शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य"

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

पहला आदेश विभेदक समीकरण

लेखांकन छात्रों के लिए व्याख्यान सारांश

शिक्षा का पत्राचार प्रपत्र (NISPO)

गोर्की, 2013

पहले क्रम के अंतर समीकरण

विभेदक समीकरण की अवधारणा। सामान्य और विशेष समाधान

विभिन्न घटनाओं का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसा कानून खोजना संभव नहीं होता है जो स्वतंत्र चर और वांछित फ़ंक्शन को सीधे जोड़ता है, लेकिन वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करना संभव है।

स्वतंत्र चर, वांछित फलन और उसके अवकलजों को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है अंतर समीकरण :

यहां एक्सएक स्वतंत्र चर है, आपवांछित कार्य है,
वांछित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हैं। इस मामले में, संबंध (1) को कम से कम एक व्युत्पन्न की उपस्थिति की आवश्यकता होती है।

अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

अंतर समीकरण पर विचार करें

. (2)

चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम कोटि का अवकलज शामिल है, तो इसे कहा जाता है प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है।

यदि समीकरण (2) को व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है और लिखा जा सकता है

, (3)

तो ऐसे समीकरण को सामान्य रूप में प्रथम-कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है।

कई मामलों में फॉर्म के समीकरण पर विचार करना समीचीन है

जिसे कहा जाता है अंतर रूप में लिखा गया एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण।

इसलिये
, तो समीकरण (3) को के रूप में लिखा जा सकता है
या
, जहां कोई गिन सकता है
तथा
. इसका मतलब है कि समीकरण (3) को समीकरण (4) में बदल दिया गया है।

हम समीकरण (4) को रूप में लिखते हैं
. फिर
,
,
, जहां कोई गिन सकता है
, अर्थात। फॉर्म (3) का एक समीकरण प्राप्त होता है। इस प्रकार, समीकरण (3) और (4) समतुल्य हैं।

अवकल समीकरण को हल करके (2) या (3) कोई भी फलन कहलाता है
, जो इसे समीकरण (2) या (3) में प्रतिस्थापित करते समय, इसे एक पहचान में बदल देता है:

या
.

अवकल समीकरण के सभी हल ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण , और समाधान ग्राफ
अवकल समीकरण कहलाता है अभिन्न वक्र यह समीकरण।

यदि अवकल समीकरण का हल निहित रूप में प्राप्त किया जाता है
, तो इसे कहा जाता है अभिन्न दिया गया अंतर समीकरण।

सामान्य समाधान पहले क्रम का अंतर समीकरण रूप के कार्यों का एक परिवार है
, एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है से, जिनमें से प्रत्येक एक मनमाना स्थिरांक के किसी भी स्वीकार्य मूल्य के लिए दिए गए अंतर समीकरण का एक समाधान है से. इस प्रकार, अवकल समीकरण के अनंत हल होते हैं।

निजी निर्णय अवकल समीकरण को एक मनमाना स्थिरांक के विशिष्ट मान के लिए सामान्य समाधान सूत्र से प्राप्त समाधान कहा जाता है से, समेत
.

कौची समस्या और इसकी ज्यामितीय व्याख्या

समीकरण (2) के अनंत हल हैं। इस समुच्चय में से एक समाधान, जिसे एक विशेष समाधान कहा जाता है, को अलग करने के लिए, कुछ अतिरिक्त शर्तों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

दी गई शर्तों के तहत समीकरण (2) का एक विशेष हल खोजने की समस्या को कहा जाता है कौची समस्या . यह समस्या अवकल समीकरणों के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है।

कॉची समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है: समीकरण (2) के सभी हलों में से एक ऐसा हल ज्ञात कीजिए
, जिसमें समारोह
एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है यदि स्वतंत्र चर एक्स एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है , अर्थात।

,
, (5)

कहाँ पे डीफ़ंक्शन का डोमेन है
.

अर्थ बुलाया फ़ंक्शन का प्रारंभिक मान , एक – स्वतंत्र चर का प्रारंभिक मान . दशा (5) कहलाती है आरंभिक दशा या कॉची की स्थिति .

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अवकल समीकरण (2) के लिए कॉची समस्या को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: समीकरण (2) के समाकल वक्रों के समुच्चय में से उस एक का चयन करें जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है
.

वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

सबसे सरल प्रकार के अंतर समीकरणों में से एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण है जिसमें वांछित कार्य नहीं होता है:

. (6)

मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

. (7)

इस प्रकार, (7) समीकरण (6) का एक सामान्य हल है।

उदाहरण 1 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
या
. हम परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
,
. आइए अंत में लिखते हैं
.

उदाहरण 2 . समीकरण का हल खोजें
इस शर्त पर
.

समाधान . आइए समीकरण का सामान्य हल खोजें:
,
,
,
. शर्त के अनुसार
,
. सामान्य समाधान में स्थानापन्न करें:
या
. हम सामान्य समाधान के लिए सूत्र में एक मनमाना स्थिरांक के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
. यह अवकल समीकरण का विशेष हल है जो दी गई शर्त को पूरा करता है।

समीकरण

(8)

बुलाया एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण जिसमें एक स्वतंत्र चर शामिल नहीं है . हम इसे फॉर्म में लिखते हैं
या
. हम अंतिम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
या
- समीकरण का सामान्य हल (8)।

उदाहरण . समीकरण का एक सामान्य हल खोजें
.

समाधान . हम इस समीकरण को इस रूप में लिखते हैं:
या
. फिर
,
,
,
. इस तरह,
इस समीकरण का सामान्य हल है।

समीकरण टाइप करें

(9)

चर के पृथक्करण का उपयोग करके एकीकृत। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
, और फिर, गुणा और भाग के संचालन का उपयोग करके, हम इसे इस तरह के रूप में लाते हैं कि एक भाग में केवल कार्य शामिल होता है एक्सऔर अंतर डीएक्स, और दूसरे भाग में - का एक समारोह परऔर अंतर डीवाई. ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा किया जाना चाहिए डीएक्सऔर विभाजित करें
. नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

, (10)

जिसमें चर एक्सतथा परअलग। हम समीकरण (10) के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
. परिणामी संबंध समीकरण (9) का सामान्य समाकलन है।

उदाहरण 3 . एकीकृत समीकरण
.

समाधान . समीकरण को रूपांतरित करें और चरों को अलग करें:
,
. आइए एकीकृत करें:
,
या इस समीकरण का सामान्य समाकलन है।
.

मान लीजिए समीकरण को रूप में दिया गया है

इस तरह के समीकरण को कहा जाता है वियोज्य चर के साथ प्रथम-क्रम अंतर समीकरण सममित रूप में।

चरों को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित किया जाना चाहिए
:

. (12)

परिणामी समीकरण कहलाता है पृथक अंतर समीकरण . हम समीकरण (12) को एकीकृत करते हैं:

.(13)

संबंध (13) अवकल समीकरण (11) का एक सामान्य समाकल है।

उदाहरण 4 . अंतर समीकरण को एकीकृत करें।

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

और दोनों भागों को में विभाजित करें
,
. परिणामी समीकरण:
एक पृथक चर समीकरण है। आइए इसे एकीकृत करें:

,
,

,
. अंतिम समानता दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य समाकल है।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात कीजिए
, शर्त को संतुष्ट करना
.

समाधान . मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. आइए चर को अलग करें:
. आइए इस समीकरण को एकीकृत करें:
,
,
. परिणामी संबंध इस समीकरण का सामान्य समाकलन है। शर्त के अनुसार
. सामान्य समाकल में प्रतिस्थापित करें और खोजें से:
,से= 1। फिर अभिव्यक्ति
दिए गए अवकल समीकरण का एक विशेष हल है, जिसे एक विशेष समाकल के रूप में लिखा जाता है।

रैखिक विभेदक समीकरणपहले के आदेश

समीकरण

(14)

बुलाया प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण . अज्ञात कार्य
और इसके व्युत्पन्न इस समीकरण को रैखिक रूप से दर्ज करते हैं, और कार्य
तथा
निरंतर।

यदि एक
, फिर समीकरण

(15)

बुलाया रैखिक सजातीय . यदि एक
, तो समीकरण (14) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

समीकरण (14) का हल खोजने के लिए, आमतौर पर उपयोग किया जाता है प्रतिस्थापन विधि (बर्नौली) , जिसका सार इस प्रकार है।

समीकरण (14) का हल दो फलनों के गुणनफल के रूप में खोजा जाएगा

, (16)

कहाँ पे
तथा
- कुछ निरंतर कार्य। स्थानापन्न
और व्युत्पन्न
समीकरण (14) में:

समारोह वीइस तरह से चुना जाएगा कि शर्त
. फिर
. इस प्रकार, समीकरण (14) का हल खोजने के लिए, अवकल समीकरणों के निकाय को हल करना आवश्यक है

सिस्टम का पहला समीकरण एक रैखिक सजातीय समीकरण है और इसे चर के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है:
,
,
,
,
. एक समारोह के रूप में
सजातीय समीकरण का कोई एक विशेष हल ले सकते हैं, अर्थात्। पर से=1:
. सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें:
या
।फिर
. इस प्रकार, प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के सामान्य हल का रूप होता है
.

उदाहरण 6 . प्रश्न हल करें
.

समाधान . हम इस रूप में समीकरण के हल की तलाश करेंगे
. फिर
. समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या
. समारोह वीइस तरह से चुनें कि समानता
. फिर
. हम इनमें से पहले समीकरण को चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल करते हैं:
,
,
,
,. समारोह वीदूसरे समीकरण में रखें:
,
,
,
. इस समीकरण का सामान्य हल है
.

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

एक अंतर समीकरण क्या है?

अंतर समीकरण का क्रम क्या है?

किस अवकल समीकरण को प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम अवकल समीकरण को अवकल रूप में कैसे लिखा जाता है?

अवकल समीकरण का हल क्या है?

एक अभिन्न वक्र क्या है?

प्रथम कोटि अवकल समीकरण का सामान्य हल क्या है?

अवकल समीकरण का विशेष हल क्या है?

कॉची समस्या को प्रथम-क्रम अवकल समीकरण के लिए कैसे तैयार किया जाता है?

कौची समस्या की ज्यामितीय व्याख्या क्या है?

वियोज्य चर के साथ सममित रूप में एक अंतर समीकरण कैसे लिखा जाता है?

किस समीकरण को प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है और इस पद्धति का सार क्या है?

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरण हल करें:

एक)
; बी)
;

में)
; जी)
.

2. प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करें:

एक)
; बी)
; में)
;

जी)
; इ)
.

उस समस्या को याद करें जिसका सामना हमें निश्चित समाकलों को खोजने में करना पड़ा था:

या डीई = एफ (एक्स) डीएक्स। उसका समाधान:

और यह अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना के लिए कम हो जाता है। व्यवहार में, एक अधिक कठिन कार्य अधिक सामान्य है: एक फ़ंक्शन ढूंढना आप, यदि यह ज्ञात है कि यह प्रपत्र के संबंध को संतुष्ट करता है

यह संबंध स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, अज्ञात कार्य आपऔर इसके डेरिवेटिव ऑर्डर तक एनसमावेशी, कहलाते हैं .

एक अंतर समीकरण में एक आदेश या किसी अन्य के डेरिवेटिव (या अंतर) के संकेत के तहत एक फ़ंक्शन शामिल होता है। उच्चतम के क्रम को क्रम कहा जाता है (9.1) .

विभेदक समीकरण:

- पहले के आदेश

द्वितीय आदेश,

- पाँचवाँ क्रम, आदि।

एक फलन जो किसी दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसका हल कहलाता है , या अभिन्न . इसे हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना। यदि वांछित कार्य के लिए आपएक सूत्र प्राप्त करने में सफल हुए जो सभी समाधान देता है, तो हम कहते हैं कि हमें इसका सामान्य समाधान मिल गया है , या सामान्य अभिन्न .

सामान्य निर्णय रोकना एनमनमाना स्थिरांक और दिखता है

यदि कोई संबंध प्राप्त होता है जो संबंधित है एक्स, वाईतथा एनमनमाना स्थिरांक, एक रूप में जिसकी अनुमति नहीं है आप -

तो ऐसे संबंध को समीकरण का सामान्य समाकल (9.1) कहा जाता है।

कौची समस्या

प्रत्येक विशिष्ट हल, अर्थात् प्रत्येक विशिष्ट फलन जो किसी दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है और स्वेच्छ अचरों पर निर्भर नहीं करता है, विशेष हल कहलाता है। , या निजी अभिन्न। सामान्य से विशेष समाधान (अभिन्न) प्राप्त करने के लिए, स्थिरांक के लिए विशिष्ट संख्यात्मक मान संलग्न करना आवश्यक है।

किसी विशेष विलयन के आलेख को समाकलन वक्र कहते हैं। सामान्य समाधान, जिसमें सभी विशेष समाधान शामिल हैं, अभिन्न वक्रों का एक परिवार है। प्रथम-क्रम समीकरण के लिए, यह परिवार समीकरण के लिए एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है एनवें क्रम - से एनमनमाना स्थिरांक।

कॉची समस्या समीकरण का एक विशेष समाधान खोजना है एनवें क्रम, संतोषजनक एनआरंभिक स्थितियां:

जो n स्थिरांक с 1 , с 2 ,..., c n निर्धारित करते हैं।

पहला क्रम अंतर समीकरण

व्युत्पन्न के संबंध में एक अनसुलझे के लिए, पहले क्रम के अंतर समीकरण का रूप है

या अपेक्षाकृत अनुमति के लिए

उदाहरण 3.46. समीकरण का एक सामान्य हल खोजें

समाधान।एकीकृत करना, हमें मिलता है

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। यदि हम सी विशिष्ट संख्यात्मक मान देते हैं, तो हमें विशेष समाधान मिलते हैं, उदाहरण के लिए,

उदाहरण 3.47. 100 r . के उपार्जन के अधीन, बैंक में जमा धन की बढ़ती हुई राशि पर विचार करें प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज। यो को प्रारंभिक राशि होने दें, और समाप्ति के बाद Yx एक्सवर्षों। जब ब्याज की गणना वर्ष में एक बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहाँ x = 0, 1, 2, 3,.... जब ब्याज की गणना वर्ष में दो बार की जाती है, तो हमें प्राप्त होता है

जहां x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... ब्याज की गणना करते समय एनसाल में एक बार और अगर xक्रमिक रूप से मान 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., फिर . लेता है

1/n = h को निरूपित करें, फिर पिछली समानता इस तरह दिखेगी:

असीमित आवर्धन के साथ एन(पर ) सीमा में हम निरंतर ब्याज उपार्जन के साथ धन की राशि बढ़ाने की प्रक्रिया में आते हैं:

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि निरंतर परिवर्तन के साथ एक्समुद्रा आपूर्ति में परिवर्तन का नियम प्रथम क्रम के अवकल समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है। जहाँ Y x एक अज्ञात फलन है, एक्स- स्वतंत्र चर, आर- लगातार। हम इस समीकरण को हल करते हैं, इसके लिए हम इसे निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

कहाँ पे , या , जहां P का अर्थ e C है।

प्रारंभिक स्थितियों Y(0) = Yo से, हम P: Yo = Pe o, कहाँ से, Yo = P पाते हैं। इसलिए, समाधान इस तरह दिखता है:

दूसरी आर्थिक समस्या पर विचार करें। मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल को पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जाता है, जो समय के एक समारोह के रूप में आय या आउटपुट वाई में परिवर्तन का वर्णन करता है।

उदाहरण 3.48. मान लें कि राष्ट्रीय आय Y अपने मूल्य के आनुपातिक दर से बढ़ती है:

और मान लीजिए, सरकारी खर्च में घाटा आनुपातिकता गुणांक के साथ आय Y के सीधे आनुपातिक है क्यू. खर्च में कमी से राष्ट्रीय ऋण में वृद्धि होती है D:

प्रारंभिक शर्तें Y = Yo और D = t = 0 पर करें। पहले समीकरण Y= Yoe kt से। Y को प्रतिस्थापित करने पर हमें dD/dt = qYoe kt प्राप्त होता है। सामान्य समाधान का रूप है
डी = (क्यू/ के) यो केटी +С, जहां С = स्थिरांक, जो प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है। प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हम Do = (q/k)Yo + C प्राप्त करते हैं। इसलिए, अंत में,

डी = करो +(क्यू/के)यो (ई केटी -1),

इससे पता चलता है कि राष्ट्रीय ऋण उसी के साथ बढ़ता है सापेक्ष गति कहै, जो राष्ट्रीय आय है।

सबसे सरल अंतर समीकरणों पर विचार करें एनक्रम, ये रूप के समीकरण हैं

इसका सामान्य समाधान का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एनएकीकरण के समय।

उदाहरण 3.49।उदाहरण y """ = cos x पर विचार करें।

समाधान।एकीकृत करना, हम पाते हैं

सामान्य समाधान का रूप है

रैखिक अंतर समीकरण

अर्थशास्त्र में, वे बहुत काम के हैं, ऐसे समीकरणों के समाधान पर विचार करें। यदि (9.1) का रूप है:

तब इसे रैखिक कहा जाता है, जहां po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) फलन दिए गए हैं। यदि f(x) = 0, तो (9.2) को सजातीय कहा जाता है, अन्यथा इसे गैर-सजातीय कहा जाता है। समीकरण का व्यापक हल (9.2) इसके किसी विशेष हल के योग के बराबर होता है वाई (एक्स)और इसके अनुरूप सजातीय समीकरण का सामान्य हल:

यदि गुणांक p o (x), p 1 (x),..., p n (x) स्थिरांक हैं, तो (9.2)

(9.4) को रैखिक अवकल समीकरण कहते हैं स्थिर गुणांकगण एन .

(9.4) के लिए इसका रूप है:

हम व्यापकता के नुकसान के बिना p o = 1 सेट कर सकते हैं और (9.5) को रूप में लिख सकते हैं

हम y = e kx के रूप में एक समाधान (9.6) की तलाश करेंगे, जहां k एक स्थिरांक है। हमारे पास है: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx। प्राप्त व्यंजकों को (9.6) में प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होगा:

(9.7) एक बीजीय समीकरण है, इसका अज्ञात है क, विशेषता कहलाती है। अभिलक्षणिक समीकरण की घात होती है एनतथा एनजड़ें, जिनमें से कई और जटिल दोनों हो सकते हैं। मान लीजिए k 1, k 2 ,..., k n वास्तविक और भिन्न हैं, तो विशेष समाधान हैं (9.7), जबकि सामान्य

स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें:

इसकी विशेषता समीकरण का रूप है

(9.9)

इसका विभेदक D = p 2 - 4q, D के चिन्ह के आधार पर, तीन स्थितियाँ संभव हैं।

1. यदि D>0, तो मूल k 1 और k 2 (9.9) वास्तविक और भिन्न हैं, और सामान्य समाधान का रूप है:

समाधान।अभिलक्षणिक समीकरण: k 2 + 9 = 0, जहाँ से k = ± 3i, a = 0, b = 3, सामान्य हल है:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x।

दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों का उपयोग माल के स्टॉक के साथ एक वेब-जैसे आर्थिक मॉडल का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जहां मूल्य पी के परिवर्तन की दर स्टॉक के आकार पर निर्भर करती है (पैराग्राफ 10 देखें)। यदि आपूर्ति और मांग कीमत के रैखिक कार्य हैं, अर्थात,

ए - एक स्थिरांक है जो प्रतिक्रिया दर निर्धारित करता है, फिर मूल्य परिवर्तन की प्रक्रिया को एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:

किसी विशेष समाधान के लिए, आप एक स्थिरांक ले सकते हैं

जिसका अर्थ संतुलन कीमत है। विचलन सजातीय समीकरण को संतुष्ट करता है

(9.10)

विशेषता समीकरण निम्नलिखित होगा:

मामले में, शब्द सकारात्मक है। निरूपित . जड़ों विशेषता समीकरण k 1,2 = ± i w, इसलिए सामान्य समाधान (9.10) का रूप है:

जहां सी और मनमानी स्थिरांक, वे प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। हमने समय में मूल्य परिवर्तन का नियम प्राप्त कर लिया है:

अपना अंतर समीकरण दर्ज करें, एपोस्ट्रोफ """ का उपयोग व्युत्पन्न में प्रवेश करने के लिए किया जाता है, सबमिट दबाएं और समाधान प्राप्त करें

पहले क्रम के अंतर समीकरण। समाधान उदाहरण।
वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण (DE)। ये दो शब्द आम तौर पर औसत आम आदमी को डराते हैं। कई छात्रों के लिए डिफरेंशियल इक्वेशन कुछ अपमानजनक और मास्टर करना मुश्किल लगता है। Uuuuuu… डिफरेंशियल इक्वेशन्स, मैं इन सब से कैसे बचूंगा?!

ऐसी राय और ऐसा रवैया मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि वास्तव में विभेदक समीकरण सरल और मजेदार भी होते हैं. अंतर समीकरणों को हल करने के लिए आपको क्या जानने और सीखने में सक्षम होने की आवश्यकता है? के लिये सफल अध्ययनडिफ्यूरेंट आपको एकीकृत और विभेदित करने में अच्छा होना चाहिए। बेहतर विषयों का अध्ययन किया जाता है एक चर के एक फलन का व्युत्पन्नतथा अनिश्चितकालीन अभिन्न, अवकल समीकरणों को समझना उतना ही आसान होगा। मैं और अधिक कहूंगा, यदि आपके पास कम या ज्यादा सभ्य एकीकरण कौशल है, तो विषय व्यावहारिक रूप से महारत हासिल है! विभिन्न प्रकार के जितने अधिक समाकलन आप हल कर सकते हैं, उतना ही अच्छा है। क्यों? आपको बहुत कुछ एकीकृत करना होगा। और अंतर करें। भी अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैखोजना सीखो।

95% मामलों में नियंत्रण कार्यप्रथम-क्रम अंतर समीकरण 3 प्रकार के होते हैं: वियोज्य समीकरण, जिसे हम इस पाठ में शामिल करेंगे; सजातीय समीकरणतथा रैखिक अमानवीय समीकरण. डिफ्यूज़र का अध्ययन करने वाले शुरुआती लोगों के लिए, मैं आपको इस क्रम में पाठ पढ़ने की सलाह देता हूं, और पहले दो लेखों का अध्ययन करने के बाद, एक अतिरिक्त कार्यशाला में अपने कौशल को मजबूत करने में कोई दिक्कत नहीं होगी - समीकरण जो सजातीय को कम करते हैं.

और भी दुर्लभ प्रकार के अंतर समीकरण हैं: कुल अंतर में समीकरण, बर्नौली के समीकरण, और कुछ अन्य। पिछले दो प्रकारों में सबसे महत्वपूर्ण समीकरण हैं कुल अंतर, क्योंकि इस DE के अतिरिक्त मैं मानता हूँ नई सामग्री – आंशिक एकीकरण.

अगर आपके पास सिर्फ एक या दो दिन बचे हैं, फिर अल्ट्रा-फास्ट तैयारी के लिएवहाँ है ब्लिट्ज कोर्सपीडीएफ प्रारूप में।

तो, स्थलचिह्न निर्धारित हैं - चलो चलते हैं:

आइए पहले हम सामान्य बीजीय समीकरणों को याद करें। उनमें चर और संख्याएँ होती हैं। सबसे सरल उदाहरण: . साधारण समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है ढूँढना संख्याओं का समूहजो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। यह देखना आसान है कि बच्चों के समीकरण का एक ही मूल है: . मज़े के लिए, आइए एक जाँच करें, हमारे समीकरण में पाए गए रूट को प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया जाता है।

डिफ्यूज़ को उसी तरह से व्यवस्थित किया जाता है!

अंतर समीकरण पहले के आदेशमें सामान्य मामला रोकना:
1) स्वतंत्र चर;
2) आश्रित चर (फ़ंक्शन);
3) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न:।

पहले क्रम के कुछ समीकरणों में, "x" या (और) "y" नहीं हो सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है - महत्वपूर्णताकि डीयू में थापहला व्युत्पन्न, और नहीं थाउच्च आदेशों के डेरिवेटिव - आदि।

मतलब क्या है ?डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करने का मतलब है ढूँढना सभी कार्यों का सेटजो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। कार्यों के इस तरह के एक सेट में अक्सर रूप होता है ( एक मनमाना स्थिरांक है), जिसे कहा जाता है अंतर समीकरण का सामान्य समाधान.

उदाहरण 1

अंतर समीकरण हल करें

पूरा गोला बारूद। कहाँ से शुरू करें समाधान?

सबसे पहले, आपको व्युत्पन्न को थोड़े अलग रूप में फिर से लिखना होगा। हम बोझिल संकेतन को याद करते हैं, जिसे आप में से कई लोगों ने शायद हास्यास्पद और अनावश्यक समझा था। यह है कि विसारकों में नियम!

दूसरे चरण में, देखते हैं कि क्या यह संभव है विभाजित चर?चरों को अलग करने का क्या अर्थ है? मोटे तौर पर बोल, बायीं तरफ परहमें जाने की जरूरत है केवल "खेल", एक दाहिने तरफ़व्यवस्थित केवल x's. "स्कूल" जोड़तोड़ की मदद से चर का पृथक्करण किया जाता है: कोष्ठक, एक संकेत परिवर्तन के साथ एक भाग से दूसरे भाग में शब्दों का स्थानांतरण, अनुपात के नियम के अनुसार भाग से भाग में कारकों का स्थानांतरण, आदि।

विभेदक और पूर्ण गुणक हैं और शत्रुता में सक्रिय भागीदार हैं। इस उदाहरण में, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को फ़्लिप करके चर को आसानी से अलग किया जाता है:

चर अलग हो गए हैं। बाईं ओर - केवल "गेम", दाईं ओर - केवल "X"।

अगला पड़ाव - अंतर समीकरण एकीकरण. यह आसान है, हम दोनों हिस्सों पर इंटीग्रल लटकाते हैं:

बेशक, अभिन्न लिया जाना चाहिए। इस मामले में, वे सारणीबद्ध हैं:

जैसा कि हमें याद है, किसी भी प्रतिअवकलन को नियतांक नियत किया जाता है। यहाँ दो समाकल हैं, लेकिन एक बार स्थिरांक लिखने के लिए पर्याप्त है (क्योंकि एक अचर + एक अचर अभी भी दूसरे अचर के बराबर है). ज्यादातर मामलों में, इसे में रखा जाता है दाईं ओर.

कड़ाई से बोलते हुए, इंटीग्रल लेने के बाद, डिफरेंशियल इक्वेशन को हल माना जाता है। केवल एक चीज यह है कि हमारे "y" को "x" के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है, अर्थात समाधान प्रस्तुत किया जाता है निहित मेंप्रपत्र। अवकल समीकरण का निहित हल कहलाता है अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन. अर्थात् सामान्य समाकलन है।

इस रूप में एक उत्तर काफी स्वीकार्य है, लेकिन क्या कोई बेहतर विकल्प है? आइए प्राप्त करने का प्रयास करें सामान्य निर्णय.

कृप्या, पहली तकनीक याद रखें, यह बहुत आम है और अक्सर व्यावहारिक कार्यों में उपयोग किया जाता है: यदि एकीकरण के बाद दाईं ओर एक लघुगणक दिखाई देता है, तो कई मामलों में (लेकिन हमेशा नहीं!) लघुगणक के तहत स्थिरांक लिखना भी उचित है.

वह है, के बजायरिकॉर्ड आमतौर पर लिखे जाते हैं .

इसकी आवश्यकता क्यों है? और "y" को व्यक्त करना आसान बनाने के लिए। हम लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

अब लघुगणक और मॉड्यूल को हटाया जा सकता है:

समारोह को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है। यह सामान्य समाधान है।

उत्तर: आम निर्णय: .

कई अंतर समीकरणों के उत्तरों की जांच करना काफी आसान है। हमारे मामले में, यह काफी सरलता से किया जाता है, हम पाया गया समाधान लेते हैं और इसे अलग करते हैं:

फिर हम व्युत्पन्न को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त की जाती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाधान समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसे जांचना आवश्यक था।

स्थिरांक देना विभिन्न अर्थ, आप असीम रूप से कई प्राप्त कर सकते हैं निजी निर्णयअंतर समीकरण। यह स्पष्ट है कि कोई भी कार्य, आदि। अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है।

कभी-कभी सामान्य समाधान कहा जाता है कार्यों का परिवार. इस उदाहरण में, सामान्य समाधान - यह एक परिवार है रैखिक कार्य, या यों कहें, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का परिवार।

पहले उदाहरण की विस्तृत चर्चा के बाद, कुछ का उत्तर देना उचित होगा भोले प्रश्नअंतर समीकरणों के बारे में:

1)इस उदाहरण में, हम वेरिएबल्स को अलग करने में कामयाब रहे। क्या ऐसा करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं। और इससे भी अधिक बार चरों को अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, में सजातीय प्रथम कोटि समीकरणपहले बदला जाना चाहिए। अन्य प्रकार के समीकरणों में, उदाहरण के लिए, पहले क्रम के एक रैखिक गैर-समरूप समीकरण में, आपको एक सामान्य समाधान खोजने के लिए विभिन्न युक्तियों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। पहले पाठ में हम जिन वियोज्य चर समीकरणों पर विचार करते हैं, वे सबसे सरल प्रकार के अवकल समीकरण हैं।

2) क्या अंतर समीकरण को एकीकृत करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं। एक "फैंसी" समीकरण के साथ आना बहुत आसान है जिसे एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसके अलावा, ऐसे इंटीग्रल हैं जिन्हें नहीं लिया जा सकता है। लेकिन ऐसे डीई को विशेष तरीकों का उपयोग करके लगभग हल किया जा सकता है। डी'अलेम्बर्ट और कॉची गारंटी ... ... उघ, लर्कमोर.तो मैंने अभी बहुत कुछ पढ़ा है, मैंने लगभग "दूसरी दुनिया से" जोड़ा है।

3) इस उदाहरण में, हमने एक सामान्य समाकल के रूप में एक हल प्राप्त किया है . क्या सामान्य समाकलन से एक सामान्य हल खोजना संभव है, अर्थात् "y" को स्पष्ट रूप में व्यक्त करना?नहीं हमेशा नहीं। उदाहरण के लिए: । खैर, मैं यहाँ "y" कैसे व्यक्त कर सकता हूँ?! ऐसे मामलों में, उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, कभी-कभी एक सामान्य समाधान पाया जा सकता है, लेकिन यह इतना बोझिल और अनाड़ी रूप से लिखा गया है कि उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ना बेहतर है।

4) ... शायद अभी के लिए पर्याप्त है। पहले उदाहरण में, हम मिले एक और महत्वपूर्ण बिंदु, लेकिन हिमस्खलन के साथ "डमी" को कवर नहीं करने के लिए नई जानकारीमैं इसे अगले पाठ तक छोड़ दूँगा।

चलो जल्दी मत करो। एक और सरल रिमोट कंट्रोल और दूसरा विशिष्ट समाधान:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता हो

समाधान: शर्त के अनुसार इसे खोजना आवश्यक है निजी समाधान DE जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। इस प्रकार की पूछताछ को भी कहा जाता है कौची समस्या.

सबसे पहले, हम एक सामान्य समाधान पाते हैं। समीकरण में कोई "x" चर नहीं है, लेकिन यह शर्मनाक नहीं होना चाहिए, मुख्य बात यह है कि इसका पहला व्युत्पन्न है।

हम व्युत्पन्न को आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं:

जाहिर है, चर को विभाजित किया जा सकता है, लड़कों को बाईं ओर, लड़कियों को दाईं ओर:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यहां मैंने एक उच्चारण तारे के साथ एक स्थिरांक खींचा, तथ्य यह है कि बहुत जल्द यह एक और स्थिरांक में बदल जाएगा।

अब हम सामान्य समाकलन को एक सामान्य समाधान में बदलने का प्रयास कर रहे हैं (स्पष्ट रूप से "y" व्यक्त करें)। हम पुराने, अच्छे, स्कूल को याद करते हैं: . इस मामले में:

संकेतक में स्थिरांक किसी तरह कोषेर नहीं दिखता है, इसलिए इसे आमतौर पर स्वर्ग से पृथ्वी पर उतारा जाता है। विस्तार से ऐसा होता है। डिग्री के गुण का उपयोग करते हुए, हम फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

यदि एक अचर है, तो कुछ अचर भी है, इसे अक्षर के साथ फिर से नामित करें:

याद रखें एक स्थिरांक का "विध्वंस" है दूसरी तकनीक, जिसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के दौरान किया जाता है।

तो सामान्य समाधान है: घातीय कार्यों का इतना अच्छा परिवार।

अंतिम चरण में, आपको एक विशेष समाधान खोजने की आवश्यकता है जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। यह सरल भी है।

कार्य क्या है? लेने की जरूरत है ऐसाशर्त को संतुष्ट करने के लिए स्थिरांक का मान।

आप इसे अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं, लेकिन सबसे अधिक समझने योग्य, शायद, ऐसा होगा। सामान्य समाधान में, "x" के बजाय, हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और "y" के बजाय, दो:



वह है,

मानक डिजाइन संस्करण:

अब हम सामान्य समाधान में स्थिरांक के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
- यह वह विशेष समाधान है जिसकी हमें आवश्यकता है।

उत्तर: निजी समाधान:

चलो एक चेक करते हैं। किसी विशेष समाधान के सत्यापन में दो चरण शामिल हैं:

सबसे पहले, यह जांचना आवश्यक है कि क्या पाया गया विशेष समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है? "x" के बजाय हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:
- हाँ, वास्तव में, एक ड्यूस प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक स्थिति संतुष्ट है।

दूसरा चरण पहले से ही परिचित है। हम परिणामी विशेष समाधान लेते हैं और व्युत्पन्न पाते हैं:

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है।

निष्कर्ष: विशेष समाधान सही ढंग से पाया जाता है।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 3

अंतर समीकरण हल करें

समाधान:हम व्युत्पन्न को उस रूप में फिर से लिखते हैं जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

यह आकलन करना कि क्या चर को अलग किया जा सकता है? कर सकना। हम दूसरे पद को एक संकेत परिवर्तन के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

और हम अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को पलटते हैं:

चर अलग हो गए हैं, आइए दोनों भागों को एकीकृत करें:

मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, न्याय का दिन आ रहा है। अगर आपने अच्छी तरह से नहीं सीखा है अनिश्चित समाकलन, कुछ उदाहरणों को हल किया, फिर कहीं जाना नहीं है - अब आपको उनमें महारत हासिल करनी होगी।

लेफ्ट साइड का इंटीग्रल खोजना आसान है, कोटेंजेंट के इंटीग्रल के साथ हम उस मानक तकनीक से निपटते हैं जिसे हमने पाठ में माना था त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरणपिछले साल:

दाईं ओर, हमारे पास एक लघुगणक है, और, मेरी पहली तकनीकी अनुशंसा के अनुसार, लघुगणक के नीचे स्थिरांक भी लिखा जाना चाहिए।

अब हम सामान्य समाकलन को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूंकि हमारे पास केवल लघुगणक हैं, इसलिए उनसे छुटकारा पाना काफी संभव (और आवश्यक) है। का उपयोग करके ज्ञात गुणलघुगणक को अधिकतम रूप से "पैक" करें। मैं विस्तार से लिखूंगा:

पैकेजिंग पूरी तरह से खराब होने के लिए तैयार है:

क्या "y" को व्यक्त करना संभव है? कर सकना। दोनों भागों को चौकोर होना चाहिए।

लेकिन आपको नहीं करना है।

तीसरा टेक टिप:यदि एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए आपको किसी शक्ति को बढ़ाने या जड़ें जमाने की आवश्यकता है, तो अधिकतर मामलों मेंआपको इन कार्यों से बचना चाहिए और उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ देना चाहिए। तथ्य यह है कि सामान्य समाधान सिर्फ भयानक लगेगा - साथ बड़ी जड़ें, संकेत और अन्य कचरा।

इसलिए, हम उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में लिखते हैं। अच्छा स्वरइसे रूप में निरूपित करने के लिए माना जाता है, अर्थात दाईं ओर, यदि संभव हो तो, केवल एक स्थिरांक छोड़ दें। ऐसा करना जरूरी नहीं है, लेकिन प्रोफेसर को खुश करना हमेशा फायदेमंद होता है ;-)

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

! टिप्पणी: किसी भी समीकरण का सामान्य समाकल एक से अधिक तरीकों से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, यदि आपका परिणाम पहले से ज्ञात उत्तर से मेल नहीं खाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपने समीकरण को गलत तरीके से हल किया है।

सामान्य इंटीग्रल को भी काफी आसानी से चेक किया जाता है, मुख्य बात यह है कि खोजने में सक्षम होना परोक्ष रूप से परिभाषित एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. आइए उत्तर को अलग करें:

हम दोनों पदों को इससे गुणा करते हैं:

और हम इसके द्वारा विभाजित करते हैं:

मूल अंतर समीकरण बिल्कुल प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि सामान्य अभिन्न सही ढंग से पाया गया था।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता हो। एक चेक चलाएँ।

यह स्वयं का उदाहरण है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि एल्गोरिथ्म में दो चरण होते हैं:
1) एक सामान्य समाधान खोजना;
2) आवश्यक विशेष समाधान खोजना।

जांच भी दो चरणों में की जाती है (उदाहरण संख्या 2 में नमूना देखें), आपको चाहिए:
1) सुनिश्चित करें कि पाया गया विशेष समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है;
2) जाँच करें कि कोई विशेष हल आम तौर पर अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है।

पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

उदाहरण 5

अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात कीजिए , प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट . एक चेक चलाएँ।

समाधान:सबसे पहले, आइए एक सामान्य समाधान खोजें। इस समीकरण में पहले से ही तैयार अंतर शामिल हैं और, जिसका अर्थ है कि समाधान सरल है। चर अलग करना:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

बायीं ओर का समाकल सारणीबद्ध है, दायीं ओर का समाकल लिया गया है अंतर के संकेत के तहत फ़ंक्शन को सारांशित करने की विधि:

सामान्य समाकलन प्राप्त कर लिया गया है, क्या सामान्य हल को सफलतापूर्वक व्यक्त करना संभव है? कर सकना। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं। चूंकि वे सकारात्मक हैं, मॉड्यूल संकेत बेमानी हैं:

(उम्मीद करता हूं कि हर कोई परिवर्तन को समझता है, ऐसी बातें पहले से ही पता होनी चाहिए)

तो सामान्य समाधान है:

आइए दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें।
सामान्य समाधान में, "x" के बजाय, हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और "y" के बजाय, दो का लघुगणक:

अधिक परिचित डिजाइन:

हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं।

उत्तर:निजी समाधान:

जांचें: सबसे पहले, जांचें कि प्रारंभिक शर्त पूरी हुई है या नहीं:
- सबकुछ ठीक है।

अब देखते हैं कि पाया गया विशेष हल अवकल समीकरण को बिल्कुल संतुष्ट करता है या नहीं। हम व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए मूल समीकरण को देखें: - इसे अंतरों में प्रस्तुत किया जाता है। जाँच करने के दो तरीके हैं। पाए गए व्युत्पन्न से अंतर को व्यक्त करना संभव है:

हम मूल समीकरण में पाए गए विशेष समाधान और परिणामी अंतर को प्रतिस्थापित करते हैं :

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि विशेष समाधान सही पाया जाता है।

जाँच का दूसरा तरीका प्रतिबिंबित और अधिक परिचित है: समीकरण से व्युत्पन्न को व्यक्त करें, इसके लिए हम सभी टुकड़ों को विभाजित करते हैं:

और रूपांतरित DE में हम प्राप्त विशेष समाधान और पाए गए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं। सरलीकरण के परिणामस्वरूप सही समानता भी प्राप्त की जानी चाहिए।

उदाहरण 6

विभेदक समीकरण को हल करें। उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में व्यक्त कीजिए।

यह पाठ के अंत में आत्म-समाधान, पूर्ण समाधान और उत्तर के लिए एक उदाहरण है।

वियोज्य चरों के साथ अवकल समीकरणों को हल करने में किन कठिनाइयों का इंतजार है?

1) यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता (विशेषकर एक चायदानी के लिए) कि चर को अलग किया जा सकता है। विचार करना सशर्त उदाहरण: . यहां आपको कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालने की आवश्यकता है: और जड़ों को अलग करें:। आगे कैसे बढ़ना है यह स्पष्ट है।

2) एकीकरण में ही कठिनाइयाँ। इंटीग्रल अक्सर सबसे सरल नहीं होते हैं, और अगर खोजने के कौशल में खामियां हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो यह कई डिफ्यूज़र के साथ मुश्किल होगा। इसके अलावा, तर्क "चूंकि अंतर समीकरण सरल है, तो इंटीग्रल को अधिक जटिल होने दें" संग्रह और मैनुअल के संकलनकर्ताओं के बीच लोकप्रिय है।

3) एक स्थिरांक के साथ परिवर्तन। जैसा कि सभी ने देखा है, अंतर समीकरणों में एक स्थिरांक को काफी स्वतंत्र रूप से नियंत्रित किया जा सकता है, और कुछ परिवर्तन हमेशा एक शुरुआत के लिए स्पष्ट नहीं होते हैं। आइए एक और काल्पनिक उदाहरण देखें: . इसमें, सभी पदों को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . परिणामी स्थिरांक भी किसी प्रकार का स्थिरांक है, जिसे निम्न द्वारा दर्शाया जा सकता है: . हां, और चूंकि दाईं ओर एक लघुगणक है, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि स्थिरांक को दूसरे स्थिरांक के रूप में फिर से लिखा जाए: .

परेशानी यह है कि वे अक्सर सूचकांकों से परेशान नहीं होते हैं और एक ही अक्षर का उपयोग करते हैं। परिणामस्वरूप, निर्णय रिकॉर्ड निम्नलिखित रूप लेता है:

क्या विधर्म? यहाँ त्रुटियाँ हैं! कड़ाई से बोलते हुए, हाँ। हालांकि, एक वास्तविक दृष्टिकोण से, कोई त्रुटि नहीं है, क्योंकि एक चर स्थिरांक के परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक चर स्थिरांक अभी भी प्राप्त होता है।

या एक अन्य उदाहरण, मान लीजिए कि समीकरण को हल करने के क्रम में, एक सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यह उत्तर बदसूरत लगता है, इसलिए प्रत्येक पद के चिन्ह को बदलने की सलाह दी जाती है: . औपचारिक रूप से, फिर से एक त्रुटि है - इसे दाईं ओर लिखा जाना चाहिए। लेकिन यह अनौपचारिक रूप से निहित है कि "माइनस सीई" अभी भी स्थिर है ( जो किसी भी मूल्य को भी लेता है!), इसलिए "माइनस" डालने का कोई मतलब नहीं है और आप उसी अक्षर का उपयोग कर सकते हैं।

मैं एक लापरवाह दृष्टिकोण से बचने की कोशिश करूंगा, और फिर भी उन्हें परिवर्तित करते समय स्थिरांक के लिए अलग-अलग अनुक्रमणिका डालूंगा।

उदाहरण 7

विभेदक समीकरण को हल करें। एक चेक चलाएँ।

समाधान:यह समीकरण चरों के पृथक्करण को स्वीकार करता है। चर अलग करना:

हम एकीकृत करते हैं:

यहां स्थिरांक को लघुगणक के तहत परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इससे कुछ भी अच्छा नहीं होगा।

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

जाँच करें: उत्तर को अलग करें (अंतर्निहित कार्य):

हम भिन्नों से छुटकारा पाते हैं, इसके लिए हम दोनों पदों को गुणा करते हैं:

मूल अवकल समीकरण प्राप्त कर लिया गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकल सही पाया गया है।

उदाहरण 8

DE का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए।
,

यह स्वयं का उदाहरण है। एकमात्र संकेत यह है कि यहां आपको एक सामान्य अभिन्न अंग मिलता है, और, अधिक सही ढंग से, आपको एक विशेष समाधान खोजने के लिए प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन निजी अभिन्न. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

यह लेख अंतर समीकरणों के सिद्धांत के अध्ययन में एक प्रारंभिक बिंदु है। यहां मुख्य परिभाषाएं और अवधारणाएं एकत्र की गई हैं जो पाठ में लगातार दिखाई देंगी। बेहतर आत्मसात और समझ के लिए, उदाहरण के साथ परिभाषाएँ प्रदान की जाती हैं।

विभेदक समीकरण (DE)- यह एक समीकरण है जिसमें व्युत्पन्न या अंतर के संकेत के तहत एक अज्ञात फ़ंक्शन शामिल होता है।

यदि अज्ञात फलन एक चर का फलन है, तो अवकल समीकरण कहलाता है साधारण(संक्षिप्त ओडीई - साधारण अंतर समीकरण)। यदि अज्ञात फलन अनेक चरों का फलन है, तो अवकल समीकरण कहलाता है आंशिक विभेदक समीकरण.

अवकल समीकरण में शामिल किसी अज्ञात फलन के अवकलज का अधिकतम क्रम कहलाता है अंतर समीकरण का क्रम.

यहां क्रमशः पहले, दूसरे और पांचवें क्रम के ओडीई के उदाहरण दिए गए हैं

दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरणों के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं

इसके अलावा, हम फॉर्म के nवें क्रम के केवल साधारण अंतर समीकरणों पर विचार करेंगे या , जहां (x, y) = 0 एक अज्ञात फलन है जिसे परोक्ष रूप से परिभाषित किया गया है (जब संभव हो, हम इसे स्पष्ट प्रतिनिधित्व y = f(x) में लिखेंगे)।

अवकल समीकरण के हल खोजने की प्रक्रिया कहलाती है अंतर समीकरण का एकीकरण.

एक विभेदक समीकरण को हल करना- यह निहित है दिया गया कार्य(x, y) = 0 (कुछ मामलों में, फ़ंक्शन y को तर्क x के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है), जो अंतर समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

टिप्पणी।

एक अवकल समीकरण का हल हमेशा एक पूर्व निर्धारित अंतराल X पर मांगा जाता है।

हम इसके बारे में अलग से क्यों बात कर रहे हैं? हां, क्योंकि कई समस्याओं की स्थितियों में अंतराल X का उल्लेख नहीं किया जाता है। यही है, आमतौर पर समस्याओं की स्थिति निम्नानुसार तैयार की जाती है: "साधारण अंतर समीकरण का समाधान खोजें" ". इस मामले में, यह समझा जाता है कि सभी x के लिए समाधान मांगा जाना चाहिए जिसके लिए वांछित कार्य y और मूल समीकरण दोनों समझ में आते हैं।

अवकल समीकरण के हल को अक्सर कहा जाता है अंतर समीकरण अभिन्न.

फलन या अवकल समीकरण का हल कहा जा सकता है।

विभेदक समीकरण के समाधानों में से एक फलन है। वास्तव में, इस फ़ंक्शन को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पहचान प्राप्त करते हैं . यह देखना आसान है कि इस ODE का एक अन्य समाधान है, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार, अवकल समीकरणों के कई हल हो सकते हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य हलबिना किसी अपवाद के इस अंतर समीकरण के सभी समाधानों वाले समाधानों का समूह है।

अवकल समीकरण का सामान्य हल भी कहा जाता है अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन.

आइए उदाहरण पर वापस जाएं। अवकल समीकरण के सामान्य हल का रूप या है, जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। ऊपर, हमने इस ओडीई के दो समाधानों का संकेत दिया है, जो क्रमशः सी = 0 और सी = 1 को प्रतिस्थापित करके अंतर समीकरण के सामान्य अभिन्न से प्राप्त होते हैं।

यदि किसी अवकल समीकरण का हल प्रारंभ में दी गई अतिरिक्त शर्तों को पूरा करता है, तो इसे कहते हैं अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान.

अवकल समीकरण का एक विशेष हल जो y(1)=1 शर्त को संतुष्ट करता है, वह है। सचमुच, तथा .

अवकल समीकरणों के सिद्धांत की मुख्य समस्याएँ हैं कॉची समस्याएँ, सीमा मान समस्याएँ और किसी दिए गए अंतराल X पर किसी अवकल समीकरण का सामान्य हल ढूँढ़ने की समस्याएँ।

कौची समस्याएक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या है जो दिए गए को संतुष्ट करता है आरंभिक स्थितियां, संख्याएं कहां हैं।

सीमा समस्याएक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या है जो सीमा बिंदुओं x 0 और x 1 पर अतिरिक्त शर्तों को पूरा करती है:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, जहां f 0 और f 1 दिए गए नंबर हैं।

सीमा मूल्य समस्या को अक्सर कहा जाता है सीमा मूल्य समस्या.

nवें क्रम का एक साधारण अवकल समीकरण कहलाता है रैखिक, अगर इसका रूप है, और गुणांक एकीकरण अंतराल पर तर्क x के निरंतर कार्य हैं।

विभेदक समीकरणों का समाधान। हमारे लिए धन्यवाद ऑनलाइन सेवाआप किसी भी प्रकार और जटिलता के अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं: अमानवीय, सजातीय, गैर-रैखिक, रैखिक, पहला, दूसरा क्रम, वियोज्य या गैर-वियोज्य चर के साथ, आदि। आप के साथ विश्लेषणात्मक रूप में अंतर समीकरणों का समाधान प्राप्त करते हैं विस्तृत विवरण. बहुत से लोग रुचि रखते हैं: अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करना क्यों आवश्यक है? इस प्रकार के समीकरण गणित और भौतिकी में बहुत आम हैं, जहाँ अंतर समीकरण की गणना के बिना कई समस्याओं को हल करना असंभव होगा। इसके अलावा, अर्थशास्त्र, चिकित्सा, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान और अन्य विज्ञानों में अंतर समीकरण आम हैं। इस तरह के समीकरण को ऑनलाइन हल करने से आपके कार्यों में बहुत सुविधा होती है, इससे सामग्री को बेहतर ढंग से समझना और स्वयं का परीक्षण करना संभव हो जाता है। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने के लाभ। एक आधुनिक गणितीय सेवा साइट आपको किसी भी जटिलता के अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देती है। जैसा कि आप जानते हैं, बड़ी संख्या में अवकल समीकरण होते हैं, और उनमें से प्रत्येक का अपना समाधान होता है। हमारी सेवा पर आप किसी भी आदेश और प्रकार के अंतर समीकरणों का समाधान ऑनलाइन पा सकते हैं। समाधान प्राप्त करने के लिए, हमारा सुझाव है कि आप प्रारंभिक डेटा भरें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। सेवा के संचालन में त्रुटियों को बाहर रखा गया है, इसलिए आप 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि आपको सही उत्तर मिला है। हमारी सेवा के साथ अंतर समीकरणों को हल करें। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करें। डिफ़ॉल्ट रूप से, ऐसे समीकरण में, y फ़ंक्शन x चर का एक फ़ंक्शन होता है। लेकिन आप अपना खुद का वैरिएबल पदनाम भी निर्धारित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप अंतर समीकरण में y(t) निर्दिष्ट करते हैं, तो हमारी सेवा स्वचालित रूप से निर्धारित करेगी कि y t चर का एक कार्य है। संपूर्ण अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में मौजूद फलन के अवकलज के अधिकतम क्रम पर निर्भर करेगा। ऐसे समीकरण को हल करने का अर्थ है वांछित फलन ज्ञात करना। हमारी सेवा आपको अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने में मदद करेगी। समीकरण को हल करने में आपकी ओर से अधिक प्रयास नहीं करना पड़ता है। आपको बस अपने समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को आवश्यक क्षेत्रों में दर्ज करना होगा और "समाधान" बटन पर क्लिक करना होगा। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में प्रवेश करते समय, इसे एक एस्ट्रोफ़े के साथ निरूपित करना आवश्यक है। कुछ ही सेकंड में आपके पास होगा विस्तृत समाधानअंतर समीकरण। हमारी सर्विस बिल्कुल फ्री है। वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण। यदि एक अवकल समीकरण में बाईं ओर एक व्यंजक है जो y पर निर्भर करता है, और दाईं ओर एक व्यंजक है जो x पर निर्भर करता है, तो ऐसे अवकल समीकरण को वियोज्य चरों के साथ कहा जाता है। बायीं ओर y का अवकलज हो सकता है, इस प्रकार के अवकल समीकरणों का हल y के फलन के रूप में होगा, जिसे समीकरण के दाहिने पक्ष के समाकलन द्वारा व्यक्त किया जाता है। यदि बाईं ओर y के किसी फलन का अंतर है, तो समीकरण के दोनों भाग एकीकृत हो जाते हैं। जब एक अवकल समीकरण में चरों को अलग नहीं किया जाता है, तो उन्हें एक अलग अंतर समीकरण प्राप्त करने के लिए विभाजित करने की आवश्यकता होगी। रैखिक अंतर समीकरण। एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि फलन और उसके सभी अवकलज प्रथम अंश में हों। सामान्य फ़ॉर्मसमीकरण: y'+a1(x)y=f(x)। f(x) और a1(x) x के सतत फलन हैं। इस प्रकार के विभेदक समीकरणों का समाधान अलग-अलग चर के साथ दो अंतर समीकरणों के एकीकरण के लिए कम हो जाता है। विभेदक समीकरण का क्रम। अवकल समीकरण पहले, दूसरे, n-वें क्रम का हो सकता है। अवकल समीकरण का क्रम उसमें निहित उच्चतम अवकलज का क्रम निर्धारित करता है। हमारी सेवा में आप अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं पहले ऑनलाइन, दूसरा, तीसरा, आदि। गण। समीकरण का हल कोई भी फलन y=f(x) होगा, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर आपको एक सर्वसमिका प्राप्त होगी। अवकल समीकरण का हल खोजने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं। कॉची समस्या। यदि, अवकल समीकरण के अलावा, प्रारंभिक स्थिति y(x0)=y0 निर्दिष्ट की जाती है, तो इसे कॉची समस्या कहा जाता है। संकेतक y0 और x0 को समीकरण के समाधान में जोड़ा जाता है और एक मनमाना स्थिरांक C का मान निर्धारित किया जाता है, और फिर C के इस मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान होता है। यह कॉची समस्या का समाधान है। कॉची समस्या को सीमा स्थितियों के साथ समस्या भी कहा जाता है, जो भौतिकी और यांत्रिकी में बहुत आम है। आपके पास कॉची समस्या को सेट करने का अवसर भी है, यानी समीकरण के सभी संभावित समाधानों से, एक विशेष चुनें जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।