मापांक से जुड़ी सबसे सरल असमानताएँ। अंतराल विधि एक मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एक सार्वभौमिक विधि है

दोस्तों आज नोकझोंक और भावना नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं आपको बिना किसी और प्रश्न के 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ युद्ध में भेजूंगा।

हां, आपने सब कुछ सही ढंग से समझा: हम एक मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों को देखेंगे जिनके साथ आप इनमें से लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। अन्य 10% के बारे में क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे। :)

हालाँकि, वहाँ किसी भी तरकीब का विश्लेषण करने से पहले, मैं दो तथ्यों को याद करना चाहूंगा जिन्हें आपको पहले से जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी न समझने का जोखिम उठाते हैं।

आपको पहले से क्या जानना चाहिए

कैप्टन एविडेंस, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि एक मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, आपको दो चीजें जानने की जरूरत है:

1. असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है?
2. एक मॉड्यूल क्या है।

आइए दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहाँ सब कुछ सरल है। दो परिभाषाएँ हैं: बीजीय और ग्राफिक। आइए बीजगणित से शुरू करें:

परिभाषा। संख्या $x$ का मॉड्यूल या तो स्वयं संख्या है, यदि यह गैर-ऋणात्मक है, या इसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

यह इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \right|=\left\( \ start(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

सरल शब्दों में, मापांक "शून्य के बिना एक संख्या" है। और यह इस द्वंद्व में है (कहीं आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कहीं न कहीं आपको वहां कुछ माइनस निकालना है) और नौसिखिए छात्रों के लिए सारी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है। इसे जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम इसका उल्लेख केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजगणितीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (स्पॉइलर: आज नहीं)।

परिभाषा। मान लीजिए कि बिंदु $a$ वास्तविक रेखा पर अंकित है। फिर मॉड्यूल $\बाएं| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ तक की दूरी है।

यदि आप चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ ऐसा मिलता है:

एक तरह से या किसी अन्य, इसकी प्रमुख संपत्ति तुरंत मॉड्यूल की परिभाषा से अनुसरण करती है: किसी संख्या का मापांक हमेशा एक गैर-ऋणात्मक मान होता है. यह तथ्य आज हमारी पूरी कहानी के माध्यम से चलने वाला एक लाल धागा होगा।

असमानताओं का समाधान। रिक्ति विधि

अब आइए असमानताओं से निपटें। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन हमारा काम अब उनमें से कम से कम सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। जो नीचे आते हैं रैखिक असमानताएं, साथ ही अंतराल की विधि के लिए।

मेरे पास इस विषय पर दो बड़े ट्यूटोरियल हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेषकर वीडियो देखें);
2. भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानताएँ एक बहुत बड़ा पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं बचेगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं" आपको अस्पष्ट रूप से दीवार के खिलाफ खुद को मारना नहीं चाहता है, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. "फंक्शन से कम मॉड्यूल" फॉर्म की असमानताएं

यह मॉड्यूल के साथ सबसे अधिक बार सामना किए जाने वाले कार्यों में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| च\दाएं| \ltg\]

कुछ भी $f$ और $g$ फ़ंक्शन के रूप में कार्य कर सकता है, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद होते हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7; \\ और \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ और \बाएं| ((x)^(2))-2\बाएं| एक्स \दाएं|-3 \दाएं| \lt 2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

उन सभी को योजना के अनुसार एक पंक्ति में शाब्दिक रूप से हल किया जाता है:

\[\बाएं| च\दाएं| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \ left\( \ start(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \ठीक ठीक)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन इसके बजाय हमें एक दोहरी असमानता (या, जो एक ही बात है, दो असमानताओं की एक प्रणाली) मिलती है। लेकिन यह संक्रमण पूरी तरह से सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मॉड्यूल के तहत संख्या सकारात्मक है, तो विधि काम करती है; यदि नकारात्मक है, तो यह अभी भी काम करता है; और यहां तक ​​कि $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त फ़ंक्शन के साथ, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं है? दुर्भाग्य से, आप नहीं कर सकते। यह मॉड्यूल का पूरा बिंदु है।

लेकिन दार्शनिक के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7\]

समाधान। इसलिए, हमारे पास "मॉड्यूल से कम है" के रूप में एक शास्त्रीय असमानता है - यहां तक ​​​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथ्म के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| च\दाएं| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ और \बाएं| 2x+3\दाएं| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि जल्दबाजी के कारण आप एक आक्रामक गलती करेंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और -x-7 \lt 2x+3 \\ और 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और -3x \lt 10 \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक कम कर दिया गया है। हम उनके समाधान समानांतर वास्तविक रेखाओं पर नोट करते हैं:

कई का चौराहा

इन सेटों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है। आरंभ करने के लिए, हम दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल कम है" फॉर्म की असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूं। लेकिन एक बार फिर मैं आपको याद दिलाता हूं कि हमारा मुख्य लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आप इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप अपनी इच्छानुसार खुद को विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, माइनस जोड़ें, आदि।

और शुरुआत के लिए, हम बाईं ओर डबल माइनस से छुटकारा पाते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं)=\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं(x+1 \दाएं) =3\बाएं(x+1\दाएं)\]

आइए अब सभी कोष्ठकों को दोहरी असमानता में खोलें:

आइए दोहरी असमानता की ओर बढ़ते हैं। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\बाएं\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएं वर्गाकार हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जाती हैं (इसलिए मैं कहता हूं: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो बेहतर है कि अभी तक मॉड्यूल न लें)। हम पहली असमानता में समीकरण को पास करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+5x=0; \\ और x\बाएं(x+5 \दाएं)=0; \\ और ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट एक अधूरा द्विघात समीकरण निकला, जिसे प्राथमिक रूप से हल किया गया है। अब आइए व्यवस्था की दूसरी असमानता से निपटें। वहां आपको Vieta का प्रमेय लागू करना है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम प्राप्त संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर चिह्नित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

फिर से, चूंकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यही उत्तर है।

उत्तर: $x\में \बाएं(-5;-2 \दाएं)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बहुत स्पष्ट है:

1. अन्य सभी पदों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| . रूप की असमानता प्राप्त होती है च\दाएं| \ltg$.
2. ऊपर बताए अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। किसी बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, यह केवल इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधानों को पार करने के लिए रहता है - और यही है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

एक समान एल्गोरिथ्म निम्न प्रकार की असमानताओं के लिए मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से बड़ा होता है। हालांकि, कुछ गंभीर "लेकिन" हैं। हम अब इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. "मॉड्यूल फ़ंक्शन से बड़ा है" फॉर्म की असमानताएं

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt जी\]

पिछले के समान? ऐसा लगता है। फिर भी, ऐसे कार्यों को पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt g\Rightarrow \ left [ \ start(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं - हम सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, वास्तव में, हम मॉड्यूल को ऋण चिह्न के साथ खोलते हैं, और फिर हम असमानता के दोनों हिस्सों को -1 से गुणा करते हैं, एक संकेत के साथ।

इस मामले में, विकल्प एक वर्ग ब्रैकेट के साथ संयुक्त होते हैं, अर्थात। हमारे पास दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

फिर से ध्यान दें: हमारे सामने एक प्रणाली नहीं है, बल्कि एक समुच्चय है, इसलिए उत्तर में, सेट संयुक्त होते हैं, प्रतिच्छेद नहीं करते. यह मूलभूत अंतरपिछले बिंदु से!

सामान्य तौर पर, कई छात्रों को यूनियनों और चौराहों के साथ बहुत भ्रम होता है, तो आइए इस मुद्दे को एक बार और सभी के लिए देखें:

• "∪" एक संयोजन चिन्ह है। वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "U" है, जो हमारे पास से आया है अंग्रेजी भाषा केऔर "संघ" के लिए एक संक्षिप्त नाम है, अर्थात। "एसोसिएशन"।
• "∩" प्रतिच्छेदन चिन्ह है। यह बकवास कहीं से नहीं आया, बल्कि "∪" के विरोध के रूप में दिखाई दिया।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों में पैर जोड़ें (अब मुझ पर मादक पदार्थों की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप इस पाठ का गंभीरता से अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक ड्रग एडिक्ट हैं):

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्नलिखित है: संघ (संग्रह) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए, उनमें से प्रत्येक से कम नहीं; लेकिन प्रतिच्छेदन (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल होते हैं जो पहले सेट में और दूसरे में दोनों होते हैं। इसलिए, सेट का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से बड़ा नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। आइए अभ्यास के लिए आगे बढ़ें।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\Rightarrow \ left[ \ start(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ सही।\]

हम प्रत्येक जनसंख्या असमानता को हल करते हैं:

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और x \gt 4/7\ \\ और x \gt 6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक परिणामी समुच्चय को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

सेटों का संघ

जाहिर है जवाब है $x\in \left(\frac(4)(7));+\infty \right)$

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7));+\infty \right)$

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

समाधान। कुंआ? नहीं, यह सब वही है। हम एक असमानता से दो असमानताओं के एक सेट के लिए एक मापांक के साथ गुजरते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक असमानता को हल करते हैं। दुर्भाग्य से, वहां जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ और ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ और x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता में, थोड़ा खेल भी है:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ और ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ और x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

अब हमें इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: अधिक संख्या, जितना आगे हम बिंदु को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।

और यहां हम एक सेटअप की प्रतीक्षा कर रहे हैं। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद भिन्न दूसरे के अंश में पदों से कम हैं, इसलिए योग भी छोटा है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ भी कोई कठिनाई नहीं होगी (एक सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से अधिक नकारात्मक), लेकिन अंतिम जोड़े के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं की व्यवस्था और वास्तव में, उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो चलिए तुलना करते हैं:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ वी -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

हमने जड़ को अलग किया, असमानता के दोनों किनारों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों को वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(matrix) ((\बाएं(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\बाएं(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

मुझे लगता है कि यह कोई ब्रेनर नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अंत में कुल्हाड़ियों पर अंक इस तरह व्यवस्थित किए जाएंगे:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक समुच्चय को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर संघ होगा, न कि छायांकित समुच्चयों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना दोनों के लिए बढ़िया काम करती है सरल कार्य, और बहुत कठोर लोगों के लिए। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर स्थान" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन तुलना के सवालों के लिए एक अलग (और बहुत गंभीर पाठ) समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं।

3. गैर-ऋणात्मक "पूंछ" के साथ असमानताएं

तो हम सबसे दिलचस्प हो गए। ये फॉर्म की असमानताएं हैं:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, जिस एल्गोरिथम के बारे में हम अभी बात करने जा रहे हैं वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहां बाएं और दाएं गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी है:

इन कार्यों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक पूंछ के साथ असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक उठाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा।

सबसे पहले, हम चुकता करने में रुचि लेंगे - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (\ बाएँ | f \ दाएँ | \ दाएँ)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)); \\ और ((\बाएं(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\अंत (संरेखित करें)\]

वर्ग की जड़ लेने के साथ इसे भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\बाएं| f \right|\ne f\]

जब एक छात्र मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया तो अनगिनत गलतियाँ हुईं! लेकिन यह पूरी तरह से अलग कहानी है (यह पसंद है अपरिमेय समीकरण), इसलिए अब हम इसमें नहीं जाएंगे। आइए कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से हल करें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| एक्स+2 \दाएं|\जीई \बाएं| 1-2x \दाएं|\]

समाधान। हम तुरंत दो चीजें नोटिस करते हैं:

1. यह एक गैर-सख्त असमानता है। संख्या रेखा पर अंक पंच किए जाएंगे।
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\बाएं| f\बाएं(x \दाएं) \दाएं|\ge 0$)।

इसलिए, हम मापांक से छुटकारा पाने और समस्या को हल करने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को वर्ग कर सकते हैं पारंपरिक तरीकाअंतराल:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (\ बाएँ | x+2 \ दाएँ | \ दाएँ)) ^ (2)) \ ge ((\ बाएँ (\ बाएँ | 1-2x \ दाएँ | \ दाएँ) )^(2)); \\ और ((\बाएं(x+2 \दाएं))^(2))\ge ((\बाएं(2x-1 \दाएं))^(2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

पर अंतिम चरणमैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मापांक की समता का उपयोग करके शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने $ 1-2x$ को -1 से गुणा किया)।

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ और \ बाएँ (\ बाएँ (2x-1 \ दाएँ) - \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (\ बाएँ (2x-1 \ दाएँ) + \ बाएँ (x + 2 \ दाएं)\दाएं)\ले 0; \\ और \बाएं(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ और \बाएं(x-3 \दाएं)\cdot \बाएं(3x+1 \दाएं)\le 0. \\\end(align)\]

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(3x+1 \दाएं)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम पाए गए जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मॉड्यूल साइन से छुटकारा

मैं आपको विशेष रूप से जिद्दी के लिए याद दिलाता हूं: हम पिछली असमानता से संकेत लेते हैं, जिसे समीकरण पर जाने से पहले लिखा गया था। और हम समान असमानता के लिए आवश्यक क्षेत्रों पर पेंट करते हैं। हमारे मामले में, यह $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ है।

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। समस्या हल हो गई।

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

समाधान। हम सब कुछ ऐसा ही करते हैं। मैं कोई टिप्पणी नहीं करूंगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखें।

आइए इसे चौकोर करें:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और ((\बाएं(\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\बाएं(\बाएं) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\बाएं((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\बाएं(((x)^(2))+3x+4 \ दाएं))^(2))\le 0; \\ और \बाएं(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ और \बाएं(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

रिक्ति विधि:

\[\begin(align) & \ left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ दायां तीर x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing । \\\अंत (संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक ही मूल होता है:

उत्तर एक पूरी श्रृंखला है

उत्तर: $x\in \left[-1.5;+\infty \right)$।

अंतिम कार्य के बारे में एक छोटा नोट। जैसा कि मेरे एक छात्र ने सटीक रूप से उल्लेख किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह पहले से ही पूरी तरह से अलग स्तर की सोच और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों की विधि कहा जा सकता है। उसके बारे में - एक अलग पाठ में। और अब चलिए आज के पाठ के अंतिम भाग पर चलते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिथम पर विचार करते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

क्या होगा अगर ये सभी तरकीबें काम न करें? यदि असमानता गैर-नकारात्मक पूंछ तक कम नहीं होती है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, तो दर्द-उदासी-लालसा?

फिर सभी गणित के "भारी तोपखाने" दृश्य में प्रवेश करते हैं - गणना विधि। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखें और उन्हें शून्य के बराबर करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और प्राप्त मूलों को एक संख्या रेखा पर अंकित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित संकेत होता है और इसलिए स्पष्ट रूप से फैलता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (विश्वसनीयता के लिए आप पैराग्राफ 2 में प्राप्त सीमामूलों पर अलग से विचार कर सकते हैं)। परिणामों को मिलाएं - यह उत्तर होगा। :)

कितनी अच्छी तरह से? कमज़ोर? सरलता! केवल लंबे समय के लिए। आइए व्यवहार में देखें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| एक्स+2 \दाएं| \lt\बाएं| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\बाएं| . जैसी असमानताओं के लिए उबाल नहीं है च\दाएं| \lt g$, $\बाएं| च\दाएं| \gt g$ या $\बाएं| च\दाएं| \lt\बाएं| g \right|$, तो चलिए आगे बढ़ते हैं।

हम सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ों को ढूंढते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ और x-1=0\दायां तीर x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके अंदर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य से संख्या रेखा को विभाजित करना

आइए प्रत्येक खंड पर अलग से विचार करें।

1. मान लीजिए $x \lt -2$। फिर दोनों सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन नकारात्मक हैं, और मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा गया है:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और -\बाएं(x+2 \दाएं) \lt -\बाएं(x-1 \दाएं)+x-1,5 \\ और -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ और x \gt 1.5 \\\end(align)\]

हमें काफी सरल बाधा मिली। आइए इसे मूल धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \lt -2 \\ और x \gt 1,5 \\\अंत (संरेखण) \दाएं।

जाहिर है, चर $x$ एक साथ −2 से कम लेकिन 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं।

1.1. आइए अलग से सीमा मामले पर विचार करें: $x=-2$। आइए इस संख्या को मूल असमानता में बदलें और जांचें: क्या यह सही है?

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं। ) \\ और 0 \lt \बाएं| -3 \दाएं|-2-1.5; \\ और 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\अंत (संरेखित करें)\]

जाहिर है, गणनाओं की श्रृंखला ने हमें गलत असमानता की ओर ले जाया है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और उत्तर में $x=-2$ शामिल नहीं है।

2. अब $-2 \lt x \lt 1$ दें। बायां मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दायां मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ है। हमारे पास है:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

फिर से हम मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।

और फिर, समाधानों का खाली सेट, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो −2.5 से कम और −2 से अधिक दोनों हों।

2.1. और फिर एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं। \\ और \बाएं| 3\दाएं| \lt\बाएं| 0 \दाएं|+1-1.5; \\ और 3 \lt -0.5; \\ और 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\अंत (संरेखित करें)\]

इसी तरह पिछले "विशेष मामले" के लिए, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$। यहां सभी मॉड्यूल को प्लस चिह्न के साथ विस्तारित किया गया है:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

और फिर से हम पाए गए सेट को मूल बाधा के साथ काटते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \gt 4,5 \\ और x \gt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\दायां x\में \बाएं(4,5;+\infty \सही)\]

आखिरकार! हमें अंतराल मिल गया है, जिसका उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \ left(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक नोट जो वास्तविक समस्याओं को हल करते समय आपको मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकता है:

मॉड्यूल के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा पर निरंतर सेट होते हैं - अंतराल और खंड। पृथक बिंदु बहुत दुर्लभ हैं। और शायद ही कभी, ऐसा होता है कि समाधान की सीमाएं (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती हैं।

इसलिए, यदि उत्तर में सीमाएं (वे बहुत ही "विशेष मामले") शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएं-दाएं क्षेत्र लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं होंगे। और इसके विपरीत: सीमा ने प्रतिक्रिया में प्रवेश किया, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्रों में भी प्रतिक्रियाएँ होंगी।

अपने समाधानों की जांच करते समय इसे ध्यान में रखें।

गणित विज्ञान के ज्ञान का प्रतीक है,

वैज्ञानिक कठोरता और सरलता का एक उदाहरण,

विज्ञान में पूर्णता और सुंदरता का मानक।

रूसी दार्शनिक, प्रोफेसर ए.वी. वोलोशिनोव

मोडुलो असमानताएं

स्कूली गणित में हल करने वाली सबसे कठिन समस्याएं असमानताएं हैं, मॉड्यूल साइन के तहत चर युक्त। ऐसी असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, मॉड्यूल के गुणों को अच्छी तरह से जानना और उनका उपयोग करने का कौशल होना आवश्यक है।

बुनियादी अवधारणाएं और गुण

एक वास्तविक संख्या का मापांक (पूर्ण मान)लक्षित और निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

प्रति साधारण गुणमॉड्यूल में निम्नलिखित संबंध शामिल हैं:

तथा ।

टिप्पणी, कि अंतिम दो गुण किसी भी डिग्री के लिए धारण करते हैं।

इसके अलावा, अगर , कहाँ , तो और

अधिक जटिल मॉड्यूल गुण, जो मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने में प्रभावी रूप से उपयोग किया जा सकता है, निम्नलिखित प्रमेयों के माध्यम से तैयार किए जाते हैं:

प्रमेय 1.किसी भी विश्लेषणात्मक कार्यों के लिएतथा असमानता.

प्रमेय 2।समानता असमानता के बराबर है.

प्रमेय 3.समानता असमानता के बराबर है.

स्कूली गणित में सबसे आम असमानताएँ, मॉड्यूलो साइन के तहत अज्ञात चर युक्त, फॉर्म की असमानताएं हैंऔर कहाँ कुछ सकारात्मक स्थिरांक।

प्रमेय 4.असमानता दोहरी असमानता के बराबर है, और असमानता का समाधानअसमानताओं के सेट को हल करने के लिए कम कर देता हैतथा ।

यह प्रमेय प्रमेय 6 और 7 की एक विशेष स्थिति है।

अधिक जटिल असमानताएं, मॉड्यूल युक्त प्रपत्र की असमानताएं हैं, तथा ।

निम्नलिखित तीन प्रमेयों का उपयोग करके ऐसी असमानताओं को हल करने के तरीके तैयार किए जा सकते हैं।

प्रमेय 5.असमानता असमानताओं की दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है

और 1)

सबूत।तब से

इसका तात्पर्य (1) की वैधता से है।

प्रमेय 6.असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

सबूत।इसलिये , फिर असमानता सेउसका अनुसरण करता है . इस स्थिति में असमानताऔर इस मामले में असमानताओं की दूसरी प्रणाली (1) असंगत हो जाती है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 7.असमानता एक असमानता और दो असमानताओं के संयोजन के बराबर है

और (3)

सबूत।तब से, असमानता हमेशा निष्पादित, यदि ।

होने देना , फिर असमानताअसमानता के समान होगा, जिससे दो असमानताओं का समुच्चय इस प्रकार हैतथा ।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विचार करना विशिष्ट उदाहरण"असमानता" विषय पर समस्याओं का समाधान, मॉड्यूल साइन के तहत चर युक्त।

मापांक के साथ असमानताओं को हल करना

अधिकांश सरल विधिमापांक के साथ असमानताओं को हल करना विधि है, मॉड्यूल विस्तार के आधार पर। यह विधि सामान्य है, हालांकि, में सामान्य मामलाइसके आवेदन से बहुत बोझिल गणनाएँ हो सकती हैं। इसलिए, छात्रों को ऐसी असमानताओं को हल करने के लिए अन्य (अधिक कुशल) विधियों और तकनीकों को भी जानना चाहिए। विशेष रूप से, प्रमेयों को लागू करने के लिए कौशल की आवश्यकता है, इस लेख में दिया गया है।

उदाहरण 1असमानता को हल करें

. (4)

समाधान।असमानता (4) को "शास्त्रीय" विधि - मोडुलि विस्तार विधि द्वारा हल किया जाएगा। इसके लिए, हम संख्यात्मक अक्ष को तोड़ते हैंडॉट्स और अंतराल और तीन मामलों पर विचार करें।

1. यदि , तो , , , , और असमानता (4) रूप लेती हैया ।

चूँकि यहाँ मामले पर विचार किया गया है, असमानता का समाधान है (4)।

2. अगर, तब असमानता से (4) हम प्राप्त करते हैंया . अंतराल के चौराहे के बाद सेतथा खाली है, तब माना अंतराल पर असमानता (4) का कोई समाधान नहीं है।

3. अगर, तब असमानता (4) रूप लेती हैया । जाहिर सी बात है असमानता का समाधान भी है (4)।

उत्तर: , ।

उदाहरण 2असमानता को हल करें.

समाधान।आइए मान लें कि। इसलिये , तब दी गई असमानता रूप लेती हैया । तब से और इसलिए अनुसरण करता हैया ।

हालाँकि, इसलिए या।

उदाहरण 3असमानता को हल करें

. (5)

समाधान।इसलिये , तो असमानता (5) असमानताओं के बराबर हैया । यहाँ से, प्रमेय 4 . के अनुसार, हमारे पास असमानताओं का एक समूह हैतथा ।

उत्तर: , ।

उदाहरण 4असमानता को हल करें

. (6)

समाधान।आइए निरूपित करें। तब असमानता (6) से हम असमानताएँ , , या प्राप्त करते हैं।

यहाँ से, अंतराल विधि का उपयोग करना, हम पाते हैं । इसलिये , तो यहाँ हमारे पास असमानताओं की एक प्रणाली है

प्रणाली की पहली असमानता का समाधान (7) दो अंतरालों का मिलन हैतथा , और दूसरी असमानता का समाधान दोहरी असमानता है. यह संकेत करता है , कि असमानताओं की प्रणाली का समाधान (7) दो अंतरालों का मिलन हैतथा ।

उत्तर: ,

उदाहरण 5असमानता को हल करें

. (8)

समाधान। हम असमानता (8) को इस प्रकार बदलते हैं:

या ।

अंतराल विधि लागू करना, हम असमानता (8) का समाधान प्राप्त करते हैं।

उत्तर: ।

टिप्पणी। यदि हम प्रमेय 5 की स्थिति में रखते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 6असमानता को हल करें

. (9)

समाधान। असमानता (9) से यह निम्नानुसार है. हम असमानता (9) को इस प्रकार बदलते हैं:

या

तब से , तब या ।

उत्तर: ।

उदाहरण 7असमानता को हल करें

. (10)

समाधान।तब से और , तब या ।

इस संबंध में और असमानता (10) रूप लेती है

या

. (11)

इससे यह पता चलता है कि या । चूँकि , असमानता (11) का भी अर्थ है या ।

उत्तर: ।

टिप्पणी। यदि हम असमानता के बाईं ओर प्रमेय 1 को लागू करते हैं (10), तो हमें मिलता है . यहाँ से और असमानता से (10) यह इस प्रकार है, वह या। इसलिये , तब असमानता (10) रूप लेती हैया ।

उदाहरण 8असमानता को हल करें

. (12)

समाधान।तब से और असमानता (12) का तात्पर्य हैया । तथापि , इसलिए या . यहाँ से हम प्राप्त करते हैं या ।

उत्तर: ।

उदाहरण 9असमानता को हल करें

. (13)

समाधान।प्रमेय 7 के अनुसार असमानता के समाधान (13) हैं या।

चलो अब। इस मामले में और असमानता (13) रूप लेती हैया ।

अगर हम अंतराल को जोड़ते हैंतथा , तब हम फॉर्म की असमानता (13) का समाधान प्राप्त करते हैं.

उदाहरण 10असमानता को हल करें

. (14)

समाधान।आइए हम असमानता (14) को एक समान रूप में फिर से लिखें: . यदि हम इस असमानता के बाईं ओर प्रमेय 1 को लागू करते हैं, तो हम असमानता प्राप्त करते हैं।

यहाँ से और प्रमेय 1 से यह इस प्रकार है, कि असमानता (14) किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट है.

उत्तर: कोई भी संख्या।

उदाहरण 11.असमानता को हल करें

. (15)

समाधान। असमानता के बाईं ओर प्रमेय 1 को लागू करना (15), हम पाते हैं . यहाँ से और असमानता से (15) समीकरण का अनुसरण करता है, जो दिखता है.

प्रमेय 3 . के अनुसार, समीकरण असमानता के बराबर है. यहाँ से हमें मिलता है.

उदाहरण 12.असमानता को हल करें

. (16)

समाधान. असमानता (16) से, प्रमेय 4 के अनुसार, हम असमानताओं की प्रणाली प्राप्त करते हैं

असमानता को हल करते समयहम प्रमेय 6 का उपयोग करते हैं और असमानताओं की प्रणाली प्राप्त करते हैंजिसमें से निम्नलिखित है.

असमानता पर विचार करें. प्रमेय 7 . के अनुसार, हम असमानताओं का एक सेट प्राप्त करते हैंतथा । दूसरी जनसंख्या असमानता किसी भी वास्तविक के लिए है.

फलस्वरूप , असमानता का समाधान (16) हैं.

उदाहरण 13असमानता को हल करें

. (17)

समाधान।प्रमेय 1 के अनुसार हम लिख सकते हैं

(18)

असमानता (17) को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दोनों असमानताएँ (18) समानता में बदल जाती हैं, अर्थात। समीकरणों की एक प्रणाली है

प्रमेय 3 के अनुसार, समीकरणों की यह प्रणाली असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

या

उदाहरण 14असमानता को हल करें

. (19)

समाधान।तब से । आइए हम असमानता के दोनों हिस्सों (19) को व्यंजक से गुणा करें, जो किसी भी मान के लिए केवल लेता है सकारात्मक मूल्य. तब हम एक असमानता प्राप्त करते हैं जो असमानता (19) के बराबर होती है

यहाँ से हम प्राप्त करते हैं या , कहाँ । चूंकि और तब असमानता के समाधान (19) हैंतथा ।

उत्तर: , ।

एक मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करने के तरीकों के गहन अध्ययन के लिए, ट्यूटोरियल को संदर्भित करना उचित है, अनुशंसित रीडिंग की सूची में सूचीबद्ध।

1. तकनीकी विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: विश्व और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: असमानताओं को हल करने और साबित करने के तरीके। - एम .: लेनांद / URSS, 2018। - 264 पी।

3. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: समस्याओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके। - एम।: केडी "लिब्रोकॉम" / यूआरएसएस, 2017. - 296 पी।

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साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

मॉड्यूल के साथ असमानताओं को प्रकट करने के तरीके (नियम) मॉड्यूल के अनुक्रमिक प्रकटीकरण में शामिल हैं, जबकि सबमॉड्यूल कार्यों के निरंतर संकेत के अंतराल का उपयोग करते हैं। अंतिम संस्करण में, कई असमानताएँ प्राप्त की जाती हैं जिनसे वे अंतराल या अंतराल पाते हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

आइए उन उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं जो व्यवहार में आम हैं।

मॉड्यूल के साथ रैखिक असमानताएं

रैखिक से हमारा तात्पर्य उन समीकरणों से है जिनमें चर रैखिक रूप से समीकरण में प्रवेश करता है।

उदाहरण 1. असमानता का समाधान खोजें

समाधान:
यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि मॉड्यूल x = -1 और x = -2 पर शून्य में बदल जाते हैं। ये बिंदु संख्यात्मक अक्ष को अंतराल में विभाजित करते हैं

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, हम दी गई असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम सबमॉड्यूलर कार्यों के निरंतर संकेत के क्षेत्रों के ग्राफिक चित्र बनाते हैं। उन्हें प्रत्येक कार्य के संकेतों वाले क्षेत्रों के रूप में दर्शाया गया है।

या सभी कार्यों के संकेतों के साथ अंतराल।

पहले अंतराल पर, मॉड्यूल खोलें

हम दोनों भागों को माइनस एक से गुणा करते हैं, जबकि असमानता का चिन्ह विपरीत में बदल जाएगा। यदि आपके लिए इस नियम की आदत डालना मुश्किल है, तो आप ऋण से छुटकारा पाने के लिए प्रत्येक भाग को संकेत से परे ले जा सकते हैं। अंत में, आप प्राप्त करेंगे

सेट x>-3 का उस क्षेत्र के साथ प्रतिच्छेदन जिस पर समीकरण हल किए गए थे, अंतराल (-3; -2) होगा। उन लोगों के लिए जिन्हें ग्राफिक रूप से समाधान खोजना आसान लगता है, आप इन क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन बना सकते हैं

क्षेत्रों का सामान्य चौराहा ही समाधान होगा। सख्त असमानता के साथ, किनारों को शामिल नहीं किया गया है। यदि प्रतिस्थापन द्वारा नॉनस्ट्रिक्ट की जाँच की जाती है।

दूसरे अंतराल पर, हम प्राप्त करते हैं

खंड अंतराल (-2; -5/3) होगा। आलेखीय रूप से, समाधान इस तरह दिखेगा

तीसरे अंतराल पर, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति आवश्यक क्षेत्र पर समाधान नहीं देती है।

चूँकि दो समाधान (-3;-2) और (-2;-5/3) बिंदु x=-2 को सीमाबद्ध करते हैं, हम इसे भी जांचते हैं।

अत: बिंदु x=-2 हल है। सामान्य निर्णयइसे ध्यान में रखते हुए, यह (-3; 5/3) जैसा दिखेगा।

उदाहरण 2. असमानता का समाधान खोजें
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

समाधान:
सबमॉड्यूल फ़ंक्शन के शून्य अंक x=2, x=3, x=4 होंगे। जब तर्कों का मान इन बिंदुओं से कम होता है, तो सबमॉड्यूल फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, और जब मान बड़े होते हैं, तो वे सकारात्मक होते हैं।

बिंदु वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। हम संकेत की स्थिरता के अंतराल के अनुसार मॉड्यूल खोलते हैं और असमानताओं को हल करते हैं।

1) पहले अंतराल पर, सभी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, इसलिए, मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम संकेत को विपरीत में बदलते हैं।

माना अंतराल के साथ पाए गए x मानों का प्रतिच्छेदन बिंदुओं का सेट होगा

2) अंक x=2 और x=3 के बीच के अंतराल में, पहला सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक है, दूसरा और तीसरा नकारात्मक है। मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

एक असमानता, जो उस अंतराल के प्रतिच्छेदन में, जिस पर हम हल कर रहे हैं, एक समाधान देता है - x=3।

3) अंक x=3 और x=4 के बीच के अंतराल में, पहला और दूसरा सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक हैं, और तीसरा नकारात्मक है। इसके आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति दर्शाती है कि संपूर्ण अंतराल मॉड्यूल के साथ असमानता को संतुष्ट करेगा।

4) मान x>4 के लिए, सभी फ़ंक्शन साइन-पॉज़िटिव हैं। मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम उनका संकेत नहीं बदलते हैं।

अंतराल के साथ प्रतिच्छेदन पर मिली स्थिति समाधान के निम्नलिखित सेट देती है

चूंकि असमानता को सभी अंतरालों पर हल किया जाता है, इसलिए यह सभी पाए गए x मानों का सामान्य मान ज्ञात करना बाकी है। समाधान दो अंतराल है

यह उदाहरण हल हो गया है।

उदाहरण 3. असमानता का समाधान खोजें
||x-1|-5|>3-2x

समाधान:
हमारे पास एक मॉड्यूल से एक मॉड्यूल के साथ असमानता है। इस तरह की असमानताओं का पता तब चलता है जब मॉड्यूल नेस्टेड होते हैं, जो उन लोगों से शुरू होते हैं जिन्हें गहराई से रखा जाता है।

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x-1 को बिंदु x=1 पर शून्य में बदल दिया जाता है। 1 से छोटे मानों के लिए यह x>1 के लिए ऋणात्मक और धनात्मक है। इसके आधार पर, हम आंतरिक मॉड्यूल खोलते हैं और प्रत्येक अंतराल पर असमानता पर विचार करते हैं।

पहले माइनस इनफिनिटी से एक तक के अंतराल पर विचार करें

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x=-4 बिंदु पर शून्य है। छोटे मूल्यों के लिए यह सकारात्मक है, बड़े मूल्यों के लिए यह नकारात्मक है। x . के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें<-4:

जिस क्षेत्र पर हम विचार करते हैं, उसके प्रतिच्छेदन पर, हमें समाधानों का एक सेट प्राप्त होता है

अगला कदम अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार करना है (-4; 1)

मॉड्यूल के विस्तार क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान अंतराल प्राप्त करते हैं

याद रखें: यदि आपको मॉड्यूल के साथ ऐसी अनियमितताओं में दो अंतराल मिलते हैं, जो एक सामान्य बिंदु पर सीमाबद्ध होते हैं, तो, एक नियम के रूप में, यह भी एक समाधान है।

ऐसा करने के लिए, आपको बस जांच करने की आवश्यकता है।

इस स्थिति में, हम बिंदु x=-4 को प्रतिस्थापित करते हैं।

तो x=-4 हल है।
x>1 . के लिए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x . के लिए ऋणात्मक है<6.
मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

अंतराल (1; 6) वाले खंड में यह स्थिति समाधानों का एक खाली सेट देती है।

x>6 के लिए हमें असमानता मिलती है

साथ ही हल करने पर हमें एक खाली सेट मिला।
उपरोक्त सभी को ध्यान में रखते हुए, एकमात्र समाधानमॉड्यूल के साथ असमानता अगला अंतराल होगा।

द्विघात समीकरण वाले मॉड्यूल के साथ असमानताएं

उदाहरण 4. असमानता का समाधान खोजें
|x^2+3x|>=2-x^2

समाधान:
सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x=0, x=-3 बिंदुओं पर गायब हो जाता है। साधारण प्रतिस्थापन से घटा एक

हम निर्धारित करते हैं कि यह अंतराल (-3; 0) पर शून्य से कम है और इससे परे धनात्मक है।
उन क्षेत्रों में मॉड्यूल का विस्तार करें जहां सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक है

यह उन क्षेत्रों को निर्धारित करना बाकी है जहां वर्ग समारोहसकारात्मक। ऐसा करने के लिए, हम द्विघात समीकरण की जड़ें निर्धारित करते हैं

सुविधा के लिए, हम बिंदु x=0 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो अंतराल (-2;1/2) से संबंधित है। इस अंतराल में फलन ऋणात्मक है, इसलिए समाधान निम्नलिखित समुच्चय होगा x

यहां, कोष्ठक समाधान के साथ क्षेत्रों के किनारों को इंगित करते हैं, यह जानबूझकर किया गया था, निम्नलिखित नियम को ध्यान में रखते हुए।

याद रखें: यदि मॉड्यूल के साथ असमानता, या एक साधारण असमानता सख्त है, तो पाए गए क्षेत्रों के किनारे समाधान नहीं हैं, लेकिन यदि असमानताएं सख्त () नहीं हैं, तो किनारे समाधान हैं (वर्ग कोष्ठक द्वारा इंगित)।

यह नियम कई शिक्षकों द्वारा उपयोग किया जाता है: यदि एक सख्त असमानता दी जाती है, और आप गणना के दौरान समाधान में एक वर्ग ब्रैकेट ([,]) लिखते हैं, तो वे स्वचालित रूप से इसे गलत उत्तर मानेंगे। इसके अलावा, परीक्षण करते समय, यदि मॉड्यूल के साथ एक गैर-सख्त असमानता निर्दिष्ट की जाती है, तो समाधानों के बीच, वर्ग कोष्ठक वाले क्षेत्रों की तलाश करें।

अंतराल (-3; 0) पर, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम फ़ंक्शन के संकेत को विपरीत में बदलते हैं

असमानता के प्रकटीकरण के दायरे को ध्यान में रखते हुए, समाधान का रूप होगा

पिछले क्षेत्र के साथ मिलकर, यह दो अर्ध-अंतराल देगा

उदाहरण 5. असमानता का समाधान खोजें
9x^2-|x-3|>=9x-2

समाधान:
एक गैर-सख्त असमानता दी गई है, जिसका सबमॉड्यूल फ़ंक्शन बिंदु x=3 पर शून्य के बराबर है। छोटे मूल्यों पर यह नकारात्मक है, बड़े मूल्यों पर यह सकारात्मक है। हम अंतराल x . पर मॉड्यूल का विस्तार करते हैं<3.

समीकरण के विभेदक का पता लगाना

और जड़ें

शून्य बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि अंतराल [-1/9; 1] पर द्विघात फलन ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल एक समाधान है। इसके बाद, x>3 . के लिए मॉड्यूल खोलें

मॉड्यूल संख्यायदि यह गैर-ऋणात्मक है, या यदि यह ऋणात्मक है तो विपरीत चिह्न वाली समान संख्या को स्वयं कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 6 का मापांक 6 है, और -6 का मापांक भी 6 है।

अर्थात्, किसी संख्या के मापांक को निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या का निरपेक्ष मान उसके चिह्न को ध्यान में रखे बिना।

निरूपित इस प्रकार है: |6|, | एक्स|, |एक| आदि।

(अधिक विवरण के लिए, "संख्या का मॉड्यूल" अनुभाग देखें)।

मोडुलो समीकरण।

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें|10 एक्स - 5| = 15.

समाधान.

नियम के अनुसार, समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

हमने निर्णय किया:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण 2 . प्रश्न हल करें|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

समाधान.

चूंकि मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो एक्स+ 2 0. तदनुसार:

एक्स ≥ -2.

हम दो समीकरण बनाते हैं:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

हमने निर्णय किया:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोनों संख्याएँ -2 से बड़ी हैं। अतः दोनों समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

समाधान.

समीकरण समझ में आता है अगर हर शून्य के बराबर नहीं है - तो अगर एक्स≠ 1. आइए इस शर्त को ध्यान में रखते हैं। हमारी पहली क्रिया सरल है - हम न केवल अंश से छुटकारा पाते हैं, बल्कि हम इसे इस तरह से रूपांतरित करते हैं कि मॉड्यूल को उसके शुद्धतम रूप में प्राप्त किया जा सके:

|एक्स+ 3| - 1 = 4 ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

अब हमारे पास समीकरण के बाईं ओर मापांक के तहत केवल व्यंजक है। आगे बढ़ो।
किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है - अर्थात यह शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। तदनुसार, हम असमानता को हल करते हैं:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

इस प्रकार, हमारे पास दूसरी शर्त है: समीकरण की जड़ कम से कम 3/4 होनी चाहिए।

नियम के अनुसार, हम दो समीकरणों का एक सेट बनाते हैं और उन्हें हल करते हैं:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

हमें दो प्रतिक्रियाएं मिलीं। आइए देखें कि क्या वे मूल समीकरण के मूल हैं।

हमारे पास दो शर्तें थीं: समीकरण का मूल 1 के बराबर नहीं हो सकता है और यह कम से कम 3/4 होना चाहिए। वह है एक्स ≠ 1, एक्स 3/4। ये दोनों स्थितियां प्राप्त दो उत्तरों में से केवल एक के अनुरूप हैं - संख्या 2। इसलिए, केवल यह मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: एक्स = 2.

मापांक के साथ असमानताएँ।

उदाहरण 1 . असमानता को हल करें| एक्स - 3| < 4

समाधान.

मॉड्यूल नियम कहता है:

|एक| = एक, यदि एक ≥ 0.

|एक| = -एक, यदि एक < 0.

मापांक में एक गैर-ऋणात्मक और ऋणात्मक संख्या दोनों हो सकती हैं। इसलिए हमें दोनों मामलों पर विचार करना होगा: एक्स- 3 0 और एक्स - 3 < 0.

1) कब एक्स- 3 0 हमारी मूल असमानता जस की तस बनी हुई है, केवल मोडुलो चिह्न के बिना:
एक्स - 3 < 4.

2) कब एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कोष्ठक खोलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

-एक्स + 3 < 4.

इस प्रकार, इन दो स्थितियों से, हम असमानताओं की दो प्रणालियों के मिलन पर आ गए हैं:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

आइए उन्हें हल करें:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तो, हमारे उत्तर में हमारे पास दो सेटों का मिलन है:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

हम सबसे छोटा और निर्धारित करते हैं सबसे बड़ा मूल्य. ये -1 और 7 हैं। एक ही समय में एक्स-1 से बड़ा लेकिन 7 से कम
अलावा, एक्स 3. इसलिए, इन चरम संख्याओं को छोड़कर, असमानता का समाधान -1 से 7 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -1 < एक्स < 7.

या: एक्स ∈ (-1; 7).

ऐड-ऑन.

1) हमारी असमानता को हल करने का एक सरल और छोटा तरीका है - ग्राफिकल। ऐसा करने के लिए, एक क्षैतिज अक्ष बनाएं (चित्र 1)।

अभिव्यक्ति | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सचार इकाइयों से 3 कम इंगित करने के लिए। हम अक्ष पर संख्या 3 अंकित करते हैं और इसके बाएँ और दाएँ भाग में 4 भाग गिनते हैं। बाईं ओर हम बिंदु -1 पर, दाईं ओर - बिंदु 7 पर आएंगे। इस प्रकार, बिंदु एक्सहमने उनकी गणना किए बिना ही देखा।

इसके अलावा, असमानता की स्थिति के अनुसार, -1 और 7 स्वयं समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है:

1 < एक्स < 7.

2) लेकिन एक और उपाय है जो और भी आसान है ग्राफिक तरीका. ऐसा करने के लिए, हमारी असमानता को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:

4 < एक्स - 3 < 4.

आखिरकार, यह मॉड्यूल के नियम के अनुसार ऐसा ही है। गैर-ऋणात्मक संख्या 4 और समान ऋणात्मक संख्या -4 असमानता के समाधान की सीमाएँ हैं।

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण 2 . असमानता को हल करें| एक्स - 2| ≥ 5

समाधान.

यह उदाहरण पिछले वाले से काफी अलग है। बाईं ओर 5 से बड़ा या 5 के बराबर है। C ज्यामितीय बिंदुदेखें, असमानता का हल वे सभी संख्याएँ हैं जो बिंदु 2 से 5 इकाई या उससे अधिक की दूरी पर हैं (चित्र 2)। ग्राफ से पता चलता है कि ये सभी संख्याएँ हैं जो -3 से कम या बराबर हैं और 7 से बड़ी या बराबर हैं। इसलिए, हमें पहले ही उत्तर मिल गया है।

उत्तर: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

रास्ते में, हम समान असमानता को विपरीत चिह्न के साथ बाएँ और दाएँ मुक्त पद को पुनर्व्यवस्थित करके हल करते हैं:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर एक ही है: -3 एक्स ≥ 7.

या: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण हल किया।

उदाहरण 3 . असमानता को हल करें 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

समाधान.

संख्या एक्ससकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है। इसलिए, हमें तीनों परिस्थितियों को ध्यान में रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, उन्हें दो असमानताओं में ध्यान में रखा जाता है: एक्स 0 और एक्स < 0. При एक्स 0, हम केवल अपनी मूल असमानता को फिर से लिखते हैं, जैसा कि केवल मॉड्यूलो चिह्न के बिना है:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

अब दूसरे मामले के लिए: if एक्स < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कोष्ठक का विस्तार:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

इस प्रकार, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त हुई हैं:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

हमें प्रणालियों में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है - जिसका अर्थ है कि हमें दो द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम असमानताओं के बाएं हाथ के पक्षों को शून्य के बराबर करते हैं।

आइए पहले वाले से शुरू करें:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें - अनुभाग देखें " द्विघात समीकरण". हम तुरंत उत्तर का नाम देंगे:

एक्स 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3।

असमानताओं की पहली प्रणाली से, हम पाते हैं कि मूल असमानता का समाधान -1/2 से 2/3 तक की संख्याओं का पूरा सेट है। हम समाधान के संघ के लिए लिखते हैं एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

अब दूसरे द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

इसकी जड़ें:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: कब एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आइए दो उत्तरों को मिलाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें: समाधान इन चरम संख्याओं सहित -2/3 से 2/3 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

या: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

कैसे अधिक लोगसमझता है, समझने की इच्छा जितनी प्रबल होती है

थॉमस एक्विनास

अंतराल विधि आपको मापांक वाले किसी भी समीकरण को हल करने की अनुमति देती है। इस पद्धति का सार संख्यात्मक अक्ष को कई वर्गों (अंतराल) में विभाजित करना है, और मॉड्यूल में अभिव्यक्तियों के शून्य के साथ अक्ष को विभाजित करना आवश्यक है। फिर, प्रत्येक परिणामी खंड पर, कोई भी सबमॉड्यूल व्यंजक या तो सकारात्मक या नकारात्मक होता है। इसलिए, प्रत्येक मॉड्यूल को माइनस साइन या प्लस साइन के साथ विस्तारित किया जा सकता है। इन क्रियाओं के बाद, यह केवल प्राप्त में से प्रत्येक को हल करने के लिए बनी हुई है सरल समीकरणविचार किए गए अंतराल पर और प्राप्त उत्तरों को मिलाएं।

विचार करना यह विधिएक विशिष्ट उदाहरण पर।

|x + 1| + |2x - 4| - |x + 3| = 2x - 6.

1) मॉड्यूल में व्यंजकों के शून्य ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें शून्य के बराबर करते हैं, और परिणामी समीकरणों को हल करते हैं।

x + 1 = 0 2x - 4 = 0 x + 3 = 0

एक्स = -1 2x = 4 एक्स = -3

2) परिणामी बिंदुओं को निर्देशांक रेखा पर वांछित क्रम में व्यवस्थित करें। वे पूरी धुरी को चार खंडों में तोड़ देंगे।

3) आइए प्रत्येक परिणामी अनुभाग पर मॉड्यूल में अभिव्यक्तियों के संकेत निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम उनमें ब्याज के अंतराल से किसी भी संख्या को हमारे लिए प्रतिस्थापित करते हैं। यदि गणना का परिणाम एक सकारात्मक संख्या है, तो हम तालिका में "+" डालते हैं, और यदि संख्या नकारात्मक है, तो हम "-" डालते हैं। इसे इस तरह चित्रित किया जा सकता है:

4) अब हम चार अंतरालों में से प्रत्येक पर समीकरण को हल करेंगे, मॉड्यूल को उन संकेतों के साथ खोलेंगे जो तालिका में हैं। तो, पहले अंतराल पर विचार करें:

मैं अंतराल (-∞; -3)। उस पर, सभी मॉड्यूल "-" चिह्न के साथ खोले जाते हैं। हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6। हम समान शब्दों को प्रस्तुत करते हैं, पहले परिणामी समीकरण में कोष्ठक खोलते हैं:

एक्स - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

प्राप्त उत्तर विचारित अंतराल में शामिल नहीं है, इसलिए इसे अंतिम उत्तर में लिखना आवश्यक नहीं है।

द्वितीय अंतराल [-3; -एक)। इस अंतराल पर तालिका में "-", "-", "+" चिह्न हैं। इस प्रकार हम मूल समीकरण के मॉड्यूल को प्रकट करते हैं:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. कोष्ठक का विस्तार करके सरल कीजिए:

एक्स - 1 - 2x + 4 - एक्स - 3 \u003d 2x - 6. हम परिणामी समीकरण में निम्नलिखित प्रस्तुत करते हैं:

एक्स = 6/5। परिणामी संख्या विचाराधीन अंतराल से संबंधित नहीं है, इसलिए यह मूल समीकरण का मूल नहीं है।

III अंतराल [-1; 2))। हम मूल समीकरण के मॉड्यूल को उन संकेतों के साथ खोलते हैं जो तीसरे कॉलम में चित्र में हैं। हम पाते हैं:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. कोष्ठक से छुटकारा पाएं, चर x वाले पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएं, और x को दाईं ओर न रखें। . होगा:

एक्स + 1 - 2x + 4 - एक्स - 3 = 2x - 6

संख्या 2 माना अंतराल में शामिल नहीं है।

चतुर्थ अंतराल)