इसके कई उपयोग हैं क्योंकि यह अनुमानित प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देता है दिया गया कार्यअन्य सरल हैं। एलएसएम अवलोकनों को संसाधित करने में बेहद उपयोगी हो सकता है, और यह सक्रिय रूप से यादृच्छिक त्रुटियों वाले अन्य लोगों के माप के परिणामों से कुछ मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। इस लेख में, आप सीखेंगे कि विधि का उपयोग करके गणना कैसे करें कम से कम वर्गोंएक्सेल में।

एक विशिष्ट उदाहरण पर समस्या का विवरण

मान लीजिए कि दो संकेतक एक्स और वाई हैं। इसके अलावा, वाई एक्स पर निर्भर करता है। चूंकि ओएलएस प्रतिगमन विश्लेषण के दृष्टिकोण से हमारे लिए रूचि रखता है (एक्सेल में, इसकी विधियों को अंतर्निहित कार्यों का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है), हमें तुरंत आगे बढ़ना चाहिए एक विशिष्ट समस्या पर विचार करने के लिए।

तो, मान लीजिए कि X एक किराने की दुकान का विक्रय क्षेत्र है, जिसे में मापा जाता है वर्ग मीटर, और Y वार्षिक कारोबार है, जिसे लाखों रूबल में परिभाषित किया गया है।

यह भविष्यवाणी करना आवश्यक है कि स्टोर का टर्नओवर (Y) क्या होगा यदि उसके पास एक या कोई अन्य बिक्री क्षेत्र है। जाहिर है, फ़ंक्शन Y = f (X) बढ़ रहा है, क्योंकि हाइपरमार्केट स्टाल से अधिक सामान बेचता है।

भविष्यवाणी के लिए उपयोग किए गए प्रारंभिक डेटा की शुद्धता के बारे में कुछ शब्द

मान लें कि हमारे पास n स्टोर्स के लिए डेटा के साथ निर्मित एक टेबल है।

के अनुसार गणितीय सांख्यिकी, यदि कम से कम 5-6 वस्तुओं के डेटा की जांच की जाए तो परिणाम कमोबेश सही होंगे। साथ ही, "विसंगतिपूर्ण" परिणामों का उपयोग नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक कुलीन छोटे बुटीक का टर्नओवर "मासमार्केट" वर्ग के बड़े आउटलेट्स के टर्नओवर से कई गुना अधिक हो सकता है।

विधि का सार

तालिका डेटा को कार्तीय तल पर बिंदु M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। अब समस्या का समाधान एक सन्निकट फलन y = f (x) के चयन तक सीमित कर दिया जाएगा, जिसमें एक ग्राफ जितना संभव हो सके बिंदुओं M 1, M 2, .. M n के करीब से गुजर रहा हो।

बेशक, आप बहुपद का उपयोग कर सकते हैं उच्च डिग्री, लेकिन यह विकल्प न केवल लागू करना मुश्किल है, बल्कि केवल गलत है, क्योंकि यह उस मुख्य प्रवृत्ति को प्रतिबिंबित नहीं करेगा जिसका पता लगाने की आवश्यकता है। सबसे उचित समाधान एक सीधी रेखा y = ax + b की खोज करना है, जो प्रयोगात्मक डेटा का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है, और अधिक सटीक रूप से, गुणांक - a और b।

शुद्धता स्कोर

किसी भी सन्निकटन के लिए, उसकी सटीकता के आकलन का विशेष महत्व है। बिंदु x i के लिए कार्यात्मक और प्रायोगिक मूल्यों के बीच अंतर (विचलन) को e i द्वारा निरूपित करें, अर्थात e i = y i - f (x i)।

जाहिर है, सन्निकटन की सटीकता का आकलन करने के लिए, आप विचलन के योग का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात, Y पर X की निर्भरता के अनुमानित प्रतिनिधित्व के लिए एक सीधी रेखा का चयन करते समय, किसी को वरीयता देनी चाहिए जिसके लिए सबसे छोटा मानसभी बिंदुओं पर योग करता है। हालांकि, सब कुछ इतना सरल नहीं है, क्योंकि सकारात्मक विचलन के साथ, व्यावहारिक रूप से नकारात्मक भी होंगे।

आप विचलन मॉड्यूल या उनके वर्गों का उपयोग करके समस्या का समाधान कर सकते हैं। बाद की विधि सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। इसका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें प्रतिगमन विश्लेषण शामिल है (एक्सेल में, इसका कार्यान्वयन दो अंतर्निहित कार्यों का उपयोग करके किया जाता है), और लंबे समय से प्रभावी साबित हुआ है।

कम से कम वर्ग विधि

एक्सेल में, जैसा कि आप जानते हैं, एक अंतर्निहित ऑटोसम फ़ंक्शन है जो आपको चयनित श्रेणी में स्थित सभी मूल्यों के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, हमें व्यंजक के मान की गणना करने से कोई नहीं रोकेगा (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2)।

गणितीय संकेतन में, ऐसा दिखता है:

चूंकि निर्णय शुरू में एक सीधी रेखा का उपयोग करके अनुमानित करने के लिए किया गया था, हमारे पास है:

इस प्रकार, एक सीधी रेखा खोजने का कार्य जो एक्स और वाई के बीच एक विशिष्ट संबंध का सबसे अच्छा वर्णन करता है, दो चर के न्यूनतम फ़ंक्शन की गणना करने के बराबर है:

इसके लिए नए चर ए और बी के संबंध में शून्य आंशिक डेरिवेटिव के बराबर होना आवश्यक है, और एक आदिम प्रणाली को हल करना जिसमें दो अज्ञात फॉर्म के साथ दो समीकरण शामिल हैं:

सरल परिवर्तनों के बाद, जिसमें 2 से भाग देना और योगों में हेर-फेर करना शामिल है, हम प्राप्त करते हैं:

इसे हल करना, उदाहरण के लिए, क्रैमर की विधि द्वारा, हम कुछ गुणांक a * और b * के साथ एक स्थिर बिंदु प्राप्त करते हैं। यह न्यूनतम है, यानी यह अनुमान लगाने के लिए कि एक निश्चित क्षेत्र के साथ स्टोर का क्या कारोबार होगा, सीधी रेखा y = a * x + b * उपयुक्त है, जो है प्रतिगमन मॉडलप्रश्न में उदाहरण के लिए। बेशक, यह आपको सटीक परिणाम खोजने की अनुमति नहीं देगा, लेकिन इससे आपको यह अंदाजा लगाने में मदद मिलेगी कि क्या किसी विशेष क्षेत्र के लिए क्रेडिट पर स्टोर खरीदने से भुगतान होगा।

एक्सेल में कम से कम वर्ग विधि को कैसे लागू करें

एक्सेल में कम से कम वर्गों के मूल्य की गणना के लिए एक फ़ंक्शन है। इसका निम्न रूप है: TREND (ज्ञात Y मान; ज्ञात X मान; नए X मान; स्थिर)। आइए एक्सेल में ओएलएस की गणना के लिए हमारी तालिका में सूत्र लागू करें।

ऐसा करने के लिए, उस सेल में जिसमें एक्सेल में कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके गणना का परिणाम प्रदर्शित किया जाना चाहिए, "=" चिह्न दर्ज करें और "ट्रेंड" फ़ंक्शन का चयन करें। खुलने वाली विंडो में, हाइलाइट करते हुए उपयुक्त फ़ील्ड भरें:

• वाई के लिए ज्ञात मूल्यों की श्रेणी (इस मामले में कारोबार के लिए डेटा);
• रेंज x 1 , …x n , यानी खुदरा स्थान का आकार;
• और x के ज्ञात और अज्ञात मान, जिसके लिए आपको टर्नओवर के आकार का पता लगाना होगा (वर्कशीट पर उनके स्थान के बारे में जानकारी के लिए, नीचे देखें)।

इसके अलावा, सूत्र में एक तार्किक चर "कॉन्स्ट" है। यदि आप इसके अनुरूप क्षेत्र में 1 दर्ज करते हैं, तो इसका मतलब यह होगा कि गणना की जानी चाहिए, यह मानते हुए कि बी \u003d 0।

यदि आपको एक से अधिक x मान के लिए पूर्वानुमान जानने की आवश्यकता है, तो सूत्र दर्ज करने के बाद, आपको "एंटर" नहीं दबाना चाहिए, लेकिन आपको संयोजन "Shift" + "Control" + "Enter" ("Enter" टाइप करना होगा) ) कीबोर्ड पर।

कुछ सुविधाएं

प्रतिगमन विश्लेषण डमी के लिए भी सुलभ हो सकता है। एक्सेल फॉर्मूलाअज्ञात चरों की एक सरणी के मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए - "TREND" - का उपयोग उन लोगों द्वारा भी किया जा सकता है जिन्होंने कभी भी कम से कम वर्ग विधि के बारे में नहीं सुना है। इसके काम की कुछ विशेषताओं को जानना ही काफी है। विशेष रूप से:

• यदि हम चर y के ज्ञात मानों की श्रेणी को एक पंक्ति या स्तंभ में व्यवस्थित करते हैं, तो प्रत्येक पंक्ति (स्तंभ) के साथ ज्ञात मूल्य x को प्रोग्राम द्वारा एक अलग चर के रूप में माना जाएगा।
• यदि ज्ञात x के साथ श्रेणी "ट्रेंड" विंडो में निर्दिष्ट नहीं है, तो फ़ंक्शन का उपयोग करने के मामले में एक्सेल प्रोग्रामइसे पूर्णांकों से युक्त एक सरणी के रूप में मानेंगे, जिसकी संख्या चर y के दिए गए मानों के साथ सीमा से मेल खाती है।
• "अनुमानित" मानों की एक सरणी को आउटपुट करने के लिए, प्रवृत्ति अभिव्यक्ति को एक सरणी सूत्र के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए।
• यदि कोई नया x मान निर्दिष्ट नहीं है, तो TREND फ़ंक्शन उन्हें ज्ञात मान के बराबर मानता है। यदि वे निर्दिष्ट नहीं हैं, तो सरणी 1 को तर्क के रूप में लिया जाता है; 2; 3; 4;…, जो पहले से दिए गए पैरामीटर y के साथ सीमा के अनुरूप है।
• नए x मानों वाली श्रेणी में समान होना चाहिए या अधिकपंक्तियाँ या स्तंभ, दिए गए y मानों वाली श्रेणी के रूप में। दूसरे शब्दों में, यह स्वतंत्र चर के अनुपात में होना चाहिए।
• ज्ञात x मानों वाली एक सरणी में कई चर हो सकते हैं। हालांकि, यदि हम बात कर रहे हेकेवल एक के बारे में, तो यह आवश्यक है कि x और y के दिए गए मानों वाली श्रेणियां अनुरूप हों। कई चरों के मामले में, यह आवश्यक है कि दिए गए y मानों वाली श्रेणी एक कॉलम या एक पंक्ति में फिट हो।

पूर्वानुमान समारोह

इसे कई कार्यों का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है। उनमें से एक को "प्रेडिक्शन" कहा जाता है। यह ट्रेंड के समान है, यानी यह कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके गणना का परिणाम देता है। हालाँकि, केवल एक X के लिए, जिसके लिए Y का मान अज्ञात है।

अब आप डमी के लिए एक्सेल फ़ार्मुलों को जानते हैं जो आपको एक रेखीय प्रवृत्ति के अनुसार एक संकेतक के भविष्य के मूल्य के मूल्य की भविष्यवाणी करने की अनुमति देते हैं।

• ट्यूटोरियल

परिचय

मैं एक कंप्यूटर प्रोग्रामर हूं. मैंने अपने करियर में सबसे बड़ी छलांग लगाई जब मैंने यह कहना सीखा: "मुझे कुछ भी समझ में नहीं आता!"अब मुझे विज्ञान के प्रकाशक को यह बताने में कोई शर्म नहीं है कि वह मुझे व्याख्यान दे रहा है, कि मुझे समझ में नहीं आता कि यह, प्रकाशमान, मुझसे क्या बात कर रहा है। और यह बहुत मुश्किल है। हां, यह स्वीकार करना कठिन और शर्मनाक है कि आप नहीं जानते। कौन यह स्वीकार करना पसंद करता है कि वह किसी चीज की मूल बातें नहीं जानता है। अपने पेशे के कारण, मुझे बड़ी संख्या में प्रस्तुतियों और व्याख्यानों में भाग लेना पड़ता है, जहां मैं स्वीकार करता हूं, अधिकांश मामलों में मुझे नींद आती है, क्योंकि मुझे कुछ भी समझ में नहीं आता है। और मुझे समझ में नहीं आता क्योंकि विज्ञान की वर्तमान स्थिति की बड़ी समस्या गणित में है। यह मानता है कि सभी छात्र गणित के सभी क्षेत्रों से परिचित हैं (जो कि बेतुका है)। यह स्वीकार करने के लिए कि आप नहीं जानते कि व्युत्पन्न क्या है (कि यह थोड़ी देर बाद है) शर्म की बात है।

लेकिन मैंने यह कहना सीख लिया है कि मैं नहीं जानता कि गुणन क्या है। हाँ, मैं नहीं जानता कि लाई बीजगणित के ऊपर उप-बीजगणित क्या है। हां, पता नहीं क्यों जिंदगी में चाहिए द्विघातीय समीकरण. वैसे, यदि आप सुनिश्चित हैं कि आप जानते हैं, तो हमारे पास बात करने के लिए कुछ है! गणित चालों की एक श्रृंखला है। गणितज्ञ जनता को भ्रमित करने और डराने की कोशिश करते हैं; जहां कोई भ्रम नहीं, कोई प्रतिष्ठा नहीं, कोई अधिकार नहीं। हां, सबसे अमूर्त भाषा में बोलना प्रतिष्ठित है, जो अपने आप में पूरी तरह बकवास है।

क्या आप जानते हैं कि व्युत्पन्न क्या है? सबसे अधिक संभावना है कि आप मुझे अंतर संबंध की सीमा के बारे में बताएंगे। सेंट पीटर्सबर्ग स्टेट यूनिवर्सिटी में गणित के पहले वर्ष में, विक्टर पेट्रोविच खविन मे परिभाषितबिंदु पर फ़ंक्शन के टेलर श्रृंखला के पहले पद के गुणांक के रूप में व्युत्पन्न (यह डेरिवेटिव के बिना टेलर श्रृंखला निर्धारित करने के लिए एक अलग जिम्नास्टिक था)। मैं इस परिभाषा पर लंबे समय तक हंसता रहा, जब तक कि मैं अंत में समझ नहीं पाया कि यह किस बारे में है। व्युत्पन्न कुछ भी नहीं है, लेकिन केवल एक उपाय है कि हम कितने फ़ंक्शन को अलग कर रहे हैं, फ़ंक्शन y=x, y=x^2, y=x^3 के समान है।

मुझे अब उन छात्रों को व्याख्यान देने का सम्मान मिला है जो डरअंक शास्त्र। यदि आप गणित से डरते हैं - हम रास्ते में हैं। जैसे ही आप कुछ पाठ पढ़ने की कोशिश करते हैं और आपको लगता है कि यह अत्यधिक जटिल है, तो जान लें कि यह बुरी तरह लिखा गया है। मेरा तर्क है कि गणित का एक भी क्षेत्र ऐसा नहीं है जिसे सटीकता खोए बिना "उंगलियों पर" के बारे में बात नहीं की जा सकती है।

निकट भविष्य के लिए चुनौती: मैंने अपने छात्रों को यह समझने का निर्देश दिया कि रैखिक-द्विघात नियंत्रक क्या है। शरमाओ मत, अपने जीवन के तीन मिनट बर्बाद करो, लिंक का पालन करें। अगर आपको कुछ समझ नहीं आ रहा है, तो हम रास्ते में हैं। मुझे (पेशेवर गणितज्ञ-प्रोग्रामर) भी कुछ समझ नहीं आया। और मैं आपको विश्वास दिलाता हूं, इसे "उंगलियों पर" सुलझाया जा सकता है। फिलहाल मैं नहीं जानता कि यह क्या है, लेकिन मैं आपको विश्वास दिलाता हूं कि हम इसका पता लगाने में सक्षम होंगे।

तो, पहला व्याख्यान जो मैं अपने छात्रों को देने जा रहा हूं, जब वे मेरे पास डरावने शब्दों के साथ दौड़ते हुए आते हैं कि एक रैखिक-द्विघात नियंत्रक एक भयानक बग है जिसे आप अपने जीवन में कभी भी मास्टर नहीं करेंगे कम से कम वर्ग विधियां. क्या आप तय कर सकते हैं रेखीय समीकरण? यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो शायद नहीं।

इसलिए, दो बिंदुओं (x0, y0), (x1, y1), उदाहरण के लिए, (1,1) और (3,2) दिए गए, इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को खोजने का कार्य है:

चित्रण

इस सीधी रेखा में निम्न जैसा समीकरण होना चाहिए:

यहाँ अल्फा और बीटा हमारे लिए अज्ञात हैं, लेकिन इस रेखा के दो बिंदु ज्ञात हैं:

आप इस समीकरण को मैट्रिक्स रूप में लिख सकते हैं:

यहाँ आपको करना चाहिए गीतात्मक विषयांतर: मैट्रिक्स क्या है? एक मैट्रिक्स एक द्वि-आयामी सरणी के अलावा और कुछ नहीं है। यह डेटा स्टोर करने का एक तरीका है, इसमें और कोई वैल्यू नहीं दी जानी चाहिए। यह हम पर निर्भर करता है कि किसी निश्चित मैट्रिक्स की व्याख्या कैसे की जाए। समय-समय पर, मैं इसे एक रैखिक मानचित्रण के रूप में, समय-समय पर द्विघात रूप के रूप में और कभी-कभी बस वैक्टर के एक सेट के रूप में व्याख्या करूंगा। यह सब संदर्भ में स्पष्ट किया जाएगा।

आइए विशिष्ट मैट्रिक्स को उनके प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व से बदलें:

तब (अल्फा, बीटा) आसानी से पाया जा सकता है:

अधिक विशेष रूप से हमारे पिछले डेटा के लिए:

जो बिंदुओं (1,1) और (3,2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के निम्नलिखित समीकरण की ओर ले जाता है:

ठीक है, यहाँ सब कुछ स्पष्ट है। और आइए से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें तीनअंक: (x0,y0), (x1,y1) और (x2,y2):

ओह-ओह-ओह, लेकिन हमारे पास दो अज्ञात के लिए तीन समीकरण हैं! मानक गणितज्ञ कहेगा कि कोई हल नहीं है। प्रोग्रामर क्या कहेगा? और वह पहले समीकरणों की पिछली प्रणाली को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखेंगे:

हमारे मामले में वैक्टर मैं, जे, बीत्रि-आयामी, इसलिए, (में सामान्य मामला) इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। कोई भी सदिश (alpha\*i + beta\*j) सदिशों (i, j) द्वारा फैले हुए तल में होता है। यदि b इस तल से संबंधित नहीं है, तो कोई हल नहीं है (समीकरण में समानता प्राप्त नहीं की जा सकती)। क्या करें? आइए एक समझौता देखें। आइए द्वारा निरूपित करें ई (अल्फा, बीटा)हमने वास्तव में समानता कैसे हासिल नहीं की:

और हम इस त्रुटि को कम करने का प्रयास करेंगे:

एक वर्ग क्यों?

हम न केवल न्यूनतम मानदंड की तलाश कर रहे हैं, बल्कि मानदंड के न्यूनतम वर्ग की भी तलाश कर रहे हैं। क्यों? न्यूनतम बिंदु स्वयं मेल खाता है, और वर्ग एक सुचारू कार्य देता है (तर्कों का एक द्विघात कार्य (अल्फा, बीटा)), जबकि केवल लंबाई एक शंकु के रूप में एक फ़ंक्शन देती है, जो न्यूनतम बिंदु पर गैर-भिन्न है। भाई स्क्वायर अधिक सुविधाजनक है।

जाहिर है, त्रुटि कम हो जाती है जब वेक्टर इसदिशों द्वारा फैलाए गए समतल के लिए ओर्थोगोनल मैंतथा जे.

चित्रण

दूसरे शब्दों में: हम एक ऐसी रेखा की तलाश कर रहे हैं, जिसमें सभी बिंदुओं से इस रेखा तक की दूरी की चुकता लंबाई का योग न्यूनतम हो:

अद्यतन: यहां मेरे पास एक जंब है, रेखा की दूरी को लंबवत रूप से मापा जाना चाहिए, न कि ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन। यह टिप्पणीकार सही है।

चित्रण

पूरी तरह से अलग शब्दों में (ध्यान से, खराब औपचारिक रूप से, लेकिन यह उंगलियों पर स्पष्ट होना चाहिए): हम सभी जोड़ी बिंदुओं के बीच सभी संभावित रेखाएं लेते हैं और सभी के बीच औसत रेखा की तलाश करते हैं:

चित्रण

उंगलियों पर एक और स्पष्टीकरण: हम सभी डेटा बिंदुओं (यहां हमारे पास तीन हैं) और उस रेखा के बीच एक वसंत संलग्न करते हैं जिसे हम ढूंढ रहे हैं, और संतुलन स्थिति की रेखा ठीक वही है जिसे हम ढूंढ रहे हैं।

द्विघात रूप न्यूनतम

तो, वेक्टर दिया गया बीऔर मैट्रिक्स के कॉलम-वैक्टर द्वारा फैला हुआ विमान ए(इस मामले में (x0,x1,x2) और (1,1,1)), हम एक वेक्टर की तलाश कर रहे हैं इन्यूनतम वर्ग लंबाई के साथ। जाहिर है, न्यूनतम केवल वेक्टर के लिए प्राप्त करने योग्य है इ, मैट्रिक्स के कॉलम-वैक्टर द्वारा फैले विमान के लिए ऑर्थोगोनल ए:

दूसरे शब्दों में, हम एक सदिश x=(alpha, beta) की तलाश कर रहे हैं जैसे कि:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि यह वेक्टर x=(alpha, beta) न्यूनतम है द्विघात फंक्शन||ई(अल्फा, बीटा)||^2:

यहां यह याद रखना उपयोगी है कि मैट्रिक्स की व्याख्या द्विघात रूप के साथ-साथ की जा सकती है, उदाहरण के लिए, पहचान मैट्रिक्स ((1,0),(0,1)) को x^2 + y के एक फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है ^2:

द्विघात रूप

यह सभी जिम्नास्टिक रैखिक प्रतिगमन के रूप में जाना जाता है।

डिरिचलेट सीमा शर्त के साथ लाप्लास समीकरण

अब सबसे सरल वास्तविक समस्या: एक निश्चित त्रिकोणीय सतह है, इसे चिकना करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, आइए मेरा चेहरा मॉडल लोड करें:

मूल प्रतिबद्धता उपलब्ध है। बाहरी निर्भरता को कम करने के लिए, मैंने अपने सॉफ़्टवेयर रेंडरर का कोड लिया, जो पहले से ही हैब्रे पर है। समाधान के लिए रैखिक प्रणालीमैं ओपनएनएल का उपयोग करता हूं, यह एक महान सॉल्वर है, लेकिन इसे स्थापित करना वास्तव में कठिन है: आपको अपने प्रोजेक्ट फ़ोल्डर में दो फाइलों (.h+.c) की प्रतिलिपि बनाने की आवश्यकता है। सभी चौरसाई निम्नलिखित कोड द्वारा किया जाता है:

के लिए (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; iऔर चेहरा = चेहरे [i]; के लिए (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y और Z निर्देशांक वियोज्य हैं, मैं उन्हें अलग से चिकना करता हूं। यही है, मैं रैखिक समीकरणों की तीन प्रणालियों को हल करता हूं, जिनमें से प्रत्येक में समान संख्या में चर होते हैं जैसे कि मेरे मॉडल में शिखर की संख्या। मैट्रिक्स ए की पहली एन पंक्तियों में प्रति पंक्ति केवल एक 1 है, और वेक्टर बी की पहली एन पंक्तियों में मूल मॉडल निर्देशांक हैं। यही है, मैं नई शीर्ष स्थिति और पुरानी शीर्ष स्थिति के बीच वसंत-टाई करता हूं - नए लोगों को पुराने से बहुत दूर नहीं होना चाहिए।

मैट्रिक्स ए की सभी बाद की पंक्तियों (faces.size()*3 = ग्रिड में सभी त्रिकोणों के किनारों की संख्या) में 1 की एक घटना और -1 की एक घटना होती है, जबकि वेक्टर बी में शून्य घटक विपरीत होते हैं। इसका मतलब है कि मैंने अपने त्रिकोणीय जाल के प्रत्येक किनारे पर एक वसंत लगाया: सभी किनारों को उनके शुरुआती और अंत बिंदुओं के समान शीर्ष प्राप्त करने का प्रयास किया गया।

एक बार फिर: सभी कोने चर हैं, और वे अपनी मूल स्थिति से दूर नहीं जा सकते हैं, लेकिन साथ ही वे एक दूसरे के समान बनने की कोशिश करते हैं।

यहाँ परिणाम है:

सब कुछ ठीक हो जाएगा, मॉडल वास्तव में चिकना है, लेकिन यह अपने मूल किनारे से दूर चला गया। आइए कोड को थोड़ा बदलें:

के लिए (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

हमारे मैट्रिक्स ए में, किनारे पर स्थित कोने के लिए, मैं श्रेणी से एक पंक्ति नहीं जोड़ता v_i = verts[i][d], लेकिन 1000*v_i = 1000*verts[i][d]। यह क्या बदलता है? और यह त्रुटि के हमारे द्विघात रूप को बदल देता है। अब किनारे पर ऊपर से एक भी विचलन पहले की तरह एक इकाई नहीं, बल्कि 1000 * 1000 इकाइयों का खर्च आएगा। यही है, हमने चरम शिखर पर एक मजबूत वसंत लटका दिया, समाधान दूसरों को और अधिक मजबूती से फैलाना पसंद करता है। यहाँ परिणाम है:

आइए शिखरों के बीच स्प्रिंग्स की ताकत को दोगुना करें:
एनएल गुणांक (चेहरा [जे], 2); एनएल गुणांक (चेहरा [(जे + 1)% 3], -2);

यह तर्कसंगत है कि सतह चिकनी हो गई है:

और अब सौ गुना मजबूत:

यह क्या है? कल्पना कीजिए कि हमने एक तार के छल्ले को साबुन के पानी में डुबोया है। नतीजतन, परिणामी साबुन फिल्म कम से कम वक्रता रखने की कोशिश करेगी, उसी सीमा को छूते हुए - हमारे तार की अंगूठी। ठीक यही हमें सीमा तय करने और अंदर एक चिकनी सतह की मांग करने से मिला है। बधाई हो, हमने हाल ही में डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ लाप्लास समीकरण को हल किया है। ठीक लगता है? लेकिन वास्तव में, हल करने के लिए रैखिक समीकरणों की सिर्फ एक प्रणाली।

पॉइसन समीकरण

चलिए एक और अच्छा नाम लेते हैं।

मान लें कि मेरे पास इस तरह की एक छवि है:

सब अच्छे हैं, लेकिन मुझे कुर्सी पसंद नहीं है।

मैंने चित्र को आधा में काट दिया:

और मैं अपने हाथों से एक कुर्सी चुनूंगा:

फिर मैं तस्वीर के बाईं ओर मुखौटा में सफेद सब कुछ खींचूंगा, और साथ ही मैं पूरी तस्वीर में कहूंगा कि दो पड़ोसी पिक्सल के बीच का अंतर दो पड़ोसी पिक्सल के बीच के अंतर के बराबर होना चाहिए सही छवि:

के लिए (int i=0; i

यहाँ परिणाम है:

कोड और चित्र उपलब्ध हैं

कम से कम वर्ग एक रैखिक समीकरण के निर्माण के लिए एक गणितीय प्रक्रिया है जो एक सीधी रेखा के समीकरण में गुणांक, ए और बी के लिए मूल्यों को खोजने के द्वारा क्रमबद्ध जोड़े के एक सेट को सबसे अच्छी तरह से फिट करता है। कम से कम वर्ग विधि का लक्ष्य y और मानों के बीच कुल चुकता त्रुटि को कम करना है। यदि प्रत्येक बिंदु के लिए हम त्रुटि निर्धारित करते हैं, तो कम से कम वर्ग विधि न्यूनतम होती है:

जहाँ n = रेखा के चारों ओर क्रमित युग्मों की संख्या। डेटा के लिए सबसे प्रासंगिक।

यह अवधारणा चित्र . में सचित्र है

आंकड़े को देखते हुए, वह रेखा जो डेटा को सबसे अच्छी तरह से फिट करती है, प्रतिगमन रेखा, ग्राफ़ पर चार बिंदुओं की कुल चुकता त्रुटि को कम करती है। मैं आपको दिखाऊंगा कि निम्न उदाहरण में कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके इसे कैसे निर्धारित किया जाए।

एक युवा जोड़े की कल्पना करें जो हाल ही में एक साथ रहते हैं और एक बाथरूम वैनिटी टेबल साझा करते हैं। युवक ने नोटिस करना शुरू कर दिया कि उसकी मेज का आधा हिस्सा लगातार सिकुड़ रहा था, बाल मूस और सोया परिसरों से जमीन खो रहा था। पिछले कुछ महीनों से, वह आदमी उस दर पर बारीकी से नज़र रख रहा है जिस पर उसके टेबल पर आइटमों की संख्या बढ़ रही है। नीचे दी गई तालिका से पता चलता है कि पिछले कुछ महीनों में लड़की ने बाथरूम की मेज पर कितनी चीजें जमा की हैं।

चूंकि हमारा लक्ष्य यह पता लगाना है कि क्या समय के साथ वस्तुओं की संख्या बढ़ती है, "माह" स्वतंत्र चर होगा, और "वस्तुओं की संख्या" निर्भर चर होगी।

कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करते हुए, हम उस समीकरण का निर्धारण करते हैं जो डेटा के लिए सबसे उपयुक्त है a, y-अक्ष पर खंड, और b, रेखा का ढलान:

ए = वाई सीएफ - बीएक्स सीएफ

जहाँ x cf, x का माध्य मान है, स्वतंत्र चर, y cf, y का माध्य मान है, स्वतंत्र चर।

नीचे दी गई तालिका इन समीकरणों के लिए आवश्यक गणनाओं को सारांशित करती है।

हमारे बाथटब उदाहरण के लिए प्रभाव वक्र निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाएगा:

चूंकि हमारे समीकरण में 0.976 की सकारात्मक ढलान है, आदमी के पास सबूत है कि टेबल पर वस्तुओं की संख्या प्रति माह 1 आइटम की औसत दर से समय के साथ बढ़ती है। ग्राफ क्रमित युग्मों के साथ प्रभाव वक्र दिखाता है।

अगले छमाही (माह 16) के लिए अपेक्षित मदों की संख्या की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

= 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = 21 आइटम

तो यह हमारे नायक के लिए कुछ कार्रवाई करने का समय है।

एक्सेल में ट्रेंड फंक्शन

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, एक्सेल के पास एक मान की गणना करने के लिए एक फ़ंक्शन है कम से कम वर्ग विधि।इस फीचर को ट्रेंड कहा जाता है। इसका सिंटैक्स निम्नलिखित है:

रुझान (ज्ञात Y मान; ज्ञात X मान; नए X मान; स्थिरांक)

Y के ज्ञात मान - आश्रित चरों की एक सरणी, हमारे मामले में, तालिका में वस्तुओं की संख्या

एक्स के ज्ञात मूल्य - स्वतंत्र चर की एक सरणी, हमारे मामले में यह एक महीना है

नए X मान - नए X (माह) मान जिसके लिए प्रवृत्ति समारोहआश्रित चरों का अपेक्षित मान लौटाता है (वस्तुओं की संख्या)

कॉन्स्ट - वैकल्पिक। एक बूलियन मान जो निर्दिष्ट करता है कि क्या स्थिरांक b का 0 होना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, यह आंकड़ा 16वें महीने के लिए बाथरूम टेबल पर अपेक्षित संख्या में आइटम निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले TREND फ़ंक्शन को दिखाता है।

संरेखण के बाद, हमें निम्नलिखित रूप का एक फलन मिलता है: g (x) = x + 1 3 + 1।

हम उपयुक्त मापदंडों की गणना करके इस डेटा को रैखिक संबंध y = a x + b के साथ अनुमानित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें तथाकथित कम से कम वर्ग विधि को लागू करने की आवश्यकता होगी। प्रयोगात्मक डेटा को सबसे अच्छी तरह से संरेखित करने के लिए आपको यह जांचने के लिए एक चित्र बनाने की भी आवश्यकता होगी।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

OLS वास्तव में क्या है (न्यूनतम वर्ग विधि)

मुख्य चीज जो हमें करने की आवश्यकता है वह है ऐसे रैखिक निर्भरता गुणांकों को खोजना, जिन पर दो चर F (a, b) = i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 के फलन का मान सबसे छोटा होगा। . दूसरे शब्दों में, ए और बी के कुछ मूल्यों के लिए, परिणामी सीधी रेखा से प्रस्तुत डेटा के वर्ग विचलन के योग का न्यूनतम मूल्य होगा। यह न्यूनतम वर्ग विधि का अर्थ है। उदाहरण को हल करने के लिए हमें केवल दो चरों के फलन का चरम ज्ञात करना है।

गुणांक की गणना के लिए सूत्र कैसे प्राप्त करें

गुणांकों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, दो चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली को बनाना और हल करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 के आंशिक अवकलज की गणना a और b के संबंध में करते हैं और उन्हें 0 के बराबर करते हैं।

एफ (ए, बी) δ ए = 0 δ एफ (ए, बी) δ बी = 0 ⇔ - 2 ∑ मैं = 1 एन (वाई मैं - (ए एक्स आई + बी)) एक्स i = 0 - 2 ∑ मैं = 1 एन ( y i - (a x i + b)) = 0 a i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a i = 1 n x i 2 + b i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a i = 1 n x i + n b = i = 1 n y i

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आप किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं, जैसे प्रतिस्थापन या क्रैमर की विधि। नतीजतन, हमें ऐसे सूत्र प्राप्त करने चाहिए जो कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके गुणांक की गणना करें।

n i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n

हमने उन चरों के मानों की गणना की है जिनके लिए फ़ंक्शन
F (a , b) = i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 न्यूनतम मान लेगा। तीसरे पैराग्राफ में हम साबित करेंगे कि ऐसा क्यों है।

यह व्यवहार में कम से कम वर्ग विधि का अनुप्रयोग है। उसके सूत्र, जिसका उपयोग पैरामीटर a को खोजने के लिए किया जाता है, में i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2 और पैरामीटर शामिल हैं।
n - यह प्रयोगात्मक डेटा की मात्रा को दर्शाता है। हम आपको प्रत्येक राशि की अलग से गणना करने की सलाह देते हैं। गुणांक मान b की गणना a के तुरंत बाद की जाती है।

आइए मूल उदाहरण पर वापस जाएं।

उदाहरण 1

यहाँ हमारे पास n बराबर पाँच है। गुणांक सूत्रों में शामिल आवश्यक राशियों की गणना करना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, हम तालिका को भरते हैं।

	मैं = 1	मैं = 2	मैं = 3	मैं = 4	मैं = 5	मैं = 1 5
एक्स मैं	0	1	2	4	5	12
यी	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
एक्स मैं वाई मैं	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
एक्स मैं 2	0	1	4	16	25	46

समाधान

चौथी पंक्ति में प्रत्येक व्यक्ति i के लिए तीसरी पंक्ति के मानों को दूसरी पंक्ति के मानों से गुणा करके प्राप्त डेटा होता है। पांचवीं पंक्ति में दूसरे वर्ग का डेटा होता है। अंतिम कॉलम अलग-अलग पंक्तियों के मूल्यों का योग दिखाता है।

आइए हम आवश्यक गुणांक a और b की गणना करने के लिए कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, अंतिम कॉलम से वांछित मानों को प्रतिस्थापित करें और रकम की गणना करें:

n i = 1 n x i y i - i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 33 , 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 बी = 12, 9 - ए 12 5 ए 0, 165 बी ≈ 2, 184

हमने पाया कि वांछित सन्निकटन सीधी रेखा y = 0 , 165 x + 2 , 184 जैसी दिखेगी। अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी रेखा डेटा का सबसे अच्छा अनुमान लगाएगी - g (x) = x + 1 3 + 1 या 0 , 165 x + 2 , 184 । आइए कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके एक अनुमान लगाएं।

त्रुटि की गणना करने के लिए, हमें 1 = i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 और σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 , न्यूनतम मान एक अधिक उपयुक्त रेखा के अनुरूप होगा।

1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 0, 019 σ 2 = i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 0 , 096

उत्तर: 1 . के बाद से< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
वाई = 0, 165 x + 2, 184।

कम से कम वर्ग विधि को ग्राफिक चित्रण में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है। लाल रेखा सीधी रेखा g (x) = x + 1 3 + 1 को चिह्नित करती है, नीली रेखा y = 0, 165 x + 2, 184 को चिह्नित करती है। कच्चे डेटा को गुलाबी बिंदुओं से चिह्नित किया जाता है।

आइए हम बताते हैं कि वास्तव में इस प्रकार के सन्निकटन की आवश्यकता क्यों है।

उनका उपयोग उन समस्याओं में किया जा सकता है जिनके लिए डेटा स्मूथिंग की आवश्यकता होती है, साथ ही उन मामलों में जहां डेटा को प्रक्षेपित या एक्सट्रपलेशन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चा की गई समस्या में, कोई प्रेक्षित मात्रा y का मान x = 3 या x = 6 पर ज्ञात कर सकता है। हमने ऐसे उदाहरणों के लिए एक अलग लेख समर्पित किया है।

एलएसएम विधि का प्रमाण

फ़ंक्शन के लिए ए और बी की गणना के लिए न्यूनतम मान लेने के लिए, यह आवश्यक है कि किसी दिए गए बिंदु पर फॉर्म एफ (ए, बी) के फ़ंक्शन के अंतर के द्विघात रूप का मैट्रिक्स = i = 1 n ( y i - (a x i + b)) 2 धनात्मक निश्चित हो। आइए आपको दिखाते हैं कि यह कैसा दिखना चाहिए।

उदाहरण 2

हमारे पास निम्नलिखित फॉर्म का दूसरा क्रम अंतर है:

डी 2 एफ (ए; बी) = δ 2 एफ (ए; बी) δ ए 2 डी 2 ए + 2 δ 2 एफ (ए; बी) δ ए बी डी ए डी बी + δ 2 एफ (ए; बी) δ बी 2 डी 2 बी

समाधान

2 एफ (ए; बी) δ ए 2 = δ एफ (ए; बी) ए δ ए = = - 2 ∑ आई = 1 एन (वाई आई - (ए एक्स आई + बी)) एक्स आई δ ए = 2 ∑ मैं = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a ; b) a b = δ F (a ; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) b 2 = F (a ; b) b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + बी)) बी = 2 ∑ मैं = 1 एन (1) = 2 एन

दूसरे शब्दों में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b।

हमने द्विघात रूप M = 2 i = 1 n (x i) 2 2 i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n का मैट्रिक्स प्राप्त किया है।

इस मामले में, व्यक्तिगत तत्वों के मान a और b के आधार पर नहीं बदलेंगे। क्या यह मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए देखें कि क्या इसके कोणीय अवयस्क सकारात्मक हैं।

पहले क्रम की गणना कोणीय नाबालिग: 2 i = 1 n (x i) 2 > 0 । चूँकि बिंदु x मैं संपाती नहीं हैं, असमानता सख्त है। आगे की गणना में हम इसे ध्यान में रखेंगे।

हम दूसरे क्रम के कोणीय नाबालिग की गणना करते हैं:

डी ई टी (एम) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - i = 1 n x i 2

उसके बाद, हम गणितीय प्रेरण का उपयोग करके असमानता n i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 के प्रमाण के लिए आगे बढ़ते हैं।

1. आइए जाँच करें कि क्या यह असमानता मनमानी n के लिए मान्य है। आइए 2 लें और गणना करें:

2 i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = एक्स 1 + एक्स 2 2 > 0

हमें सही समानता मिली (यदि मान x 1 और x 2 मेल नहीं खाते हैं)।

1. आइए मान लें कि यह असमानता n के लिए सही होगी, अर्थात। n i = 1 n (x i) 2 - i = 1 n x i 2 > 0 - सत्य।
2. आइए अब n + 1 की वैधता सिद्ध करें, अर्थात्। कि (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - i = 1 n + 1 x i 2 > 0 यदि n i = 1 n (x i) 2 - i = 1 n x i 2 > 0 ।

हम गणना करते हैं:

(एन + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 एक्स 2 + एक्स 2 2 +। . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - एक्स 2) 2 +। . . + (एक्स एन - 1 - एक्स एन) 2 > 0

घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न अभिव्यक्ति 0 से अधिक होगी (चरण 2 में हमने जो ग्रहण किया था उसके आधार पर), और शेष शब्द 0 से अधिक होंगे क्योंकि वे सभी संख्याओं के वर्ग हैं। हमने असमानता साबित की है।

उत्तर:पाया गया a और b फलन F (a, b) = i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 के सबसे छोटे मान के अनुरूप होंगे, जिसका अर्थ है कि वे न्यूनतम वर्ग विधि के आवश्यक पैरामीटर हैं। (एलएसएम)।

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प्रयोगात्मक डेटा का अनुमान एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के साथ प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त डेटा के प्रतिस्थापन के आधार पर एक विधि है जो प्रारंभिक मूल्यों (प्रयोग या प्रयोग के दौरान प्राप्त डेटा) के साथ नोडल बिंदुओं पर सबसे निकट से गुजरता है या मेल खाता है। विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए वर्तमान में दो तरीके हैं:

एक एन-डिग्री इंटरपोलेशन बहुपद का निर्माण करके जो गुजरता है सीधे सभी बिंदुओं के माध्यम सेडेटा की दी गई सरणी। इस मामले में, सन्निकटन फलन को इस प्रकार दर्शाया जाता है: लैग्रेंज रूप में एक प्रक्षेप बहुपद या न्यूटन रूप में एक प्रक्षेप बहुपद।

एक n-डिग्री सन्निकटन बहुपद का निर्माण करके जो गुजरता है अंक के करीबदिए गए डेटा सरणी से। इस प्रकार, अनुमानित कार्य प्रयोग के दौरान होने वाले सभी यादृच्छिक शोर (या त्रुटियों) को सुचारू करता है: प्रयोग के दौरान मापा गया मान यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है जो अपने स्वयं के यादृच्छिक कानूनों (माप या उपकरण त्रुटियों, अशुद्धि या प्रयोगात्मक) के अनुसार उतार-चढ़ाव करते हैं। त्रुटियां)। इस मामले में, सन्निकटन फ़ंक्शन कम से कम वर्ग विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

कम से कम वर्ग विधि(अंग्रेजी साहित्य में साधारण कम से कम वर्ग, ओएलएस) एक अनुमानित कार्य की परिभाषा के आधार पर एक गणितीय विधि है, जो प्रयोगात्मक डेटा के दिए गए सरणी से बिंदुओं के निकटतम निकटता में बनाया गया है। प्रारंभिक और अनुमानित कार्यों की निकटता F(x) एक संख्यात्मक माप द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात्: अनुमानित वक्र F(x) से प्रयोगात्मक डेटा के वर्ग विचलन का योग सबसे छोटा होना चाहिए।

कम से कम वर्ग विधि द्वारा निर्मित फिटिंग वक्र

कम से कम वर्ग विधि का उपयोग किया जाता है:

समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से अधिक होने पर समीकरणों की अतिनिर्धारित प्रणालियों को हल करने के लिए;

समीकरणों की साधारण (अतिनिर्धारित नहीं) गैर-रेखीय प्रणालियों के मामले में समाधान की खोज करना;

कुछ अनुमानित फ़ंक्शन द्वारा बिंदु मानों को अनुमानित करने के लिए।

न्यूनतम वर्ग विधि द्वारा सन्निकटन फलन प्रायोगिक डेटा के दिए गए सरणी से परिकलित सन्निकटन फलन के वर्ग विचलन के न्यूनतम योग की स्थिति से निर्धारित होता है। न्यूनतम वर्ग विधि का यह मानदंड निम्नलिखित व्यंजक के रूप में लिखा गया है:

नोडल बिंदुओं पर परिकलित सन्निकटन फलन के मान,

नोडल बिंदुओं पर प्रयोगात्मक डेटा की निर्दिष्ट सरणी।

द्विघात मानदंड में कई "अच्छे" गुण होते हैं, जैसे कि भिन्नता, बहुपद सन्निकटन कार्यों के साथ सन्निकटन समस्या का एक अनूठा समाधान प्रदान करना।

समस्या की स्थितियों के आधार पर, सन्निकटन फलन घात m . का एक बहुपद है

सन्निकटन फलन की डिग्री नोडल बिंदुओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है, लेकिन इसका आयाम हमेशा प्रयोगात्मक डेटा के दिए गए सरणी के आयाम (अंकों की संख्या) से कम होना चाहिए।

यदि सन्निकटन फलन की घात m=1 है, तो हम एक सीधी रेखा (रैखिक प्रतिगमन) के साथ तालिका फलन का अनुमान लगाते हैं।

यदि सन्निकटन फलन की घात m=2 है, तो हम एक द्विघात परवलय (द्विघात सन्निकटन) के साथ तालिका फलन का अनुमान लगाते हैं।

यदि सन्निकटन फलन की घात m=3 है, तो हम तालिका फलन को घन परवलय (घन सन्निकटन) के साथ सन्निकटित करते हैं।

सामान्य स्थिति में, जब दिए गए सारणीबद्ध मानों के लिए घात m का एक सन्निकट बहुपद बनाना आवश्यक होता है, तो सभी नोडल बिंदुओं पर वर्ग विचलन के न्यूनतम योग की शर्त को निम्न रूप में फिर से लिखा जाता है:

- डिग्री एम के अनुमानित बहुपद के अज्ञात गुणांक;

निर्दिष्ट तालिका मानों की संख्या।

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त अज्ञात चर के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न के शून्य की समानता है . नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

आइए समीकरणों की परिणामी रैखिक प्रणाली को रूपांतरित करें: कोष्ठक खोलें और मुक्त पदों को व्यंजक के दाईं ओर ले जाएं। परिणामस्वरूप, रैखिक बीजीय व्यंजकों की परिणामी प्रणाली निम्नलिखित रूप में लिखी जाएगी:

रैखिक बीजीय व्यंजकों की इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

नतीजतन, आयाम एम + 1 के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई, जिसमें एम + 1 अज्ञात शामिल हैं। इस प्रणाली को रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने के लिए किसी भी विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, गॉस विधि)। समाधान के परिणामस्वरूप, अनुमानित फ़ंक्शन के अज्ञात पैरामीटर पाए जाएंगे जो मूल डेटा से अनुमानित फ़ंक्शन के वर्ग विचलन का न्यूनतम योग प्रदान करते हैं, यानी। सर्वोत्तम संभव द्विघात सन्निकटन। यह याद रखना चाहिए कि यदि प्रारंभिक डेटा का एक भी मान बदलता है, तो सभी गुणांक अपने मूल्यों को बदल देंगे, क्योंकि वे प्रारंभिक डेटा द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होते हैं।

रैखिक निर्भरता द्वारा प्रारंभिक डेटा का अनुमान

(रेखीय प्रतिगमन)

एक उदाहरण के रूप में, सन्निकटन फलन को निर्धारित करने की विधि पर विचार करें, जिसे रैखिक संबंध के रूप में दिया गया है। न्यूनतम वर्ग विधि के अनुसार, वर्ग विचलनों के न्यूनतम योग की शर्त इस प्रकार लिखी जाती है:

तालिका के नोडल बिंदुओं के निर्देशांक;

सन्निकटन फलन के अज्ञात गुणांक, जो रैखिक संबंध के रूप में दिए गए हैं।

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त अज्ञात चर के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न के शून्य की समानता है। नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

आइए हम समीकरणों की परिणामी रैखिक प्रणाली को रूपांतरित करें।

हम रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं। विश्लेषणात्मक रूप में अनुमानित कार्य के गुणांक निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं (क्रैमर की विधि):

ये गुणांक दिए गए सारणीबद्ध मानों (प्रायोगिक डेटा) से अनुमानित फ़ंक्शन के वर्गों के योग को कम करने की कसौटी के अनुसार एक रैखिक सन्निकटन फ़ंक्शन का निर्माण प्रदान करते हैं।

कम से कम वर्गों की विधि को लागू करने के लिए एल्गोरिदम

1. प्रारंभिक डेटा:

माप की संख्या के साथ प्रयोगात्मक डेटा की एक सरणी को देखते हुए N

सन्निकट बहुपद (m) की घात दी गई है

2. गणना एल्गोरिथ्म:

2.1. आयाम के साथ समीकरणों की एक प्रणाली के निर्माण के लिए गुणांक निर्धारित किए जाते हैं

समीकरणों की प्रणाली के गुणांक (समीकरण के बाईं ओर)

- समीकरणों की प्रणाली के वर्ग मैट्रिक्स के स्तंभ संख्या का सूचकांक

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के मुक्त सदस्य (समीकरण के दाईं ओर)

- समीकरणों की प्रणाली के वर्ग मैट्रिक्स की पंक्ति संख्या का सूचकांक

2.2. आयाम के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का गठन।

2.3. घात m के सन्निकट बहुपद के अज्ञात गुणांक ज्ञात करने के लिए रैखिक समीकरणों के निकाय का हल।

2.4 सभी नोडल बिंदुओं पर प्रारंभिक मूल्यों से अनुमानित बहुपद के वर्ग विचलन के योग का निर्धारण

वर्ग विचलन के योग का पाया गया मान न्यूनतम संभव है।

अन्य कार्यों के साथ सन्निकटन

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कम से कम वर्ग विधि के अनुसार प्रारंभिक डेटा का अनुमान लगाते समय, एक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, एक घातीय फ़ंक्शन, और एक पावर फ़ंक्शन को कभी-कभी अनुमानित फ़ंक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है।

लॉग सन्निकटन

उस मामले पर विचार करें जब फॉर्म के लॉगरिदमिक फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित कार्य दिया जाता है: