किन आव्यूहों का व्युत्क्रम होता है। उलटा मैट्रिक्स

यह विषय छात्रों के बीच सबसे ज्यादा नफरत करने वाला है। इससे भी बदतर, शायद, केवल निर्धारक।

चाल यह है कि व्युत्क्रम तत्व की अवधारणा (और मैं अभी केवल मैट्रिक्स के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) हमें गुणन के संचालन के लिए संदर्भित करता है। तक में स्कूल के पाठ्यक्रमगुणन माना जाता है जटिल ऑपरेशन, और मैट्रिसेस का गुणन आम तौर पर एक अलग विषय है, जिसके लिए मेरे पास एक पूरा पैराग्राफ और एक वीडियो ट्यूटोरियल है।

आज हम मैट्रिक्स गणनाओं के विवरण में नहीं जाएंगे। बस याद रखें: मैट्रिक्स को कैसे निरूपित किया जाता है, उन्हें कैसे गुणा किया जाता है और इससे क्या होता है।

समीक्षा करें: मैट्रिक्स गुणन

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। एक मैट्रिक्स $A$ आकार का $\left[m\times n \right]$ बिल्कुल $m$ पंक्तियों और $n$ कॉलम वाली संख्याओं की एक तालिका है:

\=\अंडरब्रेस(\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1एन)) \\ (( a)_(21)) और ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((ए)_(एम1)) और ((ए)_(एम2)) और ... और ((ए)_(एमएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right])_(एन)\]

स्थानों में पंक्तियों और स्तंभों को गलती से भ्रमित न करने के लिए (मेरा विश्वास करो, परीक्षा में आप एक इकाई को एक ड्यूस के साथ भ्रमित कर सकते हैं - हम वहां कुछ पंक्तियों के बारे में क्या कह सकते हैं), बस चित्र पर एक नज़र डालें:

मैट्रिक्स कोशिकाओं के लिए अनुक्रमणिका का निर्धारण

क्या हो रहा है? यदि हम मानक समन्वय प्रणाली $OXY$ को ऊपरी बाएं कोने में रखते हैं और अक्षों को निर्देशित करते हैं ताकि वे पूरे मैट्रिक्स को कवर कर सकें, तो इस मैट्रिक्स के प्रत्येक सेल को निर्देशांक $\left(x;y \right) के साथ विशिष्ट रूप से जोड़ा जा सकता है। $ - यह पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या होगी।

निर्देशांक तंत्र ठीक ऊपरी बाएँ कोने में क्यों रखा गया है? हां, क्योंकि वहीं से हम किसी भी ग्रंथ को पढ़ना शुरू करते हैं। याद रखना बहुत आसान है।

क्यों $x$ अक्ष नीचे की ओर इशारा कर रहा है और दाईं ओर नहीं? फिर से, सब कुछ सरल है: मानक समन्वय प्रणाली लें ($x$ अक्ष दाईं ओर जाता है, $y$ अक्ष ऊपर जाता है) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को घेर ले। यह 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाव है - हम इसका परिणाम चित्र में देखते हैं।

सामान्य तौर पर, हमने यह पता लगाया कि मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांकों को कैसे निर्धारित किया जाए। अब चलो गुणा से निपटते हैं।

परिभाषा। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$, जब पहले कॉलम की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या से मेल खाती है, हैं सुसंगत कहा जाता है।

यह उस क्रम में है। कोई अस्पष्ट हो सकता है और कह सकता है कि मैट्रिक्स $A$ और $B$ एक क्रमबद्ध जोड़ी बनाते हैं $\left(A;B \right)$: यदि वे इस क्रम में सुसंगत हैं, तो यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि $B $ और $ ए $, वो। जोड़ी $\बाएं(बी;ए \दाएं)$ भी सुसंगत है।

केवल संगत मेट्रिसेस को गुणा किया जा सकता है।

परिभाषा। सुसंगत मैट्रिक्स का उत्पाद $A=\left[m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ नया मैट्रिक्स है $C=\left[ m\times k \right ]$ , जिसके अवयव $((c)_(ij))$ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ के तत्व $((c)_(ij))$ प्राप्त करने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स की $i$-row लेने की आवश्यकता है, $j$ -दूसरे मैट्रिक्स का कॉलम, और फिर इस पंक्ति और कॉलम से तत्वों को गुणा करें। परिणाम जोड़ें।

हाँ, यह एक कठोर परिभाषा है। इसके तुरंत बाद कई तथ्य सामने आते हैं:

1. मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोल रहा है, गैर-कम्यूटेटिव है: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. हालांकि, गुणा सहयोगी है: $\बाएं(ए\cdot बी \दाएं)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. और यहां तक ​​कि वितरण: $\बाएं(ए+बी \दाएं)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. और फिर से वितरण: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$।

गुणन के वितरण को बाएँ और दाएँ गुणक-योग के लिए अलग-अलग वर्णित किया जाना था, क्योंकि गुणन संक्रिया की गैर-कम्यूटेटिविटी थी।

यदि, फिर भी, यह पता चलता है कि $A\cdot B=B\cdot A$, ऐसे मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तनीय कहा जाता है।

उन सभी आव्यूहों में, जिन्हें किसी चीज़ से गुणा किया जाता है, उनमें विशेष गुण होते हैं - वे जो, किसी भी आव्यूह $A$ से गुणा करने पर, फिर से $A$ देते हैं:

परिभाषा। एक मैट्रिक्स $E$ को पहचान कहा जाता है यदि $A\cdot E=A$ या $E\cdot A=A$। एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ के मामले में हम लिख सकते हैं:

पहचान मैट्रिक्स हल करने में लगातार मेहमान है मैट्रिक्स समीकरण. और सामान्य तौर पर, मैट्रिसेस की दुनिया में लगातार मेहमान। :)

और इस $E$ की वजह से, किसी के पास वह सारा खेल आया जो आगे लिखा जाएगा।

उलटा मैट्रिक्स क्या है

चूंकि मैट्रिक्स गुणन एक बहुत समय लेने वाला ऑपरेशन है (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक गुच्छा गुणा करना होगा), व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा भी सबसे तुच्छ नहीं है। और इसे कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

मुख्य परिभाषा

खैर, सच्चाई जानने का समय आ गया है।

परिभाषा। मैट्रिक्स $B$ को मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि

उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ द्वारा दर्शाया गया है (डिग्री के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!), इसलिए परिभाषा को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

ऐसा लगता है कि सब कुछ बेहद सरल और स्पष्ट है। लेकिन ऐसी परिभाषा का विश्लेषण करते समय, कई प्रश्न तुरंत उठते हैं:

1. क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा मौजूद होता है? और यदि हमेशा नहीं, तो कैसे निर्धारित करें: यह कब मौजूद है और कब नहीं?
2. और किसने कहा कि ऐसा मैट्रिक्स बिल्कुल एक है? क्या होगा यदि कुछ मूल मैट्रिक्स $A$ के लिए व्युत्क्रमों की पूरी भीड़ हो?
3. ये सभी "रिवर्स" कैसा दिखते हैं? और आप वास्तव में उन्हें कैसे गिनते हैं?

गणना एल्गोरिदम के लिए - हम इस बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। लेकिन बाकी सवालों के जवाब हम अभी देंगे। आइए हम उन्हें अलग-अलग अभिकथन-लेम्मा के रूप में व्यवस्थित करें।

मूल गुण

आइए शुरू करते हैं कि $((A)^(-1))$ होने के लिए मैट्रिक्स $A$ कैसा दिखना चाहिए। अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये दोनों मैट्रिक्स वर्गाकार और समान आकार के हों: $\बाएं[ n\times n \right]$।

लेम्मा 1. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हैं और इनका क्रम $n$ समान है।

सबूत। सब कुछ सरल है। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ चलो। चूंकि उत्पाद $A\cdot ((A)^(-1))=E$ परिभाषा के अनुसार मौजूद है, मैट्रिक्स $A$ और $((A)^(-1))$ उस क्रम में संगत हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]\cdot \बाएं[ए\बार बी \दाएं]=\बाएं[एम\बार बी \दाएं] \\ और एन=ए \अंत( संरेखित करें)\]

यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का प्रत्यक्ष परिणाम है: गुणांक $n$ और $a$ "पारगमन" हैं और समान होना चाहिए।

साथ ही, व्युत्क्रम गुणन को भी परिभाषित किया गया है: $((A)^(-1))\cdot A=E$, इसलिए मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ और $A$ हैं इस क्रम में भी सुसंगत:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[ए\बार बी \दाएं]\सीडीओटी संरेखित करें)\]

इस प्रकार, व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$। हालांकि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ की परिभाषा के अनुसार, इसलिए मैट्रिक्स के आयाम बिल्कुल समान हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]=\बाएं[एन\बार एम \दाएं] \\ और एम=एन \अंत (संरेखित)\]

तो यह पता चला है कि सभी तीन मैट्रिक्स - $A$, $((A)^(-1))$ और $E$ - आकार में वर्गाकार हैं $\left[ n\times n \right]$। लेम्मा सिद्ध होता है।

अच्छा, यह पहले से ही अच्छा है। हम देखते हैं कि केवल वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं। अब आइए सुनिश्चित करें कि उलटा मैट्रिक्स हमेशा समान होता है।

लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स अद्वितीय है।

सबूत। आइए इसके विपरीत से शुरू करें: मैट्रिक्स $A$ में व्युत्क्रम के कम से कम दो उदाहरण हैं - $B$ और $C$। फिर, परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ए\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेम्मा 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार मैट्रिक्स $A$, $B$, $C$ और $E$ एक ही क्रम के वर्ग हैं: $\बाएं[ n\times n \right]$। इसलिए, उत्पाद परिभाषित किया गया है:

चूंकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है (लेकिन कम्यूटेटिव नहीं!), हम लिख सकते हैं:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

केवल प्राप्त संभावित प्रकार: व्युत्क्रम मैट्रिक्स के दो उदाहरण बराबर हैं। लेम्मा सिद्ध होता है।

उपरोक्त तर्क लगभग शब्दशः सभी वास्तविक संख्याओं $b\ne 0$ के लिए व्युत्क्रम तत्व की विशिष्टता के प्रमाण को दोहराता है। केवल महत्वपूर्ण जोड़ मैट्रिसेस के आयाम को ध्यान में रख रहा है।

हालाँकि, हम अभी भी इस बारे में कुछ नहीं जानते हैं कि क्या कोई वर्ग मैट्रिक्स उलटा है। यहां निर्धारक हमारी सहायता के लिए आता है - यह सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक प्रमुख विशेषता है।

लेम्मा 3. एक मैट्रिक्स $A$ दिया गया। यदि मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ इसके विपरीत मौजूद है, तो मूल मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है:

\[\बाएं| ए \दाएं|\ne 0\]

सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि $A$ और $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए निर्धारक की गणना करना संभव है: $\बाएं| ए \दाएं|$ और $\बाएं| ((ए)^(-1)) \right|$। हालांकि, उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:

\[\बाएं| ए\सीडॉट बी \दाएं|=\बाएं| ए \दाएं|\cdot \बाएं| बी \दाएं|\दायां तीर \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ए \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\]

लेकिन $A\cdot ((A)^(-1))=E$ की परिभाषा के अनुसार, और $E$ का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है, इसलिए

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ और \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ई\दाएं|; \\ और \बाएं| ए \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दो संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है यदि इनमें से प्रत्येक संख्या शून्य से भिन्न हो:

\[\बाएं| ए \राइट|\ने 0;\क्वाड \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\ne 0.\]

तो यह पता चला है कि $\बाएं| ए \right|\ne 0$। लेम्मा सिद्ध होता है।

वास्तव में, यह आवश्यकता काफी तार्किक है। अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करेंगे - और यह पूरी तरह से स्पष्ट हो जाएगा कि, सिद्धांत रूप में, शून्य निर्धारक के साथ कोई उलटा मैट्रिक्स क्यों मौजूद नहीं हो सकता है।

लेकिन पहले, आइए एक "सहायक" परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा। एक पतित मैट्रिक्स आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$ जिसका निर्धारक शून्य है।

इस प्रकार, हम यह दावा कर सकते हैं कि कोई भी उलटा मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है।

उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे। सामान्य तौर पर, दो आम तौर पर स्वीकृत एल्गोरिदम होते हैं, और हम आज दूसरे पर भी विचार करेंगे।

अब जिस पर विचार किया जाएगा, वह आकार $\बाएं[2\बार 2 \दाएं]$ और - आंशिक रूप से - आकार $\बाएं[ 3\गुना 3 \दाएं]$ आकार के मैट्रिक्स के लिए बहुत कुशल है। लेकिन $\left[4\times 4 \right]$ आकार से शुरू करना बेहतर है कि इसका उपयोग न करें। क्यों - अब आप सब कुछ समझ जाएंगे।

बीजीय जोड़

तैयार कर। अब दर्द होगा। नहीं, चिंता न करें: स्कर्ट में एक सुंदर नर्स, फीता के साथ स्टॉकिंग्स आपके पास नहीं आती हैं और आपको नितंब में इंजेक्शन नहीं देगी। सब कुछ बहुत अधिक नीरस है: बीजीय जोड़ और महामहिम "यूनियन मैट्रिक्स" आपके पास आ रहे हैं।

आइए मुख्य से शुरू करें। मान लें कि $A=\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसके तत्वों को $((a)_(ij))$ नाम दिया गया है। फिर, ऐसे प्रत्येक तत्व के लिए, कोई एक बीजीय पूरक परिभाषित कर सकता है:

परिभाषा। बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ तत्व $((a)_(ij))$ को $i$-th पंक्ति में और $j$-th कॉलम मैट्रिक्स $A=\बाएं [ n \times n \right]$ फॉर्म का एक निर्माण है

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

जहां $M_(ij)^(*)$ उसी $i$-th पंक्ति और $j$-th कॉलम को हटाकर मूल $A$ से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

फिर से। निर्देशांक के साथ मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक $\left(i;j \right)$ को $((A)_(ij))$ के रूप में दर्शाया जाता है और योजना के अनुसार गणना की जाती है:

1. सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स से $i$-row और $j$-th कॉलम को हटाते हैं। हमें एक नया वर्ग मैट्रिक्स मिलता है, और हम इसके सारणिक को $M_(ij)^(*)$ के रूप में निरूपित करते हैं।
2. फिर हम इस सारणिक को $((\left(-1 \right))^(i+j))$ से गुणा करते हैं - पहले तो यह व्यंजक मनमोहक लग सकता है, लेकिन वास्तव में हम केवल $ के सामने चिह्न का पता लगाते हैं एम_ (आईजे) ^ (*) $।
3. हम गिनते हैं - हमें एक विशिष्ट संख्या मिलती है। वे। बीजगणितीय जोड़ सिर्फ एक संख्या है, कुछ नया मैट्रिक्स नहीं है, और इसी तरह।

मैट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ को ही तत्व $((a)_(ij))$ का पूरक नाबालिग कहा जाता है। और इस अर्थ में, एक बीजीय पूरक की उपरोक्त परिभाषा एक अधिक जटिल परिभाषा का एक विशेष मामला है - जिसे हमने निर्धारक के बारे में पाठ में माना था।

महत्वपूर्ण लेख। दरअसल, "वयस्क" गणित में, बीजीय योगों को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

1. हम वर्ग मैट्रिक्स में $k$ पंक्तियाँ और $k$ कॉलम लेते हैं। उनके चौराहे पर, हमें $\left[ k\times k \right]$ आकार का एक मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को ऑर्डर $k$ का नाबालिग कहा जाता है और इसे $((M)_(k))$ द्वारा दर्शाया जाता है।
2. फिर हम इन "चयनित" $k$ पंक्तियों और $k$ स्तंभों को पार करते हैं। फिर, हमें एक वर्ग मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को पूरक नाबालिग कहा जाता है और इसे $M_(k)^(*)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
3. $M_(k)^(*)$ को $((\left(-1 \right))^(t))$ से गुणा करें, जहां $t$ है (अभी ध्यान दें!) सभी चयनित पंक्तियों की संख्या का योग और कॉलम। यह बीजगणितीय जोड़ होगा।

तीसरे चरण पर एक नज़र डालें: वास्तव में $2k$ की शर्तें हैं! दूसरी बात यह है कि $k=1$ के लिए हमें केवल 2 शब्द मिलते हैं - ये वही $i+j$ होंगे - तत्व $((a)_(ij))$ के "निर्देशांक", जिसके लिए हम हैं एक बीजीय पूरक की तलाश में।

इसलिए आज हम थोड़ी सरलीकृत परिभाषा का उपयोग करते हैं। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह पर्याप्त से अधिक होगा। बहुत अधिक महत्वपूर्ण निम्नलिखित है:

परिभाषा। संघ मैट्रिक्स $S$ से वर्ग मैट्रिक्स $A=\बाएं[ n\times n \right]$ आकार का एक नया मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$, जो $A$ से प्राप्त किया जाता है $((a)_(ij))$ को बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ द्वारा प्रतिस्थापित करके:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) \\ ... और ... और ... और ... \\ ((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right]\]

इस परिभाषा को साकार करने के क्षण में जो पहला विचार उत्पन्न होता है, वह यह है कि "आपको कुल कितना गिनना है!" आराम करें: आपको गिनना है, लेकिन इतना नहीं। :)

खैर, यह सब तो बहुत अच्छा है, लेकिन यह क्यों जरूरी है? लेकिन क्यों।

मुख्य प्रमेय

चलो थोड़ा पीछे चलते हैं। याद रखें, लेम्मा 3 ने कहा है कि एक उलटा मैट्रिक्स $A$ हमेशा गैर-एकवचन होता है (अर्थात, इसका निर्धारक गैर-शून्य होता है: $\बाएं| ए \दाएं|\ne 0$)।

तो, विलोम भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स $A$ पतित नहीं है, तो यह हमेशा उलटा होता है। और एक खोज योजना भी है $((A)^(-1))$। इसकी जांच - पड़ताल करें:

उलटा मैट्रिक्स प्रमेय। एक वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ दिया जाना चाहिए, और इसका निर्धारक गैर-शून्य है: $\बाएं| ए \right|\ne 0$। फिर उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मौजूद है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

और अब - सभी समान, लेकिन सुपाठ्य लिखावट में। उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1. सारणिक की गणना करें $\बाएं| A \right|$ और सुनिश्चित करें कि यह गैर-शून्य है।
2. संघ मैट्रिक्स $S$ संकलित करें, अर्थात। 100500 बीजगणितीय योग $((A)_(ij))$ गिनें और उन्हें $((a)_(ij))$ के स्थान पर रखें।
3. इस मैट्रिक्स $S$ को स्थानांतरित करें और फिर इसे किसी संख्या $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ से गुणा करें।

और बस! उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ पाया जाता है। आइए उदाहरण देखें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। आइए प्रतिवर्तीता की जांच करें। आइए निर्धारक की गणना करें:

\[\बाएं| ए \दाएं|=\बाएं| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

सारणिक शून्य से भिन्न है। तो मैट्रिक्स उलटा है। आइए एक यूनियन मैट्रिक्स बनाएं:

आइए बीजीय योगों की गणना करें:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\दाएं|=2; \\ और ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| 5\दाएं|=-5; \\ और ((ए)_(21))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+1))\cdot \बाएं| 1 \दाएं|=-1; \\ और ((ए)_(22))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+2))\cdot \बाएं| 3\दाएं|=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

ध्यान दें: निर्धारक |2|, |5|, |1| और |3| आकार के मैट्रिक्स के निर्धारक हैं $\left[ 1\times 1 \right]$, मॉड्यूल नहीं। वे। यदि निर्धारकों में ऋणात्मक संख्याएँ थीं, तो "ऋण" को हटाना आवश्यक नहीं है।

कुल मिलाकर, हमारा संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) 2 और -5 \\ -1 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ]) ^ (T)) = \ बाएँ [ \ start (सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \right]\]

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। समस्या हल हो गई।

उत्तर। $\बाएं [ \ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] $

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और -1 और 2 \\ 0 और 2 और -1 \\ 1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं] \]

समाधान। फिर से, हम निर्धारक पर विचार करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \बाएं(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\बाएं (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\बाएं(2+1+0 \दाएं)-\बाएं(4+0+0 \दाएं)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

निर्धारक शून्य से भिन्न होता है - मैट्रिक्स उलटा होता है। लेकिन अब यह सबसे अधिक तीखा होगा: आपको 9 (नौ, धिक्कार है!) बीजगणितीय परिवर्धन के रूप में गिनना होगा। और उनमें से प्रत्येक में $\left[ 2\times 2 \right]$ क्वालीफायर होगा। उड़ गया:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((ए)_(13))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((ए)_(33))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(3+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

संक्षेप में, संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा:

\[((ए)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 और 1 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \ \ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

अच्छा यही सब है। यहाँ उत्तर है।

उत्तर। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \\ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक उदाहरण के अंत में, हमने एक जाँच की। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण नोट:

जाँच करने में आलस न करें। पाए गए व्युत्क्रम से मूल मैट्रिक्स को गुणा करें - आपको $E$ मिलना चाहिए।

आगे की गणना में त्रुटि की तलाश करने की तुलना में यह जांच करना बहुत आसान और तेज़ है, उदाहरण के लिए, जब आप मैट्रिक्स समीकरण को हल करते हैं।

वैकल्पिक तरीका

जैसा कि मैंने कहा, उलटा मैट्रिक्स प्रमेय आकार के लिए ठीक काम करता है $\left[2\times 2 \right]$ और $\left[3\times 3 \right]$ (बाद के मामले में, यह इतना "महान" नहीं है अब और)। ”), लेकिन बड़े मैट्रिसेस के लिए उदासी शुरू होती है।

लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिथम है जिसका उपयोग $\left[ 10\times 10 \right]$ मैट्रिक्स के लिए भी शांतिपूर्वक उलटा खोजने के लिए किया जा सकता है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, इस एल्गोरिथम पर विचार करने के लिए, हमें थोड़ी सैद्धांतिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता है।

प्राथमिक परिवर्तन

मैट्रिक्स के विभिन्न परिवर्तनों में, कई विशेष हैं - उन्हें प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:

1. गुणन। आप $i$-वें पंक्ति (स्तंभ) ले सकते हैं और इसे किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा कर सकते हैं;
2. योग। $i$-th पंक्ति (कॉलम) में किसी भी अन्य $j$-th पंक्ति (कॉलम) को किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा करें (बेशक, $k=0$ भी संभव है, लेकिन बात क्या है उसमें से? ?हालांकि कुछ भी नहीं बदलेगा)।
3. क्रमपरिवर्तन। $i$-th और $j$-th पंक्तियां (कॉलम) लें और उन्हें स्वैप करें।

इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (बड़े मैट्रिक्स के लिए वे इतने प्राथमिक नहीं दिखते) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - ये प्रश्न आज के पाठ के दायरे से बाहर हैं। इसलिए, हम विवरण में नहीं जाएंगे।

एक और बात महत्वपूर्ण है: हमें इन सभी विकृतियों को संबंधित मैट्रिक्स पर करना होगा। जी हां, आपने सही सुना। अब एक और परिभाषा होगी - आज के पाठ में अंतिम।

संलग्न मैट्रिक्स

निश्चित रूप से आपने विद्यालय में योग पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल किया है। ठीक है, वहाँ, एक पंक्ति से दूसरी घटाएँ, किसी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करें - बस।

तो: अब सब कुछ वैसा ही होगा, लेकिन पहले से ही "वयस्क तरीके से"। तैयार?

परिभाषा। मान लीजिए मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ और समान आकार के $n$ के पहचान मैट्रिक्स $E$ दिए गए हैं। फिर संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \right]$ एक नया $\left[n\times 2n \right]$ मैट्रिक्स है जो इस तरह दिखता है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) ((a)_(11)) और ((a)_(12)) और ... और ((a)_(1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\ ((ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) और 0 और 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

संक्षेप में, हम मैट्रिक्स $ ए $ लेते हैं, दाईं ओर हम इसे आवश्यक आकार के पहचान मैट्रिक्स $ ई $ को असाइन करते हैं, हम उन्हें सुंदरता के लिए लंबवत बार से अलग करते हैं - यहां आपके पास संलग्न है। :)

क्या चालबाजी है? और यहाँ क्या है:

प्रमेय। मैट्रिक्स $A$ को उलटा होने दें। आसन्न मैट्रिक्स पर विचार करें $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]$. यदि उपयोग कर रहे हैं प्राथमिक परिवर्तनपंक्तियांइसे फॉर्म में लाएं $\बाएं[ ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]$, यानी। गुणा, घटाना और पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके $A$ मैट्रिक्स $E$ से दाईं ओर प्राप्त करने के लिए, फिर बाईं ओर प्राप्त मैट्रिक्स $B$ $A$ का व्युत्क्रम है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]\से \बाएं[ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]\दायां तीर बी=((ए)^(-1))\]

यह इत्ना आसान है! संक्षेप में, उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम इस तरह दिखता है:

1. संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ A\बाएं| . लिखें ई \ सही। \ दाएँ] $;
2. प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरण तब तक करें जब तक कि $A$ के बजाय दाईं ओर $E$ दिखाई न दे;
3. बेशक, बाईं ओर भी कुछ दिखाई देगा - एक निश्चित मैट्रिक्स $B$। यह उल्टा होगा;
4. लाभ! :)

बेशक, करने से कहीं ज्यादा आसान कहा। तो आइए कुछ उदाहरण देखें: आकार के लिए $\बाएं[3\गुना 3 \दाएं]$ और $\बाएं[4\गुना 4 \दाएं]$।

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 5 और 1 \\ 3 और 2 और 1 \\ 6 और -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\ ]

समाधान। हम संलग्न मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

चूंकि मूल मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम लोगों से भरा है, इसलिए पहली पंक्ति को बाकी से घटाएं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

पहली पंक्ति को छोड़कर कोई और इकाइयाँ नहीं हैं। लेकिन हम इसे छूते नहीं हैं, अन्यथा नई हटाई गई इकाइयाँ तीसरे कॉलम में "गुणा" करना शुरू कर देंगी।

लेकिन हम दूसरी पंक्ति को पिछले एक से दो बार घटा सकते हैं - हमें निचले बाएं कोने में एक इकाई मिलती है:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब हम अंतिम पंक्ति को पहली से और दूसरी से दो बार घटा सकते हैं - इस तरह हम पहले कॉलम को "शून्य" कर देंगे:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें और फिर इसे पहली से 6 गुना घटाएं और आखिरी में 1 बार जोड़ें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ start (मैट्रिक्स) \ \\ \ बाएँ| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 & 3 और -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 0 और 1 और -18 और 32 और -13 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

यह केवल लाइन 1 और 3 को स्वैप करने के लिए बनी हुई है:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 और 32 और -13 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

तैयार! दाईं ओर आवश्यक उलटा मैट्रिक्स है।

उत्तर। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 4 और -7 और 3 \\ 3 और -5 और 2 \\ -18 और 32 और -13 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। फिर से हम संलग्न एक की रचना करते हैं:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \right]\]

चलो थोड़ा उधार लेते हैं, इस बात की चिंता करते हैं कि हमें अभी कितना गिनना है... और गिनना शुरू करें। आरंभ करने के लिए, हम पंक्ति 2 और 3 से पंक्ति 1 घटाकर पहले कॉलम को "शून्य" करते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू (सरणी)(rrrr|rrrr) 1 & 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

हम 2-4 पंक्तियों में बहुत अधिक "माइनस" देखते हैं। सभी तीन पंक्तियों को -1 से गुणा करें, और फिर तीसरे कॉलम को बाकी से पंक्ति 3 घटाकर जला दें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\ \अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू (मैट्रिक्स) \ \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \\ \ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) ( rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी) \ सही] \\ \ अंत (संरेखण) \]

अब मूल मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को "तलना" करने का समय है: पंक्ति 4 को बाकी से घटाएं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

अंतिम रोल: पंक्ति 1 और 3 से पंक्ति 2 घटाकर दूसरे कॉलम को "बर्न आउट" करें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत ( सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 0 और 0 और 0 और 33 और -6 और -26 और -17 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और -25 और 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

और फिर, बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स, तो दाईं ओर उलटा। :)

उत्तर। $\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 33 और -6 और -26 और 17 \\ 6 और -1 और -5 और 3 \\ -25 और 5 और 20 और -13 \\ -2 और 0 और 2 और - 1 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]$

उलटा मैट्रिक्स ढूँढना- एक समस्या जिसे अक्सर दो तरीकों से हल किया जाता है:

• बीजगणितीय योगों की विधि, जिसमें निर्धारकों को खोजने और मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है;
• उन्मूलन विधि अज्ञात गॉस, जिसमें मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है (पंक्तियों को जोड़ें, पंक्तियों को उसी संख्या से गुणा करें, आदि)।

जो लोग विशेष रूप से उत्सुक हैं, उनके लिए अन्य विधियां हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक परिवर्तनों की विधि। इस पाठ में, हम इन विधियों द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए उल्लिखित तीन विधियों और एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे।

उलटा मैट्रिक्स लेकिन, ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है

लेकिन
. (1)

उलटा मैट्रिक्स , जो किसी दिए गए वर्ग मैट्रिक्स के लिए खोजना आवश्यक है लेकिन, ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है

वह उत्पाद जिसके द्वारा मैट्रिसेस लेकिनदाईं ओर पहचान मैट्रिक्स है, अर्थात,
. (1)

एक पहचान मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है जिसमें सभी विकर्ण प्रविष्टियां एक के बराबर होती हैं।

प्रमेय।प्रत्येक गैर-एकवचन (गैर-एकवचन, गैर-एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स के लिए, एक उलटा मैट्रिक्स पा सकता है, और इसके अलावा, केवल एक। एक विशेष (पतित, एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

वर्ग मैट्रिक्स को कहा जाता है गैर विशेष(या गैर पतित, गैर विलक्षण) यदि इसका सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, और विशेष(या पतित, विलक्षण) यदि इसका सारणिक शून्य है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है। स्वाभाविक रूप से, व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी वर्गाकार होगा और दिए गए मैट्रिक्स के समान क्रम का होगा। एक मैट्रिक्स जिसके लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाया जा सकता है उसे एक उलटा मैट्रिक्स कहा जाता है।

के लिये उलटा मैट्रिक्स एक संख्या के व्युत्क्रम के साथ एक उपयुक्त सादृश्य है। हर नंबर के लिए एक, जो शून्य के बराबर नहीं है, एक संख्या मौजूद है बीकि काम एकतथा बीएक के बराबर: अब= 1। संख्या बीकिसी संख्या का व्युत्क्रम कहलाता है बी. उदाहरण के लिए, संख्या 7 के लिए व्युत्क्रम संख्या 1/7 है, क्योंकि 7*1/7=1.

बीजगणितीय योगों की विधि द्वारा प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करना (संघ आव्यूह)

एक गैर-एकवचन वर्ग मैट्रिक्स के लिए लेकिनउलटा मैट्रिक्स है

मैट्रिक्स निर्धारक कहां है लेकिन, ए मैट्रिक्स से जुड़ा मैट्रिक्स है लेकिन.

एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ संबद्ध एउसी क्रम का एक मैट्रिक्स है जिसके तत्व मैट्रिक्स ए के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स के निर्धारक के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक हैं। इस प्रकार, यदि

फिर

तथा

बीजगणितीय योगों की विधि द्वारा प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम

1. इस आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए ए. यदि सारणिक शून्य के बराबर है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स का पता लगाना बंद हो जाता है, क्योंकि मैट्रिक्स पतित है और इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है।

2. के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स खोजें ए.

3. तत्वों की गणना करें संबद्ध मैट्रिक्सचरण 2 में पाए गए मैरिट्ज़ के बीजगणितीय पूरक के रूप में।

4. सूत्र लागू करें (2): मैट्रिक्स के सारणिक के व्युत्क्रम को गुणा करें ए, चरण 4 में पाया गया संघ मैट्रिक्स के लिए।

5. इस मैट्रिक्स को गुणा करके चरण 4 में प्राप्त परिणाम की जाँच करें एउलटा मैट्रिक्स के लिए। यदि इन मैट्रिक्स का उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर है, तो उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया गया था। अन्यथा समाधान प्रक्रिया फिर से शुरू करें।

उदाहरण 1मैट्रिक्स के लिए

उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजना आवश्यक है लेकिन. हम त्रिभुजों के नियम से पाते हैं:

इसलिए, मैट्रिक्स लेकिनगैर-एकवचन (गैर-पतित, गैर-एकवचन) है और इसके लिए एक व्युत्क्रम है।

आइए दिए गए मैट्रिक्स से जुड़े मैट्रिक्स को खोजें लेकिन.

आइए मैट्रिक्स के संबंध में मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें ए:

हम मैट्रिक्स के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स के बीजगणितीय पूरक के रूप में संघ मैट्रिक्स के तत्वों की गणना करते हैं ए:

इसलिए, मैट्रिक्स मैट्रिक्स के साथ संयुग्मित है ए, रूप है

टिप्पणी।तत्वों की गणना और मैट्रिक्स के स्थानान्तरण का क्रम भिन्न हो सकता है। कोई पहले मैट्रिक्स के बीजीय पूरक की गणना कर सकता है ए, और फिर बीजीय पूरक के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें। परिणाम संघ मैट्रिक्स के समान तत्व होना चाहिए।

सूत्र (2) को लागू करने पर, हम मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत पाते हैं लेकिन:

अज्ञात के गाऊसी उन्मूलन द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना

गाऊसी उन्मूलन द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए पहला कदम मैट्रिक्स को असाइन करना है एएक ही क्रम के पहचान मैट्रिक्स, उन्हें एक लंबवत बार से अलग करते हैं। हमें एक दोहरा मैट्रिक्स मिलता है। इस मैट्रिक्स के दोनों भागों को से गुणा करें, तो हमें मिलता है

,

अज्ञात के गाऊसी उन्मूलन द्वारा उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. मैट्रिक्स के लिए एउसी क्रम का एक पहचान मैट्रिक्स असाइन करें।

2. परिणामी द्वैत मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि उसके बाएँ भाग में पहचान मैट्रिक्स प्राप्त हो जाए, तो पहचान मैट्रिक्स के स्थान पर सही भाग में उलटा मैट्रिक्स स्वतः प्राप्त हो जाएगा। आव्यूह एबाईं ओर मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों द्वारा पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तित हो जाता है।

2. यदि मैट्रिक्स परिवर्तन की प्रक्रिया में एपहचान मैट्रिक्स में किसी भी पंक्ति में या किसी भी कॉलम में केवल शून्य होगा, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, और इसलिए, मैट्रिक्स एपतित होगा, और इसका कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है। इस मामले में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की आगे की खोज बंद हो जाती है।

उदाहरण 2मैट्रिक्स के लिए

उलटा मैट्रिक्स खोजें।

और हम इसे बदल देंगे ताकि पहचान मैट्रिक्स बाईं ओर प्राप्त हो। आइए परिवर्तन शुरू करें।

बाएँ और दाएँ मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें, और फिर पहली पंक्ति को (-4) से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें, फिर हमें मिलता है

.

ताकि, यदि संभव हो तो, बाद के परिवर्तनों के दौरान कोई भिन्नात्मक संख्या न हो, हम पहले दोहरे मैट्रिक्स के बाईं ओर दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाएंगे। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और उसमें से तीसरी पंक्ति घटाएँ, तो हमें प्राप्त होता है

.

आइए पहली पंक्ति को दूसरी में जोड़ें, और फिर दूसरी पंक्ति को (-9) से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें। तब हमें मिलता है

.

तीसरी पंक्ति को 8 से विभाजित करें, फिर

.

तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जोड़ें। यह पता चला है:

.

दूसरी और तीसरी पंक्तियों के स्थानों की अदला-बदली करने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

.

हम देखते हैं कि पहचान मैट्रिक्स बाईं ओर प्राप्त होता है, इसलिए, उलटा मैट्रिक्स दाईं ओर प्राप्त होता है। इस तरह:

.

आप पाए गए व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच कर सकते हैं:

परिणाम एक उलटा मैट्रिक्स होना चाहिए।

उदाहरण 3मैट्रिक्स के लिए

उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान। एक दोहरी मैट्रिक्स का संकलन

और हम इसे बदल देंगे।

हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरी को 2 से, और दूसरी से घटाते हैं, और फिर हम पहली पंक्ति को 5 से गुणा करते हैं, और तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति से घटाते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

.

हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं और दूसरी में जोड़ते हैं, और फिर तीसरी पंक्ति से दूसरी घटाते हैं, तो हमें मिलता है

.

हम देखते हैं कि बाईं ओर तीसरी पंक्ति में, सभी तत्व शून्य के बराबर निकले। इसलिए, मैट्रिक्स पतित है और इसका कोई उलटा मैट्रिक्स नहीं है। हम आगे रिवर्स मारिया की खोज करना बंद कर देते हैं।

परिभाषा 1:एक मैट्रिक्स को पतित कहा जाता है यदि इसका सारणिक शून्य है।

परिभाषा 2:एक मैट्रिक्स को गैर-एकवचन कहा जाता है यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

मैट्रिक्स "ए" कहा जाता है उलटा मैट्रिक्स, यदि शर्त A*A-1 = A-1 *A = E (पहचान मैट्रिक्स) संतुष्ट है।

एक वर्ग मैट्रिक्स केवल तभी उलटा हो सकता है जब वह एकवचन हो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना:

1) मैट्रिक्स "ए" के सारणिक की गणना करें यदि ∆ ए = 0, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

2) मैट्रिक्स "ए" के सभी बीजीय पूरक खोजें।

3) बीजीय योगों का एक आव्यूह बनाइए (Aij )

4) बीजीय पूरक (Aij )T . के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें

5) इस मैट्रिक्स के निर्धारक के पारस्परिक द्वारा स्थानांतरित मैट्रिक्स को गुणा करें।

6) एक चेक चलाएँ:

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह मुश्किल है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। सभी समाधान सरल अंकगणितीय संचालन पर आधारित होते हैं, मुख्य बात यह है कि हल करते समय "-" और "+" संकेतों के साथ भ्रमित नहीं होना है, और उन्हें खोना नहीं है।

और अब व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करके आपके साथ एक व्यावहारिक कार्य को हल करते हैं।

कार्य: व्युत्क्रम मैट्रिक्स "ए" खोजें, जो नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है:

हम सब कुछ ठीक उसी तरह हल करते हैं जैसा कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना में दर्शाया गया है।

1. मैट्रिक्स "ए" के निर्धारक को खोजने के लिए पहली बात यह है:

व्याख्या:

हमने अपने मुख्य कार्यों का उपयोग करके अपने सारणिक को सरल बनाया है। सबसे पहले, हमने दूसरी और तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति के तत्वों को एक संख्या से गुणा किया।

दूसरे, हमने सारणिक के दूसरे और तीसरे कॉलम को बदल दिया, और इसके गुणों के अनुसार, हमने इसके सामने के चिन्ह को बदल दिया।

तीसरा, हमने दूसरी पंक्ति का उभयनिष्ठ गुणनखंड (-1) निकाला, जिससे चिन्ह फिर से बदल गया, और वह धनात्मक हो गया। हमने लाइन 3 को भी उसी तरह सरल बनाया जैसे उदाहरण की शुरुआत में।

हमारे पास एक त्रिकोणीय सारणिक है, जिसमें विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर हैं, और गुण 7 से यह विकर्ण के तत्वों के गुणनफल के बराबर है। नतीजतन, हमें मिल गया ∆ ए = 26, इसलिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

ए11 = 1*(3+1) = 4

ए12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

ए13 = 1*1 = 1

ए21 = -1*(-6) = 6

ए22 = 1*(3-0) = 3

ए23 = -1*(1+4) = -5

ए31 = 1*2 = 2

ए32 = -1*(-1) = -1

ए33 = 1+(1+6) = 7

3. अगला कदम परिणामी परिवर्धन से एक मैट्रिक्स को संकलित करना है:

5. हम इस मैट्रिक्स को सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, अर्थात 1/26 से:

6. ठीक है, अब हमें बस जाँच करने की आवश्यकता है:

सत्यापन के दौरान, हमें एक पहचान मैट्रिक्स प्राप्त हुआ, इसलिए निर्णय बिल्कुल सही किया गया था।

उलटा मैट्रिक्स की गणना करने का 2 तरीका।

1. मैट्रिक्स का प्राथमिक परिवर्तन

2. एक प्राथमिक कनवर्टर के माध्यम से उलटा मैट्रिक्स।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन में शामिल हैं:

1. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

2. किसी संख्या से गुणा करके किसी अन्य पंक्ति की किसी पंक्ति में जोड़ना।

3. मैट्रिक्स की पंक्तियों की अदला-बदली।

4. प्रारंभिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला को लागू करने पर, हम एक और मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं।

लेकिन -1 = ?

1. (ए | ई) ~ (ई | ए -1 )

2. ए -1*ए=ई

इस पर विचार करें व्यावहारिक उदाहरणवास्तविक संख्या के साथ।

व्यायाम:उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान:

चलो देखते है:

समाधान पर थोड़ा स्पष्टीकरण:

हमने पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों 1 और 2 की अदला-बदली की, फिर हमने पहली पंक्ति को (-1) से गुणा किया।

उसके बाद, पहली पंक्ति को (-2) से गुणा किया गया और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। फिर हमने दूसरी पंक्ति को 1/4 से गुणा किया।

परिवर्तन का अंतिम चरण दूसरी पंक्ति का 2 से गुणा और पहले से जोड़ था। नतीजतन, हमारे पास बाईं ओर एक पहचान मैट्रिक्स है, इसलिए उलटा मैट्रिक्स दाईं ओर मैट्रिक्स है।

जाँच के बाद, हम समाधान की शुद्धता के बारे में आश्वस्त थे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना बहुत सरल है।

इस व्याख्यान के समापन में, मैं कुछ समय ऐसे मैट्रिक्स के गुणों के लिए भी देना चाहूंगा।

कई गुणों में व्युत्क्रम के समान।

विश्वकोश YouTube

1 / 5

उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें - bezbotvy

उलटा मैट्रिक्स (खोजने के 2 तरीके)

उलटा मैट्रिक्स #1

✪ 2015-01-28। उलटा मैट्रिक्स 3x3

✪ 2015-01-27। उलटा मैट्रिक्स 2x2

उपशीर्षक

उलटा मैट्रिक्स गुण

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), कहाँ पे det (\displaystyle \\det )एक निर्धारक को दर्शाता है।
• (ए बी) − 1 = बी − 1 ए − 1 (\displaystyle \ (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1))दो वर्ग उल्टे मैट्रिक्स के लिए ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी).
• (ए टी) - 1 = (ए -1) टी (\displaystyle \ (ए^(टी))^(-1)=(ए^(-1))^(टी)), कहाँ पे (...) टी (\displaystyle (...)^(टी))ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को दर्शाता है।
• (के ए) - 1 = के - 1 ए - 1 (\displaystyle \ (केए)^(-1)=k^(-1)A^(-1))किसी गुणांक के लिए के 0 (\displaystyle k\नहीं = 0).
• ई - 1 = ई (\displaystyle \ ई^(-1)=ई).
• यदि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, (बी एक गैर-शून्य वेक्टर है) जहां x (\displaystyle x)वांछित वेक्टर है, और यदि ए -1 (\displaystyle ए^(-1))मौजूद है, तो x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). अन्यथा, या तो समाधान स्थान का आयाम शून्य से अधिक है, या कोई भी नहीं है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के तरीके

यदि मैट्रिक्स उलटा है, तो मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आप निम्न विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

सटीक (प्रत्यक्ष) तरीके

गॉस-जॉर्डन विधि

आइए दो मैट्रिक्स लें: स्वयं एऔर एकल इ. आइए मैट्रिक्स लाते हैं एगॉस-जॉर्डन विधि द्वारा पहचान मैट्रिक्स के लिए पंक्तियों में परिवर्तन लागू करना (आप स्तंभों में परिवर्तन भी लागू कर सकते हैं, लेकिन मिश्रण में नहीं)। प्रत्येक ऑपरेशन को पहले मैट्रिक्स में लागू करने के बाद, उसी ऑपरेशन को दूसरे पर लागू करें। जब पहले मैट्रिक्स की पहचान फॉर्म में कमी पूरी हो जाती है, तो दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा ए -1.

गॉस विधि का उपयोग करते समय, पहले मैट्रिक्स को बाईं ओर से प्राथमिक मैट्रिक्स में से एक से गुणा किया जाएगा मैं (\displaystyle \लैम्ब्डा _(i))(एक स्थिति को छोड़कर, मुख्य विकर्ण पर वाले के साथ ट्रांसवेक्शन या विकर्ण-मैट्रिक्स):

1 ⋯ n ⋅ ए = Λ ए = ई ⇒ = ए − 1 (\displaystyle \लैम्ब्डा _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). एम = [ 1 … 0 - ए 1 मीटर / एएम एम 0 … 0 … 0 … 1 - ए एम - 1 मीटर / एम एम 0 … 0 0 … 0 1 / एम एम 0 … 0 0 … 0 - ए एम + 1 मी / एम एम 1 … 0 … 0 … 0 - ए एन एम / ए एम एम 0 … 1 ] (\displaystyle \लैम्ब्डा _(एम)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

सभी परिचालनों को लागू करने के बाद दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा (\displaystyle \लैम्ब्डा ), यानी वांछित होगा। एल्गोरिथम की जटिलता - ओ (एन 3) (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ (एन ^ (3))).

बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना

मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

कहाँ पे adj (ए) (\displaystyle (\mbox(adj))(ए))- संलग्न मैट्रिक्स;

एल्गोरिथ्म की जटिलता, सारणिक O det की गणना के लिए एल्गोरिथ्म की जटिलता पर निर्भर करती है और O(n²) O det के बराबर होती है।

LU/LUP अपघटन का उपयोग करना

मैट्रिक्स समीकरण A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))उलटा मैट्रिक्स के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)संग्रह के रूप में देखा जा सकता है n (\displaystyle n)फॉर्म की प्रणाली A x = b (\displaystyle Ax=b). निरूपित मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)के माध्यम से X i (\displaystyle X_(i)); फिर A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), मैं = 1 ,… , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),क्यों कि मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम मैं n (\displaystyle I_(n))इकाई वेक्टर है ई मैं (\displaystyle e_(i)). दूसरे शब्दों में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक ही मैट्रिक्स और विभिन्न दाहिने हाथ के साथ n समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है। LUP विस्तार (समय O(n³)) चलाने के बाद प्रत्येक n समीकरणों को हल करने में O(n²) समय लगता है, इसलिए कार्य के इस भाग में O(n³) समय भी लगता है।

यदि मैट्रिक्स A एकवचन नहीं है, तो हम इसके लिए LUP अपघटन की गणना कर सकते हैं पी ए = एल यू (\displaystyle PA=LU). होने देना पी ए = बी (\ डिस्प्लेस्टाइल पीए = बी), बी -1 = डी (\displaystyle बी^(-1)=डी). फिर, व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणों से, हम लिख सकते हैं: डी = यू − 1 एल − 1 (\displaystyle डी=यू^(-1)एल^(-1)). यदि हम इस समानता को U और L से गुणा करें, तो हमें फॉर्म की दो समानताएँ मिल सकती हैं यू डी = एल - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))तथा डी एल = यू - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). इनमें से पहली समानता n² की एक प्रणाली है रेखीय समीकरणके लिये n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से)। दूसरा भी . के लिए n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से भी)। साथ में वे n² समानता की एक प्रणाली बनाते हैं। इन समानताओं का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स D के सभी n² तत्वों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित कर सकते हैं। फिर समानता (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D से हम समानता प्राप्त करते हैं A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

एलयू अपघटन का उपयोग करने के मामले में, मैट्रिक्स डी के कॉलम के क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मैट्रिक्स ए नॉनसिंगुलर होने पर भी समाधान अलग हो सकता है।

एल्गोरिथ्म की जटिलता ओ (एन³) है।

पुनरावृत्त तरीके

शुल्त्स तरीके

( k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases))\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

त्रुटि अनुमान

प्रारंभिक सन्निकटन का विकल्प

यहां पर विचार किए गए पुनरावृत्त मैट्रिक्स व्युत्क्रम की प्रक्रियाओं में प्रारंभिक सन्निकटन को चुनने की समस्या हमें उन्हें स्वतंत्र मानने की अनुमति नहीं देती है सार्वभौमिक तरीके, उदाहरण के लिए, मैट्रिसेस के LU अपघटन पर आधारित प्रत्यक्ष व्युत्क्रम विधियों के साथ प्रतिस्पर्धा। चुनने के लिए कुछ सिफारिशें हैं यू 0 (\displaystyle U_(0)), शर्त की पूर्ति सुनिश्चित करना ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (मैट्रिक्स की वर्णक्रमीय त्रिज्या एकता से कम है), जो प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। हालांकि, इस मामले में, पहले, इनवर्टिबल मैट्रिक्स ए या मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के अनुमान के ऊपर से जानना आवश्यक है ए ए टी (\displaystyle एए^(टी))(अर्थात्, यदि A एक सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है और (ए) β (\displaystyle \rho (ए)\leq \beta ), तो आप ले सकते हैं यू 0 = α ई (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), कहाँ पे ; अगर ए एक मनमाना गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और ρ (ए ए टी) β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), तो मान लीजिए यू 0 = α ए टी (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), कहाँ भी α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); बेशक, स्थिति को सरल बनाया जा सकता है और इस तथ्य का उपयोग करके कि ρ (A A T) k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), रखना यू 0 = ए टी ‖ ए ए टी ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))) दूसरे, प्रारंभिक मैट्रिक्स के ऐसे विनिर्देश के साथ, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि 0 ‖ (\displaystyle \|\साई _(0)\|)छोटा होगा (शायद यहां तक ​​कि 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\साई _(0)\|>1)), और अभिसरण दर का एक उच्च क्रम तुरंत स्पष्ट नहीं होगा।

उदाहरण

मैट्रिक्स 2x2

A - 1 = [ a b c d ] - 1 = 1 det (A) [ d - b - c a ] = 1 a d - b c [ d - b - c a ] । (\displaystyle \mathbf (ए) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (ए))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- बीसी))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल इस शर्त के तहत संभव है कि a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के तरीके, . एक वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें

निरूपित करें = डिट ए।

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है गैर-पतित,या गैर विशेषयदि इसका सारणिक शून्येतर है, और पतित,या विशेष, यदिΔ = 0.

एक वर्ग मैट्रिक्स बी एक ही क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स ए के लिए मौजूद है यदि उनका उत्पाद ए बी = बी ए = ई, जहां ई मैट्रिक्स ए और बी के समान क्रम का पहचान मैट्रिक्स है।

प्रमेय . मैट्रिक्स ए के लिए एक व्यस्त मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका निर्धारक गैर-शून्य हो।

आव्यूह A का उलटा आव्यूह, जिसे A . द्वारा निरूपित किया जाता है- 1 तो बी = ए - 1 और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

, (1)

जहाँ i j - मैट्रिक्स A के तत्वों a i j के बीजगणितीय पूरक।

मैट्रिसेस के लिए सूत्र (1) द्वारा गणना ए -1 उच्च स्तरबहुत श्रमसाध्य, इसलिए व्यवहार में प्राथमिक परिवर्तनों (ईपी) की विधि का उपयोग करके ए -1 को खोजना सुविधाजनक है। किसी भी गैर-एकवचन मैट्रिक्स ए को केवल कॉलम (या केवल पंक्तियों) के ईपी द्वारा पहचान मैट्रिक्स ई तक कम किया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स ए पर पूर्ण ईपी को उसी क्रम में पहचान मैट्रिक्स ई पर लागू किया जाता है, तो परिणाम है एक उलटा मैट्रिक्स। मेट्रिसेस ए और ई पर एक साथ ईपी करना सुविधाजनक है, दोनों मैट्रिस को लाइन के माध्यम से एक साथ लिखना। हम एक बार फिर ध्यान दें कि मैट्रिक्स के विहित रूप की खोज करते समय, इसे खोजने के लिए, कोई पंक्तियों और स्तंभों के परिवर्तनों का उपयोग कर सकता है। यदि आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की आवश्यकता है, तो आपको परिवर्तन प्रक्रिया में केवल पंक्तियों या केवल स्तंभों का उपयोग करना चाहिए।

उदाहरण 2.10. मैट्रिक्स के लिए ए -1 खोजें।

समाधान।हम पहले मैट्रिक्स A . का सारणिक ज्ञात करते हैं
इसलिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है और हम इसे सूत्र द्वारा पा सकते हैं: , जहाँ A i j (i,j=1,2,3) - मूल मैट्रिक्स के a i j तत्वों के बीजीय पूरक।

कहाँ पे .

उदाहरण 2.11. प्राथमिक रूपांतरण की विधि का उपयोग करके, मैट्रिक्स के लिए ए -1 खोजें: ए =।

समाधान।हम दाईं ओर मूल मैट्रिक्स को उसी क्रम का एक पहचान मैट्रिक्स असाइन करते हैं: . प्राथमिक स्तंभ परिवर्तनों की मदद से, हम बाएं "आधे" को पहचान एक में कम करते हैं, साथ ही साथ सही मैट्रिक्स पर इस तरह के परिवर्तनों का प्रदर्शन करते हैं।
ऐसा करने के लिए, पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करें: ~ . हम पहले को तीसरे कॉलम में जोड़ते हैं, और पहले को -2 से दूसरे से गुणा करते हैं: . पहले कॉलम से हम दुगुने दूसरे को घटाते हैं, और तीसरे से - दूसरे को 6 से गुणा करते हैं; . आइए तीसरे कॉलम को पहले और दूसरे में जोड़ें: . अंतिम कॉलम को -1 से गुणा करें: . वर्टिकल बार के दाईं ओर प्राप्त वर्ग मैट्रिक्स दिए गए मैट्रिक्स ए का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। तो,
.