क्रैमर विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की गणना कैसे करें। रेखीय समीकरण

2. मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करना)।
3. समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए गॉस विधि।

क्रेमर की विधि।

क्रैमर विधि का उपयोग रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है बीजीय समीकरण (टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण पर सूत्र।
दिया गया: Cramer's method द्वारा सिस्टम को सॉल्व करें

चर के बारे में एक्सतथा पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बना मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं, निर्धारकों की गणना। :

आइए Cramer के सूत्रों को लागू करें और चरों के मान ज्ञात करें:
तथा .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सतथा पर.
समाधान:


आइए इस निर्धारक के पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ज्ञात करें:

आइए पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को बदलकर एक समान क्रिया करें:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चर के मान ज्ञात कीजिए:
तथा ।
उत्तर:
टिप्पणी:इस पद्धति का उपयोग उच्च आयामों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

टिप्पणी:यदि यह पता चला है, और शून्य से विभाजित करना असंभव है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम के पास या तो असीम रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(अनंत संख्या में समाधान):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सतथा पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं:

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सही है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। तो केवल एक समीकरण बचा है। यह चरों के बीच संबंध समीकरण है।
हमने पाया कि प्रणाली का समाधान समानता से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
इस संबंध समीकरण से y का एक मनमाना मान चुनकर और x की गणना करके विशेष समाधान निर्धारित किए जा सकते हैं।

आदि।
ऐसे असीम रूप से कई समाधान हैं।
उत्तर: सामान्य निर्णय
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं:

आप Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग नहीं कर सकते। आइए इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए मान्य नहीं है (बेशक, चूंकि -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक चर के किसी भी मान के लिए सही नहीं है, तो पूरे सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं

तरीकों क्रेमेतथा गाऊसीसबसे लोकप्रिय समाधानों में से एक टूटना. इसके अलावा, कुछ मामलों में विशिष्ट तरीकों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। सत्र करीब है, और अब समय है उन्हें दोहराने या शुरू से मास्टर करने का। आज हम क्रैमर विधि द्वारा समाधान से निपटते हैं। आखिर व्यवस्था का समाधान रेखीय समीकरणक्रैमर विधि एक बहुत ही उपयोगी कौशल है।

रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली रूप के समीकरणों की एक प्रणाली है:

मान सेट एक्स जिस पर निकाय के समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, निकाय का हल कहलाता है। एक तथा बी वास्तविक गुणांक हैं। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों वाली एक सरल प्रणाली को मानसिक रूप से या एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। लेकिन SLAE में दो से अधिक चर (x) हो सकते हैं, और सरल स्कूल जोड़तोड़ यहां अपरिहार्य हैं। क्या करें? उदाहरण के लिए, SLAE को Cramer's method द्वारा हल करें!

तो सिस्टम होने दो एन के साथ समीकरण एन अनजान।

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है

यहां ए प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स है, एक्स तथा बी , क्रमशः, अज्ञात चर और मुक्त सदस्यों के कॉलम मैट्रिक्स।

क्रैमर विधि द्वारा SLAE समाधान

यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है (मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है), तो सिस्टम को क्रैमर विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

क्रैमर विधि के अनुसार, सूत्र द्वारा समाधान ज्ञात किया जाता है:

यहां डेल्टा मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और डेल्टा x n-th - मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक, n-वें कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम से बदलकर।

यह क्रैमर की विधि का संपूर्ण बिंदु है। उपरोक्त सूत्रों द्वारा प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स वांछित प्रणाली में, हम अपने समाधान की शुद्धता (या इसके विपरीत) के बारे में आश्वस्त हैं। आपके लिए बिंदु को समझना आसान बनाने के लिए, यहां एक उदाहरण दिया गया है। विस्तृत समाधानक्रैमर विधि द्वारा SLAE:

भले ही आप पहली बार सफल न हों, निराश न हों! थोड़े से अभ्यास के साथ, आप नट्स की तरह धीमी गति से पॉप करना शुरू कर देंगे। इसके अलावा, अब एक नोटबुक पर ताकना, बोझिल गणनाओं को हल करना और रॉड पर लिखना बिल्कुल जरूरी नहीं है। SLAE को Cramer विधि द्वारा ऑनलाइन हल करना आसान है, केवल गुणांकों को तैयार रूप में प्रतिस्थापित करके। कोशिश करें ऑनलाइन कैलकुलेटरक्रैमर विधि द्वारा समाधान, उदाहरण के लिए, इस साइट पर हो सकते हैं।

और अगर सिस्टम जिद्दी निकला और हार नहीं मानी, तो आप हमेशा मदद के लिए हमारे लेखकों की ओर रुख कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, करने के लिए। यदि सिस्टम में कम से कम 100 अज्ञात हैं, तो हम निश्चित रूप से इसे सही ढंग से और समय पर हल करेंगे!

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों के निकाय में उतने ही समीकरण हैं जितने कि स्वतंत्र चरों की संख्या, अर्थात्। रूप है

रैखिक समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को द्विघात कहा जाता है। प्रणाली के स्वतंत्र चर (1.5) के गुणांकों से बना सारणिक प्रणाली का मुख्य निर्धारक कहलाता है। हम इसे लेबल करेंगे ग्रीक अक्षरडी. सो

. (1.6)

यदि मुख्य निर्धारक में एक मनमाना ( जेवें) कॉलम, इसे सिस्टम के मुक्त सदस्यों (1.5) के कॉलम से बदलें, फिर हम और अधिक प्राप्त कर सकते हैं एनसहायक निर्धारक:

(जे = 1, 2, …, एन). (1.7)

क्रैमर का नियमरैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली को हल करना इस प्रकार है। यदि सिस्टम का प्रमुख निर्धारक डी (1.5) गैर-शून्य है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान भी होता है, जिसे सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

(1.8)

उदाहरण 1.5. Cramer's method का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें

.

आइए प्रणाली के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

D¹0 के बाद से, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है जिसे सूत्रों (1.8) का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस तरह,

मैट्रिक्स क्रियाएं

1. एक आव्यूह को एक संख्या से गुणा करना।एक मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने की क्रिया को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

2. किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको उसके सभी तत्वों को इस संख्या से गुणा करना होगा। वह है

. (1.9)

उदाहरण 1.6। .

मैट्रिक्स जोड़।

यह ऑपरेशन केवल उसी क्रम के मैट्रिसेस के लिए पेश किया गया है।

दो मैट्रिक्स जोड़ने के लिए, दूसरे मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों को एक मैट्रिक्स के तत्वों में जोड़ना आवश्यक है:

(1.10)
मैट्रिक्स जोड़ के संचालन में सहयोगीता और कम्यूटेटिविटी के गुण होते हैं।

उदाहरण 1.7. .

मैट्रिक्स गुणा।

यदि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या लेकिनमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल खाता है पर, तो ऐसे आव्यूहों के लिए गुणन की संक्रिया शुरू की जाती है:

2

इस प्रकार, मैट्रिक्स को गुणा करते समय लेकिनआयाम एम´ एनमैट्रिक्स के लिए परआयाम एन´ कहमें एक मैट्रिक्स मिलता है सेआयाम एम´ क. इस मामले में, मैट्रिक्स के तत्व सेनिम्नलिखित सूत्रों के अनुसार गणना की जाती है:

समस्या 1.8.यदि संभव हो तो आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए अबतथा बी ० ए:

समाधान। 1) एक काम खोजने के लिए अब, आपको मैट्रिक्स पंक्तियों की आवश्यकता है एमैट्रिक्स कॉलम से गुणा करें बी:

2) कलाकृति बी ० एमौजूद नहीं है, क्योंकि मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या बीमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल नहीं खाता ए.

उलटा मैट्रिक्स। मैट्रिक्स तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

आव्यूह ए- 1 को वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम कहते हैं लेकिनअगर समानता रखती है:

जहां के माध्यम से मैंमैट्रिक्स के समान क्रम के पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है लेकिन:

.

एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका निर्धारक गैर-शून्य हो। उलटा मैट्रिक्स सूत्र द्वारा पाया जाता है:

, (1.13)

कहाँ पे एक इजी - बीजीय जोड़तत्वों के लिए ऐजोमैट्रिक्स लेकिन(ध्यान दें कि मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजगणितीय जोड़ लेकिनव्युत्क्रम मैट्रिक्स में संबंधित कॉलम के रूप में व्यवस्थित होते हैं)।

उदाहरण 1.9.उलटा मैट्रिक्स खोजें ए- 1 से मैट्रिक्स

.

हम सूत्र (1.13) द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं, जो मामले के लिए है एन= 3 जैसा दिखता है:

.

आइए जानें डिटेल ए = | ए| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. चूँकि मूल आव्यूह का सारणिक शून्य से भिन्न है, अतः व्युत्क्रम आव्यूह विद्यमान है।

1) बीजीय योग ज्ञात कीजिए एक इजी:

खोजने की सुविधा के लिए उलटा मैट्रिक्स, हमने मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय योगों को संगत स्तंभों में रखा है।

प्राप्त बीजीय योगों से, हम एक नया मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे सारणिक det . से विभाजित करते हैं ए. इस प्रकार, हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे:

एक गैर-शून्य प्रमुख निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके लिए सिस्टम (1.5) को मैट्रिक्स रूप में लिखा जाता है:

कहाँ पे

समानता के दोनों पक्षों (1.14) को बाईं ओर से गुणा करने पर ए- 1, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है:

, कहाँ पे

इस प्रकार, एक वर्ग प्रणाली का समाधान खोजने के लिए, आपको सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजने की आवश्यकता है और इसे मुक्त शर्तों के कॉलम मैट्रिक्स द्वारा दाईं ओर गुणा करें।

समस्या 1.10.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करना।

समाधान।हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं: ,

कहाँ पे सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स है, अज्ञात का कॉलम है, और फ्री टर्म्स का कॉलम है। प्रणाली के मुख्य निर्धारक के बाद से , फिर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स लेकिनएक उलटा मैट्रिक्स है लेकिन-एक । उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए लेकिन-1, मैट्रिक्स के सभी तत्वों के लिए बीजीय पूरक की गणना करें लेकिन:

प्राप्त संख्याओं से हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं (इसके अलावा, मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजगणितीय जोड़ लेकिनउपयुक्त कॉलम में लिखें) और इसे सारणिक डी से विभाजित करें। इस प्रकार, हमने उलटा मैट्रिक्स पाया है:

सिस्टम का समाधान सूत्र (1.15) द्वारा पाया जाता है:

इस तरह,

साधारण जॉर्डन अपवादों द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों का एक मनमाना (जरूरी नहीं कि वर्गाकार) निकाय दिया गया हो:

(1.16)

सिस्टम का समाधान खोजना आवश्यक है, अर्थात। चरों का ऐसा समुच्चय जो निकाय की सभी समानताओं को संतुष्ट करता हो (1.16)। पर सामान्य मामलाप्रणाली (1.16) में न केवल एक समाधान हो सकता है, बल्कि अनंत संख्या में समाधान भी हो सकते हैं। इसका कोई समाधान भी नहीं हो सकता है।

इस तरह की समस्याओं को हल करते समय, स्कूल के पाठ्यक्रम से अज्ञात को खत्म करने की प्रसिद्ध विधि का उपयोग किया जाता है, जिसे जॉर्डन के साधारण उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। सार यह विधियह है कि प्रणाली के समीकरणों में से एक (1.16) में से एक चर को अन्य चर के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर इस चर को सिस्टम के अन्य समीकरणों में बदल दिया जाता है। परिणाम एक ऐसी प्रणाली है जिसमें मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम चर होता है। जिस समीकरण से चर व्यक्त किया गया था उसे याद किया जाता है।

यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि सिस्टम में एक अंतिम समीकरण न रह जाए। उदाहरण के लिए, अज्ञात को खत्म करने की प्रक्रिया में, कुछ समीकरण सही पहचान में बदल सकते हैं। इस तरह के समीकरणों को सिस्टम से बाहर रखा गया है, क्योंकि वे चर के किसी भी मान के लिए मान्य हैं और इसलिए, सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करते हैं। यदि, अज्ञात को समाप्त करने की प्रक्रिया में, कम से कम एक समीकरण एक समानता बन जाता है जो चर के किसी भी मान (उदाहरण के लिए, ) के लिए संतुष्ट नहीं हो सकता है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

यदि असंगत समीकरणों को हल करने के क्रम में उत्पन्न नहीं होता है, तो इसमें शेष चरों में से एक अंतिम समीकरण से पाया जाता है। यदि अंतिम समीकरण में केवल एक चर रहता है, तो इसे एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। यदि अन्य चर अंतिम समीकरण में रहते हैं, तो उन्हें पैरामीटर माना जाता है, और उनके माध्यम से व्यक्त चर इन मापदंडों का एक कार्य होगा। फिर तथाकथित रिवर्स स्ट्रोक". पाए गए चर को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और दूसरा चर पाया जाता है। फिर दो पाए गए चरों को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और तीसरा चर पाया जाता है, और इसी तरह, पहले याद किए गए समीकरण तक।

नतीजतन, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है। यह समाधान केवल एक ही होगा यदि पाया गया चर संख्याएं हैं। यदि पहले पाया गया चर, और फिर अन्य सभी मापदंडों पर निर्भर करते हैं, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होंगे (पैरामीटर का प्रत्येक सेट एक नए समाधान से मेल खाता है)। वे सूत्र जो पैरामीटरों के एक विशेष सेट के आधार पर सिस्टम का समाधान खोजने की अनुमति देते हैं, सिस्टम का सामान्य समाधान कहलाते हैं।

उदाहरण 1.11.

एक्स

पहला समीकरण याद करने के बाद और दूसरे और तीसरे समीकरण में समान पदों को लाते हुए, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं:

अभिव्यक्त करना आपदूसरे समीकरण से और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

दूसरा समीकरण याद रखें, और पहले से हम पाते हैं जेड:

रिवर्स मूव करते हुए, हम क्रमिक रूप से पाते हैं आपतथा जेड. ऐसा करने के लिए, हम पहले अंतिम याद किए गए समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, जिससे हम पाते हैं आप:

.

फिर हम प्रतिस्थापित करते हैं और पहले याद किए गए समीकरण में जहाँ से हम पाते हैं एक्स:

समस्या 1.12.अज्ञात को समाप्त करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.17)

समाधान।आइए हम पहले समीकरण से चर को व्यक्त करें एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें

इस प्रणाली में, पहले और दूसरे समीकरण एक दूसरे का खंडन करते हैं। दरअसल, व्यक्त करना आप , हमें वह 14 = 17 मिलता है। यह समानता संतुष्ट नहीं है, चर के किसी भी मूल्य के लिए एक्स, आप, तथा जेड. नतीजतन, सिस्टम (1.17) असंगत है, अर्थात, कोई समाधान नहीं है।

पाठकों को स्वतंत्र रूप से सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है कि मूल प्रणाली (1.17) का मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर है।

एक सिस्टम पर विचार करें जो सिस्टम (1.17) से केवल एक फ्री टर्म से अलग है।

समस्या 1.13.अज्ञात को समाप्त करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.18)

समाधान।पहले की तरह, हम पहले समीकरण से चर को व्यक्त करते हैं एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें और हम दूसरे और तीसरे समीकरणों में समान पदों को प्रस्तुत करते हैं। हम सिस्टम पर आते हैं:

व्यक्त आपपहले समीकरण से और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना , हमें पहचान 14 = 14 मिलती है, जो सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करती है, और इसलिए, इसे सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है।

अंतिम याद की गई समानता में, चर जेडएक पैरामीटर के रूप में माना जाएगा। हमें यकीन है । फिर

स्थानापन्न आपतथा जेडपहली याद की गई समानता में और खोजें एक्स:

.

इस प्रकार, सिस्टम (1.18) में समाधानों का एक अनंत सेट होता है, और किसी भी समाधान को सूत्र (1.19) द्वारा पैरामीटर का एक मनमाना मान चुनकर पाया जा सकता है टी:

(1.19)
इस प्रकार, सिस्टम के समाधान, उदाहरण के लिए, चर के निम्नलिखित सेट हैं (1; 2; 0), (2; 26; 14), आदि। सूत्र (1.19) सिस्टम के सामान्य (कोई भी) समाधान को व्यक्त करते हैं (1.18 )

उस स्थिति में जब मूल प्रणाली (1.16) में पर्याप्त संख्या में समीकरण और अज्ञात होते हैं, जॉर्डन के साधारण उन्मूलन की संकेतित विधि बोझिल लगती है। हालाँकि, ऐसा नहीं है। सिस्टम के गुणांकों को एक चरण में पुनर्गणना करने के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है सामान्य दृष्टि सेऔर विशेष जॉर्डन टेबल के रूप में समस्या के समाधान को औपचारिक रूप दें।

मान लीजिए कि रैखिक रूपों (समीकरणों) की एक प्रणाली दी गई है:

, (1.20)
कहाँ पे एक्स जे- स्वतंत्र (वांछित) चर, ऐजो- स्थिर गुणांक
(मैं = 1, 2,…, एम; जे = 1, 2,…, एन) सिस्टम के सही हिस्से यी (मैं = 1, 2,…, एम) चर (आश्रित) और स्थिरांक दोनों हो सकते हैं। अज्ञात को समाप्त करके इस प्रणाली का समाधान खोजना आवश्यक है।

आइए हम निम्नलिखित ऑपरेशन पर विचार करें, जिसे इसके बाद "सामान्य जॉर्डन अपवादों का एक चरण" कहा जाएगा। मनमानी से ( आर th) समानता, हम एक मनमाना चर व्यक्त करते हैं ( एक्स एस) और अन्य सभी समानताओं में स्थानापन्न करें। बेशक, यह तभी संभव है जब एक rs 0. गुणांक एक rsसमाधान (कभी-कभी मार्गदर्शक या मुख्य) तत्व कहलाता है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलेगी:

. (1.21)

से एसप्रणाली की समानता (1.21), हम बाद में चर पाएंगे एक्स एस(अन्य चर पाए जाने के बाद)। एसवें लाइन को याद किया जाता है और बाद में सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है। शेष प्रणाली में मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम स्वतंत्र चर होगा।

आइए हम मूल प्रणाली (1.20) के गुणांकों के संदर्भ में परिणामी प्रणाली (1.21) के गुणांकों की गणना करें। चलो साथ - साथ शुरू करते हैं आरवां समीकरण, जो चर को व्यक्त करने के बाद एक्स एसशेष चर के माध्यम से इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार, नए गुणांक आरवें समीकरण की गणना निम्नलिखित सूत्रों द्वारा की जाती है:

(1.23)
आइए अब हम नए गुणांकों की गणना करें बी आईजेओ(मैं¹ आर) मनमाना समीकरण. ऐसा करने के लिए, हम (1.22) में व्यक्त चर को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स एसमें मैंप्रणाली का वां समीकरण (1.20):

समान पदों को लाने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

(1.24)
समानता (1.24) से हम सूत्र प्राप्त करते हैं जिसके द्वारा सिस्टम के शेष गुणांक (1.21) की गणना की जाती है ( . के अपवाद के साथ) आरवें समीकरण):

(1.25)
साधारण जॉर्डन के उन्मूलन की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का परिवर्तन तालिकाओं (मैट्रिस) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इन तालिकाओं को "जॉर्डन टेबल" कहा जाता है।

इस प्रकार, समस्या (1.20) निम्नलिखित जॉर्डन तालिका से जुड़ी है:

तालिका 1.1

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्स जे	…	एक्स एस	…	एक्स एन
आप 1 =	एक 11	एक 12		एक 1जे		एक 1एस		एक 1एन
…………………………………………………………………..
यी=	एक मैं 1	एक मैं 2		ऐजो		एक is		एक in
…………………………………………………………………..
y r=	एक र 1	एक र 2		एक राज		एक rs		एक आरएनई
………………………………………………………………….
Y n=	पूर्वाह्न 1	पूर्वाह्न 2		एक एमजे		एक एमएसओ		अम्नी

जॉर्डन तालिका 1.1 में बायां हेड कॉलम है, जिसमें सिस्टम के दाएं हिस्से (1.20) लिखे गए हैं, और शीर्ष हेड लाइन, जिसमें स्वतंत्र चर लिखे गए हैं।

तालिका के शेष तत्व प्रणाली के गुणांक (1.20) का मुख्य मैट्रिक्स बनाते हैं। यदि हम मैट्रिक्स को गुणा करते हैं लेकिनमैट्रिक्स में ऊपरी हेडर पंक्ति के तत्व शामिल हैं, फिर हमें मैट्रिक्स मिलता है जिसमें बाएं हेडर कॉलम के तत्व होते हैं। अर्थात्, संक्षेप में, जॉर्डन तालिका रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का एक मैट्रिक्स रूप है:। इस मामले में, निम्न जॉर्डन तालिका सिस्टम (1.21) से मेल खाती है:

तालिका 1.2

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्स जे	…	y r	…	एक्स एन
आप 1 =	बी 11	बी 12		बी 1 जे		बी 1 एस		बी 1 एन
…………………………………………………………………..
वाई मैं =	बी मैं 1	बी मैं 2		बी आईजेओ		बी is		बी इन
…………………………………………………………………..
एक्स एस =	बीआर 1	बीआर 2		बी आरजे		बीआरएस		बी आरएन
………………………………………………………………….
वाई एन =	बी एम 1	बी एम 2		बीएमजे		बी एमएसओ		बीएमडब्ल्यू

अनुमेय तत्व एक rs हम बोल्ड में हाइलाइट करेंगे। याद रखें कि जॉर्डन अपवादों के एक चरण को लागू करने के लिए, समाधान करने वाला तत्व गैर-शून्य होना चाहिए। एक अनुमेय तत्व वाली तालिका पंक्ति को अनुमेय पंक्ति कहा जाता है। सक्षम तत्व वाले कॉलम को सक्षम कॉलम कहा जाता है। किसी दी गई तालिका से अगली तालिका में जाने पर, एक चर ( एक्स एस) तालिका की शीर्ष शीर्ष पंक्ति से बाएं शीर्ष लेख स्तंभ में ले जाया जाता है और, इसके विपरीत, सिस्टम के मुक्त सदस्यों में से एक ( y r) तालिका के बाएँ शीर्षलेख स्तंभ से शीर्ष शीर्ष पंक्ति में ले जाया जाता है।

आइए हम जॉर्डन तालिका (1.1) से तालिका (1.2) तक जाने में गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एल्गोरिदम का वर्णन करें, जो सूत्रों (1.23) और (1.25) से अनुसरण करता है।

1. सक्षम करने वाले तत्व को व्युत्क्रम संख्या से बदल दिया जाता है:

2. अनुमेय रेखा के शेष तत्वों को अनुमेय तत्व से विभाजित किया जाता है और संकेत को विपरीत में बदल दिया जाता है:

3. सक्षम करने वाले कॉलम के शेष तत्वों को सक्षम करने वाले तत्व में विभाजित किया गया है:

4. वे तत्व जो हल करने वाली पंक्ति और समाधान स्तंभ में शामिल नहीं हैं, उन्हें सूत्रों के अनुसार पुनर्गणना की जाती है:

अंतिम सूत्र को याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि वे तत्व जो भिन्न बनाते हैं , चौराहे पर हैं मैं-ओह, और आर-वें पंक्तियाँ और जेवें और एस-वें स्तंभ (समाधान करने वाली पंक्ति, समाधान करने वाले स्तंभ और उस चौराहे पर पंक्ति और स्तंभ जिसमें पुनर्गणना किया जाने वाला तत्व स्थित है)। अधिक सटीक रूप से, सूत्र को याद करते समय आप निम्न चार्ट का उपयोग कर सकते हैं:

-21 -26 -13 -37

जॉर्डन के अपवादों के पहले चरण को निष्पादित करते हुए, कॉलम में स्थित तालिका 1.3 का कोई भी तत्व एक्स 1 ,…, एक्स 5 (सभी निर्दिष्ट तत्व शून्य के बराबर नहीं हैं)। आपको केवल अंतिम कॉलम में सक्षम करने वाले तत्व का चयन नहीं करना चाहिए, क्योंकि स्वतंत्र चर खोजने की जरूरत है एक्स 1 ,…, एक्स 5. हम चुनते हैं, उदाहरण के लिए, गुणांक 1 एक चर के साथ एक्सतालिका 1.3 की तीसरी पंक्ति में 3 (सक्षम करने वाला तत्व बोल्ड में दिखाया गया है)। तालिका 1.4 में जाने पर, चर एक्सशीर्ष शीर्षलेख पंक्ति से 3 को बाएँ शीर्षलेख स्तंभ (तीसरी पंक्ति) के स्थिर 0 से बदल दिया जाता है। उसी समय, चर एक्स 3 को शेष चरों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

डोरी एक्स 3 (तालिका 1.4) को पहले याद किए जाने पर, तालिका 1.4 से बाहर रखा जा सकता है। तालिका 1.4 में ऊपरी शीर्षलेख पंक्ति में शून्य वाले तीसरे स्तंभ को भी शामिल नहीं किया गया है। मुद्दा यह है कि इस कॉलम के गुणांक की परवाह किए बिना बी मैं 3 प्रत्येक समीकरण के इसके संगत सभी पद 0 बी मैं 3 सिस्टम शून्य के बराबर होंगे। इसलिए, इन गुणांकों की गणना नहीं की जा सकती है। एक चर को हटाना एक्स 3 और समीकरणों में से एक को याद करते हुए, हम तालिका 1.4 के अनुरूप एक प्रणाली पर पहुंचते हैं (रेखा को काटकर एक्स 3))। तालिका 1.4 में हल करने वाले तत्व के रूप में चयन करना बी 14 = -5, तालिका 1.5 पर जाएँ। तालिका 1.5 में, हम पहली पंक्ति को याद करते हैं और चौथे कॉलम (शीर्ष पर शून्य के साथ) के साथ इसे तालिका से बाहर कर देते हैं।

तालिका 1.5 तालिका 1.6

अंतिम तालिका 1.7 से हम पाते हैं: एक्स 1 = - 3 + 2एक्स 5 .

याद की गई पंक्तियों में पहले से पाए गए चर को क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करते हुए, हम शेष चर पाते हैं:

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं। चर एक्स 5 , आप मनमाना मान निर्दिष्ट कर सकते हैं। यह चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य करता है एक्स 5 = टी। हमने सिस्टम की अनुकूलता साबित की और इसका सामान्य समाधान पाया:

एक्स 1 = - 3 + 2टी

एक्स 2 = - 1 - 3टी

एक्स 3 = - 2 + 4टी . (1.27)
एक्स 4 = 4 + 5टी

एक्स 5 = टी

पैरामीटर देना टी विभिन्न अर्थ, हमें मूल प्रणाली के अनंत समाधान मिलते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, सिस्टम का समाधान चर का निम्नलिखित सेट है (- 3; - 1; - 2; 4; 0)।

तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली के समाधान को उसी रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि दो समीकरणों की प्रणाली के लिए, अर्थात।

(2.4)

अगर 0. यहां

यह है क्रैमर का नियम तीन अज्ञात में तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

उदाहरण 2.3।क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक ढूँढना

0 के बाद से, सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, आप क्रैमर के नियम को लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले तीन और निर्धारकों की गणना करें:

इंतिहान:

इसलिए, समाधान सही पाया जाता है। मैं

क्रैमर के नियम के लिए व्युत्पन्न रैखिक प्रणालीदूसरे और तीसरे क्रम का सुझाव है कि किसी भी क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए समान नियम बनाए जा सकते हैं। वास्तव में होता है

क्रैमर का प्रमेय। सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली (0) एक और केवल एक समाधान है, और इस समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

(2.5)

कहाँ पे  – मुख्य मैट्रिक्स निर्धारक,  मैं – मैट्रिक्स निर्धारक, मुख्य से व्युत्पन्न, प्रतिस्थापनमैंवें स्तंभ मुक्त सदस्य स्तंभ.

ध्यान दें कि यदि =0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं होता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के पास या तो कोई समाधान नहीं है, या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

क्रैमर के प्रमेय को तैयार करने के बाद, स्वाभाविक रूप से उच्च-क्रम के निर्धारकों की गणना का सवाल उठता है।

2.4. nth क्रम निर्धारक

अतिरिक्त नाबालिग एम आईजेयूतत्व एक आईजेयूको हटाकर दिए गए से प्राप्त निर्धारक कहलाता है मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ। बीजीय जोड़ ए आईजेयूतत्व एक आईजेयूइस तत्व का अवयस्क कहा जाता है, जिसे चिन्ह (-1) के साथ लिया जाता है मैं + जे, अर्थात। ए आईजेयू = (–1) मैं + जे एम आईजेयू .

उदाहरण के लिए, आइए तत्वों के अवयस्क और बीजगणितीय पूरक खोजें एक 23 और एक 31 निर्धारक

हम पाते हैं



बीजीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम बना सकते हैं निर्धारक विस्तार प्रमेयएन-पंक्ति या स्तंभ द्वारा क्रम.

प्रमेय 2.1. मैट्रिक्स निर्धारकएकिसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर है:

(2.6)

यह प्रमेय निर्धारकों की गणना के लिए तथाकथित तथाकथित मुख्य विधियों में से एक है। आदेश कमी विधि. निर्धारक के विस्तार के परिणामस्वरूप एनकिसी भी पंक्ति या कॉलम में वें क्रम में, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। ऐसे निर्धारकों को कम करने के लिए, सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ का चयन करना उचित है। व्यवहार में, सारणिक के लिए विस्तार सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

वे। बीजगणितीय जोड़ स्पष्ट रूप से नाबालिगों के संदर्भ में लिखे गए हैं।

उदाहरण 2.4.किसी भी पंक्ति या स्तंभ में पहले उनका विस्तार करके निर्धारकों की गणना करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में, सबसे अधिक शून्य वाले कॉलम या पंक्ति का चयन करें। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर से चिह्नित किया जाएगा।



2.5. निर्धारकों के मूल गुण

सारणिक को किसी भी पंक्ति या स्तंभ में विस्तारित करने पर, हमें n सारणिक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। तब इनमें से प्रत्येक निर्धारक ( एन-1)-वें क्रम को निर्धारकों के योग में भी विघटित किया जा सकता है ( एन-2) वां क्रम। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, व्यक्ति पहले क्रम के निर्धारकों तक पहुँच सकता है, अर्थात्। मैट्रिक्स के उन तत्वों के लिए जिनके निर्धारक की गणना की जा रही है। तो, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आपको दो पदों के योग की गणना करनी होगी, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 पदों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पद। सारणिक का क्रम बढ़ने पर पदों की संख्या में तेजी से वृद्धि होगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च कोटि के निर्धारकों की गणना एक कंप्यूटर की शक्ति से परे एक श्रमसाध्य कार्य बन जाती है। हालांकि, निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है।

संपत्ति 1 . यदि इसमें पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है, तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय:

.

यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, सारणिक के स्तंभों के बारे में कोई भी कथन उसकी पंक्तियों के लिए सत्य है, और इसके विपरीत।

संपत्ति 2 . जब दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक चिह्न बदल जाता है।

परिणाम . यदि सारणिक की दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

संपत्ति 3 . किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सार्व गुणनखंड सारणिक के चिन्ह से निकाला जा सकता है.

उदाहरण के लिए,

परिणाम . यदि सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयव शून्य के बराबर हों, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर होता है.

संपत्ति 4 . यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में किसी संख्या से गुणा करने पर सारणिक नहीं बदलेगा.

उदाहरण के लिए,

संपत्ति 5 . मैट्रिक्स उत्पाद का निर्धारक मैट्रिक्स निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:

क्रैमर की विधि या तथाकथित क्रैमर का नियम समीकरणों की प्रणाली से अज्ञात मात्राओं की खोज करने का एक तरीका है। इसका उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब आवश्यक मानों की संख्या प्रणाली में बीजीय समीकरणों की संख्या के बराबर हो, अर्थात, सिस्टम से बनने वाला मुख्य मैट्रिक्स वर्गाकार होना चाहिए और इसमें शून्य पंक्तियाँ नहीं होनी चाहिए, और यह भी कि यदि इसका निर्धारक होना चाहिए शून्य न हो।

प्रमेय 1

क्रैमर का प्रमेययदि समीकरणों के गुणांकों के आधार पर संकलित मुख्य मैट्रिक्स का मुख्य निर्धारक $D$ शून्य के बराबर नहीं है, तो समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है, और इसका एक अनूठा समाधान है। ऐसी प्रणाली के समाधान की गणना रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए तथाकथित क्रैमर सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: $x_i = \frac(D_i)(D)$

क्रैमर विधि क्या है

क्रैमर विधि का सार इस प्रकार है:

1. Cramer's method द्वारा सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, सबसे पहले, हम मैट्रिक्स $D$ के मुख्य निर्धारक की गणना करते हैं। जब मुख्य मैट्रिक्स का परिकलित निर्धारक, जब क्रैमर विधि द्वारा गणना की जाती है, शून्य के बराबर हो जाता है, तो सिस्टम के पास एक भी समाधान नहीं होता है या अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस मामले में, सिस्टम के लिए एक सामान्य या कुछ बुनियादी उत्तर खोजने के लिए, गाऊसी पद्धति को लागू करने की सिफारिश की जाती है।
2. फिर आपको मुख्य मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम से बदलने और निर्धारक $D_1$ की गणना करने की आवश्यकता है।
3. सभी स्तंभों के लिए इसे दोहराएं, निर्धारकों को $D_1$ से $D_n$ तक प्राप्त करें, जहां $n$ सबसे दाहिने कॉलम की संख्या है।
4. $D_1$...$D_n$ के सभी निर्धारक मिल जाने के बाद, अज्ञात चरों की गणना सूत्र $x_i = \frac(D_i)(D)$ का उपयोग करके की जा सकती है।

मैट्रिक्स के सारणिक की गणना के लिए तकनीक

2 बटा 2 से अधिक आयाम वाले मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करने के लिए, कई विधियों का उपयोग किया जा सकता है:

• त्रिभुजों का नियम, या सारस का नियम, एक ही नियम के सदृश। त्रिभुज विधि का सार यह है कि दाईं ओर एक लाल रेखा द्वारा आकृति में जुड़े सभी नंबरों के गुणनफल के निर्धारक की गणना करते समय, उन्हें एक प्लस चिह्न के साथ लिखा जाता है, और सभी नंबर इसी तरह से जुड़े होते हैं। बाएं एक ऋण चिह्न के साथ हैं। दोनों नियम 3 x 3 मैट्रिसेस के लिए उपयुक्त हैं।सरस नियम के मामले में, मैट्रिक्स को पहले फिर से लिखा जाता है, और इसके आगे, इसके पहले और दूसरे कॉलम को फिर से लिखा जाता है। विकर्ण मैट्रिक्स के माध्यम से खींचे जाते हैं और ये अतिरिक्त कॉलम, मुख्य विकर्ण पर या इसके समानांतर स्थित मैट्रिक्स सदस्यों को प्लस चिह्न के साथ लिखा जाता है, और द्वितीयक विकर्ण पर या उसके समानांतर स्थित तत्वों को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है।

चित्र 1. क्रैमर विधि के लिए सारणिक की गणना के लिए त्रिभुजों का नियम

• गॉसियन विधि के रूप में जानी जाने वाली विधि के साथ, इस विधि को कभी-कभी निर्धारक कमी के रूप में भी जाना जाता है। इस मामले में, मैट्रिक्स को बदल दिया जाता है और त्रिकोणीय रूप में लाया जाता है, और फिर मुख्य विकर्ण पर सभी संख्याओं को गुणा किया जाता है। यह याद रखना चाहिए कि सारणिक की ऐसी खोज में, कोई पंक्तियों या स्तंभों को गुणनखंड या भाजक के रूप में निकाले बिना संख्याओं से गुणा या भाग नहीं कर सकता है। एक निर्धारक की खोज के मामले में, केवल घटाना और पंक्तियों और स्तंभों को एक-दूसरे से जोड़ना संभव है, पहले घटाई गई पंक्ति को गैर-शून्य कारक से गुणा किया जाता है। इसके अलावा, मैट्रिक्स की पंक्तियों या स्तंभों के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन के साथ, मैट्रिक्स के अंतिम चिह्न को बदलने की आवश्यकता को याद रखना चाहिए।
• क्रैमर के SLAE को 4 अज्ञात के साथ हल करते समय, नाबालिगों की खोज के माध्यम से निर्धारकों को खोजने और खोजने या निर्धारक को निर्धारित करने के लिए गाऊसी पद्धति का उपयोग करना सबसे अच्छा है।

क्रैमर की विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

हम 2 समीकरणों और दो आवश्यक मात्राओं की प्रणाली के लिए क्रैमर विधि लागू करते हैं:

$\begin(मामलों) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(मामलों)$

आइए इसे सुविधा के लिए विस्तारित रूप में प्रदर्शित करें:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं, जिसे सिस्टम का मुख्य निर्धारक भी कहा जाता है:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 - a_3 \cdot a_2$

यदि मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो क्रैमर विधि द्वारा स्लो को हल करने के लिए, दो मैट्रिक्स से कुछ और निर्धारकों की गणना करना आवश्यक है, मुख्य मैट्रिक्स के कॉलम के साथ मुक्त शर्तों की एक पंक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 - b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 - a_3 \cdot b_1$

आइए अब अज्ञात $x_1$ और $x_2$ को खोजें:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

उदाहरण 1

तीसरे क्रम (3 x 3) मुख्य मैट्रिक्स और तीन वांछित वाले के साथ SLAE को हल करने के लिए क्रैमर की विधि।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

$\begin(मामलों) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(मामलों)$

हम पैराग्राफ संख्या 1 के तहत उपरोक्त नियम का उपयोग करके मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक की गणना करते हैं:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64

और अब तीन अन्य निर्धारक:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ सीडीओटी 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - $ 296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (-1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - $ 60

आइए आवश्यक मान खोजें:

$x_1 = \frac(D_1) (डी) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (डी) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (डी) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$