समीकरण

जहां और अंतराल में निरंतर कार्य हैं, एक अमानवीय द्वितीय-क्रम रैखिक अंतर समीकरण कहा जाता है, फलन और इसके गुणांक हैं। यदि इस अंतराल में, तो समीकरण रूप लेता है:

और इसे द्वितीय कोटि का समांगी रैखिक अवकल समीकरण कहते हैं। यदि समीकरण (**) के गुणांक समान हों और समीकरण (*) के रूप में हों, तो इसे गैर-सजातीय समीकरण (*) के संगत समघात समीकरण कहा जाता है।

सजातीय दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

चलो रैखिक समीकरण में

और स्थिर वास्तविक संख्याएँ हैं।

हम एक फ़ंक्शन के रूप में समीकरण का एक विशेष समाधान तलाशेंगे, जहां वास्तविक या है जटिल संख्यानिर्धारित किए जाने हेतु। के संबंध में अंतर करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

मूल अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, इसे ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है:

इस समीकरण को समांगी रैखिक अवकल समीकरण का अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है। विशेषता समीकरण भी खोजना संभव बनाता है। यह दूसरी डिग्री का समीकरण है, इसलिए इसकी दो जड़ें हैं। आइए उन्हें और द्वारा निरूपित करें। तीन मामले संभव हैं:

1) जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं। इस मामले में, समीकरण का सामान्य समाधान है:

उदाहरण 1

2) मूल वास्तविक और बराबर हैं। इस मामले में, समीकरण का सामान्य समाधान है:

उदाहरण2

परीक्षा या परीक्षा में किसी समस्या को हल करने का प्रयास करते समय इस पृष्ठ पर उतरे? यदि आप अभी भी परीक्षा पास नहीं कर पाए हैं - अगली बार, उच्च गणित में ऑनलाइन सहायता के बारे में वेबसाइट पर पहले से व्यवस्था करें।

विशेषता समीकरण का रूप है:

समाधान विशेषता समीकरण:

सामान्य निर्णयमूल अंतर समीकरण:

3) जटिल जड़ें। इस मामले में, समीकरण का सामान्य समाधान है:

उदाहरण 3

विशेषता समीकरण का रूप है:

अभिलक्षणिक समीकरण का हल:

मूल अंतर समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

आइए अब कुछ प्रकार के रैखिक के हल पर विचार करें सजातीय समीकरणनिरंतर गुणांक के साथ दूसरा क्रम

जहां और निरंतर वास्तविक संख्याएं हैं, अंतराल में एक ज्ञात निरंतर कार्य है। इस प्रकार के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करने के लिए समघात समीकरण का सामान्य हल और विशेष हल जानना आवश्यक है। आइए कुछ मामलों पर विचार करें:

हम वर्ग त्रिपद के रूप में अवकल समीकरण का एक विशेष हल भी ढूंढ रहे हैं:

यदि 0 अभिलक्षणिक समीकरण का एकल मूल है, तो

यदि 0 अभिलक्षणिक समीकरण का दोहरा मूल है, तो

स्थिति समान है यदि मनमानी डिग्री का बहुपद है

उदाहरण 4

हम इसी सजातीय समीकरण को हल करते हैं।

विशेषता समीकरण:

सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान:

आइए हम अमानवीय अंतर-समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें:

प्राप्त अवकलजों को मूल अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

वांछित विशेष समाधान:

मूल अंतर समीकरण का सामान्य समाधान:

हम रूप में एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं, जहां एक अनिश्चित गुणांक है।

मूल अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम एक सर्वसमिका प्राप्त करते हैं, जिससे हम गुणांक पाते हैं।

यदि अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है, तो हम मूल अवकल समीकरण के एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं, जब एक मूल होता है, और जब एक डबल रूट होता है।

उदाहरण 5

विशेषता समीकरण:

संगत समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल है:

आइए हम संगत अमानवीय अवकल समीकरण का एक विशेष हल खोजें:

अंतर समीकरण का सामान्य समाधान:

इस मामले में, हम एक त्रिकोणमितीय द्विपद के रूप में एक विशेष समाधान की तलाश कर रहे हैं:

जहां और अनिश्चित गुणांक हैं

मूल अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम एक सर्वसमिका प्राप्त करते हैं, जिससे हम गुणांक ज्ञात करते हैं।

ये समीकरण गुणांक निर्धारित करते हैं और उस स्थिति को छोड़कर जब (या विशेषता समीकरण की जड़ें कब होती हैं)। बाद के मामले में, हम रूप में अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं:

उदाहरण6

विशेषता समीकरण:

संगत समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल है:

आइए हम अमानवीय अंतर-समीकरण का एक विशेष हल खोजें

मूल अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

मूल अंतर समीकरण का सामान्य समाधान:

संख्या श्रृंखला अभिसरण
एक श्रृंखला के अभिसरण की परिभाषा दी गई है और संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के अध्ययन के कार्यों पर विस्तार से विचार किया गया है - तुलना मानदंड, डी'अलेम्बर्ट अभिसरण मानदंड, कॉची अभिसरण मानदंड और अभिन्न कॉची अभिसरण मानदंड⁡।

एक श्रृंखला का निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण
पृष्ठ वैकल्पिक श्रृंखला, उनके सशर्त और पूर्ण अभिसरण से संबंधित है, वैकल्पिक श्रृंखला के लिए लीबनिज़ अभिसरण परीक्षण - इसमें शामिल हैं संक्षिप्त सिद्धांतविषय पर और समस्या को हल करने का एक उदाहरण।

शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य"

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

दिशा-निर्देश

शिक्षा के पत्राचार प्रपत्र (NISPO) के लेखा विभाग के छात्रों द्वारा "दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" विषय के अध्ययन पर

गोर्की, 2013

रैखिक अंतर समीकरण

स्थिरांक के साथ दूसरा क्रमगुणांकों

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

के साथ एक दूसरे क्रम रैखिक अंतर समीकरण स्थिर गुणांक रूप का समीकरण कहलाता है

वे। एक समीकरण जिसमें वांछित कार्य और उसके डेरिवेटिव केवल पहली डिग्री तक होते हैं और उनके उत्पाद शामिल नहीं होते हैं। इस समीकरण में तथा
कुछ संख्याएँ हैं, और फलन
कुछ अंतराल पर दिया गया
.

यदि एक
अंतराल पर
, तो समीकरण (1) रूप लेता है

, (2)

और बुलाया रैखिक सजातीय . अन्यथा, समीकरण (1) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

जटिल कार्य पर विचार करें

, (3)

कहाँ पे
तथा
वास्तविक कार्य हैं। यदि फलन (3) समीकरण (2) का एक जटिल हल है, तो वास्तविक भाग
, और काल्पनिक भाग
समाधान
अलग-अलग लिए गए समान समांगी समीकरण के समाधान हैं। इस प्रकार, प्रत्येक पूरा समाधानसमीकरण (2) इस समीकरण के दो वास्तविक समाधान उत्पन्न करता है।

एक समांगी रैखिक समीकरण के समाधान में निम्नलिखित गुण होते हैं:

यदि एक समीकरण (2) का हल है, तो फलन
, कहाँ पे से- एक मनमाना स्थिरांक, समीकरण (2) का हल भी होगा;

यदि एक तथा समीकरण (2) के हल हैं, तो फलन
समीकरण (2) का हल भी होगा;

यदि एक तथा समीकरण (2) के हल हैं, तो उनका रैखिक संयोजन
समीकरण (2) का हल भी होगा, जहाँ तथा
मनमानी स्थिरांक हैं।

कार्यों
तथा
बुलाया रैखिक रूप से आश्रित अंतराल पर
अगर ऐसी संख्याएं हैं तथा
, जो एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, कि इस अंतराल पर समानता

यदि समानता (4) तभी धारण करती है जब
तथा
, फिर कार्य
तथा
बुलाया रैखिक रूप से स्वतंत्र अंतराल पर
.

उदाहरण 1 . कार्यों
तथा
रैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि
पूरी संख्या रेखा के साथ। इस उदाहरण में
.

उदाहरण 2 . कार्यों
तथा
समानता के बाद से, किसी भी अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी संभव है जब और
, तथा
.

एक रैखिक सजातीय के एक सामान्य समाधान का निर्माण

समीकरण

समीकरण (2) का एक सामान्य हल खोजने के लिए, आपको इसके दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हल खोजने होंगे तथा . इन समाधानों का रैखिक संयोजन
, कहाँ पे तथा
स्वेच्छ अचर हैं, और एक रैखिक समांगी समीकरण का सामान्य हल देंगे।

समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान के रूप में मांगा जाएगा

, (5)

कहाँ पे - कुछ संख्या। फिर
,
. आइए हम इन व्यंजकों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:

या
.

इसलिये
, फिर
. तो समारोह
समीकरण का हल होगा (2) यदि समीकरण को संतुष्ट करेगा

. (6)

समीकरण (6) कहा जाता है विशेषता समीकरण समीकरण (2) के लिए। यह समीकरण एक बीजीय द्विघात समीकरण है।

होने देना तथा इस समीकरण की जड़ें हैं। वे या तो वास्तविक और भिन्न, या जटिल, या वास्तविक और समान हो सकते हैं। आइए इन मामलों पर विचार करें।

जड़ों दो तथा अभिलक्षणिक समीकरण वास्तविक और विशिष्ट होते हैं। तब समीकरण (2) के हल फलन होंगे
तथा
. समानता के बाद से ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
केवल तभी किया जा सकता है जब
, तथा
. इसलिए, समीकरण (2) के व्यापक हल का रूप है:

,

कहाँ पे तथा
मनमानी स्थिरांक हैं।

उदाहरण 3
.

समाधान . इस अंतर के लिए विशेषता समीकरण होगा
. इसे हल करना द्विघात समीकरण, इसकी जड़ें खोजें
तथा
. कार्यों
तथा
अवकल समीकरण के हल हैं। इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

जटिल संख्या रूप की अभिव्यक्ति कहा जाता है
, कहाँ पे तथा वास्तविक संख्याएं हैं, और
काल्पनिक इकाई कहलाती है। यदि एक
, फिर संख्या
विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है। यदि
, फिर संख्या
एक वास्तविक संख्या के साथ पहचाना जाता है .

संख्या सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है, और - काल्पनिक भाग। यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ केवल काल्पनिक भाग के चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होती हैं, तो वे संयुग्म कहलाती हैं:
,
.

उदाहरण 4 . द्विघात समीकरण को हल करें
.

समाधान . समीकरण विभेदक
. फिर। वैसे ही,
. इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के संयुग्मी सम्मिश्र मूल हैं।

मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल जटिल हैं, अर्थात्।
,
, कहाँ पे
. समीकरण (2) के हल इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
,
या
,
. यूलर के सूत्रों के अनुसार

,
.

फिर ,। जैसा कि ज्ञात है, यदि एक जटिल कार्य एक रैखिक सजातीय समीकरण का समाधान है, तो इस समीकरण के समाधान इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग हैं। अत: समीकरण (2) के हल फलन होंगे
तथा
. समानता के बाद से

केवल तभी किया जा सकता है जब
तथा
, तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) के सामान्य समाधान का रूप है

कहाँ पे तथा
मनमानी स्थिरांक हैं।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . समीकरण
दिए गए अंतर के लिए विशेषता है। हम इसे हल करते हैं और जटिल जड़ें प्राप्त करते हैं
,
. कार्यों
तथा
अवकल समीकरण के रैखिकतः स्वतंत्र हल हैं। इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है।

मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं, अर्थात्।
. तब समीकरण (2) के हल फलन हैं
तथा
. ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि व्यंजक समान रूप से शून्य के बराबर तभी हो सकता है जब
तथा
. इसलिए, समीकरण (2) के सामान्य समाधान का रूप है
.

उदाहरण 6 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . विशेषता समीकरण
समान जड़ें हैं
. इस मामले में, अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान कार्य हैं
तथा
. सामान्य समाधान का रूप है
.

स्थिर गुणांक वाले अमानवीय दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

और विशेष दाहिनी ओर

रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान (1) सामान्य समाधान के योग के बराबर है
संगत समांगी समीकरण और कोई विशेष हल
अमानवीय समीकरण:
.

कुछ मामलों में, एक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान काफी सरलता से दायीं तरफ के रूप में पाया जा सकता है
समीकरण (1)। आइए मामलों पर विचार करें जब यह संभव हो।

वे। अमानवीय समीकरण का दाहिना भाग घात का एक बहुपद है एम. यदि एक
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो घात के बहुपद के रूप में अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल खोजा जाना चाहिए एम, अर्थात।

कठिनाइयाँ
एक विशेष समाधान खोजने की प्रक्रिया में निर्धारित होते हैं।

यदि
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल के रूप में मांगा जाना चाहिए

उदाहरण 7 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . इस समीकरण के लिए संगत सजातीय समीकरण है
. इसकी विशेषता समीकरण
जड़ें हैं
तथा
. सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

इसलिये
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो हम एक फलन के रूप में अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल खोजेंगे
. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें
,
और उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या । गुणांकों की बराबरी करें और मुक्त सदस्य:
इस प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं
,
. तब अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होता है
, और इस अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और अमानवीय के विशेष समाधान का योग होगा:
.

माना अमानवीय समीकरण का रूप है

यदि एक
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान रूप में मांगा जाना चाहिए। यदि
अभिलक्षणिक बहुलता समीकरण का मूल है क (क=1 या क= 2), तो इस मामले में अमानवीय समीकरण के विशेष समाधान का रूप होगा।

उदाहरण 8 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . संगत सजातीय समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का रूप है
. इसकी जड़ें
,
. इस मामले में, संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाता है:
.

चूँकि संख्या 3 अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, अत: अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल के रूप में खोजा जाना चाहिए।
. आइए पहले और दूसरे ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजें :,

अवकल समीकरण में रखें:
+ +,
+,.

गुणांकों की बराबरी करें और मुक्त सदस्य:

यहाँ से
,
. तब इस समीकरण के एक विशेष हल का रूप होता है
, और सामान्य समाधान

.

स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की लैग्रेंज विधि

मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को स्थिर गुणांक वाले किसी भी अमानवीय रैखिक समीकरण पर लागू किया जा सकता है, भले ही दाईं ओर का रूप कुछ भी हो। यह विधि हमेशा एक अमानवीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजना संभव बनाती है यदि संबंधित समरूप समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात हो।

होने देना
तथा
समीकरण (2) के रैखिकतः स्वतंत्र हल हैं। तब इस समीकरण का सामान्य हल है
, कहाँ पे तथा
मनमानी स्थिरांक हैं। स्वेच्छ अचरों की भिन्नता की विधि का सार यह है कि समीकरण (1) का सामान्य हल इस रूप में खोजा जाता है

कहाँ पे
तथा
- नई अज्ञात विशेषताएं मिलनी हैं। चूँकि दो अज्ञात फलन हैं, उन्हें खोजने के लिए इन फलनों वाले दो समीकरणों की आवश्यकता होती है। ये दो समीकरण सिस्टम बनाते हैं

जो के संबंध में समीकरणों की एक रैखिक बीजगणितीय प्रणाली है
तथा
. इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
तथा
. प्राप्त समानता के दोनों भागों को एकीकृत करने पर, हम पाते हैं

तथा
.

इन व्यंजकों को (9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अमानवीय रैखिक समीकरण (1) का सामान्य हल प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 9 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान। दिए गए अवकल समीकरण के संगत समांगी समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण है
. इसकी जड़ें जटिल हैं
,
. इसलिये
तथा
, फिर
,
, और सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है तब इस अमानवीय समीकरण का सामान्य हल इस रूप में खोजा जाएगा जहां
तथा
- अज्ञात कार्य।

इन अज्ञात कार्यों को खोजने के लिए समीकरणों की प्रणाली का रूप है

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
,
. फिर

,
. आइए हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को सामान्य समाधान सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

लैग्रेंज विधि द्वारा प्राप्त इस अवकल समीकरण का यह सामान्य हल है।

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

किस अवकल समीकरण को अचर गुणांकों वाला द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

कौन-सा रैखिक अवकल समीकरण समघात कहलाता है और कौन-सा गैर-समघात समीकरण कहलाता है?

एक रैखिक सजातीय समीकरण के गुण क्या हैं?

रेखीय अवकल समीकरण के लिए कौन-सा समीकरण अभिलक्षणिक कहलाता है और इसे कैसे प्राप्त किया जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के विभिन्न मूलों के मामले में अचर गुणांकों वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

मामले में लिखे गए निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान किस रूप में होता है बराबर जड़ेंविशेषता समीकरण?

अभिलक्षणिक समीकरण के सम्मिश्र मूलों के मामले में अचर गुणांकों वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य हल कैसे लिखा जाता है?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में मांगा जाता है यदि विशेषता समीकरण की जड़ें अलग हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं, और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है एम?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में मांगा जाता है यदि विशेषता समीकरण की जड़ों में एक शून्य है, और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है एम?

लैग्रेंज विधि का सार क्या है?

दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण।
स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का रैखिक DE।
समाधान उदाहरण।

आइए विचार पर चलते हैं विभेदक समीकरणउच्च कोटि के द्वितीय कोटि और अवकल समीकरण। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि अंतर समीकरण क्या है (या समझ में नहीं आता कि यह क्या है), तो मैं पाठ से शुरू करने की सलाह देता हूं पहले क्रम के अंतर समीकरण। समाधान उदाहरण. कई समाधान सिद्धांत और प्रथम-क्रम भिन्नता की बुनियादी अवधारणाएं स्वचालित रूप से उच्च-क्रम अंतर समीकरणों तक विस्तारित हो जाती हैं, इसलिए पहले क्रम के समीकरणों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है.

कई पाठकों के मन में यह पूर्वाग्रह हो सकता है कि दूसरे, तीसरे और अन्य आदेशों का DE बहुत कठिन और महारत हासिल करने के लिए दुर्गम है। यह सच नहीं है . डिफ्यूज़ को हल करना सीखें उच्च आदेश"साधारण" प्रथम क्रम DEs की तुलना में शायद ही अधिक जटिल है. और कुछ जगहों पर यह और भी आसान है, क्योंकि निर्णयों में स्कूली पाठ्यक्रम की सामग्री का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।

सबसे लोकप्रिय दूसरा क्रम अंतर समीकरण. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण में आवश्यक रूप सेदूसरा व्युत्पन्न शामिल है और शामिल नहीं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ बच्चे (और यहां तक ​​कि सभी एक बार में) समीकरण से गायब हो सकते हैं, यह महत्वपूर्ण है कि पिता घर पर थे। सबसे आदिम द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण इस तरह दिखता है:

मेरे व्यक्तिपरक टिप्पणियों के अनुसार, व्यावहारिक कार्यों में तीसरे क्रम के अंतर समीकरण बहुत कम आम हैं राज्य ड्यूमाउन्हें लगभग 3-4% वोट मिलेंगे।

तीसरे क्रम के अंतर समीकरण में आवश्यक रूप सेतीसरा व्युत्पन्न शामिल है और शामिल नहींउच्च आदेश के डेरिवेटिव:

तीसरे क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण इस तरह दिखता है: - पिताजी घर पर हैं, सभी बच्चे टहलने के लिए बाहर हैं।

इसी तरह, चौथे, पांचवें और उच्च क्रम के अंतर समीकरणों को परिभाषित किया जा सकता है। पर व्यावहारिक कार्यइस तरह के रिमोट कंट्रोल बहुत कम फिसलते हैं, हालांकि, मैं प्रासंगिक उदाहरण देने की कोशिश करूंगा।

व्यावहारिक समस्याओं में प्रस्तावित उच्च क्रम के अंतर समीकरणों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है।

1) पहला समूह - तथाकथित निचले क्रम के समीकरण. में उड़ें!

2) दूसरा समूह - निरंतर गुणांक वाले उच्च-क्रम रैखिक समीकरण. जिस पर हम अभी विचार करना शुरू करेंगे।

दूसरा क्रम रैखिक विभेदक समीकरण
निरंतर गुणांक के साथ

सिद्धांत और व्यवहार में, दो प्रकार के ऐसे समीकरण प्रतिष्ठित हैं - सजातीय समीकरणतथा अमानवीय समीकरण.

निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का सजातीय DEनिम्नलिखित रूप है:
, जहां और स्थिरांक (संख्याएं) हैं, और दाईं ओर - सख्ती सेशून्य।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सजातीय समीकरणों के साथ कोई विशेष कठिनाइयां नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि द्विघात समीकरण को सही ढंग से हल करें.

कभी-कभी गैर-मानक सजातीय समीकरण होते हैं, उदाहरण के लिए, फॉर्म में एक समीकरण , जहां दूसरे व्युत्पन्न पर कुछ स्थिर है, एकता से अलग (और, ज़ाहिर है, शून्य से अलग)। समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल नहीं बदलता है, किसी को शांति से विशेषता समीकरण की रचना करनी चाहिए और इसकी जड़ों को खोजना चाहिए। यदि विशेषता समीकरण दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होंगी, उदाहरण के लिए: , तो सामान्य समाधान सामान्य तरीके से लिखा जा सकता है: .

कुछ मामलों में, स्थिति में एक टाइपो के कारण, "खराब" जड़ें निकल सकती हैं, कुछ इस तरह . क्या करें, जवाब कुछ इस तरह लिखना होगा:

"खराब" के साथ जटिल जड़ों को संयुग्मित करें जैसे कोई समस्या नहीं, सामान्य समाधान:

वह है, किसी भी मामले में एक सामान्य समाधान मौजूद है. क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं।

अंतिम पैराग्राफ में, जैसा कि मैंने वादा किया था, हम संक्षेप में विचार करेंगे:

उच्च क्रम रैखिक सजातीय समीकरण

सब कुछ बहुत, बहुत समान है।

तीसरे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण के निम्नलिखित रूप हैं:
, जहां स्थिरांक हैं।
इस समीकरण के लिए, आपको एक अभिलक्षणिक समीकरण भी बनाना होगा और इसके मूल ज्ञात करने होंगे। जैसा कि कई लोगों ने अनुमान लगाया है, विशेषता समीकरण इस तरह दिखता है:
, और यह वैसे भीयह है ठीक तीनजड़।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, सभी जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं: , तो सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि एक मूल वास्तविक है, और अन्य दो संयुग्मी सम्मिश्र हैं, तो हम सामान्य हल इस प्रकार लिखते हैं:

एक विशेष स्थिति तब होती है जब तीनों मूल गुणज (समान) हों। आइए एक अकेले पिता के साथ तीसरे क्रम के सबसे सरल सजातीय DE पर विचार करें: . अभिलक्षणिक समीकरण के तीन संपाती शून्य मूल हैं। हम सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

यदि विशेषता समीकरण उदाहरण के लिए, तीन बहुमूल हैं, तो सामान्य समाधान, क्रमशः, है:

उदाहरण 9

तीसरे क्रम के समांगी अवकल समीकरण को हल करें

समाधान:हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:

, - एक वास्तविक जड़ और दो संयुग्मी सम्मिश्र जड़ें प्राप्त होती हैं।

उत्तर:सामान्य निर्णय

इसी तरह, हम स्थिर गुणांक वाले रैखिक सजातीय चौथे क्रम के समीकरण पर विचार कर सकते हैं: जहां स्थिरांक हैं।

स्थिर गुणांक (पीसी) के साथ दूसरे क्रम (LNDE-2) के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के मूल सिद्धांत

निरंतर गुणांक $p$ और $q$ के साथ एक दूसरे क्रम के CLDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left( x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ दूसरे एलएनडीई के संबंध में निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना विशेष समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का एक सामान्य समाधान (OR) है। तब OR का LNDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, अर्थात $y=U+Y$।

यदि दूसरे क्रम LIDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\बाएं(x\दाएं)=f_(1) \बाएं(x\दाएं)+f_(2) \बाएं(x\दाएं) )+। ..+f_(r) \left(x\right)$, फिर पहले आप PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ पा सकते हैं जो प्रत्येक के अनुरूप है कार्यों के $f_( 1) \बाएं(x\दाएं),f_(2) \बाएं(x\दाएं),...,f_(r) \बाएं(x\दाएं)$, और उसके बाद लिखें एलएनडीई-2 पीडी $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में।

पीसी के साथ दूसरे क्रम एलएनडीई का समाधान

जाहिर है, किसी दिए गए LNDE-2 के एक या दूसरे PD $U$ का रूप इसके दाहिने हाथ $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। एलएनडीई-2 के पीडी की खोज के सरलतम मामलों को निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किया गया है।

नियम संख्या 1।

दायां भागएलएनडीई-2 का फॉर्म $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, यानी इसे डिग्री $ का बहुपद कहा जाता है एन $। फिर इसका PR $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का बहुपद, और $r$ संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (NC) की विधि द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

नियम संख्या 2।

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \बाएं(x\दाएं)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) ) \ left(x\right)$ उसी डिग्री का एक और बहुपद है जो $P_(n) \left(x\right)$ के समान है, और $r$ संबंधित LODE-2 की विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\ अल्फा $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NK विधि द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

नियम संख्या 3.

LNDE-2 के दाहिने हिस्से का रूप है $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, जहां $a$, $b$ और $\beta $ ज्ञात संख्याएं हैं। फिर इसके PD $U$ को $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) के रूप में खोजा जाता है )\right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ $i\cdot के बराबर संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है \ बीटा $। गुणांक $A$ और $B$ NDT विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम संख्या 4.

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ का रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है डिग्री $ n$ का एक बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ डिग्री $m$ का बहुपद है। फिर इसके PD $U$ को $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में खोजा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right) $ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ के बहुपद हैं, संख्या $s$ अधिकतम दो संख्याएं $n$ और $m$ है, और $r$ की संख्या है संबंधित LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NK विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनडीटी पद्धति में आवेदन करना शामिल है अगला नियम. बहुपद के अज्ञात गुणांक खोजने के लिए, जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDE-2 के विशेष समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• में लिखे PD $U$ को प्रतिस्थापित करें सामान्य दृष्टि से, LNDU-2 के बाईं ओर;
• LNDE-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें $x$;
• परिणामी पहचान में, समान घात वाले पदों के गुणांकों को बाएँ और दाएँ पक्षों के $x$ के साथ समान करें;
• परिणामी प्रणाली को हल करें रेखीय समीकरणअज्ञात गुणांक के संबंध में।

उदाहरण 1

कार्य: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ढूंढें। पीआर, $x=0$ के लिए $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ की प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

संबंधित लोडा-2 लिखें: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। विशेषता समीकरण की जड़ें: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। ये जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।

इस LNDE-2 के दाहिने हिस्से का रूप $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है। घातांक $\alpha =3$ के घातांक के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक अभिलक्षणिक समीकरण के किसी मूल से मेल नहीं खाता। इसलिए, इस एलएनडीई-2 के पीआर का रूप $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम NK पद्धति का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की तलाश करेंगे।

हम सीआर का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम सीआर का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\बाएं(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए LNDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के बजाय फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ उसी समय, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x) $ शामिल है सभी घटकों में एक कारक के रूप में, तो इसे छोड़ा जा सकता है।

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर कार्य करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनसी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$।

हमारी समस्या के लिए CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right) ) \cdot e^(3\cdot x) $।

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।

एक पीडी की खोज करने के लिए जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है, हम व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं या:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में प्रारंभिक शर्तों $y=6$ के लिए $x=0$ और $y"=1$ को $x=0$ के लिए प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

हम इसे हल करते हैं। हम $C_(1) $ क्रैमर के सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं, और $C_(2) $ पहले समीकरण से निर्धारित होता है:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(सरणी)(cc) (1) और (1) \\ (-3) और (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\बाएं(-3\दाएं)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण का पीडी है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $।

यहां हम लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता की विधि को रैखिक अमानवीय द्वितीय-क्रम अंतर समीकरणों को हल करने के लिए लागू करते हैं। विस्तृत विवरणमनमाना क्रम के समीकरणों को हल करने की यह विधि पृष्ठ पर दी गई है
लैग्रेंज विधि >>> द्वारा उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय अवकल समीकरणों का हल।

उदाहरण 1

लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता का उपयोग करके स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को हल करें:
(1)

समाधान

सबसे पहले, हम सजातीय अंतर समीकरण को हल करते हैं:
(2)

यह दूसरे क्रम का समीकरण है।

हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
.
एकाधिक जड़ें:। मौलिक प्रणालीसमीकरण के हल (2) का रूप है:
(3) .
इसलिए हम सजातीय समीकरण (2) का सामान्य हल प्राप्त करते हैं:
(4) .

हम स्थिरांक बदलते हैं C 1 और सी 2 . यही है, हम स्थिरांक को प्रतिस्थापित करते हैं और (4) कार्यों के साथ:
.
हम फॉर्म में मूल समीकरण (1) का हल ढूंढ रहे हैं:
(5) .

हम व्युत्पन्न पाते हैं:
.
हम कार्यों और समीकरण को जोड़ते हैं:
(6) .
फिर
.

हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:
.
हम मूल समीकरण (1) में स्थानापन्न करते हैं:
(1) ;



.
चूँकि और समांगी समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं, तो अंतिम तीन पंक्तियों के प्रत्येक स्तंभ के पदों का योग शून्य होता है और पिछला समीकरण बन जाता है:
(7) .
यहां ।

समीकरण (6) के साथ, हम कार्यों को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं और:
(6) :
(7) .

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

हम समीकरणों की प्रणाली (6-7) को हल करते हैं। आइए कार्यों के लिए अभिव्यक्ति लिखें और:
.
हम उनके डेरिवेटिव पाते हैं:
;
.

हम क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली (6-7) को हल करते हैं। हम सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं:

.
क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:
;
.

इसलिए, हमें कार्यों के व्युत्पन्न मिले:
;
.
आइए एकीकृत करें (जड़ों को एकीकृत करने के तरीके देखें)। एक प्रतिस्थापन बनाना
; ; ; .

.
.

;
.

उत्तर

उदाहरण 2

लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा अवकल समीकरण को हल करें:
(8)

समाधान

चरण 1. समांगी समीकरण का हल

हम एक सजातीय अंतर समीकरण हल करते हैं:

(9)
फॉर्म में समाधान की तलाश है। हम विशेषता समीकरण की रचना करते हैं:

इस समीकरण की जटिल जड़ें हैं:
.
इन जड़ों के अनुरूप समाधान की मूलभूत प्रणाली का रूप है:
(10) .
सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान (9):
(11) .

चरण 2. स्थिरांक का परिवर्तन - स्थिरांक को कार्यों से बदलना

अब हम अचर C . को बदलते हैं 1 और सी 2 . यही है, हम स्थिरांक (11) में कार्यों के साथ प्रतिस्थापित करते हैं:
.
हम इस रूप में मूल समीकरण (8) का हल ढूंढ रहे हैं:
(12) .

इसके अलावा, समाधान का पाठ्यक्रम उदाहरण 1 जैसा ही है। हम कार्यों को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर पहुंचते हैं और:
(13) :
(14) .
यहां ।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

आइए इस प्रणाली को हल करें। आइए कार्यों के भाव लिखें और:
.
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
;
.

हम क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली (13-14) को हल करते हैं। सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक:

.
क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:
;
.

.
तब से, लघुगणक चिह्न के तहत मापांक चिह्न छोड़ा जा सकता है। अंश और हर को इससे गुणा करें:
.
फिर
.

मूल समीकरण का सामान्य हल:


.