निर्धारक के माध्यम से उलटा मैट्रिक्स। बीजगणितीय पूरक का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एल्गोरिदम: आसन्न (संघ) मैट्रिक्स विधि

प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स की परिभाषा पाएं।किसी भी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व, ट्रांसपोज़्ड सहित, संबंधित 2x2 मैट्रिक्स से जुड़ा होता है। एक निश्चित तत्व से मेल खाने वाले 2x2 मैट्रिक्स को खोजने के लिए, उस पंक्ति और कॉलम को पार करें जिसमें यह तत्व स्थित है, यानी आपको मूल 3x3 मैट्रिक्स के पांच तत्वों को पार करने की आवश्यकता है। चार तत्व जो संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं, बिना क्रॉस किए रहेंगे।

• उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम के चौराहे पर स्थित तत्व के लिए 2x2 मैट्रिक्स को खोजने के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में मौजूद पांच तत्वों को पार करें। शेष चार तत्व संगत 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं।
• प्रत्येक 2x2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाएं (आंकड़ा देखें)।
• 3x3 मैट्रिक्स के कुछ तत्वों से संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के बारे में विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।

सहकारकों का एक मैट्रिक्स बनाएँ।कॉफ़ैक्टर्स के एक नए मैट्रिक्स के रूप में पहले प्राप्त परिणामों को रिकॉर्ड करें। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स का पाया गया निर्धारक लिखें जहां 3x3 मैट्रिक्स का संबंधित तत्व स्थित था। उदाहरण के लिए, यदि तत्व (1,1) के लिए 2x2 मैट्रिक्स माना जाता है, तो इसके निर्धारक को स्थिति (1,1) में लिखें। फिर संबंधित तत्वों के संकेतों को एक निश्चित पैटर्न के अनुसार बदलें, जो कि चित्र में दिखाया गया है।

• साइन चेंज स्कीम: पहली लाइन के पहले एलिमेंट का साइन नहीं बदलता है; पहली पंक्ति के दूसरे तत्व का चिन्ह उल्टा है; पहली पंक्ति के तीसरे तत्व का चिन्ह नहीं बदलता है, और इसी तरह लाइन दर लाइन। कृपया ध्यान दें कि संकेत "+" और "-", जो आरेख में दिखाए गए हैं (आकृति देखें), यह इंगित नहीं करते हैं कि संबंधित तत्व सकारात्मक या नकारात्मक होगा। इस मामले में, "+" चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न नहीं बदलता है, और "-" चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न बदल गया है।
• कॉफ़ेक्टर मैट्रिसेस के बारे में विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।
• इस प्रकार आप मूल मैट्रिक्स के संबंधित मैट्रिक्स को ढूंढते हैं। इसे कभी-कभी जटिल संयुग्म मैट्रिक्स कहा जाता है। इस तरह के एक मैट्रिक्स को adj(M) के रूप में दर्शाया जाता है।

सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें।मैट्रिक्स एम के निर्धारक की गणना शुरुआत में ही यह जांचने के लिए की गई थी कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। अब इस सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें। प्रत्येक डिवीजन ऑपरेशन का परिणाम रिकॉर्ड करें जहां संबंधित तत्व स्थित है। तो आपको मैट्रिक्स मिलेगा, मूल का व्युत्क्रम।

• आकृति में दिखाए गए मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है। इस प्रकार, यहां संबंधित मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स है (क्योंकि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने से यह नहीं बदलता है)।
• कुछ स्रोतों में, विभाजन संक्रिया को गुणन संक्रिया द्वारा 1/det(M) से बदल दिया जाता है। इस मामले में, अंतिम परिणाम नहीं बदलता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स लिखिए।बड़े मैट्रिक्स के दाहिने आधे भाग पर स्थित तत्वों को एक अलग मैट्रिक्स के रूप में लिखें, जो एक उलटा मैट्रिक्स है।

कैलकुलेटर की मेमोरी में मूल मैट्रिक्स दर्ज करें।ऐसा करने के लिए, यदि उपलब्ध हो तो मैट्रिक्स बटन पर क्लिक करें। टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स कैलकुलेटर के लिए, आपको दूसरा और मैट्रिक्स बटन दबाने की आवश्यकता हो सकती है।

संपादन मेनू का चयन करें।इसे कैलकुलेटर के कीबोर्ड के शीर्ष पर स्थित तीर बटन या संबंधित फ़ंक्शन बटन का उपयोग करके करें (बटन का स्थान कैलकुलेटर मॉडल पर निर्भर करता है)।

मैट्रिक्स पदनाम दर्ज करें।अधिकांश रेखांकन कैलकुलेटर 3-10 मैट्रिक्स के साथ काम कर सकते हैं, जिन्हें निरूपित किया जा सकता है अक्षर A-J. एक सामान्य नियम के रूप में, मूल मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए बस [ए] का चयन करें। फिर एंटर बटन दबाएं।

मैट्रिक्स आकार दर्ज करें।यह आलेख 3x3 मैट्रिक्स के बारे में बात करता है। लेकिन ग्राफिकल कैलकुलेटर बड़े मैट्रिक्स के साथ काम कर सकते हैं। पंक्तियों की संख्या दर्ज करें, एंटर बटन दबाएं, फिर कॉलम की संख्या दर्ज करें और फिर से एंटर बटन दबाएं।

मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को दर्ज करें।कैलकुलेटर स्क्रीन पर एक मैट्रिक्स प्रदर्शित होगा। यदि कैलकुलेटर में पहले से ही एक मैट्रिक्स दर्ज किया गया है, तो यह स्क्रीन पर दिखाई देगा। कर्सर मैट्रिक्स के पहले तत्व को हाइलाइट करेगा। पहले तत्व का मान दर्ज करें और एंटर दबाएं। कर्सर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स के अगले तत्व पर चला जाएगा।

मैट्रिक्स $A^(-1)$ को वर्ग मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, जहां $E $ पहचान मैट्रिक्स है, जिसका क्रम मैट्रिक्स $A$ के क्रम के बराबर है।

एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। तदनुसार, एक पतित मैट्रिक्स वह है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

उलटा मैट्रिक्स$A^(-1)$ मौजूद है अगर और केवल अगर मैट्रिक्स $A$ एकवचन है। यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के कई तरीके हैं, और हम उनमें से दो को देखेंगे। इस पृष्ठ पर, हम एडजॉइंट मैट्रिक्स पद्धति पर विचार करेंगे, जिसे अधिकांश उच्च गणित पाठ्यक्रमों में मानक माना जाता है। उलटा मैट्रिक्स खोजने का दूसरा तरीका (विधि प्राथमिक परिवर्तन), जिसमें गॉस पद्धति या गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग शामिल है, दूसरे भाग में चर्चा की गई है।

संयुक्त (संघ) मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स $A_(n\times n)$ दिया जाए। उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ खोजने के लिए, तीन चरणों की आवश्यकता है:

1. मैट्रिक्स $A$ के सारणिक का पता लगाएं और सुनिश्चित करें कि $\Delta A\neq 0$, यानी। कि मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है।
2. मैट्रिक्स $A$ के प्रत्येक तत्व के बीजगणितीय पूरक $A_(ij)$ लिखें और मैट्रिक्स $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ लिखें। बीजीय पूरक।
3. सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ को ध्यान में रखते हुए उलटा मैट्रिक्स लिखें।

मैट्रिक्स $(A^(*))^T$ को अक्सर $A$ के आसन्न (आपसी, संबद्ध) मैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यदि निर्णय मैन्युअल रूप से किया जाता है, तो पहली विधि केवल अपेक्षाकृत छोटे आदेशों के मैट्रिक्स के लिए अच्छी होती है: दूसरा (), तीसरा (), चौथा ()। मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए उच्च आदेश, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, गॉस विधि, जिसकी चर्चा दूसरे भाग में की गई है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चूंकि चौथे कॉलम के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो $\Delta A=0$ (यानी मैट्रिक्स $A$ पतित है)। चूंकि $\Delta A=0$, $A$ के विपरीत कोई मैट्रिक्स नहीं है।

उदाहरण #2

मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें।

हम आसन्न मैट्रिक्स विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, आइए दिए गए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक को खोजें:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

चूंकि $\Delta A \neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। बीजीय पूरक ढूँढना

\begin(गठबंधन) और A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(संरेखित)

बीजगणितीय पूरक का एक मैट्रिक्स लिखें: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$।

परिणामी मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (परिणामस्वरूप मैट्रिक्स को अक्सर मैट्रिक्स $A$ के लिए आसन्न या संघ मैट्रिक्स कहा जाता है)। सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसी) -8/103 और 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(सरणी)\दाएं) $$

तो उलटा मैट्रिक्स पाया जाता है: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array) \ दाएँ) $। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A^(-1)\cdot A=E$ की जांच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (cc) -8/103 और 7/103\\ 9/103 के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। & 5/103 \ अंत (सरणी)\दाएं)$ लेकिन $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ के रूप में अंत (सरणी)\दाएं)$:

उत्तर: $A^(-1)=\left(\ start(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array)\right)$।

उदाहरण #3

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$।

आइए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करके शुरू करें। तो, मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26। $$

चूंकि $\Delta A\neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। हम दिए गए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के बीजीय पूरक पाते हैं:

हम बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं:

$$ ए ^ * = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और 8 और -12 \\ -5 और 2 और -3 \\ 1 और -16 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; (ए ^ *) ^ टी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 और 37\अंत (सरणी) \दाएं)= \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी) 3/13 और -5/26 और 1/26 \\ 4/13 और 1/13 और -8/13 \ \ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं) $$

तो $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A\cdot A^(-1)=E$ की जाँच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। \ 4/13 और 1/13 और -8/13 \\ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(array) \right)$, लेकिन $\frac(1)(26)\ के रूप में सीडीओटी \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $:

चेक सफलतापूर्वक पारित किया गया था, उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ सही ढंग से पाया गया था।

उत्तर: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$।

उदाहरण #4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 का मैट्रिक्स उलटा खोजें & -8 और -3 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चौथे क्रम के मैट्रिक्स के लिए, बीजीय योगों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजना कुछ मुश्किल है। हालाँकि, ऐसे उदाहरण नियंत्रण कार्यों में पाए जाते हैं।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, पहले आपको मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है कि सारणिक को एक पंक्ति (स्तंभ) में विस्तारित किया जाए। हम किसी भी पंक्ति या स्तंभ का चयन करते हैं और चयनित पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक तत्व का बीजगणितीय पूरक पाते हैं।

मैट्रिक्स गुणन के विपरीत ऑपरेशन को परिभाषित करने की समस्या पर विचार करें।

मान लीजिए कि n कोटि का एक वर्ग आव्यूह है। मैट्रिक्स A^(-1) , जो दिए गए मैट्रिक्स A के साथ निम्नलिखित समानता को संतुष्ट करता है:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A^(-1) मौजूद है, तो यह A के समान क्रम का वर्ग है। हालांकि, हर वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम नहीं होता है। यदि मैट्रिक्स A का सारणिक शून्य (\det(A)=0) के बराबर है, तो इसका कोई प्रतिलोम नहीं है। वास्तव में, पहचान मैट्रिक्स E=A^(-1)A के लिए मैट्रिक्स के उत्पाद के निर्धारक पर प्रमेय को लागू करने पर, हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेय 4.1। वर्ग मैट्रिक्स A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), जिसका निर्धारक गैर-शून्य है, एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और, इसके अलावा, केवल एक:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

जहां A^(+) मैट्रिक्स A के तत्वों के बीजीय पूरक से बना मैट्रिक्स के लिए स्थानांतरित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स A^(+) कहा जाता है संलग्न मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में।

दरअसल, मैट्रिक्स \frac(1)(\det(A))\,A^(+)शर्त के तहत मौजूद है \det(A)\ne0 । हमें यह दिखाना होगा कि यह A के विपरीत है, अर्थात। दो शर्तों को पूरा करता है:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\बाएं(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

आइए पहली समानता साबित करें। टिप्पणी 2.3 के मद 4 के अनुसार, सारणिक के गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि AA^(+)=\det(A)\cdot E. इसीलिए

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

जिसे दिखाया जाना था। दूसरी समानता इसी तरह सिद्ध होती है। इसलिए, शर्त के तहत \det(A)\ne0, आव्यूह A का व्युत्क्रम होता है

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

हम प्रतिलोम मैट्रिक्स की विशिष्टता को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करते हैं। चलो मैट्रिक्स के अलावा A^(-1) एक और उलटा मैट्रिक्स मौजूद है B\,(B\ne A^(-1)) ऐसा है कि AB=E । इस समानता के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स A^(-1) द्वारा बाईं ओर गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं \अंडरब्रेस(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. अत: B=A^(-1) , जो धारणा B\ne A^(-1) के विपरीत है। इसलिए, उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है।

टिप्पणी 4.1

1. इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि आव्यूह A और A^(-1) क्रमपरिवर्तनीय हैं।

2. एक गैर-डीजेनरेट विकर्ण के विपरीत मैट्रिक्स भी विकर्ण है:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. मैट्रिक्स एक nondegenerate निचले (ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स के विपरीत निचला (ऊपरी) त्रिकोणीय है।

4. प्राथमिक आव्यूहों के व्युत्क्रम होते हैं, जो प्राथमिक भी होते हैं (टिप्पणी 1.11 का मद 1 देखें)।

उलटा मैट्रिक्स गुण

मैट्रिक्स उलटा ऑपरेशन में निम्नलिखित गुण हैं:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ ई^(-1)=ई\,। \ अंत (गठबंधन)

आइए संपत्ति 2 साबित करें: यदि समान कोटि के गैर-अपघटित वर्ग आव्यूहों के गुणनफल AB में प्रतिलोम आव्यूह है, तो (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1).

वास्तव में, आव्यूह AB के गुणनफल का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), कहाँ पे \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स (AB)^(-1) मौजूद है और अद्वितीय है। आइए हम परिभाषा के अनुसार दिखाएं कि मैट्रिक्स B^(-1)A^(-1) मैट्रिक्स AB के सापेक्ष उलटा है। सचमुच।

उलटा मैट्रिक्स

उलटा मैट्रिक्सएक मैट्रिक्स को कहा जाता है, जो किसी दिए गए मैट्रिक्स द्वारा दाईं और बाईं ओर दोनों को गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स देता है।
मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत निरूपित करें लेकिनके माध्यम से, फिर परिभाषा के अनुसार हमें मिलता है:

कहाँ पे इपहचान मैट्रिक्स है।
वर्ग मैट्रिक्सबुलाया गैर विशेष (गैर पतित) यदि इसका सारणिक शून्य के बराबर नहीं है। अन्यथा, इसे कहा जाता है विशेष (पतित) या विलक्षण.

एक प्रमेय है: प्रत्येक गैर-एकवचन मैट्रिक्स में एक व्यस्त मैट्रिक्स होता है।

प्रतिलोम आव्यूह खोजने की क्रिया कहलाती है अपील करनामैट्रिक्स मैट्रिक्स उलटा एल्गोरिथ्म पर विचार करें। मान लीजिए कि एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स दिया गया है एन-वें क्रम:

जहां = det ए ≠ 0.

बीजीय तत्व पूरकमैट्रिक्स एन-वें क्रम लेकिनमैट्रिक्स के निर्धारक ( एन-1) - वां क्रम हटाकर प्राप्त किया गया मैं-वीं पंक्ति और जे- मैट्रिक्स का वां कॉलम लेकिन:

आइए एक तथाकथित बनाएं जुड़ा हुआआव्यूह:

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक कहां हैं लेकिन.
ध्यान दें कि मैट्रिक्स के पंक्ति तत्वों के बीजगणितीय पूरक लेकिनमैट्रिक्स के संबंधित कॉलम में रखा गया है Ã , अर्थात्, मैट्रिक्स को एक साथ स्थानांतरित किया जाता है।
सभी मैट्रिक्स तत्वों को विभाजित करना Ã पर - मैट्रिक्स के निर्धारक का मान लेकिन, हमें परिणाम के रूप में व्युत्क्रम मैट्रिक्स मिलता है:

हम श्रृंखला नोट करते हैं विशेष गुणउलटा मैट्रिक्स:
1) किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए लेकिनइसका उलटा मैट्रिक्स एकमात्र है;
2) यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, तो सही उल्टातथा लेफ्ट रिवर्समैट्रिसेस इसके साथ मेल खाते हैं;
3) एक विशेष (पतित) वर्ग मैट्रिक्स में उलटा मैट्रिक्स नहीं होता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के मुख्य गुण:
1) व्युत्क्रम मैट्रिक्स के निर्धारक और मूल मैट्रिक्स के निर्धारक पारस्परिक हैं;
2) वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का व्युत्क्रम मैट्रिक्स, विपरीत क्रम में लिए गए कारकों के व्युत्क्रम आव्यूह के गुणनफल के बराबर होता है:

3) ट्रांसपोज़्ड व्युत्क्रम मैट्रिक्स दिए गए ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स से व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर है:

उदाहरण दिए गए मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करें।

हम मैट्रिसेस के साथ क्रियाओं के बारे में बात करना जारी रखते हैं। अर्थात्, इस व्याख्यान के अध्ययन के दौरान, आप सीखेंगे कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स कैसे खोजें। सीखना। भले ही गणित कड़ा हो।

उलटा मैट्रिक्स क्या है? यहां हम पारस्परिक के साथ एक सादृश्य बना सकते हैं: उदाहरण के लिए, आशावादी संख्या 5 और इसके पारस्परिक पर विचार करें। इन संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर है: . मैट्रिक्स के साथ भी ऐसा ही है! मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम है - पहचान मैट्रिक्स, जो संख्यात्मक इकाई का मैट्रिक्स एनालॉग है। हालाँकि, सबसे पहले चीज़ें, आइए महत्वपूर्ण को हल करें व्यावहारिक प्रश्न, अर्थात्, हम सीखेंगे कि यह बहुत ही व्युत्क्रम मैट्रिक्स कैसे खोजें।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए आपको क्या जानने और सक्षम होने की आवश्यकता है? आपको निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए निर्धारकों. आपको समझना चाहिए कि क्या है आव्यूहऔर उनके साथ कुछ कार्य करने में सक्षम हो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए दो मुख्य विधियाँ हैं:
का उपयोग करके बीजीय जोड़तथा प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करना.

आज हम पहले, आसान तरीके का अध्ययन करेंगे।

आइए सबसे भयानक और समझ से बाहर शुरू करें। विचार करना वर्गआव्यूह । व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है::

मैट्रिक्स का निर्धारक कहाँ है, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है, मैट्रिसेस "दो बटा दो", "तीन बटा तीन", आदि।

नोटेशन: जैसा कि आप शायद पहले ही देख चुके हैं, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक सुपरस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया गया है

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - एक दो-दो मैट्रिक्स। सबसे अधिक बार, निश्चित रूप से, "तीन से तीन" की आवश्यकता होती है, लेकिन, फिर भी, मैं समाधान के सामान्य सिद्धांत को सीखने के लिए एक सरल कार्य का अध्ययन करने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं।

उदाहरण:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

हमने निर्णय किया। क्रियाओं का क्रम आसानी से बिंदुओं में विघटित हो जाता है।

1) सबसे पहले हम मैट्रिक्स के सारणिक का पता लगाते हैं.

यदि इस क्रिया की समझ अच्छी नहीं है, तो सामग्री पढ़ें निर्धारक की गणना कैसे करें?

महत्वपूर्ण!यदि मैट्रिक्स का सारणिक है शून्य- उलटा मैट्रिक्स मौजूद नहीं.

विचाराधीन उदाहरण में, जैसा कि यह निकला, जिसका अर्थ है कि सब कुछ क्रम में है।

2) अवयस्कों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

हमारी समस्या का समाधान करने के लिए यह जानना आवश्यक नहीं है कि नाबालिग क्या है, हालांकि, लेख को पढ़ने की सलाह दी जाती है निर्धारक की गणना कैसे करें.

नाबालिगों के मैट्रिक्स में मैट्रिक्स के समान आयाम होते हैं, यानी इस मामले में।
मामला छोटा है, तारांकन के बजाय चार नंबर ढूंढना और उन्हें लगाना बाकी है।

हमारे मैट्रिक्स पर वापस जाएं
आइए पहले ऊपरी बाएँ तत्व को देखें:

इसे कैसे खोजें नाबालिग?
और यह इस तरह किया जाता है: मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को पार करें जिसमें यह तत्व स्थित है:

शेष संख्या है दिए गए तत्व का अवयस्क, जो हम अपने अवयस्कों के मैट्रिक्स में लिखते हैं:

निम्नलिखित मैट्रिक्स तत्व पर विचार करें:

मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसमें यह तत्व स्थित है:

इस तत्व का माइनर क्या रहता है, जिसे हम अपने मैट्रिक्स में लिखते हैं:

इसी तरह, हम दूसरी पंक्ति के तत्वों पर विचार करते हैं और उनके अवयव पाते हैं:


तैयार।

यह आसान है। नाबालिगों के मैट्रिक्स में, आपको चाहिए संकेत बदलेंदो नंबरों के लिए:

ये वो नंबर हैं जिनकी मैंने परिक्रमा की है!

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का मैट्रिक्स है।

और बस कुछ…

4) बीजीय योगों का स्थानान्तरित आव्यूह ज्ञात कीजिए.

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

5) उत्तर.

याद रखें हमारा फॉर्मूला
सब मिल गया!

तो उलटा मैट्रिक्स है:

उत्तर को वैसे ही छोड़ना सबसे अच्छा है। कोई ज़रुरत नहीं हैआव्यूह के प्रत्येक अवयव को 2 से भाग दें, क्योंकि भिन्नात्मक संख्याएँ प्राप्त होंगी। इस बारीकियों पर उसी लेख में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है। मैट्रिसेस के साथ क्रिया.

समाधान की जांच कैसे करें?

मैट्रिक्स गुणन या तो किया जाना चाहिए

इंतिहान:

पहले ही उल्लेख किया पहचान मैट्रिक्सइकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स है मुख्य विकर्णऔर शून्य कहीं और।

इस प्रकार, उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है।

यदि आप कोई क्रिया करते हैं, तो परिणाम भी एक पहचान मैट्रिक्स होगा। यह उन कुछ मामलों में से एक है जहां मैट्रिक्स गुणन क्रमीय है, अधिक विस्तृत जानकारीलेख में पाया जा सकता है मैट्रिसेस पर संचालन के गुण। मैट्रिक्स अभिव्यक्ति. यह भी ध्यान दें कि चेक के दौरान, स्थिरांक (अंश) को आगे ले जाया जाता है और बहुत अंत में संसाधित किया जाता है - मैट्रिक्स गुणन के बाद। यह एक मानक टेक है।

आइए व्यवहार में एक अधिक सामान्य मामले की ओर बढ़ते हैं - थ्री-बाय-थ्री मैट्रिक्स:

उदाहरण:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

एल्गोरिथ्म बिल्कुल दो-दो-दो मामले के समान है।

हम सूत्र द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं: मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक के ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

1) मैट्रिक्स निर्धारक खोजें.

यहाँ निर्धारक प्रकट होता है पहली पंक्ति पर.

इसके अलावा, यह मत भूलो, जिसका अर्थ है कि सब कुछ ठीक है - उलटा मैट्रिक्स मौजूद है.

2) अवयस्कों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

नाबालिगों के मैट्रिक्स का आयाम "तीन बटा तीन" है , और हमें नौ नंबर खोजने होंगे।

मैं कुछ नाबालिगों को विस्तार से देखूंगा:

निम्नलिखित मैट्रिक्स तत्व पर विचार करें:

मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसमें यह तत्व स्थित है:

शेष चार संख्याएं "दो बटा दो" सारणिक में लिखी गई हैं

यह दो-दो-दो निर्धारक और दिए गए तत्व का अवयस्क है. इसकी गणना करने की आवश्यकता है:


बस, नाबालिग मिल गया, हम इसे नाबालिगों के अपने मैट्रिक्स में लिखते हैं:

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, गणना करने के लिए नौ दो-दो-दो निर्धारक हैं। प्रक्रिया, बेशक, नीरस है, लेकिन मामला सबसे कठिन नहीं है, यह बदतर हो सकता है।

खैर, समेकित करने के लिए - चित्रों में एक और नाबालिग ढूंढना:

शेष अवयस्कों की गणना स्वयं करने का प्रयास करें।

अंतिम परिणाम:
मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के नाबालिगों का मैट्रिक्स है।

यह तथ्य कि सभी नाबालिग निगेटिव निकले, शुद्ध संयोग है।

3) बीजीय योगों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

नाबालिगों के मैट्रिक्स में, यह आवश्यक है संकेत बदलेंनिम्नलिखित तत्वों के लिए कड़ाई से:

इस मामले में:

"चार बाय फोर" मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि केवल एक परपीड़क शिक्षक ही ऐसा कार्य दे सकता है (छात्र के लिए एक "चार बाय चार" निर्धारक और 16 "तीन बाय तीन" निर्धारक की गणना करने के लिए) . मेरे व्यवहार में, ऐसा केवल एक ही मामला था, और ग्राहक नियंत्रण कार्यमेरी पीड़ा के लिए महंगा भुगतान किया =)।

कई पाठ्यपुस्तकों, मैनुअल में, आप उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण पा सकते हैं, लेकिन मैं उपरोक्त समाधान एल्गोरिदम का उपयोग करने की सलाह देता हूं। क्यों? क्योंकि गणना और चिन्हों में भ्रमित होने की संभावना बहुत कम होती है।