गाऊसी चरणबद्ध विधि। रिवर्स गॉस विधि

गॉस विधिरैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए एकदम सही बीजीय समीकरण(एसएलएयू)। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, संगतता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पूर्व-जांच की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉस विधि का उपयोग न केवल SLAE को हल करने के लिए किया जा सकता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-पतित है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी है जिसमें समीकरणों की संख्या होती है अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाता या मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉस विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख की संक्षिप्त समीक्षा।

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और कुछ संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

अगला, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिथ्म का वर्णन करते हैं, अर्थात रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाता है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक नहीं हैं शून्य के बराबर। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस पद्धति का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जिसमें अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन होता है। इसलिए गॉस विधि को विधि भी कहा जाता है अनुक्रमिक बहिष्करणअनजान। आइए दिखाते हैं विस्तृत समाधानकुछ उदाहरण।

अंत में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के गाऊसी समाधान पर विचार करते हैं, जिसका मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या पतित है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिनका हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन।

पी की एक प्रणाली पर विचार करें रेखीय समीकरण n अज्ञात के साथ (p, n के बराबर हो सकता है):

जहां अज्ञात चर हैं, संख्याएं (वास्तविक या जटिल) हैं, स्वतंत्र सदस्य हैं।

यदि एक , तब रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय कहलाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का समुच्चय, जिसमें निकाय के सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, कहलाते हैं SLAU निर्णय.

यदि रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का कम से कम एक हल हो, तो उसे कहते हैं संयुक्त, अन्यथा - असंगत.

यदि SLAE के पास है केवल निर्णय, तो इसे कहा जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक हल हों, तो निकाय कहलाता है ढुलमुल.

कहा जाता है कि सिस्टम में लिखा गया है समन्वय प्रपत्रअगर इसका रूप है
.

में यह प्रणाली मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहां - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के कॉलम का मैट्रिक्स, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतितयदि इसका सारणिक शून्य है। यदि , तो मैट्रिक्स A को कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के साथ निम्नलिखित क्रियाएं की जाती हैं

• दो समीकरण स्वैप करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को एक मनमाना संख्या k से गुणा करके जोड़ें,

तब हमें एक समान प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ होगा: प्राथमिक परिवर्तनपंक्तियों के साथ:

• दो तारों की अदला-बदली
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़ना, एक मनमाना संख्या k से गुणा करना।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉस विधि द्वारा रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की सॉल्विंग सिस्टम, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट होता है।

अगर हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ ऐसा करेंगे।

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के बाईं ओर पहले समीकरण के बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़कर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 ढूंढ सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरणों में पाए गए मान x 1 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम निकाय के तीसरे समीकरण के दोनों भागों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम प्राप्त मान x 2 \u003d 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अन्यथा किया होता।

आइए अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों में इस चर को बाहर करने के लिए प्रतिस्थापित करें:

अब x 2 के संबंध में सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करते हैं और अज्ञात चर x 2 को इससे बाहर करने के लिए प्राप्त परिणाम को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यह प्रणाली के तीसरे समीकरण से देखा जा सकता है कि x 3 =3। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

परिचित समाधान, है ना?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, अर्थात गॉस विधि। जब हमने अज्ञात चरों (पहले x 1 , अगले x 2 ) को व्यक्त किया और उन्हें सिस्टम के बाकी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने उस समय तक अपवाद को अंजाम दिया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञातों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. आगे की चाल पूरी होने के बाद, हमारे पास अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, अंतिम समीकरण से, हम अगला अज्ञात चर पाते हैं, और इसी तरह। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के रूप में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया हमें अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करने की अनुमति देती है:

गॉस विधि द्वारा अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU . में पहले समीकरण में, कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम इस अज्ञात चर को शेष समीकरणों से बाहर करने के लिए x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का तरीका व्यवस्था के समीकरणों की अदला-बदली करना है। चूंकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं जिनके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य से भिन्न होते हैं, हमेशा एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के बाकी समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 पहले से ही दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है)।

हमें उम्मीद है कि आपको सार मिल गया होगा।

आइए वर्णन करें गॉस विधि एल्गोरिथ्म।

आइए हमें n रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है जिसमें n अज्ञात चर के रूप में है , और इसके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को गैर-शून्य होने दें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे को गुणा करके जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, प्राप्त मान x n का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले से x 1 पाते हैं समीकरण

आइए एक उदाहरण के साथ एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

गाऊसी विधि।

समाधान।

गुणांक ए 11 शून्य से अलग है, तो चलिए गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम के लिए आगे बढ़ते हैं, अर्थात अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से समाप्त करने के लिए, पहले वाले को छोड़कर। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को क्रमशः गुणा करके जोड़ें, तथा :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, आइए बहिष्करण x 2 पर चलते हैं। प्रणाली के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करके जोड़ते हैं तथा :

गॉस विधि के आगे के पाठ्यक्रम को पूरा करने के लिए, हमें अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता है। आइए चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को क्रमशः बाएँ और में जोड़ें दाईं ओरतीसरे समीकरण को से गुणा किया जाता है :

आप गॉस विधि का उल्टा कोर्स शुरू कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें मिलता है,
दूसरे से
पहले से।

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में स्थानापन्न कर सकते हैं। सभी समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, जिसका अर्थ है कि गॉस विधि द्वारा हल सही पाया गया।

उत्तर:

और अब हम इसी उदाहरण के हल को गॉस विधि द्वारा आव्यूह रूप में देंगे।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गाऊसी विधि।

समाधान।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के ऊपर अज्ञात चर लिखे होते हैं, जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप होते हैं।

गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक समलम्बाकार रूप में लाना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चर के बहिष्करण के समान है जो हमने सिस्टम के साथ समन्वय रूप में किया था। अब आपको यकीन हो गया होगा।

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि दूसरे से शुरू होने वाले पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में, पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें, और क्रमशः:

अगला, हम परिणामी मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं ताकि दूसरे कॉलम में, तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को बाहर करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें तथा :

यह अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में, हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है

जो प्रत्यक्ष चाल के बाद पहले प्राप्त हुआ था।

वापस मुड़ने का समय आ गया है। संकेतन के मैट्रिक्स रूप में, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स में परिणामी मैट्रिक्स का ऐसा परिवर्तन शामिल होता है, जिससे मैट्रिक्स को आकृति में चिह्नित किया जाता है

विकर्ण बन गया, अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ नंबर कहां हैं।

ये परिवर्तन गॉस पद्धति के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक की जाती हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों को क्रमशः और से गुणा करते हैं:

पर अंतिम चरणगाऊसी विधि के रिवर्स मोशन में, पहली पंक्ति के तत्वों में, हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है , जिसमें से हम अज्ञात चर पाते हैं।

उत्तर:

टिप्पणी।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस पद्धति का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे बिल्कुल गलत परिणाम हो सकते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप दशमलव को गोल न करें। किस्मत का धनी दशमलव भागसाधारण अंशों पर स्विच करें।

उदाहरण।

गाऊसी विधि द्वारा तीन समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

समाधान।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में, अज्ञात चरों का एक अलग पदनाम है (x 1 , x 2 , x 3 नहीं, बल्कि x, y, z )। आइए सामान्य भिन्नों पर चलते हैं:

सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को हटा दें:

परिणामी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में कोई अज्ञात चर y नहीं है, और y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, हम दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करते हैं:

इस बिंदु पर, गॉस विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम समाप्त हो गया है (आपको y को तीसरे समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिये वापस चलते हैं।

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


पहले समीकरण से हमारे पास है

उत्तर:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है, या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गॉस विधि द्वारा पतित है।

समीकरणों की प्रणाली जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्ग पतित है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक एकल समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि गॉस विधि आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता या असंगति स्थापित करने की अनुमति कैसे देती है, और इसकी संगतता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करें।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालांकि, यह कुछ स्थितियों पर विस्तार से ध्यान देने योग्य है जो उत्पन्न हो सकती हैं।

आइए सबसे महत्वपूर्ण कदम पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि गॉस विधि के फॉरवर्ड रन के पूरा होने के बाद रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है और कोई भी समीकरण कम नहीं हुआ (इस मामले में, हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। एक तार्किक प्रश्न उठता है: "आगे क्या करना है"?

हम अज्ञात चर लिखते हैं जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों के पहले स्थान पर हैं:

हमारे उदाहरण में, ये x 1 , x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाएं हिस्सों में, हम केवल उन शब्दों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, हम शेष शर्तों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम अज्ञात चरों के लिए मनमाना मान निर्दिष्ट करें जो समीकरणों के दायीं ओर हैं, जहां - मनमानी संख्या:

उसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के सही भागों में संख्याएँ पाई जाती हैं और हम गॉस विधि के रिवर्स कोर्स के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, हम पाते हैं कि अंतिम समीकरण से, पहले समीकरण से हमें मिलता है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मूल्यों का समूह है

नंबर देना विभिन्न अर्थ, हम प्राप्त करेंगे विभिन्न समाधानसमीकरणों की प्रणाली। अर्थात्, हमारे समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

उत्तर:

कहाँ पे - मनमानी संख्या।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

तय करना सजातीय प्रणालीरैखिक बीजीय समीकरण गाऊसी विधि।

समाधान।

आइए अज्ञात चर x को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, क्रमशः पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करके, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में जोड़ें - बाएँ और दाएँ भाग पहला समीकरण, इससे गुणा:

अब हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करते हैं:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।मान लीजिए कि हमें सिस्टम से समाधान खोजने की जरूरत है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहला, the एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू होकर, तब x2सभी समीकरणों में से, तीसरे से शुरू होकर, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर न रह जाए एक्स एन. अज्ञात चरों के क्रमिक विलोपन के लिए निकाय के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस विधि की अग्रगामी चाल के पूरा होने के बाद, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके गणना की जाती है xn-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से पाया जाता है एक्स 1. सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सिस्टम के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके पहला समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

यदि हम व्यक्त करते हैं तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया था। तो चर एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे को गुणा करके जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . तो चर x2तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनअंतिम समीकरण से, प्राप्त मूल्य का उपयोग करते हुए एक्स एनपाना xn-1अंतिम समीकरण से, और इसी तरह, हम पाते हैं एक्स 1पहले समीकरण से

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

इस लेख में, विधि को रैखिक समीकरणों (SLAE) के सिस्टम को हल करने के तरीके के रूप में माना जाता है। विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको एक समाधान एल्गोरिथ्म लिखने की अनुमति देती है सामान्य दृष्टि से, और फिर वहां विशिष्ट उदाहरणों से मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके पास असीम रूप से कई समाधान हैं। या उनके पास बिल्कुल नहीं है।

गॉस क्या मतलब है

सबसे पहले आपको हमारे समीकरणों की प्रणाली को इस तरह दिखने में लिखना होगा। सिस्टम लिया जाता है:

गुणांक एक तालिका के रूप में लिखे गए हैं, और दाईं ओर एक अलग कॉलम में - मुक्त सदस्य। सुविधा के लिए मुक्त सदस्यों वाले कॉलम को अलग किया जाता है। इस कॉलम को शामिल करने वाले मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है।

इसके अलावा, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय आकार में कम किया जाना चाहिए। यह गॉस विधि द्वारा प्रणाली को हल करने का मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें, कुछ जोड़तोड़ के बाद, मैट्रिक्स इस तरह दिखना चाहिए, ताकि इसके निचले बाएं हिस्से में केवल शून्य हों:

फिर, यदि आप नए मैट्रिक्स को फिर से समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही एक मूल का मान होता है, जिसे बाद में उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और रूट पाया जाता है, और इसी तरह।

गॉस विधि द्वारा समाधान का यह वर्णन सबसे अधिक सामान्य शब्दों में. और क्या होगा अगर अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है? या उनमें से एक अनंत संख्या है? इन और कई अन्य प्रश्नों के उत्तर के लिए गॉस विधि द्वारा समाधान में प्रयुक्त सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स, उनके गुण

कोई भी नहीं छुपा हुआ मतलबमैट्रिक्स में नहीं। यह बाद के संचालन के लिए डेटा रिकॉर्ड करने का एक सुविधाजनक तरीका है। स्कूली बच्चों को भी इनसे नहीं डरना चाहिए।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि गॉस विधि में, जहां सब कुछ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्माण के लिए उबलता है, एक आयत प्रविष्टि में दिखाई देती है, केवल उस स्थान पर शून्य के साथ जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य को छोड़ा जा सकता है, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का एक आकार होता है। इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, इसकी "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। फिर मैट्रिक्स ए का आकार (राजधानियों को आमतौर पर उन्हें निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है) पत्र) को A m×n के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह आव्यूह वर्गाकार है, और m=n इसका क्रम है। तदनुसार, आव्यूह A के किसी भी अवयव को उसकी पंक्ति और स्तम्भ की संख्या से निरूपित किया जा सकता है: a xy ; x-पंक्ति संख्या, परिवर्तन, y-स्तंभ संख्या, परिवर्तन।

बी समाधान का मुख्य बिंदु नहीं है। सिद्धांत रूप में, सभी ऑपरेशन सीधे समीकरणों के साथ किए जा सकते हैं, लेकिन अंकन बहुत अधिक बोझिल हो जाएगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

मैट्रिक्स में एक निर्धारक भी होता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता है। इसका अर्थ खोजना अब इसके लायक नहीं है, आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि यह मैट्रिक्स के कौन से गुण निर्धारित करता है। सारणिक खोजने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान के साथ विकर्ण - "प्लस" चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - "माइनस" चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। के लिये आयताकार मैट्रिक्सआप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या से, सबसे छोटा चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में k कॉलम और k पंक्तियों को यादृच्छिक रूप से चिह्नित करें। चयनित स्तंभों और पंक्तियों के चौराहे पर स्थित तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का आधार नाबालिग कहा जाता है।

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, सारणिक की गणना करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं, या कोई भी नहीं हैं। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स के रैंक के बारे में पता लगाने की जरूरत है।

सिस्टम वर्गीकरण

मैट्रिक्स के रैंक जैसी कोई चीज होती है। यह इसके गैर-शून्य निर्धारक का अधिकतम क्रम है (आधार नाबालिग को याद करते हुए, हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स का रैंक आधार नाबालिग का क्रम है)।

रैंक के साथ चीजें कैसी हैं, इसके अनुसार SLAE को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। परसंयुक्त प्रणालियों की, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक (केवल गुणांक से मिलकर) विस्तारित एक (मुक्त सदस्यों के एक कॉलम के साथ) के रैंक के साथ मेल खाती है। ऐसी प्रणालियों का एक समाधान होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही हो, इसलिए इसके अतिरिक्त संयुक्त प्रणालीमें बांटें:
• - निश्चित- एक अनूठा समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही बात है) समान हैं;
• - अनिश्चितकालीन -अनंत समाधान के साथ। ऐसी प्रणालियों के लिए मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।
• असंगत। परऐसी प्रणालियाँ, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक मेल नहीं खाते हैं। असंगत प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधि इस मायने में अच्छी है कि यह किसी को या तो सिस्टम की असंगति का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देती है (बिना बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के) या समाधान के दौरान अनंत संख्या में समाधान वाले सिस्टम के लिए एक सामान्य समाधान।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समाधान के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बनाना संभव है। यह प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनका कार्यान्वयन किसी भी तरह से अंतिम उत्तर को नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त में से कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मैट्रिसेस के लिए मान्य हैं, जिसका स्रोत ठीक SLAE था। यहां इन परिवर्तनों की एक सूची दी गई है:

1. स्ट्रिंग क्रमपरिवर्तन। यह स्पष्ट है कि यदि हम सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों के क्रम को बदलते हैं, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में पंक्तियों को इंटरचेंज करना भी संभव है, निश्चित रूप से, मुक्त सदस्यों के कॉलम के बारे में नहीं भूलना।
2. एक स्ट्रिंग के सभी तत्वों को किसी कारक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसे छोटा करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है बड़ी संख्यामैट्रिक्स में या शून्य को हटा दें। समाधान का सेट, हमेशा की तरह, नहीं बदलेगा, और आगे के संचालन करने के लिए यह अधिक सुविधाजनक हो जाएगा। मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।
3. आनुपातिक गुणांक वाली पंक्तियों को हटाएं। यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि मैट्रिक्स में दो या अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक होते हैं, तो आनुपातिकता गुणांक द्वारा पंक्तियों में से एक को गुणा / विभाजित करते समय, दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और आप अतिरिक्त को हटा सकते हैं, केवल छोड़कर एक।
4. शून्य रेखा को हटा रहा है। यदि परिवर्तन के दौरान एक स्ट्रिंग कहीं प्राप्त होती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य होते हैं, तो ऐसी स्ट्रिंग को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर फेंक दिया जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के तत्वों को जोड़ना (संबंधित कॉलम में), एक निश्चित गुणांक से गुणा करना। सभी का सबसे अस्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

एक कारक द्वारा गुणा की गई स्ट्रिंग को जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरण दर चरण अलग करना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए 21 ए 22 ... ए 2एन | बी 2

मान लीजिए कि आपको पहले को दूसरे में जोड़ना होगा, गुणांक "-2" से गुणा करना होगा।

ए" 21 \u003d ए 21 + -2 × ए 11

ए" 22 \u003d ए 22 + -2 × ए 12

ए" 2एन \u003d ए 2एन + -2 × ए 1एन

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नए के साथ बदल दिया जाता है, और पहली पंक्ति अपरिवर्तित रहती है।

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए" 21 ए" 22 ... ए" 2एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन कारक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो तारों के जोड़ के परिणामस्वरूप, नई स्ट्रिंग के तत्वों में से एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, सिस्टम में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है जहां एक कम अज्ञात होगा। और अगर आपको दो ऐसे समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन फिर से किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जिसमें पहले से ही दो कम अज्ञात होंगे। और अगर हर बार हम सभी पंक्तियों के लिए शून्य एक गुणांक की ओर मुड़ते हैं जो मूल एक से कम है, तो हम चरणों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गाऊसी पद्धति का उपयोग करके प्रणाली को हल करना कहा जाता है।

सामान्य रूप में

एक सिस्टम होने दो। इसमें m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम के गुणांक से संकलित है। विस्तारित मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम जोड़ा जाता है और सुविधा के लिए एक बार द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k = (-a 21 / a 11) से गुणा किया जाता है;
• पहली संशोधित पंक्ति और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ का परिणाम मैट्रिक्स में डाला जाता है;
• अब में पहला गुणांक नया सेकंडलाइन एक 11 × (-ए 21 / ए 11) + ए 21 = -ए 21 + ए 21 = 0 है।

अब परिवर्तनों की एक ही श्रृंखला की जाती है, केवल पहली और तीसरी पंक्तियाँ शामिल होती हैं। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व a 21 को 31 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर सब कुछ एक 41 , ... a m1 के लिए दोहराया जाता है। परिणाम एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व शून्य के बराबर है। अब हमें लाइन नंबर एक के बारे में भूलने की जरूरत है और दूसरी लाइन से शुरू होने वाले उसी एल्गोरिदम को निष्पादित करना होगा:

• गुणांक के \u003d (-ए 32 / ए 22);
• दूसरी संशोधित लाइन को "करंट" लाइन में जोड़ा जाता है;
• जोड़ के परिणाम को तीसरे, चौथे और इसी तरह की पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों में, पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिथ्म को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k = (-a m,m-1 /a mm) प्रकट न हो जाए। इसका मतलब है कि में पिछली बारएल्गोरिथ्म केवल निचले समीकरण के लिए किया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिभुज जैसा दिखता है, या इसमें एक चरणबद्ध आकार होता है। निचली पंक्ति में समानता a mn × x n = b m है। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और मूल उनके माध्यम से व्यक्त किया जाता है: x n = b m /a mn। परिणामी रूट को x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 खोजने के लिए शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है। और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में एक नई जड़ होती है, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचकर, आप कई समाधान पा सकते हैं। यह इकलौता होगा।

जब कोई उपाय न हो

यदि मैट्रिक्स पंक्तियों में से एक में मुक्त पद को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति से संबंधित समीकरण 0 = बी जैसा दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है। और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया जाता है, तो पूरे सिस्टम के समाधान का सेट खाली होता है, यानी यह पतित होता है।

जब अनंत संख्या में समाधान हों

यह पता चल सकता है कि कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स में एक तत्व के साथ कोई पंक्तियाँ नहीं हैं - समीकरण का गुणांक, और एक - एक मुक्त सदस्य। केवल स्ट्रिंग्स हैं, जो फिर से लिखे जाने पर, दो या दो से अधिक चर वाले समीकरण की तरह दिखाई देंगे। इसका मतलब है कि सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। यह कैसे करना है?

मैट्रिक्स में सभी चर मूल और मुक्त में विभाजित हैं। मूल - ये वे हैं जो चरणबद्ध मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े होते हैं। बाकी फ्री हैं। सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के रूप में लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से अंतिम में, जहां केवल एक मूल चर रहता है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरे में स्थानांतरित हो जाता है। यह प्रत्येक समीकरण के लिए एक मूल चर के साथ किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहाँ संभव हो, मूल चर के बजाय, इसके लिए प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि, परिणामस्वरूप, एक व्यंजक फिर से केवल एक मूल चर युक्त प्रकट होता है, तो इसे फिर से वहाँ से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता है। यह SLAE का सामान्य समाधान है।

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई भी मान दें, और फिर इस विशेष मामले के लिए मूल चर के मूल्यों की गणना करें। असीम रूप से कई विशेष समाधान हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की प्रणाली है।

सुविधा के लिए, तुरंत इसका मैट्रिक्स बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि गॉस विधि द्वारा हल करते समय, परिवर्तन के अंत में पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बायां तत्व सबसे छोटा है - तो ऑपरेशन के बाद शेष पंक्तियों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। इसका मतलब है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरा रखना फायदेमंद होगा।

दूसरी पंक्ति: के = (-ए 21 / ए 11) = (-3/1) = -3

ए" 21 \u003d ए 21 + के × ए 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

ए" 22 \u003d ए 22 + के × ए 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

बी "2 \u003d बी 2 + के × बी 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

तीसरी पंक्ति: के = (-ए 3 1 /ए 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ मैट्रिक्स को लिखना आवश्यक है।

यह स्पष्ट है कि इस तरह के मैट्रिक्स को कुछ ऑपरेशनों की मदद से धारणा के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "माइनस" को हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणज हैं। फिर आप इस संख्या से स्ट्रिंग को छोटा कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" से गुणा कर सकते हैं (शून्य - एक ही समय में, हटाने के लिए) नकारात्मक मान).

ज्यादा अच्छा लग रहा है। अब हमें पहली पंक्ति को अकेला छोड़कर दूसरी और तीसरी के साथ काम करने की आवश्यकता है। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, इस तरह के कारक से गुणा किया जाता है कि तत्व 32 शून्य के बराबर हो जाता है।

के = (-ए 32 / ए 22) = (-3/7) = -3/7 सामान्य अंश, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त हो जाते हैं, तो तय करें कि क्या गोल करना है और किसी अन्य प्रकार के रिकॉर्ड में अनुवाद करना है)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

ए" 33 \u003d ए 33 + के × ए 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

मैट्रिक्स को फिर से नए मूल्यों के साथ लिखा गया है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स में पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉस विधि द्वारा प्रणाली के और परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है। तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटाने के लिए यहां क्या किया जा सकता है।

अब सब कुछ सुंदर है। बिंदु छोटा है - समीकरणों की प्रणाली के रूप में मैट्रिक्स को फिर से लिखें और जड़ों की गणना करें

एक्स + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

जिस एल्गोरिथम से जड़ें अब मिल जाएंगी, उसे गॉस विधि में रिवर्स मूव कहा जाता है। समीकरण (3) में z का मान है:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

और पहला समीकरण आपको x खोजने की अनुमति देता है:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

हमें इस तरह की प्रणाली को संयुक्त कहने का अधिकार है, और यहां तक ​​​​कि निश्चित, यानी एक अनूठा समाधान होना। प्रतिक्रिया निम्नलिखित रूप में लिखी गई है:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9।

अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा एक निश्चित प्रणाली को हल करने के संस्करण का विश्लेषण किया गया है, अब मामले पर विचार करना आवश्यक है यदि प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात इसके लिए असीम रूप से कई समाधान मिल सकते हैं।

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 + एक्स 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टम का बहुत ही रूप पहले से ही खतरनाक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n = 5 है, और सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m = 4 है, अर्थात, वर्ग सारणिक का सबसे बड़ा क्रम 4 है। इसका मतलब है कि अनंत संख्या में समाधान हैं, और इसके सामान्य रूप को देखना आवश्यक है। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि ऐसा करना संभव बनाती है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, संवर्धित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k = (-a 21 / a 11) = -3। तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की आवश्यकता नहीं है, आपको इसे वैसे ही छोड़ने की आवश्यकता है। चौथी पंक्ति: के = (-ए 4 1 /ए 11) = -5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक से गुणा करना और उन्हें वांछित पंक्तियों में जोड़ना, हम निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में ऐसे तत्व होते हैं जो एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। दूसरे और चौथे आम तौर पर समान होते हैं, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और बाकी को गुणांक "-1" से गुणा किया जाता है और लाइन नंबर 3 प्राप्त होता है। और फिर, दो समान लाइनों में से एक को छोड़ दें।

यह ऐसा मैट्रिक्स निकला। सिस्टम को अभी तक नहीं लिखा गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - गुणांक पर खड़े एक 11 \u003d 1 और एक 22 \u003d 1, और मुक्त - बाकी सभी।

दूसरे समीकरण में केवल एक मूल चर है - x 2 । इसलिए, इसे वहां से x 3 , x 4 , x 5 चरों के माध्यम से लिखकर व्यक्त किया जा सकता है, जो स्वतंत्र हैं।

हम परिणामी व्यंजक को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

यह एक ऐसा समीकरण निकला जिसमें एकमात्र मूल चर x 1 है। आइए इसके साथ वैसा ही करें जैसा x 2 के साथ करते हैं।

सभी बुनियादी चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, अब आप सामान्य रूप में उत्तर लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के किसी विशेष समाधान को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एक नियम के रूप में, शून्य को मुक्त चर के लिए मान के रूप में चुना जाता है। तो उत्तर होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

असंगत प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा असंगत समीकरण प्रणालियों का समाधान सबसे तेज़ है। यह समाप्त हो जाता है जैसे ही किसी एक चरण में एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं होता है। यानी जड़ों की गणना वाली अवस्था, जो काफी लंबी और सुनसान होती है, गायब हो जाती है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जाता है:

एक्स + वाई - जेड = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और इसे एक चरणबद्ध रूप में घटाया गया है:

के 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहले परिवर्तन के बाद, तीसरी पंक्ति में फॉर्म का समीकरण होता है

जिसका कोई समाधान नहीं है। इसलिए, सिस्टम असंगत है, और उत्तर खाली सेट है।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप पेन से SLAE को पेपर पर हल करने के लिए कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर विचार किया गया था, वह सबसे आकर्षक लगती है। प्राथमिक परिवर्तनों में, यदि आप मैन्युअल रूप से निर्धारक या कुछ मुश्किल उलटा मैट्रिक्स की तलाश करना चाहते हैं, तो ऐसा होने की तुलना में भ्रमित होना अधिक कठिन होता है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए कार्यक्रमों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे कार्यक्रमों में पहले से ही मैट्रिक्स के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम शामिल हैं - निर्धारक, नाबालिग, उलटा, और इसी तरह। और यदि आप सुनिश्चित हैं कि मशीन इन मूल्यों की गणना स्वयं करेगी और कोई गलती नहीं करेगी, तो मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करना अधिक समीचीन है, क्योंकि उनका आवेदन निर्धारकों की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है और उलटा मैट्रिक्स.

आवेदन पत्र

चूंकि गाऊसी समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स, वास्तव में, एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमी के लिए" एक गाइड के रूप में रखता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि इस पद्धति को डालने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। फिर से, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किया गया कोई भी SLAE एक्सेल द्वारा द्वि-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए, कई अच्छे आदेश हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मैट्रिक्स जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स गुणा (कुछ प्रतिबंधों के साथ भी), उलटा और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिस ढूंढना और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि , निर्धारक की गणना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना बहुत तेज़ होता है और इसलिए, इसकी संगतता या असंगति स्थापित करना।

आज हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि से निपटते हैं। क्रैमर विधि द्वारा समान SLAE को हल करने के लिए समर्पित पिछले लेख में आप इन प्रणालियों के बारे में पढ़ सकते हैं। गॉस विधि के लिए किसी विशिष्ट ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, केवल देखभाल और निरंतरता की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बावजूद कि गणित के दृष्टिकोण से, स्कूल की तैयारी इसके आवेदन के लिए पर्याप्त है, इस पद्धति में महारत हासिल करना अक्सर छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनता है। इस लेख में, हम उन्हें कुछ भी कम करने की कोशिश करेंगे!

गॉस विधि

एम गॉस विधि- अधिकांश सार्वभौमिक विधि SLAE समाधान (इसके अपवाद के साथ, ठीक है, बहुत बड़ी प्रणाली) पहले चर्चा किए गए के विपरीत, यह न केवल उन प्रणालियों के लिए उपयुक्त है जिनके पास एक अद्वितीय समाधान है, बल्कि उन प्रणालियों के लिए भी उपयुक्त है जिनके पास अनंत समाधान हैं। यहां तीन विकल्प हैं।

1. सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है);
2. सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं;
3. कोई समाधान नहीं है, सिस्टम असंगत है।

तो, हमारे पास एक प्रणाली है (इसे एक समाधान होने दें), और हम इसे गाऊसी पद्धति का उपयोग करके हल करने जा रहे हैं। यह काम किस प्रकार करता है?

गाऊसी पद्धति में दो चरण होते हैं - प्रत्यक्ष और उलटा।

प्रत्यक्ष गॉस विधि

सबसे पहले, हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मुख्य मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम जोड़ते हैं।

गाऊसी पद्धति का संपूर्ण सार प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से इस मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध (या, जैसा कि वे कहते हैं, त्रिकोणीय) रूप में कम करना है। इस रूप में, मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे (या ऊपर) केवल शून्य होना चाहिए।

क्या किया जा सकता है:

1. आप मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं;
2. यदि मैट्रिक्स में समान (या आनुपातिक) पंक्तियाँ हैं, तो आप उनमें से एक को छोड़कर सभी को हटा सकते हैं;
3. आप स्ट्रिंग को किसी भी संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं (शून्य को छोड़कर);
4. शून्य रेखाएं हटा दी जाती हैं;
5. आप एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके एक स्ट्रिंग में जोड़ सकते हैं।

रिवर्स गॉस विधि

सिस्टम को इस तरह से बदलने के बाद, एक अज्ञात xn ज्ञात हो जाता है, और शेष सभी अज्ञात को रिवर्स ऑर्डर में खोजना संभव है, पहले से ज्ञात x को सिस्टम के समीकरणों में, पहले तक प्रतिस्थापित करना।

जब इंटरनेट हमेशा हाथ में हो, तो आप गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं ऑनलाइन ।आपको केवल ऑनलाइन कैलकुलेटर में ऑड्स दर्ज करना है। लेकिन आपको स्वीकार करना चाहिए, यह महसूस करना अधिक सुखद है कि उदाहरण कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा नहीं, बल्कि आपके अपने मस्तिष्क द्वारा हल किया गया था।

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

और अब - एक उदाहरण, ताकि सब कुछ स्पष्ट और समझ में आ जाए। मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, और इसे गॉस विधि द्वारा हल करना आवश्यक है:

सबसे पहले, आइए संवर्धित मैट्रिक्स लिखें:

आइए अब एक नजर डालते हैं इन बदलावों पर। याद रखें कि हमें मैट्रिक्स के त्रिकोणीय रूप को प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें और प्राप्त करें:

फिर तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

पहली पंक्ति को (6) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (13) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

वोइला - सिस्टम को उचित रूप में लाया जाता है। यह अज्ञात को खोजने के लिए बनी हुई है:

इस उदाहरण में सिस्टम का एक अनूठा समाधान है। हम एक अलग लेख में समाधान के अनंत सेट के साथ सिस्टम के समाधान पर विचार करेंगे। शायद पहले तो आपको यह नहीं पता होगा कि मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन के साथ कहां से शुरुआत करें, लेकिन उचित अभ्यास के बाद आप इस पर अपना हाथ रख लेंगे और नट्स की तरह गॉसियन SLAE पर क्लिक करेंगे। और अगर आपके सामने अचानक कोई SLOW आ जाए, जो भी हो जाए कठोर अखरोटहमारे लेखकों से संपर्क करें! आप पत्राचार में एक आवेदन छोड़कर कर सकते हैं। हम सब मिलकर किसी भी समस्या का समाधान करेंगे!

गॉस विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने जीवनकाल के दौरान, अब तक के सबसे महान गणितज्ञ, एक प्रतिभाशाली और यहां तक ​​​​कि "गणित के राजा" उपनाम के रूप में मान्यता प्राप्त की। और सब कुछ सरल, जैसा कि आप जानते हैं, सरल है!वैसे, न केवल चूसने वाले, बल्कि प्रतिभाशाली भी पैसे में आते हैं - गॉस का चित्र 10 Deutschmark (यूरो की शुरूआत से पहले) के बिल पर फहराया गया था, और गॉस अभी भी रहस्यमय तरीके से जर्मनों पर साधारण डाक टिकटों से मुस्कुराता है।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि इसमें महारत हासिल करने के लिए पांचवीं कक्षा के छात्र का ज्ञान पर्याप्त है। जोड़ने और गुणा करने में सक्षम होना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि स्कूल के गणित ऐच्छिक में शिक्षकों द्वारा अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि पर अक्सर विचार किया जाता है। यह एक विरोधाभास है, लेकिन गॉस पद्धति छात्रों के लिए सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है। कुछ भी आश्चर्य की बात नहीं है - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिदम के बारे में एक सुलभ रूप में बताने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में ज्ञान को थोड़ा व्यवस्थित करते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कर सकते हैं:

1) एक अनूठा समाधान है।
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली। जैसा कि हम याद करते हैं क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि वैसे भीहमें उत्तर की ओर ले चलो! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, लेख अंक संख्या 2-3 की स्थितियों के लिए आरक्षित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि एल्गोरिथ्म स्वयं तीनों मामलों में उसी तरह काम करता है।

वापस सबसे सरल प्रणालीपाठ से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?
और इसे गाऊसी विधि से हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली:
. गुणांक किस सिद्धांत से दर्ज किए जाते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है। मैट्रिक्स के अंदर खड़ी रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह डिजाइन की आसानी के लिए सिर्फ एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ :मैं याद रखने की सलाह देता हूं शर्तेंलीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्सअज्ञात के लिए केवल गुणांक से बना एक मैट्रिक्स है, इस उदाहरण में, सिस्टम का मैट्रिक्स:। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्ससिस्टम का एक ही मैट्रिक्स है और इस मामले में मुक्त शर्तों का एक कॉलम है:। किसी भी मैट्रिक्स को संक्षिप्तता के लिए केवल एक मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें यह भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को सुरक्षित रूप से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या प्रकट) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो वह भी इस प्रकार है मिटाना. मैं नहीं खींचूंगा, निश्चित रूप से, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें केवल शून्य.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति हो सकती है गुणा (विभाजित)किसी भी संख्या के लिए गैर-शून्य. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रियाबहुत उपयोगी है क्योंकि यह आगे मैट्रिक्स परिवर्तनों को सरल करता है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है। मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। से हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें मामले का अध्ययन: . सबसे पहले, मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूंगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , तथा दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करते हैं: . अब पहली पंक्ति को "बैक" को -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, वह रेखा जो जोड़ा गया है ली – नहीं बदला है. हमेशा से रहा हैलाइन बदल दी गई है, जिसमें जोड़ा गया है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वे इस तरह के विवरण में पेंट नहीं करते हैं, लेकिन कम लिखते हैं:

एक बार फिर: दूसरी पंक्ति के लिए पहली पंक्ति को -2 . से गुणा किया गया. रेखा को आमतौर पर मौखिक रूप से या मसौदे पर गुणा किया जाता है, जबकि गणना का मानसिक पाठ्यक्रम कुछ इस तरह होता है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

पहला कॉलम पहले। नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं उपरोक्त इकाई को -2: से गुणा करता हूं, और पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"अब दूसरा कॉलम। ऊपर -1 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"और तीसरा कॉलम। ऊपर -5 गुना -2: . मैं दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण के बारे में ध्यान से सोचें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गॉस विधि व्यावहारिक रूप से "आपकी जेब में" है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम कर रहे हैं।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: जोड़तोड़ माना जाता है उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "क्लासिक" के साथ मैट्रिक्सकिसी भी स्थिति में आपको मैट्रिसेस के अंदर कुछ पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए!

आइए अपने सिस्टम पर वापस आते हैं। वह व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में टूट गई है।

आइए हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से क्यों गुणा करते हैं? तल पर शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को स्टेप फॉर्म में बदलें: . कार्य के डिजाइन में, वे सीधे जोर देते हैं एक साधारण पेंसिल के साथ"सीढ़ी", और "चरणों" पर स्थित संख्याओं को भी सर्कल करें। शब्द "स्टेप्ड व्यू" अपने आप में वैज्ञानिक और वैज्ञानिक रूप से काफी सैद्धांतिक नहीं है शैक्षिक साहित्यइसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया है बराबरसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनट्विस्टेड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

निचले समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है: .

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसे पहले से ही प्रतिस्थापित करें ज्ञात मूल्य"यिग":

सबसे सामान्य स्थिति पर विचार करें जब हल करने के लिए गाऊसी पद्धति की आवश्यकता होती है तीनतीन अज्ञात में रैखिक समीकरण।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जो हम समाधान के दौरान आएंगे:

और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाना है। कार्रवाई कहाँ से शुरू करें?

सबसे पहले, ऊपरी बाएँ नंबर को देखें:

लगभग हमेशा यहाँ होना चाहिए इकाई. सामान्यतया, -1 (और कभी-कभी अन्य नंबर) भी उपयुक्त होंगे, लेकिन किसी तरह यह पारंपरिक रूप से हुआ है कि एक इकाई आमतौर पर वहां रखी जाती है। एक इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है।

ऊपर बाईं ओर की इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन जगहों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

शून्य केवल "कठिन" परिवर्तन की सहायता से प्राप्त किए जाते हैं। सबसे पहले, हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? जरुरत दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -2: (-2, -4, 2, -18) से गुणा करते हैं। और हम लगातार (मानसिक रूप से या मसौदे पर) जोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, पहले से ही -2 . से गुणा किया जाता है:

परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा गया है:

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से निपटते हैं। पहली स्थिति में शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -3: (-3, -6, 3, -27) से गुणा करते हैं। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करते हैं:

परिणाम तीसरी पंक्ति में लिखा गया है:

व्यवहार में, इन क्रियाओं को आमतौर पर मौखिक रूप से किया जाता है और एक चरण में लिखा जाता है:

एक ही समय में सब कुछ गिनने की आवश्यकता नहीं है. गणना का क्रम और परिणामों का "सम्मिलन" लगातारऔर आम तौर पर इस तरह: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और अपने आप को चुपचाप फुलाते हैं - लगातार और सावधानी से:


और मैंने पहले से ही ऊपर की गणना के मानसिक पाठ्यक्रम पर विचार किया है।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है, हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (चूंकि सभी संख्याएं शेष के बिना 5 से विभाज्य हैं)। उसी समय, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि क्या संख्या से कम, विषय आसान उपाय:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, यहां एक और शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -2 . से गुणा करते हैं:


इस क्रिया को स्वयं पार्स करने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ दें।

अंतिम क्रिया परिणाम की केश विन्यास है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समान प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की गई थी:

ठंडा।

अब गाऊसी पद्धति का उल्टा कोर्स चलन में आता है। समीकरण नीचे से ऊपर की ओर "खोलें"।

तीसरे समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण को देखें: . "z" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "Y" और "Z" ज्ञात हैं, बात छोटी है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए, पाया गया समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह मुश्किल और तेज़ नहीं है।

उदाहरण 2

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है, पाठ के अंत में परिष्करण का एक नमूना और एक उत्तर है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका कार्रवाई के दौरानमेरी कार्यशैली से मेल नहीं खा सकता है, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन जवाब वही होना चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। इसे मैने किया है:
(1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 . से गुणा करते हैं. यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। कौन +1 प्राप्त करना चाहता है एक अतिरिक्त इशारा कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो एक गणना त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यही है, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, , तो उच्च स्तर की संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि की गई थी।

हम रिवर्स मूव को चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। उल्टा, मैं आपको याद दिलाता हूं, यह नीचे से ऊपर तक काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, यह कुछ अधिक जटिल है। कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं। पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में नमूना डिजाइन। आपका समाधान मेरे से भिन्न हो सकता है।

अंतिम भाग में, हम गॉस एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं पर विचार करते हैं।
पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने इस क्षण के बारे में पाठ में पहले ही बात कर ली है। क्रेमर का नियम। मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लापता चर के स्थान पर शून्य डालते हैं:

वैसे, यह काफी है आसान उदाहरण, चूंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और कम प्राथमिक परिवर्तन किए जाने हैं।

दूसरी विशेषता यह है। विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने या तो -1 या +1 को "चरणों" पर रखा है। क्या अन्य संख्याएँ हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं। प्रणाली पर विचार करें: .

यहाँ ऊपरी बाएँ "स्टेप" पर हमारे पास एक ड्यूस है। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम में सभी संख्याएं शेष के बिना 2 से विभाज्य हैं - और अन्य दो और छह। और ऊपर बाईं ओर का ड्यूस हमें सूट करेगा! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें। इस प्रकार, हम पहले कॉलम में वांछित शून्य प्राप्त करेंगे।

या फिर इस तरह सशर्त उदाहरण: . यहां, दूसरे "रंग" पर ट्रिपल भी हमें सूट करता है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता होती है) बिना शेष के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें जो शून्य चाहिए वह प्राप्त होगा।

गॉस विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशेषता है। अन्य तरीकों से सिस्टम को हल करना सीखें (क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि) सचमुच पहली बार हो सकता है - एक बहुत सख्त एल्गोरिदम है। लेकिन गॉस पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपना हाथ भरना" चाहिए और कम से कम 5-10 प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, पहले तो भ्रम हो सकता है, गणना में त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम .... इसलिए, सभी के लिए अधिक जटिल उदाहरणस्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ चार रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि एक चायदानी भी जिसने इस पृष्ठ का विस्तार से अध्ययन किया है, इस तरह की प्रणाली को सहज रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। मूल रूप से वही - बस और अधिक कार्रवाई।

ऐसे मामले जहां सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीम रूप से कई समाधान हैं, पाठ में एक सामान्य समाधान के साथ असंगत प्रणालियों और प्रणालियों पर विचार किया जाता है। वहां आप गॉस विधि के सुविचारित एल्गोरिथम को ठीक कर सकते हैं।

आपकी सफलता की कामना करते है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान : आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं।


प्रदर्शन प्राथमिक परिवर्तन:
(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया। ध्यान!यहां पहली को तीसरी पंक्ति से घटाना आकर्षक हो सकता है, मैं दृढ़ता से घटाने की अनुशंसा नहीं करता - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। हम सिर्फ गुना!
(2) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है। टिप्पणीकि "कदमों" पर हम न केवल एक से, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है।
(3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ें।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

उत्तर: .

उदाहरण 4: समाधान : हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण:
(1) पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है।
(2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" के साथ सब कुछ बदतर है , इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। रूपांतरण (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा

(3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया।
(4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
(3) दूसरी पंक्ति को 4 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है। चौथी पंक्ति को 3 से विभाजित करके तीसरी पंक्ति के स्थान पर रखा गया।
(5) तीसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

उलटी चाल: