नए आधार में वेक्टर के घटकों का पता लगाएं। आधार

आधार(प्राचीन यूनानी βασις, आधार) - सदिश समष्टि में ऐसे सदिशों का एक समुच्चय जिसे इस स्थान के किसी भी सदिश को इस समुच्चय से सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है - आधार वैक्टर

अंतरिक्ष में एक आधार R n से कोई भी प्रणाली है एन-रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर। R n से प्रत्येक सदिश जो आधार में शामिल नहीं है, को आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्। आधार पर विस्तार करें।
आज्ञा देना अंतरिक्ष का एक आधार हो R n और . फिर संख्याएँ 1 , 2 ,…, n इस प्रकार हैं कि .
प्रसार गुणांक 1, λ 2 , ..., n , आधार B में सदिश के निर्देशांक कहलाते हैं। यदि आधार दिया जाता है, तो सदिश के गुणांक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।

टिप्पणी। सभी में एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष, आप विभिन्न आधारों की अनंत संख्या चुन सकते हैं। अलग-अलग आधारों में, एक ही वेक्टर के अलग-अलग निर्देशांक होते हैं, लेकिन चयनित आधार पर केवल वही होते हैं। उदाहरण।के रूप में वेक्टर का विस्तार करें।
समाधान। . सभी वैक्टर के निर्देशांक बदलें और उन पर कार्रवाई करें:

निर्देशांक की बराबरी करते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

आइए इसे हल करें: .
इस प्रकार, हमें विस्तार मिलता है: .
आधार में, वेक्टर के निर्देशांक होते हैं।

काम का अंत -

यह विषय संबंधित है:

वेक्टर की अवधारणा। वैक्टर पर रैखिक संचालन

एक वेक्टर एक निर्देशित खंड होता है जिसकी एक निश्चित लंबाई होती है, अर्थात, एक निश्चित लंबाई का एक खंड जिसमें इसका एक बाउंडिंग पॉइंट होता है।

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अंतरिक्ष का आधारवैक्टर की ऐसी प्रणाली को कॉल करें जिसमें अंतरिक्ष के अन्य सभी वैक्टरों को आधार में शामिल वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सके।
व्यवहार में, यह सब काफी सरल है। आधार, एक नियम के रूप में, एक विमान या अंतरिक्ष में जाँच की जाती है, और इसके लिए आपको वैक्टर के निर्देशांक से बने दूसरे, तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने की आवश्यकता होती है। योजनाबद्ध रूप से नीचे लिखा गया है वे परिस्थितियाँ जिनके अंतर्गत सदिश आधार बनाते हैं

प्रति आधार वैक्टर के संदर्भ में वेक्टर बी का विस्तार करें
ई, ई ..., ई [एन] गुणांक एक्स, ..., एक्स [एन] को खोजने के लिए आवश्यक है जिसके लिए वैक्टर ई, ई ..., ई [एन] का रैखिक संयोजन बराबर है वेक्टर बी:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
ऐसा करने के लिए, वेक्टर समीकरण को सिस्टम में परिवर्तित किया जाना चाहिए रेखीय समीकरणऔर समाधान खोजें। इसे लागू करना भी काफी आसान है।
पाए गए गुणांक x, ..., x[n] कहलाते हैं आधार में वेक्टर बी के निर्देशांकई, ई ..., ई [एन]।
आइए विषय के व्यावहारिक पक्ष पर चलते हैं।

आधार सदिशों में एक सदिश का अपघटन

कार्य 1। जाँच कीजिए कि क्या सदिश a1, a2 समतल पर आधार बनाते हैं

1) ए1 (3; 5), ए2 (4; 2)
हल: सदिशों के निर्देशांकों से सारणिक बनाइए और उसकी गणना कीजिए

सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, फलस्वरूप वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक आधार बनाते हैं.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
हल: हम सदिशों से बने सारणिक की गणना करते हैं

सारणिक 13 (शून्य के बराबर नहीं) के बराबर है - इससे यह इस प्रकार है कि वैक्टर a1, a2 विमान पर एक आधार है।

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आइए "उच्च गणित" विषय में आईएपीएम कार्यक्रम के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 2. दिखाएँ कि सदिश a1, a2, a3 त्रि-आयामी सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं, और इस आधार पर सदिश b का विस्तार करते हैं (रैखिक की एक प्रणाली को हल करते समय) बीजीय समीकरणक्रैमर की विधि का उपयोग करें)।
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
हल: सबसे पहले, सदिशों के निकाय a1, a2, a3 पर विचार करें और मैट्रिक्स A के सारणिक की जांच करें

शून्य के अलावा अन्य वैक्टर पर बनाया गया। मैट्रिक्स में एक शून्य तत्व होता है, इसलिए निर्धारक की गणना पहले कॉलम या तीसरी पंक्ति के लिए शेड्यूल के रूप में करना अधिक समीचीन है।

गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमने पाया कि सारणिक शून्य से भिन्न है, इसलिए सदिश a1, a2, a3 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं.
परिभाषा के अनुसार, सदिश R3 में एक आधार बनाते हैं। आइए हम सदिश b की अनुसूची को आधार के रूप में लिखें

सदिश समान होते हैं जब उनके संबंधित निर्देशांक समान होते हैं।
इसलिए, सदिश समीकरण से हमें रैखिक समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है

SLAE हल करें क्रैमर की विधि. ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को रूप में लिखते हैं

SLAE का मुख्य निर्धारक हमेशा आधार वैक्टर से बने निर्धारक के बराबर होता है

इसलिए, व्यवहार में इसकी गणना दो बार नहीं की जाती है। सहायक सारणिक ज्ञात करने के लिए, हम मुख्य सारणिक के प्रत्येक स्तंभ के स्थान पर मुक्त पदों का एक स्तंभ रखते हैं। सारणिकों की गणना त्रिभुज के नियम के अनुसार की जाती है



पाए गए निर्धारकों को क्रैमर के सूत्र में प्रतिस्थापित करें



तो, आधार के रूप में वेक्टर b के विस्तार का रूप b=-4a1+3a2-a3 है। आधार a1, a2, a3 में सदिश b के निर्देशांक (-4,3, 1) होंगे।

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1)।
समाधान: हम आधार के लिए वैक्टर की जांच करते हैं - हम वैक्टर के निर्देशांक से निर्धारक की रचना करते हैं और इसकी गणना करते हैं

सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए सदिश अंतरिक्ष में आधार बनाते हैं. यह दिए गए आधार के संदर्भ में सदिश b की अनुसूची का पता लगाना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम वेक्टर समीकरण लिखते हैं

और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में बदलना

हम लिखते हैं मैट्रिक्स समीकरण

अगला, क्रैमर फ़ार्मुलों के लिए, हम सहायक निर्धारक पाते हैं



क्रैमर के सूत्र लागू करना



इसलिए दिया गया वेक्टर b में दो आधार वैक्टर b=-2a1+5a3 के माध्यम से एक शेड्यूल है, और आधार में इसके निर्देशांक b(-2,0, 5) हैं।

एल. 2-1 वेक्टर बीजगणित की मूल अवधारणाएं। वैक्टर पर रैखिक संचालन।

आधार के रूप में एक वेक्टर का अपघटन।

वेक्टर बीजगणित की मूल अवधारणाएं

एक सदिश सभी निर्देशित खंडों का समुच्चय होता है जिसकी लंबाई और दिशा समान होती है
.

गुण:

वैक्टर पर रैखिक संचालन

1.

समांतर चतुर्भुज नियम:

से उम्माहदो वैक्टर तथा वेक्टर कहा जाता है , अपने सामान्य मूल से निकलकर और सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण होने के कारण तथा पक्षों की तरह।

बहुभुज नियम:

किसी भी संख्या में सदिशों का योग बनाने के लिए, आपको पहले पद के अंत में दूसरे सदिश की शुरुआत, दूसरे के अंत में तीसरे की शुरुआत, और इसी तरह की अन्य चीजों को रखना होगा। परिणामी पॉलीलाइन को बंद करने वाला वेक्टर योग है। इसकी शुरुआत पहले की शुरुआत के साथ होती है, और अंत आखिरी के अंत के साथ होता है।

गुण:

2.

वेक्टर उत्पाद प्रति संख्या , को एक सदिश कहा जाता है जो शर्तों को पूरा करता है:
.

गुण:

3.

अंतरवैक्टर तथा कॉल वेक्टर वेक्टर के योग के बराबर और वेक्टर के विपरीत एक वेक्टर , अर्थात।
.

- विपरीत तत्व (वेक्टर) का नियम।

आधार के रूप में एक वेक्टर का अपघटन

वैक्टर का योग एक अनोखे तरीके से निर्धारित किया जाता है
(लेकिन सिर्फ ) रिवर्स ऑपरेशन, कई घटकों में एक वेक्टर का अपघटन, अस्पष्ट है: इसे असंदिग्ध बनाने के लिए, उन दिशाओं को इंगित करना आवश्यक है जिसमें माना वेक्टर का विस्तार होता है, या, जैसा कि वे कहते हैं, यह इंगित करना आवश्यक है आधार.

आधार का निर्धारण करते समय, सदिशों की गैर-समतलीयता और असंरेखीयता की आवश्यकता आवश्यक है। इस आवश्यकता के अर्थ को समझने के लिए, रैखिक निर्भरता और वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता की अवधारणा पर विचार करना आवश्यक है।

प्रपत्र की मनमाना अभिव्यक्ति: , कहा जाता है रैखिक संयोजनवैक्टर
.

कई सदिशों के एक रैखिक संयोजन को कहा जाता है मामूलीयदि इसके सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं।

वैक्टर
बुलाया रैखिक रूप से आश्रित, यदि शून्य के बराबर इन वैक्टरों का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है:
(1), प्रदान किया गया
. यदि समानता (1) केवल सभी के लिए है
एक साथ शून्य के बराबर, फिर शून्येतर सदिश
मर्जी रैखिक रूप से स्वतंत्र.

यह साबित करना आसान है: कोई भी दो संरेख सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं, और दो असंरेखीय सदिश रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं.

हम प्रमाण की शुरुआत पहले अभिकथन से करते हैं।

चलो वैक्टर तथा समरेख। आइए हम दिखाते हैं कि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं। वास्तव में, यदि वे संरेख हैं, तो वे एक दूसरे से केवल एक संख्यात्मक कारक द्वारा भिन्न होते हैं, अर्थात।
, फलस्वरूप
. चूंकि परिणामी रैखिक संयोजन स्पष्ट रूप से गैर-तुच्छ है और "0" के बराबर है, तो वैक्टर तथा रैखिक रूप से निर्भर।

अब दो असंरेखीय सदिशों पर विचार करें तथा . आइए हम साबित करें कि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। हम विरोधाभास द्वारा प्रमाण का निर्माण करते हैं।

हम मानते हैं कि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं। तब एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन मौजूद होना चाहिए
. चलो दिखावा करते हैं कि
, फिर
. परिणामी समानता का अर्थ है कि वैक्टर तथा संरेख हैं, हमारी प्रारंभिक धारणा के विपरीत।

इसी तरह, कोई साबित कर सकता है: कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं, और दो समतलीय सदिश रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं.

एक आधार की अवधारणा और एक निश्चित आधार में एक वेक्टर के विस्तार की समस्या पर लौटते हुए, हम कह सकते हैं कि विमान और अंतरिक्ष में आधार रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के एक सेट से बनता है।आधार की ऐसी अवधारणा सामान्य है, क्योंकि यह किसी भी संख्या में आयामों के स्थान पर लागू होता है।

अभिव्यक्ति की तरह:
, सदिश का अपघटन कहलाता है वैक्टर द्वारा ,…,.

यदि हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आधार पर विचार करते हैं, तो वेक्टर का अपघटन आधार
होगा
, कहाँ पे
-वेक्टर निर्देशांक.

किसी आधार पर एक मनमाना सदिश के विस्तार की समस्या में, निम्नलिखित कथन बहुत महत्वपूर्ण है: कोई वेक्टरदिए गए आधार में एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है
. दूसरे शब्दों में, निर्देशांक
किसी भी वेक्टर के लिए आधार के सापेक्ष
स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

अंतरिक्ष में और एक विमान पर एक आधार की शुरूआत से प्रत्येक वेक्टर को असाइन करना संभव हो जाता है संख्याओं का क्रमित त्रिक (जोड़ी) - इसके निर्देशांक। यह बहुत महत्वपूर्ण परिणाम, जो ज्यामितीय वस्तुओं और संख्याओं के बीच संबंध स्थापित करना संभव बनाता है, भौतिक वस्तुओं की स्थिति और गति का विश्लेषणात्मक रूप से वर्णन और अध्ययन करना संभव बनाता है।

एक बिंदु और एक आधार के संयोजन को कहा जाता है निर्देशांक तरीका।

यदि आधार बनाने वाले सदिश इकाई और जोड़ीवार लंबवत हों, तो निर्देशांक प्रणाली कहलाती है आयताकार,और आधार ऑर्थोनॉर्मल।

एल। 2-2 वैक्टर का उत्पाद

आधार के रूप में एक वेक्टर का अपघटन

वेक्टर पर विचार करें
, इसके निर्देशांक द्वारा दिया गया:
.

- वेक्टर घटक आधार वैक्टर की दिशा में
.

फॉर्म की अभिव्यक्ति
सदिश का अपघटन कहलाता है आधार
.

इसी तरह, कोई भी विघटित हो सकता है आधार
वेक्टर
:

.

माना वेक्टर द्वारा गठित कोणों के कोसाइन आधार वैक्टर के साथ
बुलाया दिशा कोज्या

;
;
.

वैक्टर का अदिश उत्पाद।

दो सदिशों का अदिश गुणनफल तथा इन सदिशों के बीच के कोण की कोज्या द्वारा इन सदिशों के मॉड्यूलों के गुणनफल के बराबर संख्या कहलाती है

दो वैक्टर के स्केलर उत्पाद को इन वैक्टरों में से एक के मॉड्यूलस के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है और पहले वेक्टर की दिशा में दूसरे वेक्टर के ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन के रूप में माना जा सकता है।
.

गुण:

यदि सदिशों के निर्देशांक ज्ञात हों
तथा
, फिर, आधार के संदर्भ में वैक्टर का विस्तार करना
:
तथा
, पाना

, इसलिये
,
, फिर

.

.

वैक्टर की लंबवतता की स्थिति:
.

रेक्टरों के लिए कोलिनियरिटी की स्थिति:
.

वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

या

वेक्टर कला प्रति वेक्टर ऐसे वेक्टर को कहा जाता है
, जो शर्तों को पूरा करता है:

गुण:

माना बीजीय गुण ऑर्थोनॉर्मल आधार पर घटक वैक्टर के निर्देशांक के संदर्भ में क्रॉस उत्पाद के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजना संभव बनाते हैं।

दिया गया:
तथा
.

इसलिये ,
,
,
,
,
,
, फिर

. यह सूत्र तीसरे क्रम के निर्धारक के रूप में छोटा लिखा जा सकता है:

.

वैक्टर का मिश्रित उत्पाद

तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद ,तथा वेक्टर उत्पाद के बराबर संख्या कहा जाता है
, सदिश द्वारा अदिश रूप से गुणा किया जाता है .

निम्नलिखित समानता सत्य है:
, इसलिए मिश्रित उत्पाद लिखा जाता है
.

परिभाषा के अनुसार, तीन वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का परिणाम एक संख्या है। इस संख्या का स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ है:

मिश्रित उत्पाद मॉड्यूल
कम to . पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है आम शुरुआतवैक्टर ,तथा .

मिश्रित उत्पाद गुण:

यदि वैक्टर ,,ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिए गए हैं
उनके निर्देशांक, मिश्रित उत्पाद की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है

.

दरअसल, अगर
, फिर

;
;
, फिर
.

यदि वैक्टर ,,समतलीय हैं, तो सदिश उत्पाद
वेक्टर के लंबवत . और इसके विपरीत, यदि
, तब समांतर चतुर्भुज का आयतन शून्य होता है, और यह तभी संभव है जब सदिश समतलीय (रैखिक रूप से आश्रित) हों।

इस प्रकार तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका मिश्रित गुणनफल शून्य हो।