शास्त्रीय गणित में, बहुत कुछ प्राथमिक दिखता है। इसलिए, यदि आपको किसी निश्चित फ़ंक्शन के चरम को खोजने की आवश्यकता है, तो इसका व्युत्पन्न लेने का प्रस्ताव है, इसे शून्य के बराबर करें, परिणामी समीकरण को हल करें, आदि। इसमें कोई संदेह नहीं है कि पहली दो क्रियाएं कई स्कूली बच्चों और छात्रों को करने में सक्षम हैं। तीसरे अधिनियम के लिए, मुझे इसकी मौलिकता पर संदेह करना चाहिए।

मान लीजिए कि अवकलज लेने के बाद हम समीकरण पर आते हैं टीजी(एक्स)=1/एक्स. आइए निम्नलिखित परिवर्तन करें:
tg(x)=1/x 10 x tg(x)=1 10 x2 tg=1 10 x2= 1 / tg(x) 10 x = ±.

यहां दिए गए परिवर्तनों की श्रृंखला में कुछ भी आपके विचार को उत्तेजित नहीं करता है, तो शायद बेहतर प्रशिक्षणवहाँ रुकें और कुछ और करें जिसके लिए 20वीं शताब्दी की शुरुआत के संकीर्ण स्कूल के ऊपर ज्ञान के स्तर की आवश्यकता नहीं है।

वास्तव में, हम द्विघात और द्विघात समीकरणों को पूरी तरह से हल करते हैं, सबसे सरल त्रिकोणमितीय और शक्ति समीकरण। ऐसे "मास्टोडन" भी हैं जो क्यूबिक समीकरणों के लिए कार्डानो के सूत्रों के अस्तित्व के बारे में जानते हैं। सामान्य मामले में, हालांकि, एक सरल विश्लेषणात्मक समाधान की कोई उम्मीद नहीं है। इसके अलावा, यह साबित हो गया है कि प्राथमिक कार्यों में चौथी डिग्री से अधिक बीजगणितीय समीकरण भी हल करने योग्य नहीं है। इसलिए, समीकरण का हल दो चरणों में संख्यात्मक रूप से किया जाता है (यहां हम केवल समीकरण की वास्तविक जड़ों के बारे में बात कर रहे हैं)। पहले चरण में, यह है जड़ पृथक्करण- उन अंतरालों की खोज करें जिनमें केवल एक जड़ हो। निर्णय का दूसरा चरण संबंधित है जड़ का शोधनचयनित अंतराल में (किसी दी गई सटीकता के साथ रूट का मान निर्धारित करके)।

1.1. जड़ पृथक्करण

पर सामान्य मामलासमीकरण की जड़ों का पृथक्करण च (एक्स) = 0प्रसिद्ध प्रमेय पर आधारित है जिसमें कहा गया है कि यदि एक सतत कार्य एफ (एक्स)खंड के अंत में विभिन्न संकेतों के मूल्य हैं, अर्थात। एफ (ए) ґ एफ (बी) Ј 0, तो संकेतित अंतराल में कम से कम एक रूट होता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के लिए f(x)= x 3 -6x+2=0हम देखते हैं कि x®Ґ f(x)>0, पर x®-Ґ f(x) , जो पहले से ही कम से कम एक जड़ की उपस्थिति को इंगित करता है।

सामान्य स्थिति में, एक निश्चित श्रेणी का चयन किया जाता है जहां जड़ें पाई जा सकती हैं, और इस श्रेणी के साथ चयनित चरण के साथ "चलना" किया जाता है एचसंकेत परिवर्तन का पता लगाने के लिए एफ (एक्स), अर्थात। एफ(एक्स)Т एफ(एक्स+एच) ।

खोजे गए अंतराल पर जड़ के बाद के शोधन में, कभी भी खोजने की आशा न करें सटीककैलकुलेटर या कंप्यूटर का उपयोग करते समय फ़ंक्शन को शून्य में बदलना और प्राप्त करना, जहां संख्याओं को सीमित संख्या में वर्णों द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ, स्वीकार्य मानदंड हो सकता है शुद्धया रिश्तेदारों की गलती जड़। यदि मूल शून्य के करीब है, तो केवल सापेक्ष त्रुटि ही आवश्यक अंकों की आवश्यक संख्या देगी। यदि यह निरपेक्ष मान में बहुत बड़ा है, तो निरपेक्ष त्रुटि मानदंड अक्सर पूरी तरह से अनावश्यक सही आंकड़े देता है। उन कार्यों के लिए जो जड़ के आसपास तेजी से बदलते हैं, मानदंड का भी उपयोग किया जा सकता है: फ़ंक्शन मान का निरपेक्ष माननिर्दिष्ट अनुमेय त्रुटि से अधिक नहीं है।

1.2. आधे विभाजन की विधि द्वारा जड़ों का स्पष्टीकरण (द्विभाजन)

जड़ शोधन विधियों में सबसे सरल विधि है आधा विभाजन, या द्विभाजन विधि, जिसे फॉर्म में प्रस्तुत समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है च (एक्स) = 0.

एक सतत कार्य करने दें एफ (एक्स)खंड के सिरों पर विभिन्न चिह्नों के मान होते हैं, अर्थात्। एफ (ए) ґ एफ (बी) 0(), तो खंड पर कम से कम एक रूट है।

मध्य बिंदु लें सी=(ए+बी)/2. यदि एक एफ (ए) ґ एफ (सी) Ј 0, तो मूल स्पष्ट रूप से खंड से संबंधित है एकइससे पहले (ए+बी)/2और अन्यथा से (ए+बी)/2इससे पहले बी.

इसलिए, हम इन खंडों में से एक उपयुक्त लेते हैं, इसके मध्य में फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करते हैं, और इसी तरह। जब तक कि अगले खंड की लंबाई निर्दिष्ट सीमा से कम न हो निरपेक्ष त्रुटि (बी-ए) ई.

खंड के मध्य की प्रत्येक क्रमिक गणना के बाद से सीऔर फ़ंक्शन मान च (सी)खोज अंतराल को आधा कर देता है, फिर प्रारंभिक खंड और अधिकतम त्रुटि के साथ इगणना की संख्या एनस्थिति द्वारा निर्धारित किया जाता है (बी-ए)/2एन ई, या n~log 2 ((बी-ए)/ई). उदाहरण के लिए, प्रारंभिक इकाई अंतराल और आदेश सटीकता के साथ 6 संकेत ( ई ~ 10 -6) दशमलव बिंदु के बाद, यह आकर्षित करने के लिए पर्याप्त है 20 फ़ंक्शन मानों की गणना (पुनरावृत्ति)।

मशीन कार्यान्वयन () के दृष्टिकोण से, यह विधि सबसे सरल है और इसका उपयोग कई मानक सॉफ़्टवेयर टूल में किया जाता है, हालांकि अन्य अधिक समय-कुशल तरीके हैं।

1.3. जीवा विधि द्वारा जड़ों का शोधन

द्विभाजन पद्धति के विपरीत, जो केवल फ़ंक्शन मानों के संकेतों पर ध्यान देती है, लेकिन स्वयं मूल्यों पर नहीं, कॉर्ड विधि अंतराल के आनुपातिक विभाजन () का उपयोग करती है।

यहां, खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना की जाती है, और बिंदुओं को जोड़ने के लिए एक "तार" का निर्माण किया जाता है (ए, एफ (ए))तथा (बी, एफ (बी)). x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु

रूट के अगले सन्निकटन के रूप में लिया जाता है। विश्लेषण संकेत एफ (जेड)संकेत की तुलना में एफ (एक्स)खंड के सिरों पर, हम अंतराल को सीमित करते हैं [ ए, ज़ू] या [ जेड, बी] और कॉर्ड बनाने की प्रक्रिया तब तक जारी रखें जब तक कि क्रमिक सन्निकटन के बीच का अंतर पर्याप्त रूप से छोटा न हो (त्रुटि के मार्जिन के भीतर) |जेड एन-जेड एन-1 |ई.

यह साबित किया जा सकता है कि पाए गए सन्निकटन की सही त्रुटि है:

कहाँ पे एक्स*- समीकरण की जड़, Znतथा जेडएन+1- अगले सन्निकटन, एमतथा एम- सबसे छोटा और सबसे बड़ा मूल्य एफ (एक्स)अंतराल पर [ ए, बी].

1.4. स्पर्शरेखा विधि द्वारा जड़ों का शोधन (न्यूटन)

जड़ शोधन विधियों का एक व्यापक समूह द्वारा दर्शाया गया है पुनरावृत्त तरीके- क्रमिक सन्निकटन के तरीके। यहाँ, द्विभाजन विधि के विपरीत, मूल स्थान का प्रारंभिक अंतराल निर्दिष्ट नहीं है, बल्कि इसका प्रारंभिक सन्निकटन है।

पुनरावृत्त विधियों में सबसे लोकप्रिय है न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि).

कुछ अनुमानित मान ज्ञात करें Znजड़ एक्स*. टेलर सूत्र को लागू करना और इसे दो पदों तक सीमित करना, हमारे पास है

कहाँ पे

.

ज्यामितीय रूप से, यह विधि एक वक्र के स्पर्शरेखा के निर्माण का सुझाव देती है वाई = एफ (एक्स)चयनित बिंदु x \u003d Z n पर, x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें और इस बिंदु को रूट () के अगले सन्निकटन के रूप में लें।

जाहिर है, यह विधि केवल कुछ शर्तों को पूरा करने पर ही सन्निकटन की एक अभिसरण प्रक्रिया प्रदान करती है (उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव रूट के आसपास निरंतर और साइन-स्थिर हैं) और यदि उनका उल्लंघन किया जाता है, तो यह या तो एक अलग प्रक्रिया देता है () या किसी अन्य रूट () की ओर जाता है।

जाहिर है, उन कार्यों के लिए जिनका व्युत्पन्न जड़ के पड़ोस में शून्य के करीब है, न्यूटन की विधि का उपयोग करना शायद ही उचित है।

यदि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न रूट के पड़ोस में थोड़ा बदलता है, तो आप विधि के संशोधन का उपयोग कर सकते हैं

.

न्यूटन की विधि के अन्य संशोधन भी हैं।

1.5. सरल पुनरावृत्ति द्वारा जड़ों को परिष्कृत करना

पुनरावृत्त विधियों का एक अन्य प्रतिनिधि है सरल पुनरावृत्ति विधि.

यहाँ समीकरण च (एक्स) = 0तुल्य समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है एक्स = जे (एक्स)और मूल्यों का एक क्रम बनाया गया है

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

संघीय राज्य बजट

शैक्षिक संस्था

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

«समारा राज्य

वास्तुकला और निर्माण विश्वविद्यालय»

अनुप्रयुक्त गणित और कंप्यूटर इंजीनियरिंग विभाग

एक्सेलतथाMathCAD

पद्धति संबंधी निर्देश

प्रयोगशाला के काम के लिए

अनुशासन में "कम्प्यूटेशनल गणित"

समाधान नहीं रेखीय समीकरणमेंएक्सेल औरMathCAD: तरीका। हुक्मनामा। / कॉम्प। , - समारा: एसजीएएसयू, 20पी।

"कम्प्यूटेशनल गणित" अनुशासन के अध्ययन के लिए राज्य शैक्षिक मानक के अनुसार पद्धतिगत निर्देश विकसित किए जाते हैं।

एक्सेल और मैथकैड में गैर-रेखीय समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों के कार्यान्वयन पर विचार किया जाता है। व्यक्तिगत प्रदर्शन के लिए कार्यों के प्रकार और आत्म-नियंत्रण और परीक्षण के लिए प्रश्न दिए गए हैं।

विशेषता 230201 के छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया - " जानकारी के सिस्टमऔर प्रौद्योगिकी ”शिक्षा के सभी रूपों की।

समीक्षक पीएच.डी. एन।

, संकलन, 2012

ã एसजीएएसयू, 2012

1 अरैखिक समीकरण को हल करना

1.1 एक अरेखीय समीकरण के समाधान के बारे में सामान्य जानकारी

एक नियम के रूप में, गैर-रैखिक समीकरण सामान्य दृष्टि से च (एक्स) = 0विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। के लिये व्यावहारिक कार्ययह अनुमानित मूल्य खोजने के लिए पर्याप्त है एक्स, में एक निश्चित अर्थ मेंसमीकरण के सटीक समाधान के करीब खतोचन.

ज्यादातर मामलों में, अनुमानित समाधान की खोज में दो चरण शामिल होते हैं। पर प्रथम चरण अलगजड़ें, यानी, ऐसे खंड खोजें, जिनके अंदर ठीक एक जड़ हो। पर दूसरे चरण स्पष्ट करनाइन खंडों में से किसी एक पर मूल, अर्थात, आवश्यक सटीकता के साथ इसका मान ज्ञात करें।

प्राप्त सटीकता का मूल्यांकन या तो "फ़ंक्शन द्वारा" किया जा सकता है (पाए गए बिंदु पर एक्स, फ़ंक्शन पर्याप्त रूप से 0 के करीब है, यानी शर्त | एफ(एक्स)|≤इएफ, कहाँ पे इएफ y-अक्ष के साथ आवश्यक सटीकता), या "तर्क द्वारा" (एक पर्याप्त छोटा खंड पाया गया था [ एक,बी], जिसके अंदर एक जड़ है, अर्थात्। | बी-ए|≤इएक्स, कहाँ पे इएक्सएक्स-अक्ष पर आवश्यक सटीकता)।

1.2 जड़ों का पृथक्करण

जड़ पृथक्करण एक संयोजन द्वारा किया जा सकता है ग्राफिकतथा विश्लेषणात्मकसमारोह अनुसंधान। इस तरह का एक अध्ययन वीयरस्ट्रैस प्रमेय पर आधारित है, जिसके अनुसार एक खंड पर निरंतर के लिए [ एक,बी]कार्यों च (एक्स) और कोई भी संख्या आप, जो शर्त को पूरा करता है एफ(ए) y≤एफ(बी), इस खंड पर एक बिंदु है एक्स, जिसमें फ़ंक्शन बराबर है आप. इसलिए, के लिए निरंतर कार्ययह उस खंड को खोजने के लिए पर्याप्त है जिसके सिरों पर फ़ंक्शन है विभिन्न संकेत, और आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि इस खंड पर समीकरण की जड़ है च (एक्स) = 0.

कई शोधन विधियों के लिए, यह वांछनीय है कि पहले चरण में पाए गए खंड में समीकरण का केवल एक मूल हो। यदि अंतराल पर फलन मोनोटोनिक हो तो यह स्थिति संतुष्ट होती है। एकरसता को या तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा, या व्युत्पन्न के संकेत द्वारा जांचा जा सकता है।

उदाहरणपूर्णांकों तक खोजें सबअरेखीय समीकरण की जड़ें वाई (एक्स)=x3-10एक्स+7=0 a) एक टेबल बनाकर और b) एक ग्राफ बनाकर। "पैरामीटर चयन" और "समाधान के लिए खोजें" विकल्पों का उपयोग करके चयनित खंड पर समीकरण की जड़ का पता लगाएं।

समाधानआइए एक्सेल में एक टेबल बनाएं जिसमें फ़ंक्शन के तर्क और मान हों और उस पर निर्माण करें स्कैटर प्लॉट . चित्र 1 समाधान का एक स्नैपशॉट है।

ग्राफ से पता चलता है कि समीकरण के खंड [-4, -3], और से संबंधित तीन मूल हैं। इन खंडों को तालिका में फ़ंक्शन के संकेतों के परिवर्तन को देखकर भी पहचाना जा सकता है। निर्मित ग्राफ के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संकेतित खंडों पर फ़ंक्शन एफ(एक्स) मोनोटोन है और इसलिए, उनमें से प्रत्येक में केवल एक जड़ होती है।

मैथकैड पैकेज में भी यही विश्लेषण किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन की परिभाषा टाइप करना पर्याप्त है एफ(एक्स) गणितीय संचालन और मानक कार्यों के लिए असाइनमेंट ऑपरेटर (: =) और प्राकृतिक पारंपरिक संकेतन का उपयोग करके, उदाहरण के लिए, तर्क को बदलने के लिए एक लूप सेट करें, और फिर फ़ंक्शन मानों की तालिका प्रदर्शित करें (उसी पंक्ति पर स्थित) आदेशों के साथ एक्स= एफ(एक्स)= ) और ग्राफ। चक्र निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कमांड के साथ एक्स:=-5,-4.5…5 . चर के प्रारंभिक और निम्नलिखित मानों को सेट करके चक्र चरण का निर्माण किया जाता है, और चर के अंतिम मान से पहले, एक अर्धविराम रखा जाता है, जिसे स्क्रीन पर एक दीर्घवृत्त के रूप में प्रदर्शित किया जाएगा।

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चित्र 1 - गैर-रैखिक समीकरण के मूलों को अलग करने के लिए तालिका और आलेख

1.3 मानक एक्सेल और मैथकैड टूल्स का उपयोग करके जड़ों का शोधन

जड़ों को परिष्कृत करने के सभी तरीकों में, प्रारंभिक सन्निकटन निर्धारित करना आवश्यक है, जिसे बाद में परिष्कृत किया जाएगा। यदि समीकरण के कई मूल हैं, तो उनमें से एक चुने हुए प्रारंभिक सन्निकटन के आधार पर मिलेगा। असफल रूप से चुने गए प्रारंभिक सन्निकटन के साथ, समाधान नहीं मिल सकता है। यदि, गणना के पहले चरण के परिणामस्वरूप, समीकरण के एकल मूल वाले खंड को पहले ही चुना जा चुका है, तो इस खंड के किसी भी बिंदु को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में लिया जा सकता है।

एक्सेल में, जड़ों के मूल्यों को परिष्कृत करने के लिए, आप "पैरामीटर चयन" और "समाधान के लिए खोजें" विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। समाधान तैयार करने का एक उदाहरण चित्र 2 और 3 में दिखाया गया है।

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चित्र 3 - समीकरण को हल करने के साधनों का उपयोग करने के परिणामएक्सेल

Mathcad में, समीकरण की जड़ों को परिष्कृत करने के लिए, आप फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं जड़(….) या निर्णय खंड. रूट (...) फ़ंक्शन का उपयोग करने का एक उदाहरण चित्र 4 में दिखाया गया है, और एक निर्णय ब्लॉक चित्र 5 में दिखाया गया है। ध्यान दें कि निर्णय ब्लॉक में (ब्लॉक हेडर के बाद) दिया गया) समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच होना चाहिए बोल्ड बराबर चिह्न(पहचान), जिसे संबंधित टूल पैलेट से चुनकर या एक साथ कुंजी दबाकर प्राप्त किया जा सकता है Ctrlतथा = .

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चित्र 5 - में हल ब्लॉक का उपयोग करके समीकरण को हल करनाMathCAD

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक मानक उपकरण एक निश्चित सटीकता के साथ समीकरण का हल ढूंढता है। यह सटीकता पैकेज में उपयोग की जाने वाली विधि और कुछ हद तक पैकेज की सेटिंग पर निर्भर करती है। यहां परिणाम की सटीकता को नियंत्रित करना काफी कठिन है, और अक्सर असंभव है।

उसी समय, अपनी खुद की तालिका बनाना या एक प्रोग्राम लिखना बहुत आसान है जो रूट शोधन विधियों में से एक को लागू करता है। यहां आप उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट गणना सटीकता मानदंड का उपयोग कर सकते हैं। साथ ही, मित्रोफ़ानुष्का के सिद्धांत पर भरोसा किए बिना गणना प्रक्रिया की समझ भी प्राप्त की जाती है: "एक ड्राइवर है, वह आपको ले जाएगा।"

नीचे कुछ अधिक सामान्य तरीके दिए गए हैं। स्पष्ट बिंदु पर ध्यान दें: अन्य चीजें समान हैं, वह तरीकाजड़ों का शोधन अधिक कुशल होगा, जिसमें उसी त्रुटि के साथ परिणाम मिलता है छोटेफ़ंक्शन मूल्यांकन की संख्या एफ (एक्स)(इस मामले में, फ़ंक्शन गणना की समान संख्या के साथ अधिकतम सटीकता भी प्राप्त की जाती है)।

1.4 द्विभाजन विधि

इस विधि में प्रत्येक चरण पर खंड को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। फिर, दो हिस्सों में से प्रत्येक के सिरों पर फ़ंक्शन के संकेतों की तुलना की जाती है (उदाहरण के लिए, सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों के उत्पाद के संकेत से), जिसमें समाधान होता है वह निर्धारित किया जाता है ( सिरों पर फ़ंक्शन के संकेत अलग-अलग होने चाहिए), और। खंड को संकीर्ण करें, इसकी सीमा को पाए गए बिंदु पर स्थानांतरित करें ( एकया बी) टर्मिनेशन कंडीशन रूट वाले सेगमेंट का छोटापन है ("सटीकता में एक्स”), या खंड के मध्य में फ़ंक्शन मान के 0 से निकटता ("y में सटीकता")। समीकरण का हल अंतिम चरण में पाए गए खंड का मध्य है।

उदाहरण. समीकरण के मूल को परिशोधित करने के लिए एक तालिका बनाएं एक्स3 –10 एक्स+7=0 खंड पर [-4, -3] खंड को आधे में विभाजित करके। निर्धारित करें कि खंड को आधे में विभाजित करके कितने कदम उठाने की आवश्यकता है और इस मामले में क्या सटीकता प्राप्त की जाती है। एक्स,में सटीकता प्राप्त करने के लिए आप 0.1 के बराबर; 0.01; 0.001.

समाधानसमाधान के लिए, आप एक एक्सेल स्प्रेडशीट का उपयोग कर सकते हैं जो आपको स्वचालित रूप से लाइनों को जारी रखने की अनुमति देता है। पहले चरण में, हम चयनित प्रारंभिक खंड के बाएँ और दाएँ सिरों के मानों को तालिका में दर्ज करते हैं और खंड के मध्य के मान की गणना करते हैं साथ=(एक+बी)/2, और फिर हम एक बिंदु पर फ़ंक्शन की गणना के लिए एक सूत्र पेश करते हैं एक (एफ(एक)) और गणना करने के लिए इसे स्ट्रेच (कॉपी) करें एफ(सी) तथा एफ(बी) अंतिम कॉलम में हम व्यंजक की गणना करते हैं ( बी-एक)/2 गणना सटीकता की डिग्री की विशेषता। सभी टाइप किए गए फ़ार्मुलों को तालिका की दूसरी पंक्ति में कॉपी किया जा सकता है।

दूसरे चरण में, आपको उस आधे खंड को खोजने की प्रक्रिया को स्वचालित करने की आवश्यकता है जिसमें रूट है। ऐसा करने के लिए, तार्किक फ़ंक्शन का उपयोग करें IF ( मेन्यू: इंसर्ट फंक्शन बूलियन)। खंड के नए बाएं किनारे के लिए, हम स्थिति की सच्चाई की जांच करते हैं एफ(एक)*एफ(सी)>0, यदि यह सत्य है, तो हम संख्या को खंड के बाएं छोर के नए मान के रूप में लेते हैं सी एक, सी एक. इसी तरह, खंड के नए दाहिने किनारे के लिए, हम स्थिति की सच्चाई की जांच करते हैं एफ(सी)* एफ(बी)>0, यदि यह सत्य है, तो हम संख्या को खंड के दाहिने छोर के नए मान के रूप में लेते हैं सी(क्योंकि यह स्थिति दर्शाती है कि अंतराल पर जड़ [ सी, बी] नहीं), अन्यथा मान छोड़ दें बी.

बाद की पंक्तियों की आवश्यक संख्या के लिए तालिका की दूसरी पंक्ति को जारी रखा जा सकता है (कॉपी किया जा सकता है)।

पुनरावृति प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब अंतिम कॉलम में अगला मान निर्दिष्ट सटीकता से कम हो जाता है उदा। इस मामले में, अंतिम सन्निकटन में खंड के मध्य के मान को गैर-रेखीय समीकरण के वांछित मूल के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है। चित्र 6 समाधान का एक स्नैपशॉट दिखाता है। मथकैड में एक समान प्रक्रिया बनाने के लिए, आप चित्र 7 में दिखाए गए फॉर्म के समान फॉर्म का उपयोग कर सकते हैं। परिणाम तालिका में आवश्यक सटीकता प्राप्त होने तक चरणों की संख्या भिन्न हो सकती है। तालिका स्वचालित रूप से लंबी या छोटी हो जाएगी।

तो, अरैखिक समीकरण के तीन मूलों में से एक एक्स 3 – 10एक्स+ 7=0 सटीकता के साथ पाया गया e=0.0001 is एक्स= - 3.46686। जैसा कि हम देख सकते हैं, यह वास्तव में खंड [-4; -3]।

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चित्र 7 - खंड को आधा इंच . में विभाजित करके जड़ का शोधनMathCAD

1.5 तार विधि

इस विधि में, अरैखिक फलन एफ (एक्स)अलग अंतराल पर [ ए, बी] को एक रेखीय से बदल दिया जाता है - एक जीवा का समीकरण, यानी, खंड पर ग्राफ के सीमा बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा। विधि की प्रयोज्यता के लिए शर्त प्रारंभिक खंड पर फ़ंक्शन की एकरसता है, जो इस खंड पर जड़ की विशिष्टता को सुनिश्चित करती है। कॉर्ड विधि द्वारा गणना खंड को आधे में विभाजित करने की विधि द्वारा गणना के समान है, लेकिन अब प्रत्येक चरण में एक नया बिंदु है एक्सखंड के अंदर [ एक, बी] की गणना निम्न में से किसी भी सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

(x) > 0 ), या इसकी दाहिनी सीमा: x0 = बी(यदि एफ (बी) एफ "(एक्स)> 0) अगले चरण में एक नए सन्निकटन की गणना मैं+1 सूत्र द्वारा निर्मित:

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चित्र 8 - E . में स्पर्शरेखा विधि द्वारा जड़ का शोधनएक्सेल

Mathcad में गणना इसी तरह से की जाती है। उसी समय, एक ऑपरेटर के इस पैकेज में उपस्थिति से एक महत्वपूर्ण राहत प्रदान की जाती है जो स्वचालित रूप से किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करता है।

न्यूटन की गणना का सबसे अधिक समय लेने वाला तत्व प्रत्येक चरण पर व्युत्पन्न की गणना है।

कुछ शर्तों के तहत इस्तेमाल किया जा सकता है सरलीकृत न्यूटन की विधि, जिसमें व्युत्पन्न की गणना केवल एक बार की जाती है - प्रारंभिक बिंदु पर। इस मामले में, एक संशोधित सूत्र का उपयोग किया जाता है

.

स्वाभाविक रूप से, सरलीकृत विधि, एक नियम के रूप में, की आवश्यकता होती है अधिककदम।

यदि व्युत्पन्न की गणना गंभीर कठिनाइयों से जुड़ी है (उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति द्वारा नहीं दिया जाता है, लेकिन एक प्रोग्राम जो इसके मूल्यों की गणना करता है), एक संशोधित न्यूटन की विधि का उपयोग किया जाता है, जिसे कहा जाता है - छेदक विधि. यहां, व्युत्पन्न की गणना लगभग दो लगातार बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों से की जाती है, अर्थात सूत्र का उपयोग किया जाता है

.

सेकण्ट विधि में एक नहीं, बल्कि दो प्रारम्भिक बिन्दुओं को निर्दिष्ट करना आवश्यक है - एक्स0 तथा एक्स1 . दूरसंचार विभाग x1आमतौर पर एक शिफ्ट द्वारा दिया जाता है X 0खंड की दूसरी सीमा तक एक छोटी राशि, उदाहरण के लिए, 0.01 से।

1.7 संयुक्त विधि

यह दिखाया जा सकता है कि यदि फ़ंक्शन के प्रारंभिक खंड पर एफ (एक्स)पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत अपरिवर्तित रहते हैं, फिर जीवा और न्यूटन की विधियाँ विभिन्न बिंदुओं से जड़ तक पहुँचती हैं। संयुक्त विधि प्रत्येक चरण में दक्षता बढ़ाने के लिए एक ही समय में दोनों एल्गोरिदम का उपयोग करती है। इस मामले में, रूट युक्त अंतराल दोनों तरफ कम हो जाता है, जो खोज को समाप्त करने के लिए एक और शर्त की ओर जाता है। अगले चरण में प्राप्त अंतराल के बीच में जैसे ही खोज को रोका जा सकता है, फ़ंक्शन का मान पूर्व निर्धारित त्रुटि से कम मॉड्यूलो हो जाता है इएफ.

यदि, ऊपर दिए गए नियम के अनुसार, न्यूटन की विधि को खंड की दाहिनी सीमा पर लागू किया जाता है, तो गणना के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

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यदि न्यूटन की विधि को बाईं सीमा पर लागू किया जाता है, - पिछले सूत्रों में, पदनाम उलट दिए जाते हैं एकतथा बी.

1.8 पुनरावृत्ति विधि

इस विधि को लागू करने के लिए, मूल समीकरण च (एक्स) = 0रूप में परिवर्तित: एक्स=आप(एक्स). फिर प्रारंभिक मान चुनें X 0और इसे समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें, सामान्य रूप से प्राप्त करना, एक्स1 = आप(x0)¹ X 0¹ आप(x1), क्यों कि X 0मनमाने ढंग से लिया और समीकरण की जड़ नहीं है। प्राप्त मूल्य x1जड़ के लिए एक और सन्निकटन के रूप में माना जाता है। उसे फिर से फंसाया गया है दाईं ओरसमीकरण और प्राप्त करें अगला मूल्य x2=आप(x1)) गणना सूत्र के अनुसार जारी है xi+1=आप(xi). परिणामी अनुक्रम है: x0, x1, x2, x3 x4,...कुछ शर्तों के तहत जड़ में अभिसरण खतोचन.

यह दिखाया जा सकता है कि स्थिति के तहत पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण करती है
|आप’ (एक्स) | < 1 на [एक, बी].

अस्तित्व विभिन्न तरीकेसमीकरण परिवर्तन एफ (एक्स)= 0 दयालु करने के लिए आप(एक्स) = एक्स, और एक विशिष्ट मामले में, उनमें से कुछ अभिसरण की ओर ले जाएंगे, और अन्य गणना की एक अलग प्रक्रिया के लिए।

फॉर्मूला लागू करने का एक तरीका है

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कहाँ पे एम= अधिकतम | आप’ (एक्स)| पर [ एक, बी].

व्यवस्था एनके साथ अरेखीय समीकरण एनअनजान x1, x2, ..., xnप्रपत्र में लिखा गया है:

कहाँ पे F1, F2,…, एफएनस्वतंत्र चर के कार्य हैं, जिनमें से गैर-रैखिक हैं।

जैसा कि रैखिक समीकरणों के सिस्टम के मामले में होता है, सिस्टम का समाधान ऐसा वेक्टर होता है एक्स*, जो, प्रतिस्थापित होने पर, एक साथ सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है।

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प्रारंभिक मान एक्स0 तथा आप0 ग्राफिक रूप से परिभाषित। प्रत्येक क्रमिक सन्निकटन ज्ञात करने के लिए (ग्यारहवीं+1 , यी+1 ) फ़ंक्शन मानों के वेक्टर और पिछले बिंदु पर गणना किए गए उनके पहले डेरिवेटिव के मूल्यों के मैट्रिक्स का उपयोग करें (ग्यारहवीं, यी) .

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चरण में नए सन्निकटन की गणना करने के लिए मैं+1मैट्रिक्स सूत्र का उपयोग किया जाता है

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उपरोक्त सूत्र विशेष रूप से मथकाड में लिखना आसान है, जहां मैट्रिक्स के साथ डेरिवेटिव और संचालन की गणना के लिए ऑपरेटर हैं। हालाँकि, मैट्रिक्स संचालन के सही उपयोग के साथ, ये सूत्र एक्सेल में काफी सरलता से लिखे गए हैं। सच है, यहां अग्रिम में डेरिवेटिव की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करना आवश्यक है। मैथकैड का उपयोग विश्लेषणात्मक रूप से डेरिवेटिव की गणना के लिए भी किया जा सकता है।

2.3 पुनरावृति विधियों द्वारा अरैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

इन विधियों को लागू करने के लिए, समीकरणों की मूल प्रणाली को स्पष्ट रूप से प्रत्येक चर के लिए बीजीय परिवर्तनों के माध्यम से दूसरों के संदर्भ में व्यक्त किया जाना चाहिए। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों के मामले में, नई प्रणाली का रूप होगा

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यदि सिस्टम के समाधानों में से एक और प्रारंभिक मान एक्स0 तथा आप0 क्षेत्र में झूठ डीअसमानताओं द्वारा दिया गया: एक ≤ एक्स ≤ बी, सी ≤ आप ≤ डी, फिर विधि द्वारा गणना सरल पुनरावृत्तियोंक्षेत्र में क्रियान्वित होने पर अभिसरण करता है डीअनुपात:

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पर सीडल पुनरावृत्ति विधिप्रत्येक गणना के लिए, पहले से ही सबसे अधिक पाया गया सटीक मानहर चर। दो चरों के सुविचारित मामले के लिए, ऐसा तर्क सूत्रों की ओर ले जाता है

0 "शैली =" सीमा-पतन: पतन; सीमा: कोई नहीं ">

उपकरण (विकल्प)

प्रारंभिक सन्निकटन

जड़एक्स

एफ (एक्स)

3. समाधान की सटीकता से परिणामों को क्रमबद्ध करें।

गणित के पाठों में समीकरणों को हल करने के लिए स्कूल में तड़पते हुए, कई छात्रों को अक्सर यकीन होता है कि वे अपना समय बर्बाद कर रहे हैं, और इस बीच, ऐसा कौशल न केवल उन लोगों के लिए जीवन में काम आएगा, जो डेसकार्टेस, यूलर या के नक्शेकदम पर चलने का फैसला करते हैं। लोबचेव्स्की।

व्यवहार में, उदाहरण के लिए, चिकित्सा या अर्थशास्त्र में, अक्सर ऐसी स्थितियां होती हैं जब किसी विशेषज्ञ को यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि किसी विशेष दवा के सक्रिय पदार्थ की एकाग्रता रोगी के रक्त में आवश्यक स्तर तक पहुंच जाती है, या समय की गणना करना आवश्यक है। किसी विशेष व्यवसाय को लाभदायक बनने के लिए आवश्यक है।

बहुधा हम विभिन्न प्रकार के अरैखिक समीकरणों को हल करने के बारे में बात कर रहे हैं। इसे जल्द से जल्द करने के लिए, विशेष रूप से कंप्यूटर के उपयोग के साथ, संख्यात्मक तरीके अनुमति देते हैं। वे अच्छी तरह से अध्ययन कर रहे हैं और लंबे समय से अपनी प्रभावशीलता साबित कर चुके हैं। उनमें से न्यूटन की स्पर्शरेखा पद्धति है, जो इस लेख का विषय है।

समस्या का निरूपण

इस मामले में, एक फ़ंक्शन g होता है, जो खंड (a, b) पर दिया जाता है और उस पर कुछ मान लेता है, अर्थात, प्रत्येक x से संबंधित एक विशिष्ट संख्या g (x) को संबद्ध करना संभव है ( ए, बी)।

अंक a और b (सिरों सहित) के बीच के अंतराल से समीकरण की सभी जड़ों को स्थापित करना आवश्यक है, जिसके लिए फ़ंक्शन शून्य पर सेट है। जाहिर है, ये OX के साथ y = g(x) के प्रतिच्छेदन बिंदु होंगे।

कुछ मामलों में, g(x)=0 को एक समान, g 1 (x) = g 2 (x) से बदलना अधिक सुविधाजनक होता है। इस स्थिति में, ग्राफ़ g 1 (x) और g 2 (x) के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज (x मान) मूल के रूप में कार्य करते हैं।

अनुकूलन समस्याओं के लिए एक गैर-रेखीय समीकरण का समाधान भी महत्वपूर्ण है जिसके लिए स्थिति स्थानीय चरम- फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के 0 में रूपांतरण। दूसरे शब्दों में, इस तरह की समस्या को समीकरण p(x) = 0 की जड़ों को खोजने के लिए कम किया जा सकता है, जहां p(x) g"(x) के समान है।

समाधान के तरीके

कुछ प्रकार के गैर-रेखीय समीकरणों के लिए, जैसे कि वर्ग या सरल त्रिकोणमितीय समीकरण, जड़ों को काफी सरल तरीकों से पाया जा सकता है। विशेष रूप से, प्रत्येक छात्र सूत्रों को जानता है, जिसके उपयोग से आप उन बिंदुओं के तर्क के मूल्यों को आसानी से पा सकते हैं जहां वर्ग ट्रिनोमियल शून्य है।

गैर-रेखीय समीकरणों की जड़ों को निकालने के तरीके आमतौर पर विश्लेषणात्मक (प्रत्यक्ष) और पुनरावृत्त में विभाजित होते हैं। पहले मामले में, वांछित समाधान में एक सूत्र का रूप होता है, जिसके उपयोग से, एक निश्चित संख्या में अंकगणितीय संचालन के लिए, आप वांछित जड़ों का मूल्य पा सकते हैं। घातांक, त्रिकोणमितीय, लघुगणक और प्रारंभिक बीजगणितीय समीकरणों के लिए इसी तरह की विधियाँ विकसित की गई हैं। बाकी के लिए, किसी को विशेष संख्यात्मक विधियों का उपयोग करना होगा। उन्हें कंप्यूटर की मदद से लागू करना आसान है, जो आपको आवश्यक सटीकता के साथ जड़ों को खोजने की अनुमति देता है।

उनमें से तथाकथित है संख्यात्मक विधिस्पर्शरेखा। उत्तरार्द्ध को महान द्वारा प्रस्तावित किया गया था वैज्ञानिक इसाक 17वीं शताब्दी के अंत में न्यूटन। निम्नलिखित शताब्दियों में, विधि में बार-बार सुधार किया गया था।

स्थानीयकरण

संख्यात्मक समाधान जटिल समीकरण, जिनके पास विश्लेषणात्मक समाधान नहीं हैं, इसे 2 चरणों में करने की प्रथा है। पहले आपको उन्हें स्थानीयकृत करने की आवश्यकता है। इस संक्रिया में OX पर ऐसे खंड ज्ञात करना शामिल है जिन पर समीकरण का एक मूल हल किया जा रहा है।

आइए एक खंड पर विचार करें। यदि इस पर g(x) कोई असंततता नहीं है और अंत बिंदुओं पर विभिन्न चिह्नों के मान लेता है, तो a और b के बीच या उनके साथ स्थित है कम से कमसमीकरण g(x) = 0 का 1 मूल। इसके अद्वितीय होने के लिए, यह आवश्यक है कि g(x) मोनोटोनिक नहीं है। जैसा कि ज्ञात है, इसके पास इस शर्त के तहत ऐसा गुण होगा कि g'(x) स्थिर चिह्न का है।

दूसरे शब्दों में, यदि g(x) में कोई असंततता नहीं है और नीरस रूप से बढ़ता या घटता है, और अंत बिंदुओं पर इसके मानों में समान चिह्न नहीं हैं, तो 1 और केवल 1 मूल g(x) है।

इस मामले में, आपको पता होना चाहिए कि यह मानदंड समीकरणों की जड़ों के लिए काम नहीं करेगा जो कि बहु हैं।

आधे में विभाजित करके समीकरण को हल करना

अधिक जटिल संख्यात्मक स्पर्शरेखा और इसकी किस्मों पर विचार करने से पहले), यह सबसे अधिक परिचित होने के लायक है सरल तरीके सेजड़ों की पहचान करना। इसे एक द्विभाजन कहा जाता है और प्रमेय के आधार पर जड़ों की सहज खोज को संदर्भित करता है कि यदि जी (एक्स) के लिए, निरंतर, विभिन्न संकेतों की स्थिति संतुष्ट है, तो विचाराधीन खंड पर कम से कम 1 रूट जी है ( एक्स) = 0।

इसे खोजने के लिए, आपको खंड को आधे में विभाजित करना होगा और मध्य बिंदु को x 2 के रूप में नामित करना होगा। फिर दो विकल्प संभव हैं: g (x 0) * g (x 2) या g (x 2) * g (x 1) 0 के बराबर या उससे कम हैं। हम उसे चुनते हैं जिसके लिए इनमें से एक असमानता सत्य है। हम ऊपर वर्णित प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक कि लंबाई एक निश्चित, पूर्व-चयनित मान से कम न हो जाए, जो पर समीकरण की जड़ को निर्धारित करने की सटीकता को निर्धारित करता है।

विधि के फायदों में इसकी विश्वसनीयता और सरलता शामिल है, और नुकसान यह है कि शुरुआत में उन बिंदुओं की पहचान करने की आवश्यकता होती है जिन पर जी (एक्स) अलग-अलग संकेत लेता है, इसलिए इसका उपयोग बहुलता के साथ जड़ों के लिए भी नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, यह समीकरणों की एक प्रणाली के मामले में या जब जटिल जड़ों की बात आती है, तो इसका सामान्यीकरण नहीं होता है।

उदाहरण 1

आइए हम समीकरण g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 को हल करना चाहते हैं। लंबे समय तक उपयुक्त खंड की तलाश न करने के लिए, हम उदाहरण के लिए, एक ग्राफ का उपयोग करके बनाते हैं, प्रसिद्ध कार्यक्रमएक्सेल। हम देखते हैं कि रूट के स्थानीयकरण के लिए एक खंड के रूप में अंतराल से मान लेना बेहतर है। हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि उस पर वांछित समीकरण का कम से कम एक मूल मौजूद हो।

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, यानी यह एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए चयनित खंड पर केवल 1 रूट है।

समापन बिंदुओं को समीकरण में रखें। हमारे पास क्रमशः 0 और 1 है। पहले चरण में, हम बिंदु 0.5 को हल के रूप में लेते हैं। फिर जी(0.5) = -0.4375। तो, आधा में विभाजित करने के लिए अगला खंड होगा। इसका मध्यबिंदु 0.75 है। इसमें फ़ंक्शन का मान 0.226 है। हम खंड और उसके मध्य बिंदु पर विचार करते हैं, जो बिंदु 0.625 पर स्थित है। g(x) से 0.625 तक के मान की गणना करें। यह -0.11 के बराबर है, यानी ऋणात्मक। इस परिणाम के आधार पर, हम खंड चुनते हैं। हमें x = 0.6875 प्राप्त होता है। फिर जी(एक्स) = -0.00532। यदि विलयन की शुद्धता 0.01 है, तो हम मान सकते हैं कि वांछित परिणाम 0.6875 है।

सैद्धांतिक आधार

न्यूटन की स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके जड़ों को खोजने की यह विधि बहुत तेजी से अभिसरण के कारण लोकप्रिय है।

यह सिद्ध तथ्य पर आधारित है कि यदि x n एक मूल f(x)=0 का एक सन्निकटन है जैसे कि f" C 1 , तो अगला सन्निकटन उस बिंदु पर होगा जहां f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण गायब हो जाता है। , अर्थात।

x = x n+1 को प्रतिस्थापित करें और y को शून्य पर सेट करें।

तब स्पर्शरेखा इस तरह दिखती है:

उदाहरण 2

आइए शास्त्रीय न्यूटन की स्पर्शरेखा पद्धति का उपयोग करने का प्रयास करें और कुछ गैर-रेखीय समीकरणों का समाधान खोजें जो विश्लेषणात्मक रूप से खोजना मुश्किल या असंभव है।

मान लीजिए कि x 3 + 4x - 3 = 0 के मूल को कुछ सटीकता के साथ प्रकट करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए 0.001। जैसा कि आप जानते हैं, विषम कोटि के बहुपद के रूप में किसी फलन का ग्राफ कम से कम एक बार OX अक्ष को पार करना चाहिए, अर्थात जड़ों के अस्तित्व पर संदेह करने का कोई कारण नहीं है।

स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके हमारे उदाहरण को हल करने से पहले, हम f (x) \u003d x 3 + 4x - 3 बिंदु से प्लॉट करते हैं। यह करना बहुत आसान है, उदाहरण के लिए, एक्सेल स्प्रेडशीट का उपयोग करना। परिणामी ग्राफ से, यह देखा जाएगा कि यह OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है और फ़ंक्शन y \u003d x 3 + 4x - 3 नीरस रूप से बढ़ता है। हम सुनिश्चित हो सकते हैं कि समीकरण x 3 + 4x - 3 = 0 का एक हल है और यह अद्वितीय है।

कलन विधि

स्पर्शरेखा विधि द्वारा समीकरणों का कोई भी हल f "(x) की गणना से शुरू होता है। हमारे पास है:

तब दूसरा व्युत्पन्न x * 6 जैसा दिखेगा।

इन व्यंजकों का उपयोग करते हुए, हम सूत्र में स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके समीकरण की जड़ों की पहचान करने के लिए सूत्र लिख सकते हैं:

इसके बाद, आपको एक प्रारंभिक सन्निकटन चुनने की आवश्यकता है, अर्थात, यह तय करें कि किस बिंदु को प्रारंभिक बिंदु (rev. x 0) के रूप में माना जाए। पुनरावृति कार्य. हम खंड के सिरों पर विचार करते हैं। जिसके लिए फलन की शर्त और x 0 पर उसका दूसरा अवकलज सत्य है, हमारे लिए उपयुक्त है। जैसा कि आप देख सकते हैं, x 0 = 0 को प्रतिस्थापित करते समय, इसका उल्लंघन होता है, लेकिन x 0 = 1 काफी उपयुक्त होता है।

तब यदि हम e की सटीकता के साथ स्पर्शरेखा विधि द्वारा हल में रुचि रखते हैं, तो x n के मान को समस्या की आवश्यकताओं को पूरा करने वाला माना जा सकता है, बशर्ते कि असमानता |f(x n) / f'(x n)|< e.

स्पर्शरेखा के पहले चरण में हमारे पास है:

• x 1 \u003d x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) \u003d 1- 0.2857 \u003d 0.71429;
• चूंकि शर्त पूरी नहीं हुई है, हम आगे बढ़ते हैं;
• हमें x 2 के लिए एक नया मान मिलता है, जो 0.674 के बराबर है;
• हम देखते हैं कि x 2 में फलन के मान और उसके अवकलज का अनुपात 0.0063 से कम है, हम इस प्रक्रिया को रोक देते हैं।

एक्सेल में स्पर्शरेखा विधि

यदि आप मैन्युअल रूप से (कैलकुलेटर पर) गणना नहीं करते हैं, लेकिन Microsoft से स्प्रेडशीट प्रोसेसर की क्षमताओं का उपयोग करते हैं, तो आप पिछले उदाहरण को बहुत आसान और तेज़ हल कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, एक्सेल में, आपको बनाना होगा नया पृष्ठऔर इसके कक्षों को निम्नलिखित सूत्रों से भरें:

• C7 में हम लिखते हैं "= POWER (B7; 3) + 4 * B7 - 3";
• D7 में हम "= 4 + 3 * DEGREE (B7; 2)" दर्ज करते हैं;
• E7 में हम लिखते हैं "= (पावर (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7; 2) + 4)";
• D7 में हम व्यंजक "= B7 - E7" दर्ज करते हैं;
• B8 में हम सूत्र-शर्त दर्ज करते हैं “= IF (E7 .)< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

एक विशिष्ट कार्य में, पहले से ही सेल बी 10 में, शिलालेख "पुनरावृत्तियों का समापन" दिखाई देगा, और समस्या को हल करने के लिए आपको ऊपर एक पंक्ति में स्थित सेल में लिखे गए नंबर को लेने की आवश्यकता होगी। इसके लिए आप वहां एक सशर्त सूत्र दर्ज करके एक अलग "स्ट्रेचेबल" कॉलम का चयन भी कर सकते हैं, जिसके अनुसार कॉलम बी के एक या दूसरे सेल में सामग्री "पुनरावृत्तियों का समापन" रूप लेती है, तो परिणाम वहां लिखा जाएगा।

पास्कल में कार्यान्वयन

आइए पास्कल में स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके गैर-रैखिक समीकरण y = x 4 - 4 - 2 * x का हल प्राप्त करने का प्रयास करें।

हम एक सहायक फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं जो अनुमानित गणना करने में मदद करेगा f "(x) \u003d (f (x + डेल्टा) - f (x)) / डेल्टा। पुनरावृत्ति प्रक्रिया को पूरा करने के लिए एक शर्त के रूप में, हम चुनेंगे असमानता की पूर्ति x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

कार्यक्रम इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसे व्युत्पन्न की मैन्युअल गणना की आवश्यकता नहीं है।

राग विधि

गैर-रैखिक समीकरणों की जड़ों की पहचान करने के एक अन्य तरीके पर विचार करें। पुनरावृत्ति प्रक्रिया में यह तथ्य शामिल है कि f(x)=0 के लिए वांछित जड़ के क्रमिक सन्निकटन के रूप में, अंत बिंदुओं के भुज के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के मान और OX के साथ b लिए जाते हैं , x 1 , ..., x n के रूप में निरूपित। हमारे पास है:

उस बिंदु के लिए जहां जीवा OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करती है, व्यंजक इस प्रकार लिखा जाएगा:

माना x £ . के लिए दूसरा अवकलज धनात्मक है (यदि हम f(x) = 0) लिखते हैं तो विपरीत स्थिति विचाराधीन स्थिति में आ जाती है। इस मामले में, ग्राफ y \u003d f (x) नीचे एक वक्र उत्तल है और जीवा के नीचे स्थित है अब. 2 स्थितियाँ हो सकती हैं: जब फलन बिंदु a पर धनात्मक हो या बिंदु b पर ऋणात्मक हो।

पहले मामले में, हम अंत a को निश्चित के रूप में चुनते हैं, और x 0 के लिए बिंदु b लेते हैं। फिर ऊपर प्रस्तुत सूत्र के अनुसार क्रमिक सन्निकटन एक अनुक्रम बनाते हैं जो नीरस रूप से घटता है।

दूसरे मामले में, अंत b x 0 = a पर स्थिर है। प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण में प्राप्त x मान एक अनुक्रम बनाते हैं जो एकरस रूप से बढ़ रहा है।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि:

• जीवाओं की विधि में नियत खंड का वह सिरा होता है जहां फलन के चिह्न और उसका दूसरा अवकलज मेल नहीं खाते;
• मूल x - x m के लिए सन्निकटन उस ओर से स्थित है जहाँ f (x) का एक चिन्ह है जो f "" (x) के चिन्ह से मेल नहीं खाता है।

पुनरावृत्तियों को तब तक जारी रखा जा सकता है जब तक कि जड़ों की निकटता की शर्तें इस पर संतुष्ट न हों और पिछले पुनरावृत्ति चरण मोडुलो एब्स (एक्स एम - एक्स एम -1)< e.

संशोधित विधि

जीवा और स्पर्शरेखा की संयुक्त विधि आपको समीकरण की जड़ों को स्थापित करने की अनुमति देती है, उनके पास विभिन्न पक्षों से। ऐसा मान, जिस पर f(x) ग्राफ़ OX को काटता है, आपको प्रत्येक विधि का अलग-अलग उपयोग करने की तुलना में समाधान को बहुत तेज़ी से परिष्कृत करने की अनुमति देता है।

मान लीजिए कि हमें जड़ें f(x)=0 खोजने की जरूरत है यदि वे मौजूद हैं। आप ऊपर वर्णित किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं। हालांकि, उनके संयोजन का प्रयास करना बेहतर है, जो जड़ की सटीकता में काफी वृद्धि करेगा।

हम इस स्थिति के अनुरूप प्रारंभिक सन्निकटन के मामले पर विचार करते हैं कि पहले और दूसरे डेरिवेटिव के एक विशेष बिंदु x पर अलग-अलग संकेत होते हैं।

ऐसी स्थितियों के तहत, स्पर्शरेखा विधि द्वारा गैर-रेखीय समीकरणों का समाधान आपको x 0 = b के साथ एक रूट खोजने की अनुमति देता है, और एक निश्चित अंत b पर जीवा का उपयोग करने की विधि एक नुकसान के साथ एक अनुमानित रूट खोजने की ओर ले जाती है।

प्रयुक्त सूत्र:

अब अंतराल में वांछित मूल x की तलाश की जानी चाहिए। अगले चरण में, आपको इस सेगमेंट में पहले से ही संयुक्त विधि लागू करने की आवश्यकता है। इस प्रकार आगे बढ़ते हुए, हमें फॉर्म के सूत्र मिलते हैं:

यदि पहले और दूसरे डेरिवेटिव के बीच साइन में अंतर है, तो, इसी तरह से बहस करते हुए, रूट को परिष्कृत करने के लिए, हम निम्नलिखित पुनरावर्ती सूत्र प्राप्त करते हैं:

एक शर्त के रूप में, अनुमानित असमानता | बी एन +1 - ए एन +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

यदि उपरोक्त असमानता सत्य है, तो एक बिंदु को दिए गए अंतराल पर गैर-रेखीय समीकरण की जड़ के रूप में लिया जाता है, जो एक विशेष पुनरावृत्ति चरण में पाए गए समाधानों के ठीक बीच में होता है।

संयुक्त विधि आसानी से टर्बो पास्कल वातावरण में लागू की जाती है। एक तीव्र इच्छा के साथ, आप एक्सेल प्रोग्राम में सारणीबद्ध विधि का उपयोग करके सभी गणनाओं को करने का प्रयास कर सकते हैं।

बाद के मामले में, कॉर्ड का उपयोग करके समस्या को हल करने के लिए और आइजैक न्यूटन द्वारा प्रस्तावित विधि के लिए अलग से कई स्तंभों का चयन किया जाता है।

इस मामले में, प्रत्येक पंक्ति का उपयोग दो विधियों के लिए एक विशिष्ट पुनरावृत्त चरण पर गणना रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता है। फिर, समाधान क्षेत्र के बाएं हिस्से में, सक्रिय कार्य पृष्ठ पर, एक कॉलम हाइलाइट किया जाता है जिसमें प्रत्येक विधि के लिए अगले पुनरावृत्ति चरण के मूल्यों में अंतर के मॉड्यूल की गणना का परिणाम दर्ज किया जाता है। तार्किक निर्माण "आईएफ" के गणना सूत्र के अनुसार गणना के परिणामों को दर्ज करने के लिए एक और का उपयोग किया जा सकता है, यह पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है कि शर्त पूरी हुई है या नहीं।

अब आप जानते हैं कि जटिल समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। स्पर्शरेखा विधि, जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, पास्कल और एक्सेल दोनों में काफी सरलता से लागू किया गया है। इसलिए, आप हमेशा एक समीकरण की जड़ें स्थापित कर सकते हैं जो सूत्रों का उपयोग करके हल करना मुश्किल या असंभव है।

मान लीजिए समीकरण के मूल का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) = 0, इसे निरूपित करें एक्स एन. गणना सूत्र न्यूटन की विधिअगला सन्निकटन निर्धारित करने के लिए एक्स एन+1 दो तरह से प्राप्त किया जा सकता है।

पहली विधि न्यूटन की विधि के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करती है और इस तथ्य में समाहित है कि फ़ंक्शन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के बजाय आप = एफ(एक्स) अक्ष के साथ बैल, हम अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश कर रहे हैं बैलबिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा ( एक्स एन, एफ(एक्स एन)) जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 2.6. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है।

चावल। 2.7. न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा)

अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बैलचर वाई = 0. बराबरी करना आपशून्य, हम व्यक्त करते हैं एक्सऔर सूत्र प्राप्त करें स्पर्शरेखा विधि:

(2.6)

दूसरा तरीका। फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स) बिंदु के आसपास एक टेलर श्रृंखला में एक्स = एक्स एन:

के संबंध में हम स्वयं को रैखिक तक सीमित रखते हैं ( एक्स-एक्सएन) शब्द, हम शून्य के बराबर करते हैं एफ(एक्स) और, परिणामी समीकरण से अज्ञात को व्यक्त करना एक्सऔर इसे के माध्यम से निरूपित करना एक्स एन+1, हमें सूत्र (2.6) मिलता है।

आइए हम न्यूटन की विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तें प्रस्तुत करें।

प्रमेय 2.3.निम्नलिखित शर्तों को अंतराल पर संतुष्ट होने दें:

1) फलन और उसके अवकलज दोनों निरंतर हैं;

2) व्युत्पन्न और शून्य से अलग हैं और कुछ स्थिर संकेतों को बनाए रखते हैं;

3) (फ़ंक्शन खंड पर संकेत बदलता है)।

फिर एक खंड होता है जिसमें समीकरण की आवश्यक जड़ होती है, जिस पर पुनरावृत्त अनुक्रम अभिसरण होता है। यदि, शून्य सन्निकटन के रूप में, हम उस सीमा बिंदु को चुनते हैं जिस पर फ़ंक्शन का चिह्न दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न के साथ मेल खाता है, अर्थात। , तो पुनरावृत्त अनुक्रम एकरसता में परिवर्तित हो जाता है (चित्र 2.8)।

सबूत. चूंकि यह निरंतर है, संकेत बदलता है और एकरस है, तो रूट अलगाव अंतराल है। आइए वांछित रूट को द्वारा निरूपित करें। समारोह पर विचार करें और इसका व्युत्पन्न खोजें। तो, निरंतर है, बिंदु पर गायब हो जाता है, क्योंकि इस बिंदु पर फ़ंक्शन गायब हो जाता है। इसलिए, एक ऐसा खंड () है कि . यदि हम खण्ड के उस भाग को लें जहाँ , तो, इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ रहा है, लेकिन फिर अनुक्रम एकरस है।

चावल। 2.8. न्यूटन की विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तें

टिप्पणी।ध्यान दें कि जीवाओं की विधि विपरीत दिशा से आती है, और ये दोनों विधियाँ इस प्रकार हैं एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं, और संयोजन भी संभव है तार-स्पर्शरेखा विधि.

उदाहरण 2.7.समीकरण के मूल को न्यूटन की विधि द्वारा 0.000001 तक परिशोधित करें
पाप 5 एक्स+ एक्स 2 – 1 = 0. प्रारंभिक मान के रूप में लें एक्स 0 = – 0,7.

समाधान।आइए व्युत्पन्न खोजें .

एक्सेल प्रोग्राम में, गणना सूत्र दर्ज करें:

1) आइए श्रेणी के कक्षों में सूत्र और संकेतन का परिचय दें ए 1:डी 3 और इसे फ़ार्मुलों के साथ सेल के फिल मार्कर से कॉपी करें: बी 3 - पहले बी 5,
सी 2 - पहले सी 5, डी 2 - पहले डी 5;

तालिका 2.9

गणना परिणाम तालिका 2.10 में दिखाए गए हैं। मूल मान प्राप्त किया गया था - 0.726631609 - 0.726632 0.000001 की त्रुटि के साथ।

तालिका 2.10

आइए एक्सेल में फंक्शन बनाएंन्यूटन की विधि द्वारा उदाहरण 2.7 से समीकरण को हल करने के लिए।