दिया गया टूलकिटआपको यह सीखने में मदद मिलेगी कि कैसे मैट्रिक्स संचालन: आव्यूहों का जोड़ (घटाव), आव्यूह का स्थानान्तरण, आव्यूहों का गुणन, आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात करना। सभी सामग्री को एक सरल और सुलभ रूप में प्रस्तुत किया जाता है, प्रासंगिक उदाहरण दिए जाते हैं, इसलिए एक अप्रस्तुत व्यक्ति भी सीख सकता है कि मैट्रिसेस के साथ क्रियाएं कैसे करें। आत्म-नियंत्रण और आत्म-परीक्षण के लिए, आप मुफ्त में एक मैट्रिक्स कैलकुलेटर डाउनलोड कर सकते हैं >>>।

मैं सैद्धांतिक गणना को कम करने की कोशिश करूंगा, कुछ जगहों पर "उंगलियों पर" स्पष्टीकरण और अवैज्ञानिक शब्दों का उपयोग संभव है। सॉलिड थ्योरी के दीवानों, कृपया आलोचना में न उलझें, हमारा काम है मैट्रिसेस के साथ काम करना सीखें.

विषय पर सुपर-फास्ट तैयारी के लिए (जो "जलता है") एक गहन पीडीएफ-पाठ्यक्रम है मैट्रिक्स, निर्धारक और ऑफसेट!

एक मैट्रिक्स कुछ की एक आयताकार तालिका है तत्वों. जैसा तत्वोंहम संख्याओं, अर्थात् संख्यात्मक आव्यूहों पर विचार करेंगे। तत्वएक शब्द है। शब्द को याद रखना वांछनीय है, यह अक्सर होगा, यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने इसे उजागर करने के लिए बोल्ड का इस्तेमाल किया।

पद:मैट्रिक्स को आमतौर पर अपरकेस द्वारा दर्शाया जाता है लैटिन अक्षरों के साथ

उदाहरण:दो-तीन मैट्रिक्स पर विचार करें:

इस मैट्रिक्स में छह . होते हैं तत्वों:

मैट्रिक्स के अंदर सभी संख्याएं (तत्व) अपने आप मौजूद हैं, यानी किसी घटाव का कोई सवाल ही नहीं है:

यह सिर्फ संख्याओं की एक तालिका (सेट) है!

हम भी मानेंगे पुनर्व्यवस्थित न करेंसंख्या, जब तक अन्यथा स्पष्टीकरण में न कहा गया हो। प्रत्येक नंबर का अपना स्थान होता है, और आप उन्हें फेरबदल नहीं कर सकते!

विचाराधीन मैट्रिक्स में दो पंक्तियाँ हैं:

और तीन कॉलम:

मानक: मैट्रिक्स के आयामों के बारे में बात करते समय, तब पहलापंक्तियों की संख्या इंगित करें, और उसके बाद ही - स्तंभों की संख्या। हमने अभी-अभी टू-बाय-थ्री मैट्रिक्स को तोड़ा है।

यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान है, तो मैट्रिक्स को कहा जाता है वर्ग, उदाहरण के लिए: तीन-बाई-तीन मैट्रिक्स है।

यदि मैट्रिक्स में एक कॉलम या एक पंक्ति है, तो ऐसे मैट्रिक्स को भी कहा जाता है वैक्टर.

वास्तव में, हम स्कूल से मैट्रिक्स की अवधारणा को जानते हैं, उदाहरण के लिए, निर्देशांक "x" और "y": के साथ एक बिंदु पर विचार करें। अनिवार्य रूप से, एक बिंदु के निर्देशांक एक-एक-दो मैट्रिक्स में लिखे जाते हैं। वैसे, यहां आपके लिए एक उदाहरण है कि संख्याओं का क्रम क्यों मायने रखता है: और - ये पूरी तरह से दो हैं विभिन्न बिंदुविमान

अब चलिए अध्ययन की ओर बढ़ते हैं। मैट्रिक्स संचालन:

1) क्रिया एक। मैट्रिक्स से माइनस निकालना (मैट्रिक्स में माइनस का परिचय देना).

हमारे मैट्रिक्स पर वापस जाएं . जैसा कि आपने शायद देखा, इस मैट्रिक्स में बहुत अधिक ऋणात्मक संख्याएँ हैं। मैट्रिक्स के साथ विभिन्न क्रियाओं को करने के मामले में यह बहुत असुविधाजनक है, इतने सारे माइनस लिखना असुविधाजनक है, और यह सिर्फ डिजाइन में बदसूरत दिखता है।

आइए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के चिह्न को बदलकर माइनस को मैट्रिक्स के बाहर ले जाएं:

शून्य पर, जैसा कि आप समझते हैं, संकेत नहीं बदलता है, शून्य - यह अफ्रीका में भी शून्य है।

उल्टा उदाहरण: . बदसूरत लग रहा है।

हम मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के चिह्न को बदलकर मैट्रिक्स में एक ऋण का परिचय देते हैं:

खैर, यह ज्यादा खूबसूरत है। और, सबसे महत्वपूर्ण बात, मैट्रिक्स के साथ कोई भी क्रिया करना आसान होगा। क्योंकि ऐसा गणित है लोक शगुन: अधिक विपक्ष - अधिक भ्रम और त्रुटियां.

2) क्रिया दो। एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करना.

उदाहरण:

यह आसान है, किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको चाहिए प्रत्येकमैट्रिक्स तत्व को दी गई संख्या से गुणा करें। इस मामले में तीन.

एक और उपयोगी उदाहरण:

- एक अंश द्वारा मैट्रिक्स का गुणन

आइए पहले देखें कि क्या करना है कोई ज़रुरत नहीं है:

मैट्रिक्स में एक अंश दर्ज करना आवश्यक नहीं है, सबसे पहले, यह केवल मैट्रिक्स के साथ आगे की क्रियाओं को कठिन बनाता है, और दूसरी बात, यह शिक्षक के लिए समाधान की जांच करना मुश्किल बनाता है (विशेषकर यदि - कार्य का अंतिम उत्तर)।

और विशेष रूप से, कोई ज़रुरत नहीं हैमैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को माइनस सात से विभाजित करें:

लेख से डमी के लिए गणित या कहां से शुरू करें, हमें याद है कि दशमलव भागउच्च गणित में अल्पविराम से वे बचने की हर संभव कोशिश करते हैं।

एकमात्र वस्तु वांछितइस उदाहरण में करने के लिए मैट्रिक्स में एक ऋण सम्मिलित करना है:

लेकिन अगर सबमैट्रिक्स तत्वों को 7 . से विभाजित किया गया था एक ट्रेस के बिना, तो विभाजित करना संभव होगा (और आवश्यक!)

उदाहरण:

इस मामले में, आप कर सकते हैं जरुरतमैट्रिक्स के सभी तत्वों को से गुणा करें, क्योंकि मैट्रिक्स में सभी संख्याएं 2 . से विभाज्य हैं एक ट्रेस के बिना.

नोट: उच्च गणित के सिद्धांत में "विभाजन" की कोई स्कूल अवधारणा नहीं है। "इसे इससे विभाजित किया जाता है" वाक्यांश के बजाय, आप हमेशा कह सकते हैं "यह एक अंश से गुणा किया जाता है।" यानी विभाजन गुणन की एक विशेष स्थिति है।

3) क्रिया तीन। मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन.

एक मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने के लिए, आपको इसकी पंक्तियों को ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के कॉलम में लिखना होगा।

उदाहरण:

ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स

यहाँ केवल एक ही पंक्ति है और नियम के अनुसार इसे एक कॉलम में लिखा जाना चाहिए:

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को आमतौर पर एक सुपरस्क्रिप्ट या शीर्ष दाईं ओर एक स्ट्रोक द्वारा दर्शाया जाता है।

चरण दर चरण उदाहरण:

ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स

सबसे पहले, हम पहली पंक्ति को पहले कॉलम में फिर से लिखते हैं:

फिर हम दूसरी पंक्ति को दूसरे कॉलम में फिर से लिखते हैं:

और अंत में, हम तीसरी पंक्ति को तीसरे कॉलम में फिर से लिखते हैं:

तैयार। मोटे तौर पर, स्थानांतरित करने का अर्थ है मैट्रिक्स को अपनी तरफ मोड़ना।

4) क्रिया चार। मैट्रिक्स का योग (अंतर).

मैट्रिक्स का योग एक सरल ऑपरेशन है।
सभी मैट्रिक्स को फोल्ड नहीं किया जा सकता है। मैट्रिक्स का जोड़ (घटाव) करने के लिए, यह आवश्यक है कि वे समान आकार के हों।

उदाहरण के लिए, यदि दो-दो-दो मैट्रिक्स दिया जाता है, तो इसे केवल दो-दो-दो मैट्रिक्स में जोड़ा जा सकता है और कोई नहीं!

उदाहरण:

मैट्रिसेस जोड़ें तथा

मैट्रिक्स जोड़ने के लिए, आपको उनके संबंधित तत्वों को जोड़ना होगा:

मैट्रिक्स के अंतर के लिए, नियम समान है, संबंधित तत्वों का अंतर ज्ञात करना आवश्यक है.

उदाहरण:

मैट्रिक्स का अंतर खोजें ,

और इस उदाहरण को आसान कैसे हल करें, ताकि भ्रमित न हों? अनावश्यक माइनस से छुटकारा पाने की सलाह दी जाती है, इसके लिए हम मैट्रिक्स में माइनस जोड़ेंगे:

नोट: उच्च गणित के सिद्धांत में "घटाव" की कोई स्कूल अवधारणा नहीं है। वाक्यांश "इसे इसमें से घटाएं" के बजाय, आप हमेशा कह सकते हैं "इसमें एक ऋणात्मक संख्या जोड़ें"। यानी घटाव जोड़ का एक विशेष मामला है।

5) कार्रवाई पांच। मैट्रिक्स गुणन.

क्या मैट्रिक्स गुणा किया जा सकता है?

मैट्रिक्स को मैट्रिक्स से गुणा करने के लिए, ताकि मैट्रिक्स के कॉलम की संख्या मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो.

उदाहरण:
क्या मैट्रिक्स द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करना संभव है?

तो, आप मैट्रिक्स के डेटा को गुणा कर सकते हैं।

लेकिन यदि आव्यूहों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो, इस मामले में, गुणा अब संभव नहीं है!

इसलिए, गुणा असंभव है:

ट्रिक वाले कार्यों के लिए यह असामान्य नहीं है, जब किसी छात्र को मैट्रिसेस को गुणा करने के लिए कहा जाता है, जिसका गुणा स्पष्ट रूप से असंभव है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ मामलों में दोनों तरीकों से मैट्रिक्स को गुणा करना संभव है।
उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के लिए, और गुणा और गुणा दोनों संभव हैं

इसलिए, पिछले पाठ में, हमने आव्यूहों को जोड़ने और घटाने के नियमों का विश्लेषण किया। ये इतने सरल ऑपरेशन हैं कि अधिकांश छात्र बल्ले से ही इन्हें सचमुच समझ लेते हैं।

हालाँकि, आप जल्दी आनन्दित होते हैं। फ्रीबी खत्म हो गई है - चलो गुणा पर चलते हैं। मैं आपको तुरंत चेतावनी दूंगा: दो मैट्रिक्स को गुणा करना बिल्कुल समान निर्देशांक वाले कक्षों में संख्याओं को गुणा करना नहीं है, जैसा कि आप सोच सकते हैं। यहां सब कुछ ज्यादा मजेदार है। और आपको प्रारंभिक परिभाषाओं से शुरुआत करनी होगी।

लगातार मैट्रिसेस

मैट्रिक्स की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक इसका आकार है। हम पहले ही इसके बारे में सौ बार बात कर चुके हैं: $A=\left[m\times n \right]$ का अर्थ है कि मैट्रिक्स में बिल्कुल $m$ पंक्तियाँ और $n$ कॉलम हैं। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि कॉलम के साथ पंक्तियों को कैसे भ्रमित न करें। अब कुछ और महत्वपूर्ण है।

परिभाषा। $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ फॉर्म के मैट्रिक्स, जिसमें पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या समान है सेकंड में पंक्तियों की संख्या को सुसंगत कहा जाता है।

एक बार फिर: पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के बराबर है! इससे हमें एक साथ दो निष्कर्ष मिलते हैं:

1. हम मैट्रिक्स के क्रम की परवाह करते हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स $A=\left[3\times 2 \right]$ और $B=\left[ 2\times 5 \right]$ सुसंगत हैं (पहले मैट्रिक्स में 2 कॉलम और दूसरे में 2 पंक्तियां) , लेकिन इसके विपरीत - मैट्रिक्स $B=\left[ 2\times 5 \right]$ और $A=\left[ 3\times 2 \right]$ अब सुसंगत नहीं हैं (पहले मैट्रिक्स में 5 कॉलम हैं, जैसे यह दूसरी में 3 पंक्तियाँ नहीं थीं)।
2. यदि आप सभी आयामों को एक के बाद एक लिखते हैं तो संगति जांचना आसान है। पिछले पैराग्राफ से उदाहरण का उपयोग करना: "3 2 2 5" - वही संख्याएं बीच में हैं, इसलिए मैट्रिक्स सुसंगत हैं। लेकिन “2 5 3 2” सहमत नहीं है, क्योंकि बीच में अलग-अलग संख्याएँ हैं।

इसके अलावा, कप्तान संकेत देता है कि एक ही आकार के वर्ग मैट्रिक्स $\बाएं[ n\times n \right]$ हमेशा सुसंगत होते हैं।

गणित में, जब वस्तुओं की गणना का क्रम महत्वपूर्ण होता है (उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चा की गई परिभाषा में, आव्यूहों का क्रम महत्वपूर्ण है), तो अक्सर क्रमबद्ध युग्मों की बात की जाती है। हम उनसे स्कूल में मिले थे: मुझे लगता है कि यह कोई दिमाग नहीं है कि निर्देशांक $\बाएं(1;0 \दाएं)$ और $\बाएं(0;1 \दाएं)$ विमान पर विभिन्न बिंदुओं को परिभाषित करते हैं।

तो: निर्देशांक भी जोड़े का आदेश दिया जाता है, जो संख्याओं से बने होते हैं। लेकिन कुछ भी आपको इस तरह के मेट्रिसेस बनाने से नहीं रोकता है। तब यह कहना संभव होगा: "मैट्रिसेस की एक जोड़ी $ \ बाएँ (A; B \ दाएँ) $ सुसंगत है यदि पहले मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के समान है। "

अच्छा, तो क्या?

गुणन की परिभाषा

दो सुसंगत मैट्रिक्स पर विचार करें: $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$। और हम उनके लिए गुणन की संक्रिया को परिभाषित करते हैं।

परिभाषा। दो सुसंगत मैट्रिक्स का उत्पाद $A=\left[m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ नया मैट्रिक्स है $C=\left[ m\times k \ दाएं] $, जिसके तत्वों की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

इस तरह के उत्पाद को मानक तरीके से दर्शाया गया है: $C=A\cdot B$।

जो लोग इस परिभाषा को पहली बार देखते हैं, उनके लिए तुरंत दो प्रश्न उठते हैं:

1. यह कैसा जंगली खेल है?
2. यह इतना कठिन क्यों हैं?

खैर, पहले चीज़ें पहले। आइए पहले प्रश्न से शुरू करते हैं। इन सभी इंडेक्स का क्या मतलब है? और वास्तविक मैट्रिसेस के साथ काम करते समय गलतियाँ कैसे न करें?

सबसे पहले, हम ध्यान दें कि $((c)_(i;j))$ की गणना के लिए लंबी लाइन (विशेष रूप से सूचकांकों के बीच एक अर्धविराम लगाएं ताकि भ्रमित न हों, लेकिन आपको उन्हें अंदर डालने की आवश्यकता नहीं है) सामान्य - मैं स्वयं परिभाषा में सूत्र टाइप करते-करते थक गया हूं) वास्तव में एक साधारण नियम के लिए उबलता है:

1. पहले मैट्रिक्स में $i$-th पंक्ति लें;
2. दूसरे मैट्रिक्स में $j$-th कॉलम लें;
3. हमें संख्याओं के दो क्रम मिलते हैं। हम इन अनुक्रमों के तत्वों को समान संख्याओं से गुणा करते हैं, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ते हैं।

इस प्रक्रिया को चित्र से समझना आसान है:

दो आव्यूहों को गुणा करने की योजना

एक बार फिर: हम पहले मैट्रिक्स में पंक्ति $i$ को ठीक करते हैं, दूसरे मैट्रिक्स में कॉलम $j$, समान संख्याओं के साथ तत्वों को गुणा करते हैं, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ते हैं - हमें $((c)_(ij) मिलता है ))$. और इसलिए सभी $1\le i\le m$ और $1\le j\le k$ के लिए। वे। कुल मिलाकर $m\times k$ ऐसे "विकृतियों" होंगे।

वास्तव में, हम पहले ही मैट्रिक्स गुणन के साथ मिल चुके हैं स्कूल के पाठ्यक्रम, केवल बहुत कम रूप में। वैक्टर दिए जाने दें:

\[\शुरू (संरेखण) और \vec(a)=\बाएं(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ और \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

तब उनको अदिश उत्पादजोड़ीदार उत्पादों का योग होगा:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

वास्तव में, उन दूर के वर्षों में, जब पेड़ हरे थे और आकाश उज्जवल था, हमने बस पंक्ति वेक्टर $\overrightarrow(a)$ को कॉलम वेक्टर $\overrightarrow(b)$ से गुणा किया।

आज कुछ भी नहीं बदला है। यह सिर्फ इतना है कि अब इनमें से अधिक पंक्ति और स्तंभ वैक्टर हैं।

लेकिन पर्याप्त सिद्धांत! आइए वास्तविक उदाहरण देखें। और आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - वर्ग मैट्रिसेस।

वर्ग मैट्रिक्स का गुणन

कार्य 1. गुणन करें:

\[\बाएं[\शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 2 \\ -3 और 4 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\cdot \बाएं[ \शुरू (सरणी)(* (35)(आर)) -2 और 4 \\ 3 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

समाधान। तो, हमारे पास दो मैट्रिक्स हैं: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ और $B=\left[ 2\times 2 \right]$। यह स्पष्ट है कि वे सुसंगत हैं (समान आकार के वर्ग मैट्रिक्स हमेशा संगत होते हैं)। तो हम गुणा करते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) -2 और 4 \\ 3 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (आर)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ अंत (सरणी) \ सही]। \end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही!

उत्तर: $\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$।

कार्य 2. गुणा करें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 3 \\ 2 और 6 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (आर)) 9 और 6 \\ -3 और -2 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

समाधान। फिर से, लगातार मैट्रिसेस, इसलिए हम निम्नलिखित क्रियाएं करते हैं:\[\]

\[\शुरू (संरेखण) और \बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 3 \\ 2 और 6 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) ( आर)) 9 और 6 \\ -3 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (आर)) 1 \ cdot 9 + 3 \ cdot \ बाएँ (-3 \ दाएँ) और 1\cdot 6+3\cdot \ बाएँ (-2 \ दाएँ) \\ 2\cdot 9+6\cdot \ बाएँ (-3 \ दाएँ) और 2\cdot 6+6\ सीडीओटी \ लेफ्ट (-2 \ राइट) \\\ एंड (सरणी) \ राइट] = \\ और = \ लेफ्ट [ \ start (मैट्रिक्स) 0 और 0 \\ 0 और 0 \\\ एंड (मैट्रिक्स) \ राइट] . \end(संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम शून्य से भरा एक मैट्रिक्स है

उत्तर: $\बाएं[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$।

उपरोक्त उदाहरणों से, यह स्पष्ट है कि मैट्रिक्स गुणन ऐसा नहीं है जटिल ऑपरेशन. द्वारा कम से कम 2 बटा 2 वर्ग मेट्रिसेस के लिए।

गणना की प्रक्रिया में, हमने एक मध्यवर्ती मैट्रिक्स संकलित किया, जहां हमने सीधे चित्रित किया कि किसी विशेष सेल में कौन सी संख्याएं शामिल हैं। वास्तविक समस्याओं को हल करते समय ठीक यही किया जाना चाहिए।

मैट्रिक्स उत्पाद के मूल गुण

संक्षेप में। मैट्रिक्स गुणन:

1. गैर-कम्यूटेटिव: $A\cdot B\ne B\cdot A$ in सामान्य मामला. बेशक, विशेष मैट्रिक्स हैं जिनके लिए समानता $A\cdot B=B\cdot A$ (उदाहरण के लिए, यदि $B=E$ पहचान मैट्रिक्स है), लेकिन अधिकांश मामलों में यह काम नहीं करता है ;
2. सहयोगी: $\बाएं(ए\cdot बी \दाएं)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. यहां कोई विकल्प नहीं हैं: इन दो मैट्रिक्स के बाईं और दाईं ओर क्या है, इसकी चिंता किए बिना आसन्न मैट्रिक्स को गुणा किया जा सकता है।
3. वितरण: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ और $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

और अब - सभी समान, लेकिन अधिक विस्तार से।

मैट्रिक्स गुणन शास्त्रीय संख्या गुणन की तरह है। लेकिन मतभेद हैं, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण यह है कि मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोल रहा है, गैर-कम्यूटेटिव.

समस्या 1 के मैट्रिक्स पर फिर से विचार करें। हम उनके प्रत्यक्ष उत्पाद को पहले से ही जानते हैं:

\[\बाएं[\शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 2 \\ -3 और 4 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\cdot \बाएं[ \शुरू (सरणी)(* (35) (आर)) -2 और 4 \\ 3 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (आर)) 4 और 6 \\ 1 & -8 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

लेकिन अगर हम मैट्रिक्स को स्वैप करते हैं, तो हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिलता है:

\[\बाएं[\शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) -2 और 4 \\ 3 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\cdot \बाएं[ \शुरू (सरणी)(* (35) (आर)) 1 और 2 \\ -3 और 4 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) -14 और 4 \\ 0 और 10 \\\ अंत (मैट्रिक्स) )\सही]\]

यह पता चला है कि $A\cdot B\ne B\cdot A$। साथ ही, गुणन क्रिया को केवल संगत आव्यूह $A=\बाएं[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन किसी ने गारंटी नहीं दी कि वे बने रहेंगे सुसंगत, यदि उनकी अदला-बदली की जाती है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स $\बाएं[2\बार 3 \दाएं]$ और $\बाएं[3\गुना 5 \दाएं]$ इस क्रम में काफी सुसंगत हैं, लेकिन समान मैट्रिक्स $\बाएं[ 3\गुना 5 \ दाएं] $ और $\बाएं[ 2\गुना 3 \दाएं]$ उल्टे क्रम में लिखा अब मेल नहीं खाता। उदासी :(

किसी दिए गए आकार $n$ के वर्ग आव्यूहों में, हमेशा वे होंगे जो प्रत्यक्ष और उल्टे क्रम में गुणा करने पर समान परिणाम देते हैं। ऐसे सभी आव्यूहों का वर्णन कैसे करें (और उनमें से कितने सामान्य रूप से) एक अलग पाठ का विषय है। आज हम इसके बारे में बात नहीं करेंगे। :)

हालाँकि, मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है:

\[\बाएं(ए\cdot बी \दाएं)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

इसलिए, जब आपको एक साथ कई मैट्रिक्स को एक पंक्ति में गुणा करने की आवश्यकता होती है, तो इसे समय से पहले करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है: यह बहुत संभव है कि कुछ आसन्न मैट्रिक्स, गुणा करने पर, एक दिलचस्प परिणाम दें। उदाहरण के लिए, एक शून्य आव्यूह, जैसा कि ऊपर वर्णित समस्या 2 में है।

वास्तविक समस्याओं में, अक्सर किसी को $\left[ n\times n \right]$ आकार के वर्ग मैट्रिक्स को गुणा करना पड़ता है। ऐसे सभी आव्यूहों के समुच्चय को $((M)^(n))$ द्वारा दर्शाया जाता है (अर्थात, प्रविष्टियाँ $A=\left[ n\times n \right]$ और \ का अर्थ एक ही है), और यह होगा निश्चित रूप से मैट्रिक्स $E$ होता है, जिसे पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है।

परिभाषा। आकार $n$ की पहचान मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स $E$ है जैसे कि किसी भी वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ के लिए समानता रखती है:

ऐसा मैट्रिक्स हमेशा एक जैसा दिखता है: इसके मुख्य विकर्ण पर इकाइयाँ हैं, और अन्य सभी कोशिकाओं में शून्य हैं।

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ और \बाएं(ए+बी \दाएं)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

दूसरे शब्दों में, यदि आपको एक मैट्रिक्स को दो अन्य के योग से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आप इसे इनमें से प्रत्येक "अन्य दो" से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणाम जोड़ सकते हैं। व्यवहार में, आपको आमतौर पर उलटा ऑपरेशन करना होता है: हम एक ही मैट्रिक्स को नोटिस करते हैं, इसे ब्रैकेट से बाहर निकालते हैं, जोड़ करते हैं, और इस तरह हमारे जीवन को सरल बनाते हैं। :)

ध्यान दें कि वितरण का वर्णन करने के लिए, हमें दो सूत्र लिखने थे: जहां योग दूसरे कारक में है और जहां योग पहले में है। यह ठीक इस तथ्य के कारण है कि मैट्रिक्स गुणन गैर-कम्यूटेटिव है (और सामान्य तौर पर, गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित में बहुत सारे चुटकुले होते हैं जो सामान्य संख्याओं के साथ काम करते समय भी दिमाग में नहीं आते हैं)। और अगर, उदाहरण के लिए, आपको परीक्षा के दौरान इस संपत्ति को लिखना है, तो दोनों सूत्रों को लिखना सुनिश्चित करें, अन्यथा शिक्षक थोड़ा नाराज हो सकता है।

ठीक है, ये सभी स्क्वायर मैट्रिसेस के बारे में परियों की कहानियां थीं। आयतों के बारे में क्या?

आयताकार मैट्रिक्स का मामला

लेकिन कुछ नहीं - सब कुछ वैसा ही है जैसा कि वर्ग के साथ होता है।

कार्य 3. गुणन करें:

\[\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) \शुरू(मैट्रिक्स) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(मैट्रिक्स) और \शुरू(मैट्रिक्स) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(मैट्रिक्स) \ \\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) -2 और 5 \\ 3 और 4 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \]

समाधान। हमारे पास दो मैट्रिक्स हैं: $A=\left[3\times 2 \right]$ और $B=\left[ 2\times 2 \right]$। आइए एक पंक्ति में आकारों को इंगित करने वाली संख्याएँ लिखें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, केंद्रीय दो नंबर समान हैं। इसका मतलब है कि मैट्रिक्स सुसंगत हैं, और उन्हें गुणा किया जा सकता है। और आउटपुट पर हमें मैट्रिक्स $C=\left[ 3\times 2 \right]$ मिलता है:

\[\begin(align) &\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \ start(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(मैट्रिक्स) \\\end(मैट्रिक्स) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) 5 \ cdot \ बाएँ (-2 \ दाएँ) + 4 \ cdot 3 और 5 \ cdot 5 + 4 \ cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ अंत (सरणी) \ सही]। \end(संरेखित करें)\]

सब कुछ स्पष्ट है: अंतिम मैट्रिक्स में 3 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं। काफी $=\बाएं[3\बार 2 \दाएं]$।

उत्तर: $\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r)) \ start(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \ start (मैट्रिक्स) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \\\ अंत (सरणी) \ सही] $।

अब उन लोगों के लिए सबसे अच्छे प्रशिक्षण कार्यों में से एक पर विचार करें जो अभी-अभी मैट्रिसेस के साथ काम करना शुरू कर रहे हैं। इसमें, आपको न केवल कुछ दो गोलियों को गुणा करने की आवश्यकता है, बल्कि पहले यह निर्धारित करने की आवश्यकता है: क्या ऐसा गुणन अनुमेय है?

समस्या 4. आव्यूहों के सभी संभावित जोड़ीवार गुणनफल ज्ञात कीजिए:

\\]; $B=\बाएं[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \ start(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ अंत (मैट्रिक्स) \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ सही] $; $C=\बाएं [ \ start (मैट्रिक्स) 0 और 1 \\ 1 और 0 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दायां] $।

समाधान। सबसे पहले, आइए मैट्रिक्स के आयामों को लिखें:

\;\ बी=\बाएं[4\बार 2 \दाएं];\ सी=\बाएं[ 2\बार 2 \दाएं]\]

हम पाते हैं कि मैट्रिक्स $A$ का मिलान केवल मैट्रिक्स $B$ के साथ किया जा सकता है, क्योंकि $A$ में कॉलम की संख्या 4 है, और केवल $B$ में पंक्तियों की संख्या है। इसलिए, हम उत्पाद पा सकते हैं:

\\cdot \बाएं[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ बाएं [\ start (सरणी) (* (35) (आर)) -10 और 7 \\ 10 और 7 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \]

मेरा सुझाव है कि पाठक मध्यवर्ती चरणों को स्वयं करें। मैं केवल इस बात पर ध्यान दूंगा कि परिणामी मैट्रिक्स का आकार अग्रिम में निर्धारित करना बेहतर है, यहां तक ​​​​कि किसी भी गणना से पहले:

\\cdot \बाएं[4\बार 2 \दाएं]=\बाएं[2\बार 2 \दाएं]\]

दूसरे शब्दों में, हम केवल "संक्रमणकालीन" गुणांकों को हटा देते हैं जो मैट्रिक्स की स्थिरता सुनिश्चित करते हैं।

क्या अन्य विकल्प संभव हैं? $B\cdot A$ को खोजना निश्चित रूप से संभव है, क्योंकि $B=\left[4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, इसलिए ऑर्डर की गई जोड़ी $\ बाएं (बी; ए \ दाएं) $ संगत है, और उत्पाद का आयाम होगा:

\\cdot \बाएं[2\बार 4 \दाएं]=\बाएं[4\बार 4 \दाएं]\]

संक्षेप में, आउटपुट एक मैट्रिक्स $\left[4\times 4 \right]$ होगा, जिसके गुणांकों की गणना करना आसान है:

\\cdot \बाएं[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ बाएं [ \ start (सरणी) (* (35) (आर)) 1 और 1 और 2 और 2 \\ 2 और -2 और 4 और -4 \\ 3 और 3 और 6 और 6 \\ 4 और -4 और 8 और -8 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

जाहिर है, आप $C\cdot A$ और $B\cdot C$ से भी मेल खा सकते हैं, और बस। इसलिए, हम केवल परिणामी उत्पाद लिखते हैं:

यह आसान था।:)

उत्तर: $AB=\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 और 8 & -8 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] $; $CA=\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$।

सामान्य तौर पर, मैं इस कार्य को स्वयं करने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। और इसी तरह का एक अन्य कार्य, जो गृहकार्य. ये प्रतीत होने वाले सरल विचार आपको मैट्रिक्स गुणन के सभी महत्वपूर्ण चरणों को पूरा करने में मदद करेंगे।

लेकिन कहानी यहीं खत्म नहीं होती है। आइए गुणन के विशेष मामलों पर चलते हैं। :)

पंक्ति सदिश और स्तंभ सदिश

सबसे आम मैट्रिक्स ऑपरेशनों में से एक मैट्रिक्स द्वारा गुणा है जिसमें एक पंक्ति या एक कॉलम होता है।

परिभाषा। एक कॉलम वेक्टर एक $\बाएं[m\times 1 \right]$ मैट्रिक्स है, यानी। कई पंक्तियों और केवल एक स्तंभ से मिलकर।

एक पंक्ति वेक्टर आकार का एक मैट्रिक्स है $\left[ 1\times n \right]$, अर्थात। एक पंक्ति और कई स्तंभों से मिलकर।

वास्तव में, हम पहले ही इन वस्तुओं से मिल चुके हैं। उदाहरण के लिए, स्टीरियोमेट्री $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ से एक साधारण त्रि-आयामी वेक्टर एक पंक्ति वेक्टर के अलावा और कुछ नहीं है। सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, पंक्तियों और स्तंभों में लगभग कोई अंतर नहीं है। आपको केवल आस-पास के गुणक आव्यूहों के साथ समन्वय करते समय सावधान रहने की आवश्यकता है।

कार्य 5. गुणा करें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 और 3 \\ 4 और 2 और 0 \\ -1 और 1 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं] \cdot \बाएं[ \प्रारंभ(सरणी)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(सरणी) \दाएं]\]

समाधान। हमारे पास लगातार मैट्रिक्स का एक उत्पाद है: $\बाएं[3\बार 3 \दाएं]\cdot \बाएं[3\बार 1 \दाएं]=\बाएं[3\बार 1 \दाएं]$। इस टुकड़े को खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 और 3 \\ 4 और 2 और 0 \\ -1 और 1 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं] \cdot \बाएं[ \begin(सरणी)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

उत्तर: $\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

कार्य 6. गुणा करें:

\[\बाएं[\शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 2 और -3 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\cdot \बाएं[ \शुरू (सरणी)(*(35) (आर)) 3 और 1 और -1 \\ 4 और -1 और 3 \\ 2 और 6 और 0 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

समाधान। फिर से सब कुछ सुसंगत है: $\बाएं[1\बार 3 \दाएं]\cdot \बाएं[3\बार 3 \दाएं]=\बाएं[1\बार 3 \दाएं]$. हम काम पर विचार करते हैं:

\[\बाएं[\शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 2 और -3 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\cdot \बाएं[ \शुरू (सरणी)(*(35) (आर)) 3 और 1 और -1 \\ 4 और -1 और 3 \\ 2 और 6 और 0 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) ( आर))5 और -19 और 5 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

उत्तर: $\बाएं [\शुरू (मैट्रिक्स) 5 और -19 और 5 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] $।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक वर्ग मैट्रिक्स द्वारा एक पंक्ति वेक्टर और एक कॉलम वेक्टर को गुणा करते समय, आउटपुट हमेशा एक ही आकार की एक पंक्ति या स्तंभ होता है। हल करने से लेकर इस तथ्य के कई अनुप्रयोग हैं रेखीय समीकरणसभी प्रकार के समन्वय परिवर्तनों के लिए (जो अंततः समीकरणों की प्रणालियों के लिए भी नीचे आते हैं, लेकिन हम दुखद चीजों के बारे में बात नहीं करते हैं)।

मुझे लगता है कि यहाँ सब कुछ स्पष्ट था। आइए आज के पाठ के अंतिम भाग की ओर बढ़ते हैं।

मैट्रिक्स घातांक

सभी गुणन संक्रियाओं के बीच, घातांक विशेष ध्यान देने योग्य है - यह तब होता है जब हम एक ही वस्तु को कई बार अपने आप से गुणा करते हैं। मैट्रिक्स कोई अपवाद नहीं हैं, उन्हें विभिन्न डिग्री तक भी बढ़ाया जा सकता है।

ऐसे कार्यों को हमेशा समन्वित किया जाता है:

\\cdot \ बाएँ [ n \ बार n \ दाएँ] = \ बाएँ [ n \ बार n \ दाएँ] \]

और उन्हें सामान्य डिग्री के समान ही नामित किया गया है:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ और \अंडरब्रेस(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \अंत (संरेखित करें)\]

पहली नज़र में, सब कुछ सरल है। आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसा दिखता है:

कार्य 7. मैट्रिक्स को निर्दिष्ट शक्ति तक उठाएं:

$((\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं])^(3))$

समाधान। ठीक है, चलो बनाते हैं। आइए इसे पहले चौकोर करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (2)) = \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) ) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \\ & =\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\अंत (सरणी) \दाएं] \अंत (संरेखण)\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (3)) = ((\ बाएँ [ \ शुरू करें) (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (3)) \ cdot \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत ( मैट्रिक्स) \राइट] = \\ और =\बाएं [ \ start (सरणी) (* (35) (आर)) 1 और 2 \\ 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ cdot \ बायां [ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ अंत (संरेखित करें) \]

बस इतना ही।:)

उत्तर: $\बाएं[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$।

समस्या 8. मैट्रिक्स को निर्दिष्ट शक्ति तक उठाएँ:

\[((\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं])^(10))\]

समाधान। अब इस बात पर मत रोओ कि "डिग्री बहुत अधिक है", "दुनिया निष्पक्ष नहीं है" और "शिक्षकों ने पूरी तरह से अपने बैंक खो दिए हैं"। वास्तव में, सब कुछ आसान है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (10)) = ((\ बाएँ [ \ शुरू करें) (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (3)) \ cdot ((\ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (3)) \ cdot ((\ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (3)) \ सीडीओटी \बाएं [ \ शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \\ और = \ बाएँ (\ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 3 \\ 0 & 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 3 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (\ बाएँ [ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \ दाएँ) = \\ और = \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 6 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 4 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \\ और = \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 10 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ अंत (संरेखण) \ ]

ध्यान दें कि दूसरी पंक्ति में हमने गुणन साहचर्यता का उपयोग किया था। दरअसल, हमने इसे पिछले टास्क में इस्तेमाल किया था, लेकिन वहां यह निहित था।

उत्तर: $\बाएं[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मैट्रिक्स को एक शक्ति तक बढ़ाने में कुछ भी जटिल नहीं है। अंतिम उदाहरण को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

\[((\ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) 1 और 1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (n)) = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (आर)) 1 और एन \\ 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

इस तथ्य को साबित करना आसान है गणितीय अधिष्ठापनया प्रत्यक्ष गुणा। हालांकि, सत्ता में बढ़ते समय ऐसे पैटर्न को पकड़ना हमेशा संभव नहीं होता है। इसलिए, सावधान रहें: कई मेट्रिसेस को "रिक्त" गुणा करना अक्सर आसान और तेज़ होता है, बजाय इसके कि कुछ पैटर्न देखें।

सामान्य तौर पर, उच्च अर्थ की तलाश न करें जहां कोई नहीं है। अंत में, आइए एक बड़े मैट्रिक्स के घातांक पर विचार करें - जितना कि $\left[3\times 3 \right]$।

समस्या 9. मैट्रिक्स को निर्दिष्ट शक्ति तक उठाएँ:

\[((\ बाएँ [ \ शुरू (मैट्रिक्स) 0 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और 1 \\ 1 और 1 और 0 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (3))\]

समाधान। आइए पैटर्न की तलाश न करें। हम "के माध्यम से" काम करते हैं:

\[((\बाएं [ \ शुरू (मैट्रिक्स) 0 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और 1 \\ 1 और 1 और 0 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दायां]) ^ (3)) = (( \बाएं [\ शुरू (मैट्रिक्स) 0 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और 1 \\ 1 और 1 और 0 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ]) ^ (2)) \ cdot \ बाएँ [ \ शुरू (मैट्रिक्स)0 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और 1 \\ 1 और 1 और 0 \\\end(मैट्रिक्स) \right]\]

आइए इस मैट्रिक्स को चुकता करके शुरू करें:

\[\begin(align) & ((\left[\begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 0 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और 1 \\ 1 और 1 और 0 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [ \ start (मैट्रिक्स) ) 0 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और 1 \\ 1 और 1 और 0 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \\ और = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (आर) )) 2 और 1 और 1 \\ 1 और 2 और 1 \\ 1 और 1 और 2 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ अंत (संरेखण) \]

अब इसे क्यूब करते हैं:

\[\begin(align) & ((\left[\begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\बाएं[\प्रारंभ(सरणी)(*(35)(आर)) 2 और 1 और 1 \\ 1 और 2 और 1 \\ 1 और 1 और 2 \\\ अंत (सरणी) \दाएं] \cdot \बाएं[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( सरणी) (* (35) (आर)) 2 और 3 और 3 \\ 3 और 2 और 3 \\ 3 और 3 और 2 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ अंत (संरेखण) \]

बस इतना ही। समस्या हल हो गई।

उत्तर: $\बाएं[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना की मात्रा बड़ी हो गई है, लेकिन अर्थ बिल्कुल नहीं बदला है। :)

यह सबक खत्म हो सकता है। अगली बार हम व्युत्क्रम संचालन पर विचार करेंगे: हम मौजूदा उत्पाद का उपयोग करके मूल गुणकों की तलाश करेंगे।

जैसा कि आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स और इसे खोजने के तरीकों के बारे में बात करेंगे।

गुणा

मैट्रिक्स गुणन (मैट्रिक्स उत्पाद):

दो आव्यूहों को गुणा करने की क्रियाकेवल उस स्थिति के लिए दर्ज किया जाता है जब पहले के स्तंभों की संख्या मैट्रिक्ससेकंड की पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है मैट्रिक्स .

यह शर्त पूरी नहीं हुई है, उत्पाद AB मौजूद नहीं है।

मैट्रिक्स और वेक्टर A . का उत्पाद बी :

वैक्टर का डॉट उत्पाद ( बी ,साथ):

मैट्रिक्स ए के निर्धारक का पता लगाएं:

विशेष रूप से, मैट्रिक्स निर्धारक की गणना के लिए सूत्र

है:

= एक 11 एक 22 एक 33 − एक 11 एक 23 एक 32 − एक 12 एक 21 एक 33 + एक 12 एक 23 एक 31 + एक 13 एक 21 एक 32 − एक 13 एक 22 एक 31

2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4

व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 खोजें:

समाधान .

आपके द्वारा दर्ज किए गए मैट्रिक्स का निर्धारक इसके बराबर है:

सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए उलटा मैट्रिक्स मौजूद।

हम पहचान मैट्रिक्स को दाईं ओर मूल मैट्रिक्स में जोड़ते हैं।

आइए बाएं वर्ग मैट्रिक्स को पहचान फॉर्म में कम करना शुरू करें। मदद से प्राथमिक परिवर्तन मुख्य विकर्ण के नीचे सभी गुणांक हटा दें।

आइए हम प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए सभी गुणांकों को मुख्य विकर्ण के ऊपर 0 पर लाते हैं।

उत्तर .

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, हमने मैट्रिक्स के साथ काम करने के लिए किसी भी नियम का उल्लंघन नहीं करते हुए, पहचान मैट्रिक्स को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया।

जो वर्ग मैट्रिक्स आप दाईं ओर देखते हैं, वह आपके द्वारा दर्ज किए गए मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है। .

समीकरणों की प्रणाली का समाधान कुल्हाड़ी = बी :

स्थि‍ति

आइए एक्स 1 - एन पर गुणांक से बना मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें:

समीकरणों की प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए समीकरणों की इस प्रणाली में है केवल निर्णय. चलो उसे ढूंढते हैं। आइए एक और कॉलम के साथ समीकरणों की प्रणाली का मुख्य निर्धारक प्राप्त करें, जिसमें हम बराबर चिह्न के पीछे मान डालते हैं।

अब क्रमिक रूप से, के साथ प्राथमिक परिवर्तनहम मैट्रिक्स के बाईं ओर (3 × 3) को त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं (हम उन सभी गुणांक को रीसेट करते हैं जो मुख्य विकर्ण पर नहीं हैं, और हम गुणांक को मुख्य विकर्ण पर इकाइयों में परिवर्तित करते हैं)।

इसके नीचे की सभी पंक्तियों में से पहली पंक्ति घटाएँ। यह क्रिया प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों का खंडन नहीं करती है।

इसके नीचे की सभी पंक्तियों से दूसरी पंक्ति घटाएँ। यह क्रिया प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों का खंडन नहीं करती है।

इसके ऊपर की सभी पंक्तियों से तीसरी पंक्ति घटाएँ। यह क्रिया प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों का खंडन नहीं करती है।

इसके ऊपर की सभी पंक्तियों से दूसरी पंक्ति घटाएँ। यह क्रिया प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों का खंडन नहीं करती है।

आइए मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर सभी गुणांकों को 1 पर लाएं। मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को मुख्य विकर्ण पर स्थित इस पंक्ति के गुणांक से विभाजित करें, यदि यह 1 के बराबर नहीं है।

उत्तर .

पहचान मैट्रिक्स के दाईं ओर प्राप्त संख्याएं आपके समीकरणों की प्रणाली का समाधान होंगी।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन

प्राथमिक परिवर्तन मैट्रिक्स निम्नलिखित परिवर्तनों को कहा जाता है: 1) मैट्रिक्स पंक्ति गुणन शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के लिए; 2) एक लाइन के अलावा मैट्रिक्सदूसरी पंक्ति; 3) लाइनों का क्रमपरिवर्तन; 4) समान पंक्तियों (कॉलम) में से एक को हटाना (हटाना); 5) मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन ;

कॉलम के लिए समान संचालन मैट्रिक्स, को प्राथमिक परिवर्तन भी कहा जाता है। प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से किसी भी पंक्ति या स्तंभ के लिए संभव है मैट्रिक्स शेष पंक्तियों (कॉलम) का एक रैखिक संयोजन जोड़ें।

हम गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की ऐसी प्रणाली को हल करना शुरू करते हैं

मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है -4

हम तत्व को 1 के बराबर बनाना चाहते हैं। पूरे को विभाजित करें लाइन 1प्रति तत्व = 2।

में निर्मित 1 पंक्तितत्व 1 सिंगल।

ज़ीरो आउट 1 कॉलम: From 2 पंक्तियाँघटाया 1 पंक्ति, तत्व = 5 से गुणा किया जाता है।

से 3 पंक्तियाँघटाया 1 पंक्ति, तत्व = -1 से गुणा किया जाता है।

नया पेज 1

मैट्रिक्स कैलकुलस पुतलों के लिये। पाठएक । मैट्रिक्स की अवधारणा।

मैट्रिक्स कैलकुलस (या मैट्रिक्स बीजगणित) गणित की वह शाखा है जो मैट्रिक्स का अध्ययन करती है। मैट्रिसेस कई कम्प्यूटेशनल समस्याओं में मौजूद होते हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करना (जब उनमें से कई होते हैं), अनुकूलन समस्याओं में, और इसी तरह। इसलिए गणित की इस शाखा को जानना और समझना बहुत जरूरी है। तो, पहले हम मैट्रिक्स की अवधारणा से परिचित हो जाएंगे।

एक मैट्रिक्स सिर्फ संख्याओं की एक तालिका है। यह सिर्फ एक नियमित तालिका है। उसके पास पंक्तियाँ और स्तंभ हैं। लेकिन वहाँ भी है वैज्ञानिक परिभाषामैट्रिक्स, आपको यह भी जानना होगा। और यह इस तरह लगता है: "चलो कुछ संख्या फ़ील्ड K दी जाए। फिर फ़ील्ड K से संख्याओं की एक आयताकार तालिका:

हम फोन करेंगे आव्यूह".

यहां एक और, शायद अपरिचित अवधारणा का उपयोग किया जाता है - एक संख्यात्मक क्षेत्र। आइए इसे परिभाषित करें। इसलिए, संख्या क्षेत्र- यह संख्याओं का कोई भी समूह है जिसके भीतर चार संक्रियाएँ व्यवहार्य और स्पष्ट हैं: शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से जोड़, घटाव, गुणा और भाग। इस प्रकार, सभी सामान्य संख्याएँ संख्या क्षेत्र से संबंधित हैं, पहिया संख्याएँ, वैसे भी (पाठों के चक्र भी देखें और))। लेकिन अगर कोई कुछ "विदेशी" संख्याओं का आविष्कार करता है जिसके लिए ऊपर सूचीबद्ध चार गणितीय कार्यों में से कम से कम एक अद्वितीय रूप से व्यवहार्य नहीं है, तो यह कहना संभव नहीं होगा कि ये संख्याएं संख्या क्षेत्र से संबंधित हैं।

अगर बोलना है सरल शब्दों में, तो केवल संख्याओं की एक तालिका को एक मैट्रिक्स माना जाता है, साथ ही साथ किसी भी अन्य गणितीय वस्तुओं को सामान्य रूप से जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। लेकिन अगर आप तालिका में कुछ डालते हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ा नहीं जा सकता है, तो यह अब एक मैट्रिक्स नहीं होगा। तथ्य यह है कि आप मैट्रिक्स पर कुछ गणितीय संक्रियाएं भी कर सकते हैं, जो मैट्रिक्स में शामिल संख्याओं पर संचालन के लिए नीचे आती हैं। और यदि मैट्रिक्स में संख्याएं नहीं हैं, लेकिन कौन जानता है, उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग्स, या कुछ विदेशी वस्तुएं, तो हम अब उन गणितीय कार्यों को ऐसी तालिका में नहीं कर पाएंगे जो हम मैट्रिक्स पर कर सकते हैं।

तो, आइए फिर से चर्चा करें कि मैट्रिक्स के अंदर क्या हो सकता है और क्या नहीं। ऐसी संख्याएँ हो सकती हैं जो जटिल हों (क्योंकि उन्हें जोड़ा, घटाया और विभाजित किया जा सकता है)। कार्य हो सकते हैं गणितीय अभिव्यक्तियदि उनकी गणना का परिणाम एक संख्या है (या जटिल संख्या) वास्तव में, यदि हमारे पास एक निश्चित कार्य है और एक निश्चित कार्य है, जिसका गणना परिणाम "सामान्य" संख्या है, तो हमें ऑपरेशन करने के लिए कौन लहरा रहा है, या, उदाहरण के लिए,?

संख्या n और m मैट्रिक्स के आयाम हैं, यदि वे समान हैं, तो ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है वर्ग. इस स्थिति में, m के बराबर संख्या n को आव्यूह का क्रम कहा जाता है। सामान्य तौर पर, जब m और n बराबर नहीं होते हैं, तो मैट्रिक्स को कहा जाता है आयताकार. मैट्रिक्स में शामिल संख्याओं को तत्व कहा जाता है मैट्रिक्स.

विचार करें कि मैट्रिक्स को कैसे निरूपित किया जाता है। पाठ की शुरुआत में, मैंने मैट्रिक्स का सामान्य अंकन दिखाया। एक सरलीकृत भी है: , जहां i=1,2,3...m, j=1,2,3,... n। मैट्रिक्स तत्वों के दो-सूचकांक पदनाम के साथ, पहला सूचकांक हमेशा पंक्ति संख्या दिखाता है, और दूसरा - स्तंभ संख्या।

मैट्रिक्स को एक अक्षर से भी दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, ए। यदि ए ऑर्डर एन का स्क्वायर मैट्रिक्स है, तो हम लिख सकते हैं

एक वर्ग मैट्रिक्स में एक निर्धारक हो सकता है। मैट्रिक्स निर्धारक को या द्वारा निरूपित किया जाता है। हम निर्धारकों तक पहुंचेंगे, अब मैं केवल संक्षेप में बताऊंगा कि वे क्या हैं। इसलिए, निर्धारक (या निर्धारक)एक बहुपद है जो एक वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों को इस तरह से जोड़ता है कि इसका मान पंक्तियों या स्तंभों के स्थानान्तरण और रैखिक संयोजन के माध्यम से संरक्षित है। ट्रांसपोज़िशन का अर्थ है मैट्रिक्स को "उलटना" - पंक्तियाँ स्तंभ बन जाती हैं, और स्तंभ पंक्तियाँ बन जाते हैं।

विशेष प्रकार के मैट्रिक्स भी हैं जिनके अलग-अलग पदनाम हो सकते हैं। विशेष रूप से, आयताकार मैट्रिक्सप्रकार:

या, दूसरे शब्दों में, एक कॉलम वाले मैट्रिक्स को आमतौर पर इस तरह दर्शाया जाता है . ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है स्तंभ का सा. मैट्रिक्स भी है लोअरकेस:

इसे इस तरह चिह्नित किया गया है:

यदि मुख्य विकर्ण को छोड़कर वर्ग मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं:

ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है विकर्ण. इसे इस तरह लेबल किया गया है।

इस विषय में मैट्रिसेस का जोड़ और घटाव, एक मैट्रिक्स का एक संख्या से गुणा, एक मैट्रिक्स द्वारा मैट्रिक्स का गुणन, मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन जैसे ऑपरेशन शामिल होंगे। इस पृष्ठ पर प्रयुक्त सभी चिह्न पिछले विषय से लिए गए हैं।

मैट्रिक्स का जोड़ और घटाव।

मैट्रिक्स का योग $A+B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ और $B_(m\times n)=(b_(ij))$ मैट्रिक्स है $C_(m \times n) =(c_(ij))$, जहां $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ सभी के लिए $i=\overline(1,m)$ और $j=\overline( 1,एन) $.

मैट्रिक्स के अंतर के लिए एक समान परिभाषा पेश की गई है:

मैट्रिक्स का अंतर $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ और $B_(m\times n)=(b_(ij))$ मैट्रिक्स $C_(m\times) है n)=( c_(ij))$, जहां $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ सभी के लिए $i=\overline(1,m)$ और $j=\overline(1, एन) $।

प्रविष्टि के लिए स्पष्टीकरण $i=\overline(1,m)$: दिखाएँ\छिपाएं

प्रविष्टि "$i=\overline(1,m)$" का अर्थ है कि पैरामीटर $i$ 1 से m में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि $i=\overline(1,5)$ कहती है कि $i$ पैरामीटर मान 1, 2, 3, 4, 5 लेता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि जोड़ और घटाव संचालन केवल एक ही आकार के मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किए गए हैं। सामान्य तौर पर, मैट्रिक्स का जोड़ और घटाव ऐसे ऑपरेशन होते हैं जो सहज रूप से स्पष्ट होते हैं, क्योंकि उनका मतलब है, वास्तव में, संबंधित तत्वों का योग या घटाव।

उदाहरण 1

तीन मैट्रिक्स दिए गए हैं:

$$ ए = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) -1 और -2 और 1 \\ 5 और 9 और -8 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \; \; बी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 10 और -25 और 98 \\ 3 और 0 और -14 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \;\; एफ = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसी) 1 और 0 \\ -5 और 4 \ अंत (सरणी) \ दाएं)। $$

क्या मैट्रिक्स $A+F$ खोजना संभव है? मैट्रिक्स $C$ और $D$ खोजें यदि $C=A+B$ और $D=A-B$।

मैट्रिक्स $A$ में 2 पंक्तियाँ और 3 कॉलम होते हैं (दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स $A$ का आकार $2\times 3$ है), और मैट्रिक्स $F$ में 2 पंक्तियाँ और 2 कॉलम होते हैं। मैट्रिक्स $A$ और $F$ के आयाम मेल नहीं खाते, इसलिए हम उन्हें जोड़ नहीं सकते, अर्थात। इन मैट्रिक्स के लिए ऑपरेशन $A+F$ परिभाषित नहीं है।

आव्यूह $A$ और $B$ के आकार समान हैं, अर्थात। मैट्रिक्स डेटा में समान संख्या में पंक्तियाँ और कॉलम होते हैं, इसलिए उन पर जोड़ ऑपरेशन लागू होता है।

$$ सी = ए + बी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) -1 और -2 और 1 \\ 5 और 9 और -8 \ अंत (सरणी) \ दाएं) + \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) ) (सीसीसी) 10 और -25 और 98 \\ 3 और 0 और -14 \end(सरणी) \दाएं)=\\= \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी) -1+10 और -2+( -25) और 1+98 \\ 5+3 और 9+0 और -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 और 9 और -22 \end(सरणी) \दाएं) $$

मैट्रिक्स $D=A-B$ खोजें:

$$ डी = ए-बी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) -1 और -2 और 1 \\ 5 और 9 और -8 \ अंत (सरणी) \ दाएं) - \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) ( सीसीसी) 10 और -25 और 98 \\ 3 और 0 और -14 \ अंत (सरणी) \ दाएं) = \\ = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी) -1-10 और -2- (-25 ) और 1-98 \\ 5-3 और 9-0 और -8-(-14) \end (सरणी) \ दाएँ) = \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc) -11 और 23 और -97 \ \ 2 और 9 और 6 \end(सरणी) \दाएं) $$

उत्तर: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (सीसीसी) -11 और 23 और -97 \\ 2 और 9 और 6 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना।

मैट्रिक्स का उत्पाद $A_(m\times n)=(a_(ij))$ और संख्या $\alpha$ मैट्रिक्स $B_(m\times n)=(b_(ij))$ है, जहां $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ सभी $i=\overline(1,m)$ और $j=\overline(1,n)$ के लिए।

सीधे शब्दों में कहें तो किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने का अर्थ है दिए गए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उस संख्या से गुणा करना।

उदाहरण #2

एक मैट्रिक्स को देखते हुए: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$। मैट्रिक्स खोजें $3\cdot A$, $-5\cdot A$ और $-A$।

$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc) -1 और -2 और 7 \\ 4 और 9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) = \ बाएँ (\ start ( सरणी) (सीसीसी) 3\cdot(-1) और 3\cdot(-2) और 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 और 3\cdot 9 और 3\cdot 0 \end(सरणी) \दाएं)= \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) -3 और -6 और 21 \\ 12 और 27 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएँ)। \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ बाएँ (\ start (सरणी) (सीसीसी) -1 और -2 और 7 \\ 4 और 9 और 0 \end(सरणी) \दाएं) =\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( सीसीसी) 5 और 10 और -35 \\ -20 और -45 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं)। $$

नोटेशन $-A$ $-1\cdot A$ के लिए शॉर्टहैंड है। अर्थात्, $-A$ खोजने के लिए, आपको $A$ मैट्रिक्स के सभी तत्वों को (-1) से गुणा करना होगा। वास्तव में, इसका मतलब है कि मैट्रिक्स $A$ के सभी तत्वों का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 1 और 2 और -7 \\ -4 और -9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

उत्तर: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -ए = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 1 और 2 और -7 \\ -4 और -9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

दो मैट्रिक्स का उत्पाद।

इस ऑपरेशन की परिभाषा बोझिल है और पहली नज़र में समझ से बाहर है। इसलिए, मैं सबसे पहले बताऊंगा सामान्य परिभाषा, और फिर हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि इसका क्या अर्थ है और इसके साथ कैसे काम करना है।

मैट्रिक्स का उत्पाद $A_(m\times n)=(a_(ij))$ और मैट्रिक्स $B_(n\times k)=(b_(ij))$ मैट्रिक्स $C_(m\times k) है )=(c_(ij))$ जिसके लिए प्रत्येक तत्व $c_(ij)$ योग के बराबर हैप्रासंगिक के कार्य मैं-वें तत्वमैट्रिक्स $A$ की पंक्तियाँ मैट्रिक्स के j-वें कॉलम के तत्वों द्वारा $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj) ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

चरण दर चरण, हम एक उदाहरण का उपयोग करके आव्यूहों के गुणन का विश्लेषण करेंगे। हालांकि, आपको तुरंत ध्यान देना चाहिए कि सभी मैट्रिक्स को गुणा नहीं किया जा सकता है। यदि हम मैट्रिक्स $A$ को मैट्रिक्स $B$ से गुणा करना चाहते हैं, तो पहले हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि मैट्रिक्स $A$ के कॉलम की संख्या मैट्रिक्स $B$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर है (ऐसे मैट्रिक्स को अक्सर कहा जाता है मान गया) उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स $A_(5\times 4)$ (मैट्रिक्स में 5 पंक्तियाँ और 4 कॉलम हैं) को मैट्रिक्स $F_(9\times 8)$ (9 पंक्तियों और 8 कॉलम) से गुणा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि कॉलम की संख्या मैट्रिक्स $A $ मैट्रिक्स $F$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर नहीं है, अर्थात। $4\neq 9$। लेकिन मैट्रिक्स $A_(5\times 4)$ को मैट्रिक्स $B_(4\times 9)$ से गुणा करना संभव है, क्योंकि मैट्रिक्स $A$ के कॉलम की संख्या पंक्तियों की संख्या के बराबर है। मैट्रिक्स $ बी $। इस मामले में, मैट्रिक्स $A_(5\times 4)$ और $B_(4\times 9)$ को गुणा करने का परिणाम मैट्रिक्स $C_(5\times 9)$ है, जिसमें 5 पंक्तियाँ और 9 कॉलम हैं:

उदाहरण #3

दिए गए मैट्रिक्स: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (सरणी) \ दाएँ) $ और $ B = \ बाएँ (\ start (सरणी) (cc) -9 और 3 \\ 6 और 20 \\ 7 और 0 \\ 12 और -4 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $. मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ खोजें।

शुरू करने के लिए, हम तुरंत मैट्रिक्स $C$ का आकार निर्धारित करते हैं। चूंकि मैट्रिक्स $A$ का आकार $3\गुना 4$ है और मैट्रिक्स $B$ का आकार $4\गुना 2$ है, मैट्रिक्स $C$ का आकार $3\times 2$ है:

इसलिए, मैट्रिक्स $A$ और $B$ के उत्पाद के परिणामस्वरूप, हमें तीन पंक्तियों और दो स्तंभों से युक्त मैट्रिक्स $C$ प्राप्त करना चाहिए: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) और c_( 12) \\ c_(21) और c_(22) \\ c_(31) और c_(32) \end(array) \right)$। यदि तत्वों के पदनाम प्रश्न उठाते हैं, तो आप पिछले विषय को देख सकते हैं: "मैट्रिसेस। मैट्रिसेस के प्रकार। मूल शब्द", जिसकी शुरुआत में मैट्रिक्स तत्वों के पदनाम को समझाया गया है। हमारा लक्ष्य $C$ मैट्रिक्स के सभी तत्वों के मूल्यों को खोजना है।

आइए $c_(11)$ तत्व से शुरू करें। तत्व $c_(11)$ प्राप्त करने के लिए, आपको मैट्रिक्स $A$ की पहली पंक्ति और मैट्रिक्स $B$ के पहले कॉलम के तत्वों के उत्पादों का योग खोजने की आवश्यकता है:

तत्व $c_(11)$ को खोजने के लिए, आपको मैट्रिक्स $A$ की पहली पंक्ति के तत्वों को मैट्रिक्स $B$ के पहले कॉलम के संबंधित तत्वों से गुणा करना होगा, अर्थात। पहला तत्व पहले को, दूसरा से दूसरा, तीसरा से तीसरा, चौथा से चौथा। हम प्राप्त परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

आइए समाधान जारी रखें और $c_(12)$ खोजें। ऐसा करने के लिए, आपको मैट्रिक्स $A$ की पहली पंक्ति के तत्वों और मैट्रिक्स $B$ के दूसरे कॉलम को गुणा करना होगा:

पिछले एक के समान, हमारे पास है:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

मैट्रिक्स $C$ की पहली पंक्ति के सभी तत्व पाए जाते हैं। हम दूसरी पंक्ति में जाते हैं, जो तत्व $c_(21)$ से शुरू होती है। इसे खोजने के लिए, आपको मैट्रिक्स $A$ की दूसरी पंक्ति के तत्वों और मैट्रिक्स $B$ के पहले कॉलम को गुणा करना होगा:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

अगला तत्व $c_(22)$ मैट्रिक्स $A$ की दूसरी पंक्ति के तत्वों को मैट्रिक्स $B$ के दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों से गुणा करके पाया जाता है:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$ को खोजने के लिए हम मैट्रिक्स $A$ की तीसरी पंक्ति के तत्वों को मैट्रिक्स $B$ के पहले कॉलम के तत्वों से गुणा करते हैं:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

और, अंत में, तत्व $c_(32)$ को खोजने के लिए, आपको मैट्रिक्स $A$ की तीसरी पंक्ति के तत्वों को मैट्रिक्स $B$ के दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों से गुणा करना होगा:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

मैट्रिक्स $C$ के सभी तत्व पाए जाते हैं, यह केवल यह लिखने के लिए रहता है कि $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) ) \ सही) $। या, इसे पूरा लिखने के लिए:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end (सरणी) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (\ start (सरणी) (cc) -9 और 3 \\ 6 और 20 \\ 7 और 0 \\ 12 और -4 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) =\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसी) 0 और 37 \\ -23 और 91 \\ 8 और 216 \end(सरणी) \दाएं)। $$

उत्तर: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$।

वैसे, परिणाम मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के स्थान का विस्तार से वर्णन करने के लिए अक्सर कोई कारण नहीं होता है। मैट्रिक्स के लिए, जिसका आकार छोटा है, आप निम्न कार्य कर सकते हैं:

यह भी ध्यान देने योग्य है कि मैट्रिक्स गुणन गैर-कम्यूटेटिव है। इसका मतलब है कि सामान्य तौर पर $A\cdot B\neq B\cdot A$। केवल कुछ प्रकार के आव्यूहों के लिए, जिन्हें कहा जाता है क्रमपरिवर्तनीय(या आने वाली), समानता $A\cdot B=B\cdot A$ सत्य है। यह गुणन की गैर-कम्यूटेटिविटी के आधार पर है कि यह इंगित करना आवश्यक है कि हम एक या किसी अन्य मैट्रिक्स द्वारा अभिव्यक्ति को कैसे गुणा करते हैं: दाईं ओर या बाईं ओर। उदाहरण के लिए, वाक्यांश "3E-F=Y$ समानता के दोनों पक्षों को दाईं ओर मैट्रिक्स $A$ से गुणा करें" का अर्थ है कि आप निम्नलिखित समानता प्राप्त करना चाहते हैं: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot ए $।

मैट्रिक्स के संबंध में स्थानांतरित $A_(m\times n)=(a_(ij))$ मैट्रिक्स है $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, उन तत्वों के लिए जहां $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

सीधे शब्दों में कहें, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स $A^T$ प्राप्त करने के लिए, आपको मूल मैट्रिक्स $A$ में कॉलम को इस सिद्धांत के अनुसार संबंधित पंक्तियों के साथ बदलने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति थी - पहला कॉलम बन जाएगा; दूसरी पंक्ति थी - दूसरा स्तंभ बन जाएगा; एक तीसरी पंक्ति थी - एक तीसरा स्तंभ होगा और इसी तरह। उदाहरण के लिए, आइए मैट्रिक्स $A_(3\times 5)$ में ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को खोजें:

तदनुसार, यदि मूल मैट्रिक्स का आकार $3\गुना 5$ था, तो ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का आकार $5\गुना 3$ है।

मैट्रिसेस पर संचालन के कुछ गुण।

यहाँ यह माना जाता है कि $\alpha$, $\beta$ कुछ संख्याएँ हैं, और $A$, $B$, $C$ मैट्रिक्स हैं। पहले चार गुणों के लिए, मैंने नामों का संकेत दिया, बाकी को पहले चार के साथ सादृश्य द्वारा नामित किया जा सकता है।

1. $A+B=B+A$ (जोड़ की कम्यूटेटिविटी)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (अतिरिक्त सहयोगीता)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (संख्याओं के योग के संबंध में एक मैट्रिक्स द्वारा गुणन का वितरण)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (मैट्रिक्स जोड़ के संबंध में एक संख्या से गुणा का वितरण)
5. $ए(बीसी)=(एबी)सी$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$।
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, जहां $E$ संबंधित क्रम की पहचान मैट्रिक्स है।
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, जहां $O$ उपयुक्त आकार का एक शून्य मैट्रिक्स है।
10. $\बाएं(ए^टी \दाएं)^टी=ए$
11. $(ए+बी)^टी=ए^टी+बी^टी$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\बाएं(\अल्फा ए \दाएं)^टी=\अल्फा ए^टी$

अगले भाग में, एक मैट्रिक्स को एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाने के संचालन पर विचार किया जाएगा, और उदाहरणों को हल किया जाएगा जिसमें मैट्रिक्स पर कई संचालन की आवश्यकता होगी।