गॉस विधि का उपयोग करके संयुक्त प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण। डमी के लिए गॉस विधि: आसानी से हल करना

सिस्टम को हल करने के सबसे सरल तरीकों में से एक रेखीय समीकरणनिर्धारकों की गणना पर आधारित एक तकनीक है ( क्रैमर का नियम) इसका लाभ यह है कि यह आपको समाधान को तुरंत रिकॉर्ड करने की अनुमति देता है, यह उन मामलों में विशेष रूप से सुविधाजनक है जहां सिस्टम के गुणांक संख्या नहीं हैं, लेकिन कुछ प्रकार के पैरामीटर हैं। इसका दोष मामले में गणना की बोझिलता है एक बड़ी संख्या मेंइसके अलावा, क्रैमर का नियम उन प्रणालियों पर सीधे लागू नहीं होता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है। ऐसे मामलों में, यह आमतौर पर प्रयोग किया जाता है गॉस विधि.

रेखीय समीकरणों के निकाय जिनके हल समान होते हैं, कहलाते हैं बराबर. यह स्पष्ट है कि समाधान का सेट रैखिक प्रणालीयदि किसी समीकरण को आपस में बदल दिया जाता है, या यदि समीकरणों में से एक को किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है, या यदि एक समीकरण को दूसरे में जोड़ा जाता है, तो यह नहीं बदलता है।

गॉस विधि (तरीका अनुक्रमिक बहिष्करणअनजान) इस तथ्य में निहित है कि, प्रारंभिक परिवर्तनों की मदद से, सिस्टम को एक समान चरणबद्ध प्रणाली में घटा दिया जाता है। पहले समीकरण की सहायता से, एक्ससिस्टम के सभी बाद के समीकरणों में से 1। फिर, दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम समाप्त करते हैं एक्सतीसरे और बाद के सभी समीकरणों में से 2। इस प्रक्रिया, कहा जाता है प्रत्यक्ष गॉस विधि, तब तक जारी रहता है जब तक कि अंतिम समीकरण के बाईं ओर केवल एक अज्ञात रहता है एक्स एन. उसके बाद, इसे बनाया जाता है रिवर्स स्ट्रोकगॉस विधि- अंतिम समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं एक्स एन; उसके बाद, इस मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से हम गणना करते हैं एक्स एन-1 आदि अंतिम हम पाते हैं एक्सप्रथम समीकरण से 1.

समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि उनके गुणांक के मैट्रिक्स के साथ परिवर्तन करके गॉसियन परिवर्तनों को अंजाम देना सुविधाजनक है। मैट्रिक्स पर विचार करें:

बुलाया विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स, क्योंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के अलावा, इसमें मुक्त सदस्यों का एक कॉलम शामिल है। गॉस विधि प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक पंक्ति परिवर्तन (!)

उदाहरण 5.1.गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

समाधान. आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और, पहली पंक्ति का उपयोग करके, उसके बाद हम शेष तत्वों को शून्य पर सेट करेंगे:

हमें पहले कॉलम की दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में शून्य मिलता है:

अब हमें दूसरी पंक्ति के नीचे दूसरे कॉलम में सभी तत्वों को शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप दूसरी पंक्ति को -4/7 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी पंक्ति में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम दूसरे कॉलम की दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाएंगे और केवल

अब, एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, आपको तीसरे कॉलम की चौथी पंक्ति के तत्व को शून्य करना होगा, इसके लिए आप तीसरी पंक्ति को 8/54 से गुणा कर सकते हैं और इसे चौथे में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम तीसरी और चौथी पंक्तियों और तीसरे और चौथे कॉलम को स्वैप करेंगे, और उसके बाद ही हम निर्दिष्ट तत्व को रीसेट करेंगे। ध्यान दें कि जब स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो संबंधित चरों की अदला-बदली की जाती है, और इसे याद रखना चाहिए; अन्य प्राथमिक परिवर्तनकॉलम के साथ (एक संख्या से जोड़ और गुणा) नहीं किया जा सकता है!

अंतिम सरलीकृत मैट्रिक्स मूल के बराबर समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है:

यहाँ से, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से पाते हैं एक्स 3 = -1; तीसरे से एक्स 4 = -2, दूसरे से एक्स 2 = 2 और पहले समीकरण से एक्स 1 = 1. मैट्रिक्स रूप में, उत्तर को इस प्रकार लिखा जाता है

हमने मामले पर विचार किया है जब सिस्टम निश्चित है, अर्थात। जब एक ही उपाय हो। आइए देखें कि क्या होता है यदि सिस्टम असंगत या अनिश्चित है।

उदाहरण 5.2।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके प्रणाली का अन्वेषण करें:

समाधान. हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं

हम समीकरणों की एक सरलीकृत प्रणाली लिखते हैं:

यहाँ, पिछले समीकरण में, यह निकला कि 0=4, अर्थात्। अंतर्विरोध। इसलिए, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, अर्थात। वह है असंगत. à

उदाहरण 5.3।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण और समाधान करें:

समाधान. हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं:

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, अंतिम पंक्ति में केवल शून्य प्राप्त हुए। इसका मतलब है कि समीकरणों की संख्या में एक की कमी आई है:

इस प्रकार, सरलीकरण के बाद, दो समीकरण बने रहते हैं, और चार अज्ञात, अर्थात्। दो अज्ञात "अतिरिक्त"। चलो "अनावश्यक", या, जैसा कि वे कहते हैं, मुक्त चर, मर्जी एक्स 3 और एक्सचार । फिर

यह मानते हुए एक्स 3 = 2एकतथा एक्स 4 = बी, हम पाते हैं एक्स 2 = 1–एकतथा एक्स 1 = 2बी–एक; या मैट्रिक्स रूप में

इस प्रकार लिखा हुआ हल कहलाता है सामान्य, चूंकि, पैरामीटर देकर एकतथा बी विभिन्न अर्थ, प्रणाली के सभी संभावित समाधानों का वर्णन करना संभव है। एक

रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों को हल करने के लिए सार्वभौमिक और प्रभावी तरीकों में से एक है गॉस विधि , अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन में शामिल है।

याद रखें कि दो प्रणालियों को कहा जाता है बराबर (समतुल्य) यदि उनके विलयनों के समुच्चय समान हैं। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत। समतुल्य प्रणालियाँ के साथ प्राप्त की जाती हैं प्राथमिक परिवर्तन सिस्टम समीकरण:

समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

किसी समीकरण में किसी अन्य समीकरण के संगत भागों को जोड़ना, शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

दो समीकरणों का क्रमपरिवर्तन।

चलो समीकरणों की प्रणाली

गॉस विधि द्वारा इस प्रणाली को हल करने की प्रक्रिया में दो चरण होते हैं। पहले चरण (फॉरवर्ड रन) में, सिस्टम को प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से कम कर दिया जाता है कदम रखा , या त्रिकोणीय दिमाग, और दूसरे चरण (रिवर्स मूव) में एक अनुक्रमिक होता है, जो अंतिम चर से शुरू होता है, परिणामी चरण प्रणाली से अज्ञात की परिभाषा।

आइए मान लें कि इस प्रणाली का गुणांक
, अन्यथा प्रणाली में पहली पंक्ति को किसी अन्य पंक्ति के साथ बदला जा सकता है ताकि गुणांक शून्य से भिन्न था।

आइए अज्ञात को खत्म करते हुए सिस्टम को बदलें पहले को छोड़कर सभी समीकरणों में। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ शब्द दर शब्द जोड़ें। फिर पहले समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें और इसे सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ें। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम एक समान प्रणाली प्राप्त करते हैं

यहां
गुणांक और मुक्त शर्तों के नए मान हैं, जो पहले चरण के बाद प्राप्त होते हैं।

इसी प्रकार, मुख्य तत्व पर विचार करते हुए
, अज्ञात को बाहर करें सिस्टम के सभी समीकरणों से, पहले और दूसरे को छोड़कर। हम इस प्रक्रिया को यथासंभव लंबे समय तक जारी रखते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चरण प्रणाली मिलती है

,

कहाँ पे ,
,…,- प्रणाली के मुख्य तत्व
.

यदि सिस्टम को एक चरण के रूप में लाने की प्रक्रिया में, समीकरण दिखाई देते हैं, यानी, फॉर्म की समानताएं
, उन्हें छोड़ दिया जाता है, क्योंकि संख्याओं का कोई भी सेट उन्हें संतुष्ट करता है
. मैं मोटा
दिखाई देगा फॉर्म का समीकरण, जिसका कोई समाधान नहीं है, यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है।

रिवर्स कोर्स में, पहले अज्ञात को रूपांतरित चरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से व्यक्त किया जाता है अन्य सभी अज्ञात के माध्यम से
कौन बुलाया गया नि: शुल्क . फिर चर अभिव्यक्ति सिस्टम के अंतिम समीकरण से अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और चर को इससे व्यक्त किया जाता है
. चर को एक समान तरीके से परिभाषित किया गया है
. चर
, मुक्त चर के रूप में व्यक्त, कहलाते हैं बुनियादी (आश्रित)। परिणाम है सामान्य निर्णयरैखिक समीकरणों की प्रणाली।

ढूँढ़ने के लिए निजी समाधान सिस्टम, मुक्त अज्ञात
सामान्य समाधान में, मनमाना मान निर्दिष्ट किए जाते हैं और चर के मानों की गणना की जाती है
.

प्राथमिक परिवर्तनों को सिस्टम के समीकरणों के लिए नहीं, बल्कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के अधीन करना तकनीकी रूप से अधिक सुविधाजनक है

.

गॉस विधि एक सार्वभौमिक विधि है जो आपको न केवल वर्ग, बल्कि आयताकार प्रणालियों को भी हल करने की अनुमति देती है जिसमें अज्ञात की संख्या
समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं
.

इस पद्धति का लाभ इस तथ्य में भी निहित है कि हल करने की प्रक्रिया में हम एक साथ संगतता के लिए सिस्टम की जांच करते हैं, क्योंकि संवर्धित मैट्रिक्स को कम करके
चरणबद्ध रूप में, मैट्रिक्स के रैंकों को निर्धारित करना आसान है और विस्तारित मैट्रिक्स
और आवेदन करें क्रोनकर-कैपेली प्रमेय .

उदाहरण 2.1गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान. समीकरणों की संख्या
और अज्ञात की संख्या
.

आइए हम गुणांक के मैट्रिक्स के दाईं ओर निर्दिष्ट करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें मुक्त सदस्य स्तंभ .

आइए मैट्रिक्स लाते हैं एक त्रिकोणीय आकार के लिए; ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मुख्य विकर्ण पर तत्वों के नीचे "0" प्राप्त करेंगे।

पहले कॉलम की दूसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जोड़ें।

हम इस परिवर्तन को पहली पंक्ति के सामने एक संख्या (-1) के रूप में लिखते हैं और इसे पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति तक जाने वाले एक तीर द्वारा निरूपित करते हैं।

पहले कॉलम की तीसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें; आइए इस क्रिया को पहली पंक्ति से तीसरी तक जाने वाले तीर से दिखाते हैं।

.

परिणामी मैट्रिक्स में, मैट्रिक्स श्रृंखला में दूसरा लिखा, हमें दूसरे कॉलम में तीसरे स्थान पर "0" मिलता है। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को (-4) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें। परिणामी मैट्रिक्स में, हम दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करते हैं, और तीसरी पंक्ति को (-8) से विभाजित करते हैं। इस मैट्रिक्स के सभी अवयव जो विकर्ण तत्वों के नीचे स्थित हैं, शून्य हैं।

इसलिये , प्रणाली सहयोगी और विशिष्ट है।

अंतिम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली का त्रिकोणीय रूप है:

अंतिम (तीसरे) समीकरण से
. दूसरे समीकरण में रखें और प्राप्त करें
.

स्थानापन्न
तथा
पहले समीकरण में, हम पाते हैं


.

ऑनलाइन कैलकुलेटरगॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों (SLE) के निकाय का हल ढूँढता है। दिया गया विस्तृत समाधान. गणना करने के लिए, चरों की संख्या और समीकरणों की संख्या चुनें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" पर क्लिक करें।

संख्या प्रतिनिधित्व:

दशमलव विभाजक के बाद अंकों की संख्या

×

चेतावनी

सभी सेल साफ़ करें?

बंद साफ़ करें

डाटा एंट्री निर्देश।संख्याएँ पूर्ण संख्याओं (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव संख्याओं (जैसे 67., 102.54, आदि) या भिन्नों के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में टाइप किया जाना चाहिए, जहां a और b (b>0) पूर्णांक हैं या दशमलव संख्याएं. उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

गॉस विधि

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली (समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके) से एक ऐसी प्रणाली में संक्रमण की एक विधि है जो मूल प्रणाली की तुलना में हल करना आसान है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समतुल्य परिवर्तन हैं:

• सिस्टम में दो समीकरणों की अदला-बदली,
• सिस्टम में किसी भी समीकरण को एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या से गुणा करना,
• एक समीकरण में जोड़ने पर दूसरे समीकरण को एक मनमाना संख्या से गुणा किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

हम सिस्टम (1) को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:

(3)

एसिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स कहा जाता है, बी- बाधाओं का दाहिना भाग, एक्स- चर के वेक्टर पाए जाने वाले। चलो रैंक ( ए)=पी.

समतुल्य परिवर्तन गुणांक मैट्रिक्स के रैंक और सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं। सिस्टम के समाधान का सेट भी समान परिवर्तनों के तहत नहीं बदलता है। गॉस विधि का सार गुणांक के मैट्रिक्स को लाना है एविकर्ण या कदम रखा।

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का निर्माण करें:

अगले चरण में, हम तत्व के नीचे, कॉलम 2 के सभी तत्वों को रीसेट करते हैं। यदि दिया गया तत्व शून्य है, तो इस पंक्ति को दी गई पंक्ति के नीचे स्थित पंक्ति के साथ बदल दिया जाता है और दूसरे कॉलम में एक गैर-शून्य तत्व होता है। इसके बाद, हम प्रमुख तत्व के नीचे कॉलम 2 के सभी तत्वों को शून्य कर देते हैं एक 22. ऐसा करने के लिए, पंक्तियाँ 3 जोड़ें, ... एमपंक्ति 2 को − . से गुणा करने पर एक 32 /एक 22 , ..., −एकएम2 / एक 22, क्रमशः। प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम एक विकर्ण या चरणबद्ध रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं। परिणामी संवर्धित मैट्रिक्स को इस तरह दिखने दें:

इसलिये रैंकए = रैंक(ए|बी), तो समाधान का सेट (7) है ( एन-पी) एक किस्म है। फलस्वरूप एन-पीअज्ञात को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। सिस्टम से शेष अज्ञात (7) की गणना निम्नानुसार की जाती है। अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्स p शेष चरों के माध्यम से और पिछले भावों में डालें। अगला, अंतिम समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं एक्स p−1 शेष चरों के माध्यम से और पिछले भावों में डालें, आदि। विशिष्ट उदाहरणों पर गॉस विधि पर विचार करें।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए:

द्वारा निरूपित करें एक ij तत्व मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ।

एकग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -2/3, -1/2 से गुणा करें:

मैट्रिक्स रिकॉर्ड प्रकार: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे

द्वारा निरूपित करें एक ij तत्व मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ।

तत्व के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को छोड़ दें एकग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -1/5, -6/5 से गुणा करें:

हम मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को संबंधित प्रमुख तत्व से विभाजित करते हैं (यदि अग्रणी तत्व मौजूद है):

कहाँ पे एक्स 3 , एक्स

ऊपरी भावों को निचले भावों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम समाधान प्राप्त करते हैं।

तब वेक्टर समाधान को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

कहाँ पे एक्स 3 , एक्स 4 मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।मान लीजिए कि हमें सिस्टम से समाधान खोजने की जरूरत है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहला, the एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू होकर, तब x2सभी समीकरणों में से, तीसरे से शुरू होकर, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर न रह जाए एक्स एन. अज्ञात चरों के क्रमिक विलोपन के लिए निकाय के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस विधि की अग्रगामी चाल के पूरा होने के बाद, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके गणना की जाती है xn-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से पाया जाता है एक्स 1. सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सिस्टम के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके पहला समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

यदि हम व्यक्त करते हैं तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया था। तो चर एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे को गुणा करके जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . तो चर x2तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनअंतिम समीकरण से, प्राप्त मूल्य का उपयोग करते हुए एक्स एनपाना xn-1अंतिम समीकरण से, और इसी तरह, हम पाते हैं एक्स 1पहले समीकरण से

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

गॉस विधि की परिभाषा और विवरण

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए गाऊसी रूपांतरण विधि (एक समीकरण या मैट्रिक्स से अज्ञात चर के अनुक्रमिक उन्मूलन की विधि के रूप में भी जाना जाता है) एक प्रणाली को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है बीजीय समीकरण(एसएलएयू)। साथ ही, इस शास्त्रीय पद्धति का उपयोग प्राप्त करने जैसी समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है उलटा मैट्रिक्सऔर मैट्रिक्स के रैंक का निर्धारण।

गॉस विधि का उपयोग करने वाले परिवर्तन में रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली में छोटे (प्राथमिक) क्रमिक परिवर्तन होते हैं, जिससे समीकरणों की एक नई त्रिकोणीय प्रणाली के गठन के साथ ऊपर से नीचे तक चरों का उन्मूलन होता है, जो इसके बराबर है मूल एक।

परिभाषा 1

समाधान के इस हिस्से को गाऊसी फॉरवर्ड सॉल्यूशन कहा जाता है, क्योंकि पूरी प्रक्रिया ऊपर से नीचे तक की जाती है।

समीकरणों की मूल प्रणाली को त्रिकोणीय में लाने के बाद, सिस्टम के सभी चर नीचे से ऊपर तक पाए जाते हैं (अर्थात, पहले पाए गए चर सिस्टम या मैट्रिक्स की अंतिम पंक्तियों पर स्थित होते हैं)। समाधान के इस भाग को रिवर्स गॉस समाधान के रूप में भी जाना जाता है। इसके एल्गोरिथम में निम्नलिखित शामिल हैं: सबसे पहले, समीकरणों या मैट्रिक्स की प्रणाली के निचले भाग के निकटतम चर की गणना की जाती है, फिर प्राप्त मूल्यों को ऊपर प्रतिस्थापित किया जाता है और इस प्रकार एक और चर पाया जाता है, और इसी तरह।

गॉस विधि एल्गोरिथ्म का विवरण

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के सामान्य समाधान के लिए क्रियाओं का क्रम वैकल्पिक रूप से SLAE के आधार पर मैट्रिक्स में आगे और पीछे के स्ट्रोक को लागू करना है। मान लें कि समीकरणों की मूल प्रणाली का निम्न रूप है:

$\begin(मामलों) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(मामलों)$

गॉस विधि द्वारा SLAE को हल करने के लिए, मैट्रिक्स के रूप में समीकरणों की प्रारंभिक प्रणाली को लिखना आवश्यक है:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) &… & a_(1n) \\ \vdots &… & \vdots \\ a_(m1) &… & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

मैट्रिक्स $A$ को मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है और क्रम में लिखे गए चर के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है, और $b$ को इसके मुक्त सदस्यों का कॉलम कहा जाता है। मुक्त सदस्यों के एक कॉलम के साथ लाइन के माध्यम से लिखे गए मैट्रिक्स $A$ को संवर्धित मैट्रिक्स कहा जाता है:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) &… & a_(1n) & b_1 \\ \vdots &… & \vdots &...\\ a_(m1) &… & a_( एमएन) और बी_एम \end(सरणी)$

अब, समीकरणों की प्रणाली (या मैट्रिक्स पर, जैसा कि यह अधिक सुविधाजनक है) पर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, इसे निम्नलिखित रूप में लाना आवश्यक है:

$\begin(केस) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2))। ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ ... \ \ 0 = β_m \end(मामलों)$ (1)

समीकरण (1) की रूपांतरित प्रणाली के गुणांकों से प्राप्त मैट्रिक्स को चरण मैट्रिक्स कहा जाता है, इस प्रकार चरण मैट्रिक्स आमतौर पर इस तरह दिखते हैं:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) और b_3 \end(सरणी)$

इन मैट्रिक्स को निम्नलिखित गुणों के सेट की विशेषता है:

1. इसकी सभी शून्य पंक्तियाँ गैर-शून्य वाले के बाद आती हैं
2. यदि इंडेक्स $k$ के साथ मैट्रिक्स की कुछ पंक्ति गैर-शून्य है, तो उसी मैट्रिक्स की पिछली पंक्ति में इंडेक्स $k$ के साथ इस पंक्ति की तुलना में कम शून्य हैं।

चरण मैट्रिक्स प्राप्त करने के बाद, प्राप्त चर को शेष समीकरणों (अंत से शुरू) में प्रतिस्थापित करना और चर के शेष मान प्राप्त करना आवश्यक है।

गॉस पद्धति का उपयोग करते समय बुनियादी नियम और अनुमत परिवर्तन

इस विधि द्वारा मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली को सरल बनाते समय, केवल प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग किया जाना चाहिए।

इस तरह के परिवर्तन ऐसे ऑपरेशन होते हैं जिन्हें मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली पर इसका अर्थ बदले बिना लागू किया जा सकता है:

• स्थानों में कई पंक्तियों का क्रमपरिवर्तन,
• मैट्रिक्स की एक पंक्ति में से दूसरी पंक्ति को जोड़ना या घटाना,
• एक स्ट्रिंग को एक स्थिरांक से गुणा या विभाजित करना जो शून्य के बराबर नहीं है,
• सिस्टम की गणना और सरलीकरण की प्रक्रिया में प्राप्त केवल शून्य वाली एक पंक्ति को हटा दिया जाना चाहिए,
• आपको अनावश्यक आनुपातिक रेखाओं को हटाने की भी आवश्यकता है, सिस्टम के लिए केवल गुणांक वाले एक को चुनना जो आगे की गणना के लिए अधिक उपयुक्त और सुविधाजनक है।

सभी प्राथमिक परिवर्तन प्रतिवर्ती हैं।

सरल गाऊसी परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करते समय उत्पन्न होने वाले तीन मुख्य मामलों का विश्लेषण

सिस्टम को हल करने के लिए गॉस पद्धति का उपयोग करते समय तीन मामले सामने आते हैं:

1. जब सिस्टम असंगत होता है, यानी इसका कोई समाधान नहीं होता है
2. समीकरणों की प्रणाली का एक हल होता है, और केवल एक, और संख्या गैर-शून्य तारऔर मैट्रिक्स में कॉलम एक दूसरे के बराबर हैं।
3. सिस्टम में एक निश्चित संख्या या संभावित समाधानों का सेट होता है, और इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से कम होती है।

असंगत प्रणाली के साथ समाधान परिणाम

इस विकल्प के लिए, हल करते समय मैट्रिक्स समीकरणगॉसियन पद्धति को समानता को पूरा करने की असंभवता के साथ कुछ रेखा प्राप्त करने की विशेषता है। इसलिए, यदि कम से कम एक गलत समानता होती है, तो परिणामी और मूल प्रणालियों का कोई समाधान नहीं होता है, चाहे उनमें अन्य समीकरण कुछ भी हों। असंगत मैट्रिक्स का एक उदाहरण:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

अंतिम पंक्ति में एक असंतुष्ट समानता दिखाई दी: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$।

समीकरणों की एक प्रणाली जिसका केवल एक ही हल है

चरणबद्ध मैट्रिक्स में कमी और शून्य के साथ पंक्तियों को हटाने के बाद सिस्टम के डेटा में मुख्य मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यहां सबसे सरल उदाहरणऐसी प्रणाली:

$\begin(मामलों) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(मामलों)$

आइए इसे एक मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

दूसरी पंक्ति की पहली सेल को शून्य पर लाने के लिए, शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करें और इसे मैट्रिक्स की निचली पंक्ति से घटाएँ, और शीर्ष पंक्ति को उसके मूल रूप में छोड़ दें, परिणामस्वरूप हमारे पास निम्नलिखित हैं:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

इस उदाहरण को एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है:

$\begin(मामलों) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(मामलों)$

निचले समीकरण से आता है अगला मूल्य$x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$। इस मान को ऊपरी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x_1 - 3 \frac(1)(3)$, हमें $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ मिलता है।

कई संभावित समाधानों वाली प्रणाली

इस प्रणाली में स्तंभों की संख्या की तुलना में महत्वपूर्ण पंक्तियों की एक छोटी संख्या की विशेषता है (मुख्य मैट्रिक्स की पंक्तियों को ध्यान में रखा जाता है)।

ऐसी प्रणाली में चर दो प्रकारों में विभाजित होते हैं: मूल और मुक्त। ऐसी प्रणाली को परिवर्तित करते समय, इसमें निहित मुख्य चर को बाएं क्षेत्र में "=" चिह्न तक छोड़ दिया जाना चाहिए, और शेष चर को स्थानांतरित किया जाना चाहिए दाईं ओरसमानता।

ऐसी प्रणाली का केवल एक निश्चित सामान्य समाधान होता है।

आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का विश्लेषण करें:

$\begin(मामलों) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(मामलों)$

आइए इसे एक मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

हमारा काम सिस्टम का एक सामान्य समाधान खोजना है। इस मैट्रिक्स के लिए, मूल चर $y_1$ और $y_3$ होंगे ($y_1$ के लिए - क्योंकि यह पहले स्थान पर है, और $y_3$ के मामले में - यह शून्य के बाद स्थित है)।

मूल चर के रूप में, हम ठीक वही चुनते हैं जो पंक्ति में पहले शून्य के बराबर नहीं हैं।

शेष चर को मुक्त कहा जाता है, उनके माध्यम से हमें मूल को व्यक्त करने की आवश्यकता होती है।

तथाकथित रिवर्स मूव का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम को नीचे से ऊपर की ओर अलग करते हैं, इसके लिए हम पहले सिस्टम की निचली रेखा से $y_3$ व्यक्त करते हैं:

$5y_3 - 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$।

अब हम व्यक्त $y_3$ को सिस्टम के ऊपरी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

हम $y_1$ को मुक्त चर $y_2$ और $y_4$ के रूप में व्यक्त करते हैं:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6$

घोल तैयार है।

उदाहरण 1

गाऊसी विधि से घोल को हल करें। उदाहरण। गॉस विधि का उपयोग करके 3 बटा 3 मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

$\begin(मामलों) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(मामलों)$

हम अपने सिस्टम को एक संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखते हैं:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

अब, सुविधा और व्यावहारिकता के लिए, हमें मैट्रिक्स को बदलने की जरूरत है ताकि $ 1$ अंतिम कॉलम के ऊपरी कोने में हो।

ऐसा करने के लिए, हमें पहली पंक्ति में $-1$ से गुणा करके मध्य रेखा को जोड़ने की आवश्यकता है, और मध्य रेखा को वैसे ही लिखें जैसे वह है:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\ start (सरणी) (सीसीसी | सी) -1 और -1 और 1 और -1 \\ 0 और -2 और 3 और -3 \\ 0 और -1 और 0 और -3 \\ \ अंत (सरणी) $

शीर्ष और अंतिम पंक्तियों को $-1$ से गुणा करें, और अंतिम और मध्य पंक्तियों को स्वैप करें:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

और अंतिम पंक्ति को $3$ से विभाजित करें:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

हम मूल समीकरण के समतुल्य समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

$\begin(मामलों) x_1 + x_2 - x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(मामलों)$

ऊपरी समीकरण से, हम $x_1$ व्यक्त करते हैं:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$।

उदाहरण 2

गाऊसी पद्धति का उपयोग करके 4 बाय 4 मैट्रिक्स का उपयोग करके परिभाषित प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।

शुरुआत में, हम ऊपरी बाएँ कोने में $1$ प्राप्त करने के लिए इसके बाद आने वाली शीर्ष पंक्तियों को स्वैप करते हैं:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।

अब शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करते हैं और दूसरे और तीसरे में जोड़ते हैं। चौथी पंक्ति में हम $-3$ से गुणा करके पहली पंक्ति जोड़ते हैं:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 और 3 और -1 और 4 \\ \end(सरणी)$

अब पंक्ति संख्या 3 में हम पंक्ति 2 को $4$ से गुणा करते हैं, और पंक्ति 4 में हम पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करते हैं।

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 और 3 और 0 और 6 \\ \end(सरणी)$

पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करें, पंक्ति 4 को $3$ से विभाजित करें और पंक्ति 3 को बदलें।

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 और 10 \\ \end(सरणी)$

अब हम अंतिम पंक्ति में अंतिम एक को जोड़ते हैं, जिसे $-5$ से गुणा किया जाता है।

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 और 0 \\ \end(सरणी)$

हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं:

$\begin(मामलों) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(मामलों)$