मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना। मैट्रिक्स समाधान

विचार करना रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली(धीमा) के बारे में एनअनजान एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :

इस प्रणाली को "मुड़ा हुआ" रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एस एन मैं = 1 एक आईजेयू एक्स जे = बी मैं , मैं = 1,2, ..., एन.

मैट्रिक्स गुणन के नियम के अनुसार, माना प्रणाली रेखीय समीकरणमें लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे

, ,.

आव्यूह ए, जिनके स्तंभ संगत अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियाँ संगत समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक कहलाती हैं सिस्टम मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिनके तत्व प्रणाली के समीकरणों के सही हिस्से हैं, सही हिस्से का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स , जिनके तत्व अज्ञात अज्ञात हैं, कहलाते हैं सिस्टम समाधान.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा गया है कुल्हाड़ी = बी, है मैट्रिक्स समीकरण.

यदि सिस्टम का मैट्रिक्स गैर पतित, तो उसके पास है उलटा मैट्रिक्सऔर फिर व्यवस्था का समाधान कुल्हाड़ी = बीसूत्र द्वारा दिया गया है:

एक्स = ए -1 बी.

उदाहरणसिस्टम को हल करें मैट्रिक्स विधि।

समाधानसिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

पहली पंक्ति में विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:

क्यों कि Δ ≠ 0 , फिर ए -1 मौजूद।

उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है।

आइए इस प्रणाली का समाधान खोजें

फलस्वरूप, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, x 3 = 3 .

इंतिहान:

7. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता पर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीकी तरह लगता है:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m।

यहाँ a i j और b i (i = ; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएँ हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं:

जहां ए = (ए आई जे) एक मैट्रिक्स है जिसमें गुणांक शामिल हैं अज्ञात सिस्टम(5.1), जिसे कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T-स्तंभ सदिश क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बना है।

आदेश दिया संग्रह एनवास्तविक संख्याएँ (c 1 , c 2 ,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1) यदि संगत चरों के स्थान पर इन संख्याओं के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप x 1 , x 2 ,..., x n प्रणाली का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि कोई सदिश C= (c 1, c 2,..., c n) T मौजूद है, तो AC B.

प्रणाली (5.1) कहलाती है संयुक्त,या व्याख्या करने योग्यअगर उसके पास है कम से कमएक हल। सिस्टम कहा जाता है असंगत,या अघुलनशीलअगर इसका कोई समाधान नहीं है।

,

मैट्रिक्स A को दाईं ओर मुक्त पदों का एक स्तंभ निर्दिष्ट करके बनाया गया है, कहलाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली

प्रणाली की अनुकूलता का प्रश्न (5.1) निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि आव्यूहों A और A की रैंक संपाती हो, अर्थात। आर (ए) = आर (ए) = आर।

सिस्टम के समाधान के सेट एम (5.1) के लिए, तीन संभावनाएं हैं:

1) एम = (इस मामले में सिस्टम असंगत है);

2) एम में एक तत्व होता है, यानी। सिस्टम है केवल निर्णय(इस मामले में सिस्टम कहा जाता है निश्चित);

3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब प्रणाली को कहा जाता है ढुलमुल) तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत समाधान हैं।

सिस्टम का एक अनूठा समाधान केवल तभी होता है जब r(A) = n। इस मामले में, समीकरणों की संख्या नहीं है कम संख्याअज्ञात (mn); अगर एम>एन, तो एम-एन समीकरणदूसरों के परिणाम हैं। अगर 0

रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली को हल करने के लिए, किसी को उन प्रणालियों को हल करने में सक्षम होना चाहिए जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है, तथाकथित क्रैमर टाइप सिस्टम:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n।

सिस्टम (5.3) को निम्न में से किसी एक तरीके से हल किया जाता है: 1) गॉस विधि द्वारा, या अज्ञात को समाप्त करने की विधि द्वारा; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि द्वारा।

उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली की जांच करें और अगर यह संगत है तो इसे हल करें:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

समाधान।हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं:

 .

आइए हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का माइनर = 7 0; इसमें शामिल तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं:

इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 है, अर्थात। r(A) = 2. विस्तारित मैट्रिक्स A के रैंक की गणना करने के लिए, सीमावर्ती नाबालिग . पर विचार करें

इसलिए, विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r(A) = 3 है। चूंकि r(A) r(A), सिस्टम असंगत है।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। प्राचीन काल से ही मनुष्य द्वारा समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। मैट्रिक्स विधि किसी भी जटिलता के SLAE (रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली) के समाधान खोजने की अनुमति देती है। SLAE को हल करने की पूरी प्रक्रिया दो मुख्य चरणों में आती है:

मुख्य मैट्रिक्स के आधार पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्धारण:

समाधान के कॉलम वेक्टर द्वारा परिणामी प्रतिलोम मैट्रिक्स का गुणन।

मान लीजिए हमें निम्नलिखित फॉर्म का SLAE दिया गया है:

\[\बाएं\(\शुरू(मैट्रिक्स) 5x_1 + 2x_2 और = और 7 \\ 2x_1 + x_2 और = और 9 \end(मैट्रिक्स)\दाएं।\]

आइए सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखकर इस समीकरण को हल करना शुरू करें:

राइट साइड मैट्रिक्स:

आइए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स को परिभाषित करें। आप दूसरे क्रम का एक मैट्रिक्स इस प्रकार पा सकते हैं: 1 - मैट्रिक्स स्वयं गैर-एकवचन होना चाहिए; 2 - इसके तत्व जो मुख्य विकर्ण पर हैं, आपस में जुड़े हुए हैं, और द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के लिए, हम इसके विपरीत एक संकेत परिवर्तन करते हैं, जिसके बाद हम मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा प्राप्त तत्वों का विभाजन करते हैं। हम पाते हैं:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \ start(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ start(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 आव्यूह समान माने जाते हैं यदि उनके संगत अवयव समान हों। परिणामस्वरूप, हमारे पास SLAE समाधान का निम्नलिखित उत्तर है:

मैं ऑनलाइन मैट्रिक्स पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को कहाँ हल कर सकता हूँ?

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यह ऑनलाइन कैलकुलेटर मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करता है। बहुत विस्तृत समाधान दिया गया है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, चर की संख्या का चयन करें। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एक विधि चुनें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

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डाटा एंट्री निर्देश।संख्याएँ पूर्ण संख्याओं (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव संख्याओं (जैसे 67., 102.54, आदि) या भिन्नों के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में टाइप किया जाना चाहिए, जहां a और b पूर्ण या दशमलव संख्याएं हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है ए −1 ए=इ, कहाँ पे इपहचान मैट्रिक्स है। इसलिए, (4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस प्रकार, रैखिक समीकरणों (1) (या (2)) की प्रणाली को हल करने के लिए, प्रतिलोम को से गुणा करना पर्याप्त है एमैट्रिक्स प्रति बाधा वेक्टर बी.

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम ज्ञात करें। मैट्रिक्स के दाईं ओर एपहचान मैट्रिक्स लिखें:

आइए मुख्य विकर्ण के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -1/3, -1/3 से गुणा करें:

आइए मुख्य विकर्ण के नीचे मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, लाइन 3 को लाइन 2 के साथ -24/51 से गुणा करें:

आइए मुख्य विकर्ण के ऊपर मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2 के साथ पंक्ति 1 जोड़ें, -3/17 से गुणा करें:

मैट्रिक्स के दाहिने हिस्से को अलग करें। परिणामी मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है ए :

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का मैट्रिक्स रूप: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे

मैट्रिक्स के सभी बीजीय पूरक की गणना करें ए:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना निम्नलिखित अभिव्यक्ति से की जाती है।

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजोतथा बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

अज्ञात के गुणांकों को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान होता है, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाएं हाथ प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एतथा बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बायीं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . क्यों कि ए -1 ए = ईतथा इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम तीन और सारणिकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक D में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 स्तंभों को मुक्त पदों के एक स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

फलस्वरूप, ।

समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं एक 21 और गुणा करें - एक 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं एक 31 और गुणा करें - एक 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त पद को समाप्त करते हैं एक्स 2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से एक्स 2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने के लिए खुद को सीमित कर लेते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. अन्य पंक्तियों की एक पंक्ति के अतिरिक्त।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

सामान्य रूप से समीकरण, रैखिक बीजीय समीकरण और उनके सिस्टम, साथ ही उन्हें हल करने के तरीके, सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों में गणित में एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेते हैं।

यह इस तथ्य के कारण है कि विभिन्न प्रकार के समीकरणों और उनकी प्रणालियों का उपयोग करके अधिकांश भौतिक, आर्थिक, तकनीकी और यहां तक ​​कि शैक्षणिक समस्याओं का वर्णन और समाधान किया जा सकता है। हाल ही में, गणितीय मॉडलिंग ने लगभग सभी विषय क्षेत्रों में शोधकर्ताओं, वैज्ञानिकों और चिकित्सकों के बीच विशेष लोकप्रियता हासिल की है, जिसे विभिन्न प्रकृति की वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए अन्य प्रसिद्ध और सिद्ध तरीकों पर इसके स्पष्ट लाभों द्वारा समझाया गया है, विशेष रूप से, तथाकथित जटिल सिस्टम वैज्ञानिकों द्वारा अलग-अलग समय पर दी गई गणितीय मॉडल की कई अलग-अलग परिभाषाएं हैं, लेकिन हमारी राय में, सबसे सफल निम्नलिखित कथन है। एक गणितीय मॉडल एक समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया एक विचार है। इस प्रकार, समीकरणों और उनकी प्रणालियों को बनाने और हल करने की क्षमता एक आधुनिक विशेषज्ञ की एक अभिन्न विशेषता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए, सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ हैं: क्रैमर, जॉर्डन-गॉस और मैट्रिक्स विधि।

मैट्रिक्स समाधान विधि - एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि।

यदि हम मैट्रिक्स ए में अज्ञात मानों xi के गुणांक लिखते हैं, अज्ञात मानों को कॉलम एक्स वेक्टर में एकत्र करते हैं, और कॉलम बी वेक्टर में मुक्त शब्द एकत्र करते हैं, तो रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को लिखा जा सकता है निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण ए एक्स = बी के रूप में, जिसका एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब मैट्रिक्स ए का निर्धारक शून्य के बराबर न हो। इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली का समाधान निम्नलिखित तरीके से पाया जा सकता है: एक्स = ए-एक · बी, कहाँ पे ए-1 - उलटा मैट्रिक्स।

मैट्रिक्स समाधान विधि इस प्रकार है।

मान लीजिए के साथ रैखिक समीकरणों का एक निकाय दिया गया है एनअनजान:

इसे मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे ए- प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स, बीतथा एक्स- मुक्त सदस्यों के कॉलम और सिस्टम के समाधान, क्रमशः:

इस मैट्रिक्स समीकरण को बाईं ओर से गुणा करें ए-1 - मैट्रिक्स मैट्रिक्स के विपरीत ए: ए -1 (कुल्हाड़ी) = ए -1 बी

इसलिये ए -1 ए = इ, हम पाते हैं एक्स= ए -1 बी. इस समीकरण का दाहिना हाथ मूल प्रणाली के समाधान का एक स्तंभ देगा। इस पद्धति की प्रयोज्यता के लिए शर्त (साथ ही अज्ञात की संख्या के बराबर समीकरणों की संख्या के साथ रैखिक समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली के समाधान का सामान्य अस्तित्व) मैट्रिक्स की गैर-अपक्षयता है ए. इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक एविवरण ए≠ 0.

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के लिए, अर्थात, जब वेक्टर बी = 0 , वास्तव में विपरीत नियम: प्रणाली कुल्हाड़ी = 0 का एक गैर-तुच्छ (अर्थात, गैर-शून्य) समाधान है, यदि केवल det ए= 0. रैखिक समीकरणों के सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के समाधानों के बीच इस तरह के संबंध को फ्रेडहोम विकल्प कहा जाता है।

उदाहरण रैखिक बीजीय समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली के समाधान.

आइए हम सुनिश्चित करें कि रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली के अज्ञात के गुणांकों से बना मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

अगला कदम मैट्रिक्स के तत्वों के लिए बीजीय पूरक की गणना करना है, जिसमें अज्ञात के गुणांक होते हैं। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए उनकी आवश्यकता होगी।