सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली

सजातीय प्रणाली रेखीय समीकरणफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

स्पष्ट है कि इस मामले में , इसलिये इन निर्धारकों में से किसी एक स्तंभ के सभी अवयव शून्य के बराबर हैं।

चूंकि अज्ञात सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं , तो उस स्थिति में जब 0, सिस्टम का एक अद्वितीय शून्य समाधान होता है एक्स = आप = जेड= 0. हालांकि, कई समस्याओं में यह सवाल दिलचस्पी का है कि क्या एक सजातीय प्रणाली में शून्य के अलावा अन्य समाधान हैं।

प्रमेय।रैखिक प्रणाली के क्रम में सजातीय समीकरणएक गैर-शून्य समाधान है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि 0।

इसलिए, यदि सारणिक 0 है, तो निकाय में है केवल निर्णय. यदि 0 है, तो रैखिक समांगी समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।

उदाहरण।

Eigenvectors और मैट्रिक्स Eigenvalues

मान लीजिए एक वर्ग आव्यूह दिया गया है , एक्सकुछ मैट्रिक्स-कॉलम है जिसकी ऊंचाई मैट्रिक्स के क्रम से मेल खाती है ए. .

कई समस्याओं में, के लिए समीकरण पर विचार करना पड़ता है एक्स

जहां कुछ संख्या है। यह स्पष्ट है कि किसी भी के लिए इस समीकरण का एक शून्य हल होता है।

वह संख्या जिसके लिए इस समीकरण के शून्येतर हल हैं, कहलाती है eigenvalueमैट्रिक्स ए, एक एक्सऐसे को कहा जाता है खुद का वेक्टरमैट्रिक्स ए.

आइए मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर को खोजें ए. क्यों कि इ∙एक्स = एक्स, तो मैट्रिक्स समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है या . विस्तारित रूप में, इस समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। सचमुच .

और इसीलिए

तो, हमें निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली है एक्स 1, x2, एक्स 3वेक्टर एक्स. सिस्टम के गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर हो, अर्थात।

यह के संबंध में तीसरी डिग्री का समीकरण है। इसे कहते हैं विशेषता समीकरणमैट्रिक्स एऔर eigenvalues ​​को निर्धारित करने का कार्य करता है।

प्रत्येक eigenvalue λ एक eigenvector से मेल खाता है एक्स, जिनके निर्देशांक के संगत मान पर सिस्टम से निर्धारित किए जाते हैं।

उदाहरण।

वेक्टर बीजगणित। वेक्टर अवधारणा

भौतिकी की विभिन्न शाखाओं का अध्ययन करते समय, ऐसी मात्राएँ होती हैं जो पूरी तरह से उनके संख्यात्मक मूल्यों को निर्धारित करके निर्धारित की जाती हैं, उदाहरण के लिए, लंबाई, क्षेत्र, द्रव्यमान, तापमान, आदि। ऐसे मान अदिश कहलाते हैं। हालांकि, उनके अलावा, मात्राएं भी हैं, जिनके निर्धारण के लिए, संख्यात्मक मान के अलावा, अंतरिक्ष में उनकी दिशा जानना भी आवश्यक है, उदाहरण के लिए, शरीर पर कार्य करने वाला बल, गति और त्वरण जब शरीर अंतरिक्ष में गति करता है, तो तनाव चुंबकीय क्षेत्रअंतरिक्ष में दिए गए बिंदु पर, आदि। ऐसी मात्राओं को सदिश राशियाँ कहते हैं।

आइए एक कठोर परिभाषा पेश करें।

दिशात्मक खंडआइए एक खंड कहते हैं, जिसके सिरों के सापेक्ष यह ज्ञात होता है कि उनमें से कौन पहला है और कौन सा दूसरा है।

वेक्टरएक निर्देशित खंड कहा जाता है, जिसकी एक निश्चित लंबाई होती है, अर्थात। यह एक निश्चित लंबाई का एक खंड है, जिसमें इसे सीमित करने वाले बिंदुओं में से एक को शुरुआत के रूप में लिया जाता है, और दूसरा - अंत के रूप में। यदि एक एवेक्टर की शुरुआत है, बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, इसके अलावा, वेक्टर को अक्सर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। आकृति में, वेक्टर एक खंड द्वारा इंगित किया गया है, और इसकी दिशा एक तीर द्वारा इंगित की गई है।

मापांकया लंबावेक्टर को निर्देशित खंड की लंबाई कहा जाता है जो इसे परिभाषित करता है। द्वारा निरूपित || या ||.

तथाकथित शून्य सदिश, जिसका आरंभ और अंत मेल खाता है, को सदिश भी कहा जाएगा। यह अंकित है। शून्य सदिश की कोई निश्चित दिशा नहीं होती है और इसका मापांक शून्य के बराबर होता है ||=0.

सदिश और कहलाते हैं समरेखयदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। इस मामले में, यदि वैक्टर और समान रूप से निर्देशित हैं, तो हम इसके विपरीत लिखेंगे।

एक ही तल के समांतर सीधी रेखाओं पर स्थित सदिश कहलाते हैं समतलीय.

दो सदिश और कहलाते हैं बराबरयदि वे संरेख हैं, तो उनकी दिशा समान है, और लंबाई में बराबर हैं। इस मामले में, लिखें।

यह सदिशों की समानता की परिभाषा का अनुसरण करता है कि एक सदिश को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर अपनी उत्पत्ति रखकर अपने समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए.

वैक्टर पर रैखिक संचालन

1. एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना।

   एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल को कहा जाता है नया वेक्टरऐसा है कि:

   एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल किसके द्वारा निरूपित किया जाता है।

   

   उदाहरण के लिए,एक वेक्टर है जो वेक्टर के समान दिशा में इंगित करता है और वेक्टर की लंबाई आधा है।

   दर्ज किए गए ऑपरेशन में निम्नलिखित हैं गुण:

2. वैक्टर का जोड़।

   आज्ञा देना और दो मनमाना सदिश हो। एक मनमाना बिंदु लें हेऔर एक वेक्टर का निर्माण करें। उसके बाद, बिंदु से एवेक्टर को अलग रखें। पहले वेक्टर की शुरुआत को दूसरे के अंत से जोड़ने वाले वेक्टर को कहा जाता है जोड़इन वैक्टरों में से और निरूपित किया जाता है .

   

   सदिश योग की सूत्रबद्ध परिभाषा कहलाती है समांतर चतुर्भुज नियम, क्योंकि सदिशों का समान योग निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। बिंदु से अलग सेट करें हेवैक्टर और। इन सदिशों पर एक समांतर चतुर्भुज की रचना कीजिए ओएबीसी. सदिशों के बाद से सदिश, जो शीर्ष से खींचे गए समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है हे, स्पष्ट रूप से वैक्टर का योग होगा।

   

   निम्नलिखित की जांच करना आसान है वेक्टर जोड़ गुण.

3. वैक्टर का अंतर।

   किसी दिए गए सदिश के समरेखीय सदिश, लंबाई के बराबर और विपरीत दिशा में निर्देशित, कहलाता है विलोमएक वेक्टर के लिए वेक्टर और द्वारा निरूपित किया जाता है। विपरीत सदिश को = -1: संख्या से सदिश गुणन का परिणाम माना जा सकता है।

विकर्ण-प्रकार के मैट्रिसेस सबसे सरल रूप से व्यवस्थित होते हैं। सवाल यह उठता है कि क्या ऐसा आधार खोजना असंभव है जिसमें रैखिक संचालिका के मैट्रिक्स का विकर्ण रूप हो। ऐसा आधार मौजूद है।
मान लीजिए कि एक रैखिक स्थान R n और इसमें कार्यरत एक रैखिक संकारक A दिया गया है; इस मामले में, ऑपरेटर A, R n को अपने आप में लेता है, अर्थात A:R n → R n।

परिभाषा। एक गैर-शून्य वेक्टर को ऑपरेटर ए का आइजेनवेक्टर कहा जाता है यदि ऑपरेटर ए इसके लिए एक वेक्टर कॉललाइनर में अनुवाद करता है, अर्थात। संख्या को eigenvector के अनुरूप ऑपरेटर A का eigenvalue या eigenvalue कहा जाता है।
हम eigenvalues ​​और eigenvectors के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।
1. eigenvectors का कोई रैखिक संयोजन एक ही eigenvalue के अनुरूप ऑपरेटर A का eigenvector समान eigenvalue वाला एक eigenvector है।
2. आइजनवेक्टर संचालिका A, जोड़ीवार भिन्न eigenvalues ​​1 , 2 , …, m के साथ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
3. यदि eigenvalues ​​1 =λ 2 = m = , तो eigenvalue m से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से मेल नहीं खाता है।

इसलिए, यदि n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors हैं विभिन्न eigenvalues ​​​​ 1, λ 2, …, n के अनुरूप, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए, उन्हें अंतरिक्ष R n के आधार के रूप में लिया जा सकता है। आइए हम रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स के रूप को उसके आइजेनवेक्टर के आधार पर खोजें, जिसके लिए हम ऑपरेटर ए के साथ वैक्टर के आधार पर कार्य करते हैं: फिर .
इस प्रकार, रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स में इसके eigenvectors के आधार पर एक विकर्ण रूप होता है, और ऑपरेटर ए के eigenvalues ​​​​विकर्ण पर होते हैं।
क्या कोई अन्य आधार है जिसमें मैट्रिक्स का विकर्ण रूप है? इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय। आधार में रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स (i = 1..n) का एक विकर्ण रूप है यदि और केवल यदि आधार के सभी वैक्टर हैं eigenvectorsऑपरेटर ए.

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजने के लिए नियम

चलो वेक्टर , जहाँ x 1 , x 2 ,…, x n - आधार के सापेक्ष सदिश के निर्देशांक और रेखीय संकारक A का eigenvector है जो eigenvalue के संगत है, अर्थात । इस संबंध को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

. (*)

समीकरण (*) को खोजने के लिए एक समीकरण के रूप में माना जा सकता है, और, अर्थात, हम गैर-तुच्छ समाधानों में रुचि रखते हैं, क्योंकि आइजेनवेक्टर शून्य नहीं हो सकता। यह ज्ञात है कि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के गैर-तुच्छ समाधान मौजूद हैं यदि और केवल यदि det(A - E) = 0. इस प्रकार, λ के लिए ऑपरेटर A का एक आइजनवैल्यू होना आवश्यक और पर्याप्त है कि det(A - E) ) = 0.
यदि समीकरण (*) को निर्देशांक रूप में विस्तार से लिखा जाए, तो हमें रैखिक समांगी समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है:

(1)
कहाँ पे रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स है।

सिस्टम (1) का एक गैर-शून्य समाधान है यदि इसका निर्धारक डी शून्य के बराबर है

हमें eigenvalues ​​खोजने के लिए एक समीकरण मिला है।
इस समीकरण को अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है, और इसके बाईं ओर को मैट्रिक्स (ऑपरेटर) A का विशेषता बहुपद कहा जाता है। यदि विशेषता बहुपद की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो मैट्रिक्स A में कोई आइजनवेक्टर नहीं है और इसे विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।
मान लीजिए λ 1, λ 2, …, n अभिलक्षणिक समीकरण के वास्तविक मूल हैं, और उनमें गुणज भी हो सकते हैं। इन मूल्यों को बदले में सिस्टम (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम eigenvectors पाते हैं।

उदाहरण 12. रैखिक ऑपरेटर ए कानून के अनुसार आर 3 में कार्य करता है, जहां x 1, x 2, .., x n आधार में वेक्टर के निर्देशांक हैं , , . इस ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें।
समाधान। हम इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं:
.
हम eigenvectors के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली बनाते हैं:

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और इसे हल करते हैं:

.
1,2 = -1, 3 = 3।
सिस्टम में = -1 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:
या
इसलिये , तो दो आश्रित चर और एक मुक्त चर हैं।
मान लीजिए x 1 एक मुक्त अज्ञात है, तब हम इस प्रणाली को किसी भी तरह से हल करते हैं और पाते हैं सामान्य निर्णयइस प्रणाली का: समाधान की मौलिक प्रणाली में एक समाधान होता है, क्योंकि n - r = 3 - 2 = 1।
eigenvalue = -1 के अनुरूप eigenvectors के सेट का रूप है: , जहां x 1 शून्य के अलावा कोई भी संख्या है। आइए इस सेट से एक वेक्टर चुनें, उदाहरण के लिए, x 1 = 1 सेट करके: .
इसी तरह तर्क करते हुए, हम eigenvalue = 3 के अनुरूप eigenvector पाते हैं: .
अंतरिक्ष R 3 में आधार में तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर होते हैं, लेकिन हमने केवल दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजेनवेक्टर प्राप्त किए हैं, जिनसे R 3 में आधार नहीं बनाया जा सकता है। नतीजतन, एक रैखिक ऑपरेटर के मैट्रिक्स ए को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 13 एक मैट्रिक्स दिया गया .
1. सिद्ध कीजिए कि सदिश मैट्रिक्स A का एक eigenvector है। इस eigenvector के अनुरूप eigenvalue खोजें।
2. एक आधार खोजें जिसमें मैट्रिक्स A का विकर्ण रूप हो।
समाधान।
1. यदि , तो एक eigenvector है

.
सदिश (1, 8, -1) एक eigenvector है। आइजनवैल्यू = -1।
मैट्रिक्स के आधार में एक विकर्ण रूप है जिसमें eigenvectors शामिल हैं। उनमें से एक प्रसिद्ध है। चलिए बाकी ढूंढते हैं।
हम सिस्टम से eigenvectors की तलाश कर रहे हैं:

विशेषता समीकरण: ;
(3 + )[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
1 = -3, 2 = 1, 3 = -1।
eigenvalue = -3 के अनुरूप eigenvector खोजें:

इस प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है और अज्ञात की संख्या के बराबर है, इसलिए इस प्रणाली का केवल एक शून्य समाधान x 1 = x 3 = 0 है। x 2 यहां शून्य के अलावा कुछ भी हो सकता है, उदाहरण के लिए, x 2 = 1. इस प्रकार, सदिश (0,1,0) = -3 के संगत एक eigenvector है। चलो देखते है:
.
यदि = 1, तो हमें निकाय प्राप्त होता है
मैट्रिक्स की रैंक दो है। अंतिम समीकरण को पार करें।
मान लीजिए x 3 मुक्त अज्ञात है। फिर x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
x 3 = 1 मानते हुए, हमारे पास (-3,-9,1) - एक eigenvector है जो eigenvalue = 1 के अनुरूप है। जाँच करें:

.
चूंकि eigenvalues ​​​​वास्तविक और भिन्न हैं, उनके अनुरूप वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए उन्हें R 3 में आधार के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार, आधार में , , मैट्रिक्स ए का रूप है:
.
एक रैखिक संकारक A:R n → R n के प्रत्येक मैट्रिक्स को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि कुछ रैखिक ऑपरेटरों के लिए n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से कम हो सकते हैं। हालाँकि, यदि मैट्रिक्स सममित है, तो बिल्कुल m रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर गुणन m के विशेषता समीकरण की जड़ के अनुरूप हैं।

परिभाषा। एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित तत्व समान होते हैं, अर्थात जिसमें .
टिप्पणियां। 1. एक सममित मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।
2. एक सममित मैट्रिक्स के eigenvectors जोड़ीवार अलग-अलग eigenvalues ​​​​के अनुरूप ऑर्थोगोनल हैं।
अध्ययन किए गए उपकरण के कई अनुप्रयोगों में से एक के रूप में, हम दूसरे क्रम के वक्र के रूप को निर्धारित करने की समस्या पर विचार करते हैं।

www.siteआपको खोजने की अनुमति देता है। साइट गणना करती है। कुछ ही सेकंड में सर्वर सही समाधान देगा। मैट्रिक्स के लिए विशेषता समीकरणसारणिक की गणना के लिए नियम द्वारा पाया जाने वाला एक बीजीय व्यंजक होगा मैट्रिक्स मैट्रिक्स, जबकि मुख्य विकर्ण पर विकर्ण तत्वों और चर के मूल्यों में अंतर होगा। गणना करते समय मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरण, प्रत्येक तत्व मैट्रिक्ससंबंधित अन्य तत्वों से गुणा किया जाएगा मैट्रिक्स. मोड में खोजें ऑनलाइनकेवल वर्ग के लिए संभव मैट्रिक्स. ऑपरेशन खोजें मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरणतत्वों के उत्पाद के बीजगणितीय योग की गणना करने के लिए कम कर देता है मैट्रिक्सनिर्धारक खोजने के परिणामस्वरूप मैट्रिक्स, केवल निर्धारित करने के उद्देश्य से मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरण. यह ऑपरेशन सिद्धांत में एक विशेष स्थान रखता है मैट्रिक्स, आपको जड़ों का उपयोग करके eigenvalues ​​​​और वैक्टर खोजने की अनुमति देता है। कार्य ढूँढना मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरणतत्वों को गुणा करना है मैट्रिक्सइसके बाद इन उत्पादों को संक्षेप में प्रस्तुत करें निश्चित नियम. www.siteपाता मैट्रिक्स के लिए विशेषता समीकरणमोड में दिया गया आयाम ऑनलाइन. गणना मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरणकिसी दिए गए आयाम के लिए, यह निर्धारक की गणना के लिए नियम द्वारा पाए गए संख्यात्मक या प्रतीकात्मक गुणांक वाले बहुपद को ढूंढ रहा है मैट्रिक्स- संबंधित तत्वों के उत्पादों के योग के रूप में मैट्रिक्स, केवल निर्धारित करने के उद्देश्य से मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरण. एक वर्ग के लिए एक चर के संबंध में एक बहुपद ढूँढना मैट्रिक्स, परिभाषा के रूप में मैट्रिक्स के लिए विशेषता समीकरण, सिद्धांत में सामान्य मैट्रिक्स. बहुपद के मूलों का मान मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरणके लिए eigenvectors और eigenvalues ​​​​को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है मैट्रिक्स. हालांकि, अगर निर्धारक मैट्रिक्सशून्य होगा, तो मैट्रिक्स विशेषता समीकरणरिवर्स के विपरीत अभी भी मौजूद रहेगा मैट्रिक्स. गणना करने के लिए मैट्रिक्स के लिए विशेषता समीकरणया एक साथ कई खोजें मैट्रिक्स विशेषता समीकरण, आपको बहुत समय और प्रयास खर्च करने की ज़रूरत है, जबकि हमारा सर्वर मिल जाएगा ऑनलाइन मैट्रिक्स के लिए विशेषता समीकरण. इस मामले में, खोज द्वारा उत्तर मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरणसही और पर्याप्त सटीकता के साथ होगा, भले ही संख्याएं खोजने पर मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरणतर्कहीन होगा। स्थल पर www.siteतत्वों में वर्ण प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, वह है ऑनलाइन मैट्रिक्स के लिए विशेषता समीकरणगणना करते समय एक सामान्य प्रतीकात्मक रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है विशेषता समीकरण मैट्रिक्स ऑनलाइन. खोजने की समस्या को हल करते समय प्राप्त उत्तर की जांच करना उपयोगी होता है मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरणसाइट का उपयोग करना www.site. बहुपद की गणना का संक्रिया करते समय - मैट्रिक्स की विशेषता समीकरण, इस समस्या को हल करने के लिए चौकस और अत्यंत एकाग्र होना आवश्यक है। बदले में, हमारी साइट इस विषय पर आपके निर्णय की जांच करने में आपकी सहायता करेगी विशेषता समीकरण मैट्रिक्स ऑनलाइन. यदि आपके पास हल की गई समस्याओं की लंबी जांच के लिए समय नहीं है, तो www.siteखोज और गणना करते समय जाँच के लिए निश्चित रूप से एक सुविधाजनक उपकरण होगा मैट्रिक्स ऑनलाइन के लिए विशेषता समीकरण.

eigenvalues ​​(संख्या) और eigenvectors।
समाधान उदाहरण

वास्तविक बने रहें

दोनों समीकरणों से यह इस प्रकार है।

आइए फिर डालते हैं: .

नतीजतन: दूसरा eigenvector है।

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं का पुनर्कथन करें:

- परिणामी प्रणाली का निश्चित रूप से एक सामान्य समाधान होता है (समीकरण रैखिक रूप से निर्भर होते हैं);

- "Y" को इस तरह से चुना जाता है कि यह पूर्णांक हो और पहला "x" निर्देशांक पूर्णांक, धनात्मक और यथासंभव छोटा हो।

- हम जांचते हैं कि विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है।

उत्तर .

इंटरमीडिएट "चौकियों" काफी पर्याप्त थे, इसलिए समानता की जांच, सिद्धांत रूप में, अतिश्योक्तिपूर्ण है।

सूचना के विभिन्न स्रोतों में, eigenvectors के निर्देशांक अक्सर स्तंभों में नहीं, बल्कि पंक्तियों में लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए: (और सच कहूं तो मैं खुद उन्हें पंक्तियों में लिखता था). यह विकल्प स्वीकार्य है, लेकिन विषय के आलोक में रैखिक परिवर्तनतकनीकी रूप से उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक कॉलम वैक्टर.

शायद समाधान आपको बहुत लंबा लग रहा था, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि मैंने पहले उदाहरण पर बहुत विस्तार से टिप्पणी की है।

उदाहरण 2

मैट्रिक्स

हम अपने दम पर प्रशिक्षण लेते हैं! पाठ के अंत में कार्य के अंतिम डिजाइन का एक अनुमानित नमूना।

कभी-कभी आपको एक अतिरिक्त कार्य करने की आवश्यकता होती है, अर्थात्:

मैट्रिक्स का विहित अपघटन लिखें

यह क्या है?

यदि मैट्रिक्स eigenvectors बनते हैं आधार, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

eigenvectors के निर्देशांक से बना एक मैट्रिक्स कहाँ है, - विकर्णसंबंधित eigenvalues ​​​​के साथ मैट्रिक्स।

इस मैट्रिक्स अपघटन को कहा जाता है कैनन काया विकर्ण.

पहले उदाहरण के मैट्रिक्स पर विचार करें। उसके अपने वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र(गैर-समरेखीय) और एक आधार बनाते हैं। आइए उनके निर्देशांक से एक मैट्रिक्स बनाएं:

पर मुख्य विकर्णमैट्रिक्स उचित क्रम में eigenvalues ​​​​स्थित हैं, और शेष तत्व शून्य के बराबर हैं:
- एक बार फिर मैं आदेश के महत्व पर जोर देता हूं: "दो" 1 वेक्टर से मेल खाता है और इसलिए 1 कॉलम में स्थित है, "तीन" - दूसरे वेक्टर के लिए।

खोजने के लिए सामान्य एल्गोरिथम के अनुसार उलटा मैट्रिक्सया गॉस-जॉर्डन विधिपाना . नहीं, यह कोई टाइपो नहीं है! - आपके सामने दुर्लभ है, जैसे सूर्य ग्रहणघटना जब व्युत्क्रम मूल मैट्रिक्स से मेल खाता है।

यह मैट्रिक्स के विहित अपघटन को लिखना बाकी है:

सिस्टम के साथ हल किया जा सकता है प्राथमिक परिवर्तनऔर निम्नलिखित उदाहरणों में हम इसका सहारा लेंगे यह विधि. लेकिन यहां "स्कूल" पद्धति बहुत तेजी से काम करती है। तीसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: - दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

चूंकि पहला निर्देशांक शून्य है, हम प्रत्येक समीकरण से एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसके अनुसार यह इस प्रकार है।

और फिर एक रैखिक संबंध की अनिवार्य उपस्थिति पर ध्यान दें. यदि केवल एक तुच्छ समाधान प्राप्त होता है , तो या तो eigenvalue गलत पाया गया था, या सिस्टम को एक त्रुटि के साथ संकलित / हल किया गया था।

कॉम्पैक्ट निर्देशांक मूल्य देता है

आइजेनवेक्टर:

और एक बार फिर, हम जाँचते हैं कि मिला समाधान सिस्टम के हर समीकरण को संतुष्ट करता है. निम्नलिखित पैराग्राफों और बाद के कार्यों में, मैं अनुशंसा करता हूं कि इस इच्छा को अनिवार्य नियम के रूप में स्वीकार किया जाए।

2) इसी सिद्धांत का पालन करते हुए, आइजनवैल्यू के लिए, हम निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: - तीसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

चूंकि "Z" निर्देशांक शून्य के बराबर है, हम प्रत्येक समीकरण से एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसमें से एक रैखिक निर्भरता अनुसरण करती है।

होने देना

हम जाँचते हैं कि समाधान सिस्टम के हर समीकरण को संतुष्ट करता है।

इस प्रकार, eigenvector:।

3) और, अंत में, सिस्टम अपने स्वयं के मूल्य से मेल खाता है:

दूसरा समीकरण सबसे सरल दिखता है, इसलिए हम इसे इससे व्यक्त करते हैं और इसे पहले और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

सब कुछ ठीक है - एक रैखिक निर्भरता का पता चला था, जिसे हम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

परिणामस्वरूप, "X" और "Y" को "Z": के माध्यम से व्यक्त किया गया। व्यवहार में, केवल ऐसे संबंधों को प्राप्त करना आवश्यक नहीं है; कुछ मामलों में या और के माध्यम से व्यक्त करना अधिक सुविधाजनक होता है। या यहां तक ​​कि एक "ट्रेन" - उदाहरण के लिए, "X" के माध्यम से "Y", और "Y" के माध्यम से "Z"

आइए फिर डालते हैं:

हम जाँचते हैं कि मिला समाधान सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है और तीसरा आइजनवेक्टर लिखता है

उत्तर: eigenvectors:

ज्यामितीय रूप से, ये वैक्टर तीन अलग-अलग स्थानिक दिशाओं को परिभाषित करते हैं ("वहाँ और वापस फिर से"), किसके अनुसार रैखिक परिवर्तनशून्येतर सदिशों (eigenvectors) को उनके समरेखीय सदिशों में बदल देता है।

यदि शर्त के अनुसार इसका विहित विस्तार ज्ञात करना आवश्यक था, तो यह यहाँ संभव है, क्योंकि विभिन्न eigenvalues ​​अलग रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors के अनुरूप हैं। हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं उनके निर्देशांक से, विकर्ण मैट्रिक्स से से मिलता जुलता eigenvalues ​​​​और खोजें उलटा मैट्रिक्स .

यदि शर्त के अनुसार लिखना आवश्यक हो तो eigenvectors के आधार पर रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स, तो हम फॉर्म में उत्तर देते हैं। एक अंतर है, और एक महत्वपूर्ण अंतर है!इसके लिए मैट्रिक्स मैट्रिक्स "डी" है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए सरल गणनाओं के साथ एक समस्या:

उदाहरण 5

मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक परिवर्तन के eigenvectors खोजें

अपने स्वयं के नंबर ढूंढते समय, केस को 3 डिग्री के बहुपद में न लाने का प्रयास करें। इसके अलावा, आपके सिस्टम समाधान मेरे समाधानों से भिन्न हो सकते हैं - यहां कोई स्पष्ट नहीं है; और जो सदिश आप पाते हैं, वे नमूना सदिशों से उनके संबंधित निर्देशांकों के अनुपातिकता तक भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, और। उत्तर को के रूप में प्रस्तुत करना सौंदर्य की दृष्टि से अधिक सुखद है, लेकिन यदि आप दूसरे विकल्प पर रुकते हैं तो कोई बात नहीं। हालाँकि, हर चीज़ की उचित सीमाएँ हैं, संस्करण अब बहुत अच्छा नहीं लगता है।

पाठ के अंत में सत्रीय कार्य का एक अनुमानित अंतिम नमूना।

एकाधिक eigenvalues ​​​​के मामले में समस्या को कैसे हल करें?

सामान्य एल्गोरिथ्म समान रहता है, लेकिन इसकी अपनी विशिष्टताएँ होती हैं, और समाधान के कुछ वर्गों को अधिक कठोर शैक्षणिक शैली में रखने की सलाह दी जाती है:

उदाहरण 6

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजें

समाधान

बेशक, आइए शानदार पहले कॉलम को कैपिटलाइज़ करें:

और, वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करने के बाद:

परिणामस्वरूप, eigenvalues ​​प्राप्त होते हैं, जिनमें से दो गुणक होते हैं।

आइए आइजेनवेक्टर खोजें:

1) हम एक "सरलीकृत" योजना के अनुसार एक अकेले सैनिक से निपटेंगे:

पिछले दो समीकरणों से, समानता स्पष्ट रूप से दिखाई देती है, जिसे जाहिर है, सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

कोई बेहतर संयोजन नहीं है:
आइजेनवेक्टर:

2-3) अब हम कुछ संतरी हटाते हैं। इस मामले में, यह हो सकता है या तो दो या एकआइजेनवेक्टर जड़ों की बहुलता के बावजूद, हम निर्धारक में मान को प्रतिस्थापित करते हैं , जो हमें निम्नलिखित लाता है रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली:

Eigenvectors बिल्कुल वैक्टर हैं
मौलिक निर्णय प्रणाली

दरअसल, पूरे पाठ के दौरान, हम केवल मौलिक प्रणाली के वैक्टर खोजने में लगे थे। केवल कुछ समय के लिए, इस शब्द की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं थी। वैसे, वे निपुण छात्र जो छलावरण में हैं सजातीय समीकरण, अब इसे धूम्रपान करने के लिए मजबूर किया जाएगा।

केवल कार्रवाई अतिरिक्त लाइनों को हटाने की थी। परिणाम बीच में औपचारिक "चरण" के साथ "एक से तीन" मैट्रिक्स है।
- मूल चर, - मुक्त चर। दो मुक्त चर हैं, इसलिए मौलिक प्रणाली के दो वैक्टर भी हैं.

आइए मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करें: . "एक्स" के सामने शून्य कारक इसे बिल्कुल किसी भी मान पर लेने की अनुमति देता है (जो समीकरणों की प्रणाली से भी स्पष्ट रूप से दिखाई देता है)।

इस समस्या के संदर्भ में, सामान्य समाधान को एक पंक्ति में नहीं, बल्कि एक कॉलम में लिखना अधिक सुविधाजनक है:

जोड़ी एक eigenvector से मेल खाती है:
जोड़ी एक eigenvector से मेल खाती है:

टिप्पणी : परिष्कृत पाठक इन वैक्टर को मौखिक रूप से उठा सकते हैं - बस सिस्टम का विश्लेषण करके , लेकिन यहाँ कुछ ज्ञान की आवश्यकता है: तीन चर हैं, सिस्टम मैट्रिक्स रैंक- इकाई का अर्थ है मौलिक निर्णय प्रणाली 3 - 1 = 2 सदिशों से मिलकर बनता है। हालांकि, पाए गए वैक्टर इस ज्ञान के बिना भी पूरी तरह से सहज स्तर पर दिखाई दे रहे हैं। इस मामले में, तीसरा वेक्टर "और भी सुंदर" लिखा जाएगा: . हालांकि, मैं आपको चेतावनी देता हूं, एक अन्य उदाहरण में, एक साधारण चयन नहीं हो सकता है, यही वजह है कि आरक्षण अनुभवी लोगों के लिए है। इसके अलावा, तीसरे वेक्टर के रूप में क्यों नहीं लेते, कहते हैं, ? आखिरकार, इसके निर्देशांक सिस्टम के प्रत्येक समीकरण और वैक्टर को भी संतुष्ट करते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह विकल्प, सिद्धांत रूप में, उपयुक्त है, लेकिन "कुटिल", क्योंकि "अन्य" वेक्टर मौलिक प्रणाली के वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन है।

उत्तर: eigenvalues: , eigenvectors:

स्वयं करें समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 7

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजें

पाठ के अंत में परिष्करण का एक अनुमानित नमूना।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 6वें और 7वें दोनों उदाहरणों में, रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors का एक तिहाई प्राप्त किया जाता है, और इसलिए मूल मैट्रिक्स को विहित विस्तार में दर्शाया जा सकता है। लेकिन ऐसे रसभरी सभी मामलों में नहीं होते हैं:

उदाहरण 8

समाधान: अभिलक्षणिक समीकरण बनाएं और हल करें:

हम पहले कॉलम द्वारा निर्धारक का विस्तार करते हैं:

हम तीसरी डिग्री के बहुपद से बचते हुए, विचार की गई विधि के अनुसार और सरलीकरण करते हैं:

आइजनवैल्यू हैं।

आइए आइजेनवेक्टर खोजें:

1) जड़ के साथ कोई कठिनाई नहीं है:

हैरान मत होइए, किट के अलावा वेरिएबल्स भी इस्तेमाल में हैं- यहां कोई फर्क नहीं है।

तीसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं - हम पहले और दूसरे समीकरणों में स्थानापन्न करते हैं:

दोनों समीकरणों से निम्नानुसार है:

चलो फिर:

2-3) कई मानों के लिए, हमें सिस्टम मिलता है .

आइए हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं:

आव्यूह A के साथ, यदि ऐसी कोई संख्या l है कि AX = lX है।

इस मामले में, संख्या l कहा जाता है eigenvalueवेक्टर एक्स के अनुरूप ऑपरेटर (मैट्रिक्स ए)।

दूसरे शब्दों में, एक eigenvector एक वेक्टर है, जो एक रैखिक ऑपरेटर की कार्रवाई के तहत, एक कोलिनियर वेक्टर में बदल जाता है, अर्थात। बस कुछ संख्या से गुणा करें। इसके विपरीत, अनुचित वैक्टर को बदलना अधिक कठिन होता है।

हम eigenvector की परिभाषा को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखते हैं:

आइए सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाएं:

अंतिम प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

(ए - एलई)एक्स \u003d ओ

परिणामी प्रणाली में हमेशा एक शून्य समाधान X = O होता है। ऐसे सिस्टम जिनमें सभी मुक्त पद शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं सजातीय. यदि ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार है, और इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो क्रैमर के सूत्रों के अनुसार, हमें हमेशा एक अनूठा समाधान मिलेगा - शून्य। यह साबित किया जा सकता है कि सिस्टम में गैर-शून्य समाधान हैं यदि और केवल अगर इस मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, अर्थात।

|ए - एलई| = = 0

अज्ञात l के साथ इस समीकरण को कहा जाता है विशेषता समीकरण (विशेषता बहुपद) मैट्रिक्स ए (रैखिक ऑपरेटर)।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक रैखिक संकारक का अभिलक्षणिक बहुपद आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, आइए मैट्रिक्स A = द्वारा दिए गए रैखिक ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें।

ऐसा करने के लिए, हम विशेषता समीकरण की रचना करते हैं |А - lЕ| = \u003d (1 - एल) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + एल 2 - 36 \u003d एल 2 - 2l - 35 \u003d 0; डी \u003d 4 + 140 \u003d 144; eigenvalues ​​l 1 = (2 - 12)/2 = -5; एल 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

eigenvectors खोजने के लिए, हम समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करते हैं

(ए + 5ई) एक्स = ओ

(ए - 7ई) एक्स = ओ

उनमें से पहले के लिए, विस्तारित मैट्रिक्स रूप लेगा

,

जहां से x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, अर्थात्। एक्स (1) \u003d (- (2/3) एस; एस)।

उनमें से दूसरे के लिए, विस्तारित मैट्रिक्स रूप लेगा

,

जहां से x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; एक्स 1 \u003d (2/3) एस 1, यानी। एक्स (2) \u003d ((2/3) एस 1; एस 1)।

इस प्रकार, इस रैखिक संचालिका के eigenvectors फॉर्म के सभी वैक्टर हैं (-(2/3)c; c) eigenvalue (-5) के साथ और फॉर्म के सभी वैक्टर ((2/3)c 1 ; c 1) के साथ ईजेनवैल्यू 7.

यह साबित किया जा सकता है कि ऑपरेटर ए का मैट्रिक्स इसके eigenvectors के आधार पर विकर्ण है और इसका रूप है:

,

जहां मैं इस मैट्रिक्स के आइजनवैल्यू हैं।

इसका विलोम भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स A किसी आधार पर विकर्ण है, तो इस आधार के सभी सदिश इस मैट्रिक्स के eigenvectors होंगे।

यह भी साबित किया जा सकता है कि यदि एक रैखिक ऑपरेटर के पास n जोड़ीदार विशिष्ट eigenvalues ​​​​है, तो संबंधित eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और इसी आधार पर इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स का एक विकर्ण रूप है।

आइए इसे पिछले उदाहरण से समझाते हैं। आइए हम मनमाना गैर-शून्य मान c और c 1 लें, लेकिन ऐसे कि वैक्टर X (1) और X (2) रैखिक रूप से स्वतंत्र हों, अर्थात। आधार बनेगा। उदाहरण के लिए, चलो c \u003d c 1 \u003d 3, फिर X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3)।

आइए हम इन वैक्टरों की रैखिक स्वतंत्रता को सत्यापित करें:

12 0. इस नए आधार में मैट्रिक्स A, A * = का रूप लेगा।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम सूत्र A * = C -1 AC का उपयोग करते हैं। आइए पहले सी -1 खोजें।

सी -1 = ;

द्विघात रूप

द्विघात रूप n चरों से f (x 1, x 2, x n) को योग कहा जाता है, जिसका प्रत्येक पद या तो किसी एक चर का वर्ग होता है, या दो भिन्न चरों का गुणनफल होता है, जिसे एक निश्चित गुणांक के साथ लिया जाता है: f (x 1 , एक्स 2, एक्स एन) = (एक ij = एक जी)।

इन गुणांकों से बना मैट्रिक्स A कहलाता है आव्यूहद्विघात रूप। यह हमेशा के लिए है सममितमैट्रिक्स (यानी, मुख्य विकर्ण के बारे में एक मैट्रिक्स सममित, एक ij = a ji)।

मैट्रिक्स नोटेशन में, द्विघात रूप का रूप f(X) = X T AX होता है, जहां

वास्तव में

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात रूप को मैट्रिक्स रूप में लिखें।

ऐसा करने के लिए, हम द्विघात रूप का एक मैट्रिक्स पाते हैं। इसके विकर्ण तत्व चर के वर्गों पर गुणांक के बराबर होते हैं, और शेष तत्व द्विघात रूप के संबंधित गुणांक के आधे के बराबर होते हैं। इसीलिए

मान लें कि चर X का आव्यूह-स्तंभ आव्यूह-स्तंभ Y के एक गैर-अपक्षयी रैखिक रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है, अर्थात्। X = CY, जहाँ C क्रम n का एक अपक्षयी मैट्रिक्स है। तब द्विघात रूप f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y।

इस प्रकार, एक गैर-पतित रैखिक परिवर्तन सी के तहत, द्विघात रूप का मैट्रिक्स रूप लेता है: ए * = सी टी एसी।

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात रूप f(y 1, y 2) को द्विघात रूप f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 से रैखिक रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया गया है।

द्विघात रूप कहलाता है कैनन का(यह है विहित दृश्य) यदि इसके सभी गुणांक a ij = 0 i j के लिए, अर्थात।
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =।

इसका मैट्रिक्स विकर्ण है।

प्रमेय(सबूत यहां नहीं दिया गया है)। गैर-पतित रैखिक परिवर्तन का उपयोग करके किसी भी द्विघात रूप को एक विहित रूप में कम किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए हम द्विघात रूप को विहित रूप में कम करें
एफ (एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 एक्स 2 - 3x 2 2 - एक्स 2 एक्स 3।

ऐसा करने के लिए, पहले चर x 1 के लिए पूर्ण वर्ग का चयन करें:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3।

अब हम चर x 2 के लिए पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

फिर गैर-पतित रैखिक परिवर्तन y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 और y 3 \u003d x 3 इस द्विघात रूप को विहित रूप में लाता है f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2।

ध्यान दें कि द्विघात रूप के विहित रूप को अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है (उसी द्विघात रूप को विहित रूप में घटाया जा सकता है विभिन्न तरीके) हालांकि विभिन्न तरीकेविहित रूपों में एक संख्या होती है सामान्य गुण. विशेष रूप से, द्विघात रूप के धनात्मक (ऋणात्मक) गुणांक वाले पदों की संख्या इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि प्रपत्र को इस रूप में कैसे घटाया जाता है (उदाहरण के लिए, माना गया उदाहरण में हमेशा दो ऋणात्मक और एक धनात्मक गुणांक होगा)। इस संपत्ति को द्विघात रूपों की जड़ता का नियम कहा जाता है।

आइए हम एक ही द्विघात रूप को विहित रूप में एक अलग तरीके से कम करके इसे सत्यापित करें। आइए चर x 2 के साथ परिवर्तन शुरू करें:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, जहां y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) एक्स 3 और वाई 3 = एक्स 1। यहाँ, y 1 पर एक ऋणात्मक गुणांक -3 और y 2 और y 3 पर दो धनात्मक गुणांक 3 और 2 (और दूसरी विधि का उपयोग करके, हमें y 2 पर एक ऋणात्मक गुणांक (-5) और दो धनात्मक गुणांक प्राप्त हुए: 2 y 1 पर और y 3 के लिए 1/20)।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि द्विघात रूप के एक मैट्रिक्स की रैंक, जिसे कहा जाता है द्विघात रूप की रैंक, विहित रूप के गैर-शून्य गुणांक की संख्या के बराबर है और रैखिक परिवर्तनों के तहत नहीं बदलता है।

द्विघात रूप f(X) कहलाता है सकारात्मक (नकारात्मक) निश्चित, यदि चर के सभी मानों के लिए जो एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह धनात्मक है, अर्थात्। f(X) > 0 (ऋणात्मक, अर्थात्।
एफ (एक्स)< 0).

उदाहरण के लिए, द्विघात रूप f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 धनात्मक निश्चित है, क्योंकि वर्गों का योग है, और द्विघात रूप f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ऋणात्मक निश्चित है, क्योंकि प्रतिनिधित्व करता है इसे f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अधिकांश व्यावहारिक स्थितियों में, द्विघात रूप की संकेत-निश्चितता को स्थापित करना कुछ अधिक कठिन होता है, इसलिए इसके लिए निम्नलिखित प्रमेयों में से एक का उपयोग किया जाता है (हम उन्हें बिना प्रमाण के बनाते हैं)।

प्रमेय. एक द्विघात रूप धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित होता है यदि और केवल तभी जब इसके मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​धनात्मक (ऋणात्मक) हों।

प्रमेय(सिलवेस्टर की कसौटी)। एक द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित है यदि और केवल यदि इस रूप के मैट्रिक्स के सभी प्रमुख नाबालिग सकारात्मक हैं।

मेजर (कोने) माइनर n-वें क्रम के मैट्रिक्स A के k-वें क्रम को मैट्रिक्स का निर्धारक कहा जाता है, जो मैट्रिक्स A () की पहली k पंक्तियों और स्तंभों से बना होता है।

ध्यान दें कि ऋणात्मक-निश्चित द्विघात रूपों के लिए, मुख्य अवयस्कों के चिह्न वैकल्पिक होते हैं, और प्रथम-क्रम अवयस्क ऋणात्मक होने चाहिए।

उदाहरण के लिए, हम चिह्न-निश्चितता के लिए द्विघात रूप f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 की जांच करते हैं।

= (2 - एल)*
*(3 - एल) - 4 \u003d (6 - 2 एल - 3 एल + एल 2) - 4 \u003d एल 2 - 5 एल + 2 \u003d 0; डी = 25 - 8 = 17;
. इसलिए, द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित है।

विधि 2. मैट्रिक्स के पहले क्रम का मुख्य नाबालिग A D 1 = a 11 = 2> 0. दूसरे क्रम का मुख्य नाबालिग D 2 = = 6 - 4 = 2> 0. इसलिए, सिल्वेस्टर मानदंड के अनुसार, द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित है।

हम संकेत-निश्चितता के लिए एक और द्विघात रूप की जांच करते हैं, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2।

विधि 1. आइए द्विघात रूप = के एक मैट्रिक्स की रचना करें। विशेषता समीकरण का रूप होगा = (-2 - एल)*
*(-3 - एल) - 4 = (6 + 2 एल + 3 एल + एल 2) - 4 = एल 2 + 5 एल + 2 = 0; डी = 25 - 8 = 17;
. इसलिए, द्विघात रूप ऋणात्मक निश्चित है।

विधि 2. मैट्रिक्स के पहले क्रम का मुख्य नाबालिग ए डी 1 = ए 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. इसलिए, सिल्वेस्टर मानदंड के अनुसार, द्विघात रूप ऋणात्मक निश्चित है (प्रमुख अवयस्कों के चिन्ह वैकल्पिक रूप से, ऋण से प्रारंभ करते हुए)।

और एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम साइन-निश्चितता के लिए द्विघात रूप f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 की जांच करते हैं।

विधि 1. आइए द्विघात रूप = के एक मैट्रिक्स की रचना करें। विशेषता समीकरण का रूप होगा = (2 - एल)*
*(-3 - एल) - 4 = (-6 - 2 एल + 3 एल + एल 2) - 4 = एल 2 + एल - 10 = 0; डी = 1 + 40 = 41;
.

इनमें से एक संख्या ऋणात्मक है और दूसरी धनात्मक है। eigenvalues ​​​​के संकेत अलग हैं। इसलिए, एक द्विघात रूप या तो ऋणात्मक या धनात्मक निश्चित नहीं हो सकता है, अर्थात। यह द्विघात रूप निश्चित चिह्न नहीं है (यह किसी भी चिन्ह का मान ले सकता है)।

विधि 2. मैट्रिक्स के पहले क्रम का मुख्य नाबालिग ए डी 1 = ए 11 = 2> 0. दूसरे क्रम का मुख्य नाबालिग डी 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).