सशर्त चरम बिंदु उदाहरण ढूँढना। किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

सशर्त चरम.

अनेक चरों के फलन का एक्स्ट्रीमा

कम से कम वर्ग विधि।

FNP . का स्थानीय चरम

चलो समारोह तथा= एफ(पी), रोडीर एनऔर बिंदु Р 0 ( एक 1 , एक 2 , ..., एक पी) –आंतरिकसेट डी का बिंदु

परिभाषा 9.4.

1) बिंदु P 0 को कहा जाता है अधिकतम बिंदु कार्यों तथा= एफ(पी) यदि इस बिंदु यू (पी 0) डी के पड़ोस मौजूद हैं तो किसी भी बिंदु पी के लिए ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन)н यू(पी 0) , 0 , कंडीशन एफ(पी) £ एफ(पी0) । अर्थ एफ(P 0) अधिकतम बिंदु पर फलन कहलाते हैं फ़ंक्शन अधिकतम और निरूपित एफ(पी 0) = अधिकतम एफ(पी) ।

2) बिंदु P 0 को कहा जाता है न्यूनतम बिंदु कार्यों तथा= एफ(पी) यदि इस बिंदु यू (पी 0)Ì डी के पड़ोस मौजूद हैं तो किसी भी बिंदु पी के लिए ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन) एनयू (पी 0), 0, स्थिति एफ(पी)³ एफ(पी0) । अर्थ एफ(P 0) न्यूनतम बिंदु पर फलन कहलाते हैं कार्य न्यूनतम और निरूपित एफ(पी 0) = मिनट एफ(पी)।

किसी फलन के न्यूनतम और अधिकतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान कहलाते हैं कार्य चरम।

परिभाषा के अनुसार, असमानताएँ एफ(पी) £ एफ(पी0) , एफ(पी)³ एफ(पी 0) केवल बिंदु पी 0 के एक निश्चित पड़ोस में किया जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन के पूरे डोमेन में, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन में एक ही प्रकार के कई एक्स्ट्रेमा (कई मिनीमा, कई मैक्सिमा) हो सकते हैं। इसलिए, ऊपर परिभाषित एक्स्ट्रेमा को कहा जाता है स्थानीय(स्थानीय) चरम।

प्रमेय 9.1. (FNP के चरम के लिए आवश्यक शर्त)

यदि समारोह तथा= एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन) का बिंदु P 0 पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर इसके पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न या तो शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

सबूत।मान लीजिए बिंदु 0 ( एक 1 , एक 2 , ..., एक पी) समारोह तथा= एफ(पी) में एक चरम है, जैसे कि अधिकतम। आइए तर्कों को ठीक करें एक्स 2 , ..., एक्स एन, डालना एक्स 2 =एक 2 ,..., एक्स एन = एक पी. फिर तथा= एफ(पी) = एफ 1 ((एक्स 1 , एक 2 , ..., एक पी) एक चर का एक कार्य है एक्सएक । चूंकि इस समारोह में है एक्स 1 = एक 1 चरम (अधिकतम), तब एफ 1 ¢=0 या मौजूद नहीं है जब एक्स 1 =एक 1 (एक चर के एक समारोह के चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)। लेकिन, तब या बिंदु P 0 - चरम बिंदु पर मौजूद नहीं है। इसी प्रकार, हम अन्य चरों के संबंध में आंशिक अवकलजों पर विचार कर सकते हैं। सी.एच.टी.डी.

किसी फलन के प्रांत के वे बिंदु जिन पर प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज शून्य के बराबर होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु यह समारोह।

प्रमेय 9.1 के अनुसार, एफएनपी के चरम बिंदुओं को फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच मांगा जाना चाहिए। लेकिन, एक चर के एक समारोह के लिए, हर नहीं महत्वपूर्ण बिंदुचरम बिंदु है।

प्रमेय 9.2

मान लीजिए 0 फलन का एक महत्वपूर्ण बिंदु है तथा= एफ(पी) और इस फ़ंक्शन का दूसरा क्रम अंतर है। फिर

क्या हो अगर डी 2 तुम(P 0) > 0 के लिए , तो 0 एक बिंदु है न्यूनतमकार्यों तथा= एफ(पी);

बी) अगर डी 2 तुम(पी0)< 0 при , то Р 0 – точка ज्यादा से ज्यादाकार्यों तथा= एफ(पी);

सी) अगर डी 2 तुम(P 0) चिह्न द्वारा परिभाषित नहीं है, तो P 0 एक चरम बिंदु नहीं है;

हम इस प्रमेय को बिना प्रमाण के मानते हैं।

ध्यान दें कि प्रमेय उस स्थिति पर विचार नहीं करता है जब डी 2 तुम(पी 0) = 0 या मौजूद नहीं है। इसका मतलब यह है कि ऐसी परिस्थितियों में बिंदु P 0 पर एक चरम की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है - अतिरिक्त अध्ययन की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का अध्ययन।

अधिक विस्तृत गणित पाठ्यक्रमों में, यह साबित होता है कि, विशेष रूप से, फ़ंक्शन के लिए जेड = एफ(एक्स,आप) दो चरों का, जिनके दूसरे क्रम का अंतर रूप का योग है

महत्वपूर्ण बिंदु 0 पर एक चरम की उपस्थिति के अध्ययन को सरल बनाया जा सकता है।

निरूपित , , . निर्धारक लिखें

पता चला है:

डी 2 जेड> 0 बिंदु P 0 पर, अर्थात। पी 0 - न्यूनतम बिंदु, अगर ए(पी 0)> 0 और डी (पी 0)> 0;

डी 2 जेड < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ए(पी0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

अगर डी (पी 0)< 0, то डी 2 जेडबिंदु के आसपास के क्षेत्र में 0 संकेत बदलता है और बिंदु 0 पर कोई चरम नहीं है;

यदि डी (Р 0) = 0, तो महत्वपूर्ण बिंदु 0 के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन के अतिरिक्त अध्ययन की भी आवश्यकता होती है।

इस प्रकार, समारोह के लिए जेड = एफ(एक्स,आप) दो चर, हमारे पास चरम सीमा खोजने के लिए निम्नलिखित एल्गोरिदम है (चलिए इसे "एल्गोरिदम डी" कहते हैं):

1) परिभाषा डी का डोमेन खोजें ( एफ) कार्य करता है।

2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, यानी। डी से अंक ( एफ) जिसके लिए और शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

3) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर 0 चरम के लिए पर्याप्त स्थितियों की जांच करें। ऐसा करने के लिए, खोजें , कहा पे , , और D(Р 0) और . की गणना करें लेकिन(प0) तब :

यदि D(Р 0) >0, तो बिंदु 0 पर एक चरम है, इसके अलावा, यदि लेकिन(प 0) > 0 - तो यह न्यूनतम है, और यदि लेकिन(पी 0)< 0 – максимум;

अगर डी (पी 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

यदि D(Р 0) = 0 है, तो अतिरिक्त अध्ययन की आवश्यकता है।

4) पाए गए चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 1।

किसी फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं जेड = एक्स 3 + 8आप 3 – 3xy .

समाधान।इस फ़ंक्शन का दायरा संपूर्ण है कार्तिकये निर्देशांक. आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु।

, , 0 (0,0) , .

आइए हम पर्याप्त चरम शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। हमे पता करने दें

6एक्स, = -3, = 48परतथा = 288हू – 9.

फिर डी (पी 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

डी(Р 1) = 36-9>0 - बिंदु 1 पर एक चरम सीमा है, और चूँकि लेकिन(पी 1) = 3>0, तो यह चरम न्यूनतम है। तो मिन जेड=जेड(पी1) = .

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं .

हल: डी ( एफ) = आर 2। महत्वपूर्ण बिंदु: ; पर मौजूद नहीं है पर= 0, इसलिए P 0 (0,0) इस फलन का क्रांतिक बिंदु है।

2, = 0, = , = , लेकिन D(Р 0) परिभाषित नहीं है, इसलिए इसके चिन्ह का अध्ययन करना असंभव है।

इसी कारण से, प्रमेय 9.2 को सीधे लागू करना असंभव है - डी 2 जेडइस बिंदु पर मौजूद नहीं है।

समारोह की वृद्धि पर विचार करें एफ(एक्स, आप) बिंदु 0 पर। अगर डी एफ =एफ(पी)- एफ(P 0)>0 "P, तो P 0 न्यूनतम बिंदु है, यदि D एफ < 0, то Р 0 – точка максимума.

हमारे पास हमारे मामले में है

डी एफ = एफ(एक्स, आप) – एफ(0, 0) = एफ(0+डी एक्स,0+डी आप) – एफ(0, 0) = .

डी में एक्स= 0.1 और डी आप= -0.008 हम प्राप्त करते हैं D एफ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dएक्स= 0.1 और डी आप= 0.001डी एफ= 0.01 + 0.1 > 0, अर्थात्। बिंदु Р 0 के आस-पास न तो स्थिति D एफ <0 (т.е. एफ(एक्स, आप) < एफ(0, 0) और, इसलिए, P 0 अधिकतम बिंदु नहीं है), न ही स्थिति D एफ>0 (अर्थात एफ(एक्स, आप) > एफ(0, 0) और फिर 0 न्यूनतम बिंदु नहीं है)। इसलिए, एक चरम की परिभाषा के अनुसार, इस फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है।

सशर्त चरम।

फ़ंक्शन का माना चरम कहा जाता है बिना शर्त, चूंकि फ़ंक्शन तर्कों पर कोई प्रतिबंध (शर्तें) नहीं लगाए गए हैं।

परिभाषा 9.2.फंक्शन एक्सट्रीमम तथा = एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन), इस शर्त के तहत पाया गया कि इसके तर्क एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एनसमीकरणों को संतुष्ट करें j 1 ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, …, जे टी(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, जहां पी ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) डी ( एफ), कहा जाता है सशर्त चरम .

समीकरण जे क(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0 , क = 1, 2,..., एम, कहा जाता है कनेक्शन समीकरण.

कार्यों पर विचार करें जेड = एफ(एक्स,आप) दो चर के। यदि केवल एक बाधा समीकरण है, अर्थात। , तो एक सशर्त चरम खोजने का मतलब है कि चरम समारोह के पूरे डोमेन में नहीं, बल्कि डी में पड़े कुछ वक्र पर मांगा जाता है ( एफ) (अर्थात उच्चतम या उच्चतम नहीं कम अंकसतह जेड = एफ(एक्स,आप), और सिलेंडर के साथ इस सतह के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से उच्चतम या निम्नतम बिंदु, चित्र 5)।

समारोह की सशर्त चरम सीमा जेड = एफ(एक्स,आप) दो चरों को निम्न प्रकार से पाया जा सकता है ( उन्मूलन विधि) समीकरण से, एक चर को दूसरे के कार्य के रूप में व्यक्त करें (उदाहरण के लिए, लिखें) और, चर के इस मान को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हुए, बाद वाले को एक चर के फ़ंक्शन के रूप में लिखें (माने गए मामले में) ) एक चर के परिणामी फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

दो चर के एक समारोह के चरम के लिए एक पर्याप्त शर्त

1. मान लें कि फलन बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर अवकलनीय है और निरंतर द्वितीय-क्रम आंशिक व्युत्पन्न (शुद्ध और मिश्रित) है।

2. दूसरे क्रम के निर्धारक द्वारा निरूपित करें

चरम चर व्याख्यान समारोह

प्रमेय

यदि निर्देशांक वाला बिंदु फ़ंक्शन के लिए एक स्थिर बिंदु है, तो:

ए) जब यह स्थानीय चरम सीमा का एक बिंदु है और, स्थानीय अधिकतम पर, - एक स्थानीय न्यूनतम;

सी) जब बिंदु स्थानीय चरम बिंदु नहीं है;

सी) अगर, शायद दोनों।

सबूत

हम स्वयं को दो सदस्यों तक सीमित रखते हुए, फ़ंक्शन के लिए टेलर सूत्र लिखते हैं:

चूंकि, प्रमेय की स्थिति के अनुसार, बिंदु स्थिर है, दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं, अर्थात। तथा। फिर

निरूपित

तब फ़ंक्शन की वृद्धि का रूप ले लेगा:

दूसरे क्रम (शुद्ध और मिश्रित) के आंशिक व्युत्पन्नों की निरंतरता के कारण, एक बिंदु पर प्रमेय की स्थिति के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

कहाँ या; ,

1. चलो और, यानी, या।

2. हम फलन की वृद्धि को गुणा करते हैं और इससे भाग देते हैं, हमें प्राप्त होता है:

3. योग के पूर्ण वर्ग में घुँघराले कोष्ठकों में व्यंजक को लागू करें:

4. घुँघराले कोष्ठकों में व्यंजक ऋणात्मक नहीं है, क्योंकि

5. इसलिए, यदि और इसलिए, और, तब और, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, बिंदु स्थानीय न्यूनतम का एक बिंदु है।

6. यदि और का अर्थ है, और, तो, परिभाषा के अनुसार, निर्देशांक वाला एक बिंदु स्थानीय अधिकतम बिंदु है।

2. एक वर्ग त्रिपद पर विचार करें, इसका विवेचक, .

3. यदि, तो ऐसे बिंदु हैं कि बहुपद

4. I में प्राप्त व्यंजक के अनुसार किसी बिंदु पर फलन की कुल वृद्धि, हम इस रूप में लिखते हैं:

5. दूसरे क्रम के आंशिक अवकलजों की निरंतरता के कारण, एक बिंदु पर प्रमेय की स्थिति के अनुसार, हम लिख सकते हैं कि

इसलिए, एक बिंदु का एक पड़ोस मौजूद है, जैसे कि, किसी भी बिंदु के लिए, वर्ग ट्रिनोमियल शून्य से बड़ा है:

6. विचार करें - बिंदु का पड़ोस।

आइए कोई भी मान चुनें, तो यही बात है। यह मानते हुए कि फ़ंक्शन की वृद्धि के सूत्र में

हमें क्या मिलता है:

7. तब से।

8. इसी प्रकार मूल के लिए तर्क करने पर, हम पाते हैं कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में एक बिंदु है जिसके लिए, बिंदु के पड़ोस में यह चिह्न को संरक्षित नहीं करता है, इसलिए बिंदु पर कोई चरम नहीं है।

दो चर के एक समारोह की सशर्त चरम सीमा

दो चर के एक समारोह के एक्स्ट्रेमा की खोज करते समय, तथाकथित सशर्त चरम से संबंधित समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं। इस अवधारणा को दो चरों के एक फलन के उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है।

मान लीजिए 0xy तल पर एक फलन और एक रेखा L दी गई है। कार्य रेखा L पर ऐसे बिंदु P (x, y) को खोजना है, जिस पर निकट स्थित रेखा L के बिंदुओं पर इस फ़ंक्शन के मानों की तुलना में फ़ंक्शन का मान सबसे बड़ा या सबसे छोटा है बिंदु पी। ऐसे बिंदु पी को लाइन एल पर सशर्त चरम बिंदु फ़ंक्शन कहा जाता है। सामान्य चरम बिंदु के विपरीत, सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की तुलना फ़ंक्शन के मानों से की जाती है, सभी बिंदुओं पर नहीं इसके कुछ पड़ोस में, लेकिन केवल उन पर जो लाइन L पर स्थित हैं।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य चरम का बिंदु (वे बिना शर्त चरम भी कहते हैं) इस बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए सशर्त चरम का बिंदु भी है। बातचीत, ज़ाहिर है, सच नहीं है: एक सशर्त चरम बिंदु पारंपरिक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। आइए एक उदाहरण के साथ जो कहा गया है उसे स्पष्ट करें।

उदाहरण 1।फलन का ग्राफ ऊपरी गोलार्द्ध है (चित्र 2)।

चावल। 2.

इस फ़ंक्शन के मूल में अधिकतम है; यह गोलार्द्ध के शीर्ष M से मेल खाती है। यदि रेखा L बिंदु A और B (इसका समीकरण) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, तो यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि इस रेखा के बिंदुओं के लिए उच्चतम मूल्यफ़ंक्शन बिंदु A और B के बीच में स्थित एक बिंदु पर पहुंचता है। यह इस रेखा पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम (अधिकतम) का बिंदु है; यह गोलार्द्ध पर बिंदु एम 1 से मेल खाता है, और यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि यहां किसी भी सामान्य चरम का कोई सवाल नहीं हो सकता है।

ध्यान दें कि किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या के अंतिम भाग में, इस क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के चरम मूल्यों को खोजना होता है, अर्थात। कुछ लाइन पर, और इस तरह एक सशर्त चरम के लिए समस्या का समाधान।

परिभाषा 1.वे कहते हैं कि जहां एक बिंदु पर एक सशर्त या सापेक्ष अधिकतम (न्यूनतम) है जो समीकरण को संतुष्ट करता है: यदि किसी के लिए जो समीकरण को संतुष्ट करता है, असमानता

परिभाषा 2.फॉर्म के समीकरण को बाधा समीकरण कहा जाता है।

प्रमेय

यदि कार्य और एक बिंदु के पड़ोस में लगातार भिन्न होते हैं, और आंशिक व्युत्पन्न और बिंदु बाधा समीकरण के संबंध में फ़ंक्शन के सशर्त चरम के बिंदु हैं, तो दूसरा क्रम निर्धारक शून्य के बराबर है:

सबूत

1. चूँकि, प्रमेय की शर्त के अनुसार, आंशिक अवकलज और फलन का मान, तो किसी आयत में

निहित कार्य परिभाषित

एक बिंदु पर दो चर के एक जटिल कार्य में एक स्थानीय चरम होगा, इसलिए, या।

2. वास्तव में, प्रथम-क्रम अंतर सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के अनुसार

3. कनेक्शन समीकरण को इस रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अर्थ है

4. समीकरण (2) को और (3) से गुणा करें और उन्हें जोड़ें

इसलिए, जब

मनमाना। एच.टी.डी.

परिणाम

व्यवहार में दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम बिंदुओं की खोज समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके की जाती है

तो, उपरोक्त उदाहरण नंबर 1 में संचार के समीकरण से हमारे पास है। यहां से यह जांचना आसान है कि अधिकतम पर क्या पहुंचता है। लेकिन फिर संचार के समीकरण से। हमें ज्यामितीय रूप से ज्ञात बिंदु P प्राप्त होता है।

उदाहरण # 2।बाधा समीकरण के संबंध में फ़ंक्शन के सशर्त चरम बिंदु खोजें।

आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें दिया गया कार्यऔर कनेक्शन समीकरण:

आइए दूसरे क्रम का निर्धारक बनाएं:

आइए सशर्त चरम बिंदुओं को खोजने के लिए समीकरणों की प्रणाली को लिखें:

इसलिए, निर्देशांक के साथ फ़ंक्शन के चार सशर्त चरम बिंदु हैं: .

उदाहरण #3।फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें।

आंशिक अवकलज को शून्य के बराबर करने पर: हम एक स्थिर बिंदु पाते हैं - मूल। यहां,। इसलिए, बिंदु (0, 0) भी एक चरम बिंदु नहीं है। समीकरण एक अतिपरवलयिक परवलयिक (चित्र 3) का समीकरण है, आकृति दर्शाती है कि बिंदु (0, 0) एक चरम बिंदु नहीं है।

चावल। 3.

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

1. मान लीजिए कि एक परिबद्ध बंद डोमेन D में फलन परिभाषित और सतत है।

2. मान लें कि इस क्षेत्र में फलन का परिमित आंशिक अवकलज है, क्षेत्र के अलग-अलग बिंदुओं को छोड़कर।

3. वीयरस्ट्रैस प्रमेय के अनुसार, इस क्षेत्र में एक ऐसा बिंदु होता है जिस पर फलन सबसे बड़ा होता है और सबसे छोटा मान.

4. यदि ये बिंदु क्षेत्र D के आंतरिक बिंदु हैं, तो स्पष्ट है कि इनका अधिकतम या न्यूनतम होगा।

5. इस मामले में, हमारे लिए रुचि के बिंदु चरम सीमा पर संदिग्ध बिंदुओं में से हैं।

6. हालाँकि, फलन क्षेत्र D की सीमा पर अधिकतम या न्यूनतम मान भी ले सकता है।

7. क्षेत्र डी में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान खोजने के लिए, आपको चरम के लिए संदिग्ध सभी आंतरिक बिंदुओं को खोजने की जरूरत है, उनमें फ़ंक्शन के मान की गणना करें, फिर फ़ंक्शन के मान के साथ तुलना करें क्षेत्र के सीमा बिंदु, और सभी पाए गए मूल्यों में सबसे बड़ा बंद क्षेत्र डी में सबसे बड़ा होगा।

8. स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम ज्ञात करने की विधि पर पहले खंड 1.2 में विचार किया गया था। और 1.3.

9. यह क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों को खोजने की विधि पर विचार करना बाकी है।

10. दो चरों के फलन के मामले में, क्षेत्र आमतौर पर एक वक्र या कई वक्रों से घिरा होता है।

11. ऐसे वक्र (या कई वक्र) के साथ, चर और या तो एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, या दोनों एक पैरामीटर पर निर्भर करते हैं।

12. इस प्रकार, सीमा पर, फलन एक चर पर निर्भर हो जाता है।

13. एक चर के फलन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने की विधि की चर्चा पहले की गई थी।

14. मान लीजिए कि क्षेत्र D की सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी गई है:

तब इस वक्र पर दो चरों का फलन होगा जटिल कार्यपैरामीटर से:। इस तरह के एक फ़ंक्शन के लिए, सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान एक चर के फ़ंक्शन के लिए सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करने की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आइए पहले हम दो चरों वाले फलन की स्थिति पर विचार करें। फ़ंक्शन का सशर्त चरम $z=f(x,y)$ बिंदु पर $M_0(x_0;y_0)$ इस फ़ंक्शन का चरम है, इस शर्त के तहत पहुंचा कि चर $x$ और $y$ में इस बिंदु के आस-पास बाधा समीकरण $\ varphi(x,y)=0$ को संतुष्ट करता है।

"सशर्त" चरम नाम इस तथ्य के कारण है कि अतिरिक्त शर्त $\varphi(x,y)=0$ चरों पर लगाई गई है। यदि कनेक्शन समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना संभव है, तो सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या एक चर के एक समारोह के सामान्य चरम की समस्या तक कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि $y=\psi(x)$ बाधा समीकरण से अनुसरण करता है, तो $y=\psi(x)$ को $z=f(x,y)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक चर $ का एक फ़ंक्शन मिलता है z=f\बाएं (x,\psi(x)\right)$. पर सामान्य मामला, हालांकि, यह विधि बहुत कम उपयोग की है, इसलिए एक नए एल्गोरिथम की आवश्यकता है।

दो चरों के फलनों के लिए लैग्रेंज गुणक की विधि।

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि यह है कि सशर्त चरम को खोजने के लिए, लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना की जाती है: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (पैरामीटर $\lambda) $ को लैग्रेंज गुणक कहा जाता है)। आवश्यक चरम स्थितियां समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं जिससे स्थिर बिंदु निर्धारित किए जाते हैं:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और \ frac (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक एक्स) = 0; \\ और \ फ्रैक (\ आंशिक एफ) (\ आंशिक वाई) = 0; \\ और \ varphi (एक्स, वाई) = 0। \ अंत (गठबंधन) \ दाएं। $$

चिह्न $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$। यदि एक स्थिर बिंदु पर $d^2F > 0$, तो फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ इस बिंदु पर एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, то условный максимум.

चरम की प्रकृति को निर्धारित करने का एक और तरीका है। बाधा समीकरण से हमें मिलता है: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, इसलिए किसी भी स्थिर बिंदु पर हमारे पास है:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\दाएं)$$

दूसरा कारक (कोष्ठक में स्थित) इस रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:

$\बाएं| . के तत्व \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (सरणी) \right|$ जो लैग्रेंज फ़ंक्शन का हेसियन है। यदि $H > 0$ तो $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, यानी हमारे पास $z=f(x,y)$ फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम है।

$H$ सारणिक के रूप पर ध्यान दें। छिपा हुया दिखाओ

$$ एच=-\बाएं|\शुरू (सरणी) (सीसीसी) 0 और \varphi_(x)^(") और \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ अंत (सरणी) \ दाएँ | $$

इस स्थिति में, ऊपर दिया गया नियम निम्नानुसार बदलता है: यदि $H> 0$, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, और $H के लिए< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

एक सशर्त चरम के लिए दो चर के एक समारोह का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

लैग्रेंज फ़ंक्शन $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ लिखें
सिस्टम $ \ बाएँ \ ( \ start (गठबंधन) और \ frac (\ आंशिक F) (\ आंशिक x) = 0; \\ और \ frac (\ आंशिक F) (\ आंशिक y) = 0; \\ और \ को हल करें varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
पिछले पैराग्राफ में पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का निर्धारण करें। ऐसा करने के लिए, निम्न विधियों में से किसी का उपयोग करें:
- सारणिक $H$ की रचना करें और उसका चिह्न ज्ञात करें
- बाधा समीकरण को ध्यान में रखते हुए, $d^2F$ . के चिह्न की गणना करें

n चरों के फलनों के लिए लैग्रेंज गुणक विधि

मान लीजिए कि हमारे पास $n$ चर $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ और $m$ बाधा समीकरण ($n > m$) का एक फ़ंक्शन है:

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

लैग्रेंज गुणक को $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ के रूप में निरूपित करते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

एक सशर्त चरम की उपस्थिति के लिए आवश्यक शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं जिससे स्थिर बिंदुओं के निर्देशांक और लैग्रेंज गुणक के मान पाए जाते हैं:

$$\बाएं\(\शुरू(गठबंधन) और \frac(\आंशिक एफ)(\आंशिक x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ और \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

$d^2F$ चिह्न का उपयोग करके यह पता लगाना संभव है कि किसी फ़ंक्शन में पहले की तरह पाए गए बिंदु पर सशर्त न्यूनतम या सशर्त अधिकतम है या नहीं। यदि पाया बिंदु $d^2F > 0$ पर है, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

मैट्रिक्स निर्धारक $\बाएं| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\आंशिक x_(3) \आंशिक x_(1)) और \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(3)\आंशिक x_(2)) और \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$L$ मैट्रिक्स में लाल रंग में हाइलाइट किया गया $ Lagrange फ़ंक्शन का हेसियन है। हम निम्नलिखित नियम का उपयोग करते हैं:

यदि कोने के नाबालिगों के संकेत हैं $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ मैट्रिक्स $L$ चिह्न $(-1)^m$ के साथ मेल खाता है, तो अध्ययन के तहत स्थिर बिंदु $z फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$।
यदि कोने के नाबालिगों के संकेत हैं $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ वैकल्पिक, और नाबालिग का चिन्ह $H_(2m+1)$ संख्या के चिन्ह के साथ मेल खाता है $(-1)^(m+1 )$, फिर अध्ययन किया गया स्थिर बिंदु फ़ंक्शन का सशर्त अधिकतम बिंदु है $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$।

उदाहरण 1

$x^2+y^2=10$ शर्त के तहत $z(x,y)=x+3y$ फ़ंक्शन के सशर्त चरम का पता लगाएं।

इस समस्या की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: सिलेंडर $x^2+y^2 के साथ इसके चौराहे के बिंदुओं के लिए विमान $z=x+3y$ के अनुप्रयोग के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य को खोजने की आवश्यकता है = 10$।

बाधा समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करना और इसे फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में प्रतिस्थापित करना कुछ मुश्किल है, इसलिए हम लैग्रेंज विधि का उपयोग करेंगे।

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ को निरूपित करते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) एफ)(\आंशिक एक्स)=1+2\लैम्ब्डा एक्स; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए आइए समीकरणों की प्रणाली को लिखें:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (गठबंधन)\दाएं।$$

यदि हम मान लेते हैं $\lambda=0$, तो पहला समीकरण बन जाता है: $1=0$। परिणामी विरोधाभास कहता है कि $\lambda\neq 0$। शर्त के तहत $\lambda\neq 0$, पहले और दूसरे समीकरणों से हमारे पास है: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. प्राप्त मूल्यों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \बाएं(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \बाएं[ \शुरू (गठबंधन) और \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ और \lambda_2=\frac(1)(2). \end(गठबंधन) \दाएं।\\ \शुरू (गठबंधन) और \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ और \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

तो, सिस्टम के दो समाधान हैं: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ और $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. आइए हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं: $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु पर सारणिक $H$ की गणना करते हैं।

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

बिंदु $M_1(1;3)$ पर हमें मिलता है: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, तो बिंदु पर $M_1(1;3)$ फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=z(1;3)=10$।

इसी तरह, बिंदु $M_2(-1;-3)$ पर हम पाते हैं: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$। $H . के बाद से< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

मैं ध्यान देता हूं कि प्रत्येक बिंदु पर सारणिक $H$ के मूल्य की गणना करने के बजाय, इसे विस्तारित करना अधिक सुविधाजनक है सामान्य दृष्टि से. विवरण के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इस पद्धति को एक नोट के नीचे छिपाऊंगा।

सामान्य रूप में निर्धारक $H$ संकेतन। छिपा हुया दिखाओ

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\बाएं(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

सिद्धांत रूप में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि $H$ का कौन सा चिन्ह है। चूंकि $M_1$ या $M_2$ में से कोई भी बिंदु मूल बिंदु से मेल नहीं खाता है, तो $y^2+x^2>0$। इसलिए, $H$ का चिह्न $\lambda$ के चिह्न के विपरीत है। आप गणना भी पूरा कर सकते हैं:

$$ \ start (गठबंधन) और H (M_1) = -8 \ cdot \ बाएँ (- \ frac (1) (2) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ दाएँ) = 40; \ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(गठबंधन) $$

स्थिर बिंदुओं $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$ पर चरम की प्रकृति के बारे में प्रश्न को निर्धारक $H$ का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $d^2F$ का चिह्न खोजें:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

मैं ध्यान देता हूं कि नोटेशन $dx^2$ का अर्थ है $dx$ को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया गया है, अर्थात। $\बाएं(डीएक्स\दाएं)^2$. इसलिए हमारे पास है: $dx^2+dy^2>0$, इसलिए $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ के लिए हमें $d^2F मिलता है< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

उत्तर: बिंदु पर $(-1;-3)$ फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम, $z_(\min)=-10$ है। बिंदु $(1;3)$ पर फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=10$

उदाहरण #2

$x+y=0$ शर्त के तहत $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ फ़ंक्शन के सशर्त चरम का पता लगाएं।

पहला तरीका (लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि)

$\varphi(x,y)=x+y$ को निरूपित करते हुए हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$।

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ लैम्ब्डा=0;\\&x+y=0.\end(गठबंधन)\दाएं।$$

सिस्टम को हल करने पर, हमें मिलता है: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ और $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$। हमारे पास दो स्थिर बिंदु हैं: $M_1(0;0)$ और $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$। आइए हम सारणिक $H$ का उपयोग करके प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं।

$$ एच=\बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

बिंदु पर $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, इसलिए इस बिंदु पर फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243)$।

हम $d^2F$ के संकेत के आधार पर, प्रत्येक बिंदु पर एक अलग विधि द्वारा चरम सीमा की प्रकृति की जांच करते हैं:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

बाधा समीकरण $x+y=0$ से हमारे पास है: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$।

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

चूंकि $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, तो $M_1(0;0)$ फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$। इसी तरह, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

दूसरा रास्ता

बाधा समीकरण $x+y=0$ से हमें मिलता है: $y=-x$। $y=-x$ को फ़ंक्शन $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ में प्रतिस्थापित करने पर, हम $x$ चर के कुछ फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। आइए इस फ़ंक्शन को $u(x)$ के रूप में निरूपित करें:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

इस प्रकार, हमने दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या को एक चर के एक फ़ंक्शन के चरम को निर्धारित करने की समस्या में कम कर दिया।

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9)।$$

अंक $M_1(0;0)$ और $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ मिले। आगे के शोध को एक चर के कार्यों के विभेदक कलन के पाठ्यक्रम से जाना जाता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $u_(xx)^("")$ के चिह्न की जांच करना या पाए गए बिंदुओं पर $u_(x)^(")$ के संकेत परिवर्तन की जांच करना, हमें वही निष्कर्ष मिलता है जैसे पहले हल करते समय विधि। उदाहरण के लिए, चेक साइन $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

चूंकि $u_(xx)^("")(M_1)>0$, तो $M_1$ फ़ंक्शन $u(x)$ का न्यूनतम बिंदु है, जबकि $u_(\min)=u(0)=0 $। चूंकि $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

दी गई कनेक्शन स्थिति के तहत फ़ंक्शन $u(x)$ के मान फ़ंक्शन $z(x,y)$ के मानों के साथ मेल खाते हैं, अर्थात। फ़ंक्शन $u(x)$ का पाया गया एक्स्ट्रेमा फ़ंक्शन $z(x,y)$ का वांछित सशर्त एक्स्ट्रेमा है।

उत्तर: बिंदु $(0;0)$ पर फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम, $z_(\min)=0$ है। बिंदु पर $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ फ़ंक्शन में एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसमें हम $d^2F$ के संकेत को निर्धारित करके चरम सीमा की प्रकृति का पता लगाते हैं।

उदाहरण #3

फ़ंक्शन $z=5xy-4$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें यदि चर $x$ और $y$ सकारात्मक हैं और बाधा समीकरण $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$।

लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$। लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु खोजें:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(गठबंधन) \दाएं।$$

आगे के सभी परिवर्तन $x > 0 को ध्यान में रखते हुए किए जाते हैं; \; y > 0$ (यह समस्या की स्थिति में निर्धारित है)। दूसरे समीकरण से, हम $\lambda=-\frac(5x)(y)$ व्यक्त करते हैं और पाए गए मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$। $x=2y$ को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $वाई = 1$।

चूंकि $y=1$, फिर $x=2$, $\lambda=-10$। बिंदु $(2;1)$ पर चरम की प्रकृति $d^2F$ के संकेत से निर्धारित होती है।

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

चूंकि $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, तब:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\बाएं(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y)। $$

सिद्धांत रूप में, यहां आप तुरंत स्थिर बिंदु $x=2$, $y=1$ और पैरामीटर $\lambda=-10$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

हालांकि, सशर्त चरम के लिए अन्य समस्याओं में, कई स्थिर बिंदु हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, सामान्य रूप में $d^2F$ का प्रतिनिधित्व करना बेहतर होता है, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति में प्रत्येक स्थिर बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करता है:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

चूंकि $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

उत्तर: बिंदु $(2;1)$ पर फ़ंक्शन की एक सशर्त अधिकतम, $z_(\max)=6$ है।

अगले भाग में, हम कार्यों के लिए लैग्रेंज पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे अधिकचर।

परिभाषा1: फ़ंक्शन को बिंदु पर कहा जाता है स्थानीय अधिकतम, यदि उस बिंदु का पड़ोस मौजूद है जिसके लिए किसी बिंदु के लिए एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता पूरी होती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि< 0.

परिभाषा 2: एक फ़ंक्शन को एक बिंदु पर स्थानीय न्यूनतम कहा जाता है यदि बिंदु के पड़ोस मौजूद हैं जैसे कि किसी भी बिंदु के लिए एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता पूरी होती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि> 0।

परिभाषा 3: स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु.

सशर्त चरम

कई चर के एक समारोह के चरम की खोज करते समय, तथाकथित से संबंधित समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं सशर्त चरम।इस अवधारणा को दो चरों के एक फलन के उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है।

मान लीजिए एक फलन और एक रेखा दी गई है लीसतह पर 0xy. कार्य लाइन करना है लीऐसा बिंदु खोजें पी (एक्स, वाई),जिसमें फंक्शन की वैल्यू लाइन के पॉइंट्स पर इस फंक्शन के वैल्यू की तुलना में सबसे बड़ी या सबसे छोटी होती है लीबिंदु के पास स्थित पी. ऐसे बिंदु पीबुलाया सशर्त चरम बिंदुलाइन फ़ंक्शन ली. सामान्य चरम बिंदु के विपरीत, सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन मान की तुलना उसके कुछ पड़ोस के सभी बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों से नहीं की जाती है, बल्कि केवल उन पर होती है जो लाइन पर स्थित होते हैं ली.

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य चरम बिंदु (वे भी कहते हैं बिना शर्त चरम) इस बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए एक सशर्त चरम बिंदु भी है। बातचीत, ज़ाहिर है, सच नहीं है: एक सशर्त चरम बिंदु पारंपरिक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। इसे मैं एक सरल उदाहरण से समझाता हूँ। फलन का ग्राफ ऊपरी गोलार्द्ध है (परिशिष्ट 3 (चित्र 3))।

इस फ़ंक्शन के मूल में अधिकतम है; यह शीर्ष से मेल खाता है एमगोलार्द्ध। यदि रेखा लीबिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा है लेकिनतथा पर(उसका समीकरण एक्स+वाई-1=0), तो यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि इस रेखा के बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन का अधिकतम मान बिंदुओं के बीच में स्थित बिंदु पर पहुंच जाता है लेकिनतथा पर।यह दी गई रेखा पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम (अधिकतम) का बिंदु है; यह गोलार्द्ध पर बिंदु एम 1 से मेल खाता है, और यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि यहां किसी भी सामान्य चरम का कोई सवाल नहीं हो सकता है।

ध्यान दें कि एक बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या के अंतिम भाग में, हमें इस क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के चरम मूल्यों को खोजना होगा, अर्थात। कुछ लाइन पर, और इस तरह एक सशर्त चरम के लिए समस्या का समाधान।

आइए अब हम फलन Z= f(x, y) के सशर्त चरम के बिंदुओं की व्यावहारिक खोज की ओर बढ़ें, बशर्ते कि चर x और y समीकरण (x, y) = 0 से संबंधित हों। यह संबंध होगा बाधा समीकरण कहा जाता है। यदि कनेक्शन समीकरण से y को x: y \u003d (x) के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है, तो हमें एक चर Z \u003d f (x, (x)) \u003d (x) का एक फ़ंक्शन मिलता है।

x का मान प्राप्त करने के बाद, जिस पर यह फ़ंक्शन एक चरम सीमा तक पहुंचता है, और फिर कनेक्शन समीकरण से y के संबंधित मानों का निर्धारण करते हुए, हम सशर्त चरम के वांछित बिंदु प्राप्त करेंगे।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, संचार के समीकरण से x+y-1=0 हमारे पास y=1-x है। यहाँ से

यह जाँचना आसान है कि z अपने अधिकतम x = 0.5 पर पहुँचता है; लेकिन फिर कनेक्शन समीकरण y = 0.5 से, और हमें बिल्कुल बिंदु P मिलता है, जो ज्यामितीय विचारों से पाया जाता है।

सशर्त चरम समस्या को बहुत सरलता से हल किया जाता है, भले ही बाधा समीकरण को पैरामीट्रिक समीकरण x=x(t), y=y(t) द्वारा दर्शाया जा सके। x और y के लिए व्यंजकों को में प्रतिस्थापित करना यह समारोह, हम फिर से एक चर के एक फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या पर आते हैं।

यदि बाधा समीकरण का से अधिक है जटिल दृश्यऔर हम एक चर को दूसरे के रूप में स्पष्ट रूप से व्यक्त करने में विफल होते हैं, और न ही इसे पैरामीट्रिक समीकरणों से प्रतिस्थापित करते हैं, तो एक सशर्त चरम को खोजने की समस्या अधिक कठिन हो जाती है। हम यह मानते रहेंगे कि फलन z= f(x, y) के व्यंजक में चर (x, y) = 0. फलन का कुल अवकलज z= f(x, y) इसके बराबर है:

व्युत्पन्न y कहाँ है, निहित कार्य के भेदभाव के नियम द्वारा पाया जाता है। सशर्त चरम के बिंदुओं पर, पाया गया कुल व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए; यह x और y से संबंधित एक समीकरण देता है। चूंकि उन्हें बाधा समीकरण को भी संतुष्ट करना चाहिए, हमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है

आइए पहले समीकरण को अनुपात के रूप में लिखकर और एक नया सहायक अज्ञात पेश करके इस प्रणाली को और अधिक सुविधाजनक में बदल दें:

(सुविधा के लिए एक ऋण चिह्न सामने रखा गया है)। इन समानताओं से निम्नलिखित प्रणाली में जाना आसान है:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

जो, बाधा समीकरण (x, y) = 0 के साथ, अज्ञात x, y, और के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली बनाता है।

इन समीकरणों (*) का उपयोग करके याद रखना सबसे आसान है अगला नियम: उन बिंदुओं को खोजने के लिए जो फ़ंक्शन के सशर्त चरम के बिंदु हो सकते हैं

Z= f(x, y) बाधा समीकरण (x, y) = 0 के साथ, आपको एक सहायक फ़ंक्शन बनाने की आवश्यकता है

एफ (एक्स, वाई) = एफ (एक्स, वाई) + (एक्स, वाई)

जहां कुछ स्थिरांक है, और इस फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए समीकरण लिखें।

समीकरणों की निर्दिष्ट प्रणाली, एक नियम के रूप में, केवल आवश्यक शर्तें प्रदान करती है, अर्थात। इस प्रणाली को संतुष्ट करने वाले x और y मानों की प्रत्येक जोड़ी अनिवार्य रूप से एक सशर्त चरम बिंदु नहीं है। पर्याप्त शर्तेंसशर्त चरम के बिंदुओं के लिए, मैं नहीं दूंगा; अक्सर समस्या की विशिष्ट सामग्री ही बताती है कि पाया गया बिंदु क्या है। सशर्त चरम के लिए समस्याओं को हल करने के लिए वर्णित तकनीक को लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि कहा जाता है।

उदाहरण

फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं, बशर्ते कि एक्सतथा परअनुपात से संबंधित हैं: . ज्यामितीय रूप से, समस्या का अर्थ निम्न है: एक दीर्घवृत्त पर
विमान
.

इस समस्या को इस प्रकार हल किया जा सकता है: समीकरण से
पाना
एक्स:

उसे उपलब्ध कराया
, अंतराल पर एक चर के एक फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया
.

ज्यामितीय रूप से, समस्या का अर्थ निम्न है: एक दीर्घवृत्त पर सिलेंडर को पार करके प्राप्त किया
विमान
, आवेदन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना आवश्यक है (चित्र 9)। इस समस्या को इस प्रकार हल किया जा सकता है: समीकरण से
पाना
. y के पाए गए मान को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक चर का एक फलन प्राप्त होता है एक्स:

इस प्रकार, फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या
उसे उपलब्ध कराया
, एक खंड पर एक चर के एक समारोह के चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया।

इसलिए, एक सशर्त चरम खोजने की समस्याउद्देश्य समारोह के चरम को खोजने की समस्या है
, बशर्ते कि चर एक्सतथा परप्रतिबंध के अधीन
बुलाया कनेक्शन समीकरण।

हम कहेंगे कि दूरसंचार विभाग
, बाधा समीकरण को संतुष्ट करना, स्थानीय सशर्त अधिकतम का एक बिंदु है (न्यूनतम) अगर कोई पड़ोस है
ऐसा है कि किसी भी बिंदु के लिए
, जिनके निर्देशांक बाधा समीकरण को संतुष्ट करते हैं, असमानता धारण करती है।

यदि संचार के समीकरण से के लिए एक व्यंजक खोजना संभव है पर, फिर, इस अभिव्यक्ति को मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हुए, हम बाद वाले को एक चर के जटिल फ़ंक्शन में बदल देते हैं एक्स।

सशर्त चरम समस्या को हल करने की सामान्य विधि है लैग्रेंज गुणक विधि. आइए एक सहायक फ़ंक्शन बनाएं, जहां कुछ संख्या। इस फ़ंक्शन को कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन, एक लैग्रेंज गुणक। इस प्रकार, लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए स्थानीय चरम बिंदुओं को खोजने के लिए एक सशर्त चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया गया है। एक संभावित चरम के बिंदुओं को खोजने के लिए, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है एक्स, वाईतथा।

फिर किसी को निम्नलिखित पर्याप्त चरम स्थिति का उपयोग करना चाहिए।

प्रमेय. लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए बिंदु को संभावित चरम बिंदु होने दें। हम मानते हैं कि बिंदु के आसपास के क्षेत्र में
कार्यों के निरंतर दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं तथा . निरूपित

तो अगर
, फिर
समारोह का सशर्त चरम बिंदु
बाधा समीकरण पर
इस बीच, अगर
, फिर
─ सशर्त न्यूनतम बिंदु, यदि
, फिर
सशर्त अधिकतम का बिंदु।

§आठ। ढाल और दिशात्मक व्युत्पन्न

चलो समारोह
कुछ (खुले) डोमेन में परिभाषित। किसी भी बिंदु पर विचार करें
यह क्षेत्र और कोई निर्देशित सीधी रेखा (अक्ष) इस बिंदु से गुजरते हुए (चित्र 1)। होने देना
- इस धुरी का कोई अन्य बिंदु,
- के बीच के खंड की लंबाई
तथा
, एक प्लस चिह्न के साथ लिया गया, यदि दिशा
अक्ष की दिशा के साथ मेल खाता है , और ऋण चिह्न के साथ यदि उनकी दिशाएं विपरीत हैं।

होने देना
अनिश्चित काल तक पहुंचता है
. सीमा

बुलाया फ़ंक्शन व्युत्पन्न
की ओर (या अक्ष के साथ ) और निम्नानुसार दर्शाया गया है:

यह व्युत्पन्न बिंदु पर फ़ंक्शन के "परिवर्तन की दर" की विशेषता है
की ओर . विशेष रूप से, और साधारण आंशिक डेरिवेटिव ,"दिशा के संबंध में" डेरिवेटिव के रूप में भी सोचा जा सकता है।

अब मान लीजिए कि फ़ंक्शन
विचाराधीन क्षेत्र में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है। चलो अक्ष निर्देशांक अक्षों के साथ कोण बनाता है
तथा . की गई मान्यताओं के तहत, दिशात्मक व्युत्पन्न मौजूद है और सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

यदि वेक्टर
इसके निर्देशांक द्वारा निर्धारित
, फिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
वेक्टर की दिशा में
सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

निर्देशांक के साथ वेक्टर
बुलाया ढाल वेक्टरकार्यों
बिंदु पर
. ग्रेडिएंट वेक्टर किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को इंगित करता है।