चार अज्ञात के साथ गॉस विधि। गॉस विधि (अज्ञात का क्रमिक बहिष्करण)

1. रैखिक प्रणाली बीजीय समीकरण

1.1 रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की अवधारणा

समीकरणों की एक प्रणाली एक ऐसी स्थिति है जिसमें कई चरों में कई समीकरणों का एक साथ निष्पादन होता है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (बाद में SLAE के रूप में संदर्भित) की एक प्रणाली जिसमें m समीकरण और n अज्ञात शामिल हैं, फॉर्म की एक प्रणाली है:

जहां संख्या a ij को प्रणाली के गुणांक कहा जाता है, संख्या b i स्वतंत्र सदस्य हैं, ऐजोतथा बी मैं(i=1,…, m; b=1,…, n) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और x 1 ,…, x n- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक i समीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा सूचकांक j अज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है। संख्या x n खोजने के अधीन। ऐसी प्रणाली को कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स रूप में लिखना सुविधाजनक है: कुल्हाड़ी = बी।यहां ए सिस्टम के गुणांक का मैट्रिक्स है, जिसे मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है;

अज्ञात xj का स्तंभ सदिश है।
मुक्त सदस्यों द्वि का एक स्तंभ वेक्टर है।

मैट्रिक्स ए * एक्स का उत्पाद परिभाषित किया गया है, क्योंकि मैट्रिक्स ए में कई कॉलम हैं क्योंकि मैट्रिक्स एक्स (एन टुकड़े) में पंक्तियां हैं।

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्ससिस्टम के मैट्रिक्स ए को कहा जाता है, जो मुक्त शर्तों के एक कॉलम द्वारा पूरक है

1.2 रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (चर के मान) का एक क्रमबद्ध सेट है, जब उन्हें चर के बजाय प्रतिस्थापित करते हुए, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण एक वास्तविक समानता में बदल जाते हैं।

सिस्टम का समाधान अज्ञात x1=c1, x2=c2,…, xn=cn का n मान है, जिसके स्थान पर सिस्टम के सभी समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाते हैं। सिस्टम के किसी भी समाधान को मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में लिखा जा सकता है

समीकरणों की एक प्रणाली को संगत कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक समाधान होता है, और यदि इसका कोई समाधान नहीं होता है तो असंगत होता है।

एक संयुक्त प्रणाली को निश्चित कहा जाता है यदि इसका एक अद्वितीय समाधान होता है, और अनिश्चित होता है यदि इसके एक से अधिक समाधान होते हैं। बाद के मामले में, इसके प्रत्येक समाधान को सिस्टम का एक विशेष समाधान कहा जाता है। सभी विशिष्ट विलयनों के समुच्चय को सामान्य विलयन कहते हैं।

किसी प्रणाली को हल करने का अर्थ है यह पता लगाना कि यह सुसंगत है या असंगत। यदि सिस्टम संगत है, तो उसे खोजें सामान्य निर्णय.

दो प्रणालियों को समतुल्य (समतुल्य) कहा जाता है यदि उनका सामान्य समाधान समान हो। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत।

एक परिवर्तन, जिसका अनुप्रयोग एक प्रणाली को मूल के बराबर एक नई प्रणाली में बदल देता है, समकक्ष या समकक्ष परिवर्तन कहलाता है। निम्नलिखित परिवर्तन समतुल्य परिवर्तनों के उदाहरण के रूप में काम कर सकते हैं: सिस्टम के दो समीकरणों को स्वैप करना, सभी समीकरणों के गुणांक के साथ दो अज्ञात को स्वैप करना, सिस्टम के किसी भी समीकरण के दोनों हिस्सों को गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

व्यवस्था रेखीय समीकरणसजातीय कहा जाता है यदि सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों:

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि x1=x2=x3=…=xn=0 प्रणाली का एक समाधान है। इस समाधान को शून्य या तुच्छ कहा जाता है।

2. गाऊसी उन्मूलन विधि

2.1 गाऊसी उन्मूलन विधि का सार

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की शास्त्रीय विधि अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है - गॉस विधि(इसे गाऊसी उन्मूलन विधि भी कहा जाता है)। यह चर के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरणबद्ध (या त्रिकोणीय) रूप की एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, से शुरू अंतिम (संख्या के अनुसार) चर।

गाऊसी समाधान प्रक्रिया में दो चरण होते हैं: आगे और पीछे की चाल।

1. सीधी चाल।

पहले चरण में, तथाकथित प्रत्यक्ष चाल को अंजाम दिया जाता है, जब, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, सिस्टम को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय रूप में लाया जाता है, या यह स्थापित किया जाता है कि सिस्टम असंगत है। अर्थात्, मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों में से, एक गैर-शून्य को चुना जाता है, इसे पंक्तियों की अनुमति देकर सबसे ऊपर की स्थिति में ले जाया जाता है, और क्रमपरिवर्तन के बाद प्राप्त पहली पंक्ति को शेष पंक्तियों से घटाया जाता है, इसे गुणा किया जाता है। इन पंक्तियों में से प्रत्येक के पहले तत्व के पहली पंक्ति के पहले तत्व के अनुपात के बराबर मान द्वारा, इस प्रकार इसके नीचे के कॉलम को शून्य करना।

संकेतित परिवर्तन किए जाने के बाद, पहली पंक्ति और पहला स्तंभ मानसिक रूप से पार किया जाता है और तब तक जारी रहता है जब तक कि शून्य-आकार का मैट्रिक्स नहीं रहता। यदि पहले कॉलम के तत्वों में से कुछ पुनरावृत्तियों में एक गैर-शून्य नहीं पाया गया था, तो अगले कॉलम पर जाएं और एक समान ऑपरेशन करें।

पहले चरण (फॉरवर्ड रन) में, सिस्टम एक चरणबद्ध (विशेष रूप से, त्रिकोणीय) रूप में कम हो जाता है।

नीचे दी गई प्रणाली चरणबद्ध है:

,

गुणांक aii प्रणाली के मुख्य (अग्रणी) तत्व कहलाते हैं।

(यदि a11=0, मैट्रिक्स की पंक्तियों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें कि एक 11 0 के बराबर नहीं था। यह हमेशा संभव है, क्योंकि अन्यथा मैट्रिक्स में शून्य कॉलम होता है, इसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है और सिस्टम असंगत होता है)।

हम पहले वाले को छोड़कर सभी समीकरणों में अज्ञात X1 को हटाकर सिस्टम को बदल देते हैं (सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके)। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें

और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ पद दर पद जोड़ें (या दूसरे समीकरण से हम पद को पहले से गुणा करके पद घटाते हैं)। फिर हम पहले समीकरण के दोनों भागों को गुणा करते हैं और इसे सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ते हैं (या पहले एक को तीसरे पद से गुणा करके घटाते हैं)। इस प्रकार, हम पहली पंक्ति को एक संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं और इसमें जोड़ते हैं मैं-वीं पंक्ति, के लिए मैं = 2, 3, …,एन।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें समतुल्य प्रणाली मिलती है:

- सिस्टम के अंतिम m-1 समीकरणों में अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक के नए मान, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

इस प्रकार, पहले चरण में, पहले प्रमुख तत्व a 11 के तहत सभी गुणांक नष्ट हो जाते हैं

0, दूसरा चरण दूसरे प्रमुख तत्व a 22 (1) (यदि एक 22 (1) 0) के तहत तत्वों को नष्ट कर देता है, और इसी तरह। इस प्रक्रिया को आगे जारी रखते हुए, हम अंत में मूल प्रणाली को (m-1) चरण पर एक त्रिकोणीय प्रणाली में कम कर देंगे।

यदि, सिस्टम को चरणबद्ध रूप में कम करने की प्रक्रिया में, शून्य समीकरण दिखाई देते हैं, अर्थात। 0 = 0 के रूप की समानता, उन्हें छोड़ दिया जाता है। यदि फॉर्म का समीकरण है

यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है।

यह गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

2. उलटी चाल।

दूसरे चरण में, तथाकथित रिवर्स मूव को अंजाम दिया जाता है, जिसका सार सभी परिणामी बुनियादी चर को गैर-बुनियादी लोगों के रूप में व्यक्त करना और निर्माण करना है मौलिक प्रणालीसमाधान, या, यदि सभी चर बुनियादी हैं, तो संख्यात्मक रूप में व्यक्त करें जो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

यह प्रक्रिया अंतिम समीकरण से शुरू होती है, जिसमें से संबंधित मूल चर व्यक्त किया जाता है (इसमें केवल एक ही होता है) और पिछले समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और इसी तरह, "कदम" ऊपर जा रहा है।

प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल एक मूल चर से मेल खाती है, इसलिए प्रत्येक चरण में, अंतिम (सबसे ऊपरी) को छोड़कर, स्थिति बिल्कुल अंतिम पंक्ति के मामले को दोहराती है।

नोट: व्यवहार में, सिस्टम के साथ नहीं, बल्कि इसके विस्तारित मैट्रिक्स के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, इसकी पंक्तियों पर सभी प्राथमिक परिवर्तन करना। यह सुविधाजनक है कि गुणांक a11 1 के बराबर हो (समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें, या समीकरण के दोनों पक्षों को a11 से विभाजित करें)।

2.2 गॉस विधि द्वारा SLAE को हल करने के उदाहरण

इस खंड में, तीन अलग-अलग उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम दिखाएंगे कि SLAE को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

उदाहरण 1. तीसरे क्रम के SLAE को हल करें।

गुणांक को शून्य पर सेट करें

दूसरी और तीसरी पंक्तियों में। ऐसा करने के लिए, उन्हें क्रमशः 2/3 और 1 से गुणा करें, और उन्हें पहली पंक्ति में जोड़ें:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के सबसे सरल तरीकों में से एक है निर्धारकों की गणना के आधार पर एक चाल ( क्रैमर का नियम) इसका लाभ यह है कि यह आपको समाधान को तुरंत रिकॉर्ड करने की अनुमति देता है, यह उन मामलों में विशेष रूप से सुविधाजनक है जहां सिस्टम के गुणांक संख्याएं नहीं हैं, लेकिन कुछ प्रकार के पैरामीटर हैं। इसका दोष मामले में गणना की बोझिलता है एक बड़ी संख्या मेंइसके अलावा, क्रैमर का नियम उन प्रणालियों पर सीधे लागू नहीं होता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है। ऐसे मामलों में, यह आमतौर पर प्रयोग किया जाता है गॉस विधि.

रेखीय समीकरणों के निकाय जिनके हल समान होते हैं, कहलाते हैं बराबर. यह स्पष्ट है कि समाधान का सेट रैखिक प्रणालीयदि किसी समीकरण को आपस में बदल दिया जाता है, या किसी एक समीकरण को किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है, या यदि एक समीकरण को दूसरे में जोड़ा जाता है, तो यह नहीं बदलता है।

गॉस विधि (अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि) इस तथ्य में निहित है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, सिस्टम को एक समान चरणबद्ध प्रणाली में घटा दिया जाता है। सबसे पहले, पहले समीकरण की मदद से, एक्ससिस्टम के सभी बाद के समीकरणों में से 1। फिर, दूसरे समीकरण की सहायता से, एक्सतीसरे और बाद के सभी समीकरणों में से 2। इस प्रक्रिया, कहा जाता है प्रत्यक्ष गॉस विधि, तब तक जारी रहता है जब तक कि अंतिम समीकरण के बाईं ओर केवल एक अज्ञात रहता है एक्स एन. उसके बाद, इसे बनाया जाता है गाऊसी रिवर्स- अंतिम समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं एक्स एन; उसके बाद, इस मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से हम गणना करते हैं एक्स एन-1 आदि अंतिम हम पाते हैं एक्सप्रथम समीकरण से 1.

समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि उनके गुणांकों के मैट्रिक्स के साथ परिवर्तन करके गॉसियन परिवर्तनों को अंजाम देना सुविधाजनक है। मैट्रिक्स पर विचार करें:

बुलाया विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली,क्योंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के अलावा, इसमें मुक्त सदस्यों का एक कॉलम शामिल है। गाऊसी पद्धति प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप (या गैर-वर्ग प्रणालियों के मामले में एक समलम्बाकार रूप) में कम करने पर आधारित है। प्राथमिक परिवर्तनसिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की पंक्तियाँ (!)

उदाहरण 5.1.गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

समाधान. आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और, पहली पंक्ति का उपयोग करके, उसके बाद हम शेष तत्वों को शून्य पर सेट करेंगे:

हमें पहले कॉलम की दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में शून्य मिलता है:

अब हमें दूसरी पंक्ति के नीचे दूसरे कॉलम में सभी तत्वों को शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप दूसरी पंक्ति को -4/7 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी पंक्ति में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम दूसरे कॉलम की दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाएंगे और केवल

अब, एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, आपको तीसरे कॉलम की चौथी पंक्ति के तत्व को शून्य करना होगा, इसके लिए आप तीसरी पंक्ति को 8/54 से गुणा कर सकते हैं और इसे चौथे में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम तीसरी और चौथी पंक्तियों और तीसरे और चौथे कॉलम को स्वैप करेंगे, और उसके बाद ही हम निर्दिष्ट तत्व को रीसेट करेंगे। ध्यान दें कि जब स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो संबंधित चरों की अदला-बदली की जाती है, और इसे याद रखना चाहिए; कॉलम के साथ अन्य प्राथमिक परिवर्तन (एक संख्या से जोड़ और गुणा) नहीं किया जा सकता है!

अंतिम सरलीकृत मैट्रिक्स मूल के बराबर समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है:

यहाँ से, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से पाते हैं एक्स 3 = -1; तीसरे से एक्स 4 = -2, दूसरे से एक्स 2 = 2 और पहले समीकरण से एक्स 1 = 1. मैट्रिक्स रूप में, उत्तर को इस प्रकार लिखा जाता है

हमने मामले पर विचार किया है जब सिस्टम निश्चित है, अर्थात। जब एक ही उपाय हो। आइए देखें कि क्या होता है यदि सिस्टम असंगत या अनिश्चित है।

उदाहरण 5.2.गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण करें:

समाधान. हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं

हम समीकरणों की एक सरलीकृत प्रणाली लिखते हैं:

यहाँ, पिछले समीकरण में, यह निकला कि 0=4, अर्थात्। अंतर्विरोध। इसलिए, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, अर्थात। वह है असंगत. à

उदाहरण 5.3।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण और समाधान करें:

समाधान. हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं:

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, अंतिम पंक्ति में केवल शून्य प्राप्त हुए। इसका मतलब है कि समीकरणों की संख्या में एक की कमी आई है:

इस प्रकार, सरलीकरण के बाद, दो समीकरण बने रहते हैं, और चार अज्ञात, अर्थात्। दो अज्ञात "अतिरिक्त"। चलो "अनावश्यक", या, जैसा कि वे कहते हैं, मुक्त चर, मर्जी एक्स 3 और एक्सचार । फिर

यह मानते हुए एक्स 3 = 2एकतथा एक्स 4 = बी, हम पाते हैं एक्स 2 = 1–एकतथा एक्स 1 = 2बी–एक; या मैट्रिक्स रूप में

इस प्रकार लिखा हुआ हल कहलाता है सामान्य, चूंकि, पैरामीटर देकर एकतथा बी विभिन्न अर्थ, प्रणाली के सभी संभावित समाधानों का वर्णन करना संभव है। एक

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए, जिसे हल किया जाना चाहिए (अज्ञात i के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) एक अनूठा समाधान है।

जैसा कि हमें याद है, क्रेमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली के समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, के जो प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले चलो! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिथ्म एक ही तरह से काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह सिस्टम का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांक से बना है, साथ ही मुक्त शर्तों का एक कॉलम)गॉस विधि में रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रोकीमैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या हैं) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी इस प्रकार है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी भी संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरणबद्ध रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य के बराबर होते हैं (ऊपर-नीचे की चाल) ) उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में होता है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, दूसरे समीकरण से पहले को घटाएं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक कि पहले को छोड़कर, अज्ञात x 1 के साथ सभी समीकरणों में गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएं। मान लें कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 पर गुणांक M के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, सभी समीकरणों में "अंडर" अज्ञात x 2 शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण को पास करते हैं और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त शब्द नहीं रहता।

1. गॉस विधि का "रिवर्स मूव" रैखिक बीजीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से, हमें एक पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर के उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात्। x 2 \u003d 5. और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं, हम गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आइए इसे इस तरह करें:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त क्रिया कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 कदम . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 कदम . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 कदम . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 कदम . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। अर्थात्, यदि हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती की गई थी परिवर्तन।

हम एक रिवर्स चाल करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर तक" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

उत्तर:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से भाग दें।

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करें, हम प्राप्त करते हैं:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएं, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 . से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें "चरणबद्ध" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में जमा हुई त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह से हल करने से आप गणना में कभी भी भ्रमित नहीं होंगे और गणना त्रुटियों के बावजूद आपको परिणाम मिलेगा।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि प्रोग्राम करना आसान है और इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है विशिष्ट लक्षणअज्ञात के लिए गुणांक, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

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गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।मान लीजिए कि हमें सिस्टम से समाधान खोजने की जरूरत है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहला, the एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू होकर, तब एक्स 2सभी समीकरणों में से, तीसरे से शुरू होकर, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर न रह जाए एक्स एन. अज्ञात चरों के क्रमिक विलोपन के लिए निकाय के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस विधि की अग्रगामी चाल के पूरा होने के बाद, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके गणना की जाती है xn-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से पाया जाता है एक्स 1. सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है पीछे की ओरगॉस विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सिस्टम के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके पहला समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

यदि हम व्यक्त करते हैं तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया था। तो चर एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे गुणा को जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, करने के लिए एन-वेंसे गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . तो चर एक्स 2तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3, जबकि हम चित्र में चिह्नित प्रणाली के हिस्से के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनअंतिम समीकरण से , प्राप्त मान का उपयोग करते हुए एक्स एनपाना xn-1अंतिम समीकरण से, और इसी तरह, हम पाते हैं एक्स 1पहले समीकरण से

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

इस लेख में, विधि को रैखिक समीकरणों (SLAE) के सिस्टम को हल करने के तरीके के रूप में माना जाता है। विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको एक समाधान एल्गोरिथ्म लिखने की अनुमति देती है सामान्य दृष्टि से, और फिर वहां विशिष्ट उदाहरणों से मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके पास असीम रूप से कई समाधान हैं। या उनके पास बिल्कुल नहीं है।

गॉस क्या मतलब है

सबसे पहले आपको हमारे समीकरणों की प्रणाली को इस तरह से लिखने की आवश्यकता है। सिस्टम लिया जाता है:

गुणांक एक तालिका के रूप में लिखे गए हैं, और दाईं ओर एक अलग कॉलम में - मुक्त सदस्य। सुविधा के लिए मुक्त सदस्यों वाले कॉलम को अलग किया जाता है। इस कॉलम को शामिल करने वाले मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है।

इसके अलावा, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय आकार में कम किया जाना चाहिए। यह गॉस विधि द्वारा प्रणाली को हल करने का मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें, कुछ जोड़तोड़ के बाद, मैट्रिक्स इस तरह दिखना चाहिए, ताकि इसके निचले बाएं हिस्से में केवल शून्य हों:

फिर, यदि आप समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से नया मैट्रिक्स लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही एक मूल का मान होता है, जिसे बाद में ऊपर समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और रूट पाया जाता है, और इसी तरह।

गाऊसी विधि द्वारा समाधान का यह विवरण सबसे अधिक सामान्य शब्दों में. और क्या होगा अगर अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है? या उनमें से एक अनंत संख्या है? इन और कई अन्य प्रश्नों के उत्तर के लिए गॉस विधि द्वारा समाधान में प्रयुक्त सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स, उनके गुण

कोई भी नहीं छुपा हुआ मतलबमैट्रिक्स में नहीं। यह बाद के संचालन के लिए डेटा रिकॉर्ड करने का एक सुविधाजनक तरीका है। स्कूली बच्चों को भी इनसे नहीं डरना चाहिए।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि गॉस विधि में, जहां सब कुछ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्माण के लिए उबलता है, एक आयत प्रविष्टि में दिखाई देती है, केवल उस स्थान पर शून्य के साथ जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य को छोड़ा जा सकता है, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का एक आकार होता है। इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, इसकी "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। फिर मैट्रिक्स ए का आकार (राजधानियों को आमतौर पर उन्हें निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है) पत्र) को A m×n के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह आव्यूह वर्गाकार है, और m=n इसका क्रम है। तदनुसार, मैट्रिक्स ए के किसी भी तत्व को इसकी पंक्ति और कॉलम की संख्या से दर्शाया जा सकता है: एक xy ; x - पंक्ति संख्या, परिवर्तन , y - स्तंभ संख्या, परिवर्तन .

बी समाधान का मुख्य बिंदु नहीं है। सिद्धांत रूप में, सभी ऑपरेशन सीधे समीकरणों के साथ किए जा सकते हैं, लेकिन अंकन बहुत अधिक बोझिल हो जाएगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

मैट्रिक्स में एक निर्धारक भी होता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता है। इसका अर्थ खोजना अब इसके लायक नहीं है, आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि यह मैट्रिक्स के कौन से गुण निर्धारित करता है। सारणिक खोजने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान के साथ विकर्ण - "प्लस" चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - "माइनस" चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। के लिये आयताकार मैट्रिक्सआप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या से, सबसे छोटा चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में k कॉलम और k पंक्तियों को बेतरतीब ढंग से चिह्नित करें। चयनित स्तंभों और पंक्तियों के चौराहे पर स्थित तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का आधार नाबालिग कहा जाता है।

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, सारणिक की गणना करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं, या कोई भी नहीं हैं। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स के रैंक के बारे में पता लगाने की जरूरत है।

सिस्टम वर्गीकरण

मैट्रिक्स के रैंक जैसी कोई चीज होती है। यह इसके निर्धारक का अधिकतम क्रम है, जो शून्य से भिन्न होता है (यदि हम आधार लघु को याद करें, तो हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स का पद आधार अवयस्क का क्रम है)।

रैंक के साथ चीजें कैसी हैं, इसके अनुसार SLAE को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। परसंयुक्त प्रणालियों में, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक (केवल गुणांक से मिलकर) विस्तारित एक (मुक्त सदस्यों के एक कॉलम के साथ) के रैंक के साथ मेल खाती है। ऐसी प्रणालियों का एक समाधान होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही हो, इसलिए इसके अतिरिक्त संयुक्त प्रणालीमें बांटें:
• - निश्चित- एक अनूठा समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही बात है) समान हैं;
• - अनिश्चितकालीन -अनंत समाधान के साथ। ऐसी प्रणालियों के लिए मैट्रिसेस की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।
• असंगत। परऐसी प्रणालियाँ, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक मेल नहीं खाते हैं। असंगत प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधि इस मायने में अच्छी है कि यह किसी को या तो सिस्टम की असंगति का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देती है (बिना बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के) या अनंत संख्या में समाधान वाले सिस्टम के लिए एक सामान्य समाधान।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समाधान के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बनाना संभव है। यह प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनका कार्यान्वयन किसी भी तरह से अंतिम उत्तर को नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त में से कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मैट्रिसेस के लिए मान्य हैं, जिसका स्रोत ठीक SLAE था। यहां इन परिवर्तनों की एक सूची दी गई है:

1. स्ट्रिंग क्रमपरिवर्तन। यह स्पष्ट है कि यदि सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों का क्रम बदल दिया जाता है, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में, नि: शुल्क सदस्यों के कॉलम के बारे में, निश्चित रूप से, पंक्तियों को स्वैप करना भी संभव है।
2. एक स्ट्रिंग के सभी तत्वों को किसी कारक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसे छोटा करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है बड़ी संख्यामैट्रिक्स में या शून्य को हटा दें। समाधान का सेट, हमेशा की तरह, नहीं बदलेगा, और आगे के संचालन करने के लिए यह अधिक सुविधाजनक हो जाएगा। मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।
3. आनुपातिक गुणांक वाली पंक्तियों को हटाएं। यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक हैं, तो आनुपातिकता गुणांक द्वारा पंक्तियों में से एक को गुणा / विभाजित करते समय, दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और आप अतिरिक्त को हटा सकते हैं, केवल छोड़कर एक।
4. शून्य रेखा को हटा रहा है। यदि परिवर्तन के दौरान एक स्ट्रिंग कहीं प्राप्त होती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य होते हैं, तो ऐसी स्ट्रिंग को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर फेंक दिया जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के तत्वों को जोड़ना (संबंधित कॉलम में), एक निश्चित गुणांक से गुणा करना। सभी का सबसे अस्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

एक कारक द्वारा गुणा की गई स्ट्रिंग को जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरणबद्ध तरीके से अलग करना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए 21 ए 22 ... ए 2एन | बी 2

मान लीजिए कि आपको पहले को दूसरे में जोड़ना होगा, गुणांक "-2" से गुणा करना होगा।

ए" 21 \u003d ए 21 + -2 × ए 11

ए" 22 \u003d ए 22 + -2 × ए 12

ए" 2एन \u003d ए 2एन + -2 × ए 1एन

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नए के साथ बदल दिया जाता है, और पहली पंक्ति अपरिवर्तित रहती है।

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए" 21 ए" 22 ... ए" 2एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन कारक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो तारों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, नई स्ट्रिंग के तत्वों में से एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, सिस्टम में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है, जहां एक कम अज्ञात होगा। और अगर आपको दो ऐसे समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन फिर से किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जिसमें पहले से ही दो कम अज्ञात होंगे। और अगर हर बार हम सभी पंक्तियों के लिए शून्य एक गुणांक की ओर मुड़ते हैं जो मूल एक से कम है, तो हम चरणों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गाऊसी पद्धति का उपयोग करके प्रणाली को हल करना कहा जाता है।

सामान्य रूप में

एक सिस्टम होने दो। इसमें m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम के गुणांक से संकलित है। विस्तारित मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम जोड़ा जाता है और सुविधा के लिए एक बार द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k = (-a 21 / a 11) से गुणा किया जाता है;
• पहली संशोधित पंक्ति और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ का परिणाम मैट्रिक्स में डाला जाता है;
• अब में पहला गुणांक नया सेकंडलाइन एक 11 × (-ए 21 / ए 11) + ए 21 = -ए 21 + ए 21 = 0 है।

अब परिवर्तनों की एक ही श्रृंखला की जाती है, केवल पहली और तीसरी पंक्तियाँ शामिल होती हैं। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व a 21 को 31 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर सब कुछ एक 41 , ... a m1 के लिए दोहराया जाता है। परिणाम एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व शून्य के बराबर है। अब हमें लाइन नंबर एक को भूलने की जरूरत है और दूसरी लाइन से शुरू होने वाले उसी एल्गोरिदम को निष्पादित करना होगा:

• गुणांक के \u003d (-ए 32 / ए 22);
• दूसरी संशोधित लाइन को "करंट" लाइन में जोड़ा जाता है;
• जोड़ के परिणाम को तीसरे, चौथे और इसी तरह की पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों में, पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिथ्म को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k = (-a m,m-1 /a mm) प्रकट न हो जाए। इसका मतलब है कि में पिछली बारएल्गोरिथ्म केवल निचले समीकरण के लिए किया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिभुज जैसा दिखता है, या इसमें एक चरणबद्ध आकार होता है। निचली पंक्ति में समानता a mn × x n = b m है। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और मूल उनके माध्यम से व्यक्त किया जाता है: x n = b m /a mn। परिणामी रूट को x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 खोजने के लिए शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है। और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में एक नई जड़ होती है, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचकर, आप कई समाधान पा सकते हैं। यह इकलौता होगा।

जब कोई उपाय न हो

यदि मैट्रिक्स पंक्तियों में से एक में मुक्त पद को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति के अनुरूप समीकरण 0 = बी जैसा दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है। और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया जाता है, तो पूरे सिस्टम के समाधान का सेट खाली होता है, यानी यह पतित होता है।

जब अनंत संख्या में समाधान हों

यह पता चल सकता है कि कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स में एक तत्व के साथ कोई पंक्तियाँ नहीं हैं - समीकरण का गुणांक, और एक - एक मुक्त सदस्य। केवल स्ट्रिंग्स हैं, जो फिर से लिखे जाने पर, दो या दो से अधिक चर वाले समीकरण की तरह दिखाई देंगे। इसका मतलब है कि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। यह कैसे करना है?

मैट्रिक्स में सभी चर मूल और मुक्त में विभाजित हैं। मूल - ये वे हैं जो चरणबद्ध मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े होते हैं। बाकी फ्री हैं। सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के रूप में लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से अंतिम में, जहां केवल एक मूल चर रहता है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरे में स्थानांतरित हो जाता है। यह प्रत्येक समीकरण के लिए एक मूल चर के साथ किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहाँ संभव हो, मूल चर के बजाय, इसके लिए प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि परिणाम फिर से एक अभिव्यक्ति है जिसमें केवल एक मूल चर होता है, तो इसे फिर से वहां से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता है। यह SLAE का सामान्य समाधान है।

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई भी मान दें, और फिर इस विशेष मामले के लिए मूल चर के मूल्यों की गणना करें। असीम रूप से कई विशेष समाधान हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की प्रणाली है।

सुविधा के लिए, तुरंत इसका मैट्रिक्स बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि गॉस विधि द्वारा हल करते समय, परिवर्तन के अंत में पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बायां तत्व सबसे छोटा है - तो संचालन के बाद शेष पंक्तियों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। इसका मतलब है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरा रखना फायदेमंद होगा।

दूसरी पंक्ति: के = (-ए 21 / ए 11) = (-3/1) = -3

ए" 21 \u003d ए 21 + के × ए 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

ए" 22 \u003d ए 22 + के × ए 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

बी "2 \u003d बी 2 + के × बी 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

तीसरी पंक्ति: के = (-ए 3 1 /ए 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ मैट्रिक्स को लिखना आवश्यक है।

यह स्पष्ट है कि इस तरह के मैट्रिक्स को कुछ ऑपरेशनों की मदद से धारणा के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "माइनस" को हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणज हैं। फिर आप इस संख्या से स्ट्रिंग को छोटा कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" से गुणा कर सकते हैं (शून्य - एक ही समय में, हटाने के लिए) नकारात्मक मान).

ज्यादा अच्छा लगता है। अब हमें पहली पंक्ति को अकेला छोड़कर दूसरी और तीसरी के साथ काम करने की आवश्यकता है। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, इस तरह के गुणांक से गुणा किया जाता है कि तत्व 32 शून्य के बराबर हो जाता है।

के = (-ए 32 / ए 22) = (-3/7) = -3/7 सामान्य अंश, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त हो जाते हैं, तो तय करें कि क्या गोल करना है और किसी अन्य प्रकार के रिकॉर्ड में अनुवाद करना है)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

ए" 33 \u003d ए 33 + के × ए 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

मैट्रिक्स को फिर से नए मूल्यों के साथ लिखा गया है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स में पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉस विधि द्वारा प्रणाली के आगे परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटाने के लिए यहां क्या किया जा सकता है।

अब सब कुछ सुंदर है। बिंदु छोटा है - समीकरणों की प्रणाली के रूप में मैट्रिक्स को फिर से लिखें और जड़ों की गणना करें

एक्स + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

जिस एल्गोरिथम के द्वारा अब जड़ें मिल जाएंगी, उसे गॉस विधि में रिवर्स मूव कहा जाता है। समीकरण (3) में z का मान है:

वाई = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

और पहला समीकरण आपको x खोजने की अनुमति देता है:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

हमें इस तरह की प्रणाली को संयुक्त कहने का अधिकार है, और यहां तक ​​​​कि निश्चित, यानी एक अनूठा समाधान होना। प्रतिक्रिया निम्नलिखित रूप में लिखी गई है:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9।

अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गाऊसी पद्धति द्वारा एक निश्चित प्रणाली को हल करने के प्रकार का विश्लेषण किया गया है, अब इस मामले पर विचार करना आवश्यक है यदि प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात इसके लिए असीम रूप से कई समाधान मिल सकते हैं।

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 + एक्स 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टम का बहुत ही रूप पहले से ही खतरनाक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n = 5 है, और सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m = 4 है, अर्थात, वर्ग सारणिक का सबसे बड़ा क्रम 4 है। इसका मतलब है कि अनंत संख्या में समाधान हैं, और इसके सामान्य रूप को देखना आवश्यक है। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि ऐसा करना संभव बनाती है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, संवर्धित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k = (-a 21 / a 11) = -3। तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की ज़रूरत नहीं है, आपको इसे वैसे ही छोड़ने की ज़रूरत है। चौथी पंक्ति: के = (-ए 4 1 /ए 11) = -5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक से गुणा करके और उन्हें वांछित पंक्तियों में जोड़कर, हम निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में ऐसे तत्व होते हैं जो एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। दूसरा और चौथा आम तौर पर समान होता है, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और बाकी को गुणांक "-1" से गुणा किया जाता है और लाइन नंबर 3 प्राप्त होता है। और फिर, दो समान लाइनों में से एक को छोड़ दें।

यह ऐसा मैट्रिक्स निकला। सिस्टम को अभी तक नहीं लिखा गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - गुणांक पर खड़े एक 11 \u003d 1 और एक 22 \u003d 1, और मुक्त - बाकी सभी।

दूसरे समीकरण में केवल एक मूल चर है - x 2 । इसलिए, इसे वहां से x 3 , x 4 , x 5 चरों के माध्यम से लिखकर व्यक्त किया जा सकता है, जो स्वतंत्र हैं।

हम परिणामी व्यंजक को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

यह एक ऐसा समीकरण निकला जिसमें एकमात्र मूल चर x 1 है। आइए इसके साथ वैसा ही करें जैसा x 2 के साथ करते हैं।

सभी बुनियादी चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, अब आप सामान्य रूप में उत्तर लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के किसी विशेष समाधान को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एक नियम के रूप में, शून्य को मुक्त चर के लिए मान के रूप में चुना जाता है। तो उत्तर होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

असंगत प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा असंगत समीकरण प्रणालियों का समाधान सबसे तेज़ है। यह समाप्त हो जाता है जैसे ही किसी एक चरण में एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं होता है। यानी जड़ों की गणना वाली अवस्था, जो काफी लंबी और नीरस होती है, गायब हो जाती है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जाता है:

एक्स + वाई - जेड = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और इसे एक चरणबद्ध रूप में घटा दिया गया है:

के 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहले परिवर्तन के बाद, तीसरी पंक्ति में फॉर्म का समीकरण होता है

जिसका कोई समाधान नहीं है। इसलिए, सिस्टम असंगत है, और उत्तर खाली सेट है।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप पेन से SLAE को पेपर पर हल करने के लिए कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर विचार किया गया था, वह सबसे आकर्षक लगती है। प्राथमिक परिवर्तनों में, यदि आप मैन्युअल रूप से निर्धारक या कुछ मुश्किल उलटा मैट्रिक्स की तलाश करना चाहते हैं, तो ऐसा होने से भ्रमित होना अधिक कठिन होता है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए कार्यक्रमों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे कार्यक्रमों में पहले से ही मैट्रिक्स के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम शामिल हैं - निर्धारक, नाबालिग, व्युत्क्रम, और इसी तरह। और यदि आप सुनिश्चित हैं कि मशीन इन मूल्यों की गणना स्वयं करेगी और गलती नहीं करेगी, तो मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करना अधिक समीचीन है, क्योंकि उनका आवेदन निर्धारकों की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है और उलटा मैट्रिक्स.

आवेदन पत्र

चूंकि गाऊसी समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स, वास्तव में, एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमी के लिए" एक गाइड के रूप में रखता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि विधि डालने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। फिर से, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किया गया कोई भी SLAE एक्सेल द्वारा द्वि-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए, कई अच्छे आदेश हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मैट्रिस जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स गुणा (कुछ प्रतिबंधों के साथ भी), उलटा और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिस ढूंढना और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि , निर्धारक की गणना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स की रैंक को बहुत तेज़ी से निर्धारित करना संभव है और इसलिए, इसकी संगतता या असंगति स्थापित करना संभव है।