समान आधारों के साथ लघुगणकीय असमानताएँ। लघुगणक असमानताएँ - ज्ञान हाइपरमार्केट

पाठ मकसद:

उपदेशात्मक:

• स्तर 1 - लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके सरल लघुगणकीय असमानताओं को हल करना सिखाएं;
• स्तर 2 - लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करें, अपनी खुद की समाधान विधि चुनें;
• स्तर 3 - गैर-मानक स्थितियों में ज्ञान और कौशल को लागू करने में सक्षम होना।

विकसित होना:स्मृति, ध्यान विकसित करें, तार्किक सोच, तुलना कौशल, सामान्यीकरण और निष्कर्ष निकालने में सक्षम होना

शैक्षिक:सटीकता की खेती करने के लिए, किए गए कार्य की जिम्मेदारी, पारस्परिक सहायता।

शिक्षण विधियों: मौखिक , तस्वीर , व्यावहारिक , आंशिक खोज , स्वयं सरकार , नियंत्रण।

संगठन के रूप संज्ञानात्मक गतिविधिछात्र: ललाट , व्यक्तिगत , जोड़े में काम।

उपकरण: परीक्षण कार्यों का एक सेट, एक संदर्भ नोट, समाधान के लिए रिक्त पत्रक।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।पाठ के विषय और लक्ष्यों की घोषणा की जाती है, पाठ की योजना: प्रत्येक छात्र को एक मूल्यांकन पत्रक दिया जाता है, जिसे छात्र पाठ के दौरान भरता है; छात्रों की प्रत्येक जोड़ी के लिए - कार्यों के साथ मुद्रित सामग्री, आपको कार्यों को जोड़े में पूरा करने की आवश्यकता है; साफ चादरेंसमाधान के लिए; संदर्भ पत्रक: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ, उसके गुण; लघुगणक के गुण; लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म।

स्व-मूल्यांकन के बाद सभी निर्णय शिक्षक को सौंपे जाते हैं।

छात्र स्कोर शीट

2. ज्ञान की प्राप्ति।

शिक्षक निर्देश। लॉगरिदम की परिभाषा, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ और उसके गुण याद रखें। ऐसा करने के लिए, श्री ए अलीमोव, यू.एम कोल्यागिन और अन्य द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11" के पीपी। 88-90, 98-101 पर पाठ पढ़ें।

छात्रों को पत्रक दिए जाते हैं जिन पर लिखा होता है: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन, उसके गुणों का ग्राफ दिखाता है; लघुगणक के गुण; लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, एक लघुगणक असमानता को हल करने का एक उदाहरण जो एक वर्ग में कम हो जाता है।

3. नई सामग्री सीखना।

लॉगरिदमिक असमानताओं का समाधान लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता पर आधारित है।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

ए) असमानता की परिभाषा के क्षेत्र का पता लगाएं (सबलॉगरिदमिक व्यंजक शून्य से बड़ा है)।
बी) असमानता के बाएँ और दाएँ भागों को एक ही आधार में लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें (यदि संभव हो)।
बी) निर्धारित करें कि मूल्य बढ़ रहा है या घट रहा है। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन: यदि t>1, तो बढ़ रहा है; अगर 0 1, फिर घट रहा है।
डी) और अधिक पर जाएं साधारण असमानता(सबलॉगरिदमिक एक्सप्रेशन), यह देखते हुए कि यदि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो असमानता चिह्न संरक्षित रहेगा, और घटने पर बदल जाएगा।

सीखने का तत्व # 1।

उद्देश्य: सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के संगठन का रूप: व्यक्तिगत कार्य।

के लिए कार्य स्वतंत्र काम 10 मिनट के लिए। प्रत्येक असमानता के लिए, कई उत्तर हैं, आपको सही उत्तर चुनने और कुंजी द्वारा जांच करने की आवश्यकता है।

कुंजी: 13321, अधिकतम अंक - 6 पी।

सीखने का तत्व # 2।

उद्देश्य: लघुगणक के गुणों को लागू करके लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना।

शिक्षक निर्देश। लघुगणक के मूल गुणों को याद करें। ऐसा करने के लिए, पाठ्यपुस्तक का पाठ पृष्ठ 92, 103-104 पर पढ़ें।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य।

कुंजी: 2113, अंकों की अधिकतम संख्या 8 ख है।

सीखने का तत्व #3।

उद्देश्य: वर्ग में कमी की विधि द्वारा लघुगणकीय असमानताओं के समाधान का अध्ययन करना।

शिक्षक के निर्देश: असमानता को एक वर्ग में कम करने की विधि यह है कि आपको असमानता को इस रूप में बदलने की आवश्यकता है कि इस चर के संबंध में एक वर्ग असमानता प्राप्त करते हुए कुछ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को एक नए चर द्वारा दर्शाया गया है।

आइए अंतराल विधि का उपयोग करें।

आपने सामग्री को आत्मसात करने के पहले स्तर को पार कर लिया है। अब आपको समाधान का तरीका खुद चुनना होगा लघुगणक समीकरणअपने सभी ज्ञान और क्षमताओं का उपयोग करना।

लर्निंग एलिमेंट नंबर 4।

उद्देश्य: इसे स्वयं हल करने का एक तर्कसंगत तरीका चुनकर लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को समेकित करना।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

लर्निंग एलिमेंट नंबर 5.

शिक्षक निर्देश। बहुत बढ़िया! आपने जटिलता के दूसरे स्तर के समीकरणों को हल करने में महारत हासिल कर ली है। आपके आगे के काम का उद्देश्य अपने ज्ञान और कौशल को अधिक जटिल और गैर-मानक स्थितियों में लागू करना है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

शिक्षक निर्देश। यदि आपने सारा काम कर लिया है तो यह बहुत अच्छा है। बहुत बढ़िया!

पूरे पाठ के लिए ग्रेड सभी शैक्षिक तत्वों के लिए प्राप्त अंकों की संख्या पर निर्भर करता है:

• अगर एन 20, तो आपको "5" का स्कोर मिलता है,
• 16 एन ≤ 19 के लिए - स्कोर "4",
• 8 एन ≤ 15 के लिए - स्कोर "3",
• एन . पर< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

शिक्षक को सौंपने के लिए अनुमानित लोमड़ियों।

5. गृहकार्य: यदि आपने 15 बी से अधिक स्कोर नहीं किया है - गलतियों पर काम करें (शिक्षक से समाधान लिया जा सकता है), यदि आपने 15 बी से अधिक स्कोर किया है - "लॉगरिदमिक असमानताओं" विषय पर एक रचनात्मक कार्य करें।

उनके साथ लॉगरिदम के अंदर हैं।

उदाहरण:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक असमानताओं को कैसे हल करें:

किसी भी लघुगणकीय असमानता को \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) के रूप में कम किया जाना चाहिए (प्रतीक \(˅\) का अर्थ है कोई भी )। यह फ़ॉर्म हमें लघुगणक और उनके आधारों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, जो कि लघुगणक के तहत अभिव्यक्तियों की असमानता को पारित करके, \(f(x) ˅ g(x)\) के रूप में है।

लेकिन यह परिवर्तन करते समय, एक बहुत ही महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है:
\(-\) अगर - एक संख्या और यह 1 से अधिक है - संक्रमण के दौरान असमानता का चिन्ह समान रहता है,
\(-\) यदि आधार 0 से अधिक लेकिन 1 से कम (शून्य और एक के बीच) है, तो असमानता चिन्ह को उलट दिया जाना चाहिए, अर्थात।

उदाहरण:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ओडीजेड: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(एक्स<8\) समाधान: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) उत्तर: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ one))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) समाधान: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) उत्तर: \((2;5]\)

बहुत ज़रूरी!किसी भी असमानता में, फॉर्म \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) से लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्तियों की तुलना करने के लिए संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है जब:

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log\)\(≤-1\)

समाधान:

\(\लकड़ी का लट्ठा\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	हम कोष्ठक खोलते हैं, देते हैं।
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	हम तुलना चिह्न को उलटने के लिए याद करते हुए असमानता को \(-1\) से गुणा करते हैं।
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	आइए एक संख्या रेखा बनाएं और उस पर \(\frac(7)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) बिंदुओं को चिह्नित करें। ध्यान दें कि इस तथ्य के बावजूद कि असमानता सख्त नहीं है, हर से बिंदु पंचर है। तथ्य यह है कि यह बिंदु समाधान नहीं होगा, क्योंकि असमानता में प्रतिस्थापित करने पर, यह हमें शून्य से विभाजित करने की ओर ले जाएगा।
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	अब हम ODZ को उसी संख्यात्मक अक्ष पर प्लॉट करते हैं और ODZ में आने वाले अंतराल के जवाब में लिखते हैं।
	अंतिम उत्तर लिखिए।

उत्तर: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

समाधान:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(x>0\)	आइए समाधान पर आते हैं।
समाधान: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	हमसे पहले एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणक असमानता है। हम कर।
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	असमानता के बाईं ओर का विस्तार करें।
\(डी=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((टी+1)(टी-2)>0\)
	अब आपको मूल चर - x पर वापस जाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम पास करते हैं, जिसका एक ही समाधान है, और रिवर्स प्रतिस्थापन करें।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) टी>2 \\ टी<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	ट्रांसफ़ॉर्म \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)।
\(\बाएं[ \शुरू(एकत्र) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए तर्कों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के आधार \(1\) से बड़े होते हैं, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए असमानता के समाधान और ODZ को एक आकृति में संयोजित करें।
	आइए उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

परिचय

लघुगणक का आविष्कार गणना को गति देने और सरल बनाने के लिए किया गया था। लघुगणक का विचार, अर्थात् संख्याओं को एक ही आधार की शक्ति के रूप में व्यक्त करने का विचार मिखाइल स्टिफ़ेल का है। लेकिन स्टीफेल के समय में गणित इतना विकसित नहीं था और लघुगणक के विचार को इसका विकास नहीं मिला। लॉगरिदम का आविष्कार बाद में एक साथ और स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश वैज्ञानिक जॉन नेपियर (1550-1617) और स्विस जॉबस्ट बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। नेपियर 1614 में काम प्रकाशित करने वाले पहले व्यक्ति थे। "लॉगरिदम की अद्भुत तालिका का विवरण" शीर्षक से, नेपियर के लघुगणक के सिद्धांत को काफी पूर्ण मात्रा में दिया गया था, लघुगणक की गणना करने की विधि सबसे सरल तरीके से दी गई थी, इसलिए लघुगणक के आविष्कार में नेपियर की योग्यता बर्गी की तुलना में अधिक है। बर्गी ने नेपियर के साथ ही टेबल पर काम किया, लेकिन उन्हें लंबे समय तक गुप्त रखा और उन्हें केवल 1620 में प्रकाशित किया। नेपियर ने 1594 के आसपास लघुगणक के विचार में महारत हासिल की। हालाँकि तालिकाओं को 20 साल बाद प्रकाशित किया गया था। सबसे पहले, उन्होंने अपने लॉगरिदम को "कृत्रिम संख्या" कहा और उसके बाद ही इन "कृत्रिम संख्याओं" को एक शब्द "लॉगरिदम" में कॉल करने का प्रस्ताव दिया, जो ग्रीक में "सहसंबद्ध संख्या" है, एक अंकगणितीय प्रगति से लिया गया है, और दूसरा एक से लिया गया है। इसके लिए विशेष रूप से चयनित ज्यामितीय प्रगति। प्रगति। रूसी में पहली टेबल 1703 में प्रकाशित हुई थी। 18वीं शताब्दी के एक उल्लेखनीय शिक्षक की भागीदारी के साथ। एल एफ मैग्निट्स्की। लघुगणक के सिद्धांत के विकास में, सेंट पीटर्सबर्ग के शिक्षाविद लियोनार्ड यूलर के काम का बहुत महत्व था। वे पहले व्यक्ति थे जिन्होंने लघुगणक को घातांक के विलोम के रूप में माना, उन्होंने "लघुगणक का आधार" और "मंटिसा" शब्द पेश किए, ब्रिग्स ने आधार 10 के साथ लघुगणक की तालिकाएँ संकलित कीं। दशमलव तालिकाएँ व्यावहारिक उपयोग के लिए अधिक सुविधाजनक हैं, उनका सिद्धांत सरल है नेपियर के लघुगणक का। इसलिए, दशमलव लघुगणक को कभी-कभी ब्रिग्स कहा जाता है। शब्द "विशेषता" ब्रिग्स द्वारा पेश किया गया था।

उन दूर के समय में, जब ऋषियों ने पहली बार अज्ञात मात्राओं वाली समानता के बारे में सोचना शुरू किया, तब शायद अभी तक कोई सिक्के या पर्स नहीं थे। लेकिन दूसरी ओर, ढेर, साथ ही बर्तन, टोकरियाँ थीं, जो अज्ञात संख्या में वस्तुओं वाले कैश-स्टोर की भूमिका के लिए एकदम सही थीं। मेसोपोटामिया, भारत, चीन, ग्रीस की प्राचीन गणितीय समस्याओं में, अज्ञात मात्राओं ने बगीचे में मोर की संख्या, झुंड में बैलों की संख्या, संपत्ति को विभाजित करते समय ध्यान में रखी गई चीजों की समग्रता को व्यक्त किया। शास्त्रियों, अधिकारियों और पुजारियों ने गुप्त ज्ञान की शुरुआत की, गिनती के विज्ञान में अच्छी तरह से प्रशिक्षित, ऐसे कार्यों का सफलतापूर्वक सामना किया।

जो स्रोत हमारे पास आए हैं, वे बताते हैं कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास अज्ञात मात्राओं के साथ समस्याओं को हल करने के लिए कुछ सामान्य तरीके थे। हालांकि, एक भी पपीरस नहीं, एक भी मिट्टी की गोली इन तकनीकों का विवरण नहीं देती है। लेखकों ने कभी-कभी अपनी संख्यात्मक गणनाओं को औसत टिप्पणियों के साथ आपूर्ति की जैसे: "देखो!", "ऐसा करो!", "आपने इसे सही पाया।" इस अर्थ में, अपवाद ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस ऑफ अलेक्जेंड्रिया (III सदी) का "अंकगणित" है - उनके समाधानों की एक व्यवस्थित प्रस्तुति के साथ समीकरणों को संकलित करने के लिए समस्याओं का एक संग्रह।

हालांकि, 9वीं शताब्दी के बगदाद विद्वान का काम व्यापक रूप से ज्ञात समस्याओं को हल करने के लिए पहला मैनुअल बन गया। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी। इस ग्रंथ के अरबी शीर्षक से "अल-जबर" शब्द - "किताब अल-जबर वाल-मुकाबाला" ("पुनर्स्थापना और विपरीतता की पुस्तक") - अंततः "बीजगणित" शब्द में बदल गया जो सभी के लिए जाना जाता है, और अल-ख्वारिज्मी का काम ही समीकरणों को सुलझाने के विज्ञान के विकास में शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है।

लघुगणक समीकरण और असमानताएँ

1. लघुगणक समीकरण

लघुगणक के चिह्न के नीचे या उसके आधार पर अज्ञात को समाहित करने वाले समीकरण को लघुगणकीय समीकरण कहा जाता है।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण रूप का समीकरण है

लकड़ी का लट्ठा एक एक्स = बी . (1)

कथन 1. यदि एक > 0, एक 1, समीकरण (1) किसी भी वास्तविक के लिए बीयह है केवल निर्णय एक्स = एक बी .

उदाहरण 1. समीकरण हल करें:

ए) लॉग 2 एक्स= 3, बी) लॉग 3 एक्स= -1, ग)

समाधान। कथन 1 का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं a) एक्स= 2 3 या एक्स= 8; बी) एक्स= 3 -1 या एक्स= 1/3; सी)

या एक्स = 1.

हम लघुगणक के मुख्य गुण प्रस्तुत करते हैं।

आर1. मूल लघुगणकीय पहचान:

कहाँ पे एक > 0, एक 1 और बी > 0.

पी 2. सकारात्मक कारकों के उत्पाद का लघुगणक योग के बराबर हैइन कारकों के लघुगणक:

लकड़ी का लट्ठा एक एनएक · एन 2 = लॉग एक एन 1 + लॉग एक एन 2 (एक > 0, एक ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। यदि एक एनएक · एन 2 > 0, तब गुण P2 रूप लेता है

लकड़ी का लट्ठा एक एनएक · एन 2 = लॉग एक |एन 1 | + लॉग एक |एन 2 | (एक > 0, एक ≠ 1, एनएक · एन 2 > 0).

पी3. दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक भाज्य और भाजक के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है

(एक > 0, एक ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। यदि एक

, (जो बराबर है एन 1 एन 2 > 0) तब गुण P3 रूप लेता है (एक > 0, एक ≠ 1, एन 1 एन 2 > 0).

पी4. एक धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक इस संख्या के घातांक और लघुगणक के गुणनफल के बराबर होता है:

लकड़ी का लट्ठा एक एन क = कलकड़ी का लट्ठा एक एन (एक > 0, एक ≠ 1, एन > 0).

टिप्पणी। यदि एक क- सम संख्या ( क = 2एस), फिर

लकड़ी का लट्ठा एक एन 2एस = 2एसलकड़ी का लट्ठा एक |एन | (एक > 0, एक ≠ 1, एन ≠ 0).

पी5. दूसरे आधार पर जाने का सूत्र:

(एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1, एन > 0),

विशेष रूप से यदि एन = बी, हम पाते हैं

(एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1). (2)

गुण P4 और P5 का उपयोग करके, निम्नलिखित गुण प्राप्त करना आसान है

(एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (3) (एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (4) (एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (5)

और अगर (5) में सी- सम संख्या ( सी = 2एन), घटित होना

(बी > 0, एक ≠ 0, |एक | ≠ 1). (6)

हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं एफ (एक्स) = लॉग एक एक्स :

1. लघुगणकीय फलन का क्षेत्र धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।

2. लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी वास्तविक संख्याओं का समूह है।

3. कब एक> 1 लॉगरिदमिक फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है (0< एक्स 1 < एक्स 2लोग एक एक्स 1 < logएक एक्स 2), और 0 . पर< एक < 1, - строго убывает (0 < एक्स 1 < एक्स 2लोग एक एक्स 1 > लॉग एक एक्स 2).

4 लॉग एक 1 = 0 और लॉग एक एक = 1 (एक > 0, एक ≠ 1).

5. अगर एक> 1, तो लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के लिए ऋणात्मक है एक्स(0;1) और के लिए सकारात्मक है एक्स(1;+∞), और अगर 0< एक < 1, то логарифмическая функция положительна при एक्स (0;1) और के लिए ऋणात्मक है एक्स (1;+∞).

6. अगर एक> 1, तो लॉगरिदमिक फ़ंक्शन उत्तल ऊपर की ओर होता है, और यदि एक(0;1) - उत्तल नीचे।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने में निम्नलिखित कथनों (उदाहरण के लिए, देखें) का उपयोग किया जाता है।

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