एक निश्चित बिंदु पर एक फ़ंक्शन का परिवर्तन और तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो शून्य हो जाता है। इसे खोजने के लिए, डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, फलन y = x3 का अवकलज y' = x2 के बराबर होगा।

इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें (इस मामले में x2=0)।

दिए गए चर का मान ज्ञात कीजिए। ये वे मान होंगे जब यह व्युत्पन्न 0 के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, एक्स के बजाय एक्सप्रेशन में मनमानी संख्याएँ बदलें, जिस पर पूरा एक्सप्रेशन शून्य हो जाएगा। उदाहरण के लिए:

2-2x2 = 0
(1-एक्स)(1+एक्स) = 0
x1=1, x2=-1

प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करें और प्रत्येक प्राप्त के लिए व्युत्पन्न के संकेत की गणना करें। निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं को अंकित किया जाता है, जिन्हें मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है। अंतराल में मान की गणना करने के लिए, मानदंड से मेल खाने वाले मनमाना मानों को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, अंतराल -1 तक के पिछले फ़ंक्शन के लिए, आप मान -2 चुन सकते हैं। -1 से 1 के लिए, आप 0 चुन सकते हैं, और 1 से अधिक मानों के लिए 2 चुनें। इन संख्याओं को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और व्युत्पन्न के चिह्न का पता लगाएं। इस स्थिति में, x = -2 के साथ अवकलज -0.24 के बराबर होगा, अर्थात। ऋणात्मक और इस अंतराल पर ऋण चिह्न होगा। यदि x = 0, तो मान 2 के बराबर होगा, और इस अंतराल पर एक चिन्ह लगाया जाता है। यदि x=1, तो अवकलज भी -0.24 के बराबर होगा और एक ऋण लगाया जाता है।

यदि, समन्वय रेखा पर एक बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न अपना चिह्न माइनस से प्लस में बदल देता है, तो यह एक न्यूनतम बिंदु है, और यदि प्लस से माइनस है, तो यह अधिकतम बिंदु है।

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उपयोगी सलाह

व्युत्पन्न खोजने के लिए, ऑनलाइन सेवाएं हैं जो आवश्यक मूल्यों की गणना करती हैं और परिणाम प्रदर्शित करती हैं। ऐसी साइटों पर, आप अधिकतम 5 ऑर्डर का व्युत्पन्न पा सकते हैं।

स्रोत:

• डेरिवेटिव की गणना के लिए सेवाओं में से एक
• समारोह का अधिकतम बिंदु

फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं के साथ-साथ न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन अपना व्यवहार बदलता है। एक्स्ट्रीमा सीमित संख्यात्मक अंतराल पर निर्धारित होते हैं और हमेशा स्थानीय होते हैं।

अनुदेश

खोज प्रक्रिया स्थानीय चरम सीमाएक फ़ंक्शन कहा जाता है और फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव का विश्लेषण करके किया जाता है। अन्वेषण शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि तर्क मानों की निर्दिष्ट श्रेणी अनुमत मानों से संबंधित है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन F=1/x के लिए, तर्क x=0 का मान अमान्य है। या फ़ंक्शन Y=tg(x) के लिए, तर्क का मान x=90° नहीं हो सकता।

सुनिश्चित करें कि पूरे दिए गए अंतराल में Y फ़ंक्शन अलग-अलग है। पहला व्युत्पन्न Y खोजें। यह स्पष्ट है कि स्थानीय अधिकतम के बिंदु तक पहुंचने से पहले, फ़ंक्शन बढ़ता है, और अधिकतम से गुजरते समय, फ़ंक्शन घट जाता है। इसके भौतिक अर्थ में पहला व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को दर्शाता है फ़ंक्शन। जबकि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, इस प्रक्रिया की दर एक सकारात्मक मान है। स्थानीय अधिकतम से गुजरने पर, फ़ंक्शन कम होने लगता है, और फ़ंक्शन के परिवर्तन की प्रक्रिया की दर नकारात्मक हो जाती है। दर का संक्रमण शून्य के माध्यम से फ़ंक्शन का परिवर्तन स्थानीय अधिकतम के बिंदु पर होता है।

कहा जाता है कि फ़ंक्शन में एक आंतरिक बिंदु होता है
क्षेत्रों डी स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम) यदि बिंदु का ऐसा पड़ोस है
, प्रत्येक बिंदु के लिए
जो असमानता को संतुष्ट करता है

यदि फ़ंक्शन बिंदु पर है
स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम, तो हम कहते हैं कि यह इस बिंदु पर है स्थानीय चरम(या बस चरम).

प्रमेय (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त) यदि अवकलनीय फलन बिंदु पर चरम सीमा तक पहुँच जाता है
, फिर प्रत्येक प्रथम-क्रम फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न इस बिंदु पर गायब हो जाता है।

वे बिंदु जिन पर प्रथम कोटि के सभी आंशिक अवकलज लुप्त हो जाते हैं, कहलाते हैं समारोह के स्थिर बिंदु
. इन बिंदुओं के निर्देशांक को सिस्टम से हल करके पाया जा सकता है समीकरण

.

एक भिन्न कार्य के मामले में एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त को संक्षेप में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

ऐसे मामले होते हैं जब कुछ बिंदुओं पर कुछ आंशिक डेरिवेटिव के अनंत मूल्य होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं (जबकि बाकी शून्य के बराबर होते हैं)। ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है समारोह के महत्वपूर्ण बिंदु।इन बिंदुओं को चरम सीमा के साथ-साथ स्थिर लोगों के लिए भी "संदिग्ध" माना जाना चाहिए।

दो चर के एक समारोह के मामले में, एक चरम के लिए आवश्यक शर्त, अर्थात् चरम बिंदु पर आंशिक डेरिवेटिव (अंतर) के शून्य की समानता, एक ज्यामितीय व्याख्या है: सतह पर स्पर्शरेखा विमान
चरम बिंदु पर विमान के समानांतर होना चाहिए
.

20. एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें

किसी बिंदु पर एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त की पूर्ति वहां एक चरम के अस्तित्व की गारंटी नहीं देती है। एक उदाहरण के रूप में, हम हर जगह अलग-अलग कार्य कर सकते हैं
. इसके आंशिक व्युत्पन्न और फ़ंक्शन दोनों ही बिंदु पर गायब हो जाते हैं
. हालांकि, इस बिंदु के किसी भी पड़ोस में, दोनों सकारात्मक (बड़े .) हैं
) और नकारात्मक (छोटा .)
) इस फ़ंक्शन के मान। इसलिए, इस बिंदु पर, परिभाषा के अनुसार, कोई चरम सीमा नहीं है। इसलिए, पर्याप्त परिस्थितियों को जानना आवश्यक है जिसके तहत एक चरम पर संदिग्ध बिंदु अध्ययन के तहत कार्य का एक चरम बिंदु है।

दो चरों के एक फलन के मामले पर विचार करें। आइए मान लें कि फ़ंक्शन
परिभाषित, निरंतर, और निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है और कुछ बिंदु के पड़ोस में दूसरे क्रम को शामिल करता है
, जो फ़ंक्शन का स्थिर बिंदु है
, अर्थात्, शर्तों को पूरा करता है

,
.

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

प्रमेय (एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें) चलो समारोह
उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है, अर्थात्: स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में अवकलनीय
और बिंदु पर ही दो बार अवकलनीय है
. तो अगर

यदि
फिर समारोह
बिंदु पर
पहुँचती है

स्थानीय अधिकतमपर
तथा

स्थानीय न्यूनतमपर
.

सामान्य तौर पर, एक समारोह के लिए
एक बिंदु पर अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति
स्थानीयन्यूनतम(ज्यादा से ज्यादा) है सकारात्मक(नकारात्मक) दूसरे अंतर की निश्चितता।

दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित कथन सत्य है।

प्रमेय . यदि बिंदु पर
समारोह के लिए

किसी के लिए एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं
, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन है न्यूनतम(एक जैसा ज्यादा से ज्यादा, यदि
).

उदाहरण 18.किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम बिंदु खोजें

समाधान. फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हमें दो संभावित चरम बिंदु मिलते हैं:

आइए इस फ़ंक्शन के लिए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

इसलिए, पहले स्थिर बिंदु पर, तथा
इसलिए, इस बिंदु के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है। समारोह मूल्य
इस बिंदु पर शून्य है:
आगे,

पर

एक

पर

इसलिए, बिंदु के किसी भी मोहल्ले में
समारोह
मानों को बड़ा लेता है
, और छोटा
, और इसलिए बिंदु पर
समारोह
, परिभाषा के अनुसार, कोई स्थानीय चरम सीमा नहीं है।

दूसरे स्थिर बिंदु पर



इसलिए, इसलिए, चूंकि
फिर बिंदु पर
फ़ंक्शन में स्थानीय अधिकतम है।

परिभाषा:बिंदु x0 को फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम (या न्यूनतम) बिंदु कहा जाता है, यदि बिंदु x0 के किसी पड़ोस में फ़ंक्शन सबसे बड़ा (या सबसे छोटा) मान लेता है, अर्थात। बिंदु x0 के किसी पड़ोस से सभी के लिए शर्त f(x) f(x0) (या f(x) f(x0)) संतुष्ट है।

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु एक सामान्य नाम से एकजुट होते हैं - किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम के बिंदु।

ध्यान दें कि स्थानीय चरम के बिंदुओं पर, फ़ंक्शन केवल कुछ स्थानीय क्षेत्र में अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है। ऐसे मामले हैं, जब уmaxуmin के मूल्य के अनुसार।

किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक मानदंड

प्रमेय . यदि एक निरंतर कार्य y = f(x) का बिंदु x0 पर एक स्थानीय चरम है, तो इस बिंदु पर पहला व्युत्पन्न या तो शून्य है या मौजूद नहीं है, अर्थात। स्थानीय चरमपंथ पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होता है।

स्थानीय चरम बिंदुओं पर, या तो स्पर्शरेखा 0x अक्ष के समानांतर होती है, या दो स्पर्शरेखाएँ होती हैं (आकृति देखें)। ध्यान दें कि स्थानीय चरम सीमा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं है। एक स्थानीय चरम केवल पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होता है, लेकिन सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं में स्थानीय चरम नहीं होता है।

उदाहरण के लिए: एक घन परवलय y = x3 का एक महत्वपूर्ण बिंदु x0=0 है, जिस पर अवकलज y/(0)=0, लेकिन महत्वपूर्ण बिंदु x0=0 एक चरम बिंदु नहीं है, लेकिन इसमें एक विभक्ति बिंदु है (नीचे देखें)।

किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त मानदंड

प्रमेय . यदि तर्क पारित करते समय महत्वपूर्ण बिंदुमैं y / (x) के पहले व्युत्पन्न को बाएं से दाएं टाइप करता हूं

संकेत को "+" से "-" में बदल देता है, फिर निरंतर फ़ंक्शन y(x) का इस महत्वपूर्ण बिंदु पर स्थानीय अधिकतम होता है;

संकेत को "-" से "+" में बदल देता है, फिर निरंतर फ़ंक्शन y(x) का इस महत्वपूर्ण बिंदु पर स्थानीय न्यूनतम होता है

संकेत नहीं बदलता है, तो इस महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई स्थानीय चरम नहीं है, एक विभक्ति बिंदु है।

स्थानीय अधिकतम के लिए, बढ़ते फलन के क्षेत्र (y/0) को घटते फलन के क्षेत्र (y/0) से बदल दिया जाता है। स्थानीय न्यूनतम के लिए, घटते फ़ंक्शन (y/0) के क्षेत्र को बढ़ते फ़ंक्शन (y/0) के क्षेत्र से बदल दिया जाता है।

उदाहरण: एकरसता, चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 की जांच करें और फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए हम अवकलज (y/) को परिभाषित करके और इसे शून्य के बराबर करके पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

हम विवेचक का उपयोग करके वर्ग त्रिपद को हल करते हैं:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1।

2) आइए हम संख्यात्मक अक्ष को महत्वपूर्ण बिंदुओं से 3 क्षेत्रों में विभाजित करें और उनमें व्युत्पन्न (y/) के संकेत निर्धारित करें। इन संकेतों का उपयोग करके, हम कार्यों के एकरसता (वृद्धि और कमी) क्षेत्रों को पाएंगे, और संकेतों को बदलकर, हम स्थानीय चरम (अधिकतम और न्यूनतम) के बिंदु निर्धारित करेंगे।

अध्ययन के परिणाम एक तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, जिससे निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

• 1. अंतराल y /(-10) 0 पर, फलन नीरस रूप से बढ़ता है (इस अंतराल में लिए गए नियंत्रण बिंदु x = -10 से व्युत्पन्न y का संकेत अनुमानित किया गया था);
• 2. अंतराल पर (-5; -1) y /(-2) 0, फ़ंक्शन एकरूप रूप से कम हो जाता है (इस अंतराल में लिए गए नियंत्रण बिंदु x = -2 से व्युत्पन्न y का संकेत अनुमानित किया गया था);
• 3. अंतराल y /(0) 0 पर, फलन नीरस रूप से बढ़ता है (इस अंतराल में लिए गए नियंत्रण बिंदु x = 0 से व्युत्पन्न y का संकेत अनुमानित किया गया था);
• 4. महत्वपूर्ण बिंदु x1k \u003d -5 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है, इसलिए यह बिंदु एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. महत्वपूर्ण बिंदु x2k \u003d -1 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" में बदल जाता है, इसलिए यह बिंदु एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है
• (यमिन (-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16)।

एक्स -5 (-5; -1) -1

3) हम नियंत्रण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की अतिरिक्त गणना की भागीदारी के साथ अध्ययन के परिणामों के आधार पर एक ग्राफ बनाएंगे:

हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी का निर्माण करते हैं;

अधिकतम (-5; 16) और न्यूनतम (-1; -16) अंक के निर्देशांक दिखाएं;

ग्राफ को परिष्कृत करने के लिए, हम नियंत्रण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करते हैं, उन्हें अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं के बाएं और दाएं और मध्य अंतराल के अंदर चुनते हैं, उदाहरण के लिए: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) और (0;-9) - परिकलित नियंत्रण बिंदु, जो एक ग्राफ़ बनाने के लिए प्लॉट किए जाते हैं;

हम ग्राफ को एक वक्र के रूप में दिखाते हैं जिसमें अधिकतम बिंदु पर एक उभार और न्यूनतम बिंदु पर एक उभार नीचे होता है और परिकलित नियंत्रण बिंदुओं से गुजरता है।

$ई \ सबसेट \ mathbb (आर) ^ (एन) $। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय अधिकतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \leqslant f \बाएं(x_(0)\right)$.

स्थानीय अधिकतम कहा जाता है कठोर , अगर पड़ोस $U$ को इस तरह से चुना जा सकता है कि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ से अलग हो तो $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

परिभाषा
मान लीजिए कि $f$ एक वास्तविक फलन है खुला सेट$ई \ सबसेट \ mathbb (आर) ^ (एन) $। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय न्यूनतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \geqslant f \बाएं(x_(0)\दाएं)$.

एक स्थानीय न्यूनतम को सख्त कहा जाता है यदि पड़ोस $U$ को चुना जा सके ताकि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ से अलग हो) (0)\दाएं)$.

एक स्थानीय चरम सीमा स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम की अवधारणाओं को जोड़ती है।

प्रमेय (एक भिन्न कार्य के चरम के लिए आवश्यक शर्त)
$f$ एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक कार्य होने दें। यदि बिंदु $x_(0) \in E$ पर फ़ंक्शन $f$ में इस बिंदु पर एक स्थानीय चरम सीमा भी है, तो $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ शून्य अंतर की समानता इस तथ्य के बराबर है कि सभी शून्य के बराबर हैं, अर्थात। $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

एक आयामी मामले में, यह . निरूपित $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, जहां $h$ एक मनमाना वेक्टर है। फ़ंक्शन $\phi$ को $t$ के पर्याप्त रूप से छोटे मॉड्यूल मानों के लिए परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, के संबंध में, यह अलग-अलग है, और $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$।
मान लें कि $f$ का स्थानीय अधिकतम x $0$ है। इसलिए, फ़ंक्शन $\phi$ पर $t = 0$ का स्थानीय अधिकतम है और, Fermat के प्रमेय के अनुसार, $(\phi)' \left(0\right)=0$।
तो, हमें मिला कि $df \left(x_(0)\right) = 0$, यानी। फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ किसी भी वेक्टर $h$ पर शून्य के बराबर है।

परिभाषा
जिन बिंदुओं पर अंतर शून्य के बराबर है, अर्थात। वे जिसमें सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, स्थिर कहलाते हैं। महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शन $f$ वे बिंदु हैं जिन पर $f$ अवकलनीय नहीं है, या यह शून्य के बराबर है। यदि बिंदु स्थिर है, तो यह अभी तक इस बात का पालन नहीं करता है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का चरम है।

उदाहरण 1
चलो $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$। फिर $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, इसलिए $\बाएं(0,0\दाएं)$ एक स्थिर बिंदु है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है। वास्तव में, $f \बाएं(0,0\दाएं) = 0$, लेकिन यह देखना आसान है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $\बाएं(0,0\दाएं)$ फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है।

उदाहरण 2
फ़ंक्शन $f \left(x,y\right) = x^(2) - y^(2)$ में एक स्थिर बिंदु के रूप में निर्देशांक की उत्पत्ति होती है, लेकिन यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर कोई चरम नहीं है।

प्रमेय ( पर्याप्त स्थितिचरम)।
एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक फ़ंक्शन $f$ को लगातार दो बार अलग-अलग होने दें। मान लीजिए $x_(0) \in E$ एक स्थिर बिंदु है और $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ तब

1. यदि $Q_(x_(0))$ – , तो फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ में एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि फॉर्म सकारात्मक-निश्चित है और अधिकतम यदि फॉर्म है नकारात्मक-निश्चित;
2. यदि द्विघात रूप $Q_(x_(0))$ अनिश्चित है, तो बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ का कोई चरम नहीं है।

आइए टेलर सूत्र के अनुसार विस्तार का उपयोग करें (12.7 पृष्ठ 292)। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि $x_(0)$ बिंदु पर पहला ऑर्डर आंशिक डेरिवेटिव शून्य के बराबर है, हमें $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) मिलता है )\दाएं) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ आंशिक x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ जहां $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, और $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ के लिए, फिर दाहिना भागपर्याप्त रूप से छोटी लंबाई के किसी भी सदिश $h$ के लिए धनात्मक है।
इस प्रकार, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि बिंदु के कुछ पड़ोस में $x_(0)$ असमानता $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ संतुष्ट है यदि केवल $ x \neq x_ (0)$ (हम $x=x_(0)+h$\right डालते हैं)। इसका मतलब है कि बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन का एक सख्त स्थानीय न्यूनतम है, और इस प्रकार हमारे प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।
अब मान लीजिए कि $Q_(x_(0))$ एक अनिश्चित रूप है। फिर वेक्टर हैं $h_(1)$, $h_(2)$ जैसे कि $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \बाएं(h_(2)\दाएं)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$। फिर हमें मिलता है $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ बाएँ [ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ पर्याप्त रूप से छोटे $t>0$ के लिए, दाईं ओर है सकारात्मक। इसका मतलब यह है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $x_(0)$ फ़ंक्शन $f$ मान लेता है $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ से अधिक।
इसी तरह, हम प्राप्त करते हैं कि बिंदु $x_(0)$ के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन $f$ $f \left(x_(0)\right)$ से कम मान लेता है। यह, पिछले एक के साथ, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $x_(0)$ पर एक चरम सीमा नहीं है।

आइए हम इस प्रमेय के एक विशेष मामले पर विचार करें $f \left(x,y\right)$ बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित दो चर के $f \left(x_(0),y_(0)\right) $ और पहले और दूसरे ऑर्डर के निरंतर आंशिक डेरिवेटिव। चलो $\बाएं(x_(0),y_(0)\right)$ एक स्थिर बिंदु बनें और $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \बाएं(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right )। $$ फिर पिछला प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है।

प्रमेय
चलो $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$। फिर:

1. यदि $\Delta>0$, तो फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $\बाएं(x_(0),y_(0)\right)$ पर एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि $a_(11)> 0$ , और अधिकतम यदि $a_(11)<0$;
2. अगर $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

समस्या समाधान के उदाहरण

कई चर के एक समारोह के चरम को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम स्थिर बिंदु पाते हैं;
2. हम सभी स्थिर बिंदुओं पर दूसरे क्रम का अंतर पाते हैं
3. कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर दूसरे क्रम के अंतर पर विचार करते हैं

1. फ़ंक्शन को चरम $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ तक जांचें।
   समाधान

   पहले क्रम का आंशिक व्युत्पन्न खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial) f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ सिस्टम को लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ दूसरे समीकरण से, हम $x=4 \cdot y^(2)$ व्यक्त करते हैं - पहले समीकरण में स्थानापन्न करें: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ दाएं )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) - 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) - y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ परिणामस्वरूप, 2 स्थिर अंक प्राप्त होते हैं:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \बाएं(0, 0\दाएं)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \बाएं(\frac(1)(2), 1\right)$
   आइए हम पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जाँच करें:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) बिंदु के लिए $M_(1)= \बाएं(0,0\दाएं)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) बिंदु $M_(2)$ के लिए:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) - C_(2)^(2) = 108>0$, इसलिए बिंदु $M_(2)$ पर एक चरम सीमा है, और चूंकि $A_(2)>0 $, तो यह न्यूनतम है।
   उत्तर: बिंदु $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ फंक्शन $f$ का न्यूनतम बिंदु है।
   

2. चरम $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ के लिए फलन की जांच करें।
   समाधान

   स्थिर बिंदु खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
   सिस्टम लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ दायां तीर \ शुरू (केस) 2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(केस) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(मामलों) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ एक स्थिर बिंदु है।
   आइए पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जांच करें: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; बी=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   उत्तर: कोई एक्स्ट्रेमा नहीं हैं।
   

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1 .

अंकों की संख्या: 1

एक्स्ट्रेमा के लिए $f$ फ़ंक्शन की जांच करें: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

सही ढंग से


ठीक से नहीं


1. 4 का टास्क 2

   2 .

   अंकों की संख्या: 1

   क्या फ़ंक्शन $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ है

>> चरम

फंक्शन एक्सट्रीमम

चरम की परिभाषा

समारोह y = f(x) कहा जाता है की बढ़ती (घट) कुछ अंतराल में यदि x 1 . के लिए< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >एफ (एक्स 2))।

यदि एक खंड पर एक भिन्न कार्य y \u003d f (x) बढ़ता है (घटता है), तो इस खंड पर इसका व्युत्पन्न f " (एक्स )> 0

(एफ"(एक्स)< 0).

दूरसंचार विभाग एक्स के बारे में बुलाया स्थानीय अधिकतम बिंदु (न्यूनतम) फ़ंक्शन का f (x) यदि बिंदु का एक पड़ोस है एक्स ओ, उन सभी बिंदुओं के लिए जिनकी असमानता f (x) है≤ एफ (एक्स ओ) (एफ (एक्स)≥ एफ (एक्स ओ))।

अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं एक्स्ट्रेमा।

चरम बिंदु

एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें . अगर बिंदु एक्स के बारे में फ़ंक्शन f (x) का एक चरम बिंदु है, तो या तो f " (एक्स ओ) = 0, या एफ(एक्स ओ) मौजूद नहीं है। ऐसे बिंदु कहलाते हैं नाजुक,जहां फ़ंक्शन को महत्वपूर्ण बिंदु पर ही परिभाषित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन की चरम सीमा को उसके महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच मांगा जाना चाहिए।

पहली पर्याप्त शर्त। होने देना एक्स के बारे में - महत्वपूर्ण बिंदु। अगर च" (x ) बिंदु से गुजरते समय एक्स के बारे में प्लस चिह्न को माइनस में बदल देता है, फिर बिंदु पर एक्स ओफ़ंक्शन में अधिकतम है, अन्यथा इसमें न्यूनतम है। यदि व्युत्पन्न एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है, तो बिंदु पर एक्स के बारे में कोई चरम नहीं है।

दूसरी पर्याप्त शर्त। मान लें कि फलन f(x) में है
एफ" (x ) बिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक्स के बारे में और दूसरा व्युत्पन्न बहुत ही बिंदु पर एक्स ओ. अगर च"(एक्स ओ) = 0, >0 ( <0), то точка एक्स ओफ़ंक्शन f(x) का स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है। यदि = 0 है, तो व्यक्ति को या तो पहली पर्याप्त शर्त का उपयोग करना चाहिए, या उच्चतर शर्तों को शामिल करना चाहिए।

एक खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक पहुंच सकता है।

उदाहरण 3.22।

समाधान।इसलिये एफ " (

किसी फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए कार्य

उदाहरण 3.23। एक

समाधान। एक्सतथा आप आप
0 ≤ एक्स≤
> 0, जबकि एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्यों वर्ग. इकाइयों).

उदाहरण 3.24।पी

समाधान।पीपी
एस"
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

उदाहरण 3.22।फलन f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।इसलिये एफ " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), फिर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d 3. चरम बिंदु केवल इन पर हो सकते हैं अंक। चूंकि बिंदु x 1 \u003d 2 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन में अधिकतम होता है। बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस में बदल जाता है, इसलिए, बिंदु x 2 \u003d 3 पर, फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है। अंक में फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का एक्स्ट्रेमा पाते हैं: अधिकतम f (2) = 14 और न्यूनतम f (3) = 13।

उदाहरण 3.23।पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि इसे तीन तरफ से तार की जाली से बंद कर दिया जाए और चौथी तरफ की दीवार को जोड़ दिया जाए। इसके लिए है एकग्रिड के रैखिक मीटर। किस पक्षानुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।के माध्यम से साइट के किनारों को निरूपित करें एक्सतथा आप. साइट का क्षेत्रफल S = xy के बराबर है। होने देना आपदीवार से सटे पक्ष की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समता 2x + y = a अवश्य धारण करें। इसलिए y = a - 2x और S = x (a - 2x), जहाँ
0 ≤ एक्स≤ a/2 (पैड की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।एस "= ए - 4x, ए - 4x = 0 एक्स = ए / 4 के लिए, जहां से
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। क्यों कि x = a /4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है। एक्स ए / 4 एस के लिए "> 0, जबकि एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्यों एस(ए/4) = ए/4(ए - ए/2) = ए 2/8 (वर्ग. इकाइयों). चूँकि S निरंतर चालू है और S(0) और S(a/2) के सिरों पर इसके मान शून्य के बराबर हैं, तो पाया गया मान होगा उच्चतम मूल्यकार्य। इस प्रकार, समस्या की दी गई शर्तों के तहत साइट का सबसे अनुकूल पहलू अनुपात y = 2x है।

उदाहरण 3.24।V=16 . की क्षमता वाला एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक हैपी 50 मीटर 3. इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग करने के लिए टैंक (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) के आयाम क्या होने चाहिए?

समाधान।वर्ग पूरी सतहसिलेंडर एस = 2 . हैपी आर (आर + एच)। हम बेलन का आयतन V = . जानते हैंपी आर 2 एन एन \u003d वी / पी आर 2 \u003d 16 पी / पी आर 2 \u003d 16 / आर 2। तो एस (आर) = 2पी (आर2+16/आर)। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस"(आर) \u003d 2 पी (2 आर- 16 / आर 2) \u003d 4 पी (आर- 8 / आर 2)। एस" (आर) = 0 के लिए आर 3 = 8, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4।