पुनरावृति विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करना। सरल पुनरावृत्ति द्वारा धीमा समाधान

पुनरावृत्त विधियों का लाभ खराब स्थिति वाली प्रणालियों और उच्च क्रम की प्रणालियों के लिए उनकी प्रयोज्यता, उनका आत्म-सुधार और एक पीसी पर कार्यान्वयन में आसानी है। गणना शुरू करने के लिए पुनरावृत्त विधियों को वांछित समाधान के लिए कुछ प्रारंभिक सन्निकटन की आवश्यकता होती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की स्थिति और दर अनिवार्य रूप से मैट्रिक्स के गुणों पर निर्भर करती है लेकिनप्रणाली और प्रारंभिक सन्निकटन की पसंद पर।

पुनरावृत्ति विधि को लागू करने के लिए, मूल प्रणाली (2.1) या (2.2) को फॉर्म में कम किया जाना चाहिए

फिर पुनरावृति कार्यपुनरावर्ती सूत्रों द्वारा किया जाता है

, क = 0, 1, 2, ... . (2.26एक)

आव्यूह जीऔर वेक्टर सिस्टम (2.1) के परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं।

अभिसरण के लिए (2.26 एक) |l . के लिए आवश्यक और पर्याप्त है मैं(जी)| < 1, где lमैं(जी) - सब eigenvaluesमैट्रिक्स जी. अभिसरण भी होगा अगर || जी|| < 1, так как |lमैं(जी)| < " ||जी||, जहां " कोई है।

प्रतीक || ... || मतलब मैट्रिक्स का मानदंड। इसका मूल्य निर्धारित करते समय, वे अक्सर दो स्थितियों की जाँच करना बंद कर देते हैं:

||जी|| = या || जी|| = , (2.27)

कहाँ पे । मूल मैट्रिक्स होने पर अभिसरण की भी गारंटी है लेकिनएक विकर्ण प्रधानता है, अर्थात्।

. (2.28)

यदि (2.27) या (2.28) संतुष्ट है, तो पुनरावृत्ति विधि किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण करती है। अक्सर, वेक्टर को या तो शून्य या एकता के रूप में लिया जाता है, या स्वयं वेक्टर को (2.26) से लिया जाता है।

मूल प्रणाली (2.2) को मैट्रिक्स के साथ बदलने के कई तरीके हैं लेकिनफॉर्म (2.26) सुनिश्चित करने के लिए या अभिसरण शर्तों (2.27) और (2.28) को पूरा करने के लिए।

उदाहरण के लिए, (2.26) निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना लेकिन = पर+ से, अलग पर 0; फिर ( बी+ से)= Þ बी= −सी+ Þ Þ बी –1 बी= −बी –1 सी+ बी-1, कहाँ से = − बी –1 सी+ बी –1 .

लगाना - बी –1 सी = जी, बी-1 = , हम प्राप्त करते हैं (2.26)।

अभिसरण स्थितियों (2.27) और (2.28) से यह देखा जाता है कि प्रतिनिधित्व लेकिन = पर+ सेमनमाना नहीं हो सकता।

यदि मैट्रिक्स लेकिनशर्तों को संतुष्ट करता है (2.28), फिर एक मैट्रिक्स के रूप में परआप निचला त्रिकोणीय चुन सकते हैं:

, एक ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

पैरामीटर a चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि || जी|| = ||इ+ ए ए|| < 1.

यदि (2.28) प्रबल होता है, तो (2.26) में परिवर्तन प्रत्येक को हल करके किया जा सकता है मैंप्रणाली का वां समीकरण (2.1) के संबंध में एक्स मैंनिम्नलिखित पुनरावर्ती सूत्रों के अनुसार:

(2.28एक)

यदि मैट्रिक्स में लेकिनकोई विकर्ण प्रधानता नहीं है, इसे कुछ रैखिक परिवर्तनों की सहायता से प्राप्त किया जाना चाहिए जो उनके समकक्ष का उल्लंघन नहीं करते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, सिस्टम पर विचार करें

(2.29)

जैसा कि देखा जा सकता है, समीकरणों (1) और (2) में कोई विकर्ण प्रभुत्व नहीं है, लेकिन (3) में है, इसलिए हम इसे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

आइए हम समीकरण (1) में विकर्ण प्रभुत्व प्राप्त करें। (1) को a से (2) b से गुणा करें, दोनों समीकरणों को जोड़ें, और परिणामी समीकरण में a और b चुनें ताकि विकर्ण प्रभुत्व हो:

(2ए + 3बी) एक्स 1 + (-1.8a + 2b) एक्स 2 +(0.4a - 1.1b) एक्स 3 = ए.

a = b = 5 लेने पर, हमें 25 . प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 – 3,5एक्स 3 = 5.

समीकरण (2) को प्रभुत्व (1) के साथ बदलने के लिए, हम g से गुणा करते हैं, (2) हम d से गुणा करते हैं, और (2) से (1) घटाते हैं। प्राप्त

(3 डी - 2 जी) एक्स 1+(2d+1.8g) एक्स 2 +(-1.1d - 0.4g) एक्स 3 = -जी।

d = 2, g = 3 रखने पर हमें 0 . प्राप्त होता है एक्स 1 + 9,4 एक्स 2 – 3,4 एक्स 3 = -3। नतीजतन, हमें सिस्टम मिलता है

(2.30)

इस तकनीक का उपयोग मैट्रिसेस की एक विस्तृत श्रेणी के समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है।

या

प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में वेक्टर लेना = (0.2; -0.32; 0) टी, हम तकनीक का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करेंगे (2.26 .) एक):

क = 0, 1, 2, ... .

गणना प्रक्रिया तब रुक जाती है जब समाधान वेक्टर के दो पड़ोसी सन्निकटन सटीकता में मेल खाते हैं, अर्थात।

.

प्रपत्र की पुनरावृत्त समाधान तकनीक (2.26 .) एक) नामांकित किया गया है सरल पुनरावृत्ति द्वारा .

श्रेणी पूर्ण त्रुटिसरल पुनरावृत्ति विधि के लिए:

जहां प्रतीक || ... || मतलब मानदंड।

उदाहरण 2.1. ई = 0.001 की सटीकता के साथ सरल पुनरावृत्ति की विधि का उपयोग करके, सिस्टम को हल करें रेखीय समीकरण:

ई = 0.001 का सटीक उत्तर देने वाले चरणों की संख्या संबंध से निर्धारित की जा सकती है

£0.001।

आइए हम सूत्र (2.27) द्वारा अभिसरण का अनुमान लगाएं। यहाँ || जी|| = = अधिकतम (0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में, हम मुक्त पदों का सदिश लेते हैं, अर्थात् = (2.15; -0.83; 1.16; 0.44) टी. हम वेक्टर के मूल्यों को (2.26 .) में प्रतिस्थापित करते हैं एक):

गणना जारी रखते हुए, हम तालिका में परिणाम दर्ज करेंगे:

क	एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

हज़ारों में अभिसरण पहले से ही 10वें चरण में होता है।

उत्तर: एक्स 1 »3.571; एक्स 2 »-0.957; एक्स 3 »1.489; एक्स 4 "-0.836.

यह समाधान सूत्रों का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है (2.28 .) एक).

उदाहरण 2.2. सूत्रों का उपयोग करके एल्गोरिथ्म को चित्रित करने के लिए (2.28 .) एक) सिस्टम के समाधान पर विचार करें (केवल दो पुनरावृत्तियों):

; . (2.31)

आइए हम सिस्टम को (2.28 .) के अनुसार फॉर्म (2.26) में बदलें एक):

Þ (2.32)

आइए प्रारंभिक सन्निकटन लें = (0; 0; 0) टी. फिर के लिए क= 0 स्पष्ट रूप से मूल्य = (0.5; 0.8; 1.5) टी. आइए हम इन मानों को (2.32) में प्रतिस्थापित करें, अर्थात्, for क= 1 हमें मिलता है = (1.075; 1.3; 1.175) टी.

त्रुटि ई 2 = = अधिकतम (0.575; 0.5; 0.325) = 0.575।

विधि द्वारा SLAE का समाधान खोजने के लिए एल्गोरिथम का ब्लॉक आरेख सरल पुनरावृत्तियोंकार्य सूत्रों के अनुसार (2.28 .) एक) अंजीर में दिखाया गया है। 2.4.

ब्लॉक आरेख की एक विशेषता निम्नलिखित ब्लॉकों की उपस्थिति है:

- खंड 13 - इसके उद्देश्य पर नीचे चर्चा की गई है;

- ब्लॉक 21 - स्क्रीन पर परिणाम प्रदर्शित करना;

- ब्लॉक 22 - अभिसरण का सत्यापन (संकेतक)।

आइए प्रणाली के उदाहरण पर प्रस्तावित योजना का विश्लेषण करें (2.31) ( एन= 3, डब्ल्यू = 1, ई = 0.001):

= ; .

अवरोध पैदा करना 1. प्रारंभिक डेटा दर्ज करें ए, , हम, एन: एन= 3, डब्ल्यू = 1, ई = 0.001।

साइकिल I. वैक्टर के प्रारंभिक मान सेट करें एक्स 0मैंतथा एक्स मैं (मैं = 1, 2, 3).

अवरोध पैदा करना 5. पुनरावृत्तियों की संख्या के काउंटर को रीसेट करें।

अवरोध पैदा करना 6. वर्तमान त्रुटि काउंटर को रीसेट करें।

परलूप II मैट्रिक्स की पंक्ति संख्याओं को बदलता है लेकिनऔर वेक्टर।

साइकिल II:मैं = 1: एस = बी 1 = 2 (ब्लॉक 8)।

नेस्टेड लूप III पर जाएं, ब्लॉक 9 - मैट्रिक्स कॉलम की संख्या का काउंटर लेकिन: जे = 1.

अवरोध पैदा करना 10: जे = मैं, इसलिए, हम ब्लॉक 9 पर लौटते हैं और बढ़ाते हैं जेप्रति यूनिट: जे = 2.

ब्लॉक 10 . में जे ¹ मैं(2 1) - ब्लॉक 11 पर जाएँ।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 2 - (-1) × एक्स 0 2 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, ब्लॉक 9 पर जाएं, जिसमें जेएक से बढ़ो: जे = 3.

ब्लॉक 10 में, शर्त जे ¹ मैंनिष्पादित, इसलिए ब्लॉक 11 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 2 - (-1) × एक्स 0 3 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, जिसके बाद हम ब्लॉक 9 में जाते हैं, जिसमें जेएक से वृद्धि ( जे= 4)। अर्थ जेअधिक एन (एन= 3) - लूप को समाप्त करें और ब्लॉक 12 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 12: एस = एस / एक 11 = 2 / 4 = 0,5.

अवरोध पैदा करना 13: डब्ल्यू = 1; एस = एस + 0 = 0,5.

अवरोध पैदा करना 14: डी = | एक्स मैं – एस | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

अवरोध पैदा करना 15: एक्स मैं = 0,5 (मैं = 1).

अवरोध पैदा करना 16. स्थिति की जाँच करें डी > डे: 0.5 > 0, इसलिए, ब्लॉक 17 पर जाएँ, जिसमें हम असाइन करते हैं डे= 0.5 और संदर्भ द्वारा वापसी " लेकिन» चक्र II के अगले चरण में - ब्लॉक7 तक, जिसमें मैंएक की वृद्धि।

साइकिल II: मैं = 2: एस = बी 2 = 4 (ब्लॉक 8)।

जे = 1.

ब्लॉक 10 . के माध्यम से जे ¹ मैं(1 2) - ब्लॉक 11 पर जाएँ।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 4 - 1 × 0 = 4, ब्लॉक 9 पर जाएँ, जिसमें जेएक से बढ़ो: जे = 2.

ब्लॉक 10 में, शर्त पूरी नहीं होती है, इसलिए हम ब्लॉक 9 में जाते हैं, जिसमें जेएक से बढ़ो: जे= 3. सादृश्य से, हम ब्लॉक 11 को पास करते हैं।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 4 - (-2) × 0 = 4, जिसके बाद हम चक्र III समाप्त करते हैं और ब्लॉक 12 पर जाते हैं।

अवरोध पैदा करना 12: एस = एस/ एक 22 = 4 / 5 = 0,8.

अवरोध पैदा करना 13: डब्ल्यू = 1; एस = एस + 0 = 0,8.

अवरोध पैदा करना 14: डी = | 1 – 0,8 | = 0,2.

अवरोध पैदा करना 15: एक्स मैं = 0,8 (मैं = 2).

अवरोध पैदा करना 16. स्थिति की जाँच करें डी > डे: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «लेकिन» चक्र II के अगले चरण के लिए - ब्लॉक 7 तक।

साइकिल II: मैं = 3: एस = बी 3 = 6 (ब्लॉक 8)।

नेस्टेड लूप III, ब्लॉक 9 पर जाएं: जे = 1.

अवरोध पैदा करना 11: एस= 6 - 1 × 0 = 6, ब्लॉक 9 पर जाएँ: जे = 2.

ब्लॉक 10 के माध्यम से, हम ब्लॉक 11 के लिए आगे बढ़ते हैं।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 6 - 1 × 0 = 6. चक्र III समाप्त करें और ब्लॉक 12 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 12: एस = एस/ एक 33 = 6 / 4 = 1,5.

अवरोध पैदा करना 13: एस = 1,5.

अवरोध पैदा करना 14: डी = | 1 – 1,5 | = 0,5.

अवरोध पैदा करना 15: एक्स मैं = 1,5 (मैं = 3).

खंड 16 के अनुसार (संदर्भों को ध्यान में रखते हुए " लेकिन" तथा " से”) चक्र II से बाहर निकलें और ब्लॉक 18 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 18. पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ाएँ यह = यह + 1 = 0 + 1 = 1.

चक्र IV के खंड 19 और 20 में, हम प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 0मैंप्राप्त मूल्य एक्स मैं (मैं = 1, 2, 3).

अवरोध पैदा करना 21. छपाई मध्यवर्ती मूल्यवर्तमान पुनरावृत्ति, इस मामले में: = (0.5; 0.8; 1.5) टी, यह = 1; डे = 0,5.

ब्लॉक 7 पर चक्र II पर जाएं और नए प्रारंभिक मूल्यों के साथ गणना की गई गणना करें एक्स 0मैं (मैं = 1, 2, 3).

जिसके बाद हमें मिलता है एक्स 1 = 1,075; एक्स 2 = 1,3; एक्स 3 = 1,175.

यहाँ, फिर, सीडल विधि अभिसरण करती है।

सूत्रों द्वारा (2.33)

क	एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

उत्तर: एक्स 1 = 0,248; एक्स 2 = 1,115; एक्स 3 = –0,224.

टिप्पणी. यदि समान प्रणाली के लिए सरल पुनरावृत्ति और सीडल विधियाँ अभिसरण करती हैं, तो सीडल विधि बेहतर है। हालाँकि, व्यवहार में, इन विधियों के अभिसरण के क्षेत्र भिन्न हो सकते हैं, अर्थात, सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है, जबकि सीडल विधि भिन्न होती है, और इसके विपरीत। दोनों तरीकों के लिए, अगर || जी|| के करीब इकाई, अभिसरण की दर बहुत कम है।

अभिसरण में तेजी लाने के लिए, एक कृत्रिम तकनीक का उपयोग किया जाता है - तथाकथित विश्राम विधि . इसका सार इस तथ्य में निहित है कि पुनरावृत्ति विधि द्वारा प्राप्त अगला मान एक्स मैं (क) सूत्र के अनुसार पुनर्गणना की जाती है

जहां w को आमतौर पर 0 से 2 (0 .) में बदला जाता है< w £ 2) с каким-либо шагом (एच= 0.1 या 0.2)। पैरामीटर w को चुना जाता है ताकि विधि का अभिसरण न्यूनतम संख्या में पुनरावृत्तियों में प्राप्त हो।

विश्राम- इस अवस्था (भौतिक। तकनीक।) का कारण बनने वाले कारकों की समाप्ति के बाद शरीर की किसी भी अवस्था का धीरे-धीरे कमजोर होना।

उदाहरण 2.4. विश्राम सूत्र का उपयोग करके पांचवें पुनरावृत्ति के परिणाम पर विचार करें। आइए w = 1.5 लें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, लगभग सातवें पुनरावृत्ति का परिणाम प्राप्त हो गया है।

विषय 3. रैखिक प्रणालियों का समाधान बीजीय समीकरणपुनरावृत्त विधियाँ।

बड़े पैमाने के सिस्टम को हल करते समय ऊपर वर्णित SLAE को हल करने के लिए प्रत्यक्ष तरीके बहुत कुशल नहीं हैं (अर्थात, जब मान एन काफी बड़ा)। ऐसे मामलों में, SLAE को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियाँ अधिक उपयुक्त होती हैं।

SLAE को हल करने के लिए पुनरावृत्त तरीके(उनका दूसरा नाम समाधान के क्रमिक सन्निकटन के तरीके हैं) SLAE का सटीक समाधान नहीं देते हैं, लेकिन केवल समाधान के लिए एक सन्निकटन देते हैं, और प्रत्येक अगला सन्निकटन पिछले एक से प्राप्त किया जाता है और पिछले की तुलना में अधिक सटीक होता है एक (बशर्ते कि अभिसरणपुनरावृत्तियों)। प्रारंभिक (या तथाकथित शून्य) सन्निकटन प्रस्तावित समाधान के पास या मनमाने ढंग से चुना जाता है (हम सिस्टम के दाईं ओर के वेक्टर को इसके रूप में ले सकते हैं)। सटीक समाधान ऐसे सन्निकटन की सीमा के रूप में पाया जाता है क्योंकि उनकी संख्या अनंत तक जाती है। एक नियम के रूप में, यह सीमा चरणों की एक सीमित संख्या (यानी, पुनरावृत्तियों) में नहीं पहुंचती है। इसलिए, व्यवहार में, अवधारणा समाधान सटीकता, अर्थात्, कुछ सकारात्मक और पर्याप्त रूप से छोटी संख्या इऔर गणना (पुनरावृत्तियों) की प्रक्रिया तब तक की जाती है जब तक संबंध पूरा नहीं हो जाता .

यहाँ पुनरावृत्ति संख्या के बाद प्राप्त समाधान का सन्निकटन है एन , और SLAE का सटीक समाधान है (जो पहले से ज्ञात नहीं है)। पुनरावृत्तियों की संख्या एन = एन (इ ) विशिष्ट तरीकों के लिए दी गई सटीकता को प्राप्त करने के लिए आवश्यक सैद्धांतिक विचारों से प्राप्त किया जा सकता है (यानी, इसके लिए गणना सूत्र हैं)। विभिन्न पुनरावृत्ति विधियों की गुणवत्ता की तुलना समान सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या से की जा सकती है।

पुनरावृत्त विधियों का अध्ययन करने के लिए अभिसरणआपको मैट्रिक्स के मानदंडों की गणना करने में सक्षम होना चाहिए। मैट्रिक्स मानदंड- यह मेरे जैसा है अंकीय मूल्य, जो निरपेक्ष मान में मैट्रिक्स तत्वों के परिमाण की विशेषता है। उच्च गणित में, कई हैं विभिन्न प्रकारमैट्रिक्स मानदंड, जो आमतौर पर समकक्ष होते हैं। हमारे पाठ्यक्रम में, हम उनमें से केवल एक का ही उपयोग करेंगे। अर्थात्, के तहत मैट्रिक्स मानदंडहम समझेंगे मैट्रिक्स की अलग-अलग पंक्तियों के तत्वों के निरपेक्ष मूल्यों के योग के बीच अधिकतम मूल्य. मैट्रिक्स के मानदंड को निर्दिष्ट करने के लिए, इसके नाम में दो जोड़े लंबवत डैश होते हैं। तो, मैट्रिक्स के लिए ए इसके मानदंड से हमारा मतलब मात्रा से है

. (3.1)

इसलिए, उदाहरण के लिए, उदाहरण 1 से मैट्रिक्स ए का मान इस प्रकार है:

SLAE को हल करने के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली तीन पुनरावृत्त विधियां हैं

सरल पुनरावृत्ति विधि

जैकोबी विधि

गुआस-सीडल विधि।

सरल पुनरावृत्ति विधि SLAE को मूल रूप (2.1) में लिखने से लेकर इसे प्रपत्र में लिखने तक का संक्रमण शामिल है

(3.2)

या, जो मैट्रिक्स रूप में भी है,

एक्स = से × एक्स + डी , (3.3)

सी - आयामों की रूपांतरित प्रणाली के गुणांकों का मैट्रिक्स एन ´ एन

एक्स - अज्ञात का वेक्टर, जिसमें शामिल हैं एन अवयव

डी - रूपांतरित प्रणाली के दाहिने हिस्सों का वेक्टर, जिसमें शामिल हैं एन अवयव।

फॉर्म में सिस्टम (3.2) को संक्षिप्त रूप में दर्शाया जा सकता है

इस दृष्टि से सरल पुनरावृत्ति सूत्रऐसा दिखाई देगा

कहाँ पे एम - पुनरावृत्ति संख्या, और - मान एक्स जे पर एम -वें पुनरावृत्ति चरण। फिर, यदि पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण करती है,पुनरावृत्तियों की संख्या में वृद्धि के साथ, वहाँ मनाया जाएगा

साबित किया कि पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण करती है,यदि आदर्शमैट्रिक्स डी होगा इकाइयों से कमएस.

यदि हम मुक्त पदों के सदिश को प्रारंभिक (शून्य) सन्निकटन के रूप में लेते हैं, अर्थात एक्स (0) = डी , फिर गलती की सम्भावनारूप है

(3.5)

यहाँ के तहत एक्स * व्यवस्था का सटीक समाधान है। फलस्वरूप,

यदि , तब तक दी गई सटीकताइ पूर्व-गणना की जा सकती है पुनरावृत्तियों की आवश्यक संख्या. अर्थात्, संबंध से

थोड़े से परिवर्तन के बाद हमें मिलता है

. (3.6)

इस तरह के कई पुनरावृत्तियों को निष्पादित करते समय, सिस्टम को समाधान खोजने की दी गई सटीकता सुनिश्चित करने की गारंटी है। यह सैद्धांतिक अनुमान आवश्यक राशिपुनरावृत्ति कदम कुछ हद तक अधिक हैं। व्यवहार में, कम पुनरावृत्तियों में आवश्यक सटीकता प्राप्त की जा सकती है।

निम्नलिखित फॉर्म की तालिका में प्राप्त परिणामों को दर्ज करने के साथ सरल पुनरावृत्ति की विधि द्वारा दिए गए SLAE के समाधान खोजना सुविधाजनक है:

	एक्स 1	एक्स 2		एक्स एन

यह विशेष रूप से ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस विधि द्वारा SLAE को हल करने में सबसे कठिन और श्रमसाध्यसिस्टम को फॉर्म (2.1) से फॉर्म (3.2) में बदलना है। ये परिवर्तन समतुल्य होने चाहिए, अर्थात। जो मूल प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं और मैट्रिक्स के मानदंड के मूल्य को सुनिश्चित करते हैं सी (उन्हें करने के बाद) एक से कम। ऐसे परिवर्तनों के लिए एक भी नुस्खा नहीं है। यहां प्रत्येक मामले में रचनात्मकता दिखाना आवश्यक है। विचार करना उदाहरणजिसमें सिस्टम को आवश्यक रूप में बदलने के कुछ तरीके बताए जाएंगे।

उदाहरण 1आइए हम सरल पुनरावृति (सटीकता के साथ) की विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें इ= 0.001)

इस प्रणाली को सरलतम तरीके से आवश्यक रूप में घटाया जाता है। हम सभी पदों को बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और फिर प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ते हैं एक्स मैं (मैं = 1, 2, 3, 4)। हम निम्नलिखित रूप की एक रूपांतरित प्रणाली प्राप्त करते हैं

.

आव्यूह सी और वेक्टर डी इस मामले में इस प्रकार होगा

सी = , डी = .

मैट्रिक्स मानदंड की गणना करें सी . प्राप्त

चूंकि मानदंड एक से कम निकला, इसलिए सरल पुनरावृत्ति विधि का अभिसरण सुनिश्चित किया जाता है। प्रारंभिक (शून्य) सन्निकटन के रूप में, हम वेक्टर के घटकों को लेते हैं डी . प्राप्त

, , , .

सूत्र (3.6) का उपयोग करके, हम पुनरावृत्ति चरणों की आवश्यक संख्या की गणना करते हैं। आइए पहले हम वेक्टर के मानदंड को निर्धारित करें डी . प्राप्त

.

इसलिए, निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करने के लिए, कम से कम 17 पुनरावृत्तियों को करना आवश्यक है। आइए पहली पुनरावृत्ति करते हैं। प्राप्त

सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

.

उसी तरह जारी रखते हुए, हम आगे के पुनरावृत्ति चरणों का पालन करते हैं। उनके परिणामों को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया गया है ( डी- वर्तमान और पिछले चरणों के बीच समाधान घटकों में सबसे बड़ा परिवर्तन)

एम

चूंकि पहले से ही दसवें चरण के बाद पिछले दो पुनरावृत्तियों के मूल्यों के बीच का अंतर निर्दिष्ट सटीकता से कम हो गया है, पुनरावृत्ति प्रक्रिया समाप्त हो गई है। पाए गए समाधान के रूप में, हम प्राप्त मूल्यों को लेते हैं अंतिम चरण.

उदाहरण 2

आइए पिछले उदाहरण की तरह ही करें। प्राप्त

आव्यूह सी ऐसी होगी व्यवस्था

सी =.

आइए इसके मानदंड की गणना करें। प्राप्त

जाहिर है, ऐसे मैट्रिक्स के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण नहीं करेगी। समीकरणों की दी गई प्रणाली को बदलने के लिए एक और तरीका खोजना आवश्यक है।

आइए समीकरणों की मूल प्रणाली में इसके व्यक्तिगत समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि तीसरी पंक्ति पहली, पहली - दूसरी, दूसरी - तीसरी बन जाए। फिर, इसे उसी तरह से बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं

आव्यूह सी ऐसी होगी व्यवस्था

सी =.

आइए इसके मानदंड की गणना करें। प्राप्त

चूंकि मैट्रिक्स मानदंड सी एकता से कम निकला, इस प्रकार रूपांतरित प्रणाली सरल पुनरावृत्ति द्वारा हल करने के लिए उपयुक्त है।

उदाहरण 3हम समीकरणों की प्रणाली को बदलते हैं

एक ऐसे रूप में जो इसे हल करते समय सरल पुनरावृत्ति की विधि का उपयोग करने की अनुमति देगा।

आइए हम पहले उदाहरण 1 के समान ही आगे बढ़ें। हम प्राप्त करते हैं

आव्यूह सी ऐसी होगी व्यवस्था

सी =.

आइए इसके मानदंड की गणना करें। प्राप्त

जाहिर है, ऐसे मैट्रिक्स के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण नहीं करेगी।

सरल पुनरावृत्ति विधि को लागू करने के लिए मूल मैट्रिक्स को सुविधाजनक रूप में बदलने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। सबसे पहले, हम समीकरणों की एक "मध्यवर्ती" प्रणाली बनाते हैं जिसमें

- पहला समीकरणमूल प्रणाली के पहले और दूसरे समीकरणों का योग है

- दूसरा समीकरण- दूसरे माइनस पहले के साथ दुगुने तीसरे समीकरण का योग

- तीसरा समीकरण- मूल प्रणाली के तीसरे और दूसरे समीकरणों के बीच का अंतर।

नतीजतन, हम समीकरणों की मूल "मध्यवर्ती" प्रणाली के बराबर प्राप्त करते हैं

इससे दूसरी प्रणाली प्राप्त करना आसान है, एक "मध्यवर्ती" प्रणाली

,

और इससे परिवर्तित

.

आव्यूह सी ऐसी होगी व्यवस्था

सी =.

आइए इसके मानदंड की गणना करें। प्राप्त

ऐसे मैट्रिक्स के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण होगी।

जैकोबी विधि मानता है कि मैट्रिक्स के सभी विकर्ण तत्व ए मूल प्रणाली के (2.2) शून्य के बराबर नहीं हैं। तब मूल प्रणाली को फिर से लिखा जा सकता है

(3.7)

ऐसे रिकॉर्ड से बनता है सिस्टम जैकोबी विधि का पुनरावृत्त सूत्र

जैकोबी विधि की पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की स्थिति तथाकथित स्थिति है विकर्ण प्रभुत्वमूल प्रणाली में (फॉर्म का (2.1))। विश्लेषणात्मक रूप से, यह स्थिति इस प्रकार लिखी जाती है:

. (3.9)

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि दी गई प्रणालीसमीकरण, जैकोबी विधि की अभिसरण स्थिति (यानी, विकर्ण प्रभुत्व की स्थिति) संतुष्ट नहीं है, कई मामलों में यह संभव है, मूल SLAE के समकक्ष परिवर्तनों द्वारा, इसके समाधान को एक समकक्ष SLAE के समाधान में लाया जा सकता है जिसमें यह शर्त संतुष्ट है।

उदाहरण 4हम समीकरणों की प्रणाली को बदलते हैं

एक ऐसे रूप में जो इसे हल करने में जैकोबी पद्धति का उपयोग करने की अनुमति देगा।

हम इस प्रणाली पर पहले ही उदाहरण 3 में विचार कर चुके हैं, इसलिए हम इसे वहां से प्राप्त समीकरणों की "मध्यवर्ती" प्रणाली में पारित करेंगे। यह स्थापित करना आसान है कि इसके लिए विकर्ण प्रभुत्व की स्थिति संतुष्ट है, इसलिए हम इसे जैकोबी पद्धति को लागू करने के लिए आवश्यक रूप में बदलते हैं। प्राप्त

इससे हम दिए गए SLAE के लिए जैकोबी पद्धति का उपयोग करके गणना करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं

प्रारंभिक के रूप में लेना, अर्थात्। शून्य, मुक्त शर्तों के वेक्टर का सन्निकटन सभी आवश्यक गणना करेगा। हम परिणामों को एक तालिका में सारांशित करते हैं

एम					डी

प्राप्त समाधान की उच्च सटीकता छह पुनरावृत्तियों में प्राप्त की गई थी।

गॉस-सीडल विधि जैकोबी पद्धति पर एक सुधार है और यह भी मानता है कि मैट्रिक्स के सभी विकर्ण तत्व ए मूल प्रणाली के (2.2) शून्य के बराबर नहीं हैं। फिर मूल प्रणाली को जैकोबी पद्धति के समान रूप में फिर से लिखा जा सकता है, लेकिन इससे कुछ अलग

यहां यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि योग चिह्न में सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट से कम है, तो कोई भी योग नहीं किया जाता है।

गॉस-सीडल पद्धति का विचार यह है कि विधि के लेखकों ने जैकोबी पद्धति के संबंध में गणना प्रक्रिया को तेज करने की संभावना को इस तथ्य के कारण देखा कि अगले पुनरावृत्ति की प्रक्रिया में, एक नया मूल्य पाया गया एक्स 1 कर सकते हैं तुरंतइस नए मान का उपयोग करें उसी पुनरावृत्ति मेंशेष चर की गणना करने के लिए। इसी तरह, आगे, एक नया मान ढूँढना एक्स 2 आप इसे तुरंत उसी पुनरावृत्ति आदि में भी उपयोग कर सकते हैं।

इस पर आधारित, गॉस-सीडल विधि के लिए पुनरावृत्ति सूत्रनिम्नलिखित रूप है

के लिए पर्याप्तअभिसरण की स्थितिगॉस-सीडल विधि की पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभी भी वही स्थिति है विकर्ण प्रभुत्व (3.9). अभिसरण दरयह विधि जैकोबी विधि की तुलना में थोड़ी अधिक है।

उदाहरण 5हम गॉस-सीडल विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं

हम पहले ही उदाहरण 3 और 4 में इस प्रणाली पर विचार कर चुके हैं, इसलिए हम तुरंत इससे समीकरणों की रूपांतरित प्रणाली की ओर बढ़ेंगे (उदाहरण 4 देखें), जिसमें विकर्ण प्रभुत्व की स्थिति संतुष्ट होती है। इससे हम गॉस-सीडल पद्धति का उपयोग करके गणना करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं

मुक्त पदों के वेक्टर को प्रारंभिक (यानी, शून्य) सन्निकटन के रूप में लेते हुए, हम सभी आवश्यक गणना करते हैं। हम परिणामों को एक तालिका में सारांशित करते हैं

एम

प्राप्त समाधान की उच्च सटीकता पांच पुनरावृत्तियों में प्राप्त की गई थी।

सरल पुनरावृत्ति की विधि, जिसे क्रमिक सन्निकटन की विधि भी कहा जाता है, एक अज्ञात मात्रा के मूल्य को धीरे-धीरे परिष्कृत करके खोजने के लिए एक गणितीय एल्गोरिथम है। इस पद्धति का सार यह है कि, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, बाद वाले को प्रारंभिक सन्निकटन से धीरे-धीरे व्यक्त करते हुए, उन्हें अधिक से अधिक परिष्कृत परिणाम मिलते हैं। इस विधि का उपयोग चर के मान को खोजने के लिए किया जाता है दिया गया कार्य, साथ ही रैखिक और गैर-रैखिक दोनों समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में।

विचार करें कि कैसे यह विधि SLAE को हल करते समय महसूस किया जाता है। सरल पुनरावृत्ति विधि में निम्नलिखित एल्गोरिथम है:

1. मूल मैट्रिक्स में अभिसरण स्थिति का सत्यापन। अभिसरण प्रमेय: यदि सिस्टम के मूल मैट्रिक्स में विकर्ण प्रभुत्व है (यानी, प्रत्येक पंक्ति में, मुख्य विकर्ण के तत्व मॉड्यूलस में माध्यमिक विकर्णों के तत्वों के योग से अधिक होना चाहिए), तो सरल की विधि पुनरावृत्तियां अभिसरण हैं।

2. मूल प्रणाली के मैट्रिक्स में हमेशा विकर्ण प्रभुत्व नहीं होता है। ऐसे मामलों में, सिस्टम को परिवर्तित किया जा सकता है। अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण अछूते रह जाते हैं, और जो नहीं करते हैं, वे रैखिक संयोजन बनाते हैं, अर्थात। वांछित परिणाम प्राप्त होने तक गुणा करें, घटाएं, समीकरण जोड़ें।

यदि परिणामी प्रणाली में मुख्य विकर्ण पर असुविधाजनक गुणांक हैं, तो इस तरह के समीकरण के दोनों हिस्सों में फॉर्म c i *x i की शर्तें जोड़ दी जाती हैं, जिनमें से संकेत विकर्ण तत्वों के संकेतों के साथ मेल खाना चाहिए।

3. परिणामी प्रणाली का सामान्य रूप में परिवर्तन:

एक्स - =β - +α*x -

यह कई तरीकों से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: पहले समीकरण से, अन्य अज्ञात के संदर्भ में x 1 व्यक्त करें, दूसरे से - x 2, तीसरे से - x 3, आदि। यहां हम सूत्रों का उपयोग करते हैं:

α ij = -(एक आईजे / ए ii)

मैं = बी मैं / एक ii
आपको फिर से यह सुनिश्चित करना चाहिए कि सामान्य रूप की परिणामी प्रणाली अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करती है:

(j=1) |α ij |≤ 1, जबकि i= 1,2,...n

4. हम वास्तव में, क्रमिक सन्निकटन की विधि को ही लागू करना शुरू करते हैं।

x (0) - प्रारंभिक सन्निकटन, हम इसके माध्यम से x (1) व्यक्त करते हैं, फिर x (1) के माध्यम से हम x (2) व्यक्त करते हैं। मैट्रिक्स रूप में सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:

एक्स (एन) = β - +α*x (एन-1)

हम तब तक गणना करते हैं जब तक हम आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाते:

अधिकतम |x मैं (के)-एक्स मैं (के+1)

तो, आइए अभ्यास में सरल पुनरावृत्ति विधि को देखें। उदाहरण:
SLAE हल करें:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 सटीकता के साथ ε=10 -3

आइए देखें कि क्या विकर्ण तत्व मॉड्यूलो को प्रबल करते हैं।

हम देखते हैं कि केवल तीसरा समीकरण अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करता है। हम पहले और दूसरे समीकरण को बदलते हैं, दूसरे को पहले समीकरण में जोड़ते हैं:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

पहले को तीसरे से घटाएं:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

हमने मूल प्रणाली को एक समकक्ष में बदल दिया है:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

अब सिस्टम को सामान्य स्थिति में लाते हैं:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

हम पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की जाँच करते हैं:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 यानी। शर्त पूरी की जाती है।

0,3947
प्रारंभिक अनुमान x(0) = 0.4762
0,8511

इन मानों को सामान्य रूप समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

0,08835
एक्स(1) = 0.486793
0,446639

नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

0,215243
एक्स(2) = 0.405396
0,558336

हम गणना तब तक जारी रखते हैं जब तक हम दी गई शर्त को पूरा करने वाले मानों के करीब नहीं पहुंच जाते।

एक्स(7) = 0.441091

आइए प्राप्त परिणामों की शुद्धता की जांच करें:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

मूल समीकरणों में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त परिणाम समीकरण की शर्तों को पूरी तरह से संतुष्ट करते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं, सरल पुनरावृत्ति विधि काफी सटीक परिणाम देती है, हालांकि, इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें बहुत समय व्यतीत करना पड़ा और बोझिल गणना करना पड़ा।

परिचय

1. सरल पुनरावृत्ति की विधि द्वारा धीमा समाधान

1.1 समाधान विधि का विवरण

1.2 पृष्ठभूमि

1.3 एल्गोरिथम

1.4 क्यूबिक कार्यक्रम

1.5 कार्यक्रम का परिणाम

1.6 कार्यक्रम के परिणाम की जाँच

2. स्पर्शरेखा विधि द्वारा जड़ को परिष्कृत करना

2.1 समाधान विधि का विवरण

2.2 प्रारंभिक डेटा

2.3 एल्गोरिथम

2.4 क्यूबिक कार्यक्रम

2.5 कार्यक्रम का परिणाम

2.6 कार्यक्रम के परिणाम की जाँच

3. आयत नियम के अनुसार संख्यात्मक एकीकरण

3.1 समाधान विधि का विवरण

3.2 प्रारंभिक डेटा

3.3 एल्गोरिथम

3.4 क्यूबिक कार्यक्रम

3.5 कार्यक्रम के परिणाम की जाँच

4.1 सामान्य जानकारीकार्यक्रम के बारे में

4.1.1 उद्देश्य और विशिष्ट सुविधाएं

4.1.2 WinRAR की सीमाएं

4.1.3 सिस्टम आवश्यकताएंके लिए WinRAR

4.2 विनरार इंटरफ़ेस

4.3 फ़ाइल और संग्रह प्रबंधन मोड

4.4 प्रसंग मेनू का उपयोग करना

निष्कर्ष

ग्रंथ सूची

परिचय

इस टर्म परीक्षागॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम और कार्यक्रमों का विकास है; जीवाओं की विधि का उपयोग करते हुए अरैखिक समीकरण; समलम्बाकार नियम द्वारा संख्यात्मक एकीकरण के लिए।

बीजीय समीकरण ऐसे समीकरण कहलाते हैं जिनमें केवल बीजीय फलन होते हैं (संपूर्ण, परिमेय, अपरिमेय)। विशेष रूप से, एक बहुपद एक संपूर्ण बीजीय फलन है। अन्य कार्यों (त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, और अन्य) वाले समीकरणों को अनुवांशिक कहा जाता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके दो समूहों में विभाजित हैं:

सटीक तरीके, जो एक सिस्टम की जड़ों की गणना के लिए परिमित एल्गोरिदम हैं (सिस्टम का उपयोग करके हल करना उलटा मैट्रिक्स, क्रैमर का नियम, गॉस विधि, आदि),

पुनरावृति विधियाँ जो अभिसरण पुनरावृत्त प्रक्रियाओं (पुनरावृत्ति विधि, सीडल विधि, आदि) के माध्यम से दी गई सटीकता के साथ सिस्टम का समाधान प्राप्त करने की अनुमति देती हैं।

अपरिहार्य गोलाई के कारण, सटीक विधियों के परिणाम भी अनुमानित हैं। पुनरावृत्त विधियों का उपयोग करते समय, विधि की त्रुटि भी जोड़ दी जाती है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना कम्प्यूटेशनल रैखिक बीजगणित की मुख्य समस्याओं में से एक है। यद्यपि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की समस्या अनुप्रयोगों के लिए अपेक्षाकृत कम स्वतंत्र रुचि है, कंप्यूटर का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की संभावना अक्सर ऐसी प्रणालियों को प्रभावी ढंग से हल करने की क्षमता पर निर्भर करती है। विभिन्न (विशेष रूप से, गैर-रैखिक) समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों के एक महत्वपूर्ण हिस्से में संबंधित एल्गोरिदम के प्राथमिक चरण के रूप में रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना शामिल है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हो रैंक के बराबरविस्तारित मैट्रिक्स। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है और अज्ञात की संख्या के बराबर है, तो सिस्टम में है केवल निर्णय. यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, लेकिन अज्ञात की संख्या से कम है, तो सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए सबसे आम तरीकों में से एक गॉस विधि है। इस विधि में जाना जाता है विभिन्न विकल्प 2000 से अधिक वर्षों के लिए। गॉस विधि रैखिक बीजीय समीकरणों (SLAE) की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है। यह है तरीका अनुक्रमिक बहिष्करणचर का उपयोग करते समय प्राथमिक परिवर्तनसमीकरणों की प्रणाली को एक चरणबद्ध (या त्रिकोणीय) रूप के समकक्ष प्रणाली में घटाया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, जो अंतिम (संख्या के अनुसार) चर से शुरू होते हैं।

कड़ाई से बोलते हुए, ऊपर वर्णित विधि को गॉस-जॉर्डन उन्मूलन विधि कहा जाता है, क्योंकि यह 1887 में सर्वेक्षक विल्हेम जॉर्डन द्वारा वर्णित गॉस पद्धति का एक रूपांतर है)। यह भी ध्यान रखना दिलचस्प है कि उसी समय जॉर्डन (और उससे पहले भी कुछ स्रोतों के अनुसार), इस एल्गोरिथ्म का आविष्कार क्लासेन (बी.-आई। क्लासेन) ने किया था।

नीचे अरेखीय समीकरणरूप के बीजीय और अनुवांशिक समीकरणों को संदर्भित करता है, जहां x एक वास्तविक संख्या है और एक गैर-रैखिक कार्य है। इन समीकरणों को हल करने के लिए जीवाओं की विधि का प्रयोग किया जाता है - पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधिजड़ों की अनुमानित खोज। जैसा कि ज्ञात है, कई समीकरणों और समीकरणों के सिस्टम में विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होते हैं। सबसे पहले, यह अधिकांश पारलौकिक समीकरणों पर लागू होता है। यह भी सिद्ध होता है कि ऐसा सूत्र बनाना असंभव है जिसके द्वारा चौथाई से अधिक घात वाले एक मनमाना बीजगणितीय समीकरण को हल करना संभव हो। इसके अलावा, कुछ मामलों में समीकरण में गुणांक होते हैं जो केवल लगभग ज्ञात होते हैं, और इसलिए, समीकरण की जड़ों को सटीक रूप से निर्धारित करने की समस्या अपना अर्थ खो देती है। उन्हें हल करने के लिए, सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ पुनरावृत्त विधियों का उपयोग किया जाता है। एक पुनरावृत्त विधि द्वारा एक समीकरण को हल करने का अर्थ है यह निर्धारित करना कि क्या इसकी जड़ें हैं, कितनी जड़ें हैं, और आवश्यक सटीकता के साथ जड़ों के मूल्यों को खोजने के लिए।

पुनरावृत्त विधि द्वारा समीकरण f(x) = 0 का मूल ज्ञात करने की समस्या में दो चरण होते हैं:

जड़ों का पृथक्करण - जड़ या उस खंड के अनुमानित मूल्य का पता लगाना;

· अनुमानित जड़ों का शोधन - उन्हें सटीकता की एक निश्चित डिग्री तक लाना।

समाकलन परिभाषित करेंसे अंतराल में लिया गया फलन f(x) एकइससे पहले बी, वह सीमा कहलाती है, जब सभी अंतरालों x मैं शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो समाकल योग का झुकाव होता है। समलम्ब चतुर्भुज नियम के अनुसार, फलन F (x) के ग्राफ को दो बिंदुओं (x 0, y 0) और (x 0 + h, y 1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा से प्रतिस्थापित करना और मान की गणना करना आवश्यक है। समलम्ब के क्षेत्र के रूप में अभिन्न योग के तत्व का: .

सरल पुनरावृत्ति विधि द्वारा धीमी गति का समाधान

1.1 निरंतर पुनरावृत्ति विधि का विवरण

बीजीय समीकरणों की प्रणाली (SLAE) का रूप है:

या, जब मैट्रिक्स रूप में लिखा जाता है:

व्यवहार में, SLAE के संख्यात्मक समाधान के लिए दो प्रकार की विधियों का उपयोग किया जाता है - प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष। प्रत्यक्ष विधियों का उपयोग करते समय, SLAE एक विशेष आकार (विकर्ण, त्रिकोणीय) में से एक में कम हो जाता है जो आपको वांछित समाधान (यदि यह मौजूद है) को सटीक रूप से प्राप्त करने की अनुमति देता है। SLAE को हल करने की सबसे आम सीधी विधि गॉस विधि है। दी गई सटीकता के साथ SLAE का अनुमानित समाधान खोजने के लिए पुनरावृत्त विधियों का उपयोग किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पुनरावृत्ति प्रक्रिया हमेशा सिस्टम के समाधान में परिवर्तित नहीं होती है, लेकिन केवल तभी जब गणना में प्राप्त अनुमानों का क्रम सटीक समाधान के लिए जाता है। सरल पुनरावृत्ति की विधि द्वारा SLAE को हल करते समय, इसे उस रूप में परिवर्तित किया जाता है जब बाईं ओर आवश्यक चर में से केवल एक होता है:

कुछ प्रारंभिक सन्निकटन देने के बाद xi, i=1,2,…,n, उन्हें प्रतिस्थापित करें दाईं ओरभाव और नए मूल्यों की गणना एक्स. प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित अधिकतम अवशेष न हों:

दी गई सटीकता ε से कम नहीं होती है। यदि अधिकतम विसंगति क-वां पुनरावृत्ति अधिकतम विसंगति से अधिक होगी के-1-वें पुनरावृत्ति, फिर प्रक्रिया असामान्य रूप से समाप्त हो जाती है, क्योंकि पुनरावृत्ति प्रक्रिया अलग हो जाती है। पुनरावृत्तियों की संख्या को कम करने के लिए, पिछले पुनरावृत्ति से अवशिष्ट मूल्यों का उपयोग करके नए x मानों की गणना की जा सकती है।