एक घातीय समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाए। घातीय कार्य - गुण, रेखांकन, सूत्र

घातांक प्रकार्य a के बराबर n संख्याओं के गुणनफल का एक सामान्यीकरण है:
आप (एन) = ए एन = ए ए ए ए,
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में x :
आप (एक्स) = एक्स.
यहाँ a एक निश्चित वास्तविक संख्या है, जिसे कहा जाता है घातीय फ़ंक्शन का आधार.
आधार a के साथ एक घातांकीय फलन को भी कहा जाता है आधार a . के घातीय.

सामान्यीकरण निम्नानुसार किया जाता है।
प्राकृतिक x = . के लिए 1, 2, 3,... , घातांक फ़ंक्शन x कारकों का गुणनफल है:
.
इसके अलावा, इसमें गुण (1.5-8) () हैं, जो संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। शून्य पर और नकारात्मक मानपूर्णांक, घातांक प्रकार्यसूत्रों द्वारा निर्धारित (1.9-10)। परिमेय संख्याओं के भिन्नात्मक मानों x = m/n के लिए, यह सूत्र (1.11) द्वारा निर्धारित किया जाता है। वास्तविक के लिए, घातांकीय फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है अनुक्रम सीमा:
,
जहाँ परिमेय संख्याओं का एक मनमाना क्रम है जो x : में परिवर्तित होता है।
इस परिभाषा के साथ, घातीय फ़ंक्शन सभी के लिए परिभाषित किया गया है, और गुणों (1.5-8), साथ ही प्राकृतिक x के लिए भी संतुष्ट है।

एक घातांकीय फलन की परिभाषा का एक कठोर गणितीय सूत्रीकरण और इसके गुणों का प्रमाण "घातांकीय फलन के गुणों की परिभाषा और प्रमाण" पृष्ठ पर दिया गया है।

घातीय फ़ंक्शन के गुण

घातांकीय फलन y = a x में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय () में निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1) परिभाषित और निरंतर है, सभी के लिए;
(1.2) जब एक 1 कई अर्थ हैं;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है, सख्ती से घटता है,
पर स्थिर है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

अन्य उपयोगी सूत्र
.
डिग्री के एक अलग आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन में कनवर्ट करने का सूत्र:

b = e के लिए, हमें घातांक के रूप में घातांक फलन का व्यंजक प्राप्त होता है:

निजी मूल्य

, , , , .

आंकड़ा घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिखाता है
आप (एक्स) = एक्स
चार मूल्यों के लिए डिग्री के आधार:ए= 2 , ए = 8 , ए = 1/2 और एक = 1/8 . यह देखा जा सकता है कि > . के लिए 1 घातीय कार्य नीरस रूप से बढ़ रहा है। डिग्री ए का आधार जितना बड़ा होगा, विकास उतना ही मजबूत होगा। पर 0 < a < 1 घातीय कार्य नीरस रूप से घट रहा है। घातांक जितना छोटा होगा, कमी उतनी ही मजबूत होगी।

आरोही अवरोही

पर घातीय कार्य सख्ती से मोनोटोनिक है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

	वाई = ए एक्स, ए > 1	वाई = एक्स, 0 < a < 1
कार्यक्षेत्र	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
एक लय	एकरसता से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
शून्य, y= 0	नहीं	नहीं
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 1	वाई = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

उलटा काम करना

डिग्री a के आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्क्रम आधार a का लघुगणक है।

तो अगर
.
तो अगर
.

घातीय फ़ंक्शन का अंतर

एक घातांकीय फलन में अंतर करने के लिए, इसके आधार को संख्या e तक घटाया जाना चाहिए, अवकलजों की तालिका और विभेदन नियम लागू करें जटिल कार्य.

ऐसा करने के लिए, आपको लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है
और डेरिवेटिव की तालिका से सूत्र:
.

मान लीजिए कि एक घातांकीय कार्य दिया गया है:
.
हम इसे आधार ई में लाते हैं:

हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक चर पेश करते हैं

फिर

डेरिवेटिव की तालिका से हमारे पास है (चर x को z से बदलें):
.
चूँकि एक अचर है, x के सापेक्ष z का अवकलज है
.
एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

एक घातीय फ़ंक्शन को अलग करने का एक उदाहरण

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
वाई = 35 x

समाधान

हम घातांक फलन के आधार को संख्या e के रूप में व्यक्त करते हैं।
3 = ई लॉग 3
फिर
.
हम एक चर पेश करते हैं
.
फिर

डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.
क्यों कि 5ln 3अचर है, तो x के सापेक्ष z का अवकलज है:
.
एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.

उत्तर

अभिन्न

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

समारोह पर विचार करें जटिल संख्या जेड:
एफ (जेड) = एज़ू
जहाँ z = x + iy; मैं 2 = - 1 .
हम जटिल स्थिरांक a को मापांक r और तर्क के पदों में व्यक्त करते हैं:
ए = आर ई मैं
फिर


.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। सामान्य रूप में
φ = φ 0 + 2 पीएन,
जहां n एक पूर्णांक है। इसलिए, फ़ंक्शन f (जेड)अस्पष्ट भी है। अक्सर इसका मुख्य महत्व माना जाता है
.

श्रृंखला में विस्तार

.

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

घातांक में अज्ञात होने पर समीकरण घातांक कहलाते हैं। सबसे सरल घातीय समीकरण का रूप है: a x \u003d a b, जहां a> 0, और 1, x अज्ञात है।

डिग्री के मुख्य गुण, जिनकी मदद से घातीय समीकरणों को रूपांतरित किया जाता है: a>0, b>0.

निर्णय लेते समय घातीय समीकरणवे घातांक फलन के निम्नलिखित गुणों का भी उपयोग करते हैं: y = a x , a > 0, a1:

किसी संख्या को घात के रूप में निरूपित करने के लिए, मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग किया जाता है: b = , a > 0, a1, b > 0.

"घातीय समीकरण" विषय पर कार्य और परीक्षण

• घातीय समीकरण

  पाठ: 4 कार्य: 21 परीक्षण: 1

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• §7 घातीय और लघुगणक समीकरण और असमानताएं - धारा 5. घातीय और लघुगणक कार्य ग्रेड 10

  पाठ: 1 कार्य: 17

घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको शक्तियों के मूल गुणों, एक घातांकीय फलन के गुणों और मूल लघुगणकीय पहचान को जानना होगा।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, दो मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. समीकरण a f(x) = a g(x) से समीकरण f(x) = g(x) में संक्रमण;
2. नई पंक्तियों की शुरूआत।

उदाहरण।

1. सरलतम को कम करने वाले समीकरण। समीकरण के दोनों पक्षों को समान आधार वाली घात पर लाकर उनका समाधान किया जाता है।

3x \u003d 9x - 2।

समाधान:

3 एक्स \u003d (3 2) एक्स - 2;
3x = 3 2x - 4;
एक्स = 2x -4;
एक्स = 4।

उत्तर: 4.

2. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में रखकर हल किए गए समीकरण।

समाधान:

3x - 3x - 2 = 24
3 एक्स - 2 (3 2 - 1) = 24
3 एक्स - 2 एक्स 8 = 24
3 एक्स - 2 = 3
एक्स - 2 = 1
एक्स = 3।

उत्तर: 3.

3. चर के परिवर्तन द्वारा हल किए गए समीकरण।

समाधान:

2 2x + 2 x - 12 = 0
हम 2 x \u003d y को निरूपित करते हैं।
वाई 2 + वाई - 12 = 0
वाई 1 = - 4; वाई 2 = 3.
a) 2 x = - 4. समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि 2 एक्स> 0।
बी) 2 एक्स = 3; 2 x = 2 लघुगणक 2 3 ; एक्स = लॉग 2 3.

उत्तर:लॉग 2 3.

4. दो अलग-अलग (एक दूसरे को कम करने योग्य नहीं) आधार वाले घात वाले समीकरण।

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2।

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 एक्स - 2 × 23 = 5 एक्स - 2
×23
2 एक्स - 2 = 5 एक्स - 2
(5/2) x-2 = 1
एक्स - 2 = 0
एक्स = 2.

उत्तर: 2.

5. समीकरण जो a x और b x के सन्दर्भ में सजातीय हैं।

सामान्य फ़ॉर्म: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x।

समाधान:

3 2x - 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0।
निरूपित करें (3/2) x = y।
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
वाई 1 = 2; y2 = ½।

उत्तर:लॉग 3/2 2; - लॉग 3/2 2.

यह पाठ उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो अभी-अभी घातांकीय समीकरण सीखना शुरू कर रहे हैं। हमेशा की तरह, आइए एक परिभाषा और सरल उदाहरणों से शुरू करें।

यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो मुझे संदेह है कि आपको पहले से ही सरलतम समीकरणों की कम से कम समझ है - रैखिक और वर्ग: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ आदि। इस तरह के निर्माणों को हल करने में सक्षम होने के लिए अब जिस विषय पर चर्चा की जाएगी, उसमें "लटका" न करने के लिए नितांत आवश्यक है।

तो, घातीय समीकरण। मैं आपको कुछ उदाहरण देता हूं:

\[(((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

उनमें से कुछ आपको अधिक जटिल लग सकते हैं, उनमें से कुछ, इसके विपरीत, बहुत सरल हैं। लेकिन वे सभी एक महत्वपूर्ण विशेषता से एकजुट हैं: उनमें एक घातीय फ़ंक्शन $f\left(x \right)=((a)^(x))$ होता है। इस प्रकार, हम परिभाषा पेश करते हैं:

एक घातीय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें एक घातीय कार्य होता है, अर्थात। $((a)^(x))$ फॉर्म की अभिव्यक्ति। निर्दिष्ट फ़ंक्शन के अलावा, ऐसे समीकरणों में कोई अन्य बीजीय निर्माण शामिल हो सकते हैं - बहुपद, जड़ें, त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि।

ठीक है फिर। परिभाषा समझी। अब सवाल यह है कि इस सारी बकवास को कैसे सुलझाया जाए? उत्तर एक ही समय में सरल और जटिल दोनों है।

आइए खुशखबरी के साथ शुरू करें: कई छात्रों के साथ अपने अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि उनमें से अधिकांश के लिए, घातीय समीकरण समान लघुगणक की तुलना में बहुत आसान हैं, और इससे भी अधिक त्रिकोणमिति।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: कभी-कभी सभी प्रकार की पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं के लिए समस्याओं के संकलनकर्ता "प्रेरणा" के पास जाते हैं, और उनका नशा-ग्रस्त मस्तिष्क ऐसे क्रूर समीकरण उत्पन्न करने लगता है कि न केवल छात्रों के लिए उन्हें हल करना समस्याग्रस्त हो जाता है - यहां तक ​​कि कई शिक्षक ऐसी समस्याओं में फंस जाते हैं।

हालांकि, आइए दुखद चीजों के बारे में बात न करें। और आइए उन तीन समीकरणों पर लौटते हैं जो कहानी की शुरुआत में दिए गए थे। आइए उनमें से प्रत्येक को हल करने का प्रयास करें।

पहला समीकरण: $((2)^(x))=4$। अच्छा, संख्या 4 प्राप्त करने के लिए संख्या 2 को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? शायद दूसरा? आखिरकार, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — और हमने सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की है, अर्थात। वास्तव में $x=2$। खैर, धन्यवाद, टोपी, लेकिन यह समीकरण इतना आसान था कि मेरी बिल्ली भी इसे हल कर सकती थी। :)

आइए निम्नलिखित समीकरण को देखें:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

लेकिन यहां यह थोड़ा और मुश्किल है। बहुत से छात्र जानते हैं कि $((5)^(2))=25$ गुणन तालिका है। कुछ को यह भी संदेह है कि $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ अनिवार्य रूप से नकारात्मक घातांक की परिभाषा है (सूत्र $((a)^(-n))= \ के समान फ्रैक(1)(((ए)^(एन)))$)।

अंत में, केवल कुछ चुनिंदा अनुमान लगाते हैं कि इन तथ्यों को जोड़ा जा सकता है और आउटपुट निम्न परिणाम है:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

इस प्रकार, हमारे मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

और अब यह पहले से ही पूरी तरह से हल हो गया है! समीकरण के बाईं ओर एक घातीय कार्य है, समीकरण के दाईं ओर एक घातीय कार्य है, उनके अलावा कहीं और कुछ नहीं है। इसलिए, आधारों को "त्याग" करना और संकेतकों को मूर्खतापूर्ण रूप से समान करना संभव है:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला है जिसे कोई भी छात्र केवल दो पंक्तियों में हल कर सकता है। ठीक है, चार पंक्तियों में:

\[\शुरू (संरेखित) और 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

यदि आपको समझ में नहीं आया कि अंतिम चार पंक्तियों में क्या हो रहा था, तो इस विषय पर वापस आना सुनिश्चित करें " रेखीय समीकरण' और इसे दोहराएं। क्योंकि इस विषय को स्पष्ट रूप से आत्मसात किए बिना, आपके लिए घातीय समीकरणों को लेना जल्दबाजी होगी।

\[((9)^(x))=-3\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? पहला विचार: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, इसलिए मूल समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \दाएं))^(x))=-3\]

फिर हम याद करते हैं कि जब किसी घात को डिग्री बढ़ाते हैं, तो संकेतकों को गुणा किया जाता है:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

और इस तरह के निर्णय के लिए, हमें ईमानदारी से योग्य ड्यूस मिलता है। हमारे लिए, पोकेमोन की समता के साथ, तीनों के सामने माइनस साइन को इन तीनों की शक्ति के लिए भेजा। और आप ऐसा नहीं कर सकते। और यही कारण है। ट्रिपल की विभिन्न शक्तियों पर एक नज़र डालें:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)() 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

इस टैबलेट को संकलित करते हुए, जैसे ही मैंने किया, मैंने विकृत नहीं किया: मैंने सकारात्मक डिग्री, और नकारात्मक, और यहां तक ​​​​कि आंशिक भी माना ... ठीक है, यहां कम से कम एक नकारात्मक संख्या कहां है? वह नहीं है! और ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि घातांकीय फलन $y=((a)^(x))$, सबसे पहले, हमेशा केवल लेता है सकारात्मक मूल्य(कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक को कितना गुणा करते हैं या दो से विभाजित करते हैं, यह अभी भी एक सकारात्मक संख्या होगी), और दूसरी बात, इस तरह के फ़ंक्शन का आधार - संख्या $a$ - परिभाषा के अनुसार एक सकारात्मक संख्या है!

खैर, फिर समीकरण $((9)^(x))=-3$ कैसे हल करें? नहीं, कोई जड़ें नहीं हैं। और इस अर्थ में, घातीय समीकरण द्विघात समीकरणों के समान हैं - कोई मूल भी नहीं हो सकता है। लेकिन अगर द्विघात समीकरणों में जड़ों की संख्या विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है (विभेदक सकारात्मक है - 2 जड़ें, नकारात्मक - कोई जड़ें नहीं), तो घातीय समीकरणों में यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि बराबर चिह्न के दाईं ओर क्या है।

इस प्रकार, हम मुख्य निष्कर्ष तैयार करते हैं: फॉर्म का सबसे सरल घातीय समीकरण $((a)^(x))=b$ का मूल होता है यदि और केवल यदि $b>0$। इस सरल तथ्य को जानकर, आप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि आपके लिए प्रस्तावित समीकरण की जड़ें हैं या नहीं। वे। क्या यह बिल्कुल हल करने लायक है या तुरंत लिख लें कि कोई जड़ें नहीं हैं।

जब हमें अधिक जटिल समस्याओं को हल करना होगा तो यह ज्ञान हमें कई बार मदद करेगा। इस बीच, पर्याप्त गीत - यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल एल्गोरिदम का अध्ययन करने का समय है।

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

तो, चलिए समस्या तैयार करते हैं। घातीय समीकरण को हल करना आवश्यक है:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

"बेवकूफ" एल्गोरिदम के अनुसार जो हमने पहले इस्तेमाल किया था, संख्या $b$ को संख्या $a$ की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है:

इसके अलावा, यदि चर $x$ के बजाय कोई अभिव्यक्ति है, तो हमें एक नया समीकरण मिलेगा, जिसे पहले ही हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

और अजीब तरह से, यह योजना लगभग 90% मामलों में काम करती है। फिर बाकी 10% का क्या? शेष 10% फॉर्म के थोड़े "सिज़ोफ्रेनिक" घातीय समीकरण हैं:

\[(((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

3 प्राप्त करने के लिए आपको 2 को किस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है? पहली बार में? लेकिन नहीं: $((2)^(1))=2$ पर्याप्त नहीं है। क्षण में? न तो: $((2)^(2))=4$ बहुत अधिक है। फिर क्या?

जानकार छात्रों ने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया है: ऐसे मामलों में, जब "खूबसूरती से" हल करना असंभव है, "भारी तोपखाने" मामले से जुड़ा हुआ है - लघुगणक। मैं आपको याद दिला दूं कि लघुगणक का उपयोग करके, किसी भी सकारात्मक संख्या को किसी अन्य सकारात्मक संख्या (एक के अपवाद के साथ) की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह सूत्र याद है? जब मैं अपने छात्रों को लघुगणक के बारे में बताता हूं, तो मैं हमेशा आपको चेतावनी देता हूं: यह सूत्र (यह मूल लघुगणकीय पहचान भी है या, यदि आप चाहें, तो लघुगणक की परिभाषा) आपको बहुत लंबे समय तक परेशान करेंगे और सबसे अधिक "उभरेंगे" अप्रत्याशित स्थान। खैर, वह सामने आई। आइए हमारे समीकरण और इस सूत्र को देखें:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

यदि हम मानते हैं कि $a=3$ दाईं ओर हमारी मूल संख्या है, और $b=2$ घातीय फ़ंक्शन का बहुत आधार है जिसे हम कम करना चाहते हैं दाईं ओर, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3)\Rightarrow x=( (\ लॉग)_(2))3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हमें थोड़ा अजीब जवाब मिला: $x=((\log )_(2))3$। किसी अन्य कार्य में, इस तरह के उत्तर के साथ, बहुत से लोग संदेह करेंगे और अपने समाधान को दोबारा जांचना शुरू कर देंगे: क्या होगा अगर कहीं कोई गलती हो? मैं आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करता हूं: यहां कोई त्रुटि नहीं है, और घातीय समीकरणों की जड़ों में लॉगरिदम काफी विशिष्ट स्थिति है। तो इसकी आदत डालें। :)

अब हम सादृश्य द्वारा शेष दो समीकरणों को हल करते हैं:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! वैसे, अंतिम उत्तर अलग तरह से लिखा जा सकता है:

यह हम थे जिन्होंने गुणक को लघुगणक के तर्क में पेश किया। लेकिन हमें इस कारक को आधार से जोड़ने से कोई नहीं रोकता है:

इस मामले में, तीनों विकल्प सही हैं - यह सही है अलग - अलग रूपएक ही नंबर का रिकॉर्ड इस निर्णय में किसे चुनना और लिखना है, यह आप पर निर्भर है।

इस प्रकार, हमने $((a)^(x))=b$ फॉर्म के किसी भी घातीय समीकरण को हल करना सीख लिया है, जहां संख्या $a$ और $b$ सख्ती से सकारात्मक हैं। हालांकि, हमारी दुनिया की कड़वी हकीकत ऐसी है कि सरल कार्यबहुत कम मिलेंगे, बहुत कम मिलेंगे। अधिक बार आप कुछ इस तरह से आएंगे:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? क्या इसे बिल्कुल हल किया जा सकता है? और अगर ऐसा है तो कैसे?

घबराए नहीं। ये सभी समीकरण जल्दी और आसानी से कम हो जाते हैं सरल सूत्रजिस पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। आपको केवल बीजगणित पाठ्यक्रम से कुछ तरकीबों को याद रखने के लिए जानने की जरूरत है। और हां, यहां डिग्री के साथ काम करने के लिए कोई नियम नहीं हैं। मैं अब इस सब के बारे में बात करूंगा। :)

घातीय समीकरणों का परिवर्तन

याद रखने वाली पहली बात यह है कि कोई भी घातीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, एक तरह से या किसी अन्य को सरलतम समीकरणों में कम किया जाना चाहिए - वही जिन्हें हमने पहले ही माना है और जिन्हें हम हल करना जानते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी घातीय समीकरण को हल करने की योजना इस तरह दिखती है:

1. मूल समीकरण लिखिए। उदाहरण के लिए: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. कुछ बेवकूफी करो। या कुछ बकवास भी कहा जाता है "समीकरण को बदलना";
3. आउटपुट पर, सरलतम भाव प्राप्त करें जैसे $((4)^(x))=4$ या ऐसा कुछ और। इसके अलावा, एक प्रारंभिक समीकरण एक साथ कई ऐसे व्यंजक दे सकता है।

पहले बिंदु के साथ, सब कुछ स्पष्ट है - मेरी बिल्ली भी एक पत्ते पर समीकरण लिख सकती है। तीसरे बिंदु के साथ, ऐसा लगता है, यह कमोबेश स्पष्ट है - हमने पहले ही ऐसे समीकरणों का एक पूरा समूह हल कर लिया है।

लेकिन दूसरे बिंदु का क्या? रूपांतरण क्या हैं? क्या बदलना है? और कैसे?

खैर, आइए इसका पता लगाते हैं। सबसे पहले, मैं निम्नलिखित का उल्लेख करना चाहूंगा। सभी घातीय समीकरण दो प्रकारों में विभाजित हैं:

1. समीकरण एक ही आधार के साथ घातीय कार्यों से बना है। उदाहरण: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. सूत्र में विभिन्न आधारों के साथ घातीय कार्य होते हैं। उदाहरण: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ और $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$।

आइए पहले प्रकार के समीकरणों से शुरू करें - वे हल करने में सबसे आसान हैं। और उनके समाधान में हमें स्थिर अभिव्यक्तियों के चयन जैसी तकनीक से मदद मिलेगी।

एक स्थिर अभिव्यक्ति को हाइलाइट करना

आइए इस समीकरण को फिर से देखें:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

हम क्या देखते हैं? चारों को अलग-अलग डिग्री तक उठाया जाता है। लेकिन ये सभी डिग्री साधारण रकमअन्य संख्याओं के साथ चर $x$। इसलिए, डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना आवश्यक है:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(वाई)))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, घातांक के योग को शक्तियों के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है, और घटाव आसानी से विभाजन में परिवर्तित हो जाता है। आइए इन सूत्रों को हमारे समीकरण से शक्तियों पर लागू करने का प्रयास करें:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\अंत (संरेखित करें)\]

हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं, और फिर हम बाईं ओर के सभी शब्दों को एकत्रित करते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -ग्यारह; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\अंत (संरेखित करें)\]

पर पहले चारशर्तें, एक तत्व है $((4)^(x))$ — हम इसे ब्रैकेट से बाहर निकालते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यह समीकरण के दोनों भागों को अंश $-\frac(11)(4)$ से विभाजित करने के लिए रहता है, अर्थात। उल्टे अंश से अनिवार्य रूप से गुणा करें - $-\frac(4)(11)$। हम पाते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \बाएं(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमने मूल समीकरण को सरलतम में घटा दिया और अंतिम उत्तर प्राप्त कर लिया।

उसी समय, हल करने की प्रक्रिया में, हमने सामान्य गुणनखंड $((4)^(x))$ की खोज की (और यहां तक ​​कि कोष्ठक से बाहर भी ले लिया) - यह स्थिर अभिव्यक्ति है। इसे एक नए चर के रूप में नामित किया जा सकता है, या आप इसे केवल सटीक रूप से व्यक्त कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। किसी भी मामले में, समाधान का मुख्य सिद्धांत इस प्रकार है:

मूल समीकरण में एक स्थिर व्यंजक खोजें जिसमें एक चर हो जो सभी घातांकीय कार्यों से आसानी से अलग हो।

अच्छी खबर यह है कि लगभग हर घातीय समीकरण ऐसी स्थिर अभिव्यक्ति को स्वीकार करता है।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: इस तरह के भाव बहुत मुश्किल हो सकते हैं, और उन्हें अलग करना काफी मुश्किल हो सकता है। तो आइए एक और समस्या देखें:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

शायद अब किसी के मन में यह सवाल होगा: “पाशा, क्या तुम पथराव कर रहे हो? यहाँ विभिन्न आधार हैं - 5 और 0.2। लेकिन आइए आधार 0.2 के साथ एक शक्ति को परिवर्तित करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए दशमलव अंश से छुटकारा पाएं, इसे सामान्य पर लाएं:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10)) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 5 अभी भी दिखाई दी, यद्यपि हर में। उसी समय, संकेतक को नकारात्मक के रूप में फिर से लिखा गया था। और अब हम इनमें से एक को याद करते हैं आवश्यक नियमडिग्री के साथ काम करें:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\बाएं(x+1 \right)))=((\बाएं(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

यहाँ, निश्चित रूप से, मैंने थोड़ा धोखा दिया। क्योंकि पूरी तरह से समझने के लिए, नकारात्मक संकेतकों से छुटकारा पाने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाना था:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\बाएं(\frac(1)(5)\right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ दाएं))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

दूसरी ओर, कुछ भी हमें केवल एक अंश के साथ काम करने से नहीं रोकता है:

\[((\बाएं(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\बाएं(((5)^(-1)) \ दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं)))=((5)^(\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) ))=((5)^(x+1))\]

लेकिन इस मामले में, आपको एक डिग्री को दूसरी डिग्री तक बढ़ाने में सक्षम होना चाहिए (मैं आपको याद दिलाता हूं: इस मामले में, संकेतक जोड़े जाते हैं)। लेकिन मुझे अंशों को "फ्लिप" नहीं करना था - शायद किसी के लिए यह आसान होगा। :)

किसी भी स्थिति में, मूल घातांक समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

तो यह पता चला है कि मूल समीकरण को पहले की तुलना में हल करना और भी आसान है: यहां आपको एक स्थिर अभिव्यक्ति को एकल करने की भी आवश्यकता नहीं है - सब कुछ अपने आप कम हो गया है। यह केवल याद रखना है कि $1=((5)^(0))$, जहां से हमें मिलता है:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यही है पूरा समाधान! हमें अंतिम उत्तर मिला: $x=-2$। उसी समय, मैं एक तरकीब पर ध्यान देना चाहूंगा जिसने हमारे लिए सभी गणनाओं को बहुत सरल बना दिया:

घातांकीय समीकरणों में, से छुटकारा पाना सुनिश्चित करें दशमलव भाग, उन्हें सामान्य में परिवर्तित करें। यह आपको डिग्री के समान आधारों को देखने की अनुमति देगा और समाधान को बहुत सरल करेगा।

आइए आगे बढ़ते हैं जटिल समीकरणजिसमें अलग-अलग आधार होते हैं, जो आमतौर पर डिग्री की मदद से एक दूसरे से कम नहीं होते हैं।

घातांक संपत्ति का उपयोग करना

मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास दो और विशेष रूप से कठोर समीकरण हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यहां मुख्य कठिनाई यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किस आधार पर और किस आधार पर नेतृत्व करना है। कहाँ पे भाव सेट करें? सामान्य आधार कहाँ हैं? इसमें से कोई नहीं है।

लेकिन चलिए दूसरे रास्ते पर जाने की कोशिश करते हैं। अगर तैयार नहीं है एक ही आधार, आप उपलब्ध आधारों को फ़ैक्टर करके उन्हें खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए पहले समीकरण से शुरू करें:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ सीडॉट ((3)^(3x))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन आप इसके विपरीत कर सकते हैं - 7 और 3 की संख्या से 21 की संख्या बनाएं। बाईं ओर ऐसा करना विशेष रूप से आसान है, क्योंकि दोनों डिग्री के संकेतक समान हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& एक्स = 3। \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! आपने घातांक को गुणनफल से बाहर निकाला और तुरंत एक सुंदर समीकरण प्राप्त किया जिसे दो पंक्तियों में हल किया जा सकता है।

अब दूसरे समीकरण से निपटते हैं। यहाँ सब कुछ बहुत अधिक जटिल है:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\बाएं(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

इस मामले में, अंश अप्रासंगिक हो गए, लेकिन अगर कुछ कम किया जा सकता है, तो इसे कम करना सुनिश्चित करें। यह अक्सर दिलचस्प आधारों का परिणाम देगा जिनके साथ आप पहले से ही काम कर सकते हैं।

दुर्भाग्य से, हम कुछ भी लेकर नहीं आए हैं। लेकिन हम देखते हैं कि उत्पाद में बाईं ओर के घातांक विपरीत हैं:

मैं आपको याद दिला दूं: घातांक में ऋण चिह्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको अंश को "फ्लिप" करने की आवश्यकता है। तो चलिए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\बाएं(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\बाएं(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी पंक्ति में, हमने अभी-अभी निकाला कुल स्कोरकोष्ठक उत्पाद से नियम के अनुसार $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, और बाद में बस संख्या 100 को एक भिन्न से गुणा किया।

अब ध्यान दें कि बाईं ओर (आधार पर) और दाईं ओर की संख्याएँ कुछ हद तक समान हैं। कैसे? हाँ, ज़ाहिर है: वे एक ही संख्या की शक्तियाँ हैं! हमारे पास है:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \दाएं))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \दाएं))^(2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, हमारे समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \दाएं))^(2))\]

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

उसी समय, दाईं ओर, आप उसी आधार के साथ एक डिग्री भी प्राप्त कर सकते हैं, जिसके लिए यह केवल अंश को "फ्लिप" करने के लिए पर्याप्त है:

\[((\बाएं(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

अंत में, हमारा समीकरण रूप लेगा:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

यही पूरा समाधान है। उनका मुख्य विचार यह है कि भले ही अलग आधारहम इन आधारों को एक समान करने के लिए हुक या बदमाश द्वारा कोशिश कर रहे हैं। यह हमारी मदद करता है प्राथमिक परिवर्तनशक्तियों के साथ काम करने के लिए समीकरण और नियम।

लेकिन क्या नियम और कब उपयोग करना है? कैसे समझें कि एक समीकरण में आपको दोनों पक्षों को किसी चीज़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, और दूसरे में - घातीय फ़ंक्शन के आधार को कारक बनाने के लिए?

इस प्रश्न का उत्तर अनुभव के साथ मिलेगा। पहले अपना हाथ आजमाएं सरल समीकरण, और फिर धीरे-धीरे कार्यों को जटिल बनाते हैं - और बहुत जल्द ही आपका कौशल उसी यूएसई या किसी भी स्वतंत्र / परीक्षण कार्य से किसी भी घातीय समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त होगा।

और इस कठिन कार्य में आपकी सहायता करने के लिए, मैं एक स्वतंत्र समाधान के लिए मेरी वेबसाइट पर समीकरणों का एक सेट डाउनलोड करने का सुझाव देता हूं। सभी समीकरणों के उत्तर होते हैं, इसलिए आप हमेशा स्वयं की जांच कर सकते हैं।

1º. घातीय समीकरणघातांक में एक चर वाले नाम समीकरण।

घातांकीय समीकरणों का समाधान घात गुण पर आधारित होता है: समान आधार वाली दो घातें समान होती हैं यदि और केवल यदि उनके घातांक समान हों।

2º. घातीय समीकरणों को हल करने के मूल तरीके:

1) सरलतम समीकरण का एक हल होता है;

2) आधार से लघुगणक द्वारा रूप का एक समीकरण एक दिमाग में लाओ;

3) फॉर्म का समीकरण समीकरण के बराबर है;

4) फॉर्म का एक समीकरण समीकरण के बराबर है।

5) प्रतिस्थापन के माध्यम से फॉर्म का समीकरण समीकरण में कम हो जाता है, और फिर सरल घातीय समीकरणों का एक सेट हल हो जाता है;

6) पारस्परिक मात्राओं के साथ समीकरण प्रतिस्थापन द्वारा समीकरण को कम करें, और फिर समीकरणों के सेट को हल करें;

7) के संबंध में सजातीय समीकरण एक जी (एक्स)तथा बी जी (एक्स)इस शर्त पर मेहरबान प्रतिस्थापन के माध्यम से समीकरण को कम करें, और फिर समीकरणों के सेट को हल करें।

घातीय समीकरणों का वर्गीकरण।

1. एक आधार में संक्रमण द्वारा हल किए गए समीकरण.

उदाहरण 18. समीकरण को हल कीजिए .

हल: आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि घातों के सभी आधार 5 की घात हैं।

2. एक घातांक को पास करके हल किए गए समीकरण.

इन समीकरणों को मूल समीकरण को रूप में बदलकर हल किया जाता है , जो कि आनुपातिक संपत्ति का उपयोग करके अपने सरलतम तक कम हो जाता है।

उदाहरण 19. समीकरण को हल करें:

3. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में रखकर हल किए गए समीकरण.

यदि समीकरण में प्रत्येक घातांक दूसरे से किसी संख्या से भिन्न होता है, तो सबसे छोटे घातांक के साथ घात को कोष्ठक में रखकर समीकरणों को हल किया जाता है।

उदाहरण 20. समीकरण को हल कीजिए।

हल: आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक में से सबसे छोटे घातांक के साथ डिग्री रखें:

उदाहरण 21. समीकरण को हल कीजिए

हल: हम समीकरण के बाईं ओर अलग-अलग पदों को आधार 4 के साथ डिग्री वाले, दाईं ओर - आधार 3 के साथ समूहित करते हैं, फिर डिग्री को सबसे छोटे घातांक के साथ कोष्ठक से बाहर रखते हैं:

4. द्विघात (या घन) समीकरणों को कम करने वाले समीकरण.

निम्नलिखित समीकरण नए चर y के संबंध में द्विघात समीकरण में कम हो गए हैं:

ए) प्रतिस्थापन का प्रकार, जबकि;

बी) प्रतिस्थापन का प्रकार, जबकि।

उदाहरण 22. समीकरण को हल कीजिए .

हल: आइए चर का परिवर्तन करें और हल करें द्विघात समीकरण:

.

उत्तर: 0; एक।

5. घातांकीय फलनों के संबंध में सजातीय समीकरण।

दृश्य समीकरण है सजातीय समीकरणअज्ञात के सापेक्ष दूसरी डिग्री एक एक्सतथा बी एक्स. इस तरह के समीकरण दोनों भागों के प्रारंभिक विभाजन द्वारा और बाद में द्विघात समीकरणों के प्रतिस्थापन से कम हो जाते हैं।

उदाहरण 23. समीकरण को हल कीजिए।

हल: समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:

रखने पर, हमें जड़ों के साथ एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।

अब समस्या समीकरणों के सेट को हल करने के लिए कम हो गई है . पहले समीकरण से, हम पाते हैं कि । दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि किसी भी मान के लिए एक्स.

उत्तर: -1/2।

6. घातीय कार्यों के संबंध में तर्कसंगत समीकरण.

उदाहरण 24. समीकरण को हल कीजिए।

हल: भिन्न के अंश और हर को से भाग दें 3 एक्सऔर दो के बजाय हमें एक घातीय कार्य मिलता है:

7. फॉर्म के समीकरण .

स्थिति द्वारा निर्धारित स्वीकार्य मूल्यों (ODV) के एक सेट के साथ ऐसे समीकरण, समीकरण के दोनों हिस्सों के लघुगणक को लेकर, एक समान समीकरण में कम हो जाते हैं, जो बदले में दो समीकरणों के संयोजन के बराबर होते हैं या।

उदाहरण 25. समीकरण को हल करें:।

.

उपदेशात्मक सामग्री।

समीकरणों को हल करें:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए .

27. समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए .

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

28. , जहां X 0- समीकरण की जड़;

29. , जहां X 0समीकरण की जड़ है .

प्रश्न हल करें:

31. ; 32. .

उत्तर:दस; 2.-2/9; 3. 1/36; 4.0, 0.5; पचास; 6.0; 7.-2; 8.2; 9.1, 3; 10.8; 11.5; 12.1; 13. ; 14.2; 15. -2, -1; 16.-2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20.-1, 0; 21.-2, 2; 22.-2, 2; 23.4; 24.-1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31.; 32..

टॉपिक नंबर 8.

घातीय असमानताएँ।

1º. घातांक में एक चर वाली असमानता कहलाती है अनुकरणीय असमानता।

2º. समाधान घातीय असमानताएँप्रकार निम्नलिखित कथनों पर आधारित है:

अगर, तो असमानता के बराबर है;

अगर, तो असमानता के बराबर है।

घातीय असमानताओं को हल करते समय, घातीय समीकरणों को हल करते समय उसी तकनीक का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 26. असमानता को हल करें (एक आधार पर संक्रमण की विधि).

हल: क्योंकि , तो दी गई असमानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है: . चूँकि , यह असमानता असमानता के बराबर है .

अंतिम असमानता को हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 27. असमानता को हल करें: ( उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने की विधि).

समाधान: हम असमानता के बाईं ओर, असमानता के दाईं ओर कोष्ठक निकालते हैं और असमानता के दोनों पक्षों को (-2) से विभाजित करते हैं, असमानता के संकेत को विपरीत में बदलते हैं:

तब से, संकेतकों की असमानता के संक्रमण में, असमानता का संकेत फिर से विपरीत में बदल जाता है। हम पाते हैं । इस प्रकार, इस असमानता के सभी समाधानों का समुच्चय अंतराल है।

उदाहरण 28. असमानता को हल करें ( एक नया चर शुरू करने की विधि).

समाधान: चलो। तब यह असमानता रूप लेती है: या जिसका हल अंतराल है।

यहाँ से। चूंकि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो .

उपदेशात्मक सामग्री।

असमानता के समाधान के सेट को निर्दिष्ट करें:

1. ; 2. ; 3. ;

6. किन मूल्यों पर एक्सक्या फलन के ग्राफ के बिंदु रेखा के नीचे होते हैं?

7. किन मूल्यों पर एक्सक्या फलन के ग्राफ के बिंदु रेखा के नीचे नहीं होते हैं?

असमानता को हल करें:

8. ; 9. ; 10. ;

13. असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान इंगित करें .

14. असमानता के सबसे बड़े पूर्णांक और सबसे छोटे पूर्णांक हल का गुणनफल ज्ञात कीजिए .

असमानता को हल करें:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

फ़ंक्शन का दायरा खोजें:

27. ; 28. .

29. तर्क मानों का सेट खोजें जिसके लिए प्रत्येक फ़ंक्शन का मान 3 से अधिक है:

तथा .

उत्तर: 11.3; 12.3; 13.-3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16.; 17. (-1; 0) यू (3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20.(0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23.(0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5) यू (4; +∞); 27. (-∞; 3) यू (5); 28. )