अदिश भौतिक मात्रा मीटर में मापी जाती है। भौतिकी में वेक्टर मात्रा

(रैंक 0 के टेंसर), दूसरी ओर, टेंसर मात्रा (सख्ती से बोलना, रैंक 2 या अधिक के टेंसर)। यह पूरी तरह से अलग गणितीय प्रकृति की कुछ वस्तुओं का भी विरोध कर सकता है।

ज्यादातर मामलों में, वेक्टर शब्द का प्रयोग भौतिकी में तथाकथित "भौतिक स्थान" में एक वेक्टर को दर्शाने के लिए किया जाता है, जो कि शास्त्रीय भौतिकी के सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष में या आधुनिक भौतिकी में चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में होता है। बाद के मामले में, एक वेक्टर और एक वेक्टर मात्रा की अवधारणा 4-वेक्टर और 4-वेक्टर मात्रा की अवधारणा के साथ मेल खाती है)।

"वेक्टर मात्रा" वाक्यांश का उपयोग व्यावहारिक रूप से समाप्त हो गया है। जहां तक ​​"वेक्टर" शब्द के प्रयोग का संबंध है, यह लागू होने के एक ही क्षेत्र में डिफ़ॉल्ट रूप से झुकाव के बावजूद, बड़ी संख्या में मामलों में अभी भी ऐसी सीमाओं से बहुत आगे निकल जाता है। इसके बारे में अधिक जानने के लिए नीचे देखें।

शब्दों का प्रयोग वेक्टरतथा वेक्टर क्वांटिटीभौतिकी में

सामान्य तौर पर, भौतिकी में, वेक्टर की अवधारणा लगभग पूरी तरह से गणित के साथ मेल खाती है। हालांकि, इस तथ्य से संबंधित एक शब्दावली विशिष्टता है कि आधुनिक गणित में यह अवधारणा कुछ हद तक सारगर्भित है (भौतिकी की जरूरतों के संबंध में)।

गणित में, "वेक्टर" कहने का अर्थ सामान्य रूप से एक वेक्टर है, अर्थात, किसी भी आयाम और प्रकृति के किसी भी मनमाने ढंग से अमूर्त रैखिक स्थान का कोई भी वेक्टर, जो यदि आप विशेष प्रयास नहीं करते हैं, तो भी भ्रम पैदा हो सकता है (इतना नहीं , ज़ाहिर है, संक्षेप में, उपयोग में आसानी के लिए)। यदि इसे संक्षिप्त करना आवश्यक है, तो गणितीय शैली में किसी को या तो काफी लंबा बोलना होगा ("ऐसे और ऐसे स्थान का वेक्टर"), या स्पष्ट रूप से वर्णित संदर्भ से क्या निहित है, इसे ध्यान में रखें।

भौतिकी में, लगभग हमेशा, हम सामान्य रूप से गणितीय वस्तुओं (कुछ औपचारिक गुणों वाले) के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि उनके कुछ विशिष्ट ("भौतिक") बंधन के बारे में बात कर रहे हैं। संक्षिप्तता और सुविधा के विचार के साथ संक्षिप्तता के इन विचारों को ध्यान में रखते हुए, कोई यह समझ सकता है कि भौतिकी में शब्दावली अभ्यास गणितीय अभ्यास से स्पष्ट रूप से भिन्न है। हालांकि, यह बाद वाले के साथ एक स्पष्ट विरोधाभास में प्रवेश नहीं करता है। यह कुछ सरल तरकीबों से हासिल किया जा सकता है। सबसे पहले, वे डिफ़ॉल्ट रूप से शब्द का उपयोग करने की परंपरा को शामिल करते हैं (जब संदर्भ विशेष रूप से निर्दिष्ट नहीं होता है)। इसलिए, भौतिकी में, गणित के विपरीत, अतिरिक्त स्पष्टीकरण के बिना वेक्टर शब्द को आमतौर पर "सामान्य रूप से किसी भी रैखिक स्थान के कुछ वेक्टर" के रूप में नहीं समझा जाता है, लेकिन, सबसे पहले, "साधारण भौतिक स्थान" (त्रि-आयामी अंतरिक्ष) से ​​जुड़ा एक वेक्टर शास्त्रीय भौतिकी या चार-आयामी अंतरिक्ष-सापेक्ष भौतिकी का समय)। रिक्त स्थान के वैक्टर के लिए जो सीधे और सीधे "भौतिक स्थान" या "स्पेस-टाइम" से संबंधित नहीं हैं, बस विशेष नामों का उपयोग करें (कभी-कभी "वेक्टर" शब्द सहित, लेकिन स्पष्टीकरण के साथ)। यदि किसी स्थान का एक सदिश जो "भौतिक स्थान" या "अंतरिक्ष-समय" से सीधे और सीधे संबंधित नहीं है (और जिसे एक निश्चित तरीके से तुरंत चिह्नित करना मुश्किल है) को सिद्धांत में पेश किया जाता है, तो इसे अक्सर विशेष रूप से एक के रूप में वर्णित किया जाता है "अमूर्त वेक्टर"।

उपरोक्त सभी, "वेक्टर" शब्द से भी अधिक, "वेक्टर मात्रा" शब्द पर लागू होता है। इस मामले में डिफ़ॉल्ट का तात्पर्य "साधारण स्थान" या अंतरिक्ष-समय के लिए और भी अधिक कठोर बंधन है, और तत्वों के संबंध में अमूर्त वेक्टर रिक्त स्थान का उपयोग लगभग कभी नहीं हुआ है, के अनुसार कम से कम, ऐसा आवेदन सबसे दुर्लभ अपवाद प्रतीत होता है (यदि आरक्षण बिल्कुल नहीं है)।

भौतिकी में, सदिश अधिकतर, और सदिश राशियाँ - लगभग हमेशा - दो समान वर्गों के सदिश कहलाती हैं:

वेक्टर भौतिक मात्राओं के उदाहरण: गति, बल, ऊष्मा प्रवाह।

वेक्टर मात्राओं की उत्पत्ति

भौतिक "वेक्टर मात्रा" अंतरिक्ष से कैसे बंधी है? सबसे पहले, यह हड़ताली है कि आयाम वेक्टर मात्रा(इस शब्द के उपयोग के सामान्य अर्थों में, जिसे ऊपर समझाया गया है) उसी "भौतिक" (और "ज्यामितीय") स्थान के आयाम के साथ मेल खाता है, उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष त्रि-आयामी है और विद्युत क्षेत्र वेक्टर है त्रि-आयामी। सहज रूप से, कोई यह भी देख सकता है कि कोई भी सदिश भौतिक मात्रा, सामान्य स्थानिक विस्तार के साथ उसका संबंध कितना भी अस्पष्ट क्यों न हो, फिर भी इस सामान्य स्थान में एक बहुत ही निश्चित दिशा होती है।

हालांकि, यह पता चला है कि भौतिकी के वेक्टर मात्राओं के पूरे सेट को सीधे "कम" करके सरल "ज्यामितीय" वैक्टर, या बल्कि, यहां तक ​​​​कि एक वेक्टर - प्राथमिक विस्थापन के वेक्टर के लिए भी बहुत कुछ हासिल किया जा सकता है, लेकिन यह होगा कहने के लिए और अधिक सही है - उन सभी को इससे उत्पन्न करके।

शास्त्रीय भौतिकी के त्रि-आयामी मामले के लिए इस प्रक्रिया में दो अलग-अलग (हालांकि अनिवार्य रूप से एक-दूसरे को विस्तार से दोहराते हुए) कार्यान्वयन हैं और आधुनिक भौतिकी के लिए सामान्य चार-आयामी अंतरिक्ष-समय फॉर्मूलेशन के लिए कार्यान्वयन हैं।

क्लासिक 3D केस

हम सामान्य त्रि-आयामी "ज्यामितीय" स्थान से आगे बढ़ेंगे जिसमें हम रहते हैं और आगे बढ़ सकते हैं।

आइए हम अतिसूक्ष्म विस्थापन सदिश को प्रारंभिक और अनुकरणीय सदिश के रूप में लें। यह बहुत स्पष्ट है कि यह एक नियमित "ज्यामितीय" वेक्टर (साथ ही एक परिमित विस्थापन वेक्टर) है।

अब तुरंत ध्यान दें कि एक सदिश को एक अदिश से गुणा करने पर हमेशा प्राप्त होता है नया वेक्टर. वैक्टर के योग और अंतर के बारे में भी यही कहा जा सकता है। इस अध्याय में, हम ध्रुवीय और अक्षीय सदिशों में अंतर नहीं करेंगे, इसलिए हम ध्यान दें कि दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद भी एक नया सदिश देता है।

साथ ही, नया वेक्टर एक स्केलर के संबंध में एक वेक्टर का भेदभाव देता है (चूंकि ऐसा व्युत्पन्न एक स्केलर के वैक्टर के अंतर के अनुपात की सीमा है)। यह सभी उच्च आदेशों के डेरिवेटिव के बारे में आगे कहा जा सकता है। अदिश (समय, आयतन) पर एकीकरण के लिए भी यही सच है।

अब ध्यान दें कि, त्रिज्या वेक्टर के आधार पर आरया प्राथमिक विस्थापन से d आर, हम आसानी से समझ जाते हैं कि सदिश (चूंकि समय एक अदिश राशि है) ऐसी गतिज राशियाँ हैं:

वेग और त्वरण से, एक अदिश (द्रव्यमान) से गुणा करके, प्रकट होता है

चूँकि अब हम स्यूडोवैक्टर में भी रुचि रखते हैं, हम ध्यान दें कि

• लोरेंत्ज़ बल सूत्र का उपयोग करते हुए, विद्युत क्षेत्र की ताकत और चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बल और वेग वैक्टर से बंधे होते हैं।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि हमारे लिए ज्ञात सभी सदिश राशियाँ अब न केवल सहज रूप से, बल्कि औपचारिक रूप से मूल स्थान से भी जुड़ी हुई हैं। अर्थात्, वे सभी, एक निश्चित अर्थ में, इसके तत्व हैं, क्योंकि वे संक्षेप में अन्य वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किए जाते हैं (स्केलर कारकों के साथ, संभवतः आयामी, लेकिन अदिश, और इसलिए औपचारिक रूप से काफी कानूनी)।

वेक्टर गणित और भौतिकी में एक शक्तिशाली उपकरण हैं। यांत्रिकी और विद्युतगतिकी के मूल नियम वैक्टर की भाषा में तैयार किए जाते हैं। भौतिकी को समझने के लिए, आपको वैक्टर के साथ काम करना सीखना होगा।

इस अध्याय में शामिल हैं विस्तृत प्रस्तुतियांत्रिकी का अध्ययन शुरू करने के लिए आवश्यक सामग्री:

! वेक्टर जोड़

! एक अदिश को सदिश से गुणा करें

! वैक्टर के बीच का कोण

! एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण

! विमान पर वेक्टर और निर्देशांक

! अंतरिक्ष में सदिश और निर्देशांक

! वैक्टर का डॉट उत्पाद

विश्लेषणात्मक ज्यामिति और रैखिक बीजगणित का अध्ययन करते समय पहले वर्ष में इस परिशिष्ट के पाठ पर वापस आना उपयोगी होगा, उदाहरण के लिए, रैखिक और यूक्लिडियन अंतरिक्ष के स्वयंसिद्ध कहां से आते हैं।

7.1 अदिश और सदिश राशियाँ

भौतिकी के अध्ययन की प्रक्रिया में हम दो प्रकार की राशियों से मिलते हैं - अदिश और सदिश।

परिभाषा। एक अदिश राशि, या अदिश, एक भौतिक राशि है जिसे (उपयुक्त इकाइयों में) निर्दिष्ट करने के लिए एकल संख्या की आवश्यकता होती है।

भौतिकी में बहुत सारे स्केलर हैं। शरीर का वजन 3 किलो है, हवा का तापमान 10 सी है, मुख्य वोल्टेज 220 वी है। . इन सभी मामलों में, हमें ब्याज की मात्रा एक ही संख्या से दी जाती है। इसलिए, द्रव्यमान, तापमान और विद्युत वोल्टेज अदिश हैं।

लेकिन भौतिकी में एक अदिश केवल एक संख्या नहीं है। एक अदिश एक संख्या है जो 1 के आयाम से सुसज्जित है। अतः, द्रव्यमान को देखते हुए, हम m = 3 नहीं लिख सकते; आपको माप की इकाई निर्दिष्ट करनी होगी, उदाहरण के लिए, मी = 3 किग्रा। और अगर गणित में हम संख्या 3 और 220 जोड़ सकते हैं, तो भौतिकी में यह 3 किलोग्राम और 220 वोल्ट जोड़ने के लिए काम नहीं करेगा: हमें केवल उन स्केलर्स को जोड़ने का अधिकार है जिनके समान आयाम हैं (द्रव्यमान के साथ द्रव्यमान, वोल्टेज के साथ वोल्टेज) , आदि)।

परिभाषा। एक सदिश राशि, या एक सदिश, एक भौतिक राशि है जिसकी विशेषता है: 1) एक गैर-ऋणात्मक अदिश; 2) अंतरिक्ष में दिशा। इस मामले में, अदिश को सदिश का मापांक या इसका निरपेक्ष मान कहा जाता है।

मान लीजिए कि एक कार 60 किमी/घंटा की गति से चल रही है। लेकिन यह अधूरी यातायात जानकारी है, है ना? यह भी महत्वपूर्ण हो सकता है कि कार किस दिशा में जा रही है। इसलिए, इस मामले में न केवल वाहन की गति के मॉड्यूल (पूर्ण मूल्य) को जानना महत्वपूर्ण है, यह 60 किमी / घंटा है, बल्कि अंतरिक्ष में इसकी दिशा भी है। तो गति एक वेक्टर है।

एक और उदाहरण। मान लीजिए फर्श पर 1 किलो द्रव्यमान की एक ईंट है। ईंट पर 100 N का बल कार्य करता है (यह बल का मापांक है, या इसका निरपेक्ष मान है)। ईंट कैसे चलेगी? जब तक बल की दिशा निर्दिष्ट नहीं की जाती तब तक प्रश्न निरर्थक है। यदि बल ऊपर की ओर कार्य करता है, तो ईंट ऊपर की ओर गति करेगी। यदि बल क्षैतिज रूप से कार्य करता है, तो ईंट क्षैतिज रूप से गति करेगी। और यदि बल लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है, तो ईंट बिल्कुल नहीं हिलेगी, यह केवल फर्श में दब जाएगी। अतः हम देखते हैं कि वह बल भी एक सदिश है।

भौतिकी में एक सदिश राशि का भी एक आयाम होता है। एक वेक्टर का आयाम उसके मॉड्यूल का आयाम है।

हम एक तीर के साथ अक्षरों द्वारा वैक्टर को निरूपित करेंगे। तो, वेग वेक्टर को निरूपित किया जा सकता है

~v से होकर, और F से होकर जाने वाला बल सदिश। दरअसल, यह वेक्टर एक तीर है या, जैसा कि वे कहते हैं, एक निर्देशित खंड (चित्र। 7.1)।

चावल। 7.1 वेक्टर ~ वी

तीर के शुरुआती बिंदु को वेक्टर की शुरुआत कहा जाता है, और तीर का अंत बिंदु (टिप) कहा जाता है

वेक्टर का अंत। गणित में, एक सदिश जो बिंदु A से शुरू होता है और बिंदु B पर समाप्त होता है, उसे दर्शाया जाता है

एबी भी; हमें कभी-कभी ऐसे अंकन की आवश्यकता होगी।

एक सदिश जिसका आरंभ और अंत संपाती होता है, एक शून्य सदिश (या शून्य) कहलाता है और

~ द्वारा दर्शाया गया है। नल वेक्टर बस एक बिंदु है; इसकी कोई निश्चित दिशा नहीं है।

शून्य वेक्टर की लंबाई निश्चित रूप से शून्य है।

1 आयाम रहित अदिश भी हैं: घर्षण का गुणांक, दक्षता, माध्यम का अपवर्तनांक। . . तो, पानी का अपवर्तनांक 1 है; 33, यह संपूर्ण जानकारी है, इस संख्या का कोई आयाम नहीं है।

तीर खींचने से वेक्टर मात्राओं के चित्रमय प्रतिनिधित्व की समस्या पूरी तरह से हल हो जाती है। तीर की दिशा दिए गए वेक्टर की दिशा को इंगित करती है, और उपयुक्त पैमाने में तीर की लंबाई इस वेक्टर का मापांक है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो कारें u = 30 किमी/घंटा और v = 60 किमी/घंटा की गति से एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं। तब कार की गति के सदिश ~u और ~v की विपरीत दिशाएं होंगी, और सदिश ~v की लंबाई दोगुनी होगी (चित्र 7.2)।

चावल। 7.2. सदिश ~v दुगना लम्बा है

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, तीर के बिना एक अक्षर (उदाहरण के लिए, पिछले पैराग्राफ में u या v) संबंधित वेक्टर के मापांक को दर्शाता है। गणित में, सदिश ~v का मापांक आमतौर पर j~vj द्वारा निरूपित किया जाता है, लेकिन भौतिक विज्ञानी, यदि स्थिति अनुमति देती है, तो बिना तीर के v को पसंद करेंगे।

सदिश समरेखी कहलाते हैं यदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों।

मान लीजिए कि दो संरेख सदिश हैं। यदि उनकी दिशाएँ मेल खाती हैं, तो सदिशों को सह-दिशा कहा जाता है; यदि उनकी दिशाएँ भिन्न हैं, तो सदिशों को विपरीत दिशा में निर्देशित कहा जाता है। तो, ऊपर अंजीर में। 7.2 सदिश ~u और ~v विपरीत दिशा में हैं।

दो सदिश समान कहलाते हैं यदि वे कूटदिशा में हों और उनमें समान मॉड्यूल हों (चित्र 7.3)।

चावल। 7.3. सदिश ~a और b बराबर हैं: ~a = b

इस प्रकार, वैक्टर की समानता का मतलब उनकी शुरुआत और अंत का अपरिहार्य संयोग नहीं है: हम एक वेक्टर को अपने समानांतर स्थानांतरित कर सकते हैं, और इस मामले में हमें मूल के बराबर एक वेक्टर मिलता है। इस तरह के स्थानांतरण का उपयोग लगातार उन मामलों में किया जाता है जहां वैक्टर की शुरुआत को एक बिंदु तक कम करना वांछनीय होता है, उदाहरण के लिए, जब वैक्टर का योग या अंतर ज्ञात होता है। अब हम सदिशों पर संक्रियाओं पर विचार करते हैं।

वे मात्राएँ जो एक संख्यात्मक मान और दिशा की विशेषता होती हैं, सदिश या सदिश कहलाती हैं। लेकिन! एक ही भौतिक मात्रा में कई हो सकते हैं पत्र(में विभिन्न साहित्य) भौतिकी में, भौतिक राशियाँ दो प्रकार की होती हैं: सदिश और अदिश। ऐसे वैक्टर को समान लंबाई और दिशाओं वाले निर्देशित खंडों के रूप में दर्शाया गया है।

भौतिक विज्ञान में एक अदिश राशि (से - ऑफ़सेट.मटुअर्ज़ाइलरेन्चैटी) एक मात्रा है, जिसके प्रत्येक मान को एक वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात्, एक अदिश राशि केवल उसके मान से निर्धारित होती है, एक सदिश के विपरीत, जिसके मूल्य के अतिरिक्त, एक दिशा होती है। संक्षिप्तता और सुविधा के विचार के साथ संक्षिप्तता के इन विचारों को ध्यान में रखते हुए, कोई यह समझ सकता है कि भौतिकी में शब्दावली अभ्यास गणितीय अभ्यास से स्पष्ट रूप से भिन्न है।

इस वेक्टर में, सिद्धांत रूप में, कोई भी आयाम हो सकता है, और एक नियम के रूप में, यह अनंत-आयामी है। यह सब "वेक्टर" शब्द को संरक्षित करने की अनुमति देता है, शायद, मुख्य अर्थ - 4-वेक्टर का अर्थ। यही वह अर्थ है जो सदिश क्षेत्र, सदिश कण (वेक्टर बोसॉन, सदिश मेसन) शब्दों में सन्निहित है; अदिश शब्द का समान शब्दों में संयुग्मी अर्थ होता है।

हम सामान्य त्रि-आयामी "ज्यामितीय" स्थान से आगे बढ़ेंगे जिसमें हम रहते हैं और आगे बढ़ सकते हैं। आइए हम अतिसूक्ष्म विस्थापन सदिश को प्रारंभिक और अनुकरणीय सदिश के रूप में लें। यह बहुत स्पष्ट है कि यह एक नियमित "ज्यामितीय" वेक्टर (साथ ही एक परिमित विस्थापन वेक्टर) है।

वेक्टर मात्रा का पदनाम

वैक्टर के योग और अंतर के बारे में भी यही कहा जा सकता है। इस अध्याय में, हम ध्रुवीय और अक्षीय सदिशों में अंतर नहीं करेंगे, इसलिए ध्यान दें कि दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद भी एक नया सदिश देता है।

द्रव्यमान और घनत्व

यह सभी उच्च आदेशों के डेरिवेटिव के बारे में आगे कहा जा सकता है। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि हमारे लिए ज्ञात सभी सदिश राशियाँ अब न केवल सहज रूप से, बल्कि औपचारिक रूप से भी मूल स्थान से जुड़ी हुई हैं। स्यूडोवेक्टर के उदाहरण: दो ध्रुवीय वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के माध्यम से परिभाषित सभी मात्रा। सिद्धांत रूप में, इस फॉर्मूलेशन का उपयोग क्वांटम सिद्धांतों और गैर-क्वांटम दोनों के लिए किया जाता है।

भौतिकी के पाठ्यक्रम में अक्सर ऐसी मात्राएँ होती हैं जिनके विवरण के लिए केवल संख्यात्मक मान जानना पर्याप्त होता है। वेक्टर मात्राओं को संबंधित अक्षरों द्वारा शीर्ष पर एक तीर के साथ दर्शाया जाता है या बोल्ड में हाइलाइट किया जाता है। दो सदिश समान कहलाते हैं यदि उनकी लंबाई समान हो और एक ही दिशा में बिंदु हों। जब एक आकृति में दो या दो से अधिक सदिशों का चित्रण किया जाता है, तो खंड पूर्व-चयनित पैमाने पर बनाए जाते हैं।

ये वस्तुएं क्या हैं, उनका क्या होता है, या यदि कुछ किया जाता है तो क्या होगा: फेंकना, मोड़ना, ओवन में डालना। उनके साथ कुछ क्यों हो रहा है और यह वास्तव में कैसे हो रहा है? एक नया रेफ्रिजरेटर खरीदने से पहले, आप अपने आप को कई भौतिक मात्राओं से परिचित कर सकते हैं जो आपको यह तय करने की अनुमति देती हैं कि यह क्या है, बेहतर या बदतर, और इसकी लागत अधिक क्यों है।

न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियम

सभी भौतिक राशियों को आमतौर पर अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, अधिक बार ग्रीक वर्णमाला. इस तथ्य के बावजूद कि आप इस तरह के एक पत्र में नहीं आए होंगे, भौतिक मात्रा का अर्थ, सूत्रों में इसकी भागीदारी समान रहती है। तापमान ऐसी मात्रा का एक और उदाहरण है। भौतिकी में अन्य बहुत महत्वपूर्ण मात्राओं की एक दिशा होती है, उदाहरण के लिए, गति; हमें न केवल शरीर की गति की गति, बल्कि वह पथ भी निर्दिष्ट करना चाहिए जिसके साथ वह चलता है। गणित में सदिश को किस प्रकार निरूपित किया जाता है!

दो सदिश समान होते हैं यदि उनके मापांक और दिशाएं समान हों। एक आयताकार समन्वय प्रणाली के ऑक्स और ओए अक्षों पर वेक्टर ए का अनुमान। अदिश राशियाँ वे राशियाँ होती हैं जिनका संख्यात्मक मान होता है लेकिन कोई दिशा नहीं होती है। किसी भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाला बल एक सदिश राशि है, एक सदिश, क्योंकि इसकी एक दिशा होती है।

हथौड़ा और निहाई के बीच।

शरीर का तापमान एक अदिश राशि है, एक अदिश राशि है, क्योंकि इस मात्रा के साथ कोई दिशा नहीं जुड़ी है। माप के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या पूरी तरह से अदिश मान और सदिश मान को आंशिक रूप से दर्शाती है। सभी पाठ्यपुस्तकों और स्मार्ट पुस्तकों में, न्यूटन में बल व्यक्त करने की प्रथा है, लेकिन भौतिक विज्ञानी जिन मॉडलों के साथ काम करते हैं, उन्हें छोड़कर, न्यूटन का कहीं भी उपयोग नहीं किया जाता है।

इसका मतलब यह है कि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर एक विशाल पिंड कितनी भी गति करे, गुरुत्वाकर्षण क्षमता और बल केवल एक निश्चित समय में पिंड की स्थिति पर निर्भर करता है। लेकिन इन दोनों घटनाओं को एक ही अभिव्यक्ति "इसे आसान बनाएं" के साथ नामित करना असंभव है।

वेक्टर छवि

एक सदिश राशि (उदाहरण के लिए, किसी पिंड पर लगाया गया बल), इसके मूल्य (मापांक) के अलावा, इसकी दिशा की भी विशेषता है। एक अदिश राशि (उदाहरण के लिए, लंबाई) की विशेषता केवल एक मान होती है। यांत्रिकी के सभी शास्त्रीय नियम सदिश राशियों के लिए तैयार किए गए हैं। उस समर्थन पर विचार करें जिस पर भार रखा गया है। यह 3 बलों से प्रभावित होता है: $(\बड़ा \overrightarrow(N_1),\ \overrightarrow(N_2),\ \overrightarrow(N),)$ इन बलों के आवेदन के बिंदु क्रमशः A, B और C।

ताकत कैसे मापी जाती है?

यह एक सदिश समीकरण है, अर्थात्। वास्तव में तीन समीकरण - तीनों दिशाओं में से प्रत्येक के लिए एक। द्रव्यमान एक मौलिक भौतिक राशि है। न्यूटन का दूसरा नियम त्वरण और बल के सदिशों से संबंधित है। इसका अर्थ है कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं।

दो पिंड एक दूसरे पर परिमाण में समान और दिशा में विपरीत बलों के साथ कार्य करते हैं। समस्या यह है कि ये विकल्प समान नहीं हैं। और यह सच है। लेकिन सब नहीं…। और व्यवहार में इस ज्ञान का अनुप्रयोग। जिस प्रणाली पर हम विचार कर रहे हैं, उसमें 3 वस्तुएं हैं: एक ट्रैक्टर $(T)$, एक अर्ध-ट्रेलर $(\बड़ा ((p.p.)))$ और एक कार्गो $(\बड़ा (जीआर))$।

यह लेख भौतिक अवधारणा के बारे में है। सामान्य तौर पर, भौतिकी में, वेक्टर की अवधारणा लगभग पूरी तरह से गणित के साथ मेल खाती है। हालांकि, इस तथ्य से संबंधित एक शब्दावली विशिष्टता है कि आधुनिक गणित में यह अवधारणा कुछ हद तक सारगर्भित है (भौतिकी की जरूरतों के संबंध में)।

हालांकि, यह बाद वाले के साथ एक स्पष्ट विरोधाभास में प्रवेश नहीं करता है। उपरोक्त सभी, "वेक्टर" शब्द से भी अधिक, "वेक्टर मात्रा" शब्द को संदर्भित करता है। भौतिक "वेक्टर मात्रा" अंतरिक्ष से कैसे बंधी है? साथ ही, नया वेक्टर एक स्केलर के संबंध में एक वेक्टर का भेदभाव देता है (चूंकि ऐसा व्युत्पन्न एक स्केलर के वैक्टर के अंतर के अनुपात की सीमा है)। लोरेंत्ज़, विद्युत क्षेत्र की ताकत और चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बल और वेग वैक्टर से बंधे हैं।

द्रव्यमान, लंबाई, तापमान - यह भौतिक मात्रा है। उनका मुख्य अंतर यह है कि वेक्टर भौतिक राशियों की एक दिशा होती है। एक तीर केवल सदिश भौतिक राशियों के अक्षरों के ऊपर खींचा जाता है। यह पता चला है कि सभी 4-वेक्टर मात्रा 4-विस्थापन से "आती हैं", इसलिए कुछ अर्थों में 4-विस्थापन के समान ही स्पेस-टाइम वैक्टर हैं। वेक्टर मात्रा याद रखना बेहतर है।

मात्राओं को अदिश (स्केलर) कहा जाता है, यदि माप की एक इकाई चुनने के बाद, वे पूरी तरह से एक संख्या द्वारा विशेषता होती हैं। अदिश राशियों के उदाहरण कोण, सतह, आयतन, द्रव्यमान, घनत्व, विद्युत आवेश, प्रतिरोध, तापमान हैं।

दो प्रकार के अदिशों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए: शुद्ध अदिश और स्यूडोस्केलर।

3.1.1. शुद्ध स्केलर।

शुद्ध स्केलर पूरी तरह से एकल संख्या द्वारा परिभाषित होते हैं, जो संदर्भ अक्षों की पसंद से स्वतंत्र होते हैं। तापमान और द्रव्यमान शुद्ध अदिश के उदाहरण हैं।

3.1.2. स्यूडोस्केलर।

शुद्ध अदिश की तरह, स्यूडोस्केलर को एक एकल संख्या का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है जिसका निरपेक्ष मान संदर्भ अक्षों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। हालाँकि, इस संख्या का चिन्ह निर्देशांक अक्षों पर सकारात्मक दिशाओं के चुनाव पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज पर विचार करें, जिसके किनारों के अनुमान क्रमशः आयताकार समन्वय अक्षों पर हैं। इस समानांतर चतुर्भुज की मात्रा निर्धारक का उपयोग करके निर्धारित की जाती है

जिसका निरपेक्ष मान आयताकार निर्देशांक अक्षों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। हालाँकि, यदि आप निर्देशांक अक्षों में से किसी एक पर धनात्मक दिशा बदलते हैं, तो सारणिक चिह्न बदल देगा। आयतन एक स्यूडोस्केलर है। स्यूडोस्केलर भी कोण, क्षेत्र, सतह हैं। नीचे (धारा 5.1.8) हम देखेंगे कि एक स्यूडोस्केलर वास्तव में एक विशेष प्रकार का टेंसर है।

वेक्टर मात्रा

3.1.3. एक्सिस।

अक्ष एक अनंत सीधी रेखा है जिस पर सकारात्मक दिशा चुनी जाती है। ऐसी एक सीधी रेखा, और दिशा से

सकारात्मक माना जाता है। इस सरल रेखा पर एक खंड पर विचार करें और मान लें कि लंबाई मापने वाली संख्या एक है (चित्र 3.1)। फिर खंड की बीजगणितीय लंबाई बराबर है, खंड की बीजगणितीय लंबाई बराबर है - ए।

यदि हम कई समानांतर रेखाएँ लेते हैं, तो उनमें से एक पर सकारात्मक दिशा निर्धारित करने के बाद, हम इसे बाकी पर निर्धारित करते हैं। यदि रेखाएँ समानांतर न हों तो स्थिति भिन्न होती है; तो प्रत्येक सीधी रेखा के लिए सकारात्मक दिशा के चुनाव के संबंध में विशेष व्यवस्था करना आवश्यक है।

3.1.4. रोटेशन की दिशा।

धुरी चलो। अक्ष के परितः घूर्णन को धनात्मक या प्रत्यक्ष कहा जाता है यदि यह अक्ष की धनात्मक दिशा में दायीं और बायीं ओर खड़े प्रेक्षक के लिए किया जाता है (चित्र 3.2)। अन्यथा, इसे नकारात्मक या उलटा कहा जाता है।

3.1.5. प्रत्यक्ष और उलटा त्रिकोण।

कुछ त्रिभुज (आयताकार या गैर-आयताकार) दें। कुल्हाड़ियों पर क्रमशः O से x, O से y और O से z तक धनात्मक दिशाएँ चुनी जाती हैं।

स्कूली बच्चे को डराने वाले दो शब्द - वेक्टर और अदिश - वास्तव में डरावने नहीं हैं। यदि आप रुचि के साथ विषय पर पहुंचते हैं, तो सब कुछ समझा जा सकता है। इस लेख में, हम विचार करेंगे कि कौन सी मात्रा सदिश है और कौन सी अदिश राशि है। अधिक सटीक रूप से, आइए उदाहरण दें। प्रत्येक छात्र ने, शायद, इस तथ्य पर ध्यान दिया कि भौतिकी में कुछ मात्राएँ न केवल एक प्रतीक द्वारा, बल्कि ऊपर से एक तीर द्वारा भी इंगित की जाती हैं। वे किस लिए खड़े हैं? इस पर नीचे चर्चा की जाएगी। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि यह स्केलर से कैसे भिन्न है।

वेक्टर उदाहरण। उन्हें कैसे लेबल किया जाता है

वेक्टर का क्या अर्थ है? वह जो आंदोलन की विशेषता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह अंतरिक्ष में है या विमान में। एक वेक्टर मात्रा क्या है? उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज एक निश्चित ऊंचाई पर एक निश्चित गति से उड़ता है, एक विशिष्ट द्रव्यमान होता है, और आवश्यक त्वरण के साथ हवाई अड्डे से आगे बढ़ना शुरू कर देता है। एक विमान की गति क्या है? उसे क्या उड़ाया? बेशक, त्वरण, गति। भौतिकी पाठ्यक्रम से सदिश राशियाँ इसके अच्छे उदाहरण हैं। इसे सीधे शब्दों में कहें तो एक सदिश राशि गति, विस्थापन से जुड़ी होती है।

पानी भी पहाड़ की ऊंचाई से एक निश्चित गति से चलता है। देखना? गति या द्रव्यमान नहीं, अर्थात् गति के कारण गति की जाती है। टेनिस खिलाड़ी रैकेट की मदद से गेंद को आगे बढ़ने देता है। यह त्वरण सेट करता है। वैसे, इस स्थिति में लगाया गया बल भी एक सदिश राशि है। क्योंकि यह दी गई गति और त्वरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। बल विशिष्ट क्रियाओं को करने, बदलने में भी सक्षम है। पेड़ों पर पत्तियों को झकझोरने वाली हवा को भी एक उदाहरण माना जा सकता है। क्योंकि गति है।

सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य

एक वेक्टर मात्रा एक मात्रा है जिसमें आसपास के स्थान और एक मॉड्यूल में एक दिशा होती है। भयावह शब्द फिर से प्रकट हुआ, इस बार मॉड्यूल। कल्पना कीजिए कि आपको एक समस्या को हल करने की आवश्यकता है जहां त्वरण का नकारात्मक मूल्य तय किया जाएगा। प्रकृति में नकारात्मक मानअस्तित्व नहीं लगता। गति ऋणात्मक कैसे हो सकती है?

एक वेक्टर की ऐसी अवधारणा होती है। यह लागू होता है, उदाहरण के लिए, उन बलों पर जो शरीर पर लागू होते हैं, लेकिन अलग-अलग दिशाएं होती हैं। तीसरे को याद करें जहां क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर है। लोग रस्सी खींच रहे हैं। एक टीम नीली जर्सी में है तो दूसरी पीली जर्सी में। दूसरे मजबूत हैं। मान लें कि उनके बल का सदिश धनात्मक रूप से निर्देशित है। उसी समय, पूर्व रस्सी खींचने में विफल रहता है, लेकिन वे कोशिश करते हैं। एक विरोधी ताकत है।

वेक्टर या अदिश मात्रा?

आइए एक सदिश राशि और एक अदिश राशि के बीच अंतर के बारे में बात करते हैं। किस पैरामीटर की कोई दिशा नहीं है, लेकिन उसका अपना अर्थ है? हम नीचे कुछ अदिशों को सूचीबद्ध करते हैं:

क्या उन सभी के पास दिशा है? नहीं। कौन-सी मात्रा सदिश है और कौन-सी अदिश राशि को केवल उदाहरण के द्वारा ही दिखाया जा सकता है। भौतिकी में ऐसी अवधारणाएँ न केवल "यांत्रिकी, गतिकी और कीनेमेटीक्स" खंड में हैं, बल्कि "विद्युत और चुंबकत्व" खंड में भी हैं। लोरेंत्ज़ बल भी एक सदिश राशि है।

सूत्रों में वेक्टर और अदिश

भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में अक्सर ऐसे सूत्र होते हैं जिनमें शीर्ष पर एक तीर होता है। न्यूटन का दूसरा नियम याद रखें। बल ("एफ" ऊपर एक तीर के साथ) द्रव्यमान ("एम") और त्वरण ("ए" ऊपर एक तीर के साथ) के उत्पाद के बराबर है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, बल और त्वरण सदिश राशियाँ हैं, लेकिन द्रव्यमान अदिश राशि है।

दुर्भाग्य से, सभी प्रकाशनों में इन मात्राओं का पदनाम नहीं है। शायद, यह सरल बनाने के लिए किया गया था, ताकि स्कूली बच्चों को गुमराह न किया जा सके। उन पुस्तकों और संदर्भ पुस्तकों को खरीदना सबसे अच्छा है जो सूत्रों में वैक्टर को इंगित करते हैं।

चित्रण दिखाएगा कि कौन सी मात्रा एक वेक्टर है। भौतिकी के पाठों में चित्रों और आरेखों पर ध्यान देने की सिफारिश की जाती है। वेक्टर मात्राओं की एक दिशा होती है। जहाँ यह निर्देशित है बेशक, नीचे। तो तीर उसी दिशा में दिखाया जाएगा।

तकनीकी विश्वविद्यालयों में भौतिकी का गहन अध्ययन किया जाता है। कई विषयों में, शिक्षक इस बारे में बात करते हैं कि कौन सी मात्राएँ अदिश और सदिश हैं। क्षेत्रों में इस तरह के ज्ञान की आवश्यकता है: निर्माण, परिवहन, प्राकृतिक विज्ञान।