भौतिकी की कुछ समस्याओं में, प्रक्रिया का वर्णन करने वाली राशियों के बीच सीधा संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के डेरिवेटिव युक्त समानता प्राप्त करने की संभावना है। यह कैसे है विभेदक समीकरणऔर अज्ञात फलन को खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता है।

यह आलेख उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात कार्य एक चर का कार्य है। सिद्धांत इस तरह से बनाया गया है कि अंतर समीकरणों की शून्य समझ के साथ आप अपना काम कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रकार के अवकल समीकरण एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं जिसमें विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं की विस्तृत व्याख्या और समाधान होते हैं। आपको केवल अपनी समस्या के अवकल समीकरण के प्रकार को निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषित उदाहरण ढूँढ़ना है और समान क्रियाएँ करनी हैं।

विभेदक समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको विभिन्न कार्यों के एंटीडेरिवेटिव्स (अनिश्चित इंटीग्रल) के सेट खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, प्रथम-क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करें जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ODEs पर आगे बढ़ेंगे, फिर हम उच्च-क्रम के समीकरणों पर ध्यान केन्द्रित करेंगे और अंतर समीकरणों की प्रणालियों के साथ समाप्त करेंगे।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फलन है।

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण।

फॉर्म के पहले क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण।

आइए हम ऐसे DE के कई उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण समानता के दोनों पक्षों को f(x) से भाग देकर अवकलज के संबंध में हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो f(x) ≠ 0 के लिए मूल समीकरण के समतुल्य होगा। ऐसे ओडीई के उदाहरण हैं।

यदि तर्क x के मान हैं जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। अतिरिक्त समाधानसमीकरण दिया गया x उन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई कार्य है। ऐसे अंतर समीकरणों के उदाहरण हैं।

दूसरा क्रम अंतर समीकरण।

के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण स्थिर गुणांक.

निरंतर गुणांक वाला LODE एक बहुत ही सामान्य प्रकार का अवकल समीकरण है। उनका समाधान विशेष कठिन नहीं है। सबसे पहले जड़ें मिलती हैं विशेषता समीकरण . भिन्न p और q के लिए, तीन स्थितियाँ संभव हैं: अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संपाती हो सकते हैं या जटिल संयुग्म। अभिलाक्षणिक समीकरण के मूलों के मानों के आधार पर लिखा जाता है सामान्य निर्णयअंतर समीकरण के रूप में , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें। उसके चारित्रिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले LDE का सामान्य समाधान है


लगातार गुणांक के साथ रेखीय गैर-समान द्वितीय क्रम विभेदक समीकरण।

निरंतर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LIDE का सामान्य समाधान संबंधित LODE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है और मूल असमघात समीकरण का एक विशेष हल, अर्थात . पिछला पैराग्राफ निरंतर गुणांक वाले एक सजातीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को खोजने के लिए समर्पित है। और एक विशेष समाधान या तो मूल समीकरण के दाईं ओर खड़े फ़ंक्शन f (x) के एक निश्चित रूप के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है, या मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LIDE के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं


सिद्धांत को समझें और खुद को परिचित करें विस्तृत निर्णयउदाहरण हम आपको निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक विषम अवकल समीकरणों के पृष्ठ पर प्रदान करते हैं।

रेखीय सजातीय विभेदक समीकरण (LODEs) और दूसरे क्रम के रैखिक विषम अंतर समीकरण (एलएनडीई)।

इस प्रकार के अंतर समीकरणों का एक विशेष मामला निरंतर गुणांक वाले LODE और LODE हैं।

एक निश्चित अंतराल पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधानों y1 और y2 के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

इस प्रकार के अवकल समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में मुख्य कठिनाई सटीक रूप से निहित है। आम तौर पर, विशेष समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों की निम्नलिखित प्रणालियों से चुने जाते हैं:


हालाँकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LODU का एक उदाहरण है .

LIDE का सामान्य समाधान फॉर्म में मांगा गया है, जहां संबंधित LODE का सामान्य समाधान है, और मूल अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान है। हमने अभी खोजने के बारे में बात की थी, लेकिन यह मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

LNDE का एक उदाहरण है .

उच्च क्रम अंतर समीकरण।

क्रम में कमी को स्वीकार करने वाले विभेदक समीकरण।

अंतर समीकरण का क्रम , जिसमें k-1 क्रम तक वांछित फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं, को प्रतिस्थापित करके n-k तक कम किया जा सकता है।

इस मामले में, और मूल अंतर समीकरण कम हो जाता है। इसका समाधान पी (एक्स) खोजने के बाद, यह प्रतिस्थापन पर वापस लौटने और अज्ञात फ़ंक्शन y निर्धारित करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण प्रतिस्थापन के बाद एक वियोज्य समीकरण बन जाता है, और इसका क्रम तीसरे से पहले तक कम हो जाता है।

सजातीय

इस पाठ में हम तथाकथित देखेंगे पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरण. साथ वियोज्य चर समीकरणऔर रैखिक विषम समीकरणइस प्रकार का रिमोट कंट्रोल लगभग सभी में पाया जाता है नियंत्रण कार्यप्रसार के विषय पर। यदि आपने किसी खोज इंजन से पृष्ठ दर्ज किया है या अंतर समीकरणों में बहुत आश्वस्त नहीं हैं, तो पहले मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप विषय पर एक परिचयात्मक पाठ तैयार करें - प्रथम कोटि के अवकल समीकरण. तथ्य यह है कि सजातीय समीकरणों को हल करने के लिए कई सिद्धांत और उपयोग की जाने वाली तकनीकें अलग-अलग चर वाले सबसे सरल समीकरणों के समान ही होंगी।

सजातीय अंतर समीकरणों और अन्य प्रकार के DE के बीच क्या अंतर है? एक ठोस उदाहरण के साथ तुरंत व्याख्या करना सबसे आसान है।

उदाहरण 1

समाधान:
क्या पहले तोनिर्णय लेते समय विश्लेषण किया जाना चाहिए कोईअंतर समीकरण पहले के आदेश? सबसे पहले, यह जांचना आवश्यक है कि क्या "स्कूल" क्रियाओं का उपयोग करके चर को तुरंत अलग करना संभव है? आमतौर पर ऐसा विश्लेषण मानसिक रूप से किया जाता है या किसी मसौदे में चर को अलग करने की कोशिश की जाती है।

इस उदाहरण में चरों को अलग नहीं किया जा सकता(आप शर्तों को एक भाग से दूसरे भाग में फ़्लिप करने का प्रयास कर सकते हैं, कारकों को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं, आदि)। वैसे, इस उदाहरण में, तथ्य यह है कि कारक की उपस्थिति के कारण चर को विभाजित नहीं किया जा सकता है।

सवाल उठता है - इस डिफरेंशियल को कैसे सॉल्व करें?

जांच करने की जरूरत है और क्या यह समीकरण सजातीय है?? सत्यापन सरल है, और सत्यापन एल्गोरिथम स्वयं निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

मूल समीकरण के लिए:

के बजायविकल्प , के बजायविकल्प , व्युत्पन्न स्पर्श न करें:

अक्षर लैम्ब्डा एक सशर्त पैरामीटर है, और यहाँ यह निम्नलिखित भूमिका निभाता है: यदि, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सभी लैम्ब्डा को "नष्ट" करना और मूल समीकरण प्राप्त करना संभव है, तो यह अंतर समीकरण सजातीय है.

जाहिर है, लैम्ब्डा तुरंत एक्सपोनेंट में रद्द हो जाता है:

अब, दाईं ओर, हम लैम्ब्डा को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं:

और दोनों भागों को इसी लैम्ब्डा से विभाजित करें:

नतीजतन सभीलैम्ब्डा एक सपने की तरह गायब हो गया, सुबह की धुंध की तरह, और हमें मूल समीकरण मिल गया।

निष्कर्ष:यह समीकरण सजातीय है

एक सजातीय अंतर समीकरण को कैसे हल करें?

मेरे पास बहुत अच्छी खबर है। बिल्कुल सभी सजातीय समीकरणों को एक (!) मानक प्रतिस्थापन के साथ हल किया जा सकता है।

"वाई" समारोह चाहिए बदलना कामकुछ समारोह ("x" पर भी निर्भर)और "एक्स":

लगभग हमेशा संक्षेप में लिखें:

हमें पता चलता है कि इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ व्युत्पन्न क्या हो जाएगा, हम उत्पाद को अलग करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं। तो अगर:

मूल समीकरण में स्थानापन्न:

ऐसा प्रतिस्थापन क्या देगा? इस प्रतिस्थापन और किए गए सरलीकरण के बाद, हम गारंटीहम वियोज्य चर के साथ एक समीकरण प्राप्त करते हैं। याद करनापहले प्यार की तरह :) और, तदनुसार, .

प्रतिस्थापन के बाद, हम अधिकतम सरलीकरण करते हैं:

चूंकि एक ऐसा कार्य है जो "x" पर निर्भर करता है, तो इसका व्युत्पन्न मानक अंश के रूप में लिखा जा सकता है:।
इस प्रकार:

हम चर को अलग करते हैं, जबकि बाईं ओर आपको केवल "ते", और दाईं ओर - केवल "x" एकत्र करने की आवश्यकता होती है:

चर अलग हो गए हैं, हम एकीकृत करते हैं:


लेख से मेरी पहली टेक टिप के अनुसार प्रथम कोटि के अवकल समीकरणकई मामलों में लघुगणक के रूप में एक स्थिरांक को "बनाना" समीचीन होता है।

समीकरण एकीकृत होने के बाद, आपको बाहर ले जाने की आवश्यकता है रिवर्स प्रतिस्थापन, यह मानक और अद्वितीय भी है:
तो अगर
इस मामले में:

20 में से 18-19 मामलों में, सजातीय समीकरण का समाधान सामान्य अभिन्न के रूप में लिखा गया है.

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

समांगी समीकरण का उत्तर लगभग हमेशा एक सामान्य समाकल के रूप में क्यों दिया जाता है?
ज्यादातर मामलों में, "वाई" को एक स्पष्ट रूप में (सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए) व्यक्त करना असंभव है, और यदि यह संभव है, तो अक्सर सामान्य समाधान बोझिल और अनाड़ी हो जाता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, विचार किए गए उदाहरण में, सामान्य समाकलन के दोनों भागों पर लघुगणक लटकाकर सामान्य समाधान प्राप्त किया जा सकता है:

- ठीक है, अभी भी ठीक है। हालाँकि, आप देखते हैं, यह अभी भी टेढ़ा है।

वैसे, इस उदाहरण में, मैंने पूरी तरह से "सभ्यतापूर्वक" सामान्य समाकलन नहीं लिखा। यह कोई गलती नहीं है, लेकिन एक "अच्छी" शैली में, मैं आपको याद दिलाता हूं, सामान्य अभिन्न को फॉर्म में लिखने की प्रथा है। ऐसा करने के लिए, समीकरण को एकीकृत करने के तुरंत बाद, स्थिरांक को बिना किसी लघुगणक के लिखा जाना चाहिए (यह नियम का अपवाद है!):

और रिवर्स प्रतिस्थापन के बाद, "शास्त्रीय" रूप में सामान्य अभिन्न प्राप्त करें:

प्राप्त उत्तर की जाँच की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, आपको सामान्य अभिन्न को अलग करने की आवश्यकता है, अर्थात खोजें निहित रूप से परिभाषित एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को निम्न से गुणा करके भिन्नों से छुटकारा पाएं:

मूल अंतर समीकरण प्राप्त किया गया है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया गया है।

हमेशा जांच करने की सलाह दी जाती है। लेकिन सजातीय समीकरण अप्रिय हैं क्योंकि आमतौर पर उनके सामान्य अभिन्नों की जांच करना मुश्किल होता है - इसके लिए एक बहुत ही सभ्य भेदभाव तकनीक की आवश्यकता होती है। विचार किए गए उदाहरण में, सत्यापन के दौरान, सबसे सरल डेरिवेटिव नहीं खोजना पहले से ही आवश्यक था (हालांकि उदाहरण स्वयं काफी सरल है)। यदि आप इसकी जांच कर सकते हैं, तो इसे देखें!

उदाहरण 2

एकरूपता के लिए समीकरण की जाँच करें और इसका सामान्य समाकल ज्ञात करें।

उत्तर फॉर्म में लिखें

यह एक स्वतंत्र निर्णय के लिए एक उदाहरण है - ताकि आप स्वयं क्रियाओं के एल्गोरिथम के अभ्यस्त हो जाएँ। अपने अवकाश पर जाँच करें, क्योंकि। यहाँ यह काफी जटिल है, और मैंने इसे लाना भी शुरू नहीं किया है, अन्यथा आप अब ऐसे पागल नहीं होंगे :)

और अब वादा किया गया महत्वपूर्ण बिंदु, जिसका उल्लेख बहुत ही किया गया है विषय की शुरुआत,
मोटे काले अक्षरों में:

यदि परिवर्तनों के दौरान हम कारक को "रीसेट" करते हैं (स्थिर नहीं)भाजक के लिए, तो हम समाधान खोने का जोखिम उठाते हैं!

और वास्तव में, हमने पहले ही उदाहरण में इसका सामना किया। अंतर समीकरणों पर परिचयात्मक पाठ. समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, "y" भाजक में निकला: , लेकिन, जाहिर है, DE का एक समाधान है, और एक गैर-समतुल्य परिवर्तन (विभाजन) के परिणामस्वरूप, हर मौका है इसे खोने का! एक और बात यह है कि यह स्थिरांक के शून्य मान पर सामान्य समाधान में प्रवेश करता है। भाजक के लिए "x" को रीसेट करना भी अनदेखा किया जा सकता है, क्योंकि मूल प्रसार को संतुष्ट नहीं करता है।

उसी पाठ के तीसरे समीकरण के साथ एक समान कहानी, जिसके समाधान के दौरान हम भाजक में "गिराए" गए। कड़ाई से बोलना, यहाँ यह जाँचना आवश्यक था कि क्या दिया गया विसरण एक हल है? आखिर यह है! लेकिन यहाँ भी "सब कुछ काम कर गया", क्योंकि यह फ़ंक्शन सामान्य अभिन्न में प्रवेश कर गया पर ।

और अगर यह अक्सर "वियोज्य" समीकरणों के मामले में होता है;) यह "रोल" करता है, तो सजातीय और कुछ अन्य भिन्नताओं के साथ यह "रोल नहीं" हो सकता है। उच्च संभावना के साथ।

आइए इस पाठ में पहले से हल की गई समस्याओं का विश्लेषण करें: उदाहरण 1एक्स का "रीसेट" था, हालांकि, यह समीकरण का समाधान नहीं हो सकता। लेकिन में उदाहरण 2हम में विभाजित , लेकिन यह भी "दूर हो गया": चूंकि समाधान खो नहीं सकते थे, वे बस यहां मौजूद नहीं हैं। लेकिन, निश्चित रूप से, मैंने "खुशहाल मामलों" को विशेष रूप से व्यवस्थित किया, और यह एक तथ्य नहीं है कि वे व्यवहार में आएंगे:

उदाहरण 3

अंतर समीकरण हल करें

क्या यह एक साधारण उदाहरण नहीं है? ;-)

समाधान:इस समीकरण की समरूपता स्पष्ट है, लेकिन फिर भी - पहले कदम परहमेशा जांचें कि क्या चर अलग किए जा सकते हैं। समीकरण के लिए भी सजातीय है, लेकिन इसमें चर चुपचाप अलग हो गए हैं। हां वहां कुछ है!

"पृथक्करणीयता" की जाँच करने के बाद, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं और जितना संभव हो उतना समीकरण को सरल करते हैं:

हम चर को अलग करते हैं, बाईं ओर हम "ते" एकत्र करते हैं, दाईं ओर - "x":

और यहाँ STOP है। द्वारा विभाजित करते समय हम एक साथ दो कार्यों को खोने का जोखिम उठाते हैं। चूंकि, तब ये कार्य हैं:

पहला कार्य स्पष्ट रूप से समीकरण का हल है . हम दूसरे की जाँच करते हैं - हम इसके व्युत्पन्न को अपने भिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि फलन एक हल है।

और हम इन फैसलों को खोने का जोखिम उठाते हैं.

इसके अलावा, भाजक "X" था, हालाँकि, प्रतिस्थापन का अर्थ है कि यह गैर-शून्य है। इस तथ्य को याद रखें। लेकिन! जांच अवश्य करें, क्या मूल अवकल समीकरण का हल है। नहीं का विकल्प नहीं है।

आइए इन सब पर ध्यान दें और जारी रखें:

यह कहा जाना चाहिए कि हम बाईं ओर के अभिन्न अंग के साथ भाग्यशाली थे, यह बहुत बुरा होता है।

हम दाईं ओर एक एकल लघुगणक एकत्र करते हैं, और झोंपड़ियों को रीसेट करते हैं:

और अभी व्युत्क्रम प्रतिस्थापन:

सभी शब्दों को इससे गुणा करें:

अब जांच के लिए- क्या "खतरनाक" समाधान सामान्य अभिन्न में शामिल हैं. हां, दोनों समाधान सामान्य अभिन्न में स्थिरांक के शून्य मान पर शामिल हैं: इसलिए उन्हें अतिरिक्त रूप से इंगित करने की आवश्यकता नहीं है उत्तर:

सामान्य अभिन्न:

इंतिहान. परीक्षा भी नहीं, लेकिन शुद्ध आनंद :)

मूल अंतर समीकरण प्राप्त किया गया है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया गया है।

स्टैंडअलोन समाधान के लिए:

उदाहरण 4

समरूपता परीक्षण करें और अंतर समीकरण को हल करें

सामान्य समाकलन को विभेदीकरण द्वारा जांचा जा सकता है।

पूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

कुछ उदाहरणों पर विचार करें जहां एक सजातीय समीकरण पहले से तैयार अंतरों के साथ दिया गया है।

उदाहरण 5

अंतर समीकरण हल करें

ये बहुत दिलचस्प उदाहरणसीधे तौर पर पूरी थ्रिलर!

समाधानहम इसे और अधिक कॉम्पैक्ट बनाने के आदी हो जाएंगे। सबसे पहले, मानसिक रूप से या एक मसौदे पर, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि चर को यहाँ विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसके बाद हम एकरूपता की जाँच करते हैं - यह आमतौर पर एक साफ प्रति पर नहीं किया जाता है (जब तक विशेष रूप से आवश्यक न हो). इस प्रकार, लगभग हमेशा समाधान प्रविष्टि के साथ शुरू होता है: " यह समीकरण सजातीय है, आइए एक प्रतिस्थापन करें: ...».

यदि एक सजातीय समीकरण में तैयार किए गए अंतर होते हैं, तो इसे संशोधित प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सकता है:

लेकिन मैं इस तरह के प्रतिस्थापन का उपयोग करने की सलाह नहीं देता, क्योंकि यह अंतर की चीन की महान दीवार बन जाएगी, जहां आपको एक आंख और एक आंख की जरूरत है। तकनीकी दृष्टिकोण से, व्युत्पन्न के "धराशायी" पदनाम पर स्विच करना अधिक लाभप्रद है, इसके लिए हम समीकरण की सभी शर्तों को विभाजित करते हैं:

और यहाँ पहले से ही हमने एक "खतरनाक" परिवर्तन किया है!शून्य अंतर से मेल खाता है - अक्ष के समानांतर रेखाओं का एक परिवार। क्या ये हमारे डीयू के मूल हैं? मूल समीकरण में स्थानापन्न:

यह समानता सत्य है यदि, अर्थात, विभाजित करते समय हम हल खोने का जोखिम उठाते हैं, और हमने इसे खो दिया- इसकी वजह यह अब संतुष्ट नहीं हैपरिणामी समीकरण .

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि हम शुरू मेंसमीकरण दिया गया था , तो जड़ प्रश्न से बाहर होगी। लेकिन हमारे पास है, और हमने इसे समय पर "पकड़ा"।

हम मानक प्रतिस्थापन के साथ समाधान जारी रखते हैं:
:

प्रतिस्थापन के बाद, हम समीकरण को यथासंभव सरल करते हैं:

अलग चर:

और यहाँ फिर से रुकें: विभाजित करते समय हम दो कार्यों को खोने का जोखिम उठाते हैं। चूंकि, तब ये कार्य हैं:

जाहिर है, पहला कार्य समीकरण का समाधान है . हम दूसरे की जाँच करते हैं - हम स्थानापन्न और इसके व्युत्पन्न:

- प्राप्त सच्ची समानता, अतः फलन भी अवकल समीकरण का एक हल है।

और विभाजित करते समय हम इन समाधानों को खोने का जोखिम उठाते हैं। हालांकि, वे एक सामान्य अभिन्न में प्रवेश कर सकते हैं। लेकिन वे प्रवेश नहीं कर सकते।

आइए इस पर ध्यान दें और दोनों भागों को एकीकृत करें:

बायीं ओर के समाकल का उपयोग करके मानक रूप से हल किया जाता है एक पूर्ण वर्ग का चयन, लेकिन डिफ्यूज़र में इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है अनिश्चित गुणांक की विधि:

अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करते हुए, हम पूर्णांक को प्राथमिक अंशों के योग में विस्तारित करते हैं:


इस प्रकार:

हम अभिन्न पाते हैं:

- चूँकि हमने केवल लघुगणक बनाए हैं, हम स्थिरांक को भी लघुगणक के अंतर्गत धकेलते हैं।

प्रतिस्थापन से पहले सरलीकृत की जा सकने वाली हर चीज को फिर से सरल करें:

गिरती हुई जंजीरें:

और उलटा प्रतिस्थापन:

अब हम "नुकसान" को याद करते हैं: समाधान ने सामान्य अभिन्न में प्रवेश किया, लेकिन - "कैश रजिस्टर से उड़ गया", क्योंकि हर में दिखाई दिया। इसलिए, उत्तर में, इसे एक अलग वाक्यांश से सम्मानित किया जाता है, और हाँ - खोए हुए निर्णय के बारे में मत भूलना, जो कि, नीचे भी निकला।

उत्तर:सामान्य अभिन्न: . अधिक समाधान:

यहाँ सामान्य समाधान व्यक्त करना इतना कठिन नहीं है:
, लेकिन यह पहले से ही दिखावा है।

हालांकि, परीक्षण के लिए सुविधाजनक। आइए व्युत्पन्न खोजें:

और स्थानापन्न समीकरण के बाईं ओर:

- परिणामस्वरूप, समीकरण का दाहिना पक्ष प्राप्त हुआ, जिसे जांचना आवश्यक था।

निम्नलिखित अंतर अपने आप में है:

उदाहरण 6

अंतर समीकरण हल करें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। प्रशिक्षण के लिए एक ही समय में प्रयास करें और यहां सामान्य समाधान व्यक्त करें।

पाठ के अंतिम भाग में, हम इस विषय पर कुछ और विशिष्ट कार्यों पर विचार करेंगे:

उदाहरण 7

अंतर समीकरण हल करें

समाधान:चलो पीटा ट्रैक चलते हैं। यह समीकरण सजातीय है, आइए बदलते हैं:

"एक्स" के साथ सबकुछ क्रम में है, लेकिन स्क्वायर ट्रिनोमियल के बारे में क्या? चूंकि यह कारकों : में अपघटनीय है, तो हम निश्चित रूप से समाधान नहीं खोते हैं। यह हमेशा ऐसा ही रहेगा! बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करें और एकीकृत करें:

यहाँ सरल करने के लिए कुछ भी नहीं है, और इसलिए रिवर्स रिप्लेसमेंट:

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

उदाहरण 8

अंतर समीकरण हल करें

यह स्वयं करने का उदाहरण है।

इसलिए:

गैर-समतुल्य रूपांतरणों के लिए, हमेशा जाँच करें (कम से कम मौखिक रूप से), क्या आप अपने फैसले नहीं खोते हैं!ये परिवर्तन क्या हैं? एक नियम के रूप में, किसी चीज़ से घटाना या किसी चीज़ से भाग देना। इसलिए, उदाहरण के लिए, द्वारा विभाजित करते समय, आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या फलन अवकल समीकरण के हल हैं। साथ ही, इस तरह की जांच की आवश्यकता से विभाजित होने पर पहले ही गायब हो जाता है - इस तथ्य के कारण कि यह विभाजक गायब नहीं होता है।

यहाँ एक और खतरनाक स्थिति है:

यहाँ, से छुटकारा पाने के लिए, यह जाँचना चाहिए कि क्या यह DE का समाधान है। अक्सर, "x", "y" ऐसे कारक के रूप में पाए जाते हैं, और उनके द्वारा कम करने पर, हम उन कार्यों को खो देते हैं जो समाधान के रूप में सामने आ सकते हैं।

दूसरी ओर, यदि कोई वस्तु आरंभ में भाजक में है, तो ऐसी चिंता का कोई कारण नहीं है। इसलिए, एक सजातीय समीकरण में, आपको फलन के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है, क्योंकि यह हर में "घोषित" है।

सूचीबद्ध सूक्ष्मताएं अपनी प्रासंगिकता नहीं खोती हैं, भले ही समस्या में केवल एक विशेष समाधान खोजने की आवश्यकता हो। एक छोटा सा, लेकिन एक मौका है कि हम बिल्कुल आवश्यक विशेष समाधान खो देंगे। क्या यह सच है कॉची समस्यासजातीय समीकरणों के साथ व्यावहारिक कार्यों में, यह शायद ही कभी अनुरोध किया जाता है। हालाँकि, लेख में ऐसे उदाहरण हैं सजातीय करने के लिए कम करने वाले समीकरण, जिसे मैं आपके हल करने के कौशल को मजबूत करने के लिए "गर्म खोज में" अध्ययन करने की सलाह देता हूं।

अधिक जटिल सजातीय समीकरण भी हैं। कठिनाई चर या सरलीकरण के परिवर्तन में नहीं है, बल्कि कठिन या दुर्लभ अभिन्नताओं में है जो चर के पृथक्करण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं। मेरे पास ऐसे सजातीय समीकरणों के समाधान के उदाहरण हैं - बदसूरत अभिन्न और बदसूरत उत्तर। लेकिन हम उनके बारे में बात नहीं करेंगे, क्योंकि अगले पाठों में (नीचे देखें)मेरे पास अभी भी आपको प्रताड़ित करने का समय है, मैं आपको ताजा और आशावादी देखना चाहता हूं!

सफल प्रचार!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान:समरूपता के लिए समीकरण की जाँच करें, इसके लिए मूल समीकरण में के बजायचलो डालते हैं, और के बजायआइए स्थानापन्न करें:

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि यह DE सजातीय है।

रुकना! आइए फिर भी इस जटिल सूत्र को समझने का प्रयास करें।

पहले स्थान पर कुछ गुणांक के साथ डिग्री में पहला चर होना चाहिए। हमारे मामले में, यह

हमारे मामले में यह है। जैसा कि हमें पता चला, इसका मतलब है कि यहाँ पहले चर के लिए डिग्री अभिसरित होती है। और पहली डिग्री में दूसरा चर जगह में है। गुणांक।

हमारे पास है।

पहला चर घातीय है, और दूसरा चर एक गुणांक के साथ चुकता है। यह समीकरण का अंतिम पद है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारा समीकरण सूत्र के रूप में परिभाषा में फिट बैठता है।

आइए परिभाषा के दूसरे (मौखिक) भाग को देखें।

हमारे पास दो अज्ञात हैं और। यह यहाँ जम जाता है।

आइए सभी शर्तों पर विचार करें। उनमें, अज्ञात की डिग्रियों का योग समान होना चाहिए।

शक्तियों का योग बराबर है।

शक्तियों का योग (पर और पर) के बराबर है।

शक्तियों का योग बराबर है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ फिट बैठता है!

आइए अब सजातीय समीकरणों को परिभाषित करने का अभ्यास करें।

निर्धारित करें कि कौन से समीकरण सजातीय हैं:

सजातीय समीकरण- समीकरण क्रमांकित:

आइए समीकरण पर अलग से विचार करें।

यदि हम प्रत्येक पद का विस्तार करके प्रत्येक पद को विभाजित करते हैं, तो हमें मिलता है

और यह समीकरण पूरी तरह से सजातीय समीकरणों की परिभाषा के अंतर्गत आता है।

सजातीय समीकरणों को कैसे हल करें?

उदाहरण 2

आइए समीकरण को विभाजित करें।

हमारी स्थिति के अनुसार, y बराबर नहीं हो सकता। इसलिए, हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं

प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक सरल प्राप्त होता है द्विघात समीकरण:

चूँकि यह एक घटा हुआ द्विघात समीकरण है, हम वीटा प्रमेय का उपयोग करते हैं:

उल्टा प्रतिस्थापन करने से हमें उत्तर मिलता है

उत्तर:

उदाहरण 3

समीकरण को (शर्त के अनुसार) विभाजित करें।

उत्तर:

उदाहरण 4

अगर खोजो।

यहां आपको विभाजित करने की नहीं, बल्कि गुणा करने की आवश्यकता है। पूरे समीकरण को इससे गुणा करें:

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

रिवर्स प्रतिस्थापन करते हुए, हमें उत्तर मिलता है:

उत्तर:

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान।

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान ऊपर वर्णित समाधान विधियों से अलग नहीं है। केवल यहाँ, अन्य बातों के अलावा, आपको थोड़ा त्रिकोणमिति जानने की आवश्यकता है। और निर्णय कर सके त्रिकोणमितीय समीकरण(इसके लिए आप अनुभाग पढ़ सकते हैं)।

आइए उदाहरणों पर ऐसे समीकरणों पर विचार करें।

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें।

हम एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं: तथा अज्ञात हैं, और प्रत्येक पद में उनकी शक्तियों का योग बराबर है।

समान सजातीय समीकरणों को हल करना मुश्किल नहीं है, लेकिन समीकरणों को विभाजित करने से पहले, उस स्थिति पर विचार करें जब

इस मामले में, समीकरण रूप लेगा: लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार। इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं:

चूंकि समीकरण कम हो गया है, तो वीटा प्रमेय के अनुसार:

उत्तर:

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें।

उदाहरण के अनुसार, आपको समीकरण को विभाजित करने की आवश्यकता है। मामले पर विचार करें जब:

लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार। इसीलिए।

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

आइए हम रिवर्स प्रतिस्थापन करें और खोजें और:

उत्तर:

सजातीय घातीय समीकरणों का समाधान।

सजातीय समीकरणों को उसी तरह हल किया जाता है जैसा कि ऊपर माना जाता है। अगर आप भूल गए कि कैसे तय करना है घातीय समीकरण- संबंधित खंड देखें ()!

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 7

प्रश्न हल करें

कल्पना कीजिए कि कैसे:

हम दो चर और शक्तियों के योग के साथ एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं। आइए समीकरण को इसमें विभाजित करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिलता है (इस मामले में, शून्य से विभाजित करने से डरने की कोई आवश्यकता नहीं है - यह हमेशा शून्य से सख्ती से अधिक होता है):

वीटा के प्रमेय के अनुसार:

उत्तर: .

उदाहरण 8

प्रश्न हल करें

कल्पना कीजिए कि कैसे:

आइए समीकरण को इसमें विभाजित करें:

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

जड़ शर्त को संतुष्ट नहीं करती है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं और पाते हैं:

उत्तर:

सजातीय समीकरण। औसत स्तर

सबसे पहले, एक समस्या के उदाहरण का उपयोग करते हुए, मैं आपको याद दिला दूं सजातीय समीकरण क्या हैं और सजातीय समीकरणों का समाधान क्या है।

समस्या का समाधान करो:

अगर खोजो।

यहाँ आप एक विचित्र बात देख सकते हैं: यदि हम प्रत्येक पद को इससे भाग दें, तो हमें यह प्राप्त होता है:

अर्थात् अब पृथक् नहीं हैं और, - अब वांछित मान समीकरण में चर है। और यह एक साधारण द्विघात समीकरण है, जिसे वीटा के प्रमेय का उपयोग करके हल करना आसान है: जड़ों का उत्पाद बराबर है, और योग संख्या है और।

उत्तर:

रूप के समीकरण

सजातीय कहा जाता है। अर्थात्, यह दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है, जिसके प्रत्येक पद में इन अज्ञात की शक्तियों का समान योग है। उदाहरण के लिए, ऊपर के उदाहरण में, यह राशि बराबर है। इस डिग्री में अज्ञात में से एक द्वारा विभाजित करके सजातीय समीकरणों का समाधान किया जाता है:

और चर के बाद के परिवर्तन:। इस प्रकार, हम एक अज्ञात के साथ डिग्री का समीकरण प्राप्त करते हैं:

सबसे अधिक बार, हम दूसरी डिग्री (यानी द्विघात) के समीकरणों का सामना करेंगे, और हम उन्हें हल कर सकते हैं:

ध्यान दें कि एक चर द्वारा पूरे समीकरण को विभाजित करना (और गुणा करना) तभी संभव है जब हम आश्वस्त हों कि यह चर शून्य के बराबर नहीं हो सकता है! उदाहरण के लिए, यदि हमें खोजने के लिए कहा जाए, तो हम तुरंत समझ जाते हैं, क्योंकि इसे विभाजित करना असंभव है। ऐसे मामलों में जहां यह इतना स्पष्ट नहीं है, इस मामले को अलग से जांचना आवश्यक है जब यह चर शून्य के बराबर हो। उदाहरण के लिए:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

हम यहां एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं: तथा अज्ञात हैं, और प्रत्येक पद में उनकी शक्तियों का योग बराबर है।

लेकिन, इससे विभाजित करने और सम्मान के साथ द्विघात समीकरण प्राप्त करने से पहले, हमें उस मामले पर विचार करना चाहिए जब। इस मामले में, समीकरण रूप लेगा: , इसलिए,। लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार:। इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं:

मुझे उम्मीद है कि यह समाधान पूरी तरह स्पष्ट है? यदि नहीं, तो अनुभाग पढ़ें। यदि यह स्पष्ट नहीं है कि यह कहाँ से आया है, तो आपको पहले भी - अनुभाग में वापस जाने की आवश्यकता है।

अपने लिए तय करें:

1. अगर खोजो।
2. अगर खोजो।
3. प्रश्न हल करें।

यहाँ मैं सीधे सजातीय समीकरणों का हल संक्षेप में लिखूँगा:

समाधान:

उत्तर: ।

और यहाँ यह विभाजित करने के लिए नहीं, बल्कि गुणा करने के लिए आवश्यक है:

उत्तर:

यदि आपने अभी तक त्रिकोणमितीय समीकरणों को नहीं पढ़ा है, तो आप इस उदाहरण को छोड़ सकते हैं।

चूँकि यहाँ हमें विभाजित करने की आवश्यकता है, हम पहले यह सुनिश्चित करते हैं कि एक सौ शून्य के बराबर नहीं है:

और यह असंभव है।

उत्तर: ।

सजातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

सभी सजातीय समीकरणों का समाधान डिग्री में अज्ञात में से एक द्वारा विभाजन और चर के आगे परिवर्तन के लिए कम हो गया है।

कलन विधि:

फलन f(x,y) कहलाता है सजातीय समारोहउनके आयाम तर्क n यदि पहचान f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

उदाहरण के लिए, समारोह f(x,y)=x^2+y^2-xy दूसरे आयाम का एक सजातीय कार्य है, क्योंकि

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

एन = 0 के लिए हमारे पास शून्य आयाम फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)एक सजातीय शून्य आयाम समारोह है, क्योंकि

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

रूप का विभेदक समीकरण \frac(dy)(dx)=f(x,y)को x और y के संबंध में सजातीय कहा जाता है यदि f(x,y) इसके अशक्त आयाम तर्कों का एक सजातीय कार्य है। एक सजातीय समीकरण को हमेशा के रूप में दर्शाया जा सकता है

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

एक नया वांछित फ़ंक्शन u=\frac(y)(x) , समीकरण (1) को अलग करने वाले चर के साथ एक समीकरण में कम किया जा सकता है:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

अगर u=u_0 समीकरण \varphi(u)-u=0 का मूल है, तो सजातीय समीकरण का हल u=u_0 या y=u_0x (मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा) होगा।

टिप्पणी।सजातीय समीकरणों को हल करते समय, उन्हें फॉर्म (1) में कम करना जरूरी नहीं है। आप तुरंत प्रतिस्थापन y=ux कर सकते हैं।

उदाहरण 1एक सजातीय समीकरण को हल करें xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

समाधान।हम समीकरण को रूप में लिखते हैं y"=\sqrt(1-(\बाएं(\frac(y)(x)\दाएं)\^2}+\frac{y}{x} !}इसलिए दिया गया समीकरण x और y के संदर्भ में समांगी है। आइए u=\frac(y)(x) , या y=ux रखें। फिर y"=xu"+u । समीकरण में y और y" के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). अलग चर: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). यहाँ से, एकीकरण द्वारा, हम पाते हैं

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), या \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

चूंकि C_1|x|=\pm(C_1x) , \pm(C_1)=C को दर्शाते हुए, हमें मिलता है \arcsin(u)=\ln(Cx), कहाँ |\ln(सीएक्स)|\leqslant\frac(\pi)(2)या ई^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u को \frac(y)(x) से प्रतिस्थापित करने पर, हमें व्यापक समाकल प्राप्त होगा \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

इसलिए सामान्य समाधान: y=x\sin\ln(Cx) ।

चरों को अलग करते समय, हमने समीकरण के दोनों पक्षों को गुणनफल x\sqrt(1-u^2) से विभाजित किया, इसलिए हम उस समाधान को खो सकते हैं जो इस गुणनफल को शून्य कर देता है।

आइए अब x=0 और \sqrt(1-u^2)=0 रखें। परंतु x\ne0 प्रतिस्थापन के कारण u=\frac(y)(x) , और संबंध से \sqrt(1-u^2)=0 हमें वह मिलता है 1-\frac(y^2)(x^2)=0, जहां से y=\pm(x) । प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि फलन y=-x और y=x भी इस समीकरण के समाधान हैं।

उदाहरण 2सजातीय समीकरण के अभिन्न वक्र C_\alpha के परिवार पर विचार करें y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). दिखाएँ कि इस सजातीय अवकल समीकरण द्वारा परिभाषित वक्रों के संगत बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं।

टिप्पणी:हम फोन करेंगे उपयुक्त C_\alpha वक्र पर वे बिंदु जो मूल बिंदु से शुरू होकर एक ही किरण पर स्थित हैं।

समाधान।संबंधित बिंदुओं की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), ताकि, समीकरण के आधार पर, y"=y"_1, जहां y" और y"_1 अभिन्न वक्र C_\alpha और C_(\alpha_1) के स्पर्शरेखा के ढलान हैं, बिंदु M पर और M_1, क्रमशः (चित्र 12)।

सजातीय करने के लिए कम करने वाले समीकरण

एक।प्रपत्र के अंतर समीकरण पर विचार करें

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

कहा पे a,b,c,a_1,b_1,c_1 स्थिरांक हैं और f(u) है निरंतर कार्यइसके तर्क यू।

अगर c=c_1=0 , तो समीकरण (3) सजातीय है और यह ऊपर के रूप में एकीकृत करता है।

यदि कम से कम एक संख्या c,c_1 शून्य से भिन्न है, तो दो मामलों को अलग किया जाना चाहिए।

1) निर्धारक \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. सूत्र x=\xi+h,~y=\eta+k के अनुसार नए चर \xi और \eta प्रस्तुत करते हुए, जहां h और k अभी भी अपरिभाषित स्थिरांक हैं, हम समीकरण (3) को फॉर्म में लाते हैं

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\सही)।

सिस्टम के समाधान के रूप में h और k को चुनना रेखीय समीकरण

\begin(मामलों)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(मामलों)~(\Delta\ne0),

हम एक सजातीय समीकरण प्राप्त करते हैं \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). इसके सामान्य समाकल को खोजने और \xi को इसमें x-h, और \eta को y-k से प्रतिस्थापित करने के बाद, हम समीकरण (3) का सामान्य समाकल प्राप्त करते हैं।

2) निर्धारक \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. सिस्टम (4) में सामान्य मामलाकोई समाधान नहीं है और उपरोक्त विधि लागू नहीं है; इस मामले में \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, और, इसलिए, समीकरण (3) का रूप है \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). प्रतिस्थापन z=ax+by इसे एक वियोज्य चर समीकरण में लाता है।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

समाधान।रैखिक की एक प्रणाली पर विचार करें बीजगणितीय समीकरण \begin(मामलों)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(मामलों)

इस प्रणाली के निर्धारक \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

सिस्टम है केवल निर्णय x_0=-1,~y_0=3 . हम प्रतिस्थापन करते हैं x=\xi-1,~y=\eta+3 । तब समीकरण (5) रूप लेता है

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

यह समीकरण एक सजातीय समीकरण है। सेटिंग \eta=u\xi , हम प्राप्त करते हैं

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, कहाँ (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

अलग-अलग चर \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

एकीकरण, हम पाते हैं \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(सी)या \xi^2(1+2u-u^2)=C ।

चरों पर वापस लौटना x,~y :

(x+1)^2\बाएं=C_1या x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

उदाहरण 4प्रश्न हल करें (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

समाधान।रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली \begin(मामलों)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(मामलों)असंगत। इस मामले में, पिछले उदाहरण में लागू की गई विधि उपयुक्त नहीं है। समीकरण को एकीकृत करने के लिए, हम प्रतिस्थापन x+y=z , dy=dz-dx का उपयोग करते हैं। समीकरण का रूप लेगा

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

चरों को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

डीएक्स-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0इसलिए x-2z-3\ln|z-2|=C.

चर x,~y पर वापस लौटने पर, हम इस समीकरण का व्यापक समाकल प्राप्त करते हैं

एक्स+2y+3\ln|x+y-2|=सी।

बी।कभी-कभी चर y=z^\alpha को बदलकर समीकरण को समांगी में बदला जा सकता है। यह वह स्थिति है जब समीकरण के सभी पद एक ही आयाम के हैं, यदि चर x को आयाम 1 दिया गया है, चर y को आयाम \alpha दिया गया है, और व्युत्पन्न \frac(dy)(dx) दिया गया है आयाम \alpha-1।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

समाधान।एक प्रतिस्थापन बनाना y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, जहाँ \alpha अभी के लिए मनमानी संख्या है, जिसे हम बाद में चुनेंगे। समीकरण में y और dy के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0या \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

ध्यान दें कि x^2z^(3\alpha-1) का आयाम है 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) का आयाम \alpha-1 है, xz^(3\alpha) का आयाम 1+3\alpha है। परिणामी समीकरण सजातीय होगा यदि सभी पदों के माप समान हों, अर्थात अगर शर्त पूरी हो जाती है 3\अल्फा+1=\अल्फा-1, या \alpha-1 ।

आइए डालते हैं y=\frac(1)(z) ; मूल समीकरण रूप लेता है

\बाएं(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\दाएं)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0या (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

अब डालते हैं z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. तब यह समीकरण रूप लेगा (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, कहाँ यू(यू^2+1)\,dx+x(यू^2-1)\,du=0.

इस समीकरण में चरों को अलग करना \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. एकीकरण, हम पाते हैं

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)या \frac(x(u^2+1))(u)=C.

u को \frac(1)(xy) से प्रतिस्थापित करने पर, हमें इस समीकरण का सामान्य समाकल 1+x^2y^2=Cy प्राप्त होता है।

समीकरण का एक स्पष्ट हल y=0 भी है, जो C\to\infty पर सामान्य समाकल से प्राप्त किया जाता है यदि समाकल को इस प्रकार लिखा जाए y=\frac(1+x^2y^2)(सी), और फिर C\to\infty की सीमा तक कूदें। इस प्रकार, फलन y=0 मूल समीकरण का एक विशेष हल है।

आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
गणना करने के लिए ActiveX नियंत्रण सक्षम होना चाहिए!

मुझे लगता है कि हमें डिफरेंशियल इक्वेशन जैसे शानदार गणितीय उपकरण के इतिहास से शुरुआत करनी चाहिए। सभी डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस की तरह, इन समीकरणों का आविष्कार न्यूटन ने 17वीं शताब्दी के अंत में किया था। उन्होंने अपनी इस खोज को इतना महत्वपूर्ण माना कि उन्होंने संदेश को भी एन्क्रिप्ट किया, जिसका आज कुछ इस तरह अनुवाद किया जा सकता है: "प्रकृति के सभी नियमों को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।" यह अतिशयोक्ति लग सकता है, लेकिन यह सच है। इन समीकरणों द्वारा भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान के किसी भी नियम का वर्णन किया जा सकता है।

डिफरेंशियल इक्वेशन के सिद्धांत के विकास और निर्माण में एक बड़ा योगदान गणितज्ञ यूलर और लैग्रेंज ने किया था। पहले से ही 18 वीं शताब्दी में, उन्होंने विश्वविद्यालयों के वरिष्ठ पाठ्यक्रमों में अब जो कुछ भी पढ़ा है, उसे खोजा और विकसित किया।

विभेदक समीकरणों के अध्ययन में एक नया मील का पत्थर हेनरी पॉइनकेयर के लिए धन्यवाद शुरू हुआ। उन्होंने "अंतर समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत" बनाया, जिसने एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के संयोजन में, टोपोलॉजी - अंतरिक्ष के विज्ञान और इसके गुणों की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

अवकल समीकरण क्या होते हैं?

बहुत से लोग एक वाक्यांश से डरते हैं। हालांकि, इस लेख में हम इस बहुत ही उपयोगी गणितीय उपकरण के पूरे सार का विस्तार से वर्णन करेंगे, जो वास्तव में उतना जटिल नहीं है जितना कि नाम से लगता है। प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करने के लिए, आपको पहले उन मूल अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए जो स्वाभाविक रूप से इस परिभाषा से संबंधित हैं। आइए अंतर से शुरू करें।

अंतर

बहुत से लोग इस अवधारणा को स्कूल से जानते हैं। हालाँकि, आइए इसे करीब से देखें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। हम इसे इस हद तक बढ़ा सकते हैं कि इसका कोई भी खंड एक सीधी रेखा का रूप ले ले। इस पर हम दो बिंदु लेते हैं जो एक दूसरे के असीम रूप से निकट हैं। उनके निर्देशांक (x या y) के बीच का अंतर एक अतिसूक्ष्म मान होगा। इसे एक अंतर कहा जाता है और इसे dy (y से अंतर) और dx (x से अंतर) के संकेतों द्वारा दर्शाया जाता है। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि अंतर एक परिमित मूल्य नहीं है, और यह इसका अर्थ और मुख्य कार्य है।

और अब निम्नलिखित तत्व पर विचार करना आवश्यक है, जो एक अवकल समीकरण की अवधारणा को समझाने में हमारे लिए उपयोगी होगा। यह एक व्युत्पन्न है।

यौगिक

हम सभी ने शायद इस अवधारणा को स्कूल में सुना है। व्युत्पन्न को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी की दर कहा जाता है। हालाँकि, इस परिभाषा का अधिकांश हिस्सा समझ से बाहर हो जाता है। आइए अंतर के संदर्भ में व्युत्पन्न की व्याख्या करने का प्रयास करें। आइए एक फ़ंक्शन के एक अतिसूक्ष्म खंड पर वापस जाएं जिसमें दो बिंदु हैं जो एक दूसरे से न्यूनतम दूरी पर हैं। लेकिन इस दूरी के लिए भी, फ़ंक्शन कुछ राशि से बदलने का प्रबंधन करता है। और इस परिवर्तन का वर्णन करने के लिए, वे एक व्युत्पन्न के साथ आए, जिसे अन्यथा अंतर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: f (x) "=df / dx।

अब व्युत्पन्न के मूल गुणों पर विचार करना उचित है। उनमें से केवल तीन हैं:

1. योग या अंतर के व्युत्पन्न को डेरिवेटिव के योग या अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है: (a+b)"=a"+b" और (a-b)"=a"-b"।
2. दूसरा गुण गुणन से संबंधित है। एक उत्पाद का व्युत्पन्न एक समारोह के उत्पादों और दूसरे के व्युत्पन्न का योग है: (a*b)"=a"*b+a*b"।
3. अंतर के व्युत्पन्न को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 ।

ये सभी गुण प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों का हल ज्ञात करने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आंशिक डेरिवेटिव भी हैं। मान लें कि हमारे पास एक फ़ंक्शन z है जो चर x और y पर निर्भर करता है। इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, x के संबंध में, हमें चर y को एक स्थिरांक के रूप में लेना होगा और बस अंतर करना होगा।

अभिन्न

एक अन्य महत्वपूर्ण अवधारणा अभिन्न है। वास्तव में, यह व्युत्पन्न का प्रत्यक्ष विपरीत है। समाकल कई प्रकार के होते हैं, लेकिन सरलतम अवकल समीकरणों को हल करने के लिए हमें सबसे तुच्छ की आवश्यकता होती है

तो, मान लें कि हमारे पास x पर f की कुछ निर्भरता है। हम इससे समाकलन लेते हैं और फलन F (x) (अक्सर अवकलज कहा जाता है) प्राप्त करते हैं, जिसका व्युत्पन्न मूल फलन के बराबर होता है। इस प्रकार F(x)"=f(x)। यह भी अनुसरण करता है कि व्युत्पन्न का अभिन्न मूल कार्य के बराबर है।

अवकल समीकरणों को हल करते समय, समाकल के अर्थ और कार्य को समझना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि समाधान खोजने के लिए आपको उन्हें अक्सर लेना होगा।

समीकरण उनकी प्रकृति के आधार पर भिन्न होते हैं। अगले भाग में, हम प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे, और फिर हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

अंतर समीकरणों की कक्षाएं

"Diffura" उनमें शामिल डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार विभाजित हैं। इस प्रकार, पहला, दूसरा, तीसरा और अधिक क्रम है। उन्हें कई वर्गों में भी विभाजित किया जा सकता है: साधारण और आंशिक डेरिवेटिव।

इस लेख में, हम प्रथम कोटि के साधारण अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे। हम निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरणों और उन्हें हल करने के तरीकों पर भी चर्चा करेंगे। हम केवल ODE पर विचार करेंगे, क्योंकि ये सबसे सामान्य प्रकार के समीकरण हैं। साधारण को उप-प्रजातियों में विभाजित किया गया है: वियोज्य चर, सजातीय और विषम के साथ। इसके बाद, आप सीखेंगे कि वे एक-दूसरे से कैसे भिन्न हैं, और उन्हें हल करना सीखें।

इसके अलावा, इन समीकरणों को जोड़ा जा सकता है, ताकि बाद में हमें पहले क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिल सके। हम ऐसी प्रणालियों पर भी विचार करेंगे और सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

हम केवल पहले आदेश पर ही विचार क्यों कर रहे हैं? क्योंकि आपको एक साधारण से शुरुआत करने की आवश्यकता है, और एक लेख में अंतर समीकरणों से संबंधित हर चीज का वर्णन करना असंभव है।

वियोज्य चर समीकरण

ये शायद सबसे सरल प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं। इनमें ऐसे उदाहरण शामिल हैं जिन्हें इस तरह लिखा जा सकता है: y "=f (x) * f (y)। इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें अंतर के अनुपात के रूप में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता है: y" = dy / dx। इसका उपयोग करके, हमें निम्न समीकरण प्राप्त होता है: dy/dx=f(x)*f(y). अब हम मानक उदाहरणों को हल करने की विधि की ओर मुड़ सकते हैं: हम चर को भागों में विभाजित करेंगे, अर्थात, हम y चर के साथ सब कुछ उस भाग में स्थानांतरित कर देंगे जहाँ dy स्थित है, और हम x चर के साथ भी ऐसा ही करेंगे। हमें इस रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है: dy/f(y)=f(x)dx, जिसे दोनों भागों के समाकलों को लेकर हल किया जाता है। निरंतर के बारे में मत भूलना, जिसे अभिन्न लेने के बाद सेट किया जाना चाहिए।

किसी भी "अंतर" का समाधान y (हमारे मामले में) पर x की निर्भरता का एक कार्य है या, यदि कोई संख्यात्मक स्थिति है, तो उत्तर एक संख्या के रूप में है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करते हुए पूरे समाधान पर एक नज़र डालें:

हम विभिन्न दिशाओं में चर स्थानांतरित करते हैं:

अब हम समाकलन लेते हैं। उन सभी को इंटीग्रल की एक विशेष तालिका में पाया जा सकता है। और हमें मिलता है:

लॉग (वाई) = -2 * कॉस (एक्स) + सी

यदि आवश्यक हो, तो हम "y" को "x" के फलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब हम कह सकते हैं कि यदि कोई शर्त नहीं दी गई है तो हमारा अवकल समीकरण हल हो गया है। एक शर्त दी जा सकती है, उदाहरण के लिए, y(n/2)=e. फिर हम बस इन चरों के मान को समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं और स्थिरांक का मान ज्ञात करते हैं। हमारे उदाहरण में, यह 1 के बराबर है।

पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरण

अब चलिए और अधिक कठिन भाग पर चलते हैं। पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरणों को लिखा जा सकता है सामान्य रूप से देखेंइसलिए: y"=z(x,y)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो चर का सही कार्य सजातीय है, और इसे दो निर्भरताओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है: x पर z और y पर z। जाँच करना कि समीकरण सजातीय है या नहीं नहीं काफी सरल है: हम प्रतिस्थापन x=k*x और y=k*y करते हैं। अब हम सभी k को रद्द करते हैं। यदि ये सभी अक्षर कम हो गए हैं, तो समीकरण सजातीय है और आप इसे हल करने के लिए सुरक्षित रूप से आगे बढ़ सकते हैं। देख रहे हैं आगे, मान लीजिए: इन उदाहरणों को हल करने का सिद्धांत भी बहुत सरल है।

हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=t(x)*x, जहां t कुछ फ़ंक्शन है जो x पर भी निर्भर करता है। फिर हम व्युत्पन्न व्यक्त कर सकते हैं: y"=t"(x)*x+t। यह सब हमारे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने और इसे सरल बनाने के लिए, हमें वियोज्य चर t और x के साथ एक उदाहरण मिलता है। हम इसे हल करते हैं और निर्भरता टी (एक्स) प्राप्त करते हैं। जब हमें यह मिल गया, तो हम बस y=t(x)*x को अपने पिछले प्रतिस्थापन में स्थानापन्न करते हैं। तब हमें x पर y की निर्भरता प्राप्त होती है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें: x*y"=y-x*e y/x ।

जब एक प्रतिस्थापन के साथ जाँच की जाती है, तो सब कुछ कम हो जाता है। तो समीकरण वास्तव में सजातीय है। अब हम एक और प्रतिस्थापन करते हैं जिसके बारे में हमने बात की थी: y=t(x)*x और y"=t"(x)*x+t(x)। सरलीकरण के बाद, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं: t "(x) * x \u003d -e t। हम परिणामी उदाहरण को अलग-अलग चर के साथ हल करते हैं और प्राप्त करते हैं: e -t \u003dln (C * x)। हमें केवल t को बदलने की आवश्यकता है। y / x के साथ (क्योंकि यदि y \u003d t * x, तो t \u003d y / x), और हमें उत्तर मिलता है: e -y / x \u003d ln (x * C)।

पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

यह एक और व्यापक विषय पर विचार करने का समय है। हम प्रथम कोटि के विषम अवकल समीकरणों का विश्लेषण करेंगे। वे पिछले दो से कैसे भिन्न हैं? आइए इसका पता लगाते हैं। सामान्य रूप में पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: y "+ g (x) * y \u003d z (x)। यह स्पष्ट करने योग्य है कि z (x) और g (x) स्थिर मान हो सकते हैं। .

और अब एक उदाहरण: y" - y*x=x 2 ।

हल करने के दो तरीके हैं, और हम क्रम में दोनों का विश्लेषण करेंगे। पहला स्वेच्छ अचरों के विचरण की विधि है।

इस तरह से समीकरण को हल करने के लिए, आपको पहले समीकरण करना होगा दाईं ओरशून्य पर और परिणामी समीकरण को हल करें, जो भागों के स्थानांतरण के बाद रूप ले लेगा:

ln|y|=x 2 /2 + सी;

वाई \u003d ई एक्स 2/2 * वाई सी \u003d सी 1 * ई एक्स 2/2।

अब हमें अचर C 1 को फलन v(x) से बदलने की आवश्यकता है, जिसे हमें ज्ञात करना है।

आइए व्युत्पन्न बदलें:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 ।

आइए इन भावों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2।

यह देखा जा सकता है कि बाईं ओर दो शर्तें रद्द कर दी गई हैं। यदि किसी उदाहरण में ऐसा नहीं हुआ, तो आपने कुछ गलत किया है। आगे है:

वी" * ई x2/2 = x 2।

अब हम सामान्य समीकरण को हल करते हैं जिसमें हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता होती है:

डीवी/डीएक्स=x 2 /ई x2/2 ;

डीवी = एक्स 2 * ई - एक्स 2/2 डीएक्स।

इंटीग्रल निकालने के लिए, हमें यहाँ भागों द्वारा इंटीग्रेशन लागू करना होगा। हालाँकि, यह हमारे लेख का विषय नहीं है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो आप सीख सकते हैं कि इस तरह की कार्रवाइयाँ स्वयं कैसे करें। यह मुश्किल नहीं है, और पर्याप्त कौशल और देखभाल के साथ इसमें ज्यादा समय नहीं लगता है।

आइए दूसरे उपाय की ओर मुड़ें। विषम समीकरण: बरनौली विधि। कौन सा दृष्टिकोण तेज़ और आसान है आप पर निर्भर है।

इसलिए, इस विधि से समीकरण को हल करते समय, हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=k*n। यहाँ k और n कुछ x-निर्भर फलन हैं। फिर व्युत्पन्न इस तरह दिखेगा: y"=k"*n+k*n"। हम दोनों प्रतिस्थापनों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

के" * एन + के * एन "+ एक्स * के * एन = एक्स 2।

समूहीकरण:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 ।

अब हमें कोष्ठक में जो है उसे शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। अब, यदि हम दो परिणामी समीकरणों को मिलाते हैं, तो हमें प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिसे हल करने की आवश्यकता होती है:

हम पहली समानता को एक साधारण समीकरण के रूप में हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको चर को अलग करने की आवश्यकता है:

हम अभिन्न लेते हैं और प्राप्त करते हैं: ln(n)=x 2 /2. फिर, अगर हम एन व्यक्त करते हैं:

अब हम परिणामी समानता को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

के "* ई x2/2 \u003d x 2।

और रूपांतरित होने पर, हमें पहली विधि की तरह ही समानता मिलती है:

डीके = एक्स 2 / ई x2/2।

हम आगे की कार्रवाइयों का विश्लेषण भी नहीं करेंगे। यह कहा जाना चाहिए कि पहले क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने से पहले महत्वपूर्ण कठिनाइयों का कारण बनता है। हालांकि, विषय में गहरी तल्लीनता के साथ, यह बेहतर और बेहतर होने लगता है।

अवकल समीकरणों का प्रयोग कहाँ किया जाता है?

भौतिकी में विभेदक समीकरणों का बहुत सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि लगभग सभी बुनियादी कानून अंतर के रूप में लिखे गए हैं, और जो सूत्र हम देखते हैं वे इन समीकरणों का समाधान हैं। रसायन विज्ञान में, उनका उपयोग उसी कारण से किया जाता है: बुनियादी नियम उनसे प्राप्त होते हैं। जीव विज्ञान में, विभेदक समीकरणों का उपयोग सिस्टम के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जैसे शिकारी-शिकार। उनका उपयोग सूक्ष्मजीवों की एक कॉलोनी के प्रजनन मॉडल बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

अंतर समीकरण जीवन में कैसे मदद करेंगे?

इस प्रश्न का उत्तर सरल है: बिलकुल नहीं। यदि आप वैज्ञानिक या इंजीनियर नहीं हैं, तो वे आपके लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है। हालाँकि, के लिए सामान्य विकासयह जानने में कोई दिक्कत नहीं है कि अंतर समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाता है। और फिर एक बेटे या बेटी का सवाल "अंतर समीकरण क्या है?" आपको भ्रमित नहीं करेगा। खैर, अगर आप एक वैज्ञानिक या इंजीनियर हैं, तो आप खुद ही किसी भी विज्ञान में इस विषय के महत्व को समझ सकते हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब प्रश्न "पहले क्रम के अंतर समीकरण को कैसे हल किया जाए?" आप हमेशा उत्तर दे सकते हैं। सहमत हूँ, यह हमेशा अच्छा होता है जब आप समझते हैं कि लोग क्या समझने से डरते हैं।

सीखने में मुख्य समस्याएं

इस विषय को समझने में मुख्य समस्या कार्यों को एकीकृत करने और विभेद करने का खराब कौशल है। यदि आप डेरिवेटिव और इंटीग्रल लेने में अच्छे नहीं हैं, तो यह शायद अधिक सीखने, एकीकरण और भेदभाव के विभिन्न तरीकों में महारत हासिल करने के लायक है, और उसके बाद ही लेख में वर्णित सामग्री का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ें।

कुछ लोग आश्चर्यचकित होते हैं जब वे सीखते हैं कि डीएक्स को स्थानांतरित किया जा सकता है, क्योंकि पहले (स्कूल में) यह कहा गया था कि अंश डाई / डीएक्स अविभाज्य है। यहां आपको डेरिवेटिव पर साहित्य पढ़ने और यह समझने की आवश्यकता है कि यह असीम मात्राओं का अनुपात है जिसे समीकरणों को हल करते समय हेरफेर किया जा सकता है।

बहुत से लोग तुरंत यह महसूस नहीं करते हैं कि प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों का समाधान अक्सर एक कार्य या एक अभिन्न अंग होता है जिसे नहीं लिया जा सकता है, और यह भ्रम उन्हें बहुत परेशानी देता है।

बेहतर समझ के लिए और क्या अध्ययन किया जा सकता है?

विशिष्ट पाठ्यपुस्तकों के साथ अंतर कलन की दुनिया में और अधिक तल्लीनता शुरू करना सबसे अच्छा है, उदाहरण के लिए, गणितीय विश्लेषणगैर-गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए। तब आप अधिक विशिष्ट साहित्य की ओर बढ़ सकते हैं।

यह कहने योग्य है कि अवकल समीकरणों के अतिरिक्त, समाकल समीकरण भी होते हैं, इसलिए आपके पास प्रयास करने के लिए और अध्ययन करने के लिए हमेशा कुछ न कुछ होगा।

निष्कर्ष

हम आशा करते हैं कि इस लेख को पढ़ने के बाद आपको यह पता चल गया होगा कि अवकल समीकरण क्या होते हैं और उन्हें सही तरीके से कैसे हल किया जाता है।

वैसे भी गणित जीवन में किसी न किसी रूप में हमारे काम आता है। यह तर्क और ध्यान विकसित करता है, जिसके बिना हर व्यक्ति हाथों के बिना होता है।