सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली

सजातीय प्रणाली रेखीय समीकरणफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

स्पष्ट है कि इस मामले में , इसलिये इन निर्धारकों में से किसी एक स्तंभ के सभी अवयव शून्य के बराबर हैं।

चूंकि अज्ञात सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं , तो उस स्थिति में जब 0, सिस्टम का एक अद्वितीय शून्य समाधान होता है एक्स = आप = जेड= 0. हालांकि, कई समस्याओं में यह सवाल दिलचस्पी का है कि क्या एक सजातीय प्रणाली में शून्य के अलावा अन्य समाधान हैं।

प्रमेय।रैखिक प्रणाली के क्रम में सजातीय समीकरणएक गैर-शून्य समाधान है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि 0।

इसलिए, यदि सारणिक 0 है, तो निकाय में है केवल निर्णय. यदि 0 है, तो रैखिक समांगी समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।

उदाहरण।

Eigenvectors और मैट्रिक्स Eigenvalues

मान लीजिए एक वर्ग आव्यूह दिया गया है , एक्सकुछ मैट्रिक्स-कॉलम है जिसकी ऊंचाई मैट्रिक्स के क्रम से मेल खाती है ए. .

कई समस्याओं में, के लिए समीकरण पर विचार करना पड़ता है एक्स

जहां कुछ संख्या है। यह स्पष्ट है कि किसी भी के लिए इस समीकरण का एक शून्य हल होता है।

वह संख्या जिसके लिए इस समीकरण के शून्येतर हल हैं, कहलाती है eigenvalueमैट्रिक्स ए, एक एक्सऐसे को कहा जाता है खुद का वेक्टरमैट्रिक्स ए.

आइए मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर को खोजें ए. क्यों कि इ∙एक्स = एक्स, तो मैट्रिक्स समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है या . विस्तारित रूप में, इस समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। सचमुच .

और इसीलिए

तो, हमें निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली है एक्स 1, x2, एक्स 3वेक्टर एक्स. सिस्टम के गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर हो, अर्थात।

यह के संबंध में तीसरी डिग्री का समीकरण है। इसे कहते हैं विशेषता समीकरणमैट्रिक्स एऔर eigenvalues ​​को निर्धारित करने का कार्य करता है।

प्रत्येक eigenvalue λ एक eigenvector से मेल खाता है एक्स, जिनके निर्देशांक के संगत मान पर सिस्टम से निर्धारित किए जाते हैं।

उदाहरण।

वेक्टर बीजगणित। वेक्टर अवधारणा

भौतिकी की विभिन्न शाखाओं का अध्ययन करते समय, ऐसी मात्राएँ होती हैं जो पूरी तरह से उनके संख्यात्मक मूल्यों को निर्धारित करके निर्धारित की जाती हैं, उदाहरण के लिए, लंबाई, क्षेत्र, द्रव्यमान, तापमान, आदि। ऐसे मान अदिश कहलाते हैं। हालांकि, उनके अलावा, मात्राएं भी हैं, जिनके निर्धारण के लिए, संख्यात्मक मान के अलावा, अंतरिक्ष में उनकी दिशा जानना भी आवश्यक है, उदाहरण के लिए, शरीर पर कार्य करने वाला बल, गति और त्वरण जब शरीर अंतरिक्ष में गति करता है, तो तनाव चुंबकीय क्षेत्रअंतरिक्ष में दिए गए बिंदु पर, आदि। ऐसी मात्राओं को सदिश राशियाँ कहते हैं।

आइए एक कठोर परिभाषा पेश करें।

दिशात्मक खंडआइए एक खंड कहते हैं, जिसके सिरों के सापेक्ष यह ज्ञात होता है कि उनमें से कौन पहला है और कौन सा दूसरा है।

वेक्टरएक निर्देशित खंड कहा जाता है, जिसकी एक निश्चित लंबाई होती है, अर्थात। यह एक निश्चित लंबाई का एक खंड है, जिसमें इसे सीमित करने वाले बिंदुओं में से एक को शुरुआत के रूप में लिया जाता है, और दूसरा - अंत के रूप में। यदि एक एवेक्टर की शुरुआत है, बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, इसके अलावा, वेक्टर को अक्सर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। आकृति में, वेक्टर एक खंड द्वारा इंगित किया गया है, और इसकी दिशा एक तीर द्वारा इंगित की गई है।

मापांकया लंबावेक्टर को निर्देशित खंड की लंबाई कहा जाता है जो इसे परिभाषित करता है। द्वारा निरूपित || या ||.

तथाकथित शून्य सदिश, जिसका आरंभ और अंत मेल खाता है, को सदिश भी कहा जाएगा। यह अंकित है। शून्य सदिश की कोई निश्चित दिशा नहीं होती है और इसका मापांक शून्य के बराबर होता है ||=0.

सदिश और कहलाते हैं समरेखयदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। इस मामले में, यदि वैक्टर और समान रूप से निर्देशित हैं, तो हम इसके विपरीत लिखेंगे।

एक ही तल के समांतर सीधी रेखाओं पर स्थित सदिश कहलाते हैं समतलीय.

दो सदिश और कहलाते हैं बराबरयदि वे संरेख हैं, तो उनकी दिशा समान है, और लंबाई में बराबर हैं। इस मामले में, लिखें।

यह सदिशों की समानता की परिभाषा का अनुसरण करता है कि एक सदिश को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर अपनी उत्पत्ति रखकर अपने समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए.

वैक्टर पर रैखिक संचालन

1. एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना।

   एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल को कहा जाता है नया वेक्टरऐसा है कि:

   एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल किसके द्वारा निरूपित किया जाता है।

   

   उदाहरण के लिए,एक वेक्टर है जो वेक्टर के समान दिशा में इंगित करता है और वेक्टर की लंबाई आधा है।

   दर्ज किए गए ऑपरेशन में निम्नलिखित हैं गुण:

2. वैक्टर का जोड़।

   आज्ञा देना और दो मनमाना सदिश हो। एक मनमाना बिंदु लें हेऔर एक वेक्टर का निर्माण करें। उसके बाद, बिंदु से एवेक्टर को अलग रखें। पहले वेक्टर की शुरुआत को दूसरे के अंत से जोड़ने वाले वेक्टर को कहा जाता है जोड़इन वैक्टरों में से और निरूपित किया जाता है .

   

   सदिश योग की सूत्रबद्ध परिभाषा कहलाती है समांतर चतुर्भुज नियम, क्योंकि सदिशों का समान योग निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। बिंदु से अलग सेट करें हेवैक्टर और। इन सदिशों पर एक समांतर चतुर्भुज की रचना कीजिए ओएबीसी. सदिशों के बाद से सदिश, जो शीर्ष से खींचे गए समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है हे, स्पष्ट रूप से वैक्टर का योग होगा।

   

   निम्नलिखित की जांच करना आसान है वेक्टर जोड़ गुण.

3. वैक्टर का अंतर।

   किसी दिए गए सदिश के समरेखीय सदिश, लंबाई के बराबर और विपरीत दिशा में निर्देशित, कहलाता है विलोमएक वेक्टर के लिए वेक्टर और द्वारा निरूपित किया जाता है। विपरीत सदिश को = -1: संख्या से सदिश गुणन का परिणाम माना जा सकता है।

eigenvalues ​​​​(संख्या) और eigenvectors.
समाधान उदाहरण

वास्तविक बने रहें

दोनों समीकरणों से यह इस प्रकार है।

आइए फिर डालते हैं: .

नतीजतन: दूसरा eigenvector है।

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं का पुनर्कथन करें:

- परिणामी प्रणाली निश्चित रूप से है सामान्य निर्णय(समीकरण रैखिक रूप से निर्भर हैं);

- "Y" को इस तरह से चुना जाता है कि यह पूर्णांक हो और पहला "x" निर्देशांक पूर्णांक, धनात्मक और यथासंभव छोटा हो।

- हम जांचते हैं कि विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है।

उत्तर .

इंटरमीडिएट "चौकियों" काफी पर्याप्त थे, इसलिए समानता की जांच, सिद्धांत रूप में, अतिश्योक्तिपूर्ण है।

सूचना के विभिन्न स्रोतों में, eigenvectors के निर्देशांक अक्सर स्तंभों में नहीं, बल्कि पंक्तियों में लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए: (और सच कहूं तो मैं खुद उन्हें पंक्तियों में लिखता था). यह विकल्प स्वीकार्य है, लेकिन विषय के आलोक में रैखिक परिवर्तनतकनीकी रूप से उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक कॉलम वैक्टर.

शायद समाधान आपको बहुत लंबा लग रहा था, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि मैंने पहले उदाहरण पर बहुत विस्तार से टिप्पणी की है।

उदाहरण 2

मैट्रिक्स

हम अपने दम पर प्रशिक्षण लेते हैं! पाठ के अंत में कार्य के अंतिम डिजाइन का एक अनुमानित नमूना।

कभी-कभी आपको एक अतिरिक्त कार्य करने की आवश्यकता होती है, अर्थात्:

मैट्रिक्स का विहित अपघटन लिखें

यह क्या है?

यदि मैट्रिक्स eigenvectors बनते हैं आधार, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

eigenvectors के निर्देशांक से बना एक मैट्रिक्स कहाँ है, - विकर्णसंबंधित eigenvalues ​​​​के साथ मैट्रिक्स।

इस मैट्रिक्स अपघटन को कहा जाता है कैनन काया विकर्ण.

पहले उदाहरण के मैट्रिक्स पर विचार करें। उसके अपने वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र(गैर-समरेखीय) और एक आधार बनाते हैं। आइए उनके निर्देशांक से एक मैट्रिक्स बनाएं:

पर मुख्य विकर्णमैट्रिक्स उचित क्रम में eigenvalues ​​​​स्थित हैं, और शेष तत्व शून्य के बराबर हैं:
- एक बार फिर मैं आदेश के महत्व पर जोर देता हूं: "दो" 1 वेक्टर से मेल खाता है और इसलिए 1 कॉलम में स्थित है, "तीन" - दूसरे वेक्टर के लिए।

खोजने के लिए सामान्य एल्गोरिथम के अनुसार उलटा मैट्रिक्सया गॉस-जॉर्डन विधिपाना . नहीं, यह एक टाइपो नहीं है! - आपके सामने दुर्लभ है, जैसे सूर्य ग्रहणघटना जब व्युत्क्रम मूल मैट्रिक्स से मेल खाता है।

यह मैट्रिक्स के विहित अपघटन को लिखना बाकी है:

सिस्टम के साथ हल किया जा सकता है प्राथमिक परिवर्तनऔर निम्नलिखित उदाहरणों में हम इसका सहारा लेंगे यह विधि. लेकिन यहां "स्कूल" पद्धति बहुत तेजी से काम करती है। तीसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: - दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

चूंकि पहला निर्देशांक शून्य है, हम प्रत्येक समीकरण से एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसके अनुसार यह इस प्रकार है।

और फिर एक रैखिक संबंध की अनिवार्य उपस्थिति पर ध्यान दें. यदि केवल एक तुच्छ समाधान प्राप्त होता है , तो या तो eigenvalue गलत पाया गया था, या सिस्टम को एक त्रुटि के साथ संकलित / हल किया गया था।

कॉम्पैक्ट निर्देशांक मूल्य देता है

आइजेनवेक्टर:

और एक बार फिर, हम जाँचते हैं कि मिला समाधान सिस्टम के हर समीकरण को संतुष्ट करता है. निम्नलिखित पैराग्राफों और बाद के कार्यों में, मैं अनुशंसा करता हूं कि इस इच्छा को अनिवार्य नियम के रूप में स्वीकार किया जाए।

2) इसी सिद्धांत का पालन करते हुए, आइजनवैल्यू के लिए, हम निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: - तीसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

चूंकि "Z" निर्देशांक शून्य के बराबर है, हम प्रत्येक समीकरण से एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसमें से एक रैखिक निर्भरता अनुसरण करती है।

होने देना

हम जाँचते हैं कि समाधान सिस्टम के हर समीकरण को संतुष्ट करता है।

इस प्रकार, eigenvector:।

3) और, अंत में, सिस्टम अपने स्वयं के मूल्य से मेल खाता है:

दूसरा समीकरण सबसे सरल दिखता है, इसलिए हम इसे इससे व्यक्त करते हैं और इसे पहले और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

सब कुछ ठीक है - एक रैखिक निर्भरता का पता चला था, जिसे हम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

परिणामस्वरूप, "X" और "Y" को "Z": के माध्यम से व्यक्त किया गया। व्यवहार में, केवल ऐसे संबंधों को प्राप्त करना आवश्यक नहीं है; कुछ मामलों में या और के माध्यम से व्यक्त करना अधिक सुविधाजनक होता है। या यहां तक ​​कि एक "ट्रेन" - उदाहरण के लिए, "X" के माध्यम से "Y", और "Y" के माध्यम से "Z"

आइए फिर डालते हैं:

हम जाँचते हैं कि मिला समाधान सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है और तीसरा आइजनवेक्टर लिखता है

उत्तर: eigenvectors:

ज्यामितीय रूप से, ये वैक्टर तीन अलग-अलग स्थानिक दिशाओं को परिभाषित करते हैं ("वहाँ और वापस फिर से"), किसके अनुसार रैखिक परिवर्तनशून्येतर सदिशों (eigenvectors) को उनके समरेखीय सदिशों में बदल देता है।

यदि शर्त के अनुसार इसका विहित विस्तार ज्ञात करना आवश्यक था, तो यह यहाँ संभव है, क्योंकि विभिन्न eigenvalues ​​अलग रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors के अनुरूप हैं। हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं उनके निर्देशांक से, विकर्ण मैट्रिक्स से से मिलता जुलता eigenvalues ​​​​और खोजें उलटा मैट्रिक्स .

यदि शर्त के अनुसार लिखना आवश्यक हो तो eigenvectors के आधार पर रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स, तो हम फॉर्म में उत्तर देते हैं। एक अंतर है, और एक महत्वपूर्ण अंतर है!इसके लिए मैट्रिक्स मैट्रिक्स "डी" है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए सरल गणनाओं के साथ एक समस्या:

उदाहरण 5

मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक परिवर्तन के eigenvectors खोजें

अपने स्वयं के नंबर ढूंढते समय, केस को 3 डिग्री के बहुपद में न लाने का प्रयास करें। इसके अलावा, आपके सिस्टम समाधान मेरे समाधानों से भिन्न हो सकते हैं - यहां कोई स्पष्ट नहीं है; और जो सदिश आप पाते हैं, वे नमूना सदिशों से उनके संबंधित निर्देशांकों के अनुपातिकता तक भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, और। उत्तर को के रूप में प्रस्तुत करना सौंदर्य की दृष्टि से अधिक सुखद है, लेकिन यदि आप दूसरे विकल्प पर रुकते हैं तो कोई बात नहीं। हालाँकि, हर चीज़ की उचित सीमाएँ हैं, संस्करण अब बहुत अच्छा नहीं लगता है।

पाठ के अंत में सत्रीय कार्य का एक अनुमानित अंतिम नमूना।

एकाधिक eigenvalues ​​​​के मामले में समस्या को कैसे हल करें?

सामान्य एल्गोरिदम वही रहता है, लेकिन इसकी अपनी विशिष्टताएं होती हैं, और समाधान के कुछ हिस्सों को अधिक कठोर अकादमिक शैली में रखने की सलाह दी जाती है:

उदाहरण 6

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजें

समाधान

बेशक, आइए शानदार पहले कॉलम को कैपिटलाइज़ करें:

और, वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करने के बाद:

परिणामस्वरूप, eigenvalues ​​प्राप्त होते हैं, जिनमें से दो गुणक होते हैं।

आइए आइजेनवेक्टर खोजें:

1) हम एक "सरलीकृत" योजना के अनुसार एक अकेले सैनिक से निपटेंगे:

पिछले दो समीकरणों से, समानता स्पष्ट रूप से दिखाई देती है, जिसे जाहिर है, सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

कोई बेहतर संयोजन नहीं है:
आइजेनवेक्टर:

2-3) अब हम कुछ संतरी हटाते हैं। इस मामले में, यह हो सकता है या तो दो या एकआइजेनवेक्टर जड़ों की बहुलता के बावजूद, हम निर्धारक में मान को प्रतिस्थापित करते हैं , जो हमें निम्नलिखित लाता है रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली:

Eigenvectors बिल्कुल वैक्टर हैं
मौलिक निर्णय प्रणाली

दरअसल, पूरे पाठ के दौरान, हम केवल मौलिक प्रणाली के वैक्टर खोजने में लगे हुए थे। केवल कुछ समय के लिए, इस शब्द की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं थी। वैसे, वे चतुर छात्र जो छलावरण कोट में विषय से फिसल गए थे सजातीय समीकरण, अब इसे धूम्रपान करने के लिए मजबूर किया जाएगा।

केवल कार्रवाई अतिरिक्त लाइनों को हटाने की थी। परिणाम बीच में औपचारिक "चरण" के साथ "एक से तीन" मैट्रिक्स है।
- मूल चर, - मुक्त चर। दो मुक्त चर हैं, इसलिए मौलिक प्रणाली के दो वैक्टर भी हैं.

आइए मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करें: . "एक्स" के सामने शून्य कारक इसे बिल्कुल किसी भी मान पर लेने की अनुमति देता है (जो समीकरणों की प्रणाली से भी स्पष्ट रूप से दिखाई देता है)।

इस समस्या के संदर्भ में, सामान्य समाधान को एक पंक्ति में नहीं, बल्कि एक कॉलम में लिखना अधिक सुविधाजनक है:

जोड़ी एक eigenvector से मेल खाती है:
जोड़ी एक eigenvector से मेल खाती है:

टिप्पणी : परिष्कृत पाठक इन वैक्टर को मौखिक रूप से उठा सकते हैं - बस सिस्टम का विश्लेषण करके , लेकिन यहाँ कुछ ज्ञान की आवश्यकता है: तीन चर हैं, सिस्टम मैट्रिक्स रैंक- इकाई का अर्थ है मौलिक निर्णय प्रणाली 3 - 1 = 2 सदिशों से मिलकर बनता है। हालांकि, पाए गए वैक्टर इस ज्ञान के बिना भी पूरी तरह से सहज स्तर पर दिखाई दे रहे हैं। इस मामले में, तीसरा वेक्टर "और भी सुंदर" लिखा जाएगा: . हालांकि, मैं आपको चेतावनी देता हूं, एक अन्य उदाहरण में, एक साधारण चयन नहीं हो सकता है, यही वजह है कि आरक्षण अनुभवी लोगों के लिए है। इसके अलावा, तीसरे वेक्टर के रूप में क्यों नहीं लेते, कहते हैं, ? आखिरकार, इसके निर्देशांक सिस्टम के प्रत्येक समीकरण और वैक्टर को भी संतुष्ट करते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह विकल्प, सिद्धांत रूप में, उपयुक्त है, लेकिन "कुटिल" है, क्योंकि "अन्य" वेक्टर मौलिक प्रणाली के वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन है।

उत्तर: eigenvalues: , eigenvectors:

स्वयं करें समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 7

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजें

पाठ के अंत में परिष्करण का एक अनुमानित नमूना।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 6वें और 7वें दोनों उदाहरणों में, रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors का एक तिहाई प्राप्त किया जाता है, और इसलिए मूल मैट्रिक्स को विहित विस्तार में दर्शाया जा सकता है। लेकिन ऐसे रसभरी सभी मामलों में नहीं होते हैं:

उदाहरण 8

समाधान: अभिलक्षणिक समीकरण बनाएं और हल करें:

हम पहले कॉलम द्वारा निर्धारक का विस्तार करते हैं:

हम तीसरी डिग्री के बहुपद से बचते हुए, विचार की गई विधि के अनुसार और सरलीकरण करते हैं:

आइजनवैल्यू हैं।

आइए आइजेनवेक्टर खोजें:

1) जड़ के साथ कोई कठिनाई नहीं है:

हैरान मत होइए, किट के अलावा वेरिएबल्स भी इस्तेमाल में हैं- यहां कोई फर्क नहीं है।

तीसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं - हम पहले और दूसरे समीकरणों में स्थानापन्न करते हैं:

दोनों समीकरणों से निम्नानुसार है:

चलो फिर:

2-3) कई मानों के लिए, हमें सिस्टम मिलता है .

आइए हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं:

विकर्ण-प्रकार के मैट्रिसेस सबसे सरल रूप से व्यवस्थित होते हैं। सवाल यह उठता है कि क्या ऐसा आधार खोजना संभव है जिसमें रैखिक संचालिका के मैट्रिक्स का विकर्ण रूप हो। ऐसा आधार मौजूद है।
मान लीजिए कि एक रैखिक स्थान R n और इसमें कार्यरत एक रैखिक संकारक A दिया गया है; इस मामले में, ऑपरेटर A, R n को अपने आप में लेता है, अर्थात A:R n → R n।

परिभाषा। एक गैर-शून्य वेक्टर को ऑपरेटर ए का एक आइजनवेक्टर कहा जाता है यदि ऑपरेटर ए इसके लिए एक वेक्टर कॉललाइनर में अनुवाद करता है, अर्थात। संख्या को eigenvector के अनुरूप ऑपरेटर A का eigenvalue या eigenvalue कहा जाता है।
हम eigenvalues ​​और eigenvectors के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।
1. eigenvectors का कोई रैखिक संयोजन एक ही eigenvalue के अनुरूप ऑपरेटर A का eigenvector समान eigenvalue वाला एक eigenvector है।
2. आइजनवेक्टर संचालिका A, जोड़ीवार भिन्न eigenvalues ​​1 , 2 , …, m के साथ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
3. यदि eigenvalues ​​1 =λ 2 = m = , तो eigenvalue m से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से मेल नहीं खाता है।

इसलिए, यदि n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors हैं विभिन्न eigenvalues ​​​​ 1, λ 2, …, n के अनुरूप, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए, उन्हें अंतरिक्ष R n के आधार के रूप में लिया जा सकता है। आइए हम रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स के रूप को उसके आइजेनवेक्टर के आधार पर खोजें, जिसके लिए हम ऑपरेटर ए के साथ वैक्टर के आधार पर कार्य करते हैं: फिर .
इस प्रकार, रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स में इसके eigenvectors के आधार पर एक विकर्ण रूप होता है, और ऑपरेटर ए के eigenvalues ​​​​विकर्ण पर होते हैं।
क्या कोई अन्य आधार है जिसमें मैट्रिक्स का विकर्ण रूप है? इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय। आधार में एक रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स (i = 1..n) में एक विकर्ण रूप होता है यदि और केवल अगर आधार के सभी वैक्टर ऑपरेटर ए के आइजेनवेक्टर हैं।

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजने के लिए नियम

चलो वेक्टर , जहाँ x 1 , x 2 ,…, x n - आधार के सापेक्ष सदिश के निर्देशांक और रेखीय संकारक A का eigenvector है जो eigenvalue के संगत है, अर्थात । इस संबंध को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

. (*)

समीकरण (*) को खोजने के लिए एक समीकरण के रूप में माना जा सकता है, और, अर्थात, हम गैर-तुच्छ समाधानों में रुचि रखते हैं, क्योंकि आइजेनवेक्टर शून्य नहीं हो सकता। यह ज्ञात है कि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के गैर-तुच्छ समाधान मौजूद हैं यदि और केवल यदि det(A - E) = 0. इस प्रकार, λ के लिए ऑपरेटर A का एक आइजनवैल्यू होना आवश्यक और पर्याप्त है कि det(A - E) ) = 0.
यदि समीकरण (*) को निर्देशांक रूप में विस्तार से लिखा जाए, तो हमें रैखिक समांगी समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है:

(1)
कहाँ पे रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स है।

सिस्टम (1) का एक गैर-शून्य समाधान है यदि इसका निर्धारक डी शून्य के बराबर है

हमें eigenvalues ​​खोजने के लिए एक समीकरण मिला है।
इस समीकरण को अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है, और इसके बाईं ओर को मैट्रिक्स (ऑपरेटर) A का विशेषता बहुपद कहा जाता है। यदि विशेषता बहुपद की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो मैट्रिक्स A में कोई आइजनवेक्टर नहीं है और इसे विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।
मान लीजिए λ 1, λ 2, …, n अभिलक्षणिक समीकरण के वास्तविक मूल हैं, और उनमें गुणज भी हो सकते हैं। इन मूल्यों को बदले में सिस्टम (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम eigenvectors पाते हैं।

उदाहरण 12. रैखिक ऑपरेटर ए कानून के अनुसार आर 3 में कार्य करता है, जहां x 1, x 2, .., x n आधार में वेक्टर के निर्देशांक हैं , , . इस ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें।
समाधान। हम इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं:
.
हम eigenvectors के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली बनाते हैं:

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और इसे हल करते हैं:

.
1,2 = -1, 3 = 3।
सिस्टम में = -1 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:
या
इसलिये , तो दो आश्रित चर और एक मुक्त चर हैं।
मान लीजिए x 1 एक मुक्त अज्ञात है, तब हम इस प्रणाली को किसी भी तरह से हल करते हैं और इस प्रणाली का सामान्य समाधान ढूंढते हैं: मौलिक प्रणालीसमाधान में एक समाधान होता है, क्योंकि n - r = 3 - 2 = 1।
eigenvalue = -1 के अनुरूप eigenvectors के सेट का रूप है: , जहां x 1 शून्य के अलावा कोई भी संख्या है। आइए इस सेट से एक वेक्टर चुनें, उदाहरण के लिए, x 1 = 1 सेट करके: .
इसी तरह तर्क करते हुए, हम eigenvalue = 3 के अनुरूप eigenvector पाते हैं: .
अंतरिक्ष R 3 में आधार में तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर होते हैं, लेकिन हमने केवल दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजेनवेक्टर प्राप्त किए हैं, जिनसे R 3 में आधार नहीं बनाया जा सकता है। नतीजतन, एक रैखिक ऑपरेटर के मैट्रिक्स ए को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 13 एक मैट्रिक्स दिया गया .
1. सिद्ध कीजिए कि सदिश मैट्रिक्स A का एक eigenvector है। इस eigenvector के अनुरूप eigenvalue खोजें।
2. एक आधार खोजें जिसमें मैट्रिक्स A का विकर्ण रूप हो।
समाधान।
1. यदि , तो एक eigenvector है

.
सदिश (1, 8, -1) एक eigenvector है। आइजनवैल्यू = -1।
मैट्रिक्स के आधार में एक विकर्ण रूप है जिसमें eigenvectors शामिल हैं। उनमें से एक प्रसिद्ध है। चलिए बाकी ढूंढते हैं।
हम सिस्टम से eigenvectors की तलाश कर रहे हैं:

विशेषता समीकरण: ;
(3 + )[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
1 = -3, 2 = 1, 3 = -1।
eigenvalue = -3 के अनुरूप eigenvector खोजें:

इस प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है और अज्ञात की संख्या के बराबर है, इसलिए इस प्रणाली का केवल एक शून्य समाधान x 1 = x 3 = 0 है। x 2 यहां शून्य के अलावा कुछ भी हो सकता है, उदाहरण के लिए, x 2 = 1. इस प्रकार, सदिश (0,1,0) = -3 के संगत एक eigenvector है। चलो देखते है:
.
यदि = 1, तो हमें निकाय प्राप्त होता है
मैट्रिक्स की रैंक दो है। अंतिम समीकरण को पार करें।
मान लीजिए x 3 मुक्त अज्ञात है। फिर x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
x 3 = 1 मानते हुए, हमारे पास (-3,-9,1) - एक eigenvector है जो eigenvalue = 1 के अनुरूप है। जाँच करें:

.
चूंकि eigenvalues ​​​​वास्तविक और भिन्न हैं, उनके अनुरूप वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए उन्हें R 3 में आधार के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार, आधार में , , मैट्रिक्स ए का रूप है:
.
एक रैखिक संकारक A:R n → R n के प्रत्येक मैट्रिक्स को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि कुछ रैखिक ऑपरेटरों के लिए n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से कम हो सकते हैं। हालाँकि, यदि मैट्रिक्स सममित है, तो बिल्कुल m रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर गुणन m के विशेषता समीकरण की जड़ के अनुरूप हैं।

परिभाषा। एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित तत्व समान होते हैं, अर्थात जिसमें .
टिप्पणियां। 1. एक सममित मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।
2. एक सममित मैट्रिक्स के eigenvectors जोड़ीवार अलग-अलग eigenvalues ​​​​के अनुरूप ऑर्थोगोनल हैं।
अध्ययन किए गए उपकरण के कई अनुप्रयोगों में से एक के रूप में, हम दूसरे क्रम के वक्र के रूप को निर्धारित करने की समस्या पर विचार करते हैं।

"। पहले भाग में वे प्रावधान शामिल हैं जो कि केमोमेट्रिक्स को समझने के लिए न्यूनतम आवश्यक हैं, और दूसरे भाग में वे तथ्य शामिल हैं जिन्हें आपको बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के तरीकों की गहरी समझ के लिए जानना आवश्यक है। प्रस्तुति को एक्सेल वर्कबुक में किए गए उदाहरणों द्वारा चित्रित किया गया है। मैट्रिक्स.एक्सएलएसजो इस दस्तावेज़ के साथ है।

उदाहरणों के लिंक टेक्स्ट में एक्सेल ऑब्जेक्ट के रूप में रखे जाते हैं। ये उदाहरण अमूर्त प्रकृति के हैं; वे किसी भी तरह से विश्लेषणात्मक रसायन विज्ञान की समस्याओं से बंधे नहीं हैं। केमोमेट्रिक्स में मैट्रिक्स बीजगणित के उपयोग के वास्तविक उदाहरणों की चर्चा विभिन्न रसायनमितीय अनुप्रयोगों के लिए समर्पित अन्य ग्रंथों में की गई है।

विश्लेषणात्मक रसायन विज्ञान में किए गए अधिकांश माप प्रत्यक्ष नहीं हैं लेकिन अप्रत्यक्ष. इसका अर्थ है कि प्रयोग में वांछित विश्लेषिकी C (एकाग्रता) के मान के स्थान पर एक और मान प्राप्त होता है एक्स(सिग्नल) से संबंधित है लेकिन सी के बराबर नहीं है, यानी। एक्स(सी) ≠ सी। एक नियम के रूप में, निर्भरता का प्रकार एक्स(सी) ज्ञात नहीं है, लेकिन सौभाग्य से विश्लेषणात्मक रसायन विज्ञान में अधिकांश माप आनुपातिक हैं। इसका मतलब है कि C in . की सांद्रता के रूप में एकसमय, सिग्नल एक्स उसी राशि से बढ़ जाएगा, अर्थात। एक्स(एकसी) = एक एक्स(सी)। इसके अलावा, संकेत भी योगात्मक हैं, इसलिए सी 1 और सी 2 की सांद्रता वाले दो पदार्थों वाले नमूने से संकेत होगा योग के बराबर हैप्रत्येक घटक से संकेत, अर्थात्। एक्स(सी1 + सी2) = एक्स(सी1)+ एक्स(सी2)। आनुपातिकता और योगात्मकता एक साथ देते हैं रैखिकता. रैखिकता के सिद्धांत को स्पष्ट करने के लिए कई उदाहरण दिए जा सकते हैं, लेकिन यह दो सबसे अधिक का उल्लेख करने के लिए पर्याप्त है स्पष्ट उदाहरण- क्रोमैटोग्राफी और स्पेक्ट्रोस्कोपी। विश्लेषणात्मक रसायन विज्ञान में प्रयोग में निहित दूसरी विशेषता है मल्टी-चैनल. आधुनिक विश्लेषणात्मक उपकरण एक साथ कई चैनलों के लिए संकेतों को मापते हैं। उदाहरण के लिए, प्रकाश संचरण की तीव्रता को एक साथ कई तरंग दैर्ध्य के लिए मापा जाता है, अर्थात। स्पेक्ट्रम। इसलिए, प्रयोग में हम विभिन्न संकेतों के साथ काम कर रहे हैं एक्स 1 , एक्स 2 ,...., एक्स n अध्ययन के तहत प्रणाली में मौजूद पदार्थों के सांद्रता C 1, C 2, ..., C m के सेट की विशेषता है।

चावल। 1 स्पेक्ट्रा

तो, विश्लेषणात्मक प्रयोग को रैखिकता और बहुआयामीता की विशेषता है। इसलिए, प्रयोगात्मक डेटा को वैक्टर और मैट्रिक्स के रूप में मानना ​​​​और मैट्रिक्स बीजगणित के उपकरण का उपयोग करके उनमें हेरफेर करना सुविधाजनक है। इस उपागम की उपयोगिता को में दिखाए गए उदाहरण द्वारा दर्शाया गया है, जो 4000 से 4796 सेमी–1 तक 200 तरंग दैर्ध्य के लिए लिए गए तीन स्पेक्ट्रा को दर्शाता है। सबसे पहला ( एक्स 1) और दूसरा ( एक्स 2) स्पेक्ट्रा मानक नमूनों के लिए प्राप्त किए गए थे जिसमें दो पदार्थों ए और बी की सांद्रता ज्ञात है: पहले नमूने में [ए] = 0.5, [बी] = 0.1, और दूसरे नमूने में [ए] = 0.2, [ बी] = 0.6। एक नए, अज्ञात नमूने के बारे में क्या कहा जा सकता है, जिसके स्पेक्ट्रम का संकेत दिया गया है एक्स 3 ?

तीन प्रायोगिक स्पेक्ट्रा पर विचार करें एक्स 1 , एक्स 2 और एक्स 3 आयाम 200 के तीन वैक्टर के रूप में। रैखिक बीजगणित का उपयोग करके, कोई आसानी से दिखा सकता है कि एक्स 3 = 0.1 एक्स 1 +0.3 एक्स 2 , इसलिए तीसरे नमूने में स्पष्ट रूप से केवल पदार्थ A और B सांद्रता में हैं [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 और [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19।

1. बुनियादी जानकारी

1.1 मैट्रिक्स

आव्यूहउदाहरण के लिए, संख्याओं की एक आयताकार तालिका कहलाती है

चावल। 2 मैट्रिक्स

मैट्रिसेस को बड़े अक्षरों में दर्शाया जाता है ( ए), और उनके तत्व - संगत निचला मामलासूचकांकों के साथ, अर्थात्। एकआई.जी. पहली अनुक्रमणिका पंक्तियों की संख्या और दूसरी संख्या स्तंभों को। केमोमेट्रिक्स में, इंडेक्स के अधिकतम मूल्य को इंडेक्स के समान अक्षर के साथ नामित करने की प्रथा है, लेकिन बड़े अक्षरों में। इसलिए, मैट्रिक्स एके रूप में भी लिखा जा सकता है ( एक आईजेयू , मैं = 1,..., मैं; जे = 1,..., जे) उदाहरण के लिए मैट्रिक्स मैं = 4, जे= 3 और एक 23 = −7.5.

संख्याओं की जोड़ी मैंतथा जेमैट्रिक्स का आयाम कहा जाता है और इसे के रूप में दर्शाया जाता है मैं× जे. केमोमेट्रिक्स में मैट्रिक्स का एक उदाहरण के लिए प्राप्त स्पेक्ट्रा का एक सेट है मैंनमूने पर जेतरंग दैर्ध्य।

1.2. मैट्रिसेस के साथ सबसे सरल ऑपरेशन

मैट्रिसेस कर सकते हैं संख्याओं से गुणा करें. इस मामले में, प्रत्येक तत्व को इस संख्या से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए -

चावल। 3 किसी आव्यूह को किसी संख्या से गुणा करना

एक ही आयाम के दो आव्यूह तत्व-वार हो सकते हैं तहतथा घटाना. उदाहरण के लिए,

चावल। 4 मैट्रिक्स जोड़

एक संख्या और जोड़ से गुणा के परिणामस्वरूप, उसी आयाम का एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

एक शून्य मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें शून्य होता है। यह नामित है हे. जाहिर सी बात है ए+हे = ए, ए−ए = हेऔर 0 ए = हे.

मैट्रिक्स कर सकते हैं पक्षांतरित. इस ऑपरेशन के दौरान, मैट्रिक्स फ़्लिप किया जाता है, अर्थात। पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है। स्थानान्तरण एक डैश द्वारा इंगित किया गया है, ए"या अनुक्रमणिका एटी । इस प्रकार, यदि ए = {एक आईजेयू , मैं = 1,..., मैं; जे = 1,...,जे), फिर एटी = ( एक जी , जे = 1,...,जे; मैं = 1,..., मैं) उदाहरण के लिए

चावल। 5 मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन

यह स्पष्ट है कि ( एटी) टी = ए, (ए+बी) टी = एटी + बीटी ।

1.3. मैट्रिक्स गुणन

मैट्रिसेस कर सकते हैं गुणा, लेकिन केवल तभी जब उनके पास उपयुक्त आयाम हों। ऐसा क्यों है यह परिभाषा से स्पष्ट होगा। मैट्रिक्स उत्पाद ए, आयाम मैं× क, और मैट्रिक्स बी, आयाम क× जे, मैट्रिक्स कहा जाता है सी, आयाम मैं× जे, जिनके तत्व संख्याएं हैं

इस प्रकार उत्पाद के लिए अबयह आवश्यक है कि बाएं मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या एसही मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर था बी. मैट्रिक्स उत्पाद उदाहरण -

Fig.6 मैट्रिक्स का उत्पाद

मैट्रिक्स गुणन नियम निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। मैट्रिक्स का एक तत्व खोजने के लिए सीचौराहे पर खड़े मैं-वीं पंक्ति और जे-वां कॉलम ( सी आईजेयू) तत्व से गुणा किया जाना चाहिए मैं-पहले मैट्रिक्स की पंक्ति एपर जेदूसरे मैट्रिक्स का -वां कॉलम बीऔर सभी परिणाम जोड़ें। तो दिखाए गए उदाहरण में, तीसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम से तत्व को तीसरी पंक्ति के तत्व-वार उत्पादों के योग के रूप में प्राप्त किया जाता है एऔर दूसरा कॉलम बी

Fig.7 मैट्रिक्स के उत्पाद का तत्व

आव्यूहों का गुणनफल क्रम पर निर्भर करता है, अर्थात्। अब ≠ बी ० ए, कम से कम आयामी कारणों से। इसे गैर-कम्यूटेटिव कहा जाता है। हालांकि, मैट्रिक्स का उत्पाद सहयोगी है। इसका मतलब है कि एबीसी = (अब)सी = ए(ईसा पूर्व) इसके अलावा, यह वितरणात्मक भी है, अर्थात। ए(बी+सी) = अब+एसी. जाहिर सी बात है एओ = हे.

1.4. स्क्वायर मैट्रिसेस

यदि किसी मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या उसकी पंक्तियों की संख्या के बराबर है ( मैं = जे = एन), तो ऐसे मैट्रिक्स को स्क्वायर कहा जाता है। इस भाग में हम केवल ऐसे आव्यूहों पर विचार करेंगे। इन आव्यूहों में से कोई विशेष गुण वाले आव्यूहों को अलग कर सकता है।

अकेलामैट्रिक्स (निरूपित) मैंऔर कभी - कभी इ) एक मैट्रिक्स है जिसमें सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, केवल विकर्णों को छोड़कर, जो 1 के बराबर होते हैं, अर्थात।

स्पष्टतः ऐ = मैं एक = ए.

मैट्रिक्स कहा जाता है विकर्ण, यदि इसके सभी तत्व, विकर्णों को छोड़कर ( एक द्वितीय) शून्य के बराबर हैं। उदाहरण के लिए

चावल। 8 विकर्ण मैट्रिक्स

आव्यूह एशीर्ष कहा जाता है त्रिकोणीय, यदि इसके विकर्ण के नीचे स्थित सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, अर्थात। एक आईजेयू= 0, पर मैं>जे. उदाहरण के लिए

चावल। 9 ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स

निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स इसी तरह परिभाषित किया गया है।

आव्यूह एबुलाया सममित, यदि एटी = ए. दूसरे शब्दों में एक आईजेयू = एक जी. उदाहरण के लिए

चावल। 10 सममित मैट्रिक्स

आव्यूह एबुलाया ओर्थोगोनल, यदि

एटी ए = आटी = मैं.

मैट्रिक्स कहा जाता है सामान्ययदि

1.5. ट्रेस और निर्धारक

निम्नलिखितवर्ग मैट्रिक्स ए(निरूपित ट्र( ए) या सपा ( ए)) इसके विकर्ण तत्वों का योग है,

उदाहरण के लिए,

चावल। 11 मैट्रिक्स ट्रेस

जाहिर सी बात है

सपा(α ए) = α सपा ( ए) तथा

सपा ( ए+बी) = सपा ( ए)+ सपा ( बी).

यह दिखाया जा सकता है कि

सपा ( ए) = सपा ( एटी), सपा ( मैं) = एन,

और वो भी

सपा ( अब) = सपा ( बी ० ए).

एक वर्ग मैट्रिक्स की एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता इसकी है सिद्ध(det द्वारा निरूपित ( ए))। में निर्धारक की परिभाषा सामान्य मामलाकाफी जटिल है, इसलिए हम सबसे सरल विकल्प से शुरू करेंगे - मैट्रिक्स एआयाम (2×2)। फिर

एक (3×3) मैट्रिक्स के लिए, सारणिक बराबर होगा

मैट्रिक्स के मामले में ( एन× एन) सारणिक की गणना योग के रूप में की जाती है 1 2 3 ... एन= एन! पद, जिनमें से प्रत्येक बराबर है

सूचकांकों क 1 , क 2 ,..., कश्मीर नहींसभी संभव आदेशित क्रमपरिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है आरसेट में संख्याएं (1, 2, ..., एन) मैट्रिक्स निर्धारक की गणना एक जटिल प्रक्रिया है, जो व्यवहार में विशेष कार्यक्रमों का उपयोग करके की जाती है। उदाहरण के लिए,

चावल। 12 मैट्रिक्स निर्धारक

हम केवल स्पष्ट गुणों पर ध्यान देते हैं:

डीईटी ( मैं) = 1, अलग ( ए) = पता ( एटी),

डीईटी ( अब) = पता ( ए) बी).

1.6. वैक्टर

यदि मैट्रिक्स में केवल एक कॉलम है ( जे= 1), तो ऐसी वस्तु कहलाती है वेक्टर. अधिक सटीक, एक कॉलम वेक्टर। उदाहरण के लिए

उदाहरण के लिए, एक पंक्ति वाले मैट्रिसेस पर भी विचार किया जा सकता है

यह वस्तु भी एक सदिश है, लेकिन पंक्ति वेक्टर. डेटा का विश्लेषण करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि हम किन वैक्टरों से निपट रहे हैं - कॉलम या पंक्तियाँ। तो एक नमूने के लिए लिए गए स्पेक्ट्रम को एक पंक्ति वेक्टर के रूप में माना जा सकता है। फिर सभी नमूनों के लिए कुछ तरंग दैर्ध्य पर वर्णक्रमीय तीव्रता के सेट को कॉलम वेक्टर के रूप में माना जाना चाहिए।

एक वेक्टर का आयाम उसके तत्वों की संख्या है।

यह स्पष्ट है कि किसी भी कॉलम वेक्टर को ट्रांसपोज़िशन द्वारा एक पंक्ति वेक्टर में बदला जा सकता है, अर्थात।

उन मामलों में जहां वेक्टर का रूप विशेष रूप से निर्दिष्ट नहीं है, लेकिन केवल एक वेक्टर कहा जाता है, तो उनका मतलब कॉलम वेक्टर होता है। हम भी इस नियम का पालन करेंगे। एक वेक्टर को लोअरकेस डायरेक्ट बोल्ड लेटर द्वारा दर्शाया जाता है। शून्य सदिश एक सदिश है जिसके सभी अवयव शून्य के बराबर होते हैं। यह दर्शाया गया है 0 .

1.7. वैक्टर के साथ सबसे सरल ऑपरेशन

वैक्टर को मैट्रिसेस की तरह ही संख्याओं से जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,

चावल। 13 वैक्टर के साथ संचालन

दो वैक्टर एक्सतथा आपबुलाया समरेख, यदि कोई संख्या α है, जैसे कि

1.8. वैक्टर के उत्पाद

एक ही आयाम के दो वैक्टर एनगुणा किया जा सकता है। माना दो सदिश हैं एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 ,...,एक्सएन) टी और आप = (आप 1 , आप 2 ,...,आपएन) टी। गुणन नियम "पंक्ति दर स्तंभ" द्वारा निर्देशित, हम उनसे दो उत्पाद बना सकते हैं: एक्सटी आपतथा xyटी । पहला काम

बुलाया अदिशया आंतरिक. इसका परिणाम एक संख्या है। यह संकेतन का भी उपयोग करता है ( एक्स,आप)= एक्सटी आप. उदाहरण के लिए,

चावल। 14 आंतरिक (स्केलर) उत्पाद

दूसरा काम

बुलाया बाहरी. इसका परिणाम एक आयाम मैट्रिक्स है ( एन× एन) उदाहरण के लिए,

चावल। 15 बाहरी उत्पाद

वेक्टर, अदिश उत्पादजो शून्य के बराबर होता है, कहलाते हैं ओर्थोगोनल.

1.9. वेक्टर मानदंड

एक सदिश का स्वयं के अदिश गुणनफल को अदिश वर्ग कहते हैं। यह मान

एक वर्ग को परिभाषित करता है लंबाईवेक्टर एक्स. लंबाई को दर्शाने के लिए (जिसे भी कहा जाता है) नियमवेक्टर) संकेतन का उपयोग किया जाता है

उदाहरण के लिए,

चावल। 16 वेक्टर मानदंड

इकाई लंबाई वेक्टर (|| एक्स|| = 1) सामान्यीकृत कहा जाता है। शून्येतर सदिश ( एक्स ≠ 0 ) को लंबाई से विभाजित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है, अर्थात। एक्स = ||एक्स|| (एक्स/||एक्स||) = ||एक्स|| इ. यहां इ = एक्स/||एक्स|| सामान्यीकृत वेक्टर है।

वैक्टर को ऑर्थोनॉर्मल कहा जाता है यदि वे सभी सामान्यीकृत और जोड़ीदार ऑर्थोगोनल हैं।

1.10. वैक्टर के बीच का कोण

अदिश उत्पाद परिभाषित करता है और कोनादो वैक्टर के बीच एक्सतथा आप

यदि सदिश लंबकोणीय हैं, तो cosφ = 0 और φ = /2, और यदि वे संरेख हैं, तो cosφ = 1 और φ = 0.

1.11 एक मैट्रिक्स का वेक्टर प्रतिनिधित्व

प्रत्येक मैट्रिक्स एआकार मैं× जेवैक्टर के एक सेट के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

यहाँ प्रत्येक वेक्टर एक जेहै जे-वें स्तंभ और पंक्ति वेक्टर बी मैंहै मैं-मैट्रिक्स की पंक्ति ए

1.12. रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर

समान आयाम के सदिश ( एन) को मैट्रिसेस की तरह एक संख्या से जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। परिणाम एक ही आयाम का एक वेक्टर है। मान लीजिए कि एक ही आयाम के कई सदिश हैं एक्स 1 , एक्स 2 ,...,एक्स K और समान संख्याओं की संख्या α α 1 , α 2 ,...,α क. वेक्टर

आप= α 1 एक्स 1 + α 2 एक्स 2 +...+α क एक्स क

बुलाया रैखिक संयोजनवैक्टर एक्स क .

यदि ऐसी गैर-शून्य संख्याएं हैं α क ≠ 0, क = 1,..., क, क्या आप = 0 , तो ऐसे वैक्टर का एक सेट एक्स कबुलाया रैखिक रूप से आश्रित. अन्यथा, वैक्टर को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वैक्टर एक्स 1 = (2, 2) टी और एक्स 2 = (−1, −1) t रैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि एक्स 1 +2एक्स 2 = 0

1.13. मैट्रिक्स रैंक

के एक सेट पर विचार करें कवैक्टर एक्स 1 , एक्स 2 ,...,एक्स कआयाम एन. वैक्टर की इस प्रणाली का रैंक रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की अधिकतम संख्या है। उदाहरण के लिए सेट में

उदाहरण के लिए, केवल दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर हैं एक्स 1 और एक्स 2 है, इसलिए इसका रैंक 2 है।

जाहिर है, अगर सेट में उनके आयाम से अधिक वैक्टर हैं ( क>एन), तो वे अनिवार्य रूप से रैखिक रूप से निर्भर हैं।

मैट्रिक्स रैंक(रैंक द्वारा निरूपित ( ए)) वैक्टर की प्रणाली का रैंक है जिसमें यह शामिल है। हालांकि किसी भी मैट्रिक्स को दो तरह से दर्शाया जा सकता है (कॉलम वैक्टर या रो वैक्टर), यह रैंक वैल्यू को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि

1.14. उलटा मैट्रिक्स

वर्ग मैट्रिक्स एगैर-पतित कहा जाता है यदि इसमें एक अद्वितीय है उल्टाआव्यूह ए-1 , शर्तों द्वारा निर्धारित

आ −1 = ए −1 ए = मैं.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स सभी मैट्रिक्स के लिए मौजूद नहीं है। गैर-अपक्षय के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है

डीईटी ( ए) 0 या रैंक ( ए) = एन.

मैट्रिक्स उलटा एक जटिल प्रक्रिया है जिसके लिए विशेष कार्यक्रम हैं। उदाहरण के लिए,

चावल। 17 मैट्रिक्स उलटा

हम सरलतम स्थिति के लिए सूत्र देते हैं - 2 × 2 . आव्यूह

यदि मैट्रिसेस एतथा बीगैर-पतित हैं, तो

(अब) −1 = बी −1 ए −1 .

1.15. छद्म उलटा मैट्रिक्स

यदि मैट्रिक्स एपतित है और उलटा मैट्रिक्समौजूद नहीं है, कुछ मामलों में आप उपयोग कर सकते हैं छद्म प्रतिलोममैट्रिक्स, जिसे ऐसे मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है ए+ वह

आ + ए = ए.

स्यूडोइनवर्स मैट्रिक्स केवल एक ही नहीं है, और इसका रूप निर्माण विधि पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए आयताकार मैट्रिक्समूर-पेनरोज़ विधि का उपयोग किया जा सकता है।

यदि स्तंभों की संख्या संख्या से कमलाइनें, फिर

ए + =(एटी ए) −1 एटी

उदाहरण के लिए,

चावल। 17a छद्म मैट्रिक्स उलटा

यदि स्तंभों की संख्या अधिक संख्यालाइनें, फिर

ए + =एटी ( आटी) −1

1.16. एक मैट्रिक्स द्वारा एक वेक्टर का गुणन

वेक्टर एक्सएक मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जा सकता है एउपयुक्त आयाम। इस मामले में, कॉलम वेक्टर को दाईं ओर गुणा किया जाता है कुल्हाड़ी, और वेक्टर स्ट्रिंग बाईं ओर है एक्सटी ए. यदि वेक्टर का आयाम जे, और मैट्रिक्स का आयाम मैं× जेतो परिणाम आयाम का एक वेक्टर है मैं. उदाहरण के लिए,

चावल। 18 वेक्टर-मैट्रिक्स गुणन

यदि मैट्रिक्स ए- वर्ग ( मैं× मैं), फिर वेक्टर आप = कुल्हाड़ीके समान आयाम हैं एक्स. जाहिर सी बात है

ए(α 1 एक्स 1 + α 2 एक्स 2) = α 1 कुल्हाड़ी 1 + α 2 कुल्हाड़ी 2 .

इसलिए मैट्रिक्स को वैक्टर के रैखिक परिवर्तन के रूप में माना जा सकता है। विशेष रूप से एक्स = एक्स, बैल = 0 .

2. अतिरिक्त जानकारी

2.1. रैखिक समीकरणों की प्रणाली

होने देना ए- मैट्रिक्स आकार मैं× जे, एक बी- आयाम वेक्टर जे. समीकरण पर विचार करें

कुल्हाड़ी = बी

वेक्टर के संबंध में एक्स, आयाम मैं. अनिवार्य रूप से, यह एक प्रणाली है मैंके साथ रैखिक समीकरण जेअनजान एक्स 1 ,...,एक्स जे. एक समाधान मौजूद है अगर और केवल अगर

पद( ए) = रैंक ( बी) = आर,

कहाँ पे बीसंवर्धित आयाम मैट्रिक्स है मैं×( जे+1) मैट्रिक्स से मिलकर ए, एक स्तंभ के साथ गद्देदार बी, बी = (ए बी) अन्यथा, समीकरण असंगत हैं।

यदि एक आर = मैं = जे, तो समाधान अद्वितीय है

एक्स = ए −1 बी.

यदि एक आर < मैं, तो कई हैं विभिन्न समाधान, जिसे एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जे−आरवैक्टर सजातीय समीकरणों की प्रणाली कुल्हाड़ी = 0 एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ ए (एन× एन) एक गैर तुच्छ समाधान है ( एक्स ≠ 0 ) अगर और केवल अगर अलग ( ए) = 0. अगर आर= रैंक ( ए)<एन, तो वहाँ हैं एन−आररैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान।

2.2. द्विरेखीय और द्विघात रूप

यदि एक एएक वर्ग मैट्रिक्स है, और एक्सतथा आप- संबंधित आयाम के वैक्टर, फिर फॉर्म का अदिश उत्पाद एक्सटी एयबुलाया द्विरेखीयमैट्रिक्स द्वारा परिभाषित आकार ए. पर एक्स = आपअभिव्यक्ति एक्सटी कुल्हाड़ीबुलाया द्विघातप्रपत्र।

2.3. सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स

वर्ग मैट्रिक्स एबुलाया सकारात्मक रूप से निश्चित, यदि किसी शून्येतर सदिश के लिए एक्स ≠ 0 ,

एक्सटी कुल्हाड़ी > 0.

नकारात्मक (एक्सटी कुल्हाड़ी < 0), गैर नकारात्मक (एक्सटी कुल्हाड़ी 0) और गैर सकारात्मक (एक्सटी कुल्हाड़ी 0) कुछ मैट्रिक्स।

2.4. चोल्स्की अपघटन

यदि सममित मैट्रिक्स एसकारात्मक निश्चित है, तो एक अद्वितीय त्रिकोणीय मैट्रिक्स है यूसकारात्मक तत्वों के साथ, जिसके लिए

ए = यूटी यू.

उदाहरण के लिए,

चावल। 19 चोल्स्की अपघटन

2.5. ध्रुवीय अपघटन

होने देना एआयाम का एक गैर-डीजेनरेट वर्ग मैट्रिक्स है एन× एन. फिर होती है एक अनोखी ध्रुवीयप्रदर्शन

ए = एसआर,

कहाँ पे एसएक गैर-ऋणात्मक सममित मैट्रिक्स है, और आरएक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स एसतथा आरस्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है:

एस 2 = आटी या एस = (आटी) ½ और आर = एस −1 ए = (आटी) -½ ए.

उदाहरण के लिए,

चावल। 20 ध्रुवीय अपघटन

यदि मैट्रिक्स एपतित है, तो अपघटन अद्वितीय नहीं है - अर्थात्: एसअभी भी अकेला, लेकिन आरकई हो सकते हैं। ध्रुवीय अपघटन एक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है एएक संपीड़न/खिंचाव संयोजन के रूप में एसऔर मोड़ आर.

2.6. eigenvectors और eigenvalues

होने देना एएक वर्ग मैट्रिक्स है। वेक्टर वीबुलाया खुद का वेक्टरमैट्रिक्स ए, यदि

ए वी = λ वी,

जहां संख्या कहा जाता है eigenvalueमैट्रिक्स ए. इस प्रकार, मैट्रिक्स द्वारा किया जाने वाला परिवर्तन एवेक्टर के ऊपर वी, एक कारक के साथ एक साधारण खिंचाव या संपीड़न के लिए कम हो जाता है। eigenvector निरंतर α 0 से गुणा करने के लिए निर्धारित किया जाता है, अर्थात। यदि वीएक eigenvector है, तो α वीएक आइजनवेक्टर भी है।

2.7. स्वदेशी मूल्य

मैट्रिक्स में ए, आयाम ( एन× एन) से बड़ा नहीं हो सकता एनस्वदेशी मूल्य वे संतुष्ट विशेषता समीकरण

डीईटी ( ए − λ मैं) = 0,

प्राणी बीजीय समीकरण एन-वें क्रम। विशेष रूप से, 2×2 मैट्रिक्स के लिए, विशेषता समीकरण का रूप होता है

उदाहरण के लिए,

चावल। 21 आइजनवैल्यू

eigenvalues ​​का सेट 1 ,..., एनमैट्रिक्स एबुलाया स्पेक्ट्रम ए.

स्पेक्ट्रम में विभिन्न गुण होते हैं। विशेष रूप से

डीईटी ( ए) = 1×...×λ एन, सपा ( ए) = 1 +...+λ एन.

एक मनमाना मैट्रिक्स के eigenvalues ​​जटिल संख्या हो सकते हैं, लेकिन यदि मैट्रिक्स सममित है ( एटी = ए), तो इसके प्रतिमान वास्तविक हैं।

2.8. आइजनवेक्टर

मैट्रिक्स में ए, आयाम ( एन× एन) से बड़ा नहीं हो सकता एन eigenvectors, जिनमें से प्रत्येक अपने स्वयं के मूल्य से मेल खाता है। eigenvector निर्धारित करने के लिए वी एनआपको सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

(ए − λ एन मैं)वी एन = 0 .

इसका एक गैर-तुच्छ समाधान है क्योंकि det( ए-λ एन मैं) = 0.

उदाहरण के लिए,

चावल। 22 आइजनवेक्टर

सममित मैट्रिक्स के eigenvectors ऑर्थोगोनल हैं।

एक वर्ग मैट्रिक्स का एक eigenvector वह होता है, जब किसी दिए गए मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक कोलिनियर वेक्टर होता है। सरल शब्दों में, जब एक मैट्रिक्स को एक eigenvector से गुणा किया जाता है, तो बाद वाला वही रहता है, लेकिन कुछ संख्या से गुणा किया जाता है।

परिभाषा

एक eigenvector एक गैर-शून्य वेक्टर V है, जिसे एक वर्ग मैट्रिक्स M से गुणा करने पर, स्वयं बन जाता है, कुछ संख्या से बढ़ जाता है। पर बीजीय संकेतनऐसा लग रहा है:

एम × वी = λ × वी,

जहाँ आव्यूह M का eigenvalue है।

आइए एक संख्यात्मक उदाहरण पर विचार करें। लिखने की सुविधा के लिए, मैट्रिक्स में संख्याओं को अर्धविराम द्वारा अलग किया जाएगा। मान लें कि हमारे पास एक मैट्रिक्स है:

• एम = 0; चार;
• 6; 10.

आइए इसे कॉलम वेक्टर से गुणा करें:

• वी = -2;

मैट्रिक्स को कॉलम वेक्टर से गुणा करते समय, हमें कॉलम वेक्टर भी मिलता है। सख्त गणितीय भाषा में, कॉलम वेक्टर द्वारा 2 × 2 मैट्रिक्स को गुणा करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

• एम × वी = एम11 × वी11 + एम12 × वी21;
• M21 x V11 + M22 x V21।

एम 11 का अर्थ है मैट्रिक्स एम का तत्व, पहली पंक्ति और पहले कॉलम में खड़ा है, और एम 22 - दूसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम में स्थित तत्व। हमारे मैट्रिक्स के लिए, ये तत्व M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 हैं। एक कॉलम वेक्टर के लिए, ये मान V11 = -2, V21 = 1 हैं। इस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं एक वेक्टर द्वारा एक वर्ग मैट्रिक्स के उत्पाद का परिणाम:

• एम × वी = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2।

सुविधा के लिए, हम कॉलम वेक्टर को एक पंक्ति में लिखते हैं। इसलिए, हमने वर्ग मैट्रिक्स को वेक्टर (-2; 1) से गुणा किया है, जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर (4; -2) प्राप्त होता है। जाहिर है, यह वही वेक्टर है जिसे = -2 से गुणा किया जाता है। इस मामले में लैम्ब्डा मैट्रिक्स के एक eigenvalue को दर्शाता है।

मैट्रिक्स का eigenvector एक कॉललाइनर वेक्टर है, यानी एक वस्तु जो मैट्रिक्स द्वारा गुणा करने पर अंतरिक्ष में अपनी स्थिति नहीं बदलती है। सदिश बीजगणित में संरेखता की अवधारणा ज्यामिति में समांतरता के पद के समान है। ज्यामितीय व्याख्या में, कोलिनियर वैक्टर विभिन्न लंबाई के समानांतर निर्देशित खंड होते हैं। यूक्लिड के समय से, हम जानते हैं कि एक एकल रेखा में अनंत संख्या में रेखाएँ होती हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि प्रत्येक मैट्रिक्स में अनंत संख्या में eigenvectors हैं।

पिछले उदाहरण से, यह देखा जा सकता है कि दोनों (-8; 4), और (16; -8), और (32, -16) eigenvectors हो सकते हैं। ये सभी eigenvalue = -2 के संगत संरेख सदिश हैं। इन वैक्टरों द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करते समय, हमें अभी भी एक वेक्टर मिलेगा, जो मूल से 2 गुना भिन्न होता है। इसलिए, जब एक आइजनवेक्टर खोजने के लिए समस्याओं को हल करते हैं, तो केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर ऑब्जेक्ट खोजने की आवश्यकता होती है। सबसे अधिक बार, n × n मैट्रिक्स के लिए, eigenvectors की n-वें संख्या होती है। हमारे कैलकुलेटर को दूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के विश्लेषण के लिए डिज़ाइन किया गया है, इसलिए परिणाम के रूप में लगभग हमेशा दो eigenvectors मिलेंगे, सिवाय इसके कि जब वे मेल खाते हों।

ऊपर के उदाहरण में, हम मूल मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को पहले से जानते थे और लैम्ब्डा संख्या को नेत्रहीन रूप से निर्धारित करते थे। हालांकि, व्यवहार में, सब कुछ दूसरे तरीके से होता है: शुरुआत में eigenvalues ​​होते हैं और उसके बाद ही eigenvectors होते हैं।

समाधान एल्गोरिथ्म

आइए मूल मैट्रिक्स M को फिर से देखें और इसके दोनों eigenvectors को खोजने का प्रयास करें। तो मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

• एम = 0; चार;
• 6; 10.

आरंभ करने के लिए, हमें eigenvalue निर्धारित करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

• (0 - ); चार;
• 6; (10 - )।

यह मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण पर मौजूद तत्वों से अज्ञात घटाकर प्राप्त किया जाता है। निर्धारक मानक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

• डीटीए = एम11 × एम21 - एम12 × एम22
• डीटीए = (0 - ) × (10 - λ) - 24

चूँकि हमारा सदिश शून्य नहीं होना चाहिए, हम परिणामी समीकरण को रैखिक रूप से आश्रित मानते हैं और अपने सारणिक डेटा को शून्य के बराबर करते हैं।

(0 - ) × (10 - λ) - 24 = 0

आइए कोष्ठक खोलें और मैट्रिक्स का अभिलक्षणिक समीकरण प्राप्त करें:

2 - 10λ - 24 = 0

यह मानक है द्विघात समीकरण, जिसे विवेचक के संदर्भ में हल किया जाना है।

डी \u003d बी 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

विभेदक की जड़ sqrt(D) = 14 है, इसलिए λ1 = -2, λ2 = 12. अब प्रत्येक लैम्ब्डा मान के लिए, हमें एक eigenvector खोजने की आवश्यकता है। आइए, = -2 के लिए निकाय के गुणांकों को व्यक्त करें।

• एम - × ई = 2; चार;
• 6; 12.

इस सूत्र में, E सर्वसमिका आव्यूह है। प्राप्त मैट्रिक्स के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

2x + 4y = 6x + 12y

जहाँ x और y eigenvector के अवयव हैं।

आइए सभी X को बाईं ओर और सभी Y को दाईं ओर एकत्र करें। जाहिर है - 4x = 8y। व्यंजक को -4 से भाग दें और x = -2y प्राप्त करें। अब हम अज्ञात के किसी भी मान को लेकर मैट्रिक्स के पहले आइजेनवेक्टर को निर्धारित कर सकते हैं (रैखिक रूप से निर्भर ईजिनवेक्टरों की अनंतता के बारे में याद रखें)। आइए y = 1 लें, फिर x = -2। इसलिए, पहला eigenvector V1 = (-2; 1) जैसा दिखता है। लेख की शुरुआत पर लौटें। यह इसके लिए है वेक्टर वस्तुहमने एक eigenvector की अवधारणा को प्रदर्शित करने के लिए मैट्रिक्स को गुणा किया है।

आइए अब = 12 के लिए eigenvector खोजें।

• एम - × ई = -12; चार
• 6; -2.

आइए हम रैखिक समीकरणों की एक ही प्रणाली की रचना करें;

• -12x + 4y = 6x -2y
• -18x = -6y
• 3x = वाई।

अब चलिए x = 1 लेते हैं, इसलिए y = 3। इस प्रकार, दूसरा eigenvector V2 = (1; 3) जैसा दिखता है। इस वेक्टर द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करते समय, परिणाम हमेशा एक ही वेक्टर को 12 से गुणा किया जाएगा। यह समाधान एल्गोरिथ्म को पूरा करता है। अब आप जानते हैं कि मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को मैन्युअल रूप से कैसे परिभाषित किया जाए।

• निर्धारक;
• ट्रेस, यानी मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग;
• रैंक, अर्थात् अधिकतम राशिरैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियाँ/स्तंभ।

कार्यक्रम उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार संचालित होता है, समाधान प्रक्रिया को न्यूनतम करता है। यह इंगित करना महत्वपूर्ण है कि कार्यक्रम में लैम्ब्डा को "सी" अक्षर द्वारा दर्शाया गया है। आइए एक संख्यात्मक उदाहरण देखें।

कार्यक्रम उदाहरण

आइए निम्नलिखित मैट्रिक्स के लिए eigenvectors को परिभाषित करने का प्रयास करें:

• एम = 5; 13;
• 4; 14.

आइए इन मानों को कैलकुलेटर की कोशिकाओं में दर्ज करें और निम्न रूप में उत्तर प्राप्त करें:

• मैट्रिक्स रैंक: 2;
• मैट्रिक्स निर्धारक: 18;
• मैट्रिक्स ट्रेस: ​​19;
• Eigenvector गणना: c 2 - 19.00c + 18.00 (विशेषता समीकरण);
• Eigenvector गणना: 18 (प्रथम लैम्ब्डा मान);
• Eigenvector गणना: 1 (दूसरा लैम्ब्डा मान);
• सदिश 1 के समीकरणों का निकाय: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• वेक्टर 2 समीकरण प्रणाली: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• आइजेनवेक्टर 1: (1; 1);
• आइजेनवेक्टर 2: (-3.25; 1)।

इस प्रकार, हमने दो रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors प्राप्त किए हैं।

निष्कर्ष

इंजीनियरिंग में किसी भी नए व्यक्ति के लिए रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति मानक विषय हैं। बड़ी संख्या में वैक्टर और मैट्रिसेस भयानक हैं, और इस तरह की बोझिल गणनाओं में गलती करना आसान है। हमारा कार्यक्रम छात्रों को उनकी गणना की जांच करने या एक eigenvector खोजने की समस्या को स्वचालित रूप से हल करने की अनुमति देगा। हमारे कैटलॉग में अन्य रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर हैं, उन्हें अपने अध्ययन या कार्य में उपयोग करें।