रैखिक अमानवीय समीकरणों को हल करने के लिए एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि। मनमाना स्थिरांक के परिवर्तन की विधि

सैद्धांतिक न्यूनतम

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, एक ऐसी विधि है जो इस सिद्धांत के लिए पर्याप्त रूप से उच्च स्तर की सार्वभौमिकता होने का दावा करती है।
हम एक मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि के बारे में बात कर रहे हैं, जो अंतर समीकरणों के विभिन्न वर्गों के समाधान पर लागू होती है और उनके
सिस्टम यह ठीक वैसा ही मामला है जब सिद्धांत - यदि आप कथनों के प्रमाण को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं - न्यूनतम है, लेकिन आपको प्राप्त करने की अनुमति देता है
महत्वपूर्ण परिणाम, इसलिए मुख्य ध्यान उदाहरणों पर होगा।

विधि का सामान्य विचार तैयार करना काफी सरल है। होने देना दिया गया समीकरण(समीकरणों की प्रणाली) को हल करना मुश्किल है या बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है,
इसे कैसे हल करें। हालांकि, यह देखा जा सकता है कि जब कुछ शर्तों को समीकरण से बाहर रखा जाता है, तो इसे हल किया जाता है। फिर वे ऐसे ही एक सरलीकृत हल करते हैं
समीकरण (प्रणाली), एक निश्चित संख्या में मनमाना स्थिरांक युक्त समाधान प्राप्त करें - समीकरण के क्रम के आधार पर (संख्या
सिस्टम में समीकरण)। तब यह माना जाता है कि पाए गए समाधान में स्थिरांक वास्तव में स्थिरांक नहीं हैं, पाया गया समाधान
मूल समीकरण (सिस्टम) में प्रतिस्थापित किया जाता है, "स्थिरांक" निर्धारित करने के लिए एक अंतर समीकरण (या समीकरणों की प्रणाली) प्राप्त की जाती है।
विभिन्न समस्याओं के लिए एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को लागू करने में एक निश्चित विशिष्टता है, लेकिन ये पहले से ही विवरण हैं जो होंगे
उदाहरणों के साथ दिखाया गया है।

रैखिक के समाधान पर अलग से विचार करें अमानवीय समीकरणउच्च आदेश, अर्थात्। फॉर्म के समीकरण
.
एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित समरूप समीकरण के सामान्य समाधान और विशेष समाधान का योग होता है
दिया गया समीकरण चलो दिखावा करते हैं कि सामान्य निर्णयसजातीय समीकरण पहले ही पाया जा चुका है, अर्थात् समाधान की मौलिक प्रणाली (एफएसआर) का निर्माण किया गया है
. तब समांगी समीकरण का सामान्य हल है।
अमानवीय समीकरण का कोई विशेष हल खोजना आवश्यक है। इसके लिए अचरों को चर पर निर्भर माना जाता है।
इसके बाद, आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है
.
सिद्धांत गारंटी देता है कि यह प्रणाली बीजीय समीकरणकार्यों के व्युत्पन्न के संबंध में, वहाँ हैं केवल निर्णय.
कार्यों को स्वयं ढूंढते समय, एकीकरण स्थिरांक प्रकट नहीं होते हैं: आखिरकार, कोई एक समाधान मांगा जाता है।

फॉर्म के पहले क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के मामले में

एल्गोरिथ्म लगभग अपरिवर्तित रहता है। सबसे पहले आपको समीकरणों की इसी सजातीय प्रणाली के एफएसआर को खोजने की जरूरत है, मौलिक मैट्रिक्स की रचना करें
system , जिसके कॉलम FSR के तत्व हैं। अगला, समीकरण
.
प्रणाली को हल करते हुए, हम कार्यों को निर्धारित करते हैं, इस प्रकार मूल प्रणाली के लिए एक विशेष समाधान ढूंढते हैं
(मौलिक मैट्रिक्स को फीचर कॉलम से गुणा किया जाता है)।
हम इसे सजातीय समीकरणों की संबंधित प्रणाली के सामान्य समाधान में जोड़ते हैं, जो पहले से पाए गए एफएसआर के आधार पर बनाया गया है।
मूल प्रणाली का सामान्य समाधान प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण।

उदाहरण 1 पहले क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण.

संबंधित पर विचार करें सजातीय समीकरण(हम वांछित फलन को इस प्रकार निरूपित करते हैं):
.
चरों को अलग करके इस समीकरण को आसानी से हल किया जा सकता है:

.
अब हम मूल समीकरण के हल को रूप में निरूपित करते हैं , जहां समारोह अभी तक नहीं मिला है।
हम इस प्रकार के समाधान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
.
जैसा कि आप देख सकते हैं, बाईं ओर के दूसरे और तीसरे पद एक दूसरे को रद्द करते हैं - यह है विशेषताएक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि।

यहाँ पहले से ही - वास्तव में, एक मनमाना स्थिरांक। इस तरह,
.

उदाहरण 2 बर्नौली समीकरण.

हम पहले उदाहरण के समान कार्य करते हैं - हम समीकरण को हल करते हैं

चरों को अलग करने की विधि। यह निकलेगा, इसलिए हम फॉर्म में मूल समीकरण के हल की तलाश कर रहे हैं
.
इस फ़ंक्शन को मूल समीकरण में बदलें:
.
और फिर से कटौती होती है:
.
यहां आपको यह सुनिश्चित करने के लिए याद रखना होगा कि विभाजित करते समय, समाधान खो नहीं जाता है। और मामला मूल के समाधान से मेल खाता है
समीकरण चलो उसे याद करते हैं। इसलिए,
.
चलो लिखते है ।
यही समाधान है। उत्तर लिखते समय, आपको पहले पाए गए समाधान का भी संकेत देना चाहिए, क्योंकि यह किसी अंतिम मूल्य के अनुरूप नहीं है
स्थिरांक।

उदाहरण 3 उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय समीकरण.

हम तुरंत ध्यान दें कि इस समीकरण को और अधिक सरलता से हल किया जा सकता है, लेकिन इस पर विधि दिखाना सुविधाजनक है। हालांकि कुछ फायदे
एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि भी इस उदाहरण में है।
तो, आपको संबंधित सजातीय समीकरण के FSR से शुरू करने की आवश्यकता है। याद रखें कि एफएसआर को खोजने के लिए, विशेषता
समीकरण
.
इस प्रकार, समांगी समीकरण का व्यापक हल
.
यहां शामिल स्थिरांक विविध होने हैं। एक प्रणाली का संकलन

अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है। यह पाठ उन छात्रों के लिए अभिप्रेत है जो पहले से ही कमोबेश इस विषय में पारंगत हैं। यदि आप अभी रिमोट कंट्रोल से परिचित होना शुरू कर रहे हैं, अर्थात। यदि आप एक चायदानी हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठ से शुरुआत करें: पहले क्रम के अंतर समीकरण। समाधान उदाहरण. और यदि आप पहले से ही समाप्त कर रहे हैं, तो कृपया संभावित पूर्वकल्पित धारणा को त्याग दें कि विधि कठिन है। क्योंकि वह सरल है।

किन मामलों में मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है?

1) एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE. चूँकि समीकरण प्रथम कोटि का है, तो अचर (स्थिर) भी एक होता है।

2) कुछ को हल करने के लिए स्वेच्छ अचरों की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण. यहां, दो स्थिरांक (स्थिरांक) भिन्न होते हैं।

यह मान लेना तर्कसंगत है कि पाठ में दो पैराग्राफ होंगे .... इसलिए मैंने यह प्रस्ताव लिखा, और लगभग 10 मिनट के लिए मैंने दर्द से सोचा कि एक चिकनी संक्रमण के लिए अन्य चतुर बकवास क्या जोड़ना है व्यावहारिक उदाहरण. लेकिन किसी कारण से, छुट्टियों के बाद कोई विचार नहीं है, हालांकि ऐसा लगता है कि मैंने कुछ भी गाली नहीं दी। तो चलिए सीधे पहले पैराग्राफ में आते हैं।

मनमाना लगातार भिन्नता विधि
एक रैखिक अमानवीय प्रथम-क्रम समीकरण के लिए

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर विचार करने से पहले, लेख से परिचित होना वांछनीय है रैखिक विभेदक समीकरणपहले के आदेश. उस पाठ में, हमने अभ्यास किया हल करने का पहला तरीका 1 क्रम का अमानवीय DE। यह पहला उपाय, मैं आपको याद दिलाता हूं, कहा जाता है प्रतिस्थापन विधिया बर्नौली विधि(भ्रमित नहीं होना चाहिए बर्नौली समीकरण!!!)

अब हम विचार करेंगे हल करने का दूसरा तरीका- एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि। मैं केवल तीन उदाहरण दूंगा, और मैं उन्हें उपरोक्त पाठ से लूंगा। इतने कम क्यों? क्योंकि वास्तव में दूसरे तरीके से समाधान पहले तरीके से समाधान के समान ही होगा। इसके अलावा, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग प्रतिस्थापन विधि की तुलना में कम बार किया जाता है।

उदाहरण 1

(पाठ के उदाहरण संख्या 2 से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

समाधान:यह समीकरण रैखिक अमानवीय है और इसका एक परिचित रूप है:

एक सरल समीकरण को हल करने के लिए पहला कदम है:
यही है, हम मूर्खता से दाईं ओर रीसेट करते हैं - इसके बजाय हम शून्य लिखते हैं।
समीकरण मैं फोन करता हूँ सहायक समीकरण.

इस उदाहरण में, आपको निम्नलिखित सहायक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

हमारे सामने वियोज्य समीकरण, जिसका समाधान (मुझे आशा है) अब आपके लिए कठिन नहीं है:

इस तरह:
सहायक समीकरण का सामान्य हल है।

दूसरे चरण पर बदलने केकुछ का स्थिरांक अभी तकअज्ञात फ़ंक्शन जो "x" पर निर्भर करता है:

इसलिए विधि का नाम - हम स्थिरांक बदलते हैं। वैकल्पिक रूप से, स्थिरांक कुछ फलन हो सकता है जिसे हमें अभी खोजना है।

पर मूलअमानवीय समीकरण आइए प्रतिस्थापित करें:

स्थानापन्न और समीकरण में :

नियंत्रण क्षण - बाईं ओर की दो शर्तें रद्द करें. यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपको उपरोक्त त्रुटि की तलाश करनी चाहिए।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, वियोज्य चर के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है। चर को अलग करें और एकीकृत करें।

क्या वरदान है, प्रतिपादक भी सिकुड़ रहे हैं:

हम पाए गए फ़ंक्शन में "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं:

अंतिम चरण में, हम अपने प्रतिस्थापन को याद करते हैं:

फ़ंक्शन अभी मिला!

तो सामान्य समाधान है:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

यदि आप दो समाधानों का प्रिंट आउट लेते हैं, तो आप आसानी से देखेंगे कि दोनों ही मामलों में हमने एक ही समाकलन पाया है। समाधान एल्गोरिथ्म में एकमात्र अंतर है।

अब कुछ और जटिल है, मैं दूसरे उदाहरण पर भी टिप्पणी करूंगा:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
(पाठ के उदाहरण संख्या 8 से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

समाधान:हम समीकरण को फॉर्म में लाते हैं :

दाईं ओर को शून्य पर सेट करें और सहायक समीकरण को हल करें:

सहायक समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण में, हम प्रतिस्थापन करेंगे:

उत्पाद भेदभाव नियम के अनुसार:

स्थानापन्न और मूल अमानवीय समीकरण में:

बाईं ओर की दो शर्तें रद्द हो जाती हैं, जिसका अर्थ है कि हम सही रास्ते पर हैं:

हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र से एक स्वादिष्ट पत्र पहले से ही समाधान में शामिल है, इसलिए हम उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, "ए" और "बी" अक्षर:

आइए अब प्रतिस्थापन को देखें:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

और आत्म समाधान के लिए एक उदाहरण:

उदाहरण 3

दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए।

,
(पाठ 4 उदाहरण से भिन्न) पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)
समाधान:
यह DE रैखिक अमानवीय है। हम मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करते हैं। आइए सहायक समीकरण को हल करें:

हम चर को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं:

सामान्य निर्णय:
अमानवीय समीकरण में, हम प्रतिस्थापन करेंगे:

आइए प्रतिस्थापन करते हैं:

तो सामान्य समाधान है:

दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें:

उत्तर:निजी समाधान:

पाठ के अंत में समाधान असाइनमेंट को पूरा करने के लिए एक अनुमानित मॉडल के रूप में काम कर सकता है।

मनमाना स्थिरांक के परिवर्तन की विधि
एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम समीकरण के लिए
साथ स्थिर गुणांक

एक राय अक्सर सुनी जाती है कि दूसरे क्रम के समीकरण के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि एक आसान बात नहीं है। लेकिन मैं निम्नलिखित का अनुमान लगाता हूं: सबसे अधिक संभावना है, यह विधि कई लोगों के लिए कठिन लगती है, क्योंकि यह इतना सामान्य नहीं है। लेकिन वास्तव में, कोई विशेष कठिनाइयाँ नहीं हैं - निर्णय की प्रक्रिया स्पष्ट, पारदर्शी और समझने योग्य है। और खूबसूरत।

विधि में महारत हासिल करने के लिए, दाहिनी ओर के रूप के अनुसार एक विशेष समाधान का चयन करके दूसरे क्रम के अमानवीय समीकरणों को हल करने में सक्षम होना वांछनीय है। इस विधि पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है। दूसरे क्रम का अमानवीय DE. हमें याद है कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप है:

चयन विधि, जिसे उपरोक्त पाठ में माना गया था, केवल सीमित मामलों में काम करती है, जब बहुपद, घातांक, साइन, कोसाइन दाईं ओर होते हैं। लेकिन क्या करें जब दाईं ओर, उदाहरण के लिए, एक अंश, लघुगणक, स्पर्शरेखा? ऐसी स्थिति में, स्थिरांक की भिन्नता की विधि बचाव में आती है।

उदाहरण 4

द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

समाधान:इस समीकरण के दायीं ओर एक भिन्न है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि किसी विशेष समाधान के चयन की विधि काम नहीं करती है। हम मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करते हैं।

कुछ भी नहीं एक आंधी को चित्रित करता है, समाधान की शुरुआत काफी सामान्य है:

हमे पता करने दें सामान्य निर्णयसे मिलता जुलता सजातीयसमीकरण:

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:


- संयुग्म जटिल जड़ें प्राप्त होती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

सामान्य समाधान के रिकॉर्ड पर ध्यान दें - यदि कोष्ठक हैं, तो उन्हें खोलें।

अब हम पहले क्रम समीकरण के समान ही लगभग एक ही चाल करते हैं: हम स्थिरांक बदलते हैं, उन्हें अज्ञात कार्यों के साथ बदलते हैं। वह है, अमानवीय का सामान्य समाधानहम फॉर्म में समीकरणों की तलाश करेंगे:

कहाँ पे - अभी तकअज्ञात कार्य।

यह कूड़े के ढेर जैसा दिखता है, लेकिन अब हम सब कुछ छाँट लेंगे।

कार्यों के व्युत्पन्न अज्ञात के रूप में कार्य करते हैं। हमारा लक्ष्य डेरिवेटिव ढूंढना है, और पाया गया डेरिवेटिव सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को पूरा करना चाहिए।

"खेल" कहाँ से आते हैं? सारस उन्हें लाता है। हम पहले प्राप्त सामान्य समाधान को देखते हैं और लिखते हैं:

आइए डेरिवेटिव खोजें:

बाईं ओर से निपटा। दाईं ओर क्या है?

- ये है दाहिना भागइस मामले में मूल समीकरण:

गुणांक दूसरे व्युत्पन्न पर गुणांक है:

व्यवहार में, लगभग हमेशा, और हमारा उदाहरण कोई अपवाद नहीं है।

सब कुछ साफ हो गया, अब आप एक सिस्टम बना सकते हैं:

सिस्टम आमतौर पर हल हो जाता है क्रैमर के सूत्रों के अनुसारमानक एल्गोरिथ्म का उपयोग करना। फर्क सिर्फ इतना है कि संख्याओं के बजाय हमारे पास कार्य हैं।

सिस्टम के मुख्य निर्धारक खोजें:

यदि आप भूल गए हैं कि "दो बटा दो" निर्धारक कैसे प्रकट होता है, तो पाठ देखें निर्धारक की गणना कैसे करें?लिंक शर्म के बोर्ड की ओर जाता है =)

तो: , इसलिए सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

हम व्युत्पन्न पाते हैं:

लेकिन इतना ही नहीं, अभी तक हमने केवल व्युत्पन्न पाया है।
फ़ंक्शन स्वयं एकीकरण द्वारा पुनर्स्थापित किया जाता है:

आइए दूसरे फ़ंक्शन को देखें:

यहां हम एक "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं

समाधान के अंतिम चरण में, हम याद करते हैं कि हम किस रूप में अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश कर रहे थे? ऐसे में:

आवश्यक कार्यअभी मिला!

यह प्रतिस्थापन करने और उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

सिद्धांत रूप में, उत्तर कोष्ठक खोल सकता है।

उत्तर की पूरी जाँच मानक योजना के अनुसार की जाती है, जिसे पाठ में माना गया था। दूसरे क्रम का अमानवीय DE. लेकिन सत्यापन आसान नहीं होगा, क्योंकि हमें भारी डेरिवेटिव ढूंढना होगा और एक बोझिल प्रतिस्थापन करना होगा। जब आप इस तरह के अंतर को हल कर रहे हों तो यह एक खराब विशेषता है।

उदाहरण 5

स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि द्वारा अवकल समीकरण को हल करें

यह स्वयं का उदाहरण है। वास्तव में, दायां पक्ष भी एक अंश है। हम याद रखते हैं त्रिकोणमितीय सूत्र, वैसे, इसे समाधान के दौरान लागू करने की आवश्यकता होगी।

स्वेच्छ अचरों की भिन्नता की विधि सबसे अधिक है सामान्य विधि. वे किसी भी समीकरण को हल कर सकते हैं जिसे हल किया जा सकता है दाईं ओर के रूप के अनुसार किसी विशेष समाधान के चयन की विधि. प्रश्न यह उठता है कि क्यों न वहां भी स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि का प्रयोग किया जाए? उत्तर स्पष्ट है: एक विशेष समाधान का चयन, जिसे पाठ में माना गया था दूसरे क्रम के अमानवीय समीकरण, समाधान को महत्वपूर्ण रूप से गति देता है और अंकन को कम करता है - निर्धारकों और इंटीग्रल के साथ कोई खिलवाड़ नहीं।

के साथ दो उदाहरणों पर विचार करें कौची समस्या.

उदाहरण 6

दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए

,

समाधान:फिर से एक भिन्न और एक घातांक दिलचस्प जगह.
हम मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करते हैं।

हमे पता करने दें सामान्य निर्णयसे मिलता जुलता सजातीयसमीकरण:



- विभिन्न वास्तविक जड़ें प्राप्त होती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

अमानवीय का सामान्य समाधानहम इस रूप में समीकरण ढूंढ रहे हैं: , जहां - अभी तकअज्ञात कार्य।

आइए एक सिस्टम बनाएं:

इस मामले में:
,
डेरिवेटिव ढूँढना:
,

इस तरह:

हम Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं:
, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

हम एकीकरण द्वारा फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

यहां इस्तेमाल किया गया किसी फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के तहत लाने की विधि.

हम एकीकरण द्वारा दूसरे फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

ऐसा अभिन्न हल है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि:

प्रतिस्थापन से ही, हम व्यक्त करते हैं:

इस तरह:

यह अभिन्न पाया जा सकता है पूर्ण वर्ग चयन विधि, लेकिन भिन्न के उदाहरणों में, मैं भिन्न का विस्तार करना पसंद करता/करती हूं अनिश्चित गुणांक की विधि:

दोनों कार्य मिले:

नतीजतन, अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान है:

एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो .

तकनीकी रूप से, समाधान की खोज मानक तरीके से की जाती है, जिसकी चर्चा लेख में की गई थी। अमानवीय द्वितीय क्रम विभेदक समीकरण.

रुको, अब हम पाए गए सामान्य समाधान का व्युत्पन्न पाएंगे:

यहाँ ऐसा अपमान है। इसे सरल बनाना आवश्यक नहीं है, समीकरणों की एक प्रणाली को तुरंत बनाना आसान है। प्रारंभिक शर्तों के अनुसार :

स्थिरांक के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें एक सामान्य समाधान में:

उत्तर में, लघुगणक को थोड़ा पैक किया जा सकता है।

उत्तर:निजी समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, अभिन्न और व्युत्पन्न में कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि के एल्गोरिथ्म में नहीं। यह मैं नहीं था जिसने आपको धमकाया था, यह सब कुज़नेत्सोव का संग्रह है!

आराम करने के लिए, एक अंतिम, सरल, आत्म-सुलझाने वाला उदाहरण:

उदाहरण 7

कौची समस्या का समाधान

,

उदाहरण सरल है, लेकिन रचनात्मक है, जब आप एक प्रणाली बनाते हैं, तो निर्णय लेने से पहले इसे ध्यान से देखें ;-),




नतीजतन, सामान्य समाधान है:

प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें .



हम स्थिरांक के पाए गए मानों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:

उत्तर:निजी समाधान:

आइए हम फॉर्म के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों पर विचार करें

कहाँ पे - वांछित तर्क समारोह , और कार्य



दिए गए हैं और कुछ अंतराल पर निरंतर हैं
.

आइए हम एक रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार करें, जिसका बायां पक्ष अमानवीय समीकरण (2.31) के बाईं ओर से मेल खाता है,

फॉर्म (2.32) के समीकरण को कहा जाता है अमानवीय समीकरण के अनुरूप सजातीय समीकरण (2.31).

अमानवीय रैखिक समीकरण (2.31) के सामान्य समाधान की संरचना पर निम्नलिखित प्रमेय धारण करता है।

प्रमेय 2.6.डोमेन में रैखिक अमानवीय समीकरण (2.31) का सामान्य समाधान

इसके किसी विशेष समाधान और डोमेन (2.33) में संबंधित समरूप समीकरण (2.32) के सामान्य समाधान का योग है, अर्थात।

कहाँ पे - समीकरण का एक विशेष समाधान (2.31),
सजातीय समीकरण (2.32) के समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और
मनमानी स्थिरांक हैं।

इस प्रमेय का प्रमाण में पाया जा सकता है।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम एक ऐसी विधि प्रस्तुत करते हैं जिसके द्वारा एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त किया जा सकता है। इस विधि को कहा जाता है मनमानी स्थिरांक की लैग्रेंज विधि विविधताएं.

तो, मान लीजिए कि एक अमानवीय रैखिक समीकरण दिया गया है

(2.35)

जहां गुणांक
और दाहिनी ओर
कुछ अंतराल में निरंतर
.

द्वारा निरूपित करें
तथा
मौलिक प्रणालीसजातीय समीकरण के समाधान

(2.36)

तब इसके सामान्य समाधान का रूप होता है

(2.37)

कहाँ पे तथा मनमानी स्थिरांक हैं।

हम उसी रूप में समीकरण (2.35) के हल की तलाश करेंगे , साथ ही संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान, मनमाने स्थिरांक को कुछ अलग-अलग कार्यों द्वारा प्रतिस्थापित करना (हम मनमाना स्थिरांक बदलते हैं),वे।

कहाँ पे
तथा
से कुछ भिन्न कार्य हैं , जो अभी भी अज्ञात हैं और जिन्हें हम निर्धारित करने का प्रयास करेंगे ताकि फ़ंक्शन (2.38) अमानवीय समीकरण (2.35) का समाधान हो। समानता के दोनों पक्षों (2.38) को अलग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

ताकि गणना करते समय कोई दूसरा क्रम डेरिवेटिव नहीं
तथा
, हम चाहते हैं कि हर जगह
स्थिति

फिर के लिए होगा

दूसरे व्युत्पन्न की गणना करें

व्यंजकों को के लिए प्रतिस्थापित करना ,,(2.38), (2.40), (2.41) से समीकरण (2.35) में, हम प्राप्त करते हैं

वर्ग कोष्ठक में व्यंजक में हर जगह शून्य के बराबर होते हैं
, इसलिये तथा - समीकरण के विशेष समाधान (2.36)। इस स्थिति में, (2.42) रूप लेता है।
तथा

(2.43)

उत्तरार्द्ध प्रणाली के संबंध में दो बीजीय रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली है
तथा
. इस प्रणाली का निर्धारक समाधान की मौलिक प्रणाली के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है ,और इसलिए में हर जगह शून्य से अलग है
. इसका मतलब है कि सिस्टम (2.43) का एक अनूठा समाधान है। इसे किसी भी तरह से हल करने के बारे में
,
पाना

कहाँ पे
तथा
प्रसिद्ध कार्य हैं।

एकीकरण करना और इस बात को ध्यान में रखते हुए कि
,
हमें किसी भी एक जोड़ी फ़ंक्शन को लेना चाहिए, हम एकीकरण के स्थिरांक को शून्य के बराबर सेट करते हैं। प्राप्त

व्यंजकों (2.44) को संबंधों (2.38) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम अमानवीय समीकरण (2.35) का वांछित हल इस रूप में लिख सकते हैं

रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने के लिए इस विधि को सामान्यीकृत किया जा सकता है -वें क्रम।

उदाहरण 2.6. प्रश्न हल करें
पर
अगर कार्य

संगत सजातीय समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

आइए इस समीकरण का एक विशेष हल खोजें। ऐसा करने के लिए, लैग्रेंज विधि के अनुसार, किसी को पहले सिस्टम (2.43) को हल करना चाहिए, जिसका हमारे मामले में रूप है
प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को कम करके हम पाते हैं

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण पद को पद से घटाकर, हम पाते हैं
और फिर पहले समीकरण से यह निम्नानुसार है
एकीकरण करना और एकीकरण स्थिरांक को शून्य के बराबर सेट करना, हमारे पास है

इस समीकरण के एक विशेष हल को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है

कहाँ पे तथा मनमानी स्थिरांक हैं।

अंत में, हम एक उल्लेखनीय संपत्ति पर ध्यान देते हैं, जिसे अक्सर समाधान लगाने का सिद्धांत कहा जाता है और निम्नलिखित प्रमेय द्वारा वर्णित किया जाता है।

प्रमेय 2.7.अगर बीच में
समारोह
- फ़ंक्शन के समीकरण का एक विशेष समाधान
समान अंतराल पर समीकरण का एक विशेष हल, फलन
समीकरण का एक विशेष समाधान है

अब रेखीय अमानवीय समीकरण पर विचार करें
. (2)
मान लीजिए y 1 ,y 2 ,.., y n समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और संगत समरूप समीकरण L(y)=0 का सामान्य समाधान है। इसी प्रकार प्रथम कोटि के समीकरणों के मामले में, हम समीकरण (2) का हल इस रूप में खोजेंगे
. (3)
आइए हम सत्यापित करें कि इस रूप में एक समाधान मौजूद है। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, हम इसके व्युत्पन्न पाते हैं। पहला व्युत्पन्न है
. (4)
दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, चार शब्द (4) के दाईं ओर दिखाई देते हैं, तीसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, आठ शब्द दिखाई देते हैं, और इसी तरह। इसलिए, आगे की गणना की सुविधा के लिए, (4) में पहला पद शून्य के बराबर माना जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, दूसरा व्युत्पन्न बराबर है
. (5)
पहले के समान कारणों से, (5) में हम पहले पद को भी शून्य के बराबर सेट करते हैं। आखिरकार, nवां व्युत्पन्नके बराबर है
. (6)
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है
. (7)
(7) में दूसरा पद शून्य के बराबर है, क्योंकि फलन y j, j=1,2,..,n, संगत समांगी समीकरण L(y)=0 के हल हैं। पिछले एक के साथ संयोजन, हम फलन C" j (x) खोजने के लिए बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं
(8)
इस प्रणाली का निर्धारक समाधान की मौलिक प्रणाली का Wronsky निर्धारक है y 1,y 2 ,..,y n संबंधित सजातीय समीकरण L(y)=0 और इसलिए शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, सिस्टम (8) का एक अनूठा समाधान है। इसे प्राप्त करने के बाद, हम सी "जे (एक्स), जे = 1,2,…, एन, और, परिणामस्वरूप, सी जे (एक्स), जे = 1,2,…, एन इन मानों को प्रतिस्थापित करते हुए फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। (3), हम रैखिक अमानवीय समीकरण का हल प्राप्त करते हैं।
वर्णित विधि को एक मनमाना स्थिरांक या लैग्रेंज विधि की भिन्नता की विधि कहा जाता है।

अधिकतम व्युत्पन्न डिग्री 2 3 4 5 6

उदाहरण 1। समीकरण y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x का सामान्य हल खोजें। संगत समरूप समीकरण y "" + 4y" + 3y = 0 पर विचार करें। इसकी जड़ें विशेषता समीकरण r 2 + 4r + 3 = 0 -1 और -3 हैं। इसलिए, एक सजातीय समीकरण के समाधान की मूल प्रणाली में कार्य y 1 = e - x और y 2 = e -3 x होते हैं। हम y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x के रूप में एक अमानवीय समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं। व्युत्पन्न C " 1 , C" 2 खोजने के लिए हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं (8)

जिसे हल करना, हम पाते हैं, प्राप्त कार्यों को एकीकृत करना, हमारे पास है
अंत में हमें मिलता है

उदाहरण # 2। दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों को अचर गुणांकों के साथ स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि द्वारा हल करें:

y(0) =1 + 3ln3
वाई'(0) = 10ln3

समाधान:
यह अंतर समीकरण स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों से संबंधित है।
हम y = e rx के रूप में समीकरण का हल खोजेंगे। ऐसा करने के लिए, हम निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के विशेषता समीकरण की रचना करते हैं:
आर 2 -6 आर + 8 = 0
डी = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

विशेषता समीकरण की जड़ें: r 1 = 4, r 2 = 2
इसलिए, समाधान की मूलभूत प्रणाली कार्य है:
वाई 1 \u003d ई 4x, वाई 2 \u003d ई 2x
सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा किसी विशेष समाधान की खोज करें।
C "i का अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

सी" 1 (4e 4x) + सी" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
पहले समीकरण से C" 1 व्यक्त करें:
सी" 1 \u003d -सी 2 ई -2x
और दूसरे में स्थानापन्न करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
सी" 1 \u003d 2 / (ई 2x + 2e 4x)
सी" 2 \u003d -2e 2x / (ई 2x + 2e 4x)
हम प्राप्त कार्यों को एकीकृत करते हैं C" i:
सी 1 = 2ln(ई -2x +2) - ई -2x + सी * 1
सी 2 = एलएन (2e 2x +1) - 2x+ सी * 2

क्यों कि , फिर हम परिणामी व्यंजकों को रूप में लिखते हैं:
सी 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
सी 2 = (एलएन(2ई 2x +1) - 2x+ सी * 2)ई 2x = ई 2x एलएन(2ई 2x +1) - 2x ई 2x + सी * 2 ई 2x
इस प्रकार, अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
या
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

हम शर्त के तहत एक विशेष समाधान पाते हैं:
y(0) =1 + 3ln3
वाई'(0) = 10ln3

पाए गए समीकरण में x = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
वाई (0) = 2 एलएन (3) - 1 + एलएन (3) + सी * 1 + सी * 2 = 3 एलएन (3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
हम प्राप्त सामान्य समाधान का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
3 एलएन(3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
4सी 1 + 2सी 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
4सी1 + 2सी2 = 4
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
2सी1 + सी2 = 2
कहाँ पे:
C1=0, C*2=2
एक विशेष समाधान के रूप में लिखा जाएगा:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

पहले क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
इस समीकरण को हल करने के तीन तरीके हैं:

• निरंतर भिन्नता विधि (लैग्रेंज)।

लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के हल पर विचार करें।

लगातार भिन्नता विधि (लैग्रेंज)

अचर विचरण विधि में हम समीकरण को दो चरणों में हल करते हैं। पहले चरण में, हम मूल समीकरण को सरल करते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। दूसरे चरण में, हम समाधान के पहले चरण में प्राप्त एकीकरण के स्थिरांक को एक फलन से बदल देंगे। फिर हम मूल समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं।

समीकरण पर विचार करें:
(1)

चरण 1 समांगी समीकरण का हल

हम सजातीय समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं:

यह एक वियोज्य समीकरण है

अलग चर - dx से गुणा करें, y से विभाजित करें:

हम एकीकृत करते हैं:

y - सारणीबद्ध पर समाकलन:

फिर

क्षमता:

आइए हम स्थिरांक e C को C से प्रतिस्थापित करें और मापांक के चिह्न को हटा दें, जो स्थिरांक से गुणा करने के लिए कम हो जाता है ±1, जिसे हम सी में शामिल करते हैं:

चरण 2 स्थिरांक C को फ़ंक्शन से बदलें

अब स्थिर C को x के एक फलन से प्रतिस्थापित करते हैं:
सी → यू (एक्स)
यही है, हम मूल समीकरण के समाधान की तलाश करेंगे (1) जैसा:
(2)
हम व्युत्पन्न पाते हैं।

एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.
उत्पाद भेदभाव नियम के अनुसार:

.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (1) :
(1) ;

.
दो शर्तें कम हो गई हैं:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
.
में स्थानापन्न (2) :
.
नतीजतन, हम पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:
.

लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

प्रश्न हल करें

समाधान

हम सजातीय समीकरण को हल करते हैं:

चर अलग करना:

आइए इससे गुणा करें:

हम एकीकृत करते हैं:

टेबल इंटीग्रल:

क्षमता:

आइए स्थिरांक e C को C से बदलें और मापांक के संकेतों को हटा दें:

यहाँ से:

आइए स्थिरांक C को x के एक फंक्शन से बदलें:
सी → यू (एक्स)

हम व्युत्पन्न पाते हैं:
.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:
;
;
या:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
;
समीकरण समाधान:
.