गॉस विधि से हल कीजिए। मैट्रिक्स को हल करने के लिए गॉस विधि

चलो रैखिक की एक प्रणाली बीजीय समीकरण, जिसे हल करने की आवश्यकता है (अज्ञात хi के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) है केवल निर्णय.

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – किसी भी प्रणाली का समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण रेखीय समीकरण , के जो प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले चलो! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिथ्म एक ही तरह से काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह प्रणाली का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांक से बना है, साथ ही मुक्त शर्तों का एक स्तंभ)गॉस विधि में रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रोकीमैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या हैं) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी इस प्रकार है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - का उपयोग कर प्राथमिक परिवर्तनरैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" तक कम करें चरणबद्ध दृश्य: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य (ऊपर-नीचे की चाल) के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में होता है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, दूसरे समीकरण से पहले घटाएं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक अज्ञात x 1 वाले पहले को छोड़कर सभी समीकरणों में गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएं। मान लें कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 पर गुणांक M के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, सभी समीकरणों में "अंडर" अज्ञात x 2 शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण को पास करते हैं और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त शब्द नहीं रहता।

1. गॉस विधि का "रिवर्स मूव" रैखिक बीजीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर के उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात्। x 2 \u003d 5. और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं, हम गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आइए इसे इस तरह करें:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त क्रिया कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 कदम . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 कदम . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 कदम . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 कदम . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। अर्थात्, यदि हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती की गई थी परिवर्तन।

हम एक रिवर्स चाल करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर तक" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

उत्तर:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से भाग दें।

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएं, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 . से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें "चरणबद्ध" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में जमा हुई त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह से हल करने से आप गणना में कभी भी भ्रमित नहीं होंगे और गणना त्रुटियों के बावजूद आपको परिणाम मिलेगा।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि प्रोग्राम करना आसान है और इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है विशिष्ट लक्षणअज्ञात के लिए गुणांक, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

आपकी सफलता की कामना करते है! कक्षा में मिलेंगे! ट्यूटर दिमित्री एस्ट्राखानोव।

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गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।मान लीजिए कि हमें सिस्टम से समाधान खोजने की जरूरत है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहला, the एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू होकर, तब x2सभी समीकरणों में से, तीसरे से शुरू होकर, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर न रह जाए एक्स एन. सिस्टम के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया अनुक्रमिक बहिष्करणअज्ञात चर कहलाते हैं प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस विधि की अग्रगामी चाल के पूरा होने के बाद, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके गणना की जाती है xn-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से पाया जाता है एक्स 1. सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सिस्टम के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके पहला समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

यदि हम व्यक्त करते हैं तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया था। तो चर एक्स 1दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे को गुणा करके जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन-वेंसे गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . तो चर x2तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनअंतिम समीकरण से, प्राप्त मूल्य का उपयोग करते हुए एक्स एनपाना xn-1अंतिम समीकरण से, और इसी तरह, हम पाते हैं एक्स 1पहले समीकरण से

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

1. रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली

1.1 रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की अवधारणा

समीकरणों की एक प्रणाली एक ऐसी स्थिति है जिसमें कई चरों में कई समीकरणों का एक साथ निष्पादन होता है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (बाद में SLAE के रूप में संदर्भित) की एक प्रणाली जिसमें m समीकरण और n अज्ञात शामिल हैं, फॉर्म की एक प्रणाली है:

जहां संख्या a ij को प्रणाली के गुणांक कहा जाता है, संख्या b i स्वतंत्र सदस्य हैं, ऐजोतथा बी मैं(i=1,…, m; b=1,…, n) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और x 1 ,…, x n- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक i समीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा सूचकांक j अज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है। संख्या x n खोजने के अधीन। ऐसी प्रणाली को कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स रूप में लिखना सुविधाजनक है: कुल्हाड़ी = बी।यहां ए सिस्टम के गुणांक का मैट्रिक्स है, जिसे मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है;

अज्ञात xj का स्तंभ सदिश है।
मुक्त सदस्यों द्वि का एक स्तंभ वेक्टर है।

मैट्रिक्स ए * एक्स का उत्पाद परिभाषित किया गया है, क्योंकि मैट्रिक्स ए में कई कॉलम हैं क्योंकि मैट्रिक्स एक्स (एन टुकड़े) में पंक्तियां हैं।

सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम का मैट्रिक्स ए है, जो मुक्त शर्तों के कॉलम द्वारा पूरक है

1.2 रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (चर के मान) का एक क्रमबद्ध सेट है, जब उन्हें चर के बजाय प्रतिस्थापित करते हुए, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण एक वास्तविक समानता में बदल जाते हैं।

सिस्टम का समाधान अज्ञात x1=c1, x2=c2,…, xn=cn का n मान है, जिसके स्थान पर सिस्टम के सभी समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाते हैं। सिस्टम के किसी भी समाधान को मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में लिखा जा सकता है

समीकरणों की एक प्रणाली को संगत कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक समाधान होता है, और यदि इसका कोई समाधान नहीं होता है तो असंगत होता है।

एक संयुक्त प्रणाली को निश्चित कहा जाता है यदि इसका एक अद्वितीय समाधान होता है, और अनिश्चित होता है यदि इसमें एक से अधिक समाधान होते हैं। बाद के मामले में, इसके प्रत्येक समाधान को सिस्टम का एक विशेष समाधान कहा जाता है। सभी विशिष्ट विलयनों के समुच्चय को सामान्य विलयन कहते हैं।

किसी प्रणाली को हल करने का अर्थ है यह पता लगाना कि यह सुसंगत है या असंगत। यदि सिस्टम संगत है, तो उसे खोजें सामान्य निर्णय.

दो प्रणालियों को समतुल्य (समतुल्य) कहा जाता है यदि उनका सामान्य समाधान समान हो। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत।

एक परिवर्तन, जिसका अनुप्रयोग एक प्रणाली को मूल के बराबर एक नई प्रणाली में बदल देता है, समकक्ष या समकक्ष परिवर्तन कहलाता है। निम्नलिखित परिवर्तन समकक्ष परिवर्तनों के उदाहरण के रूप में काम कर सकते हैं: सिस्टम के दो समीकरणों को स्वैप करना, सभी समीकरणों के गुणांक के साथ दो अज्ञात को स्वैप करना, सिस्टम के किसी भी समीकरण के दोनों हिस्सों को गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है यदि सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों:

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि x1=x2=x3=…=xn=0 प्रणाली का एक समाधान है। इस समाधान को शून्य या तुच्छ कहा जाता है।

2. गाऊसी उन्मूलन विधि

2.1 गाऊसी उन्मूलन विधि का सार

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की शास्त्रीय विधि अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है - गॉस विधि(इसे गाऊसी उन्मूलन विधि भी कहा जाता है)। यह चर के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरणबद्ध (या त्रिकोणीय) रूप की एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, से शुरू अंतिम (संख्या के अनुसार) चर।

गाऊसी समाधान प्रक्रिया में दो चरण होते हैं: आगे और पीछे की चाल।

1. सीधी चाल।

पहले चरण में, तथाकथित प्रत्यक्ष चाल को अंजाम दिया जाता है, जब, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, सिस्टम को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय रूप में लाया जाता है, या यह स्थापित किया जाता है कि सिस्टम असंगत है। अर्थात्, मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों में से, एक गैर-शून्य को चुना जाता है, इसे पंक्तियों की अनुमति देकर सबसे ऊपर की स्थिति में ले जाया जाता है, और क्रमपरिवर्तन के बाद प्राप्त पहली पंक्ति को शेष पंक्तियों से घटाया जाता है, इसे एक से गुणा किया जाता है। इन पंक्तियों में से प्रत्येक के पहले तत्व के पहली पंक्ति के पहले तत्व के अनुपात के बराबर मान, इस प्रकार इसके नीचे के कॉलम को शून्य करना।

संकेतित परिवर्तन किए जाने के बाद, पहली पंक्ति और पहला कॉलम मानसिक रूप से पार किया जाता है और तब तक जारी रहता है जब तक कि शून्य-आकार का मैट्रिक्स नहीं रहता। यदि पहले कॉलम के तत्वों में से कुछ पुनरावृत्तियों में एक गैर-शून्य नहीं पाया गया था, तो अगले कॉलम पर जाएं और एक समान ऑपरेशन करें।

पहले चरण (फॉरवर्ड रन) में, सिस्टम एक चरणबद्ध (विशेष रूप से, त्रिकोणीय) रूप में कम हो जाता है।

नीचे दी गई प्रणाली चरणबद्ध है:

,

गुणांक aii प्रणाली के मुख्य (अग्रणी) तत्व कहलाते हैं।

(यदि a11=0, मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि एक 11 0 के बराबर नहीं था। यह हमेशा संभव है, क्योंकि अन्यथा मैट्रिक्स में शून्य कॉलम होता है, इसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है और सिस्टम असंगत होता है)।

हम पहले समीकरण को छोड़कर सभी समीकरणों में अज्ञात X1 को हटाकर सिस्टम को बदल देते हैं (सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके)। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ पद दर पद जोड़ें (या दूसरे समीकरण से हम पद को पहले से गुणा करके पद घटाते हैं)। फिर हम पहले समीकरण के दोनों भागों को गुणा करते हैं और इसे सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ते हैं (या पहले एक को तीसरे पद से गुणा करके घटाते हैं)। इस प्रकार, हम पहली पंक्ति को एक संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं और इसमें जोड़ते हैं मैं-वीं पंक्ति, के लिए मैं = 2, 3, …,एन।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें समतुल्य प्रणाली मिलती है:

- सिस्टम के अंतिम m-1 समीकरणों में अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक के नए मान, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

इस प्रकार, पहले चरण में, पहले प्रमुख तत्व a 11 के तहत सभी गुणांक नष्ट हो जाते हैं

0, दूसरा चरण दूसरे प्रमुख तत्व a 22 (1) (यदि एक 22 (1) 0) के तहत तत्वों को नष्ट कर देता है, और इसी तरह। इस प्रक्रिया को आगे जारी रखते हुए, हम अंत में मूल प्रणाली को (m-1) चरण पर एक त्रिकोणीय प्रणाली में कम कर देंगे।

यदि, सिस्टम को चरणबद्ध रूप में कम करने की प्रक्रिया में, शून्य समीकरण दिखाई देते हैं, अर्थात। 0 = 0 के रूप की समानता, उन्हें छोड़ दिया जाता है। यदि फॉर्म का समीकरण है

यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है।

यह गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

2. उलटी चाल।

दूसरे चरण में, तथाकथित रिवर्स मूव किया जाता है, जिसका सार सभी परिणामी बुनियादी चर को गैर-बुनियादी के रूप में व्यक्त करना और समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करना है, या, यदि सभी चर बुनियादी हैं, तब रैखिक समीकरणों के निकाय के एकमात्र हल को संख्यात्मक रूप से व्यक्त कीजिए।

यह प्रक्रिया अंतिम समीकरण से शुरू होती है, जिसमें से संबंधित मूल चर व्यक्त किया जाता है (यह इसमें केवल एक है) और पिछले समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और इसी तरह, शीर्ष पर "कदम" ऊपर जा रहा है।

प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल एक मूल चर से मेल खाती है, इसलिए प्रत्येक चरण में, अंतिम (सबसे ऊपरी) को छोड़कर, स्थिति बिल्कुल अंतिम पंक्ति के मामले को दोहराती है।

नोट: व्यवहार में, सिस्टम के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, लेकिन इसके विस्तारित मैट्रिक्स के साथ, इसकी पंक्तियों पर सभी प्राथमिक परिवर्तन करना। यह सुविधाजनक है कि गुणांक a11 1 के बराबर हो (समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें, या समीकरण के दोनों पक्षों को a11 से विभाजित करें)।

2.2 गॉस विधि द्वारा SLAE को हल करने के उदाहरण

इस खंड में, तीन अलग-अलग उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम दिखाएंगे कि SLAE को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

उदाहरण 1. तीसरे क्रम के SLAE को हल करें।

गुणांक को शून्य पर सेट करें

दूसरी और तीसरी पंक्तियों में। ऐसा करने के लिए, उन्हें क्रमशः 2/3 और 1 से गुणा करें, और उन्हें पहली पंक्ति में जोड़ें:

रैखिक समीकरणों के दो निकाय समतुल्य कहलाते हैं यदि उनके सभी हलों का समुच्चय समान हो।

समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1. तुच्छ समीकरणों की प्रणाली से हटाना, अर्थात्। जिनके लिए सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
2. किसी भी समीकरण को गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. किसी भी j-वें समीकरण के किसी भी i -th समीकरण का जोड़, किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

चर x i को मुक्त कहा जाता है यदि इस चर की अनुमति नहीं है, और समीकरणों की पूरी प्रणाली की अनुमति है।

प्रमेय। प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली को एक समकक्ष में बदल देते हैं।

गॉस विधि का अर्थ समीकरणों की मूल प्रणाली को बदलना और एक समान अनुमत या समकक्ष असंगत प्रणाली प्राप्त करना है।

तो, गॉस विधि में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. पहले समीकरण पर विचार करें। हम पहला गैर-शून्य गुणांक चुनते हैं और इससे पूरे समीकरण को विभाजित करते हैं। हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसमें कुछ चर x 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
2. आइए हम इस समीकरण को अन्य सभी से घटाएं, इसे संख्याओं से गुणा करें ताकि शेष समीकरणों में चर x i के गुणांक शून्य पर सेट हो जाएं। हमें एक प्रणाली मिलती है जो चर x i के संबंध में हल हो जाती है और मूल के बराबर होती है;
3. यदि तुच्छ समीकरण उत्पन्न होते हैं (शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है; उदाहरण के लिए, 0 = 0), तो हम उन्हें सिस्टम से हटा देते हैं। नतीजतन, समीकरण एक कम हो जाते हैं;
4. हम पिछले चरणों को n बार से अधिक नहीं दोहराते हैं, जहां n सिस्टम में समीकरणों की संख्या है। हर बार हम "प्रसंस्करण" के लिए एक नया चर चुनते हैं। यदि परस्पर विरोधी समीकरण उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 0 = 8), तो सिस्टम असंगत है।

नतीजतन, कुछ चरणों के बाद हम या तो एक अनुमत प्रणाली (संभवतः मुक्त चर के साथ) या एक असंगत एक प्राप्त करते हैं। अनुमत सिस्टम दो मामलों में आते हैं:

1. चरों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। तो प्रणाली परिभाषित है;
2. चर की संख्या अधिक संख्यासमीकरण हम दाईं ओर सभी मुक्त चर एकत्र करते हैं - हमें अनुमत चर के लिए सूत्र मिलते हैं। ये सूत्र उत्तर में लिखे गए हैं।

बस इतना ही! रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल हो गई है! यह काफी सरल एल्गोरिथम है, और इसमें महारत हासिल करने के लिए, आपको गणित के किसी ट्यूटर से संपर्क करने की आवश्यकता नहीं है। एक उदाहरण पर विचार करें:

एक कार्य। समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं, और तीसरे समीकरण को (−3) से विभाजित करते हैं - हमें दो समीकरण मिलते हैं जिसमें चर x 2 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
3. हम दूसरे समीकरण को पहले में जोड़ते हैं, और तीसरे से घटाते हैं। आइए अनुमत चर x 2 प्राप्त करें;
4. अंत में, हम तीसरे समीकरण को पहले से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 3 मिलता है;
5. हमें एक अधिकृत प्रणाली मिली है, हम उत्तर लिखते हैं।

सामान्य निर्णय संयुक्त प्रणालीरैखिक समीकरण है नई प्रणाली, जो मूल के बराबर है, जिसमें सभी अनुमत चर मुक्त के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

एक सामान्य समाधान की आवश्यकता कब हो सकती है? अगर आपको करना है कम कदम k से (k कुल कितने समीकरण हैं)। हालांकि, प्रक्रिया के किसी चरण पर समाप्त होने के कारण l< k , может быть две:

1. एल-वें चरण के बाद, हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें संख्या (एल + 1) के साथ समीकरण नहीं होता है। वास्तव में, यह अच्छा है, क्योंकि। हल की गई प्रणाली वैसे भी प्राप्त होती है - कुछ कदम पहले भी।
2. एल-वें चरण के बाद, एक समीकरण प्राप्त होता है जिसमें चर के सभी गुणांक शून्य के बराबर होते हैं, और मुक्त गुणांक शून्य से भिन्न होता है। यह एक असंगत समीकरण है, और इसलिए, प्रणाली असंगत है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि गॉस विधि द्वारा असंगत समीकरण का प्रकट होना असंगति का पर्याप्त कारण है। उसी समय, हम ध्यान दें कि l -वें चरण के परिणामस्वरूप, तुच्छ समीकरण नहीं रह सकते हैं - वे सभी सीधे प्रक्रिया में हटा दिए जाते हैं।

चरणों का विवरण:

1. पहले समीकरण को दूसरे से 4 गुना घटाएं। और पहले समीकरण को तीसरे में भी जोड़ें - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम तीसरे समीकरण को 2 से गुणा करके दूसरे से घटाते हैं - हमें विरोधाभासी समीकरण 0 = -5 मिलता है।

इसलिए, सिस्टम असंगत है, क्योंकि एक असंगत समीकरण पाया गया है।

एक कार्य। संगतता की जांच करें और सिस्टम का सामान्य समाधान खोजें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे (दो से गुणा करने के बाद) और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाएं। चूँकि इन समीकरणों के सभी गुणांक समान हैं, इसलिए तीसरा समीकरण तुच्छ हो जाता है। उसी समय, हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं;
3. हम पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 2 मिलता है। समीकरणों की पूरी प्रणाली भी अब हल हो गई है;
4. चूँकि चर x 3 और x 4 स्वतंत्र हैं, हम उन्हें अनुमत चरों को व्यक्त करने के लिए दाईं ओर ले जाते हैं। यही उत्तर है।

तो, सिस्टम संयुक्त और अनिश्चित है, क्योंकि दो अनुमत चर (x 1 और x 2) और दो मुक्त (x 3 और x 4) हैं।

गॉस विधिरैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों को हल करने के लिए बहुत अच्छा है। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, संगतता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पूर्व-जांच की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉस विधि का उपयोग न केवल SLAE को हल करने के लिए किया जा सकता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-पतित है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी है जिसमें समीकरणों की संख्या होती है अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाता या मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉस विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख की संक्षिप्त समीक्षा।

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और कुछ संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

अगला, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिथ्म का वर्णन करते हैं, अर्थात रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाता है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक नहीं हैं शून्य के बराबर। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस पद्धति का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जिसमें अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन होता है। इसलिए, गॉसियन विधि को अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। आइए दिखाते हैं विस्तृत समाधानकुछ उदाहरण।

अंत में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के गाऊसी समाधान पर विचार करते हैं, जिसका मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या पतित है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिनका हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन।

n अज्ञात के साथ p रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें (p n के बराबर हो सकता है):

जहां अज्ञात चर हैं, संख्याएं हैं (वास्तविक या जटिल), स्वतंत्र सदस्य हैं।

यदि एक , तब रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय कहलाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का समुच्चय, जिसमें निकाय के सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, कहलाते हैं SLAU निर्णय.

यदि रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का कम से कम एक हल हो, तो उसे कहते हैं संयुक्त, अन्यथा - असंगत.

यदि किसी SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो उसे कहा जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक हल हों, तो निकाय कहलाता है ढुलमुल.

कहा जाता है कि सिस्टम में लिखा गया है समन्वय प्रपत्रअगर इसका रूप है
.

में यह प्रणाली मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहां - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के कॉलम का मैट्रिक्स, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतितयदि इसका सारणिक शून्य है। यदि , तो मैट्रिक्स A को कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के साथ निम्नलिखित क्रियाएं की जाती हैं

• दो समीकरण स्वैप करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को एक मनमाना संख्या k से गुणा करके जोड़ें,

तब हमें एक समान प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ होगा पंक्तियों के साथ प्राथमिक परिवर्तन:

• दो तारों की अदला-बदली
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़ना, एक मनमाना संख्या k से गुणा करना।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉस विधि द्वारा रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की सॉल्विंग सिस्टम, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट होता है।

अगर हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ ऐसा करेंगे।

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के बाईं ओर पहले समीकरण के बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़कर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 ढूंढ सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरणों में पाए गए मान x 1 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम निकाय के तीसरे समीकरण के दोनों भागों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम प्राप्त मान x 2 \u003d 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अन्यथा किया होता।

आइए अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों में इस चर को बाहर करने के लिए प्रतिस्थापित करें:

अब x 2 के संबंध में सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करते हैं और अज्ञात चर x 2 को इससे बाहर करने के लिए प्राप्त परिणाम को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यह प्रणाली के तीसरे समीकरण से देखा जा सकता है कि x 3 =3। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

परिचित समाधान, है ना?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, अर्थात गॉस विधि। जब हमने अज्ञात चरों (पहले x 1 , अगले x 2 ) को व्यक्त किया और उन्हें सिस्टम के बाकी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने उस समय तक अपवाद को अंजाम दिया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञातों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. आगे की चाल पूरी होने के बाद, हमारे पास अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, अंतिम समीकरण से, हम अगला अज्ञात चर पाते हैं, और इसी तरह। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के रूप में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया हमें अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करने की अनुमति देती है:

गॉस विधि द्वारा अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU . में पहले समीकरण में, कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम इस अज्ञात चर को शेष समीकरणों से बाहर करने के लिए x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का तरीका व्यवस्था के समीकरणों की अदला-बदली करना है। चूंकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं जिनके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य से भिन्न होते हैं, हमेशा एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के बाकी समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 पहले से ही दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है)।

हमें उम्मीद है कि आपको सार मिल गया होगा।

आइए वर्णन करें गॉस विधि एल्गोरिथ्म।

आइए हमें n रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है जिसमें n अज्ञात चर के रूप में है , और इसके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को गैर-शून्य होने दें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे को गुणा करके जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, प्राप्त मान x n का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले से x 1 पाते हैं समीकरण

आइए एक उदाहरण के साथ एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

गाऊसी विधि।

समाधान।

गुणांक ए 11 शून्य से अलग है, तो चलिए गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम के लिए आगे बढ़ते हैं, अर्थात अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से समाप्त करने के लिए, पहले वाले को छोड़कर। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को क्रमशः गुणा करके जोड़ें, तथा :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, आइए बहिष्करण x 2 पर चलते हैं। प्रणाली के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करके जोड़ते हैं तथा :

गॉस विधि के आगे के पाठ्यक्रम को पूरा करने के लिए, हमें अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता है। आइए चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को क्रमशः बाएँ और में जोड़ें दाईं ओरतीसरे समीकरण को से गुणा किया जाता है :

आप गॉस विधि का उल्टा कोर्स शुरू कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें मिलता है,
दूसरे से
पहले से।

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में स्थानापन्न कर सकते हैं। सभी समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, जिसका अर्थ है कि गॉस विधि द्वारा हल सही पाया गया।

उत्तर:

और अब हम इसी उदाहरण के हल को गॉस विधि द्वारा आव्यूह रूप में देंगे।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गाऊसी विधि।

समाधान।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के ऊपर अज्ञात चर लिखे होते हैं, जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप होते हैं।

गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक समलम्बाकार रूप में लाना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चर के बहिष्करण के समान है जो हमने सिस्टम के साथ समन्वय रूप में किया था। अब आपको यकीन हो गया होगा।

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि दूसरे से शुरू होने वाले पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में, पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें, और क्रमशः:

अगला, हम परिणामी मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं ताकि दूसरे कॉलम में, तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को बाहर करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें तथा :

यह अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में, हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है

जो प्रत्यक्ष चाल के बाद पहले प्राप्त हुआ था।

वापस मुड़ने का समय आ गया है। संकेतन के मैट्रिक्स रूप में, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स में परिणामी मैट्रिक्स का ऐसा परिवर्तन शामिल होता है, जिससे मैट्रिक्स को आकृति में चिह्नित किया जाता है

विकर्ण बन गया, अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ नंबर कहां हैं।

ये परिवर्तन गॉस पद्धति के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक की जाती हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों को क्रमशः और से गुणा करते हैं:

पर अंतिम चरणगाऊसी विधि के रिवर्स मोशन में, पहली पंक्ति के तत्वों में, हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है , जिसमें से हम अज्ञात चर पाते हैं।

उत्तर:

टिप्पणी।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस पद्धति का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे बिल्कुल गलत परिणाम हो सकते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप दशमलव को गोल न करें। किस्मत का धनी दशमलव भागके लिए जाओ साधारण अंश.

उदाहरण।

गाऊसी विधि द्वारा तीन समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

समाधान।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में, अज्ञात चरों का एक अलग पदनाम है (x 1 , x 2 , x 3 नहीं, बल्कि x, y, z )। आइए सामान्य भिन्नों पर चलते हैं:

सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को हटा दें:

परिणामी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में कोई अज्ञात चर y नहीं है, और y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, हम दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करते हैं:

इस बिंदु पर, गॉस विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम समाप्त हो गया है (आपको y को तीसरे समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिये वापस चलते हैं।

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


पहले समीकरण से हमारे पास है

उत्तर:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है, या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गॉस विधि द्वारा पतित है।

समीकरणों की प्रणाली जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्ग पतित है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक एकल समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि गॉस विधि आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता या असंगति स्थापित करने की अनुमति कैसे देती है, और इसकी संगतता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करें।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालांकि, यह कुछ स्थितियों पर विस्तार से ध्यान देने योग्य है जो उत्पन्न हो सकती हैं।

आइए सबसे महत्वपूर्ण कदम पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि गॉस विधि के फॉरवर्ड रन के पूरा होने के बाद रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है और कोई भी समीकरण कम नहीं हुआ (इस मामले में, हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। एक तार्किक प्रश्न उठता है: "आगे क्या करना है"?

हम अज्ञात चर लिखते हैं जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों के पहले स्थान पर हैं:

हमारे उदाहरण में, ये x 1 , x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाएं हिस्सों में, हम केवल उन शब्दों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, हम शेष शर्तों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम अज्ञात चरों के लिए मनमाना मान निर्दिष्ट करें जो समीकरणों के दायीं ओर हैं, जहां - मनमानी संख्या:

उसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के सही भागों में संख्याएँ पाई जाती हैं और हम गॉस विधि के रिवर्स कोर्स के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, हम पाते हैं कि अंतिम समीकरण से, पहले समीकरण से हमें मिलता है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मूल्यों का समूह है

नंबर देना विभिन्न अर्थ, हम प्राप्त करेंगे विभिन्न समाधानसमीकरणों की प्रणाली। अर्थात्, हमारे समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

उत्तर:

कहाँ पे - मनमानी संख्या।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

तय करना सजातीय प्रणालीरैखिक बीजीय समीकरण गाऊसी विधि।

समाधान।

आइए अज्ञात चर x को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, क्रमशः पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करके, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में जोड़ें - बाएँ और दाएँ भाग पहला समीकरण, इससे गुणा:

अब हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करते हैं:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: