एक्सेल का उपयोग कर समस्याओं का समाधान। एक्सेल का उपयोग करके रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करना

रैखिक प्रणाली बीजीय समीकरणका उपयोग करके भी हल किया जा सकता है ऐड-इन "समाधान के लिए खोजें"।इस ऐड-ऑन का उपयोग करते समय, सन्निकटन का एक क्रम बनाया जाता है , मैं = 0,1,… एन।

चलो कॉल करो अवशिष्ट वेक्टर अगला वेक्टर:

एक्सेल का काम है ऐसा सन्निकटन खोजें , जिस पर अवशिष्ट वेक्टर शून्य हो जाएगा, अर्थात। सिस्टम के दाएं और बाएं हिस्सों के मूल्यों के संयोग को प्राप्त करने के लिए।

एक उदाहरण के रूप में, SLAE (3.27) पर विचार करें।

अनुक्रमण:

1. आइए एक तालिका बनाएं, जैसा कि चित्र 3.4 में दिखाया गया है। आइए सिस्टम के गुणांक (मैट्रिक्स ए) को कोशिकाओं ए 3: सी 5 में पेश करें।

चित्र 3.4। ऐड-ऑन "समाधान के लिए खोजें" का उपयोग करके SLAE को हल करना

2. सेल A8:C8 में सिस्टम का सॉल्यूशन बनेगा (एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3). प्रारंभ में, वे खाली रहते हैं, अर्थात। शून्य। निम्नलिखित में हम उन्हें क्या कहेंगे कोशिकाओं को बदलना।. हालांकि, नीचे दर्ज किए गए सूत्रों की शुद्धता को नियंत्रित करने के लिए, इन कक्षों में कुछ मान दर्ज करना सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, इकाइयां। इन मानों को प्रणाली के समाधान के शून्य सन्निकटन के रूप में माना जा सकता है, = (1, 1, 1)।

3. कॉलम डी में हम मूल प्रणाली के बाएं हिस्सों की गणना के लिए व्यंजक पेश करते हैं। ऐसा करने के लिए, सेल D3 में, दर्ज करें और फिर सूत्र को तालिका के अंत तक कॉपी करें:

D3 = SUMPRODUCT(A3:C3;$A$8:$C$8)।

इस्तेमाल किया समारोह SUMPRODUCTश्रेणी के अंतर्गत आता है गणितीय.

4. कॉलम ई में हम सिस्टम के सही हिस्सों (मैट्रिक्स बी) के मूल्यों को लिखते हैं।

5. कॉलम एफ में हम सूत्र (3.29) के अनुसार अवशिष्टों का परिचय देते हैं, अर्थात। सूत्र F3=D3-E3 दर्ज करें और इसे तालिका के अंत तक कॉपी करें।

6. केस = (1, 1, 1) के लिए गणनाओं की शुद्धता की जांच करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

7. एक टीम चुनें डेटा\विश्लेषण\समाधान के लिए खोजें.

चावल। 3.5. सॉल्वर ऐड-इन विंडो

खिड़की में समाधान खोजना(अंजीर। 3.5) क्षेत्र में परिवर्तनशील कोशिकाएंएक ब्लॉक निर्दिष्ट करें $ए$8:$सी$8,और मैदान में प्रतिबंध – $F$3:$F$5=0. अगला, बटन पर क्लिक करें जोड़ेंऔर इन प्रतिबंधों को लागू करें। और फिर बटन दौड़ना

सिस्टम का परिणामी समाधान (3.28) एक्स 1 = 1; एक्स 2 = –1एक्स 3 = 2 सेल A8:C8, Fig.3.4 में लिखा गया है।

एमएस एक्सेल का उपयोग करके जैकोबी पद्धति का कार्यान्वयन

एक उदाहरण के रूप में, समीकरणों की प्रणाली (3.19) पर विचार करें, जिसका समाधान ऊपर जैकोबी विधि द्वारा प्राप्त किया गया था (उदाहरण 3.2)

आइए इस प्रणाली को सामान्य रूप में लाएं:

अनुक्रमण

1. आइए एक तालिका बनाएं, जैसा कि चित्र 3.6 में दिखाया गया है।

हम मैट्रिक्स और (3.15) को कोशिकाओं B6:E8 में पेश करते हैं।

अर्थ इ- एच5 में

पुनरावृत्ति संख्या कहम स्वत: पूर्ण का उपयोग करके तालिका के कॉलम ए में बनाएंगे।

शून्य सन्निकटन के रूप में, हम वेक्टर चुनते हैं

= (0, 0, 0) और इसे कक्षों B11:D11 में दर्ज करें।

2. व्यंजकों (3.29) का उपयोग करते हुए, कक्ष B12:D12 में हम पहले सन्निकटन की गणना के लिए सूत्र लिखते हैं:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

इन सूत्रों का उपयोग करके अलग तरीके से लिखा जा सकता है एक्सेल फ़ंक्शन SUMPRODUCT

कक्ष E12 में, सूत्र दर्ज करें: E12=ABS(B11-B12) और इसे दाईं ओर, कक्षों F12:G12 में कॉपी करें।

चित्र 3.6. जैकोबी विधि द्वारा SLAE को हल करने की योजना

3. सेल H12 में, गणना करने के लिए सूत्र दर्ज करें एम (के),व्यंजक (3.18) का उपयोग करते हुए: H12 = MAX(E12:G12)। MAX फ़ंक्शन श्रेणी में है सांख्यिकीय।

4. सेल B12:H12 चुनें और उन्हें टेबल के अंत तक कॉपी करें। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं क SLAE समाधान के सन्निकटन।

5. प्रणाली के अनुमानित समाधान और दी गई सटीकता को प्राप्त करने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या निर्धारित करें इ.

ऐसा करने के लिए, हम सूत्र (3.18) का उपयोग करके दो पड़ोसी पुनरावृत्तियों की निकटता की डिग्री का अनुमान लगाते हैं। आइए उपयोग करें सशर्त स्वरूपणकॉलम की कोशिकाओं में।

ऐसे स्वरूपण का परिणाम चित्र 3.6 में देखा जा सकता है। एच कॉलम की कोशिकाएं जिनके मूल्य स्थिति (3.18) को संतुष्ट करते हैं, अर्थात। कम इ=0.1, रंगा हुआ।

परिणामों का विश्लेषण करते हुए, हम चौथी पुनरावृत्ति को मूल प्रणाली के अनुमानित समाधान के रूप में एक निश्चित सटीकता e=0.1 के साथ लेते हैं, अर्थात।

तलाश चरित्र पुनरावृति कार्य . ऐसा करने के लिए, कक्षों A10:D20 के एक ब्लॉक का चयन करें और, का उपयोग करके आरेख मास्टर,हम पुनरावृत्ति संख्या के आधार पर समाधान वेक्टर के प्रत्येक घटक में परिवर्तन के ग्राफ़ बनाएंगे,

दिखाए गए ग्राफ (चित्र। 3.7) पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की पुष्टि करते हैं।

चावल। 3.7. एक अभिसरण पुनरावृत्त प्रक्रिया का चित्रण

मान बदलना इसेल H5 में, हम एक नई सटीकता के साथ मूल प्रणाली का एक नया अनुमानित समाधान प्राप्त करते हैं।

एक्सेल का उपयोग करके स्वीप पद्धति को लागू करना

तालिकाओं का उपयोग करते हुए "स्वीप" विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली के समाधान पर विचार करें एक्सेल.

वैक्टर:

अनुक्रमण

1. आइए एक तालिका बनाएं, जैसा कि चित्र 3.8 में दिखाया गया है। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स (3.30) का प्रारंभिक डेटा, अर्थात। वैक्टर सेल B5:E10 में दर्ज किए जाएंगे।

2. रेसिंग बाधाओं के बारे में यू 0 = 0 और वी 0 = 0क्रमशः G4 और H4 कोशिकाओं में प्रवेश करें।

3. स्वीप गुणांक की गणना करें एल आई, यू आई, वी आई. ऐसा करने के लिए, F5, G5, H5 कोशिकाओं में हम गणना करते हैं एल 1, यू 1, वी 1. सूत्र द्वारा (3.8)। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र प्रस्तुत करते हैं:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, और फिर उन्हें कॉपी करें।

चित्र 3.8। "स्वीप" विधि की डिजाइन योजना

4. सेल I10 में हम गणना करते हैं x6सूत्र द्वारा (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10)।

5. सूत्र (3.7) का उपयोग करके, हम अन्य सभी अज्ञात की गणना करते हैं x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 ।ऐसा करने के लिए, सेल I9 में हम गणना करते हैं x5सूत्र द्वारा (3.6): I9=G9*I10+H9 । और फिर इस फॉर्मूले को कॉपी कर लें।

परीक्षण प्रश्न

1. रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली (SLAE)। SLAE का समाधान क्या है। जब वहाँ केवल निर्णयएसएलएयू।

2. सामान्य विशेषताएँ SLAE को हल करने के लिए प्रत्यक्ष (सटीक) तरीके। गॉस तरीके और स्वीप।

3. एसएलएई को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों की सामान्य विशेषताएं। जैकोबी तरीके ( सरल पुनरावृत्तियों) और गॉस-सीडेल।

4. पुनरावृत्त प्रक्रियाओं के अभिसरण के लिए शर्तें।

5. कार्यों और गणनाओं की शर्तों की शर्तों का क्या मतलब है, SLAE को हल करने की समस्या की शुद्धता।

अध्याय 4

संख्यात्मक एकीकरण

निर्णय लेते समय पर्याप्त महान चक्रतकनीकी समस्याओं का सामना करना पड़ता है गणना करने की आवश्यकता समाकलन परिभाषित करें:

गणना क्षेत्रों, वक्रों से घिरा, काम, जड़ता के क्षण, आरेखों का गुणनमोहर के सूत्र के अनुसार, आदि। एक निश्चित अभिन्न की गणना के लिए कम कर दिया गया है।

यदि अंतराल पर निरंतर [ ए, बी] समारोह वाई = एफ (एक्स)इस खंड पर एक विरोधी व्युत्पन्न है एफ (एक्स), अर्थात। एफ' (एक्स) = एफ (एक्स), तो समाकलन (4.1) की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

हालाँकि, केवल कार्यों के एक संकीर्ण वर्ग के लिए वाई = एफ (एक्स) antiderivative एफ (एक्स)प्राथमिक कार्यों में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, समारोह वाई = एफ (एक्स)रेखांकन या सारणीबद्ध रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है। इन मामलों में, इंटीग्रल की अनुमानित गणना के लिए विभिन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

ऐसे सूत्र कहलाते हैं द्विघात सूत्र या सूत्र संख्यात्मक एकीकरण.

संख्यात्मक एकीकरण सूत्रों को ग्राफिक रूप से अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। यह ज्ञात है कि निश्चित समाकल का मान (4.1) अनुपात मेंइंटीग्रैंड द्वारा गठित वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल वाई = एफ (एक्स), सीधा एक्स = ए और एक्स = बी,एक्सिस ओह(अंजीर.4.1)।

निश्चित समाकल (4.1) की गणना करने की समस्या को इस वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना की समस्या से बदल दिया जाता है। हालाँकि, एक वक्रता का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या सरल नहीं है।

इसलिए संख्यात्मक एकीकरण का विचार होगा एक घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड को एक आकृति के साथ बदलने में, जिसके क्षेत्र की गणना काफी सरलता से की जाती है।

वाई = एफ (एक्स)

आप

एक्स

ग्यारहवीं

xi+1

एक्सएन = बी

एक्सओ = ए

सी

चित्र 4.1. संख्यात्मक एकीकरण की ज्यामितीय व्याख्या

इसके लिए एकीकरण खंड [ ए, बी] में विभाजित एनबराबर प्राथमिक खंड (i=0, 1, 2, …..,n-1),क्रमशः एच = (बी-ए) / एन।इस मामले में, वक्रीय समलम्बाकार को विभाजित किया जाएगा n प्राथमिक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजआधारों के साथ बराबर एच(अंजीर.4.1)।

प्रत्येक प्राथमिक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को एक आकृति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसके क्षेत्र की गणना काफी सरलता से की जाती है। आइए इस क्षेत्र को नामित करें सी.इन सभी क्षेत्रों का योग कहलाता है अभिन्न योगऔर सूत्र द्वारा गणना की जाती है

तब निश्चित समाकल (4.1) की गणना के लिए अनुमानित सूत्र का रूप है

सूत्र द्वारा गणना की सटीकता (4.4) चरण पर निर्भर करती है एच, अर्थात। विभाजन की संख्या पर एन।वृद्धि के साथ एनअभिन्न योग दृष्टिकोण सही मूल्यअभिन्न

यह चित्र 4.2 में अच्छी तरह से दिखाया गया है।

चित्र.4.2. इंटीग्रल की गणना की सटीकता की निर्भरता

विभाजन की संख्या पर

गणित में यह सिद्ध होता है प्रमेय: यदि फलन y=f(x) निरंतर है, तो समाकलन योग b n की सीमा मौजूद है और यह खंड को प्राथमिक खंडों में विभाजित करने के तरीके पर निर्भर नहीं करता है।

फॉर्मूला (4.4) का उपयोग किया जा सकता है यदि इस तरह की सटीकता की डिग्री सन्निकटन।अभिव्यक्ति की त्रुटि (4.4) का अनुमान लगाने के लिए विभिन्न सूत्र हैं, लेकिन, एक नियम के रूप में, वे काफी जटिल हैं। हम विधि द्वारा सन्निकटन (4.4) की सटीकता का अनुमान लगाएंगे आधा कदम.

समीकरणों की गठित प्रणाली की जड़ों के मूल्यों की गणना दो तरीकों से करें: उलटा मैट्रिक्स और क्रैमर की विधि।

आइए इन मानों को कक्ष A2:C4 - मैट्रिक्स A और कक्ष D2:D4 - मैट्रिक्स B में दर्ज करें।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

मैट्रिक्स ए के विपरीत मैट्रिक्स खोजें। ऐसा करने के लिए, सेल ए 9 में, सूत्र दर्ज करें =MOBR(A2:C4)। उसके बाद, सूत्र वाले सेल से शुरू करते हुए, श्रेणी A9:C11 का चयन करें। आइए F2 कुंजी दबाएं, और फिर CTRL+SHIFT+ENTER कुंजियां दबाएं. सूत्र को एक सरणी सूत्र के रूप में सम्मिलित किया जाएगा। =आईएनवी(ए2:सी4)।
आइए आव्यूह A-1 * b का गुणनफल ज्ञात करें। कक्षों F9:F11 में, सूत्र दर्ज करें: =MMULT(A9:C11;D2:D4) सरणी सूत्र के रूप में। प्राप्त कोशिकाओं में F9:F11समीकरण की जड़ें:

क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

हम सिस्टम को क्रैमर की विधि से हल करते हैं, इसके लिए हम मैट्रिक्स के निर्धारक को ढूंढते हैं।
आइए एक कॉलम को कॉलम b से बदलने पर प्राप्त मैट्रिक्स के सारणिक ज्ञात करें।

सेल B16 में, सूत्र दर्ज करें = MOPRED (D15: F17),

सेल B17 में, सूत्र = MOPRED (D19: F21) दर्ज करें।

सेल B18 में, सूत्र = MOPRED (D23: F25) दर्ज करें।

आइए समीकरण की जड़ों को खोजें, इसके लिए हम सेल B21 में प्रवेश करते हैं: =B16/$B$15, सेल B22 में हम दर्ज करते हैं: ==B17/$B$15, सेल B23 में हम दर्ज करते हैं: ==B18/$B$15 .

हमें समीकरण की जड़ें मिलती हैं:

समीकरण प्रणालियों को हल करने की क्षमता अक्सर न केवल अध्ययन में, बल्कि व्यवहार में भी उपयोगी हो सकती है। साथ ही, हर पीसी उपयोगकर्ता नहीं जानता कि एक्सेल के अपने समाधान हैं रेखीय समीकरण. आइए जानें कि इस कार्य को विभिन्न तरीकों से पूरा करने के लिए इस स्प्रेडशीट टूलकिट का उपयोग कैसे करें।

विधि 1: मैट्रिक्स विधि

एक्सेल टूल्स के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का सबसे आम तरीका मैट्रिक्स विधि का उपयोग करना है। इसमें भावों के गुणांकों से एक मैट्रिक्स का निर्माण होता है, और फिर एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण होता है। आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करने के लिए इस पद्धति का उपयोग करने का प्रयास करें:

14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. हम मैट्रिक्स को उन संख्याओं से भरते हैं जो समीकरण के गुणांक हैं। इन संख्याओं को क्रम में अनुक्रमिक होना चाहिए, प्रत्येक रूट के स्थान को ध्यान में रखते हुए जिससे वे मेल खाते हैं। यदि किसी व्यंजक में एक मूल अनुपस्थित है, तो इस स्थिति में गुणांक को शून्य के बराबर माना जाता है। यदि गुणांक समीकरण में इंगित नहीं किया गया है, लेकिन एक संगत मूल है, तो यह माना जाता है कि गुणांक बराबर है 1 . हम परिणामी तालिका को वेक्टर के रूप में नामित करते हैं ए.



2. अलग-अलग, हम "बराबर" चिह्न के बाद मान लिखते हैं। हम उन्हें एक सामान्य नाम से एक वेक्टर के रूप में निरूपित करते हैं बी.



3. अब, समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए, सबसे पहले, हमें मौजूदा मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स को खोजने की जरूरत है। सौभाग्य से, एक्सेल के पास एक विशेष ऑपरेटर है जिसे इस समस्या को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इसे कहते हैं भीड़. इसका एक बहुत ही सरल वाक्यविन्यास है:

   भीड़ (सरणी)

   बहस "सरणी"वास्तव में, स्रोत तालिका का पता है।

   इसलिए, हम शीट पर खाली कोशिकाओं के एक क्षेत्र का चयन करते हैं, जो आकार में मूल मैट्रिक्स की सीमा के बराबर है। बटन पर क्लिक करना "फ़ंक्शन डालें"फॉर्मूला बार के बगल में।



4. स्टार्टअप प्रगति पर है फंक्शन विजार्ड्स. श्रेणी पर जाएँ "गणितीय". दिखाई देने वाली सूची में, नाम देखें भीड़. एक बार यह मिल जाने के बाद, इसे चुनें और बटन पर क्लिक करें ठीक है.



5. भीड़. तर्कों की संख्या से, इसका केवल एक ही क्षेत्र है - "सरणी". यहां आपको हमारी तालिका का पता निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। इन उद्देश्यों के लिए, इस क्षेत्र में कर्सर सेट करें। फिर बाईं माउस बटन को दबाए रखें और शीट पर उस क्षेत्र का चयन करें जिसमें मैट्रिक्स स्थित है। जैसा कि आप देख सकते हैं, प्लेसमेंट निर्देशांक पर डेटा स्वचालित रूप से विंडो फ़ील्ड में दर्ज किया जाता है। यह कार्य पूरा होने के बाद, सबसे स्पष्ट होगा बटन पर क्लिक करना ठीक हैलेकिन जल्दी मत करो। तथ्य यह है कि इस बटन को दबाने से कमांड का उपयोग करने के बराबर है प्रवेश करना. लेकिन सरणियों के साथ काम करते समय, सूत्र के इनपुट को पूरा करने के बाद, आपको बटन पर क्लिक नहीं करना चाहिए प्रवेश करना, और कीबोर्ड शॉर्टकट का एक सेट तैयार करें Ctrl+Shift+Enter. हम यह ऑपरेशन करते हैं।



6. तो, उसके बाद, प्रोग्राम गणना करता है और पूर्व-चयनित क्षेत्र में आउटपुट पर हमारे पास इसके विपरीत एक मैट्रिक्स होता है।



7. अब हमें व्युत्क्रम मैट्रिक्स को मैट्रिक्स से गुणा करना होगा बी, जिसमें चिह्न के बाद स्थित मानों का एक स्तंभ होता है "बराबर"भावों में। एक्सेल में टेबल को गुणा करने के लिए, एक अलग फंक्शन भी होता है जिसे कहा जाता है मुम्नोझी. इस ऑपरेटर में निम्नलिखित सिंटैक्स है:

   MULT(Array1,Array2)

   हमारे मामले में चार कोशिकाओं से मिलकर एक श्रेणी का चयन करें। फिर हम फिर से शुरू करते हैं फंक्शन विजार्डआइकन पर क्लिक करके "फ़ंक्शन डालें".



8. श्रेणी "गणितीय", लॉन्च किया गया फंक्शन विजार्ड्स, नाम चुनें "मुमनोज़"और बटन पर क्लिक करें ठीक है.



9. फ़ंक्शन तर्क विंडो सक्रिय है मुम्नोझी. खेत मेँ "सरणी1"हम अपने व्युत्क्रम मैट्रिक्स के निर्देशांक दर्ज करते हैं। ऐसा करने के लिए, पिछली बार की तरह, कर्सर को फ़ील्ड में रखें और बाईं माउस बटन को दबाए रखते हुए, कर्सर के साथ संबंधित तालिका का चयन करें। हम क्षेत्र में निर्देशांक दर्ज करने के लिए इसी तरह की कार्रवाई करते हैं "ऐरे2", केवल इस बार हम कॉलम के मूल्यों को उजागर करते हैं बी. उपरोक्त क्रियाओं के बाद, हम फिर से बटन दबाने की जल्दी में नहीं हैं ठीक हैया कुंजी प्रवेश करनाऔर कुंजी संयोजन टाइप करें Ctrl+Shift+Enter.



10. बाद में यह क्रियासमीकरण के मूल पूर्व-चयनित सेल में प्रदर्शित होंगे: X1, X2, X3तथा X4. वे क्रम में होंगे। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि हमने इस प्रणाली को हल कर लिया है। समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए, इन उत्तरों को संबंधित जड़ों के बजाय मूल अभिव्यक्ति प्रणाली में प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है। यदि समानता देखी जाती है, तो इसका मतलब है कि समीकरणों की प्रस्तुत प्रणाली सही ढंग से हल हो गई है।

विधि 2: मापदंडों का चयन

दूसरा ज्ञात तरीकाएक्सेल में समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना पैरामीटर चयन विधि का अनुप्रयोग है। सार यह विधिपीछे खोजना है। अर्थात्, एक ज्ञात परिणाम के आधार पर, हम एक अज्ञात तर्क की खोज करते हैं। आइए एक उदाहरण के रूप में द्विघात समीकरण का उपयोग करें

इस परिणाम को मान के बजाय हल किए जाने वाले व्यंजक में इस मान को प्रतिस्थापित करके भी जाँचा जा सकता है एक्स.

विधि 3: क्रैमर की विधि

आइए अब क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए उसी प्रणाली को लें जिसका उपयोग किया गया था विधि 1:

14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. पहली विधि की तरह, हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं एसमीकरणों और तालिका के गुणांकों से बीसंकेत के बाद आने वाले मूल्यों से "बराबर".



2. अगला, हम चार और टेबल बनाते हैं। उनमें से प्रत्येक मैट्रिक्स की एक प्रति है ए, केवल इन प्रतियों में वैकल्पिक रूप से एक स्तंभ को तालिका द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है बी. पहली तालिका में पहला कॉलम है, दूसरी तालिका में दूसरा है, और इसी तरह।



3. अब हमें इन सभी तालिकाओं के लिए निर्धारकों की गणना करने की आवश्यकता है। समीकरणों की प्रणाली में केवल तभी समाधान होंगे जब सभी निर्धारकों का मान शून्य के अलावा अन्य हो। एक्सेल में इस मान की गणना करने के लिए, फिर से एक अलग कार्य है - मोप्रेड. इस ऑपरेटर का सिंटैक्स इस प्रकार है:

   एमपीआरईडी (सरणी)

   इस प्रकार, फ़ंक्शन की तरह भीड़, एकमात्र तर्क संसाधित की जा रही तालिका का संदर्भ है।

   इसलिए, हम एक सेल का चयन करते हैं जिसमें पहले मैट्रिक्स का निर्धारक प्रदर्शित किया जाएगा। फिर पिछले तरीकों से परिचित बटन पर क्लिक करें "फ़ंक्शन डालें".



4. विंडो सक्रिय है फंक्शन विजार्ड्स. श्रेणी पर जाएँ "गणितीय"और ऑपरेटरों की सूची में हम वहां नाम का चयन करते हैं "मोप्रेड". इसके बाद बटन पर क्लिक करें ठीक है.



5. फ़ंक्शन तर्क विंडो लॉन्च की गई है मोप्रेड. जैसा कि आप देख सकते हैं, इसका केवल एक ही क्षेत्र है - "सरणी". इस क्षेत्र में पहले परिवर्तित मैट्रिक्स का पता दर्ज करें। ऐसा करने के लिए, कर्सर को फ़ील्ड में सेट करें, और फिर मैट्रिक्स श्रेणी का चयन करें। इसके बाद बटन पर क्लिक करें ठीक है. यह समारोहएक सेल में परिणाम प्रदर्शित करता है, एक सरणी में नहीं, इसलिए आपको गणना प्राप्त करने के लिए एक कुंजी संयोजन को दबाने की आवश्यकता नहीं है Ctrl+Shift+Enter.



6. फ़ंक्शन परिणाम की गणना करता है और इसे पूर्व-चयनित सेल में प्रदर्शित करता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे मामले में सारणिक बराबर है -740 यानी शून्य के बराबर नहीं है, जो हमें सूट करता है।



7. इसी प्रकार, हम शेष तीन तालिकाओं के लिए सारणिकों की गणना करते हैं।



8. अंतिम चरण में, हम प्राथमिक मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं। प्रक्रिया एक ही एल्गोरिथ्म के अनुसार होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, प्राथमिक तालिका का निर्धारक भी शून्य से भिन्न होता है, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स को गैर-एकवचन माना जाता है, अर्थात समीकरणों की प्रणाली में समाधान होते हैं।



9. अब समीकरण की जड़ों को खोजने का समय आ गया है। समीकरण की जड़ प्राथमिक तालिका के निर्धारक के लिए संबंधित रूपांतरित मैट्रिक्स के निर्धारक के अनुपात के बराबर होगी। इस प्रकार, बदले हुए मैट्रिक्स के सभी चार निर्धारकों को संख्या से विभाजित करना -148 , जो मूल तालिका का निर्धारक है, हमें चार मूल मिलते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे मूल्यों के बराबर हैं 5 , 14 , 8 तथा 15 . इसलिए वे बिल्कुल वैसी ही हैं जैसे जड़ें हमें व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके मिलीं विधि 1, जो समीकरणों की प्रणाली के समाधान की शुद्धता की पुष्टि करता है।

विधि 4: गॉस विधि

आप गॉस विधि का प्रयोग करके समीकरणों के निकाय को भी हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अधिक लें सरल प्रणालीतीन अज्ञात से समीकरण:

14x1+2x2+8x3=110
7x1-3x2+5x3=32
5x1+x2-2x3=17

1. पुनः, सारणी में गुणांकों को क्रमानुसार लिखिए ए, और संकेत के बाद स्थित मुक्त शर्तें "बराबर"- मेज पर बी. लेकिन इस बार हम दोनों टेबल एक साथ लाएंगे, क्योंकि हमें भविष्य में काम के लिए इसकी आवश्यकता होगी। एक महत्वपूर्ण शर्त यह है कि मैट्रिक्स की पहली सेल में एमान शून्य नहीं था। अन्यथा, लाइनों को पुनर्व्यवस्थित किया जाना चाहिए।



2. दो जुड़े हुए मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को नीचे की रेखा पर कॉपी करें (स्पष्टता के लिए, आप एक पंक्ति को छोड़ सकते हैं)। पहली सेल में, जो पिछले एक से भी कम पंक्ति में स्थित है, हम निम्नलिखित सूत्र दर्ज करते हैं:

   B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

   यदि आप मैट्रिक्स को अलग तरीके से व्यवस्थित करते हैं, तो सूत्र के कक्षों के पतों का एक अलग अर्थ होगा, लेकिन आप उनकी गणना यहां दिए गए सूत्रों और छवियों के साथ तुलना करके कर सकते हैं।

   सूत्र दर्ज करने के बाद, कक्षों की पूरी पंक्ति का चयन करें और कुंजी संयोजन दबाएं Ctrl+Shift+Enter. सरणी सूत्र पंक्ति पर लागू किया जाएगा और मानों से भरा जाएगा। इस प्रकार, हमने पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाया, सिस्टम के पहले दो भावों के पहले गुणांक के अनुपात से गुणा किया।



3. उसके बाद, परिणामी लाइन को कॉपी करें और नीचे की लाइन में पेस्ट करें।



4. लुप्त रेखा के बाद पहली दो पंक्तियों का चयन करें। बटन पर क्लिक करें "प्रतिलिपि", जो टैब में रिबन पर स्थित है "घर".



5. शीट पर अंतिम प्रविष्टि के बाद लाइन छोड़ें। अगली पंक्ति में पहली सेल का चयन करें। हम सही माउस बटन के साथ क्लिक करते हैं। खुलने वाले संदर्भ मेनू में, आइटम पर होवर करें "स्पेशल पेस्ट करो". लॉन्च की गई अतिरिक्त सूची में, स्थिति का चयन करें "मूल्य".



6. अगली पंक्ति में, सरणी सूत्र दर्ज करें। यह पिछले डेटा समूह की तीसरी पंक्ति से दूसरी पंक्ति को घटाता है, तीसरी और दूसरी पंक्ति के दूसरे गुणांक के अनुपात से गुणा करता है। हमारे मामले में, सूत्र इस तरह दिखेगा:

   B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

   सूत्र दर्ज करने के बाद, पूरी पंक्ति का चयन करें और कीबोर्ड शॉर्टकट लागू करें Ctrl+Shift+Enter.



7. अब गॉस विधि के अनुसार बैकवर्ड स्वीप करना आवश्यक है। अंतिम प्रविष्टि से तीन पंक्तियाँ छोड़ें। चौथी पंक्ति में, सरणी सूत्र दर्ज करें:

   इस प्रकार, हम उस अंतिम पंक्ति को विभाजित करते हैं जिसकी गणना हमने उसके तीसरे गुणांक से की थी। फ़ॉर्मूला टाइप करने के बाद, पूरी लाइन चुनें और कीबोर्ड शॉर्टकट दबाएं Ctrl+Shift+Enter.



8. एक पंक्ति ऊपर जाएं और उसमें निम्न सरणी सूत्र दर्ज करें:

   =(बी16:ई16-बी21:ई21*डी16)/सी16

   हम सरणी सूत्र को लागू करने के लिए पहले से परिचित कीबोर्ड शॉर्टकट दबाते हैं।



9. चलिए एक और लाइन ऊपर चलते हैं। इसमें निम्न सरणी सूत्र दर्ज करें:

   =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

   फिर से, पूरी लाइन का चयन करें और एक कीबोर्ड शॉर्टकट लागू करें Ctrl+Shift+Enter.



10. अब हम उन नंबरों को देखते हैं जो पिछली पंक्तियों के अंतिम कॉलम में निकले थे, जिनकी हमने पहले गणना की थी। ये संख्याएँ हैं ( 4 , 7 तथा 5 ) समीकरणों की इस प्रणाली की जड़ें होंगी। आप इसे मानों के स्थान पर रखकर इसकी जांच कर सकते हैं X1, X2तथा X3भावों में।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सेल में, समीकरणों की एक प्रणाली को कई तरीकों से हल किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। लेकिन इन सभी विधियों को सशर्त रूप से दो बड़े समूहों में विभाजित किया जा सकता है: मैट्रिक्स और पैरामीटर चयन उपकरण का उपयोग करना। कुछ मामलों में, हमेशा नहीं मैट्रिक्स तरीकेसमस्या को हल करने के लिए उपयुक्त। विशेष रूप से, जब मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होता है। अन्य मामलों में, उपयोगकर्ता यह तय करने के लिए स्वतंत्र है कि वह अपने लिए कौन सा विकल्प अधिक सुविधाजनक मानता है।

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं। यदि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में Cramer की विधि का उपयोग किया जा सकता है, यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांकों से बना होता है, जिसे प्रणाली का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर में सिस्टम का निर्धारक होता है, और अंश में सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक होता है, जो गुणांक को अज्ञात के साथ मुक्त शर्तों से बदल देता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, प्रणाली का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, निर्णायक विधिक्रेमर।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

जैसा से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहा जाता है असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। संयुक्त प्रणालीवे समीकरण जिनका केवल एक ही हल होता है, कहलाते हैं निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

.

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किए जाते हैं:

उदाहरण 2

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों के निकाय में कोई चर नहीं हैं, तो सारणिक में उनके संगत तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों के निकाय और निकाय के सारणिक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएँ जिसमें सारणिक के एक या अधिक अवयव शून्य के बराबर हों। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम एक साथ Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की समस्याओं में, ऐसे भी होते हैं जहां, चर को निरूपित करने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर कुछ संख्या के लिए खड़े होते हैं, अक्सर एक वास्तविक संख्या। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरणों की प्रणाली खोज समस्याओं का कारण बनती हैं सामान्य गुणकोई घटना या वस्तु। यानी क्या आपने कोई अविष्कार किया? नई सामग्रीया एक उपकरण, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या कुछ वास्तविक संख्या में वृद्धि दर्शाती है।

उदाहरण 8क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

एक्सेल में रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके पाठ्यपुस्तक "कम्प्यूटेशनल गणित के बुनियादी सिद्धांत। डेमिडोविच बीपी, मैरोन आईए 1966" में अच्छी तरह से वर्णित हैं। डाउनलोड - 11एमबी

1. उलटा मैट्रिक्स विधि (एक्सेल में समाधान)

समीकरण को देखते हुए:
A*X = B, जहाँ A एक वर्ग आव्यूह है, X,B सदिश हैं;
जहाँ B एक ज्ञात सदिश (अर्थात संख्याओं का एक स्तंभ) है, X एक अज्ञात सदिश है,
तो हल X को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
एक्स = ए -1 * बी, जहां ए -1 ए मैट्रिक्स के विपरीत है।
एमएस एक्सेल में उलटा मैट्रिक्स MOBR () फ़ंक्शन द्वारा गणना की जाती है, और मैट्रिक्स (या वेक्टर द्वारा एक मैट्रिक्स) को MULTIP () फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाता है।

इनका उपयोग करने की "सूक्ष्मताएं" हैं मैट्रिक्स क्रियाएंएक्सेल में। तो, मैट्रिक्स ए से व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, आपको चाहिए:

1. कोशिकाओं के एक वर्ग क्षेत्र का चयन करने के लिए माउस का प्रयोग करें जहां उलटा मैट्रिक्स रखा जाएगा। 2. सूत्र दर्ज करना प्रारंभ करें =MOBR(3. माउस के साथ मैट्रिक्स ए का चयन करें। इस मामले में, कोशिकाओं की संबंधित श्रेणी ब्रैकेट के दाईं ओर फिट होगी। 4. ब्रैकेट बंद करें, कुंजी संयोजन दबाएं: Ctrl-Shift -एंटर 5. व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की जानी चाहिए और इसके लिए इच्छित क्षेत्र को भरना चाहिए एक वेक्टर द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करने के लिए: 1. कोशिकाओं के क्षेत्र का चयन करने के लिए माउस का उपयोग करें जहां गुणन का परिणाम रखा जाएगा 2. प्रारंभ करें सूत्र दर्ज करना =MULTIPLE(3. मैट्रिक्स का चयन करें - माउस के साथ पहला गुणक। इस मामले में, कोशिकाओं की संबंधित श्रेणी को ब्रैकेट के दाईं ओर दर्ज किया जाएगा। 4. कीबोर्ड से विभाजक दर्ज करें; (अर्धविराम) 5. माउस के साथ वेक्टर-सेकंड फ़ैक्टर चुनें। इस स्थिति में, कोशिकाओं की संबंधित श्रेणी ब्रैकेट के दाईं ओर फिट होगी। 6. ब्रैकेट बंद करें, कुंजी संयोजन दबाएं: Ctrl-Shift-Enter 7. द उत्पाद की गणना की जानी चाहिए और इसके लिए इच्छित क्षेत्र को भरना चाहिए। और दूसरा तरीका जो एक्सेल फ़ंक्शन बिल्डर बटन का उपयोग करता है। चौथा क्रम SLAE उदाहरण

एक्सेल दस्तावेज़ डाउनलोड करें जहां यह उदाहरण हल किया गया है विभिन्न तरीके.

2. गॉस विधि

गॉस विधि केवल शैक्षिक उद्देश्यों के लिए विस्तार से (चरणों में) की जाती है, जब आपको यह दिखाने की आवश्यकता होती है कि आप इसे कर सकते हैं। और वास्तविक SLAE को हल करने के लिए, एक्सेल में व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करना या विशेष कार्यक्रमों का उपयोग करना बेहतर है, उदाहरण के लिए, यह

संक्षिप्त वर्णन।

3. जैकोबी विधि (सरल पुनरावृत्तियों की विधि)

जैकोबी विधि (और सीडल विधि) को लागू करने के लिए, यह आवश्यक है कि मैट्रिक्स ए के विकर्ण घटक उसी पंक्ति के शेष घटकों के योग से अधिक हों। लक्ष्य प्रणालीमेरे पास यह संपत्ति नहीं है, इसलिए मैं प्रारंभिक परिवर्तन करता हूं।

(1)' = (1) + 0.43*(2) - 0.18*(3) - 0.96*(4) (2)' = (2) + 0.28*(1) - 1 .73*(3) + 0.12 *(4) (3)' = (3) - 0.27*(1) - 0.75*(2) + 0.08*(4) (4)' = (4) + 0.04*(1) - 6.50*(2) + 8.04*(3) नोट: गुणांक "विश्लेषण" शीट पर चुने गए थे। समीकरणों के सिस्टम हल किए जाते हैं, जिसका उद्देश्य ऑफ-विकर्ण तत्वों को शून्य में बदलना है। गुणांक समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के गोल परिणाम हैं। बेशक, ऐसा नहीं है। नतीजतन, मुझे समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
जैकोबी पद्धति को लागू करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को इस रूप में बदलना होगा:
एक्स = बी 2 + ए 2 * एक्स

इसके बाद, मैं प्रत्येक पंक्ति को बाएँ स्तंभ के गुणनखंड से विभाजित करता हूँ, अर्थात् क्रमशः 16, 7, 3, 70 से। तब मैट्रिक्स A2 का रूप है:


और वेक्टर B2: