फ़ंक्शन लिम की सीमाएं। अनुक्रम सीमा और कार्य

समारोहवाई = एफ (एक्स)नियम (नियम) कहलाता है, जिसके अनुसार समुच्चय X का प्रत्येक अवयव x समुच्चय Y के एक और केवल एक अवयव y से जुड़ा होता है।

तत्व x एक्सबुलाया फ़ंक्शन तर्कया स्वतंत्र चर.
वाई तत्व यूबुलाया समारोह मूल्यया निर्भर चर.

समुच्चय X कहलाता है समारोह का दायरा.
तत्वों का सेट y यू, जिसमें सेट X में प्रीइमेज हैं, कहलाते हैं क्षेत्र या फ़ंक्शन मानों का सेट.

वास्तविक कार्य कहलाता है ऊपर से सीमित (नीचे से), यदि ऐसी कोई संख्या M है जो सभी के लिए निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
संख्यात्मक कार्यबुलाया सीमित, यदि कोई संख्या M मौजूद है जैसे कि सभी के लिए:
.

शीर्ष चेहराया सटीक ऊपरी सीमावास्तविक फ़ंक्शन को सबसे छोटी संख्या कहा जाता है जो ऊपर से इसके मूल्यों की सीमा को सीमित करता है। अर्थात्, यह एक संख्या s है जिसके लिए, सभी के लिए और किसी के लिए, ऐसा तर्क है, जिसके फलन का मान s′: से अधिक है।
फ़ंक्शन की ऊपरी सीमा को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
.

क्रमश निचला चेहराया सटीक निचली सीमावास्तविक फ़ंक्शन को सबसे बड़ी संख्या कहा जाता है जो नीचे से अपने मूल्यों की सीमा को सीमित करता है। अर्थात्, यह एक संख्या है जिसके लिए सभी के लिए और किसी के लिए, ऐसा तर्क है, फ़ंक्शन का मान जिसमें से i′: से कम है।
किसी फ़ंक्शन की निचली सीमा को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
.

किसी फ़ंक्शन की सीमा निर्धारित करना

किसी फ़ंक्शन की कॉची सीमा की परिभाषा

समापन बिंदुओं पर परिमित कार्य सीमाएं

फ़ंक्शन को अंत बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित करें, सिवाय, शायद, बिंदु के लिए ही। बिंदु पर, यदि किसी के लिए ऐसा मौजूद है, जो इस पर निर्भर करता है, कि सभी x के लिए, जिसके लिए, असमानता
.
किसी फ़ंक्शन की सीमा को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा निम्नानुसार लिखी जा सकती है:
.

एकतरफा सीमाएं।
बिंदु पर बाईं सीमा (बाईं ओर की सीमा):
.
एक बिंदु पर दाहिनी सीमा (दाहिने हाथ की सीमा):
.
बाएँ और दाएँ की सीमाओं को अक्सर निम्नानुसार दर्शाया जाता है:
; .

अनंत पर बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमाएं

असीम रूप से दूर के बिंदुओं पर सीमाएं समान रूप से परिभाषित की जाती हैं।
.
.
.
उन्हें अक्सर कहा जाता है:
; ; .

एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करना

यदि हम किसी बिंदु के पंचर पड़ोस की अवधारणा का परिचय देते हैं, तो हम परिमित और अनंत बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा की एकीकृत परिभाषा दे सकते हैं:
.
यहाँ समापन बिंदुओं के लिए
; ;
.
अनंत पर बिंदुओं के किसी भी पड़ोस को पंचर किया जाता है:
; ; .

अनंत कार्य सीमाएं

परिभाषा
फ़ंक्शन को किसी बिंदु (परिमित या अनंत पर) के कुछ पंचर पड़ोस में परिभाषित करने दें। फलन की सीमा f (एक्स)एक्स → एक्स . के रूप में 0 अनंत के बराबर, यदि किसी के लिए, मनमाने ढंग से एक बड़ी संख्या मेंएम > 0 , एक संख्या M . मौजूद है > 0 , एम के आधार पर, कि सभी एक्स के लिए एक पंचर δ एम - बिंदु के पड़ोस से संबंधित है: निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
अनंत सीमा को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा की परिभाषा निम्नानुसार लिखी जा सकती है:
.

और के बराबर कुछ चिह्नों की अनंत सीमाओं की परिभाषा देना भी संभव है:
.
.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की सार्वभौमिक परिभाषा

एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करते हुए, कोई एक फ़ंक्शन की परिमित और अनंत सीमा की एक सार्वभौमिक परिभाषा दे सकता है, जो परिमित (दो तरफा और एक तरफा) और असीम रूप से दूर के बिंदुओं पर लागू होता है:
.

हाइन के अनुसार किसी फलन की सीमा की परिभाषा

मान लें कि फ़ंक्शन को कुछ सेट X: पर परिभाषित किया गया है।
संख्या a को फलन की सीमा कहते हैंबिंदु पर:
,
यदि x . में अभिसरण करने वाले किसी अनुक्रम के लिए 0 :
,
जिनके अवयव समुच्चय X से संबंधित हैं : ,
.

हम इस परिभाषा को अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखते हैं:
.

यदि हम सेट X के रूप में बिंदु x . के बाएं हाथ के पड़ोस को लेते हैं 0 , तो हमें बाईं सीमा की परिभाषा मिलती है। यदि यह दाहिने हाथ की है, तो हमें सही सीमा की परिभाषा मिलती है। यदि हम अनंत पर एक बिंदु के पड़ोस को सेट एक्स के रूप में लेते हैं, तो हम अनंत पर एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा प्राप्त करते हैं।

प्रमेय
किसी फ़ंक्शन की सीमा की कॉची और हाइन परिभाषाएँ समतुल्य हैं।
सबूत

किसी फ़ंक्शन की सीमा के गुण और प्रमेय

इसके अलावा, हम मानते हैं कि विचाराधीन कार्यों को बिंदु के संबंधित पड़ोस में परिभाषित किया गया है, जो एक परिमित संख्या या प्रतीकों में से एक है:। यह एकतरफा सीमा बिंदु भी हो सकता है, यानी फॉर्म या . पड़ोस दो तरफा सीमा के लिए दो तरफा और एक तरफा के लिए एक तरफा है।

मूल गुण

यदि फ़ंक्शन का मान f (एक्स)अंक x . की एक सीमित संख्या में बदलें (या अपरिभाषित करें) 1 , x 2 , x 3 , ... x n, तो यह परिवर्तन एक मनमाना बिंदु x . पर फलन की सीमा के अस्तित्व और मान को प्रभावित नहीं करेगा 0 .

यदि कोई परिमित सीमा है, तो बिंदु x . का ऐसा पंचर पड़ोस है 0 , जिस पर फ़ंक्शन f (एक्स)सीमित:
.

मान लीजिए कि फलन का बिंदु x . है 0 शून्य के अलावा अंतिम सीमा:
.
फिर, अंतराल से किसी भी संख्या c के लिए, बिंदु x . का एक ऐसा पंचर पड़ोस मौजूद है 0 किस लिए,
, यदि ;
, यदि ।

यदि, बिंदु के किसी छिद्रित पड़ोस पर, स्थिर है, तो।

यदि परिमित सीमाएँ हैं और बिंदु x . के कुछ पंचर पड़ोस पर हैं 0
,
फिर ।

अगर , और बिंदु के किसी पड़ोस पर
,
फिर ।
विशेष रूप से, यदि बिंदु के किसी मोहल्ले पर
,
तब यदि , तो और ;
अगर , तो और .

यदि बिंदु x . के कुछ छिद्रित पड़ोस पर 0 :
,
और परिमित (या एक निश्चित चिह्न के अनंत) समान सीमाएँ हैं:
, फिर
.

मुख्य गुणों के प्रमाण पृष्ठ पर दिए गए हैं
"एक फ़ंक्शन की सीमाओं के मूल गुण"।

किसी फ़ंक्शन की सीमा के अंकगणितीय गुण

कार्यों और बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस में परिभाषित होने दें। और सीमित सीमाएँ होने दें:
तथा ।
और मान लीजिए C एक अचर है, जो कि एक दी हुई संख्या है। फिर
;
;
;
, यदि ।

तो अगर ।

अंकगणितीय गुणों के प्रमाण पृष्ठ पर दिए गए हैं
"एक फ़ंक्शन की सीमाओं के अंकगणितीय गुण"।

किसी फलन की सीमा के अस्तित्व के लिए कॉची मानदंड

प्रमेय
एक परिमित के कुछ पंचर पड़ोस पर या अनंत बिंदु x . पर परिभाषित फ़ंक्शन के लिए 0 , इस बिंदु पर एक सीमित सीमा थी, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि किसी भी . के लिए > 0 बिंदु x . का ऐसा पंचर पड़ोस था 0 , कि किसी भी बिंदु के लिए और इस पड़ोस से, निम्नलिखित असमानता रखती है:
.

जटिल कार्य सीमा

सीमा प्रमेय जटिल कार्य
फ़ंक्शन की एक सीमा होने दें और बिंदु के पंचर पड़ोस को बिंदु के पंचर पड़ोस पर मैप करें। इस पड़ोस पर कार्य परिभाषित किया जाए और उस पर एक सीमा रखी जाए।
यहाँ - अंतिम या असीम रूप से दूर के बिंदु: . आस-पड़ोस और उनकी संगत सीमाएँ या तो दो तरफा या एक तरफा हो सकती हैं।
तब जटिल कार्य की एक सीमा होती है और यह इसके बराबर होती है:
.

जटिल फ़ंक्शन सीमा प्रमेय तब लागू होता है जब फ़ंक्शन किसी बिंदु पर परिभाषित नहीं होता है या सीमा मान के अलावा कोई अन्य मान होता है। इस प्रमेय को लागू करने के लिए, उस बिंदु का एक पंचर पड़ोस होना चाहिए जिस पर फ़ंक्शन के मानों के सेट में बिंदु नहीं होता है:
.

यदि फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतर है, तो सीमा चिह्न को तर्क पर लागू किया जा सकता है निरंतर कार्य:
.
इस मामले से संबंधित एक प्रमेय निम्नलिखित है।

किसी फलन के सतत फलन की सीमा पर प्रमेय
माना फलन की एक सीमा है g (टी)टी → टी . के रूप में 0 , और यह x . के बराबर है 0 :
.
यहाँ बिंदु 0 परिमित या अनंत पर हो सकता है: .
और फ़ंक्शन को f . होने दें (एक्स) x . पर निरंतर 0 .
तब संयुक्त फलन की एक सीमा होती है f (जी (टी)), और यह f . के बराबर है (x0):
.

प्रमेयों के प्रमाण पृष्ठ पर दिए गए हैं
"एक जटिल कार्य की सीमा और निरंतरता"।

अनंत और असीम रूप से बड़े कार्य

असीम रूप से छोटे कार्य

परिभाषा
if . के लिए एक फ़ंक्शन को इनफिनिटसिमल कहा जाता है
.

योग, अंतर और उत्पादके लिए असीम रूप से छोटे कार्यों की एक सीमित संख्या के लिए एक अनंतिम कार्य है।

बंधे हुए फ़ंक्शन का उत्पादबिंदु के कुछ पंचर पड़ोस पर, के लिए एक इनफिनिटिमल के लिए का एक इनफिनिटिमल फ़ंक्शन है।

किसी फलन की परिमित सीमा होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि
,
जहां के लिए एक अतिसूक्ष्म कार्य है।

"अनंत कार्यों के गुण"।

असीम रूप से बड़े कार्य

परिभाषा
फ़ंक्शन को असीम रूप से बड़ा कहा जाता है if
.

बिंदु के कुछ पंचर पड़ोस पर एक बंधे हुए फ़ंक्शन का योग या अंतर, और एक असीम रूप से बड़ा फ़ंक्शन अनंत है महान विशेषतापर ।

यदि फ़ंक्शन असीम रूप से बड़ा है, और फ़ंक्शन बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर घिरा हुआ है, तो
.

यदि फ़ंक्शन, बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, असमानता को संतुष्ट करता है:
,
और फ़ंक्शन इसके लिए असीम रूप से छोटा है:
, और (बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर), तो
.

संपत्तियों के प्रमाण अनुभाग में दिए गए हैं
"असीम रूप से बड़े कार्यों के गुण"।

असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे कार्यों के बीच संबंध

असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे कार्यों के बीच का संबंध पिछले दो गुणों से होता है।

यदि फलन पर अपरिमित रूप से बड़ा है, तो फलन पर अपरिमित रूप से छोटा है।

यदि फलन के लिए, और के लिए अपरिमित रूप से छोटा है, तो फलन के लिए अपरिमित रूप से बड़ा है।

एक अपरिमित और एक अपरिमित रूप से बड़े फलन के बीच संबंध को व्यक्त किया जा सकता है प्रतीकात्मक:
, .

यदि एक अन्तर्निहित फलन का एक निश्चित चिह्न है, अर्थात यह बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर धनात्मक (या ऋणात्मक) है, तो इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
.
इसी तरह, यदि किसी अपरिमित रूप से बड़े फलन का एक निश्चित चिह्न है, तो वे लिखते हैं:
.

फिर असीम रूप से छोटे और असीम रूप से बड़े कार्यों के बीच प्रतीकात्मक संबंध को निम्नलिखित संबंधों द्वारा पूरक किया जा सकता है:
, ,
, .

अनंत प्रतीकों से संबंधित अतिरिक्त सूत्र पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं
"अनंत पर अंक और उनके गुण"।

मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएं

परिभाषा
वास्तविक संख्या X के किसी समुच्चय पर परिभाषित फलन कहलाता है सख्ती से बढ़ रहा है, यदि सभी के लिए ऐसा है कि निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
तदनुसार, के लिए सख्ती से घट रहा हैसमारोह, निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
के लिये गैर घटते:
.
के लिये गैर बढ़ती:
.

इसका तात्पर्य यह है कि सख्ती से बढ़ता हुआ कार्य भी कम नहीं होता है। एक सख्ती से घटने वाला कार्य भी गैर-बढ़ रहा है।

समारोह कहा जाता है नीरसअगर यह गैर-घटता या गैर-बढ़ती है।

प्रमेय
फ़ंक्शन को अंतराल पर कम नहीं होने दें, जहां।
यदि यह ऊपर से M: संख्या से घिरा है, तो एक सीमित सीमा है। यदि ऊपर से बंधा नहीं है, तो .
यदि यह नीचे से संख्या m: से घिरा है, तो एक सीमित सीमा है। यदि नीचे नहीं बांधा गया है, तो .

यदि बिंदु a और b अनंत पर हैं, तो व्यंजकों में सीमा चिन्ह का अर्थ है कि ।
इस प्रमेय को अधिक सघन रूप से तैयार किया जा सकता है।

फ़ंक्शन को अंतराल पर कम नहीं होने दें, जहां। फिर बिंदु a और b पर एकतरफा सीमाएँ हैं:
;
.

गैर-बढ़ते फ़ंक्शन के लिए एक समान प्रमेय।

फ़ंक्शन को अंतराल पर न बढ़ने दें, जहां। फिर एकतरफा सीमाएँ हैं:
;
.

प्रमेय का प्रमाण पृष्ठ पर बताया गया है
"मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएं"।

सन्दर्भ:
एल.डी. कुद्रियात्सेव। गणितीय विश्लेषण का कोर्स। खंड 1. मॉस्को, 2003।
सेमी। निकोल्स्की। गणितीय विश्लेषण का कोर्स। खंड 1. मॉस्को, 1983।

सीमा का सिद्धांत गणितीय विश्लेषण की शाखाओं में से एक है। सीमा को हल करने का सवाल काफी व्यापक है, क्योंकि सीमा को हल करने के दर्जनों तरीके हैं विभिन्न प्रकार. दर्जनों बारीकियां और तरकीबें हैं जो आपको एक या दूसरी सीमा को हल करने की अनुमति देती हैं। फिर भी, हम अभी भी उन मुख्य प्रकार की सीमाओं को समझने की कोशिश करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार सामने आती हैं।

आइए एक सीमा की अवधारणा से शुरू करें। लेकिन पहले, एक संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। एक बार 19वीं शताब्दी में एक फ्रांसीसी ऑगस्टिन लुई कॉची थे, जिन्होंने गणितीय विश्लेषण की नींव रखी और सख्त परिभाषाएँ दीं, विशेष रूप से सीमा की परिभाषा। यह कहा जाना चाहिए कि भौतिक और गणितीय संकायों के सभी छात्रों के बुरे सपने में यह वही कॉची सपने देखता है, सपने देखता है और सपने देखता है, क्योंकि उन्होंने गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों की एक बड़ी संख्या को साबित कर दिया है, और एक प्रमेय दूसरे की तुलना में अधिक घृणित है। इस संबंध में, हम सीमा की एक सख्त परिभाषा पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन दो चीजें करने की कोशिश करेंगे:

1. समझें कि एक सीमा क्या है।
2. मुख्य प्रकार की सीमाओं को हल करना सीखें।

मैं कुछ अवैज्ञानिक स्पष्टीकरणों के लिए क्षमा चाहता हूं, यह महत्वपूर्ण है कि सामग्री एक चायदानी के लिए भी समझ में आती है, जो वास्तव में परियोजना का कार्य है।

तो सीमा क्या है?

और तुरंत एक उदाहरण है कि अपनी दादी को क्यों झकझोरना है ....

किसी भी सीमा में तीन भाग होते हैं:

1) प्रसिद्ध सीमा चिह्न।
2) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत प्रविष्टियां। प्रविष्टि में लिखा है "x एकता की ओर जाता है।" सबसे अधिक बार - बिल्कुल, हालांकि व्यवहार में "x" के बजाय अन्य चर होते हैं। व्यावहारिक कार्यों में, एक इकाई के स्थान पर, बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकती है, साथ ही अनंत ()।
3) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत कार्य।

रिकॉर्ड ही इस तरह पढ़ता है: "फ़ंक्शन की सीमा जब x एकता की ओर जाता है।"

आइए अगले महत्वपूर्ण प्रश्न का विश्लेषण करें - अभिव्यक्ति "x ." क्या है चाहता हैएकता के लिए? और वैसे भी "प्रयास" क्या है?
एक सीमा की अवधारणा एक अवधारणा है, इसलिए बोलने के लिए, गतिशील. आइए एक अनुक्रम का निर्माण करें: पहले , फिर , , …, , ….
अर्थात्, व्यंजक "x चाहता हैटू वन" को इस प्रकार समझा जाना चाहिए - "x" लगातार मान लेता है जो असीम रूप से एकता के करीब हैं और व्यावहारिक रूप से इसके साथ मेल खाते हैं.

उपरोक्त उदाहरण को कैसे हल करें? उपरोक्त के आधार पर, आपको केवल सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में इकाई को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

तो पहला नियम है: जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले केवल संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करें.

हमने सबसे सरल सीमा पर विचार किया, लेकिन ऐसे भी व्यवहार में पाए जाते हैं, और ऐसा बहुत कम ही होता है!

अनंत उदाहरण:

समझना क्या है? यह तब होता है जब यह अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है, अर्थात: पहले, फिर, फिर, फिर, और इसी तरह एड इनफिनिटम।

और इस समय समारोह का क्या होता है?
, , , …

तो: यदि , तो फ़ंक्शन शून्य से अनंत तक जाता है:

मोटे तौर पर, हमारे पहले नियम के अनुसार, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

अनंत के साथ एक और उदाहरण:

फिर से, हम अनंत तक बढ़ना शुरू करते हैं, और फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं:

निष्कर्ष: के लिए , फलन अनिश्चित काल तक बढ़ता है:

और उदाहरणों की एक और श्रृंखला:

कृपया अपने लिए निम्नलिखित का मानसिक रूप से विश्लेषण करने का प्रयास करें और सरलतम प्रकार की सीमाएँ याद रखें:

, , , , , , , , ,
अगर कहीं कोई शंका हो तो आप कैलकुलेटर उठा सकते हैं और थोड़ा अभ्यास कर सकते हैं।
इस घटना में, अनुक्रम बनाने का प्रयास करें,,। तो अगर , , ।

नोट: कड़ाई से बोलते हुए, कई संख्याओं के निर्माण अनुक्रमों के साथ यह दृष्टिकोण गलत है, लेकिन यह सरलतम उदाहरणों को समझने के लिए काफी उपयुक्त है।

निम्न बातों पर भी ध्यान दें। भले ही लिमिट दी हो एक बड़ी संख्या मेंशीर्ष पर, यहां तक ​​कि एक लाख के साथ: तब कोई फर्क नहीं पड़ता , क्योंकि जल्दी या बाद में "x" ऐसे विशाल मूल्यों पर ले जाएगा कि उनकी तुलना में एक लाख एक वास्तविक सूक्ष्म जीव होगा।

ऊपर से क्या याद रखना और समझना चाहिए?

1) जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले हम केवल एक संख्या को फलन में स्थानापन्न करने का प्रयास करते हैं।

2) आपको सरलतम सीमाओं को समझना और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे कि , , आदि।

अब हम सीमाओं के समूह पर विचार करेंगे, जब और फलन एक भिन्न है, जिसके अंश और हर बहुपद हैं

उदाहरण:

सीमा की गणना करें

हमारे नियम के अनुसार, हम एक फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करेंगे। हमें सबसे ऊपर क्या मिलता है? अनंतता। और नीचे क्या होता है? साथ ही अनंत। इस प्रकार, हमारे पास रूप की तथाकथित अनिश्चितता है। कोई ऐसा सोच सकता है, और उत्तर तैयार है, लेकिन में सामान्य मामलायह बिल्कुल भी मामला नहीं है, और कुछ समाधान लागू किया जाना चाहिए, जिस पर अब हम विचार करेंगे।

इस प्रकार की सीमाओं को कैसे हल करें?

सबसे पहले हम अंश को देखते हैं और उच्चतम शक्ति पाते हैं:

अंश में उच्चतम शक्ति दो है।

अब हम हर को देखते हैं और उच्चतम डिग्री भी पाते हैं:

हर की उच्चतम शक्ति दो है।

फिर हम अंश और हर की उच्चतम शक्ति चुनते हैं: इस उदाहरण में, वे समान हैं और दो के बराबर हैं।

तो, समाधान विधि इस प्रकार है: अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को उच्चतम डिग्री से विभाजित करना आवश्यक है।

यहाँ यह है, उत्तर, और अनंत बिल्कुल नहीं।

निर्णय लेने में क्या आवश्यक है?

सबसे पहले, हम अनिश्चितता का संकेत देते हैं, यदि कोई हो।

दूसरे, मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करना वांछनीय है। मैं आमतौर पर संकेत का उपयोग करता हूं, इसका कोई गणितीय अर्थ नहीं है, लेकिन इसका मतलब है कि समाधान एक मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए बाधित है।

तीसरा, सीमा में यह चिह्नित करना वांछनीय है कि यह क्या और कहाँ जाता है। जब काम हाथ से तैयार किया जाता है, तो इसे इस तरह करना अधिक सुविधाजनक होता है:

नोट्स के लिए, एक साधारण पेंसिल का उपयोग करना बेहतर है।

बेशक, आप इसमें से कुछ नहीं कर सकते हैं, लेकिन फिर, शायद, शिक्षक समाधान में कमियों को नोट करेगा या असाइनमेंट पर अतिरिक्त प्रश्न पूछना शुरू कर देगा। और क्या आपको इसकी आवश्यकता है?

उदाहरण 2

सीमा का पता लगाएं
फिर से अंश और हर में हम उच्चतम अंश में पाते हैं:

अंश में अधिकतम डिग्री: 3
हर में अधिकतम डिग्री: 4
चुनना महानतममान, इस मामले में चार।
हमारे एल्गोरिथ्म के अनुसार, अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, हम अंश और हर को से विभाजित करते हैं।
एक पूरा असाइनमेंट इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से भाग दें

उदाहरण 3

सीमा का पता लगाएं
अंश में "x" की अधिकतम डिग्री: 2
हर में "x" की अधिकतम शक्ति: 1 (इस रूप में लिखा जा सकता है)
अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को से विभाजित करना आवश्यक है। एक साफ समाधान इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से भाग दें

रिकॉर्ड का मतलब शून्य से विभाजन नहीं है (शून्य से विभाजित करना असंभव है), लेकिन एक असीम रूप से छोटी संख्या से विभाजन।

इस प्रकार, फॉर्म की अनिश्चितता का खुलासा करते समय, हम प्राप्त कर सकते हैं समापिका, शून्य या अनंत।

अनिश्चितता के प्रकार और उनके समाधान के लिए एक विधि के साथ सीमाएं

सीमाओं का अगला समूह कुछ हद तक अभी मानी गई सीमाओं के समान है: अंश और हर में बहुपद हैं, लेकिन "x" अब अनंत की ओर नहीं जाता है, लेकिन अंतिम संख्या.

उदाहरण 4

सीमा को हल करें
सबसे पहले, आइए एक भिन्न में -1 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

इस मामले में, तथाकथित अनिश्चितता प्राप्त की जाती है।

सामान्य नियम : यदि अंश और हर में बहुपद हैं, और रूप की अनिश्चितता है, तो इसके प्रकटीकरण के लिए अंश और हर का गुणनखंड करें.

ऐसा करने के लिए, अक्सर यह तय करना आवश्यक होता है द्विघात समीकरणऔर/या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करें। अगर ये बातें भूल जाते हैं, तो पेज पर जाएं गणितीय सूत्र और टेबलऔर चेक आउट कार्यप्रणाली सामग्री हॉट स्कूल गणित सूत्र. वैसे, इसे प्रिंट करना सबसे अच्छा है, इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है, और कागज से जानकारी बेहतर अवशोषित होती है।

तो चलिए हल करते हैं हमारी लिमिट

अंश और हर का गुणनखंड

अंश का गुणनखंड करने के लिए, आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा:

पहले हम विवेचक पाते हैं:

और इसका वर्गमूल: .

यदि विवेचक बड़ा है, उदाहरण के लिए 361, तो हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, निष्कर्षण फ़ंक्शन वर्गमूलसबसे सरल कैलकुलेटर पर है।

! यदि रूट पूरी तरह से नहीं निकाला जाता है (अल्पविराम के साथ एक भिन्नात्मक संख्या प्राप्त की जाती है), तो यह बहुत संभावना है कि विवेचक की गणना गलत तरीके से की गई थी या कार्य में कोई टाइपो है।

अगला, हम जड़ें पाते हैं:

इस तरह:

हर चीज़। अंश कारक है।

हर। भाजक पहले से ही सबसे सरल कारक है, और इसे सरल बनाने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है, इसे छोटा किया जा सकता है:

अब हम उस व्यंजक में -1 को प्रतिस्थापित करते हैं जो सीमा चिह्न के अंतर्गत रहता है:

स्वाभाविक रूप से, में नियंत्रण कार्य, परीक्षण, परीक्षा में, निर्णय को कभी भी इतने विस्तार से चित्रित नहीं किया जाता है। अंतिम संस्करण में, डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

आइए अंश का गुणनखंड करें।

उदाहरण 5

सीमा की गणना करें

सबसे पहले, एक "साफ" समाधान

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें।

अंश:
हर:



,

इस उदाहरण में क्या महत्वपूर्ण है?
सबसे पहले, आपको अच्छी तरह से समझना चाहिए कि अंश कैसे प्रकट होता है, पहले हमने 2 को ब्रैकेट किया, और फिर वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग किया। यह वह सूत्र है जिसे आपको जानना और देखना है।

उन लोगों के लिए जो इस लेख में सीमाएं खोजना सीखना चाहते हैं, हम इसके बारे में बात करेंगे। हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, यह आमतौर पर शिक्षकों द्वारा व्याख्यान में दिया जाता है। तो "उबाऊ सिद्धांत" को आपकी नोटबुक में रेखांकित किया जाना चाहिए। यदि नहीं, तो आप पुस्तकालय से ली गई पाठ्यपुस्तकों को पढ़ सकते हैं शैक्षिक संस्थाया अन्य ऑनलाइन संसाधन।

इसलिए, उच्च गणित के पाठ्यक्रम के अध्ययन में सीमा की अवधारणा काफी महत्वपूर्ण है, खासकर जब आप अभिन्न कलन में आते हैं और सीमा और अभिन्न के बीच के संबंध को समझते हैं। वर्तमान सामग्री में विचार किया जाएगा सरल उदाहरण, साथ ही उन्हें हल करने के तरीके।

समाधान उदाहरण

उदाहरण 1

परिकलित करें a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; ख)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

समाधान

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ ख)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ हम अक्सर इन सीमाओं को हल करने के लिए मदद मांगने के लिए हमें भेजे जाते हैं। हमने उन्हें एक अलग उदाहरण के रूप में उजागर करने का फैसला किया और समझाया कि इन सीमाओं को केवल एक नियम के रूप में याद रखने की आवश्यकता है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान देंगे। आप गणना की प्रगति से खुद को परिचित करने और जानकारी इकट्ठा करने में सक्षम होंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

फॉर्म की अनिश्चितता का क्या करें: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

उदाहरण 3

हल $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

समाधान

हमेशा की तरह, हम सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में $ x $ के मान को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करते हैं। $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ आगे क्या होगा? परिणाम क्या होना चाहिए? चूंकि यह एक अनिश्चितता है, यह अभी तक कोई उत्तर नहीं है और हम गणना जारी रखते हैं। चूंकि हमारे पास अंशों में बहुपद है, इसलिए हम परिचित सूत्र $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ का उपयोग करके इसे कारकों में विघटित करते हैं। याद आया? उत्कृष्ट! अब आगे बढ़ें और इसे गाने के साथ लागू करें :) हम पाते हैं कि अंश $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ हम उपरोक्त परिवर्तन को देखते हुए हल करना जारी रखते हैं: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

उत्तर

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

आइए अंतिम दो उदाहरणों की सीमा को अनंत तक ले जाएं और अनिश्चितता पर विचार करें: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

उदाहरण 5

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ की गणना करें

समाधान

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ क्या करें? हो कैसे? घबराएं नहीं, क्योंकि असंभव संभव है। अंश और हर X दोनों में कोष्ठकों को निकालना और फिर इसे कम करना आवश्यक है। उसके बाद, सीमा की गणना करने का प्रयास करें। कोशिश कर रहे हैं... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ उदाहरण 2 की परिभाषा का उपयोग करने और x के लिए अनंत को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

उत्तर

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

सीमा की गणना के लिए एल्गोरिदम

तो, आइए विश्लेषण किए गए उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें और सीमाओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं:

1. सीमा चिह्न के बाद वाले व्यंजक में बिंदु x को प्रतिस्थापित कीजिए। अगर यह निकला निश्चित संख्या, या अनंत, तो सीमा पूरी तरह से हल हो जाती है। अन्यथा, हमारे पास अनिश्चितता है: "शून्य से विभाजित शून्य" या "अनंत से विभाजित अनंत" और निर्देश के अगले पैराग्राफ पर आगे बढ़ें।
2. अनिश्चितता को खत्म करने के लिए "शून्य से शून्य भाग" आपको अंश और हर को कारक बनाना होगा। समान कम करें। सीमा चिह्न के नीचे व्यंजक में बिंदु x रखिए।
3. यदि अनिश्चितता "अनंत से विभाजित अनंत" है, तो हम अंश और हर में दोनों को सबसे बड़ी डिग्री के रूप में निकालते हैं। हम x को छोटा करते हैं। हम x मानों को सीमा के नीचे से शेष व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

इस लेख में, आप सीमा समाधान की मूल बातें से परिचित हुए, जिनका उपयोग अक्सर पाठ्यक्रम में किया जाता है। गणितीय विश्लेषण. बेशक, ये सभी प्रकार की समस्याएँ नहीं हैं जो परीक्षार्थियों द्वारा प्रस्तुत की जाती हैं, बल्कि केवल सबसे सरल सीमाएँ हैं। हम भविष्य के लेखों में अन्य प्रकार के कार्यों के बारे में बात करेंगे, लेकिन आगे बढ़ने के लिए पहले आपको यह पाठ सीखना होगा। हम चर्चा करेंगे कि क्या करना है यदि मूल, अंश हैं, तो हम अन्तर्निहित समतुल्य फलनों, अद्भुत सीमाओं, L'Hopital's रूल का अध्ययन करेंगे।

यदि आप स्वयं सीमाओं का पता नहीं लगा सकते हैं, तो घबराएं नहीं। हमें हमेशा मदद करके खुशी होती हैं!

अनुक्रमों और कार्यों की सीमा की अवधारणा। जब किसी अनुक्रम की सीमा ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: lim xn=a. अनुक्रमों के ऐसे क्रम में, xn की ओर a, और n की प्रवृत्ति अनंत की ओर होती है। एक अनुक्रम को आमतौर पर एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए:
एक्स1, एक्स2, एक्स3...,एक्सएम,...,एक्सएन...।
अनुक्रम आरोही और अवरोही में विभाजित हैं। उदाहरण के लिए:
xn=n^2 - बढ़ते क्रम
वाईएन = 1/एन - अनुक्रम
इसलिए, उदाहरण के लिए, अनुक्रम की सीमा xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

एक्स→∞
यह सीमा शून्य है क्योंकि n→∞ और अनुक्रम 1/n^2 शून्य हो जाता है।

आमतौर पर चर x एक परिमित सीमा a तक जाता है, इसके अलावा, x लगातार a की ओर बढ़ रहा है, और a का मान स्थिर है। यह इस प्रकार लिखा गया है: limx = a, जबकि n भी शून्य और अनंत दोनों की ओर प्रवृत्त हो सकता है। अनंत कार्य हैं, उनके लिए सीमा अनंत तक जाती है। अन्य मामलों में, जब, उदाहरण के लिए, ट्रेन को धीमा करने का कार्य, शून्य की ओर झुकाव वाली सीमा के लिए संभव है।
सीमाओं में कई गुण होते हैं। एक नियम के रूप में, किसी भी फ़ंक्शन की केवल एक सीमा होती है। यह सीमा की मुख्य संपत्ति है। अन्य नीचे सूचीबद्ध हैं:
*राशि सीमा योग के बराबर हैसीमाएं:
लिम(x+y)=limx+limy
* उत्पाद की सीमा सीमा के उत्पाद के बराबर है:
लिम(xy)=limx*limy
* भागफल की सीमा सीमा के भागफल के बराबर होती है:
लिम (एक्स/वाई) = लिम एक्स/लिम वाई
* अचर गुणनखंड को सीमा चिन्ह से बाहर निकाला जाता है:
लिम (सीएक्स) = सी लिम एक्स
एक फलन 1 /x दिया गया है जहाँ x →∞, इसकी सीमा शून्य है। यदि x→0, तो ऐसे फलन की सीमा के बराबर होती है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए ये नियम हैं। चूँकि sin x फलन हमेशा एक की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि यह शून्य के करीब पहुंचता है, इसकी पहचान इसके लिए होती है:
लिम पाप x/x=1

कई कार्यों में, अनिश्चितता की सीमा की गणना करते समय - एक ऐसी स्थिति जिसमें सीमा की गणना नहीं की जा सकती है। इस स्थिति से बाहर निकलने का एकमात्र तरीका ल'होपिटल है। अनिश्चितता दो प्रकार की होती है:
* फॉर्म की अनिश्चितता 0/0
* फॉर्म की अनिश्चितता ∞/∞
उदाहरण के लिए, निम्नलिखित रूप की एक सीमा दी गई है: lim f(x)/l(x), इसके अलावा, f(x0)=l(x0)=0. इस मामले में, फॉर्म 0/0 की अनिश्चितता है। ऐसी समस्या को हल करने के लिए, दोनों कार्यों को विभेदित किया जाता है, जिसके बाद परिणाम की सीमा पाई जाती है। फॉर्म 0/0 की अनिश्चितताओं के लिए, सीमा है:
लिम f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0) के रूप में
/∞ प्रकार की अनिश्चितताओं के लिए भी यही नियम सही है। लेकिन इस मामले में, निम्नलिखित समानता सत्य है: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital के नियम की सहायता से कोई भी उन सीमाओं के मान ज्ञात कर सकता है जिनमें अनिश्चितताएँ प्रकट होती हैं। आवश्यक शर्तपर

वॉल्यूम - डेरिवेटिव खोजने में त्रुटियों की अनुपस्थिति। इसलिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन (x^2)" का व्युत्पन्न 2x के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:
f"(x)=nx^(n-1)

मुख्य प्राथमिक कार्यों को सुलझा लिया गया है।

अधिक जटिल रूप के कार्यों में जाने पर, हम निश्चित रूप से ऐसे भावों का सामना करेंगे जिनका मूल्य परिभाषित नहीं है। ऐसे भाव कहलाते हैं अनिश्चितताओं.

आइए सब कुछ सूचीबद्ध करें अनिश्चितताओं के मुख्य प्रकार: शून्य शून्य से विभाजित (0 से 0), अनंत से विभाजित अनंत, शून्य गुणा अनंत, अनंत शून्य से अनंत, अनंत की शक्ति के लिए एक, शून्य की शक्ति से शून्य, शून्य की शक्ति से अनंत।

अन्य सभी अभिव्यक्तियां अनिश्चित नहीं हैं और पूरी तरह से विशिष्ट परिमित या अनंत मान लेती हैं।

अनिश्चितताओं को प्रकट करेंअनुमति देता है:

• एक फ़ंक्शन के रूप का सरलीकरण (संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति का परिवर्तन, त्रिकोणमितीय सूत्र, संयुग्मी व्यंजकों द्वारा गुणा और उसके बाद कमी, आदि);
• उल्लेखनीय सीमाओं का उपयोग;
• एल अस्पताल के नियम का आवेदन;
• एक अतिसूक्ष्म व्यंजक को उसके समकक्ष से बदलने का उपयोग (समकक्ष इनफिनिटिमल्स की तालिका का उपयोग करके)।

हम अनिश्चितताओं को समूह में रखते हैं अनिश्चितता तालिका. प्रत्येक प्रकार की अनिश्चितता के लिए, हम पत्राचार में इसके प्रकटीकरण की विधि (सीमा खोजने की विधि) डालते हैं।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों की सीमाओं की तालिका के साथ यह तालिका, किसी भी सीमा को खोजने में आपका मुख्य उपकरण होगी।

आइए कुछ उदाहरण दें जब मूल्य को प्रतिस्थापित करने के बाद तुरंत सब कुछ प्राप्त हो जाता है और अनिश्चितता उत्पन्न नहीं होती है।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:

और हमें तुरंत जवाब मिल गया।

उत्तर:

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम अपने घातीय शक्ति फ़ंक्शन के आधार में x = 0 मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यानी सीमा को इस प्रकार लिखा जा सकता है

अब एक नजर डालते हैं इंडेक्स पर। यह एक शक्ति समारोह है। आइए हम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलनों की सीमा तालिका की ओर मुड़ें। वहां से हमारे पास है तथा , इसलिए, हम लिख सकते हैं .

इसके आधार पर, हमारी सीमा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

फिर से हम सीमा की मेज की ओर मुड़ते हैं, लेकिन के लिए घातीय कार्यएक से अधिक आधार के साथ, जहां से हमारे पास है:

उत्तर:

आइए उदाहरणों को देखें विस्तृत निर्णय भावों को परिवर्तित करके अस्पष्टताओं का प्रकटीकरण.

बहुत बार, अस्पष्टता से छुटकारा पाने के लिए सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति को थोड़ा रूपांतरित करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:

अनिश्चितता में आ गया। समाधान विधि चुनने के लिए हम अनिश्चितताओं की तालिका को देखते हैं। आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें।

उत्तर:

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:

अनिश्चितता में आ गया (0 बटा 0)। हम एक समाधान विधि का चयन करने के लिए अनिश्चितताओं की तालिका को देखते हैं और व्यंजक को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करते हैं।

हर के लिए, आसन्न व्यंजक है

हमने हर को गुणा किया ताकि हम संक्षिप्त गुणन सूत्र - वर्गों का अंतर लागू कर सकें और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को कम कर सकें।

परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद, अनिश्चितता गायब हो गई।

उत्तर:

टिप्पणी:इस प्रकार की सीमाओं के लिए, संयुग्मी व्यंजकों द्वारा गुणन की विधि विशिष्ट है, इसलिए बेझिझक इसका उपयोग करें।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:

अनिश्चितता में आ गया। हम एक समाधान विधि का चयन करने के लिए अनिश्चितताओं की तालिका को देखते हैं और व्यंजक को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूँकि अंश और हर दोनों x = 1 पर लुप्त हो जाते हैं, यदि इन व्यंजकों को कम किया जा सकता है (x-1) और अनिश्चितता गायब हो जाएगी।

आइए अंश का गुणनखंड करें:

आइए भाजक का गुणनखंड करें:

हमारी सीमा रूप लेगी:

परिवर्तन के बाद, अनिश्चितता का पता चला था।

उत्तर:

शक्ति व्यंजकों की अनंत सीमा पर विचार करें। यदि घातांकीय व्यंजक के घातांक धनात्मक हैं, तो अनंत की सीमा अनंत है। इसके अलावा, मुख्य मूल्य में सबसे बड़ी डिग्री है, बाकी को त्याग दिया जा सकता है।

उदाहरण।

उदाहरण।

यदि सीमा चिह्न के नीचे का व्यंजक भिन्न है, और अंश और हर दोनों घात व्यंजक हैं (m अंश की घात है, और n हर की घात है), तब जब अनंत के रूप की अनिश्चितता होती है अनंत से, इस मामले में अनिश्चितता का पता चलता हैभाग और अंश और हर द्वारा

उदाहरण।

सीमा की गणना करें