह एक निश्चित अभिन्न के अनुमानित मूल्य के रूप में लेने के लिए किया जाता है 
, जिसे हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके परिकलित कर सकते हैं। यह क्या है परवलय विधि का सार.
ज्यामितीय रूप से यह इस तरह दिखता है:
परवलय विधि (सिम्पसन) का ग्राफिक चित्रण।
लाल रेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाती है वाई = एफ (एक्स), नीली रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सन्निकटन को दर्शाती है वाई = एफ (एक्स)विभाजन के प्रत्येक प्राथमिक खंड पर द्विघात परवलय।
सिम्पसन विधि सूत्र (पैराबोलस) की व्युत्पत्ति।
निश्चित समाकल के पांचवें गुण के आधार पर, हमारे पास .
परवलय विधि (सिम्पसन) के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें गणना करनी होगी 
.
चलो (हम हमेशा किसी के लिए संबंधित ज्यामितीय बदलाव परिवर्तन करके इस पर आ सकते हैं मैं = 1, 2, ..., एन).
आइए एक ड्राइंग बनाएं।
आइए हम दिखाते हैं कि बिंदुओं से केवल एक द्विघात परवलय गुजरता है 
. दूसरे शब्दों में, हम साबित करते हैं कि गुणांक विशिष्ट रूप से परिभाषित हैं।
आयतों, समलम्बाकार और सिम्पसन के सूत्र के सूत्रों का उपयोग करके समाकलनों की गणना। त्रुटियों का अनुमान।
दिशा-निर्देशविषय 4.1 पर:
आयतों के सूत्रों द्वारा समाकलनों की गणना। त्रुटि अनुमान:
कई तकनीकी समस्याओं का समाधान कुछ इंटीग्रल की गणना के लिए कम हो जाता है, जिसकी सटीक अभिव्यक्ति मुश्किल है, लंबी गणना की आवश्यकता होती है और व्यवहार में हमेशा उचित नहीं होती है। यहां, उनका अनुमानित मूल्य काफी पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, आपको क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है एक रेखा से घिरा हुआ, जिसका समीकरण अज्ञात है, अक्ष एक्सऔर दो निर्देशांक। इस मामले में, आप इस रेखा को एक सरल रेखा से बदल सकते हैं, जिसके लिए समीकरण ज्ञात है। इस प्रकार प्राप्त वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल वांछित समाकलन के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है। ज्यामितीय रूप से, आयतों के सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न की गणना करने की विधि के पीछे का विचार यह है कि एक वक्रतापूर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल ए 1 एबीबी 1एक समान क्षेत्रफल वाले आयत के क्षेत्रफल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ए 1 ए 2 बी 1 बी 2, जो, माध्य मान प्रमेय के अनुसार, के बराबर है
कहाँ पे च (सी) --- कदआयत ए 1 ए 2 बी 1 बी 2,जो किसी मध्यवर्ती बिंदु पर समाकलन का मान है सीए< c
ऐसा मूल्य खोजना व्यावहारिक रूप से कठिन है साथ, जिस पर (बी-ए) एफ (सी)के बिल्कुल बराबर होगा। अधिक सटीक मान प्राप्त करने के लिए, एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को विभाजित किया गया है एनआयत जिनकी ऊँचाई बराबर है वाई 0, वाई 1, वाई 2, …, वाई एन -1और नींव।
यदि हम आयतों के उन क्षेत्रों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं जो एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र को एक नुकसान के साथ कवर करते हैं, तो फ़ंक्शन गैर-घटता है, फिर सूत्र के बजाय, सूत्र का उपयोग किया जाता है
अधिक हो तो
मूल्य समानता से पाए जाते हैं। इन सूत्रों को कहा जाता है आयत सूत्रऔर अनुमानित परिणाम दें। वृद्धि के साथ एनपरिणाम अधिक सटीक हो जाता है।
उदाहरण 1 . आयतों के सूत्र से गणना करें
हम एकीकरण के अंतराल को 5 भागों में विभाजित करते हैं। फिर । कैलकुलेटर या टेबल का उपयोग करके, हम इंटीग्रैंड के मान पाते हैं (4 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ):
आयतों के सूत्र के अनुसार (नुकसान के साथ)
दूसरी ओर, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार
आइए आयतों के सूत्र का उपयोग करके सापेक्ष गणना त्रुटि का पता लगाएं:
समलम्बाकार सूत्रों द्वारा समाकलनों की गणना। त्रुटि अनुमान:
इंटीग्रल की अनुमानित गणना के लिए निम्नलिखित विधि का ज्यामितीय अर्थ यह है कि लगभग समान आकार के "रेक्टिलिनियर" ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
क्षेत्र की गणना करना आवश्यक होने दें ए 1 एएमबीबी 1वक्रीय समलम्बाकार, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया।
आइए चाप को बदलें एएमबीतार अबऔर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के बजाय ए 1 एएमबीबी 1ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करें ए 1 एबीबी 1: 
, कहाँ पे एए 1तथा बी बी 1 - समलम्बाकार आधार, और ए 1 वी 1 इसकी ऊंचाई है।
निरूपित एफ (ए) = ए 1 ए, एफ (बी) = बी 1 बी।समलंब ऊंचाई ए 1 बी 1 \u003d बी-ए,वर्ग 
. फलस्वरूप, 
या
यह तथाकथित छोटा समलम्बाकार सूत्र.
आज हम संख्यात्मक एकीकरण की एक अन्य विधि, समलम्बाकार विधि से परिचित होंगे। इसकी सहायता से, हम निश्चित समाकलनों की एक निश्चित मात्रा में सटीकता के साथ गणना करेंगे। लेख में, हम ट्रैपेज़ॉइड विधि के सार का वर्णन करेंगे, विश्लेषण करेंगे कि सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है, ट्रैपेज़ॉइड विधि की तुलना आयत विधि से करें, और विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान लिखें। हम सामग्री की गहरी समझ के लिए उदाहरणों के साथ प्रत्येक अनुभाग का वर्णन करेंगे।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
मान लीजिए कि हमें लगभग निश्चित समाकल a b f (x) d x की गणना करने की आवश्यकता है, जिसका समाकलन y = f (x) खंड [ a ; बी] । ऐसा करने के लिए, हम खंड [ a ; b ] लंबाई h के कई समान अंतरालों में a = x 0 . बिंदुओं के साथ< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
आइए विभाजन चरण खोजें: h = b - a n । हम समानता x i = a + i h , i = 0 , 1 , से नोड्स को परिभाषित करते हैं। . . , एन ।
प्रारंभिक अंतराल पर, एकीकृत x i - 1 पर विचार करें; एक्स मैं , मैं = 1 , 2 , . . , एन ।
n में अनंत वृद्धि के साथ, हम सभी मामलों को चार सरलतम विकल्पों में घटा देते हैं:
खंड चुनें x i - 1 ; एक्स मैं , मैं = 1 , 2 , . . . , एन । आइए प्रत्येक ग्राफ पर फ़ंक्शन y = f (x) को एक सीधी रेखा खंड के साथ बदलें जो निर्देशांक x i - 1 के साथ बिंदुओं से गुजरता है; एफ एक्स आई - 1 और एक्स आई; एफ एक्स मैं। हम उन्हें नीले रंग में अंकों में चिह्नित करते हैं।
आइए व्यंजक f (x i - 1) + f (x i) 2 h को समाकल x i - 1 x if (x) d x के अनुमानित मान के रूप में लें। वे। x i - 1 x i f (x) d x f (x i - 1) + f (x i) 2 h लें।
आइए देखें कि हम जिस संख्यात्मक समाकलन पद्धति का अध्ययन कर रहे हैं उसे समलम्बाकार विधि क्यों कहते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि ज्यामिति के दृष्टिकोण से लिखित अनुमानित समानता का क्या अर्थ है।
एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, उसके आधारों के आधे योग को ऊँचाई से गुणा करें। पहले मामले में, एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग f (x i - 1) , f (x i) ऊंचाई h के आधार वाले समलम्बाकार के बराबर होता है। चौथे मामले में हम विचार कर रहे हैं, दिया गया अभिन्न x i - 1 x f (x) d x आधारों के साथ एक समलम्बाकार के क्षेत्रफल के लगभग बराबर है - f (x i - 1) , - f (x i) और ऊंचाई h, जिसे "-" चिन्ह के साथ लिया जाना चाहिए। दूसरे और तीसरे मामले में निश्चित समाकल x i - 1 x i f (x) d x के अनुमानित मूल्य की गणना करने के लिए, हमें लाल और नीले क्षेत्रों के क्षेत्रों के बीच अंतर खोजने की जरूरत है, जिसे हमने चिह्नित किया है नीचे दिए गए चित्र में हैचिंग।
आइए संक्षेप करते हैं। समलम्बाकार विधि का सार इस प्रकार है: हम निश्चित समाकल a b f (x) d x को प्रत्येक प्रारंभिक खंड पर x i - 1 x i f (x) d x के रूप के समाकलों के योग के रूप में निरूपित कर सकते हैं और बाद के अनुमानित परिवर्तन में x i - 1 x i f (x) d x f (x i - 1) + f (x i) 2 h।
समलम्बाकार सूत्र
निश्चित समाकल का पाँचवाँ गुण याद कीजिए: a b f (x) d x = ∑ i = 1 n x i - 1 x i f (x) d x । समलम्बाकार विधि का सूत्र प्राप्त करने के लिए, समाकलों के स्थान पर x i - 1 x i f (x) d x, उनके सन्निकट मानों को प्रतिस्थापित कीजिए: x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n x i - 1 x i f (x) d x i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
परिभाषा 1
समलम्बाकार सूत्र: x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान
आइए हम इस प्रकार समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाते हैं:
परिभाषा 2
एन ≤ एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) एन एच 3 12 = एम एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) बी - ए 3 12 एन 2
समलम्बाकार विधि का एक ग्राफिक चित्रण चित्र में दिखाया गया है:
गणना उदाहरण
आइए हम निश्चित समाकलों की अनुमानित गणना के लिए समलम्बाकार विधि का उपयोग करने के उदाहरणों का विश्लेषण करें। हम दो प्रकार के कार्यों पर विशेष ध्यान देंगे:
- खंड n के विभाजनों की दी गई संख्या के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा एक निश्चित समाकल की गणना;
- एक निर्दिष्ट सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य खोजना।
किसी दिए गए n के लिए, सभी मध्यवर्ती गणना पर्याप्त रूप से उच्च सटीकता के साथ की जानी चाहिए। गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होनी चाहिए, जितना बड़ा n।
यदि हमारे पास एक निश्चित अभिन्न की गणना की सटीकता है, तो सभी मध्यवर्ती गणनाओं को परिमाण के दो या दो से अधिक क्रमों को अधिक सटीक रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि सटीकता 0 . 01 पर सेट है, तो हम 0 . 0001 या 0 . 00001 की सटीकता के साथ मध्यवर्ती गणना करते हैं। बड़े n के लिए, मध्यवर्ती गणना और भी अधिक सटीकता के साथ की जानी चाहिए।
आइए उपरोक्त नियम को एक उदाहरण के रूप में लेते हैं। ऐसा करने के लिए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र द्वारा गणना की गई एक निश्चित अभिन्न के मूल्यों की तुलना करते हैं और ट्रेपेज़ॉइड विधि द्वारा प्राप्त करते हैं।
तो, 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 ।
उदाहरण 1
समलम्बाकार विधि का उपयोग करते हुए, हम n के बराबर 10 के लिए निश्चित समाकल ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x परिकलित करते हैं।
समाधान
समलम्बाकार विधि का सूत्र है x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
सूत्र को लागू करने के लिए, हमें सूत्र h = b - a n का उपयोग करके चरण h की गणना करने की आवश्यकता है, नोड्स x i = a + i h, i = 0, 1, निर्धारित करें। . . , n , एकीकृत f (x) = 7 x 2 + 1 के मानों की गणना करें।
विभाजन चरण की गणना इस प्रकार की जाती है: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 । 5 . नोड्स x i = a + i · h , i = 0 , 1 , पर इंटीग्रैंड की गणना करने के लिए। . . , n हम चार दशमलव स्थान लेंगे:
मैं \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0। 5 = 0 f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0। 5 = 0। 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6। . . मैं = 10: x 10 = 0 + 10 0। 5 = 5 f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692
आइए तालिका में गणना के परिणाम दर्ज करें:
| मैं | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| एक्स मैं | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| एफ (एक्स मैं) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
प्राप्त मानों को समलम्बाकार विधि के सूत्र में रखें: 0 5 7 d x 2 + 1 h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5, 6 + 3, 5 + 2, 1538 + 1, 4 + 0, 9655 + 0, 7 + 0, 5283 + 0, 4117 + 0, 3294 + 0, 2692 = 9, 6117
आइए अपने परिणामों की तुलना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र द्वारा परिकलित परिणामों से करें। प्राप्त मूल्य सौवें तक मेल खाते हैं।
उत्तर: 0 5 7 डी एक्स एक्स 2 + 1 = 9 , 6117
उदाहरण 2
समलम्बाकार विधि का उपयोग करके, हम निश्चित समाकल ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x के मान की गणना 0 , 01 की सटीकता के साथ करते हैं।
समाधान
समस्या की स्थिति के अनुसार a = 1 ; बी = 2, एफ (एक्स) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; न 0 , 01 .
n खोजें, जो पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता का उपयोग करते हुए एकीकरण खंड के विभाजन बिंदुओं की संख्या के बराबर है n ≤ m a x x ∈ [ a ; बी] एफ "" (एक्स) (बी - ए) 3 12 एन 2। हम इसे निम्नलिखित तरीके से करेंगे: हम n मान पाएंगे जिसके लिए असमानता m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) (बी - ए) 3 12 एन 2 ≤ 0, 01। दिया गया n, समलम्बाकार सूत्र हमें दी गई सटीकता के साथ एक निश्चित समाकलन का अनुमानित मान देगा।
सबसे पहले, आइए अंतराल पर फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के मापांक का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें [ 1 ; 2].
f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 "= x 2
दूसरा अवकलज फलन द्विघात परवलय f "" (x) = x 2 है। हम इसके गुणों से जानते हैं कि यह सकारात्मक है और खंड [ 1 ; 2]. इस संबंध में, m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) = एफ "" (2) = 2 2 = 4।
दिए गए उदाहरण में, m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) बल्कि सरल निकला। जटिल मामलों में, गणना के लिए, आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का उल्लेख कर सकते हैं। इस उदाहरण पर विचार करने के बाद, हम m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स)।
आइए हम प्राप्त मान को असमानता m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) (बी - ए) 3 12 एन 2 ≤ 0, 01
4 (2 - 1) 3 12 एन 2 ≤ 0 . 01 एन 2 ≥ 100 3 ⇒ एन ≥ 5 7735
प्रारंभिक अंतराल की संख्या जिसमें एकीकरण खंड विभाजित है n एक प्राकृतिक संख्या है। गणना व्यवहार के लिए, आइए n को छह के बराबर लें। n का ऐसा मान हमें कम से कम गणनाओं के साथ समलम्बाकार विधि की निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करने की अनुमति देगा।
आइए चरण की गणना करें: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6।
नोड खोजें x i = a + i h , i = 1, 0 , । . . , n , हम इन नोड्स पर इंटीग्रैंड के मान निर्धारित करते हैं:
मैं = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266। . . मैं \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 1, 9833
हम एक तालिका के रूप में गणना परिणाम लिखते हैं:
| मैं | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| एक्स मैं | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| एफ एक्स आई | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
हम प्राप्त परिणामों को समलम्बाकार सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054
तुलना करने के लिए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके मूल समाकलन की गणना करते हैं:
1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
जैसा कि आप देख सकते हैं, हमने गणना की प्राप्त सटीकता हासिल कर ली है।
उत्तर: 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054
जटिल समाकलों के लिए, निरपेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता से संख्या n ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। इस मामले में, निम्नलिखित विधि उपयुक्त होगी।
आइए हम निश्चित समाकल के अनुमानित मान को निरूपित करें, जो n नोड्स के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा प्राप्त किया गया था, जैसा कि I n । आइए एक मनमाना संख्या n चुनें। ट्रेपेज़ॉइड विधि के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम एकल (n = 10) और डबल (n = 20) नोड्स की संख्या के लिए प्रारंभिक अभिन्न की गणना करते हैं और दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों I 20 के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान पाते हैं - मैं 10.
यदि दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य आवश्यक सटीकता I 20 - I 10 . से कम है< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
यदि दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान आवश्यक सटीकता से अधिक है, तो दो बार नोड्स (एन = 40) के साथ चरणों को दोहराना आवश्यक है।
इस पद्धति में बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है, इसलिए समय बचाने के लिए कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करना बुद्धिमानी है।
आइए उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग करके समस्या को हल करें। समय बचाने के लिए, हम समलम्बाकार विधि का उपयोग करके मध्यवर्ती गणनाओं को छोड़ देते हैं।
उदाहरण 3
0 , 001 की सटीकता के साथ समलम्बाकार विधि का उपयोग करके निश्चित समाकल ∫ 0 2 x e x d x की गणना करना आवश्यक है।
समाधान
आइए n को 10 और 20 के बराबर लें। ट्रेपेज़ॉइड सूत्र के अनुसार, हमें I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906 मिलता है।
मैं 20 - 1 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474> 0, 001, जिसके लिए आगे की गणना की आवश्यकता है।
आइए n को 40 के बराबर लें: I 40 = 8, 3934656।
मैं 40 - मैं 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225> 0, 001, जिसके लिए आगे की गणना की भी आवश्यकता है।
आइए n को 80 के बराबर लें: I 80 = 8, 3901585।
I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, जिसके लिए नोड्स की संख्या के एक और दोहरीकरण की आवश्यकता है।
आइए n को 160 के बराबर लें: I 160 = 8, 3893317।
मैं 160 - मैं 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001
आप I 160 = 8 , 3893317 से हज़ारवां तक पूर्णांकित करके मूल समाकलन का अनुमानित मान प्राप्त कर सकते हैं: 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 ।
तुलना के लिए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके मूल निश्चित समाकलन की गणना करते हैं: 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561। आवश्यक सटीकता हासिल कर ली गई है।
उत्तर: 0 2 एक्स ई एक्स डी एक्स 8, 389
त्रुटियाँ
एक निश्चित अभिन्न के मूल्य को निर्धारित करने के लिए मध्यवर्ती गणना, अधिकांश भाग के लिए, लगभग की जाती है। इसका मतलब है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, कम्प्यूटेशनल त्रुटि जमा होने लगती है।
आइए हम समलम्बाकार विधि की निरपेक्ष त्रुटियों के अनुमानों और माध्य आयतों की विधि की तुलना करें:
एन ≤ एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) एन एच 3 12 = एम एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) बी - ए 3 12 एन 2 δ एन ≤ एम एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) एन एच 3 24 = एम एक्स एक्स ∈ [ ए; बी] एफ "" (एक्स) बी - ए 3 24 एन 2।
किसी दिए गए n के लिए समान मात्रा में कम्प्यूटेशनल कार्य के साथ आयतों की विधि आधी त्रुटि देती है। यह उन मामलों में विधि को अधिक बेहतर बनाता है जहां प्राथमिक खंडों के मध्य खंडों में फ़ंक्शन के मान ज्ञात होते हैं।
उन मामलों में जब अभिन्न कार्यों को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन नोड्स पर मूल्यों के एक सेट के रूप में, हम ट्रेपोजॉइडल विधि का उपयोग कर सकते हैं।
यदि हम समलम्बाकार विधि की सटीकता और दाएं और बाएं आयतों की विधि की तुलना करते हैं, तो परिणाम की सटीकता में पहली विधि दूसरे से आगे निकल जाती है।
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