सदिशों और उसके गुणों का अदिश गुणनफल। वैक्टर का डॉट उत्पाद: सिद्धांत और समस्या समाधान

मैं। अदिश उत्पादगायब हो जाता है अगर और केवल अगर कम से कमसदिशों में से एक शून्य है या यदि सदिश लंबवत हैं। वास्तव में, यदि या , या तब ।

इसके विपरीत, यदि गुणित सदिश शून्य नहीं हैं, तो क्योंकि स्थिति से

जब इस प्रकार है:

चूंकि अशक्त वेक्टर की दिशा अनिश्चित है, अशक्त वेक्टर को किसी भी वेक्टर के लंबवत माना जा सकता है। इसलिए, स्केलर उत्पाद की संकेतित संपत्ति को कम तरीके से तैयार किया जा सकता है: स्केलर उत्पाद गायब हो जाता है और केवल अगर वैक्टर लंबवत होते हैं।

द्वितीय। स्केलर उत्पाद में विस्थापन क्षमता गुण होता है:

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है:

क्योंकि एक ही कोण के लिए अलग-अलग पदनाम।

तृतीय। केवल महत्त्वएक वितरण कानून है। इसका अनुप्रयोग साधारण अंकगणित या बीजगणित जितना ही महान है, जहाँ इसे निम्नानुसार तैयार किया जाता है: योग को गुणा करने के लिए, आपको प्रत्येक पद को गुणा करना होगा और परिणामी गुणनफल को जोड़ना होगा, अर्थात।

जाहिर है, अंकगणित में बहुविकल्पीय संख्याओं का गुणन या बीजगणित में बहुपदों का गुणन गुणन के इसी गुण पर आधारित होता है।

सदिश बीजगणित में इस नियम का वही मूलभूत महत्व है, क्योंकि इसके आधार पर हम सदिशों में बहुपदों के गुणन के सामान्य नियम को लागू कर सकते हैं।

आइए सिद्ध करें कि किन्हीं तीन सदिशों A, B, C के लिए समानता है

सूत्र द्वारा व्यक्त स्केलर उत्पाद की दूसरी परिभाषा के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

§ 5 से अनुमानों की संपत्ति 2 को लागू करने पर, हम पाते हैं:

Q.E.D.

चतुर्थ। स्केलर उत्पाद में संख्यात्मक कारक के संबंध में संयोजन की संपत्ति होती है; यह संपत्ति निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त की गई है:

अर्थात, सदिशों के अदिश गुणनफल को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, किसी एक गुणक को इस संख्या से गुणा करना पर्याप्त है।

वैक्टर का डॉट उत्पाद

हम वैक्टर से निपटना जारी रखते हैं। पहले पाठ में डमी के लिए वैक्टरहमने एक सदिश की अवधारणा, सदिशों के साथ क्रियाओं, सदिश निर्देशांकों और सदिशों के साथ सरलतम समस्याओं पर विचार किया है। यदि आप किसी खोज इंजन से पहली बार इस पृष्ठ पर आए हैं, तो मैं ऊपर दिए गए प्रारंभिक लेख को पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं, क्योंकि सामग्री को आत्मसात करने के लिए, आपको मेरे द्वारा उपयोग की जाने वाली शर्तों और अंकन में निर्देशित होने की आवश्यकता है, आपको वैक्टर का बुनियादी ज्ञान होना चाहिए और प्राथमिक समस्याओं को हल करने में सक्षम हो। यह पाठ विषय की एक तार्किक निरंतरता है, और इसमें मैं उन विशिष्ट कार्यों का विस्तार से विश्लेषण करूँगा जो वैक्टर के स्केलर उत्पाद का उपयोग करते हैं। यह बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य है।. उदाहरणों को छोड़ने की कोशिश न करें, वे एक उपयोगी बोनस के साथ आते हैं - अभ्यास आपको शामिल सामग्री को समेकित करने और विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सामान्य समस्याओं को हल करने में "अपना हाथ प्राप्त करने" में मदद करेगा।

सदिशों को जोड़ना, एक सदिश को एक संख्या से गुणा करना…। यह सोचना भोला होगा कि गणितज्ञ कुछ और लेकर नहीं आए हैं। पहले से ही मानी जाने वाली क्रियाओं के अलावा, वैक्टर के साथ कई अन्य ऑपरेशन भी हैं, अर्थात्: वैक्टर का डॉट उत्पाद, वैक्टर का क्रॉस उत्पादऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद. वैक्टर का स्केलर उत्पाद हमें स्कूल से परिचित है, अन्य दो उत्पाद पारंपरिक रूप से उच्च गणित के पाठ्यक्रम से संबंधित हैं। विषय सरल हैं, कई समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम रूढ़िबद्ध और समझने योग्य है। एकमात्र वस्तु। जानकारी की एक अच्छी मात्रा है, इसलिए यह अवांछनीय है कि सब कुछ और एक बार में महारत हासिल करने और हल करने की कोशिश की जाए। यह डमी के लिए विशेष रूप से सच है, मेरा विश्वास करो, लेखक बिल्कुल गणित से चिकोटिलो की तरह महसूस नहीं करना चाहता। ठीक है, गणित से नहीं, निश्चित रूप से, या तो =) अधिक तैयार छात्र सामग्री का चयन कर सकते हैं, एक निश्चित अर्थ में, लापता ज्ञान को "प्राप्त" करने के लिए, आपके लिए मैं एक हानिरहित गणना ड्रैकुला =)

अंत में, आइए थोड़ा दरवाजा खोलें और देखें कि क्या होता है जब दो वैक्टर एक-दूसरे से मिलते हैं…।

सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा।
स्केलर उत्पाद के गुण। विशिष्ट कार्य

डॉट उत्पाद की अवधारणा

पहले के बारे में वैक्टर के बीच का कोण. मुझे लगता है कि हर कोई सहज रूप से समझता है कि वैक्टर के बीच का कोण क्या है, लेकिन बस मामले में, थोड़ा और। मुक्त अशून्य सदिशों पर विचार करें और . यदि हम इन वैक्टरों को मनमाने बिंदु से स्थगित करते हैं, तो हमें एक ऐसी तस्वीर मिलती है जो कई लोगों ने पहले ही मानसिक रूप से प्रस्तुत कर दी है:

मैं कबूल करता हूं, यहां मैंने केवल समझ के स्तर पर स्थिति का वर्णन किया है। यदि आपको वैक्टर के बीच के कोण की सख्त परिभाषा की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन व्यावहारिक कार्यों के लिए, हमें, सिद्धांत रूप में, इसकी आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा यहाँ और आगे, मैं कभी-कभी शून्य वैक्टरों को उनके कम व्यावहारिक महत्व के कारण अनदेखा कर दूंगा। मैंने विशेष रूप से साइट के उन्नत आगंतुकों के लिए आरक्षण किया है, जो निम्नलिखित में से कुछ बयानों की सैद्धांतिक अपूर्णता के लिए मुझे फटकार लगा सकते हैं।

0 से 180 डिग्री (0 से रेडियन तक) सहित मान ले सकते हैं। विश्लेषणात्मक तथ्य दियादोहरी असमानता के रूप में लिखा गया है:

या

(रेडियंस में)।

साहित्य में, कोण चिह्न को अक्सर छोड़ दिया जाता है और बस लिखा जाता है।

परिभाषा:दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या है जो इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर है:

अब यह काफी सख्त परिभाषा है।

हम आवश्यक जानकारी पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

पद का नाम:अदिश गुणनफल को या केवल द्वारा निरूपित किया जाता है।

संक्रिया का परिणाम एक NUMBER है: एक संख्या प्राप्त करने के लिए एक वेक्टर को एक वेक्टर से गुणा करें। वास्तव में, यदि सदिशों की लंबाई संख्याएँ हैं, कोण की कोसाइन एक संख्या है, तो उनका गुणनफल भी एक संख्या होगी।

वार्म-अप के कुछ उदाहरण:

उदाहरण 1

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

उत्तर:

कोसाइन मान में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. मैं इसे प्रिंट करने की अनुशंसा करता हूं - टावर के लगभग सभी वर्गों में इसकी आवश्यकता होगी और कई बार इसकी आवश्यकता होगी।

विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, स्केलर उत्पाद आयाम रहित है, अर्थात, परिणाम, इस मामले में, केवल एक संख्या है और बस इतना ही। भौतिकी की समस्याओं के दृष्टिकोण से, स्केलर उत्पाद का हमेशा एक निश्चित भौतिक अर्थ होता है, अर्थात परिणाम के बाद, एक या दूसरी भौतिक इकाई को इंगित किया जाना चाहिए। किसी बल के कार्य की गणना करने का विहित उदाहरण किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है (सूत्र बिल्कुल डॉट उत्पाद है)। एक बल का कार्य जूल में मापा जाता है, इसलिए उत्तर काफी विशिष्ट रूप से लिखा जाएगा, उदाहरण के लिए,।

उदाहरण 2

अगर खोजो , और सदिशों के बीच का कोण है।

यह स्व-निर्णय का एक उदाहरण है, उत्तर पाठ के अंत में है।

वैक्टर और डॉट उत्पाद मूल्य के बीच का कोण

उदाहरण 1 में, अदिश गुणनफल धनात्मक निकला, और उदाहरण 2 में, यह ऋणात्मक निकला। आइए जानें कि अदिश गुणनफल का चिन्ह किस पर निर्भर करता है। आइए हमारे सूत्र को देखें: . गैर-शून्य वैक्टर की लंबाई हमेशा सकारात्मक होती है: इसलिए संकेत केवल कोसाइन के मान पर निर्भर हो सकता है।

टिप्पणी: नीचे दी गई जानकारी की बेहतर समझ के लिए, मैनुअल में कोज्या ग्राफ का अध्ययन करना बेहतर है रेखांकन और कार्य गुण. देखें कि कोसाइन सेगमेंट पर कैसे व्यवहार करता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, वैक्टर के बीच का कोण भीतर भिन्न हो सकता है , और निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) अगर कोनावैक्टर के बीच मसालेदार: (0 से 90 डिग्री तक), फिर , और डॉट उत्पाद सकारात्मक होगा सह-निर्देशन किया, तो उनके बीच का कोण शून्य माना जाता है, और अदिश गुणनफल भी धनात्मक होगा। चूँकि , तब सूत्र सरल किया गया है: .

2) अगर कोनावैक्टर के बीच कुंद: (90 से 180 डिग्री तक), फिर , और तदनुसार, डॉट उत्पाद नकारात्मक है: . विशेष मामला: यदि वेक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित, तब उनके बीच के कोण पर विचार किया जाता है तैनात: (180 डिग्री)। अदिश गुणनफल भी ऋणात्मक है, चूँकि

विलोम कथन भी सत्य हैं:

1) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण तीव्र है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर कोडायरेक्शनल हैं।

2) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण अधिक कोण है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं।

लेकिन तीसरा मामला विशेष रुचि का है:

3) अगर कोनावैक्टर के बीच सीधा: (90 डिग्री) तब और डॉट उत्पाद शून्य है: . विलोम भी सत्य है: यदि, तब। कॉम्पैक्ट स्टेटमेंट निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि दिए गए सदिश ओर्थोगोनल हों. लघु गणित अंकन:

! टिप्पणी : दोहराना गणितीय तर्क की नींव: दो तरफा तार्किक परिणाम आइकन आमतौर पर "अगर और केवल तभी", "अगर और केवल अगर" पढ़ा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीर दोनों दिशाओं में निर्देशित होते हैं - "इससे इसका अनुसरण होता है, और इसके विपरीत - इससे इसका अनुसरण होता है।" वैसे, वन-वे फॉलो आइकन से क्या अंतर है? चिह्न का दावा है उतना हीकि "इससे यह अनुसरण करता है", और यह तथ्य नहीं कि विपरीत सत्य है। उदाहरण के लिए: , लेकिन हर जानवर पैंथर नहीं होता है, इसलिए इस मामले में आइकन का इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है। वहीं, आइकन की जगह कर सकनाएक तरफा आइकन का प्रयोग करें। उदाहरण के लिए, समस्या को हल करते समय, हमें पता चला कि हमने निष्कर्ष निकाला है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं: - ऐसा रिकॉर्ड सही होगा, और उससे भी ज्यादा उपयुक्त होगा .

तीसरा मामला बड़ा है व्यवहारिक महत्व , क्योंकि यह आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं या नहीं। हम इस समस्या को पाठ के दूसरे भाग में हल करेंगे।

डॉट उत्पाद गुण

आइए उस स्थिति पर लौटते हैं जब दो वैक्टर होते हैं सह-निर्देशन किया. इस स्थिति में, उनके बीच का कोण शून्य है, और अदिश गुणनफल सूत्र इस रूप में होता है: .

क्या होता है यदि एक सदिश को उसी से गुणा किया जाए? यह स्पष्ट है कि वेक्टर स्वयं के साथ सह-निर्देशित है, इसलिए हम उपरोक्त सरलीकृत सूत्र का उपयोग करते हैं:

नंबर कहा जाता है अदिश वर्गवेक्टर, और के रूप में चिह्नित हैं।

इस प्रकार, वेक्टर अदिश वर्ग वर्ग के बराबर हैदिए गए वेक्टर की लंबाई:

इस समानता से, आप सदिश की लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

हालांकि यह अस्पष्ट लगता है, लेकिन पाठ के कार्य सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे। समस्याओं को हल करने के लिए हमें भी चाहिए डॉट उत्पाद गुण.

मनमाना वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) - विस्थापन योग्य या विनिमेयस्केलर उत्पाद कानून।

2) - वितरण या विभाजित करनेवालास्केलर उत्पाद कानून। सीधे शब्दों में कहें तो आप कोष्ठक खोल सकते हैं।

3) - संयोजन या जोड़नेवालास्केलर उत्पाद कानून। स्थिरांक को अदिश गुणनफल से निकाला जा सकता है।

अक्सर, सभी प्रकार के गुण (जिन्हें साबित करने की भी आवश्यकता होती है!) छात्रों द्वारा अनावश्यक बकवास के रूप में माना जाता है, जिसे केवल याद रखने और परीक्षा के तुरंत बाद सुरक्षित रूप से भूल जाने की आवश्यकता होती है। ऐसा लगता है कि यहां क्या महत्वपूर्ण है, पहले ग्रेड से हर कोई पहले से ही जानता है कि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है:। मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, उच्च गणित में इस तरह के दृष्टिकोण से चीजों को गड़बड़ाना आसान होता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय संपत्ति के लिए मान्य नहीं है बीजगणितीय मैट्रिसेस. के लिए सत्य नहीं है वैक्टर का क्रॉस उत्पाद. इसलिए, यह समझने के लिए कि क्या किया जा सकता है और क्या नहीं किया जा सकता है, उच्च गणित के पाठ्यक्रम में मिलने वाले किसी भी गुण में तल्लीन करना कम से कम बेहतर है।

उदाहरण 3

समाधान:सबसे पहले, आइए वेक्टर के साथ स्थिति को स्पष्ट करें। यह सब क्या है? सदिशों का योग और एक अच्छी तरह से परिभाषित सदिश है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है। लेख में वैक्टर के साथ क्रियाओं की ज्यामितीय व्याख्या पाई जा सकती है डमी के लिए वैक्टर. सदिश के साथ एक ही अजमोद सदिशों और का योग है।

अतः शर्त के अनुसार अदिश गुणनफल ज्ञात करना आवश्यक है। सिद्धांत रूप में, आपको कार्य सूत्र लागू करने की आवश्यकता है , लेकिन समस्या यह है कि हम सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण को नहीं जानते हैं। लेकिन हालत में, वैक्टर के लिए समान पैरामीटर दिए गए हैं, इसलिए हम दूसरे तरीके से जाएंगे:

(1) हम सदिशों के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं।

(2) हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं, लेख में एक अश्लील टंग ट्विस्टर पाया जा सकता है जटिल आंकड़ेया भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन का एकीकरण. मैं खुद को नहीं दोहराऊंगा =) वैसे, स्केलर उत्पाद की वितरण संपत्ति हमें ब्रैकेट खोलने की अनुमति देती है। हमें अधिकार है।

(3) पहले और अंतिम शब्दों में, हम सदिशों के अदिश वर्गों को संक्षिप्त रूप से लिखते हैं: . दूसरे कार्यकाल में, हम स्केलर उत्पाद की कम्यूटेबिलिटी का उपयोग करते हैं:।

(4) यहाँ समान शब्द हैं:।

(5) पहले शब्द में, हम अदिश वर्ग सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसका उल्लेख बहुत पहले नहीं किया गया था। अंतिम अवधि में, क्रमशः वही काम करता है:। दूसरे पद का विस्तार मानक सूत्र के अनुसार किया जाता है .

(6) इन शर्तों को प्रतिस्थापित करें , और सावधानीपूर्वक अंतिम गणना करें।

उत्तर:

नकारात्मक अर्थडॉट उत्पाद इस तथ्य को बताता है कि वैक्टर के बीच का कोण कुंठित है।

कार्य विशिष्ट है, यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है:

उदाहरण 4

सदिशों और का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात है .

अब एक और सामान्य कार्य, सिर्फ नए सदिश लंबाई सूत्र के लिए। यहाँ पदनाम थोड़ा ओवरलैप होगा, इसलिए स्पष्टता के लिए, मैं इसे एक अलग पत्र के साथ फिर से लिखूंगा:

उदाहरण 5

सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि .

समाधानइस प्रकार होगा:

(1) हम सदिश व्यंजक प्रदान करते हैं।

(2) हम लंबाई सूत्र का उपयोग करते हैं: , जबकि हमारे पास वेक्टर "ve" के रूप में एक पूर्णांक अभिव्यक्ति है।

(3) हम योग के वर्ग के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि यह यहां कैसे काम करता है: - वास्तव में, यह अंतर का वर्ग है, और वास्तव में, ऐसा है। जो लोग चाहते हैं वे वैक्टर को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: - यह शर्तों की पुनर्व्यवस्था तक एक ही बात निकला।

(4) पिछली दो समस्याओं से पहले से ही परिचित क्या है।

उत्तर:

चूंकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, आयाम - "इकाइयों" को इंगित करना न भूलें।

उदाहरण 6

सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि .

यह स्वयं करने का उदाहरण है। पूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

हम स्केलर उत्पाद से उपयोगी चीजों को निचोड़ना जारी रखते हैं। आइए फिर से हमारे सूत्र को देखें . अनुपात के नियम से, हम सदिशों की लंबाई को बाईं ओर के भाजक पर रीसेट करते हैं:

आइए भागों की अदला-बदली करें:

इस सूत्र का अर्थ क्या है? यदि दो वैक्टर और उनके स्केलर उत्पाद की लंबाई ज्ञात है, तो इन वैक्टरों के बीच के कोण के कोसाइन की गणना की जा सकती है, और इसके परिणामस्वरूप, स्वयं कोण।

क्या अदिश गुणनफल एक संख्या है? संख्या। वेक्टर लंबाई संख्याएं हैं? अंक। अतः भिन्न भी एक संख्या है। और यदि कोण का कोज्या ज्ञात हो: , फिर व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके कोण को स्वयं खोजना आसान है: .

उदाहरण 7

सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात हो कि ।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

गणना के अंतिम चरण में, एक तकनीक का उपयोग किया गया था - भाजक में तर्कहीनता का उन्मूलन। अपरिमेयता को दूर करने के लिए, मैंने अंश और हर को से गुणा किया।

तो यदि , वह:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों द्वारा पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. हालांकि ऐसा कम ही होता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, कुछ अनाड़ी भालू जैसे अधिक बार दिखाई देते हैं, और कोण का मान लगभग एक कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया जाना है। दरअसल, हम इस तस्वीर को बार-बार देखेंगे।

उत्तर:

दोबारा, आयाम निर्दिष्ट करना न भूलें - रेडियन और डिग्री। व्यक्तिगत रूप से, जानबूझकर "सभी प्रश्नों को हटाने" के लिए, मैं दोनों को इंगित करना पसंद करता हूं (जब तक, निश्चित रूप से, शर्त के अनुसार, केवल रेडियन में या केवल डिग्री में उत्तर प्रस्तुत करना आवश्यक है)।

अब आप अपने दम पर अधिक कठिन कार्य का सामना करने में सक्षम होंगे:

उदाहरण 7*

सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है। सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

कार्य इतना कठिन नहीं है जितना बहु-मार्ग।
आइए समाधान एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें:

1) स्थिति के अनुसार, सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक है, इसलिए आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है .

2) हम स्केलर उत्पाद पाते हैं (उदाहरण संख्या 3, 4 देखें)।

3) सदिश की लंबाई और सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए (उदाहरण संख्या 5, 6 देखें)।

4) समाधान का अंत उदाहरण संख्या 7 के साथ मेल खाता है - हम संख्या जानते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण को स्वयं खोजना आसान है:

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

पाठ का दूसरा खंड उसी डॉट उत्पाद के लिए समर्पित है। निर्देशांक। यह पहले भाग की तुलना में और भी आसान होगा।

वैक्टर का डॉट उत्पाद,
ऑर्थोनॉर्मल आधार पर निर्देशांक द्वारा दिया गया

उत्तर:

कहने की जरूरत नहीं है, निर्देशांक से निपटना कहीं अधिक सुखद है।

उदाहरण 14

सदिशों और यदि का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए

यह स्वयं करने का उदाहरण है। यहां आप ऑपरेशन की सहयोगीता का उपयोग कर सकते हैं, यानी गिनती न करें, लेकिन तुरंत स्केलर उत्पाद से ट्रिपल को हटा दें और इसे अंतिम रूप से गुणा करें। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

पैराग्राफ के अंत में, वेक्टर की लंबाई की गणना करने का एक उत्तेजक उदाहरण:

उदाहरण 15

सदिशों की लंबाई ज्ञात कीजिए , अगर

समाधान:फिर से पिछले खंड की विधि ही सुझाती है: लेकिन एक और तरीका है:

आइए वेक्टर खोजें:

और इसकी लंबाई तुच्छ सूत्र के अनुसार :

स्केलर उत्पाद यहाँ बिल्कुल भी प्रासंगिक नहीं है!

वेक्टर की लंबाई की गणना करते समय यह व्यवसाय से बाहर कैसे होता है:
रुकना। वेक्टर की स्पष्ट लंबाई संपत्ति का लाभ क्यों नहीं लेते? वेक्टर की लंबाई के बारे में क्या कहा जा सकता है? यह सदिश सदिश से 5 गुना अधिक लंबा है। दिशा विपरीत है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं। जाहिर है, वेक्टर की लंबाई उत्पाद के बराबर है मापांकसंख्या प्रति सदिश लंबाई:
- मॉड्यूल का चिन्ह संख्या के संभावित ऋण को "खा जाता है"।

इस प्रकार:

उत्तर:

सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र जो निर्देशांकों द्वारा दिया गया है

अब हमारे पास पूरी जानकारी है ताकि सदिशों के बीच के कोण के कोसाइन के लिए पहले से व्युत्पन्न सूत्र वेक्टर निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त करें:

समतल सदिशों के बीच के कोण की कोसाइनऔर, ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:
.

अंतरिक्ष वैक्टर के बीच कोण की कोसाइन, ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:

उदाहरण 16

एक त्रिभुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। खोजें (वर्टेक्स कोण)।

समाधान:शर्त के अनुसार, ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है, लेकिन फिर भी:

आवश्यक कोण को एक हरे चाप के साथ चिह्नित किया गया है। हम तुरंत कोण के स्कूल पदनाम को याद करते हैं: - विशेष ध्यान मध्यअक्षर - यह उस कोण का शीर्ष है जिसकी हमें आवश्यकता है। संक्षिप्तता के लिए इसे सरलता से भी लिखा जा सकता है।

आरेखण से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रिभुज का कोण सदिशों के बीच के कोण के साथ मेल खाता है और , दूसरे शब्दों में: .

मानसिक रूप से किए गए विश्लेषण को कैसे करना है, यह सीखना वांछनीय है।

आइए वैक्टर खोजें:

आइए स्केलर उत्पाद की गणना करें:

और वैक्टर की लंबाई:

एक कोण की कोसाइन:

यह कार्य का यह क्रम है कि मैं डमी को अनुशंसा करता हूं। अधिक उन्नत पाठक "एक पंक्ति में" गणना लिख सकते हैं:

यहाँ "खराब" कोज्या मान का एक उदाहरण दिया गया है। परिणामी मूल्य अंतिम नहीं है, इसलिए भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने का कोई मतलब नहीं है।

आइए कोण खोजें:

यदि आप ड्राइंग को देखते हैं, तो परिणाम काफी प्रशंसनीय है। कोण को जाँचने के लिए चाँदे से भी मापा जा सकता है। मॉनिटर कोटिंग को नुकसान न पहुंचाएं =)

उत्तर:

उत्तर में यह न भूलें त्रिभुज के कोण के बारे में पूछा(और वैक्टर के बीच के कोण के बारे में नहीं), सटीक उत्तर इंगित करना न भूलें: और कोण का अनुमानित मान: कैलकुलेटर से मिला।

जिन लोगों ने प्रक्रिया का आनंद लिया है वे कोणों की गणना कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि विहित समानता सही है

उदाहरण 17

एक त्रिभुज को उसके शीर्षों के निर्देशांक द्वारा अंतरिक्ष में दिया जाता है। भुजाओं और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

यह स्वयं करने का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर

एक छोटा अंतिम खंड अनुमानों के लिए समर्पित होगा, जिसमें स्केलर उत्पाद भी "शामिल" है:

एक वेक्टर पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण। निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर प्रक्षेपण।
वेक्टर दिशा कोसाइन

सदिशों पर विचार करें और :

हम वेक्टर को वेक्टर पर प्रोजेक्ट करते हैं, इसके लिए हम वेक्टर के आरंभ और अंत को छोड़ देते हैं लंबवतप्रति वेक्टर (हरा छितरी लकीर). कल्पना कीजिए कि प्रकाश की किरणें एक सदिश पर लम्बवत् गिर रही हैं। तब खंड (लाल रेखा) वेक्टर की "छाया" होगी। इस मामले में, वेक्टर पर वेक्टर का प्रक्षेपण खंड की लंबाई है। यानी प्रोजेक्शन एक नंबर है।

इस संख्या को निम्नानुसार दर्शाया गया है: , "बड़ा वेक्टर" एक वेक्टर को दर्शाता है कौनप्रोजेक्ट, "छोटा सबस्क्रिप्ट वेक्टर" वेक्टर को दर्शाता है परजो प्रक्षेपित है।

प्रविष्टि स्वयं इस तरह पढ़ती है: "वेक्टर का प्रक्षेपण" ए "वेक्टर" बी "पर"।

क्या होता है यदि वेक्टर "होना" "बहुत छोटा" है? हम वेक्टर "हो" वाली एक सीधी रेखा खींचते हैं। और वेक्टर "ए" पहले से ही प्रक्षेपित किया जाएगा वेक्टर "हो" की दिशा में, बस - वेक्टर "हो" वाली सीधी रेखा पर। यही बात तब होगी जब सदिश "a" को तीसवें राज्य में अलग रखा जाए - यह अभी भी सदिश "be" वाली रेखा पर आसानी से प्रक्षेपित किया जाएगा।

यदि कोणवैक्टर के बीच मसालेदार(जैसा चित्र में है), तब

यदि वैक्टर ओर्थोगोनल, तब (प्रक्षेपण एक बिंदु है जिसका आयाम शून्य माना जाता है)।

यदि कोणवैक्टर के बीच कुंद(चित्र में, वेक्टर के तीर को मानसिक रूप से पुनर्व्यवस्थित करें), फिर (समान लंबाई, लेकिन ऋण चिह्न के साथ लिया गया)।

इन सदिशों को एक बिंदु से अलग रखें:

जाहिर है, एक वेक्टर को स्थानांतरित करते समय, इसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

यदि समस्या में वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण दोनों को "चांदी की थाली में" प्रस्तुत किया जाता है, तो समस्या की स्थिति और इसका समाधान इस तरह दिखता है:

उदाहरण 1वेक्टर दिए गए हैं। सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए यदि उनकी लम्बाई और उनके बीच के कोण को निम्नलिखित मानों द्वारा निरूपित किया जाता है:

एक अन्य परिभाषा भी मान्य है, जो पूरी तरह से परिभाषा 1 के समतुल्य है।

परिभाषा 2. सदिशों का अदिश गुणनफल इनमें से किसी एक सदिश की लंबाई के गुणनफल के बराबर संख्या (अदिश) होता है और इनमें से पहले सदिश द्वारा निर्धारित अक्ष पर दूसरे सदिश का प्रक्षेपण होता है। परिभाषा 2 के अनुसार सूत्र:

हम अगले महत्वपूर्ण सैद्धांतिक बिंदु के बाद इस सूत्र का उपयोग करके समस्या का समाधान करेंगे।

निर्देशांक के संदर्भ में सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा

गुणित सदिशों को उनके निर्देशांकों द्वारा दिए जाने पर समान संख्या प्राप्त की जा सकती है।

परिभाषा 3।सदिशों का डॉट उत्पाद उनके संबंधित निर्देशांकों के जोड़ीदार उत्पादों के योग के बराबर संख्या है।

सतह पर

यदि दो वैक्टर और विमान में उनके दो द्वारा परिभाषित किया गया है कार्तीय निर्देशांक

तो इन वैक्टरों का डॉट उत्पाद उनके संबंधित निर्देशांक के जोड़ीदार उत्पादों के योग के बराबर है:

उदाहरण 2सदिश के समांतर अक्ष पर सदिश के प्रक्षेपण का संख्यात्मक मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम उनके निर्देशांकों के युग्मवार उत्पादों को जोड़कर सदिशों का अदिश गुणनफल पाते हैं:

अब हमें परिणामी स्केलर उत्पाद को वेक्टर की लंबाई के उत्पाद और वेक्टर के प्रक्षेपण को वेक्टर के समानांतर अक्ष पर (सूत्र के अनुसार) बराबर करने की आवश्यकता है।

हम सदिश की लंबाई को इस प्रकार पाते हैं वर्गमूलइसके निर्देशांकों के वर्गों के योग से:

एक समीकरण लिखें और इसे हल करें:

उत्तर। वांछित संख्यात्मक मान शून्य से 8 है।

अंतरिक्ष में

यदि दो वैक्टर और अंतरिक्ष में उनके तीन कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक द्वारा परिभाषित किए जाते हैं

फिर इन वैक्टरों का अदिश उत्पाद भी उनके संबंधित निर्देशांक के जोड़ीदार उत्पादों के योग के बराबर है, केवल पहले से ही तीन निर्देशांक हैं:

स्केलर उत्पाद को सुविचारित तरीके से खोजने का कार्य स्केलर उत्पाद के गुणों का विश्लेषण करने के बाद होता है। क्योंकि कार्य में यह निर्धारित करना आवश्यक होगा कि गुणित वैक्टर किस कोण से बनते हैं।

वैक्टर के डॉट उत्पाद के गुण

बीजगणितीय गुण

1. (क्रमचयी गुणधर्म: उनके अदिश गुणनफल का मान गुणित सदिशों के स्थानों को बदलने से नहीं बदलता है)।

2. (एक संख्यात्मक कारक के संबंध में साहचर्य संपत्ति: एक सदिश का अदिश गुणनफल किसी गुणक से और दूसरा सदिश इन सदिशों के अदिश गुणनफल के बराबर होता है।

3. (वैक्टर के योग के संबंध में वितरण संपत्ति: तीसरे वेक्टर द्वारा दो वैक्टरों के योग का स्केलर उत्पाद तीसरे वेक्टर द्वारा पहले वेक्टर के स्केलर उत्पादों और तीसरे वेक्टर द्वारा दूसरे वेक्टर के योग के बराबर है)।

4. (शून्य से अधिक सदिश का अदिश वर्ग) if एक अशून्य वेक्टर है, और , if एक शून्य वेक्टर है।

ज्यामितीय गुण

अध्ययन के तहत संक्रिया की परिभाषाओं में, हम पहले ही दो सदिशों के बीच कोण की अवधारणा को छू चुके हैं। इस अवधारणा को स्पष्ट करने का समय आ गया है।

ऊपर की तस्वीर में, दो वैक्टर दिखाई दे रहे हैं, जो कि कम हो गए हैं सामान्य शुरुआत. और पहली बात जिस पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है: इन सदिशों के बीच दो कोण हैं - φ 1 और φ 2 . इनमें से कौन सा कोण सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषाओं और गुणों में प्रकट होता है? माना कोणों का योग 2 है π और इसलिए इन कोणों के कोज्या बराबर हैं। डॉट उत्पाद की परिभाषा में केवल कोण का कोसाइन शामिल है, इसकी अभिव्यक्ति का मूल्य नहीं। लेकिन संपत्तियों में सिर्फ एक कोना ही माना जाता है। और यह उन दो कोणों में से एक है जो अधिक नहीं होता है π यानी 180 डिग्री। इस कोण को चित्र में इस प्रकार दिखाया गया है φ 1 .

1. दो सदिश कहलाते हैं ओर्थोगोनल और इन सदिशों के बीच का कोण एक समकोण है (90 डिग्री या π /2) अगर इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है :

वेक्टर बीजगणित में ओर्थोगोनलिटी दो वैक्टरों की लंबवतता है।

2. दो शून्येतर सदिश मिलकर बनाते हैं तेज़ कोने (0 से 90 डिग्री तक, या, क्या समान है, कम π डॉट उत्पाद सकारात्मक है .

3. दो शून्येतर सदिश मिलकर बनाते हैं अधिक कोण (90 से 180 डिग्री तक, या, जो समान है - अधिक π / 2) अगर और केवल अगर डॉट उत्पाद नकारात्मक है .

उदाहरण 3वेक्टर निर्देशांक में दिए गए हैं:

दिए गए सदिशों के सभी युग्मों के डॉट उत्पादों की गणना करें। सदिशों के ये युग्म किस कोण (तीव्र, समकोण, अधिक कोण) से बनते हैं?

समाधान। हम संगत निर्देशांकों के गुणनफलों को जोड़कर गणना करेंगे।

हमें एक ऋणात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक अधिक कोण बनाते हैं।

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक तीव्र कोण बनाते हैं।

हमें शून्य मिला, इसलिए सदिश एक समकोण बनाते हैं।

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक तीव्र कोण बनाते हैं।

स्व-परीक्षण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर सदिशों का डॉट गुणनफल और उनके बीच के कोण का कोसाइन .

उदाहरण 4दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण को देखते हुए:

निर्धारित करें कि किस संख्या में वैक्टर और ऑर्थोगोनल (लंबवत) हैं।

समाधान। हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार सदिशों को गुणा करते हैं:

अब आइए प्रत्येक पद की गणना करें:

चलिए एक समीकरण बनाते हैं (उत्पाद की समानता शून्य पर), समान शब्द देते हैं और समीकरण को हल करते हैं:

उत्तर: हमें मूल्य मिल गया λ = 1.8, जिस पर सदिश ओर्थोगोनल हैं।

उदाहरण 5सिद्ध कीजिए कि सदिश वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल (लंबवत)।

समाधान। ऑर्थोगोनलिटी की जांच करने के लिए, हम इसके बजाय समस्या की स्थिति में दिए गए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, वैक्टर और बहुपद के रूप में गुणा करते हैं:

ऐसा करने के लिए, आपको पहले बहुपद के प्रत्येक पद (पद) को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी गुणनफल जोड़ना होगा:

नतीजतन, देय अंश कम हो जाता है। निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

निष्कर्ष: गुणन के परिणामस्वरूप, हमें शून्य मिला, इसलिए, वैक्टरों की ऑर्थोगोनलिटी (लंबवत) सिद्ध होती है।

समस्या को स्वयं हल करें और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6सदिशों की लंबाई दी गई है तथा , और इन सदिशों के बीच का कोण है π /4 . किस मूल्य पर निर्धारित करें μ वैक्टर और परस्पर लंबवत हैं।

सदिशों के अदिश गुणनफल और n-आयामी सदिशों के गुणनफल का मैट्रिक्स निरूपण

कभी-कभी, स्पष्टता के लिए, मैट्रिसेस के रूप में दो गुणा वाले वैक्टरों का प्रतिनिधित्व करना फायदेमंद होता है। फिर पहले वेक्टर को पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है, और दूसरा - स्तंभ मैट्रिक्स के रूप में:

तब सदिशों का अदिश गुणनफल होगा इन मेट्रिसेस का उत्पाद :

परिणाम वही है जो उस विधि द्वारा प्राप्त किया गया है जिस पर हमने पहले ही विचार किया है। हमें एक सिंगल नंबर मिला है, और मैट्रिक्स-कॉलम द्वारा मैट्रिक्स-पंक्ति का गुणनफल भी एक सिंगल नंबर है।

मैट्रिक्स रूप में, सार एन-आयामी वैक्टर के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है। इस प्रकार, दो चार-आयामी वैक्टर का उत्पाद चार तत्वों के साथ चार तत्वों के साथ एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा, चार तत्वों के साथ, दो पांच-आयामी वैक्टर का उत्पाद पांच तत्वों के साथ एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा एक कॉलम मैट्रिक्स भी पांच तत्वों के साथ, और इसी तरह।

उदाहरण 7वैक्टर के जोड़े के डॉट उत्पाद खोजें

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करना।

समाधान। वैक्टर की पहली जोड़ी। हम पहले वेक्टर को पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में और दूसरे को कॉलम मैट्रिक्स के रूप में दर्शाते हैं। हम इन वैक्टरों के स्केलर उत्पाद को कॉलम मैट्रिक्स द्वारा पंक्ति मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में पाते हैं:

इसी तरह, हम दूसरी जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं और पाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम वही हैं जो उदाहरण 2 के समान जोड़े के लिए हैं।

दो सदिशों के बीच का कोण

दो सदिशों के बीच के कोण की कोसाइन के सूत्र की व्युत्पत्ति बहुत सुंदर और संक्षिप्त है।

वैक्टर के डॉट उत्पाद को व्यक्त करने के लिए

(1)

निर्देशांक रूप में, हम पहले ओर्ट्स का अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। एक सदिश का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल परिभाषा के अनुसार है:

उपरोक्त सूत्र में जो लिखा है उसका अर्थ है: स्वयं के साथ एक सदिश का अदिश गुणनफल उसकी लंबाई के वर्ग के बराबर होता है. शून्य का कोज्या एक के बराबर है, इसलिए प्रत्येक ऑर्थ का वर्ग एक के बराबर होगा: