सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार हैं, जिन्हें आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। किसी भी सम्मिश्र संख्या को एक औपचारिक योग के रूप में निरूपित किया जा सकता है, जहाँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, एक काल्पनिक इकाई है।

रिकॉर्डिंग जटिल संख्यारूप में , सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप कहलाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के गुण। एक जटिल संख्या की ज्यामितीय व्याख्या।

बीजीय रूप में दी गई सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ:

उन नियमों पर विचार कीजिए जिनके द्वारा सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ की जाती हैं।

यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ α = a + bi और β = c + di दी गई हैं, तो

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (ए + द्वि) - (सी + डी) \u003d (ए - सी) + (बी - डी)मैं। (ग्यारह)

यह वास्तविक संख्याओं के दो क्रमबद्ध जोड़े के जोड़ और घटाव के संचालन की परिभाषा से निम्नानुसार है (सूत्र (1) और (3) देखें)। हमने सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और घटाव के नियम प्राप्त किए हैं: दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, एक को अलग से उनके वास्तविक भागों को जोड़ना होगा और, तदनुसार, काल्पनिक भागों को जोड़ना होगा; एक सम्मिश्र संख्या से दूसरे को घटाने के लिए, क्रमशः उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को घटाना आवश्यक है।

संख्या - α \u003d - a - bi को संख्या α \u003d a + bi के विपरीत कहा जाता है। इन दोनों संख्याओं का योग शून्य है: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0।

सम्मिश्र संख्याओं के लिए गुणन नियम प्राप्त करने के लिए, हम सूत्र (6) का उपयोग करते हैं, अर्थात्, यह तथ्य कि i2 = -1। इस संबंध को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, अर्थात्।

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i । (12)

यह सूत्र सूत्र (2) से मेल खाता है, जो वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों के गुणन को परिभाषित करता है।

ध्यान दें कि दो सम्मिश्र संयुग्म संख्याओं का योग और गुणनफल वास्तविक संख्याएँ हैं। वास्तव में, यदि α = a + bi, = a – bi, तो α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = (ए + ए) + (बी - बी)i= 2a, यानी।

α + = 2a, α = a2 + b2। (13)

दो सम्मिश्र संख्याओं को बीजगणितीय रूप में विभाजित करते समय, किसी को यह अपेक्षा करनी चाहिए कि भागफल भी एक ही प्रकार की संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है, अर्थात्, α/β = u + vi, जहाँ u, v R। आइए हम सम्मिश्र को विभाजित करने के लिए एक नियम प्राप्त करें। संख्याएं। मान लीजिए कि संख्याएँ α = a + bi, β = c + di दी गई हैं, और β 0, यानी, c2 + d2 ≠ 0। अंतिम असमानता का अर्थ है कि c और d एक साथ गायब नहीं होते हैं (मामला जब c = 0, d = 0)। सूत्र (12) और दूसरी समानता (13) को लागू करने पर, हम पाते हैं:

इसलिए, दो सम्मिश्र संख्याओं का भागफल निम्न द्वारा दिया जाता है:

संबंधित सूत्र (4)।

संख्या β = c + di के लिए प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, आप इसका व्युत्क्रम β-1 = 1/β पा सकते हैं। सूत्र (14) a = 1, b = 0 में मानते हुए, हम प्राप्त करते हैं

यह सूत्र किसी गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम निर्धारित करता है; यह संख्या भी जटिल है।

उदाहरण के लिए: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;

बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।

55. एक सम्मिश्र संख्या का तर्क। एक सम्मिश्र संख्या (आउटपुट) लिखने का त्रिकोणमितीय रूप।

Arg.comm.number। - दी गई संख्या को निरूपित करने वाले सदिश द्वारा वास्तविक X अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच।

त्रिनेत्र सूत्र। नंबर: ,

3 का पेज 2

एक सम्मिश्र संख्या का बीजीय रूप।
सम्मिश्र संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

हम पहले ही एक सम्मिश्र संख्या के बीजीय रूप से मिल चुके हैं - यह एक सम्मिश्र संख्या का बीजीय रूप है। हम फॉर्म के बारे में क्यों बात कर रहे हैं? तथ्य यह है कि जटिल संख्याओं के त्रिकोणमितीय और घातीय रूप भी हैं, जिनकी चर्चा अगले पैराग्राफ में की जाएगी।

सम्मिश्र संख्याओं वाली संक्रियाएँ विशेष रूप से कठिन नहीं होती हैं और साधारण बीजगणित से बहुत कम भिन्न होती हैं।

सम्मिश्र संख्याओं का योग

उदाहरण 1

दो सम्मिश्र संख्याएँ जोड़ें,

दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ें:

सरल, है ना? कार्रवाई इतनी स्पष्ट है कि इसे अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है।

इतने सरल तरीके से, आप कितने भी पदों का योग ज्ञात कर सकते हैं: वास्तविक भागों का योग और काल्पनिक भागों का योग।

सम्मिश्र संख्याओं के लिए, प्रथम श्रेणी का नियम सत्य है: - शर्तों के पुनर्व्यवस्था से, योग नहीं बदलता है।

सम्मिश्र संख्याओं का घटाव

उदाहरण 2

सम्मिश्र संख्याओं का अंतर ज्ञात कीजिए और यदि ,

कार्रवाई जोड़ के समान है, एकमात्र विशेषता यह है कि सबट्रेंड को कोष्ठक में लिया जाना चाहिए, और फिर, एक मानक के रूप में, इन कोष्ठकों को एक संकेत परिवर्तन के साथ खोलें:

परिणाम भ्रमित नहीं होना चाहिए, परिणामी संख्या में दो हैं, तीन भाग नहीं। बस असली हिस्सा एक घटक है:। स्पष्टता के लिए, उत्तर को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: .

आइए दूसरे अंतर की गणना करें:

यहाँ वास्तविक भाग भी एक घटक है:

किसी भी ख़ामोशी से बचने के लिए, मैं एक "खराब" काल्पनिक भाग के साथ एक संक्षिप्त उदाहरण दूंगा: . यहां आप कोष्ठक के बिना नहीं कर सकते।

सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

आपको प्रसिद्ध समानता से परिचित कराने का समय आ गया है:

उदाहरण 3

सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए,

जाहिर है, काम इस तरह लिखा जाना चाहिए:

क्या पूछा जा रहा है? यह स्वयं को बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलने का सुझाव देता है। ऐसा ही किया जाना चाहिए! सभी बीजीय संक्रियाओं से आप परिचित हैं, याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि और सावधान.

आइए दोहराएँ, omg, बहुपदों को गुणा करने का स्कूल नियम: एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा।

मैं विस्तार से लिखूंगा:

मुझे आशा है कि यह सभी के लिए स्पष्ट था कि

ध्यान, और फिर से ध्यान, सबसे अधिक बार संकेतों में गलती की जाती है।

योग की तरह, सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल क्रमपरिवर्तनीय है, अर्थात् समानता सत्य है: .

पर शैक्षिक साहित्यऔर वेब पर सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल की गणना के लिए एक विशेष सूत्र खोजना आसान है। यदि आप चाहें तो इसका उपयोग करें, लेकिन मुझे ऐसा लगता है कि बहुपदों के गुणन के साथ दृष्टिकोण अधिक सार्वभौमिक और स्पष्ट है। मैं सूत्र नहीं दूंगा, मुझे लगता है कि इस मामले में यह सिर को भूरे रंग से ढक रहा है।

सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन

उदाहरण 4

सम्मिश्र संख्याओं को देखते हुए, . निजी खोजें।

आइए एक भागफल बनाते हैं:

संख्याओं का विभाजन किया जाता है हर के संयुग्मी व्यंजक द्वारा हर और अंश को गुणा करके.

हम दाढ़ी वाले सूत्र को याद करते हैं और अपने हर को देखते हैं: . हर के पास पहले से ही है, इसलिए इस मामले में संयुग्म अभिव्यक्ति है, अर्थात्

नियम के अनुसार, हर से गुणा किया जाना चाहिए, और कुछ भी नहीं बदलने के लिए, अंश को उसी संख्या से गुणा करें:

मैं विस्तार से लिखूंगा:

मैंने एक "अच्छा" उदाहरण उठाया, यदि आप "बुलडोजर से" दो नंबर लेते हैं, तो विभाजन के परिणामस्वरूप आपको लगभग हमेशा अंश मिलेंगे, कुछ इस तरह।

कुछ मामलों में, विभाजित करने से पहले, अंश को सरल बनाने की सलाह दी जाती है, उदाहरण के लिए, संख्याओं के भागफल पर विचार करें:। विभाजित करने से पहले, हम अनावश्यक माइनस से छुटकारा पाते हैं: अंश और हर में, हम माइनस को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं और इन माइनस को कम करते हैं: . जो लोग हल करना पसंद करते हैं, उनके लिए मैं सही उत्तर दूंगा:

शायद ही कभी, लेकिन ऐसा कोई कार्य होता है:

उदाहरण 5

आपको एक सम्मिश्र संख्या दी गई है। दी गई संख्या को बीजीय रूप में (अर्थात रूप में) लिखिए।

रिसेप्शन समान है - हम हर और अंश को हर से संयुग्मित अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं। आइए फिर से सूत्र को देखें। हर के पास पहले से ही है, इसलिए हर और अंश को संयुग्मी अभिव्यक्ति से गुणा किया जाना चाहिए, अर्थात:

व्यवहार में, वे आसानी से एक फैंसी उदाहरण पेश कर सकते हैं जहां आपको जटिल संख्याओं के साथ बहुत सारे ऑपरेशन करने की आवश्यकता होती है। घबराए नहीं: ध्यान से, बीजगणित के नियमों का पालन करें, संचालन के सामान्य बीजीय क्रम, और याद रखें कि।

एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय और घातीय रूप

इस भाग में हम सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप पर अधिक ध्यान देंगे। व्यावहारिक कार्यों में घातीय रूप बहुत कम आम है। मैं अनुशंसा करता हूं कि डाउनलोड करें और, यदि संभव हो तो, त्रिकोणमितीय तालिकाओं को प्रिंट करें, विधिवत सामग्रीपृष्ठ पर पाया जा सकता है गणितीय सूत्र और टेबल. आप टेबल के बिना दूर नहीं जा सकते।

किसी भी सम्मिश्र संख्या (शून्य को छोड़कर) को त्रिकोणमितीय रूप में लिखा जा सकता है:
, वह कहां है सम्मिश्र संख्या मापांक, एक - जटिल संख्या तर्क. भागो मत, यह आपके विचार से आसान है।

सम्मिश्र तल पर एक संख्या खींचिए। स्पष्टीकरण की निश्चितता और सरलता के लिए, हम इसे पहले समन्वय तिमाही में रखेंगे, अर्थात। हमें सोचते है कि:

एक सम्मिश्र संख्या का मापांकनिर्देशांक की उत्पत्ति से जटिल तल के संगत बिंदु तक की दूरी है। सीधे शब्दों में कहें, मापांक लंबाई हैत्रिज्या वेक्टर, जिसे ड्राइंग में लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक आमतौर पर निरूपित किया जाता है: or

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक जटिल संख्या के मापांक को खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त करना आसान है: . यह सूत्र मान्य है किसी के लिएअर्थ "ए" और "बी"।

टिप्पणी: एक सम्मिश्र संख्या का मापांक अवधारणा का एक सामान्यीकरण है वास्तविक संख्या मापांक, बिंदु से मूल बिंदु की दूरी के रूप में।

एक सम्मिश्र संख्या का तर्कबुलाया कोनाके बीच सकारात्मक अक्षवास्तविक अक्ष और त्रिज्या सदिश मूल बिंदु से संगत बिंदु तक खींचे जाते हैं। तर्क के लिए परिभाषित नहीं है विलक्षण: .

विचाराधीन सिद्धांत वास्तव में समान है धुवीय निर्देशांक, जहां ध्रुवीय त्रिज्या और ध्रुवीय कोण विशिष्ट रूप से एक बिंदु को परिभाषित करते हैं।

एक सम्मिश्र संख्या का तर्क आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है: or

ज्यामितीय विचारों से, तर्क खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:
. ध्यान!यह सूत्र केवल दाहिने आधे तल में काम करता है! यदि सम्मिश्र संख्या पहले या चौथे निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित नहीं है, तो सूत्र थोड़ा भिन्न होगा। हम इन मामलों पर भी विचार करेंगे।

लेकिन सबसे पहले, सबसे सरल उदाहरणों पर विचार करें, जब जटिल संख्याएं समन्वय अक्षों पर स्थित होती हैं।

उदाहरण 7

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

वास्तव में, कार्य मौखिक है। स्पष्टता के लिए, मैं एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप को फिर से लिखूंगा:

आइए कसकर याद रखें, मॉड्यूल - लंबाई(जो हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है), तर्क है कोना.

1) आइए त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसका मापांक और तर्क खोजें। जाहिर सी बात है कि। सूत्र के अनुसार औपचारिक गणना: .
यह स्पष्ट है कि (संख्या सीधे वास्तविक धनात्मक अर्ध-अक्ष पर स्थित है)। तो त्रिकोणमितीय रूप में संख्या है: .

दिन के रूप में साफ़ करें, रिवर्स चेक एक्शन:

2) आइए त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसका मापांक और तर्क खोजें। जाहिर सी बात है कि। सूत्र के अनुसार औपचारिक गणना: .
जाहिर है (या 90 डिग्री)। ड्राइंग में, कोने को लाल रंग में चिह्नित किया गया है। तो त्रिकोणमितीय रूप में संख्या है: .

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका का उपयोग करके, किसी संख्या के बीजगणितीय रूप को वापस प्राप्त करना आसान है (उसी समय जांच करके):

3) आइए त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करें। इसका मापांक और तर्क खोजें। जाहिर सी बात है कि। सूत्र के अनुसार औपचारिक गणना: .
जाहिर है (या 180 डिग्री)। ड्राइंग में, कोण को नीले रंग में दर्शाया गया है। तो त्रिकोणमितीय रूप में संख्या है: .

इंतिहान:

4) और चौथा दिलचस्प मामला. आइए त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसका मापांक और तर्क खोजें। जाहिर सी बात है कि। सूत्र के अनुसार औपचारिक गणना: .

तर्क दो तरह से लिखा जा सकता है: पहला तरीका: (270 डिग्री), और, तदनुसार: . इंतिहान:

हालांकि, अधिक मानक अगला नियम: यदि कोण 180 डिग्री से अधिक है, तो इसे ऋण चिह्न और कोण के विपरीत अभिविन्यास ("स्क्रॉलिंग") के साथ लिखा जाता है: (शून्य से 90 डिग्री), ड्राइंग में कोण को चिह्नित किया जाता है हरे में. यह देखना आसान है और एक ही कोण हैं।

इस प्रकार, प्रविष्टि बन जाती है:

ध्यान!किसी भी स्थिति में आपको कोज्या की समता, ज्या की विषमता का उपयोग नहीं करना चाहिए और रिकॉर्ड का और "सरलीकरण" करना चाहिए:

वैसे, यह याद रखना उपयोगी है दिखावटऔर त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के गुण, संदर्भ सामग्री पृष्ठ के अंतिम पैराग्राफ में हैं बुनियादी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. और सम्मिश्र संख्याएँ सीखना बहुत आसान है!

सरलतम उदाहरणों के डिजाइन में, इसे इस तरह लिखा जाना चाहिए: "यह स्पष्ट है कि मॉड्यूल है ... यह स्पष्ट है कि तर्क है ..."। यह वास्तव में स्पष्ट है और आसानी से मौखिक रूप से हल किया जाता है।

आइए अधिक सामान्य मामलों पर चलते हैं। जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, मॉड्यूल के साथ कोई समस्या नहीं है, आपको हमेशा सूत्र का उपयोग करना चाहिए। लेकिन तर्क खोजने के सूत्र अलग होंगे, यह इस बात पर निर्भर करता है कि संख्या किस निर्देशांक तिमाही में है। इस मामले में, तीन विकल्प संभव हैं (उन्हें अपनी नोटबुक में फिर से लिखना उपयोगी है):

1) यदि (पहला और चौथा समन्वय क्वार्टर, या दायां आधा-तल), तो सूत्र का उपयोग करके तर्क पाया जाना चाहिए।

2) यदि (द्वितीय निर्देशांक त्रैमासिक), तो तर्क को सूत्र द्वारा पाया जाना चाहिए .

3) यदि (तीसरा निर्देशांक तिमाही), तो तर्क को सूत्र द्वारा पाया जाना चाहिए .

उदाहरण 8

सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में व्यक्त करें: , , , .

जैसे ही तैयार सूत्र होते हैं, फिर ड्राइंग की आवश्यकता नहीं होती है। लेकिन एक बात है: जब आपको त्रिकोणमितीय रूप में एक संख्या प्रस्तुत करने के लिए कहा जाता है, तो ड्राइंग वैसे भी करना बेहतर है. तथ्य यह है कि शिक्षक अक्सर एक ड्राइंग के बिना समाधान को अस्वीकार कर देते हैं, एक ड्राइंग की अनुपस्थिति एक माइनस और एक विफलता का एक गंभीर कारण है।

एह, मैंने सौ साल से हाथ से कुछ भी नहीं खींचा है, रुको:

हमेशा की तरह, गन्दा निकला =)

मैं प्रस्तुत करूंगा जटिल रूपसंख्या और , पहली और तीसरी संख्या स्वतंत्र निर्णय के लिए होगी।

आइए त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसका मापांक और तर्क खोजें।

शिक्षण योजना।

1. संगठनात्मक क्षण।

2. सामग्री की प्रस्तुति।

3. गृहकार्य।

4. पाठ को सारांशित करना।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण.

द्वितीय. सामग्री की प्रस्तुति.

प्रेरणा।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार इस तथ्य में निहित है कि वास्तविक संख्याओं में नई संख्याएँ (काल्पनिक) जोड़ी जाती हैं। इन संख्याओं का परिचय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या से मूल निकालने की असंभवता से जुड़ा है।

एक जटिल संख्या की अवधारणा का परिचय।

वे काल्पनिक संख्याएँ जिनसे हम वास्तविक संख्याओं को पूरक करते हैं, इस प्रकार लिखी जाती हैं द्वि, कहाँ पे मैंकाल्पनिक इकाई है, और मैं 2 = - 1.

इसके आधार पर हमें एक सम्मिश्र संख्या की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा. एक सम्मिश्र संख्या रूप का व्यंजक है a+bi, कहाँ पे एकतथा बीवास्तविक संख्याएँ हैं। इस मामले में, निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

a) दो सम्मिश्र संख्याएँ ए 1 + बी 1 आईतथा ए 2 + बी 2 आईबराबर अगर और केवल अगर ए 1 = ए 2, बी1=बी2.

b) सम्मिश्र संख्याओं का योग नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(ए 1 + बी 1 आई) + (ए 2 + बी 2 आई) = (ए 1 + ए 2) + (बी 1 + बी 2) मैं.

ग) सम्मिश्र संख्याओं का गुणन नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(ए 1 + बी 1 आई) (ए 2 + बी 2 आई) = (ए 1 ए 2 - बी 1 बी 2) + (ए 1 बी 2 - ए 2 बी 1) मैं.

एक सम्मिश्र संख्या का बीजीय रूप।

एक सम्मिश्र संख्या को फॉर्म में लिखना a+biएक सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप कहलाता है, जहाँ एक- असली हिस्सा द्विकाल्पनिक हिस्सा है, और बीएक वास्तविक संख्या है।

जटिल संख्या a+biशून्य के बराबर माना जाता है यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग शून्य के बराबर हों: ए = बी = 0

जटिल संख्या a+biपर बी = 0एक वास्तविक संख्या माना जाता है एक: ए + 0i = ए.

जटिल संख्या a+biपर ए = 0विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है द्वि: 0 + द्वि = द्वि.

दो सम्मिश्र संख्या जेड = ए + द्वितथा = ए - द्वि, जो केवल काल्पनिक भाग के चिन्ह में भिन्न होते हैं, संयुग्म कहलाते हैं।

बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।

निम्नलिखित संक्रियाओं को बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर किया जा सकता है।

1) जोड़।

परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का योग जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईतथा जेड 2 = ए 2 + बी 2 आईसम्मिश्र संख्या कहलाती है जेड, जिसका वास्तविक भाग वास्तविक भागों के योग के बराबर होता है जेड 1तथा z2, और काल्पनिक भाग संख्याओं के काल्पनिक भागों का योग है जेड 1तथा z2, वह है जेड = (ए 1 + ए 2) + (बी 1 + बी 2)i.

नंबर जेड 1तथा z2पद कहलाते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं के योग में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1º. कम्यूटेटिविटी: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. सहयोगीता: (जेड 1 + जेड 2) + जेड 3 = जेड 1 + (जेड 2 + जेड 3)।

3º. जटिल संख्या -ए-बीआईसम्मिश्र संख्या का विपरीत कहा जाता है जेड = ए + द्वि. सम्मिश्र संख्या सम्मिश्र संख्या के विपरीत जेड, निरूपित -ज़ू. सम्मिश्र संख्याओं का योग जेडतथा -ज़ूशून्य के बराबर: जेड + (-जेड) = 0

उदाहरण 1: जोड़ें (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) घटाव।

परिभाषा।सम्मिश्र संख्या से घटाना जेड 1जटिल संख्या z2 जेड,क्या जेड + जेड 2 = जेड 1.

प्रमेय. सम्मिश्र संख्याओं का अंतर मौजूद है और, इसके अलावा, अद्वितीय है।

उदाहरण 2: घटाना (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) गुणन।

परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल जेड 1 =ए 1 +बी 1 आईतथा जेड 2 \u003d ए 2 + बी 2 आईसम्मिश्र संख्या कहलाती है जेड, समानता द्वारा परिभाषित: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

नंबर जेड 1तथा z2कारक कहलाते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1º. कम्यूटेटिविटी: जेड 1 जेड 2 = जेड 2 जेड 1.

2º. सहयोगीता: (जेड 1 जेड 2)जेड 3 = जेड 1 (जेड 2 जेड 3)

3º. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण:

(जेड 1 + जेड 2) जेड 3 \u003d जेड 1 जेड 3 + जेड 2 जेड 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2एक वास्तविक संख्या है।

व्यवहार में, योग से योग को गुणा करने और वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने के नियम के अनुसार जटिल संख्याओं का गुणन किया जाता है।

निम्नलिखित उदाहरण में, सम्मिश्र संख्याओं के गुणन पर दो तरह से विचार करें: नियम से और योग को योग से गुणा करके।

उदाहरण 3: गुणा करें (2 + 3i) (5 - 7i).

1 रास्ता। (2 + 3i) (5 - 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )मैं = 31 + आई.

2 रास्ते। (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) डिवीजन।

परिभाषा. एक सम्मिश्र संख्या को विभाजित करें जेड 1एक जटिल संख्या के लिए z2, का अर्थ है ऐसी सम्मिश्र संख्या ज्ञात करना जेड, क्या जेड जेड 2 = जेड 1.

प्रमेय।सम्मिश्र संख्याओं का भागफल मौजूद होता है और अद्वितीय होता है यदि z2 0 + 0i.

व्यवहार में, सम्मिश्र संख्याओं का भागफल हर के संयुग्म द्वारा अंश और हर को गुणा करके पाया जाता है।

होने देना जेड 1 = ए 1 + बी 1 आई, जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई, फिर

.

निम्नलिखित उदाहरण में, हम हर के संयुग्म द्वारा सूत्र और गुणन के नियम से भाग करते हैं।

उदाहरण 4. एक भागफल ज्ञात कीजिए .

5) एक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति को बढ़ाना।

a) काल्पनिक एकता की शक्तियाँ।

समानता का फायदा उठा रहे हैं मैं 2 \u003d -1, काल्पनिक इकाई की किसी भी सकारात्मक पूर्णांक शक्ति को परिभाषित करना आसान है। हमारे पास है:

मैं 3 \u003d मैं 2 मैं \u003d -i,

मैं 4 \u003d मैं 2 मैं 2 \u003d 1,

मैं 5 \u003d मैं 4 मैं \u003d मैं,

मैं 6 \u003d मैं 4 मैं 2 \u003d -1,

मैं 7 \u003d मैं 5 मैं 2 \u003d -i,

मैं 8 = मैं 6 मैं 2 = 1आदि।

इससे पता चलता है कि डिग्री मान में, कहाँ पे एन- एक सकारात्मक पूर्णांक, समय-समय पर दोहराया जाता है जब संकेतक बढ़ जाता है 4 .

इसलिए, संख्या बढ़ाने के लिए मैंएक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति के लिए, घातांक को विभाजित करें 4 और सीधा मैंउस घात के लिए जिसका घातांक विभाजन का शेष भाग है।

उदाहरण 5 गणना करें: (मैं 36 + मैं 17) मैं 23.

मैं 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

मैं 17 = मैं 4 × 4+1 = (i 4) 4 × मैं = 1 मैं = मैं।

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i।

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i।

बी) एक जटिल संख्या को एक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाना एक द्विपद को संबंधित शक्ति तक बढ़ाने के नियम के अनुसार किया जाता है, क्योंकि यह समान जटिल कारकों को गुणा करने का एक विशेष मामला है।

उदाहरण 6 गणना करें: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3x 4 2x 2i + 3x 4x (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i।

		एक सम्मिश्र संख्या लिखने का बीजीय रूप …………………………… .........................
		सम्मिश्र संख्याओं का तल …………………………… ………………………………………….. ................... ...
		जटिल संयुग्म संख्याएं …………………………… ……………………………………… ...............
	बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रिया ................... ....
		सम्मिश्र संख्याओं का जोड़ …………………………… ………………………………………….. ...................
		सम्मिश्र संख्याओं का घटाव …………………………… ……………………………………….. ............
		सम्मिश्र संख्याओं का गुणन …………………………… ……………………………………….. .........
		सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन …………………………… ……………………………………… ............... ...
	एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप …………………………… ..............................
	त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ …………………………… ............
		त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का गुणन …………………………… .........................
		त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन …………………………… ................... ...
		किसी सम्मिश्र संख्या को धनात्मक पूर्णांक घात तक बढ़ाना
		किसी सम्मिश्र संख्या से धनात्मक पूर्णांक घात का मूल निकालना
		एक सम्मिश्र संख्या को एक परिमेय घात तक बढ़ाना …………………………… ...............................
		जटिल श्रंखला …………………………… ……………………………………… ……………………………
		सम्मिश्र संख्या श्रंखला …………………………… ……………………………………… ...............
		कॉम्प्लेक्स प्लेन में पावर सीरीज़ …………………………… …………………………………………..
		द्विपक्षीय बिजली की श्रृंखलाजटिल तल में …………………………… .................
		एक जटिल चर के कार्य …………………………… ………………………………………….. ...................
		बुनियादी प्राथमिक कार्य …………………………… ..................................................... ............
		यूलर सूत्र …………………………… .................................................. .........................
		एक सम्मिश्र संख्या के निरूपण का घातीय रूप …………………………… .......
		त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक कार्यों के बीच संबंध ……………………………
		लॉगरिदमिक फ़ंक्शन …………………………… ……………………………………… …………………
		सामान्य घातांक और सामान्य शक्ति कार्य …………………………… …………………………………
	एक जटिल चर के कार्यों का अंतर …………………………… …………………
		कॉची-रीमैन की स्थिति ……………………………………… ………………………………………….. .....................
		व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र …………………………… ………………………………………..
		विभेदन के संचालन के गुण …………………………… .......................................
		विश्लेषणात्मक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भागों के गुण .......

	किसी सम्मिश्र चर के फलन को उसके वास्तविक या काल्पनिक से पुनः प्राप्त करना
		विधि संख्या 1। कर्विलिनियर इंटीग्रल का उपयोग करना ……………………………………… ......... .........
		विधि संख्या 2। कॉची-रीमैन शर्तों का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग ……………………………
		विधि संख्या 3. वांछित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के माध्यम से …………………………… ...............................
	एक जटिल चर के कार्यों का एकीकरण …………………………… .....................................
	कॉची का अभिन्न सूत्र …………………………… ……………………………………….. ..
	टेलर और लॉरेंट श्रृंखला में कार्यों का विस्तार …………………………… .....................
	एक जटिल चर के एक समारोह के शून्य और एकवचन बिंदु …………………………… ............
		एक जटिल चर के एक समारोह के शून्य ............................................
		एक जटिल चर के एक समारोह के पृथक एकवचन बिंदु …………………………… ......

14.3 एक जटिल चर के एक समारोह के एकवचन बिंदु के रूप में अनंत पर बिंदु

	निकासी …………………………… ……………………………………….. .....................................................
		अंतिम बिंदु पर कटौती …………………………… ……………………………………….. ..................
		अनंत पर एक बिंदु पर एक समारोह के अवशेष …………………………… ………………………………………
	अवशेषों का उपयोग कर इंटीग्रल की गणना …………………………… .....................................................
	स्व-परीक्षा के लिए प्रश्न …………………………… ……………………………………… ...............................
	साहित्य................................................. ……………………………………….. ...................................
	विषय सूचकांक ...................................... ……………………………………….. ...............

प्रस्तावना

सैद्धांतिक और की तैयारी में समय और प्रयास को सही ढंग से आवंटित करें व्यावहारिक भागमॉड्यूल द्वारा परीक्षा या सत्यापन काफी कठिन है, खासकर जब से सत्र के दौरान हमेशा पर्याप्त समय नहीं होता है। और जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, हर कोई इसका सामना नहीं कर सकता है। नतीजतन, परीक्षा के दौरान, कुछ छात्र समस्याओं को सही ढंग से हल करते हैं, लेकिन सबसे सरल सैद्धांतिक प्रश्नों का उत्तर देना मुश्किल होता है, जबकि अन्य एक प्रमेय तैयार कर सकते हैं, लेकिन इसे लागू नहीं कर सकते।

एक जटिल चर (टीएफवी) पाठ्यक्रम के कार्यों के सिद्धांत में परीक्षा की तैयारी के लिए ये पद्धतिगत सिफारिशें इस विरोधाभास को हल करने और पाठ्यक्रम की सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री की एक साथ पुनरावृत्ति सुनिश्चित करने का एक प्रयास हैं। सिद्धांत द्वारा निर्देशित "अभ्यास के बिना सिद्धांत मर चुका है, सिद्धांत के बिना अभ्यास अंधा है", उनमें परिभाषाओं और फॉर्मूलेशन के स्तर पर पाठ्यक्रम की सैद्धांतिक स्थिति दोनों शामिल हैं, और उदाहरण प्रत्येक दिए गए सैद्धांतिक स्थिति के आवेदन को दर्शाते हैं, और इस प्रकार, इसकी याद और समझ को सुविधाजनक बनाना।

प्रस्तावित का उद्देश्य दिशा निर्देशों- छात्र को बुनियादी स्तर पर परीक्षा की तैयारी में मदद करें। दूसरे शब्दों में, एक विस्तारित कार्य मार्गदर्शिका संकलित की गई है जिसमें टीएफकेटी पाठ्यक्रम कक्षाओं में उपयोग किए जाने वाले मुख्य बिंदु शामिल हैं और कार्यान्वयन के लिए आवश्यक हैं गृहकार्यऔर नियंत्रण उपायों की तैयारी। के अलावा स्वतंत्र कामछात्रों, इस इलेक्ट्रॉनिक शैक्षिक प्रकाशन का उपयोग कक्षाओं का संचालन करते समय किया जा सकता है इंटरैक्टिव फॉर्मइलेक्ट्रॉनिक बोर्ड का उपयोग करना या दूरस्थ शिक्षा प्रणाली में प्लेसमेंट के लिए।

कृपया ध्यान दें कि यह काम पाठ्यपुस्तकों या व्याख्यान नोट्स को प्रतिस्थापित नहीं करता है। सामग्री के गहन अध्ययन के लिए, मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी में प्रकाशित प्रकाशन के संबंधित अनुभागों को संदर्भित करने की सिफारिश की जाती है। एन.ई. बाउमन मूल पाठ्यपुस्तक।

मैनुअल के अंत में अनुशंसित साहित्य और विषय सूचकांक की एक सूची है, जिसमें पाठ में हाइलाइट किए गए सभी शामिल हैं। मोटे तिरछे अक्षरशर्तें। सूचकांक में उन वर्गों के हाइपरलिंक होते हैं जहां इन शब्दों को कड़ाई से परिभाषित या वर्णित किया जाता है और जहां उनके उपयोग को स्पष्ट करने के लिए उदाहरण दिए जाते हैं।

यह मैनुअल एमएसटीयू के सभी संकायों के द्वितीय वर्ष के छात्रों के लिए है। एन.ई. बाउमन।

1. एक सम्मिश्र संख्या लिखने का बीजीय रूप

फॉर्म z \u003d x + iy की रिकॉर्डिंग, जहां x, y वास्तविक संख्याएं हैं, i एक काल्पनिक इकाई है (अर्थात i 2 = − 1)

सम्मिश्र संख्या z का बीजीय रूप कहलाता है। इस स्थिति में, x को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहा जाता है और इसे Re z (x = Re z ) द्वारा निरूपित किया जाता है, y को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग कहा जाता है और इसे Im z (y = Im z ) द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण। सम्मिश्र संख्या z = 4− 3i का वास्तविक भाग Rez = 4 और काल्पनिक भाग Imz = - 3 है।

2. सम्मिश्र संख्याओं का तल

पर एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत पर विचार करेंजटिल संख्या विमान, जिसे या तो निरूपित किया जाता है, या सम्मिश्र संख्या z, w, आदि को दर्शाने वाले अक्षरों का उपयोग किया जाता है।

सम्मिश्र तल की क्षैतिज अक्ष कहलाती है वास्तविक धुरी, वास्तविक संख्याएँ इस पर z \u003d x + 0i \u003d x पर स्थित हैं।

जटिल तल के ऊर्ध्वाधर अक्ष को काल्पनिक अक्ष कहा जाता है, इसमें होता है

3. जटिल संयुग्म संख्या

संख्याएँ z = x + iy और z = x - iy कहलाती हैं जटिल सन्युग्म. जटिल तल पर, वे उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जो वास्तविक अक्ष के बारे में सममित होते हैं।

4. बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रिया

4.1 सम्मिश्र संख्याओं का योग

दो सम्मिश्र संख्याओं का योग

z 1= x 1+ iy 1

और z 2 = x 2 + iy 2 सम्मिश्र संख्या कहलाती है

जेड 1+ जेड 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2)।

संचालन

अतिरिक्त

सम्मिश्र संख्याएँ बीजीय द्विपदों को जोड़ने की क्रिया के समान हैं।

उदाहरण। दो सम्मिश्र संख्याओं का योग z 1 = 3+ 7i और z 2

= -1 +2 आई

एक सम्मिश्र संख्या होगी

z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i ।

स्पष्टतः,

एक परिसर में योग

संयुग्मित

है

वैध

z + z = (x + iy) + (x - iy) = 2 x= 2 रेज।

4.2 सम्मिश्र संख्याओं का घटाव

दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर z 1 = x 1 + iy 1

एक्स 2 +आई 2

बुलाया

विस्तृत

संख्या z 1− z 2= (x 1+ iy 1) - (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2)।

उदाहरण। दो सम्मिश्र संख्याओं के बीच का अंतर

z 1 =3 −4 i

और z2

= -1 +2 आई

एक व्यापक होगा

संख्या z 1 - z 2 = (3− 4i ) - (− 1+ 2i ) = (3− (− 1)) + (− 4− 2) i = 4− 6i।

अंतर

जटिल सन्युग्म

है

z - z = (x+ iy) - (x - iy) = 2 iy= 2 iIm z।

4.3 सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

z 1= x 1+ iy 1

और z 2= x 2+ iy 2

जटिल कहा जाता है

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) ।

इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं के गुणन की संक्रिया बीजगणितीय द्विपदों के गुणन की संक्रिया के समान है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि i 2 = - 1 है।