सदिश और अदिश राशियाँ - वे कैसे भिन्न हैं? कौन-सी राशि सदिश है और कौन-सी अदिश राशि है? कॉम्प्लेक्स के बारे में ही।

भौतिकी और गणित "वेक्टर मात्रा" की अवधारणा के बिना नहीं कर सकते। इसे जानना और पहचाना जाना चाहिए, साथ ही इसके साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए। आपको इसे निश्चित रूप से सीखना चाहिए ताकि भ्रमित न हों और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न करें।

एक सदिश एक से एक अदिश मान को कैसे अलग करें?

पहले में हमेशा केवल एक विशेषता होती है। यह इसका संख्यात्मक मान है। अधिकांश अदिश धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ले सकते हैं। उदाहरण विद्युत आवेश, कार्य या तापमान हैं। लेकिन कुछ ऐसे अदिश हैं जो ऋणात्मक नहीं हो सकते, जैसे लंबाई और द्रव्यमान।

वेक्टर मात्रा, को छोड़कर अंकीय मूल्य, जिसे हमेशा मोडुलो लिया जाता है, वह भी दिशा की विशेषता है। इसलिए, इसे रेखांकन के रूप में चित्रित किया जा सकता है, अर्थात, एक तीर के रूप में, जिसकी लंबाई एक निश्चित दिशा में निर्देशित मूल्य के मापांक के बराबर होती है।

लिखते समय, प्रत्येक सदिश राशि को अक्षर पर एक तीर चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। यदि हम एक संख्यात्मक मान के बारे में बात कर रहे हैं, तो तीर नहीं लिखा गया है या इसे मॉडुलो लिया गया है।

वैक्टर के साथ सबसे अधिक बार कौन सी क्रियाएं की जाती हैं?

सबसे पहले, एक तुलना। वे बराबर हो भी सकते हैं और नहीं भी। पहले मामले में, उनके मॉड्यूल समान हैं। लेकिन यह एकमात्र शर्त नहीं है। उनकी भी समान या विपरीत दिशाएँ होनी चाहिए। पहले मामले में, उन्हें समान सदिश कहा जाना चाहिए। दूसरे में, वे विपरीत हैं। यदि इनमें से कम से कम एक स्थिति पूरी नहीं होती है, तो सदिश समान नहीं होते हैं।

फिर जोड़ आता है। यह दो नियमों के अनुसार किया जा सकता है: एक त्रिभुज या एक समांतर चतुर्भुज। पहला पहले एक वेक्टर को स्थगित करने के लिए निर्धारित करता है, फिर उसके अंत से दूसरा। जोड़ का नतीजा वह होगा जिसे पहले की शुरुआत से दूसरे के अंत तक खींचा जाना चाहिए।

समानांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब आपको जोड़ने की आवश्यकता हो वेक्टर मात्राभौतिकी में। पहले नियम के विपरीत, यहाँ उन्हें एक बिंदु से स्थगित किया जाना चाहिए। फिर उन्हें समांतरोग्राम में बनाएं। कार्रवाई के परिणाम को उसी बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज का विकर्ण माना जाना चाहिए।

यदि एक सदिश राशि को दूसरे से घटाया जाता है, तो उन्हें फिर से एक बिंदु से प्लॉट किया जाता है। केवल परिणाम एक वेक्टर होगा जो दूसरे के अंत से पहले के अंत तक खींचे गए से मेल खाता है।

भौतिकी में किन सदिशों का अध्ययन किया जाता है?

उनमें से उतने ही हैं जितने अदिश हैं। आप आसानी से याद रख सकते हैं कि भौतिक विज्ञान में वेक्टर मात्राएं क्या मौजूद हैं। या जानिए किन संकेतों से इनकी गणना की जा सकती है। उन लोगों के लिए जो पहला विकल्प पसंद करते हैं, ऐसी तालिका उपयोगी होगी। इसमें मुख्य वेक्टर होता है

अब इनमें से कुछ राशियों के बारे में थोड़ा और।

पहला मान गति है

इससे सदिश राशियों का उदाहरण देना शुरू करना उचित है। यह इस तथ्य के कारण है कि यह पहले के बीच अध्ययन किया जाता है।

वेग को अंतरिक्ष में किसी पिंड की गति की विशेषता के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक संख्यात्मक मान और एक दिशा निर्दिष्ट करता है। अतः गति एक सदिश राशि है। इसके अलावा, इसे प्रकारों में विभाजित करने की प्रथा है। पहली रैखिक गति है। रेक्टिलाइनियर एकसमान गति पर विचार करते समय इसे पेश किया जाता है। इस मामले में, यह गति के समय शरीर द्वारा तय किए गए पथ के अनुपात के बराबर हो जाता है।

असमान गति के लिए समान सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। तभी यह औसत रहेगा। इसके अलावा, चुना जाने वाला समय अंतराल जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए। जब समय अंतराल शून्य हो जाता है, वेग मान पहले से ही तात्कालिक होता है।

यदि स्वेच्छ गति पर विचार किया जाए, तो यहाँ गति सदैव एक सदिश राशि होती है। आखिरकार, इसे समन्वय रेखाओं को निर्देशित करने वाले प्रत्येक वेक्टर के साथ निर्देशित घटकों में विघटित होना पड़ता है। इसके अलावा, इसे समय के संबंध में ली गई त्रिज्या वेक्टर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।

दूसरा मूल्य शक्ति है

यह शरीर पर अन्य निकायों या क्षेत्रों द्वारा लगाए गए प्रभाव की तीव्रता का माप निर्धारित करता है। चूँकि बल एक सदिश राशि है, इसलिए आवश्यक रूप से इसका अपना सापेक्ष मान और दिशा होती है। चूंकि यह शरीर पर कार्य करता है, जिस बिंदु पर बल लगाया जाता है वह भी महत्वपूर्ण है। बल सदिशों का एक दृश्य निरूपण प्राप्त करने के लिए, आप निम्न तालिका देख सकते हैं।

साथ ही, परिणामी बल भी एक सदिश राशि है। इसे शरीर पर कार्य करने वाली सभी यांत्रिक शक्तियों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे निर्धारित करने के लिए, त्रिभुज नियम के सिद्धांत के अनुसार योग करना आवश्यक है। केवल आपको पिछले एक के अंत से बारी-बारी से वैक्टर को स्थगित करने की आवश्यकता है। परिणाम वह होगा जो पहले की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ता है।

तीसरी मात्रा विस्थापन है

चलते समय शरीर एक निश्चित रेखा का वर्णन करता है। इसे प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। यह रेखा पूरी तरह से अलग हो सकती है। अधिक महत्वपूर्ण वह नहीं है दिखावट, और आंदोलन के प्रारंभ और अंत बिंदु। वे विस्थापन नामक खंड से जुड़े हुए हैं। यह भी एक सदिश राशि है। इसके अलावा, यह हमेशा आंदोलन की शुरुआत से उस बिंदु तक निर्देशित होता है जहां आंदोलन को रोक दिया गया था। इसे नामित करना स्वीकार किया जाता है लैटिन पत्रआर।

यहाँ निम्नलिखित प्रश्न उत्पन्न हो सकता है: "क्या पथ एक सदिश राशि है?"। पर सामान्य मामलायह कथन सत्य नहीं है। पथ प्रक्षेपवक्र की लंबाई के बराबर है और इसकी कोई निश्चित दिशा नहीं है। एक अपवाद वह स्थिति है जब इसे एक दिशा में माना जाता है। तब विस्थापन वेक्टर का मापांक पथ के साथ मूल्य में मेल खाता है, और उनकी दिशा समान होती है। इसलिए, गति की दिशा बदले बिना एक सीधी रेखा के साथ गति पर विचार करते समय, सदिश राशियों के उदाहरणों में पथ को शामिल किया जा सकता है।

चौथी मात्रा त्वरण है

यह गति के परिवर्तन की दर की विशेषता है। इसके अलावा, त्वरण के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मूल्य हो सकते हैं। सीधी गति में, यह उच्च गति की दिशा में निर्देशित होता है। यदि गति वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ होती है, तो इसके त्वरण के वेक्टर को दो घटकों में विघटित किया जाता है, जिनमें से एक त्रिज्या के साथ वक्रता के केंद्र को निर्देशित किया जाता है।

त्वरण का औसत और तात्क्षणिक मान आवंटित करें। पहले की गणना इस समय की एक निश्चित अवधि में गति में परिवर्तन के अनुपात के रूप में की जानी चाहिए। जब माना गया समय अंतराल शून्य हो जाता है, तो कोई तात्कालिक त्वरण की बात करता है।

पांचवां भाव है गति

एक अन्य प्रकार से इसे गति की मात्रा भी कहते हैं। मोमेंटम एक वेक्टर मात्रा है क्योंकि यह सीधे शरीर पर लागू गति और बल से संबंधित है। इन दोनों के पास एक दिशा है और इसे आवेग देते हैं।

परिभाषा के अनुसार, उत्तरार्द्ध शरीर द्रव्यमान और गति के उत्पाद के बराबर है। किसी पिंड के संवेग की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रसिद्ध न्यूटन के नियम को एक अलग तरीके से लिखा जा सकता है। यह पता चला है कि संवेग में परिवर्तन बल और समय अंतराल के उत्पाद के बराबर है।

भौतिकी में, संवेग के संरक्षण का नियम एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जो बताता है कि पिंडों की एक बंद प्रणाली में इसका कुल संवेग स्थिर होता है।

हमने बहुत संक्षेप में सूचीबद्ध किया है कि भौतिक विज्ञान के दौरान किन राशियों (वेक्टर) का अध्ययन किया जाता है।

अयोग्य प्रभाव की समस्या

स्थि‍ति।पटरियों पर एक निश्चित मंच है। एक कार 4 मी/से की गति से उसकी ओर आ रही है। और वैगन - क्रमशः 10 और 40 टन। कार प्लेटफॉर्म से टकराती है, एक स्वचालित कपलर होता है। प्रभाव के बाद वैगन-प्लेटफ़ॉर्म सिस्टम की गति की गणना करना आवश्यक है।

समाधान।सबसे पहले, आपको अंकन दर्ज करने की आवश्यकता है: प्रभाव से पहले कार की गति - वी 1, युग्मन के बाद प्लेटफॉर्म वाली कार - वी, कार का द्रव्यमान एम 1, प्लेटफॉर्म - एम 2। समस्या की स्थिति के अनुसार गति v का मान ज्ञात करना आवश्यक है।

ऐसे कार्यों को हल करने के नियमों के लिए बातचीत से पहले और बाद में सिस्टम के एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है। जहां कार चल रही है उस दिशा में रेल के साथ OX अक्ष को निर्देशित करना उचित है।

इन शर्तों के तहत, वैगन सिस्टम को बंद माना जा सकता है। यह इस तथ्य से निर्धारित होता है कि बाहरी ताकतों की उपेक्षा की जा सकती है। गुरुत्वाकर्षण और संतुलित हैं, और रेल पर घर्षण को ध्यान में नहीं रखा गया है।

संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, कार और प्लेटफ़ॉर्म की परस्पर क्रिया से पहले उनका सदिश योग प्रभाव के बाद युग्मक के लिए कुल के बराबर होता है। पहले तो प्लेटफॉर्म नहीं चला, इसलिए इसका संवेग शून्य था। केवल कार चलती है, इसका संवेग m 1 और v 1 का गुणनफल है।

चूंकि प्रभाव बेलोचदार था, यानी, वैगन प्लेटफॉर्म से चिपक गया, और फिर यह एक ही दिशा में एक साथ लुढ़कने लगा, सिस्टम के आवेग ने दिशा नहीं बदली। लेकिन इसका अर्थ बदल गया है। अर्थात्, प्लेटफ़ॉर्म और वांछित गति के साथ वैगन के द्रव्यमान के योग का गुणनफल।

आप निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं: एम 1 * वी 1 \u003d (एम 1 + एम 2) * वी। यह चयनित अक्ष पर संवेग सदिशों के प्रक्षेपण के लिए सत्य होगा। वांछित गति की गणना करने के लिए आवश्यक समानता प्राप्त करना आसान है: v \u003d m 1 * v 1 / (m 1 + m 2)।

नियमों के अनुसार, आपको द्रव्यमान के मूल्यों को टन से किलोग्राम में परिवर्तित करना चाहिए। इसलिए, उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते समय, आपको पहले ज्ञात मानों को एक हजार से गुणा करना चाहिए। सरल गणनाएं 0.75 मीटर/सेकेंड की संख्या देती हैं।

उत्तर।प्लेटफॉर्म के साथ वैगन की गति 0.75 मीटर/सेकेंड है।

शरीर को भागों में बांटना

स्थि‍ति. उड़ने वाले ग्रेनेड की गति 20 मीटर/सेकेंड है। यह दो टुकड़ों में बंट जाता है। पहले का द्रव्यमान 1.8 किग्रा है। यह उस दिशा में बढ़ना जारी रखता है जिसमें ग्रेनेड 50 मीटर/सेकेंड की गति से उड़ रहा था। दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान 1.2 किग्रा है। इसकी गति क्या है?

समाधान।बता दें कि टुकड़े के द्रव्यमान को m 1 और m 2 अक्षरों से निरूपित किया जाता है। उनकी गति क्रमशः v 1 और v 2 होगी। ग्रेनेड की प्रारंभिक गति v है। समस्या में, आपको मान v 2 की गणना करने की आवश्यकता है।

पूरे ग्रेनेड के समान दिशा में आगे बढ़ते रहने के लिए बड़े टुकड़े के लिए, दूसरे को विपरीत दिशा में उड़ना चाहिए। यदि हम अक्ष की दिशा के लिए प्रारंभिक आवेग की दिशा चुनते हैं, तो विराम के बाद बड़ा टुकड़ा धुरी के साथ उड़ता है, और छोटा टुकड़ा धुरी के खिलाफ उड़ता है।

इस समस्या में, इस तथ्य के कारण संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग करने की अनुमति है कि ग्रेनेड का विस्फोट तुरंत होता है। इसलिए, इस तथ्य के बावजूद कि गुरुत्वाकर्षण ग्रेनेड और उसके हिस्सों पर कार्य करता है, उसके पास अपने मॉड्यूलस मान के साथ गति वेक्टर की दिशा को कार्य करने और बदलने का समय नहीं है।

ग्रेनेड फटने के बाद संवेग के वेक्टर मूल्यों का योग इससे पहले के बराबर है। यदि हम ओएक्स अक्ष पर प्रक्षेपण में संरक्षण कानून लिखते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: (एम 1 + एम 2) * वी = एम 1 * वी 1 - एम 2 * वी 2। इससे वांछित गति को व्यक्त करना आसान है। यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: वी 2 \u003d ((एम 1 + एम 2) * वी - एम 1 * वी 1) / एम 2। संख्यात्मक मानों और गणनाओं के प्रतिस्थापन के बाद, 25 मी / से प्राप्त होता है।

उत्तर।एक छोटे से टुकड़े की गति 25 मीटर/सेकेंड है।

एक कोण पर शूटिंग करने में समस्या

स्थि‍ति।द्रव्यमान एम के एक मंच पर एक उपकरण लगाया जाता है। इससे m द्रव्यमान का एक प्रक्षेप्य छोड़ा जाता है। यह गति v (जमीन के सापेक्ष दिए गए) के साथ एक कोण α से क्षितिज पर उड़ान भरती है। शॉट के बाद प्लेटफॉर्म की गति का पता लगाना आवश्यक है।

समाधान। इस समस्या में, आप OX अक्ष पर प्रक्षेपण में संवेग संरक्षण नियम का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन केवल उस स्थिति में जब बाहरी परिणामी बलों का प्रक्षेपण शून्य के बराबर हो।

OX अक्ष की दिशा के लिए, आपको वह पक्ष चुनना होगा जहां प्रक्षेप्य उड़ेगा, और समानांतर में क्षैतिज रेखा. इस मामले में, गुरुत्वाकर्षण बल के प्रक्षेपण और OX पर समर्थन की प्रतिक्रिया शून्य के बराबर होगी।

में समस्या का समाधान होगा सामान्य दृष्टि से, क्योंकि ज्ञात मात्राओं के लिए कोई विशिष्ट डेटा नहीं हैं। सूत्र उत्तर है।

शॉट से पहले सिस्टम की गति शून्य के बराबर थी, क्योंकि प्लेटफॉर्म और प्रक्षेप्य स्थिर थे। प्लेटफ़ॉर्म की वांछित गति को लैटिन अक्षर यू द्वारा निरूपित किया जाए। फिर शॉट के बाद इसकी गति द्रव्यमान के उत्पाद और वेग के प्रक्षेपण के रूप में निर्धारित की जाती है। चूंकि प्लेटफॉर्म वापस रोल करता है (OX अक्ष की दिशा के विरुद्ध), संवेग मान माइनस साइन के साथ होगा।

प्रक्षेप्य की गति उसके द्रव्यमान और OX अक्ष पर वेग के प्रक्षेपण का गुणनफल है। इस तथ्य के कारण कि वेग को क्षितिज के कोण पर निर्देशित किया जाता है, इसका प्रक्षेपण कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए वेग के बराबर होता है। शाब्दिक समानता में, यह इस तरह दिखेगा: 0 = - म्यू + एमवी * कॉस α। इससे, सरल परिवर्तनों द्वारा, उत्तर सूत्र प्राप्त होता है: यू = (एमवी * कॉस α) / एम।

उत्तर।प्लेटफ़ॉर्म की गति सूत्र u = (mv * cos α) / M द्वारा निर्धारित की जाती है।

नदी पार करने की समस्या

स्थि‍ति।इसकी पूरी लंबाई के साथ नदी की चौड़ाई समान और एल के बराबर है, इसके किनारे समानांतर हैं। नदी में जल के प्रवाह की गति v1 तथा नाव की अपनी गति v2 ज्ञात होती है। एक)। पार करते समय, नाव के धनुष को विपरीत किनारे पर सख्ती से निर्देशित किया जाता है। इसे धारा के अनुकूल कितनी दूर ले जाया जाएगा? 2). नाव के धनुष को किस कोण α पर निर्देशित किया जाना चाहिए ताकि यह प्रस्थान के बिंदु के बिल्कुल लंबवत विपरीत किनारे पर पहुंच जाए? इस तरह की एक क्रॉसिंग में कितना समय लगेगा?

समाधान।एक)। नाव की पूर्ण गति दो मात्राओं का सदिश योग है। इनमें से पहला नदी का मार्ग है, जो कि किनारों के साथ निर्देशित है। दूसरी है नाव की अपनी गति, किनारों के लंबवत। रेखांकन दो समान त्रिभुज दिखाता है। पहला नदी की चौड़ाई और नाव द्वारा वहन की जाने वाली दूरी से बनता है। दूसरा वेग वैक्टर है।

निम्नलिखित प्रविष्टि उनसे अनुसरण करती है: एस / एल = वी 1 / वी 2। परिवर्तन के बाद, वांछित मूल्य का सूत्र प्राप्त होता है: s \u003d l * (v 1 / v 2)।

2). समस्या के इस संस्करण में, कुल वेग सदिश बैंकों के लंबवत है। यह v 1 और v 2 के सदिश योग के बराबर है। कोण की ज्या जिसके द्वारा स्वयं के वेग सदिश को विचलित होना चाहिए, मॉड्यूल v 1 और v 2 के अनुपात के बराबर है। यात्रा के समय की गणना करने के लिए, आपको गणना की गई कुल गति से नदी की चौड़ाई को विभाजित करना होगा। बाद के मूल्य की गणना पाइथागोरस प्रमेय द्वारा की जाती है।

v = √(v 2 2 - v 1 2), तो t = l / (√(v 2 2 - v 1 2))।

उत्तर।एक)। एस \u003d एल * (वी 1 / वी 2), 2)। पाप α \u003d वी 1 / वी 2, टी \u003d एल / (√ (वी 2 2 - वी 1 2))।

एक स्कूली बच्चे को डराने वाले दो शब्द - सदिश और अदिश - वास्तव में डरावने नहीं हैं। यदि आप विषय को रुचि के साथ देखते हैं, तो सब कुछ समझा जा सकता है। इस लेख में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि कौन सी मात्रा सदिश है और कौन सी अदिश है। अधिक सटीक, उदाहरण देते हैं। प्रत्येक छात्र ने, शायद, इस तथ्य पर ध्यान दिया कि भौतिकी में कुछ मात्राएँ न केवल एक प्रतीक द्वारा, बल्कि ऊपर से एक तीर द्वारा भी इंगित की जाती हैं। वे किस लिए खड़े हैं? इस पर नीचे चर्चा की जाएगी। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि यह स्केलर से कैसे भिन्न है।

वेक्टर उदाहरण। उन्हें कैसे लेबल किया जाता है

वेक्टर से क्या तात्पर्य है? वह जो गति की विशेषता हो। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह अंतरिक्ष में है या विमान पर। वेक्टर मात्रा क्या है? उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज एक निश्चित ऊंचाई पर एक निश्चित गति से उड़ता है, एक विशिष्ट द्रव्यमान होता है, और हवाई अड्डे से आवश्यक त्वरण के साथ चलना शुरू करता है। एक विमान की गति क्या है? उसे क्या उड़ाया? बेशक, त्वरण, गति। भौतिकी पाठ्यक्रम से सदिश राशियाँ अच्छे उदाहरण हैं। इसे स्पष्ट रूप से रखने के लिए, एक वेक्टर मात्रा गति, विस्थापन से जुड़ी होती है।

पहाड़ की ऊंचाई से पानी भी एक निश्चित गति से चलता है। देखना? आयतन या द्रव्यमान नहीं, बल्कि गति के कारण गति की जाती है। टेनिस खिलाड़ी रैकेट की मदद से गेंद को आगे बढ़ने देता है। यह त्वरण सेट करता है। वैसे, इस स्थिति में लगाया गया बल भी एक सदिश राशि है। क्योंकि यह दी गई गति और त्वरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। बल विशिष्ट क्रियाओं को करने, बदलने में भी सक्षम है। पेड़ों पर लगे पत्तों को हिलाने वाली हवा को भी एक उदाहरण माना जा सकता है। क्योंकि गति है।

सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य

एक वेक्टर मात्रा एक मात्रा है जिसकी आसपास के स्थान और एक मॉड्यूल में एक दिशा है। भयावह शब्द फिर प्रकट हुआ, इस बार मॉड्यूल। कल्पना कीजिए कि आपको एक ऐसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है जहां त्वरण का ऋणात्मक मान नियत किया जाएगा। प्रकृति में नकारात्मक मूल्यअस्तित्व प्रतीत नहीं होता है। गति ऋणात्मक कैसे हो सकती है?

एक वेक्टर की ऐसी अवधारणा है। यह, उदाहरण के लिए, उन बलों पर लागू होता है जो शरीर पर लागू होते हैं, लेकिन उनकी अलग-अलग दिशाएँ होती हैं। तीसरे को याद रखें जहां क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर होती है। लोग रस्सी खींच रहे हैं। एक टीम नीली जर्सी में है तो दूसरी पीली जर्सी में। दूसरे वाले ज्यादा मजबूत हैं। मान लें कि उनके बल का वेक्टर सकारात्मक रूप से निर्देशित है। उसी समय, पूर्व रस्सी खींचने में विफल रहता है, लेकिन वे कोशिश करते हैं। एक विरोधी शक्ति है।

वेक्टर या अदिश मात्रा?

सदिश राशि और अदिश राशि के बीच के अंतर के बारे में बात करते हैं। किस पैरामीटर की कोई दिशा नहीं है, लेकिन इसका अपना अर्थ है? हम नीचे कुछ स्केलर सूचीबद्ध करते हैं:

क्या उन सभी के पास दिशा है? नहीं। कौन-सी मात्रा सदिश है और कौन-सी अदिश राशि, केवल निदर्शी उदाहरणों द्वारा दर्शाई जा सकती है। भौतिकी में ऐसी अवधारणाएँ न केवल "यांत्रिकी, गतिकी और कीनेमेटीक्स" खंड में हैं, बल्कि "बिजली और चुंबकत्व" खंड में भी हैं। लोरेंत्ज़ बल भी एक सदिश राशि है।

सूत्रों में वेक्टर और स्केलर

भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में, अक्सर ऐसे सूत्र होते हैं जिनमें शीर्ष पर एक तीर होता है। न्यूटन का दूसरा नियम याद रखें। बल ("एफ" ऊपर एक तीर के साथ) द्रव्यमान ("एम") और त्वरण ("ए" ऊपर एक तीर के साथ) के उत्पाद के बराबर है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, बल और त्वरण सदिश राशियाँ हैं, लेकिन द्रव्यमान अदिश राशि है।

दुर्भाग्य से, सभी प्रकाशनों में इन मात्राओं का पदनाम नहीं है। शायद, यह आसान बनाने के लिए किया गया था, ताकि स्कूली बच्चों को गुमराह न किया जा सके। उन पुस्तकों और संदर्भ पुस्तकों को खरीदना सबसे अच्छा है जो सूत्रों में वैक्टर का संकेत देते हैं।

दृष्टांत दिखाएगा कि कौन सी मात्रा सदिश है। भौतिकी के पाठों में चित्रों और आरेखों पर ध्यान देने की अनुशंसा की जाती है। सदिश राशियों की एक दिशा होती है। जहां इसे निर्देशित किया जाता है, नीचे। तो तीर उसी दिशा में दिखाया जाएगा।

तकनीकी विश्वविद्यालयों में भौतिकी का गहन अध्ययन किया जाता है। कई विषयों में, शिक्षक इस बारे में बात करते हैं कि कौन सी मात्राएँ अदिश और सदिश हैं। इस तरह के ज्ञान की आवश्यकता क्षेत्रों में होती है: निर्माण, परिवहन, प्राकृतिक विज्ञान।

भौतिकी के पाठ्यक्रम में, अक्सर ऐसी मात्राएँ होती हैं, जिनके वर्णन के लिए केवल संख्यात्मक मान जानना ही पर्याप्त होता है। उदाहरण के लिए, द्रव्यमान, समय, लंबाई।

वे राशियाँ जिन्हें केवल एक संख्यात्मक मान द्वारा दर्शाया जाता है, कहलाती हैं अदिशया अदिश.

अदिश राशियों के अतिरिक्त, ऐसी मात्राओं का उपयोग किया जाता है जिनका संख्यात्मक मान और दिशा दोनों होते हैं। उदाहरण के लिए, गति, त्वरण, बल।

संख्यात्मक मान और दिशा की विशेषता वाली मात्राएँ कहलाती हैं वेक्टरया वैक्टर.

सदिश राशियों को शीर्ष पर एक तीर के साथ संबंधित अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है या बोल्ड में हाइलाइट किया जाता है। उदाहरण के लिए, बल वेक्टर को \(\vec F\) या द्वारा निरूपित किया जाता है एफ . सदिश राशि के संख्यात्मक मान को सदिश का मापांक या लंबाई कहा जाता है। बल वेक्टर का मान निरूपित किया गया है एफया \(\बाएं|\vec F\दाएं|\).

वेक्टर छवि

वैक्टर निर्देशित खंडों द्वारा दर्शाए जाते हैं। वेक्टर की शुरुआत वह बिंदु है जहां से निर्देशित खंड शुरू होता है (बिंदु लेकिनअंजीर में। 1), वेक्टर का अंत वह बिंदु है जहां तीर समाप्त होता है (बिंदु बीअंजीर में। एक)।

चावल। एक।

दो वैक्टर कहलाते हैं बराबरयदि उनकी लंबाई समान है और वे एक ही दिशा में इंगित करते हैं। इस तरह के वैक्टर को समान लंबाई और दिशाओं वाले निर्देशित खंडों के रूप में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, अंजीर में। 2 सदिश \(\vec F_1 =\vec F_2\) दिखाता है।

एक आकृति में दो या दो से अधिक सदिशों का चित्रण करते समय, खंड पूर्व-चयनित पैमाने पर बनाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, अंजीर में। चित्र 3 उन सदिशों को दिखाता है जिनकी लंबाई \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s।

वेक्टर विनिर्देश विधि

एक समतल पर, एक सदिश को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1. सदिश के आरंभ और अंत के निर्देशांक निर्दिष्ट करें। उदाहरण के लिए, अंजीर में वेक्टर \(\Delta\vec r\) 4 वेक्टर की शुरुआत के निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया गया है - (2, 4) (एम), अंत - (6, 8) (एम)।

2. वेक्टर के मॉड्यूल (इसका मान) और वेक्टर की दिशा और विमान पर कुछ पूर्व-चयनित दिशा के बीच का कोण निर्दिष्ट करें। अक्सर ऐसी दिशा के लिए साकारात्मक पक्षअक्ष 0 एक्स. इस दिशा से वामावर्त मापे गए कोण धनात्मक माने जाते हैं। अंजीर पर। 5 सदिश \(\Delta\vec r\) दो संख्याओं द्वारा दिया गया है बीऔर \(\alpha\) , वेक्टर की लंबाई और दिशा को दर्शाता है।

मात्राएँ (सख्ती से बोलना, रैंक 2 या अधिक के टेंसर)। यह पूरी तरह से भिन्न गणितीय प्रकृति की कुछ वस्तुओं का विरोध भी कर सकता है।

ज्यादातर मामलों में, वेक्टर शब्द का उपयोग भौतिकी में तथाकथित "भौतिक स्थान" में एक वेक्टर को निरूपित करने के लिए किया जाता है, जो कि शास्त्रीय भौतिकी के सामान्य त्रि-आयामी स्थान में या आधुनिक भौतिकी में चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में होता है ( बाद के मामले में, एक वेक्टर और एक वेक्टर मात्रा की अवधारणा 4- वेक्टर और 4-वेक्टर मात्रा की अवधारणा के साथ मेल खाती है)।

"वेक्टर मात्रा" वाक्यांश का उपयोग व्यावहारिक रूप से इससे समाप्त हो जाता है। "वेक्टर" शब्द के उपयोग के लिए, यह प्रयोज्यता के समान क्षेत्र में डिफ़ॉल्ट रूप से झुकाव के बावजूद, बड़ी संख्या में मामलों में अभी भी ऐसी सीमाओं से बहुत आगे निकल जाता है। इस पर अधिक जानकारी के लिए नीचे देखें।

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पाठ 8 वैक्टर पर कार्रवाई।

वेक्टर - यह क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, स्पष्टीकरण

भौतिक मात्रा ग्रेड 7 की माप | रोमानोव

उपशीर्षक

शब्दों का प्रयोग वेक्टरतथा वेक्टर क्वांटिटीभौतिकी में

सामान्य तौर पर, भौतिकी में, सदिश की अवधारणा लगभग पूरी तरह से गणित की अवधारणा से मेल खाती है। हालांकि, इस तथ्य से संबंधित एक पारिभाषिक विशिष्टता है कि आधुनिक गणित में यह अवधारणा कुछ हद तक सारगर्भित है (भौतिक विज्ञान की आवश्यकताओं के संबंध में)।

गणित में, "वेक्टर" कहने का अर्थ सामान्य रूप से एक वेक्टर है, अर्थात, किसी भी आयाम और प्रकृति के मनमाने ढंग से अमूर्त रैखिक स्थान का कोई भी वेक्टर, यदि आप विशेष प्रयास नहीं करते हैं, तो भी भ्रम पैदा हो सकता है (इतना नहीं बेशक, संक्षेप में, उपयोग में आसानी के लिए)। यदि ठोस बनाना आवश्यक है, तो गणितीय शैली में किसी को या तो काफी लंबा बोलना होगा ("ऐसी जगह का सदिश"), या ध्यान में रखना चाहिए कि स्पष्ट रूप से वर्णित संदर्भ से क्या निहित है।

भौतिकी में, लगभग हमेशा हम बात कर रहे हेसामान्य रूप से गणितीय वस्तुओं (कुछ औपचारिक गुणों वाले) के बारे में नहीं, बल्कि उनके कुछ विशिष्ट ("भौतिक") बंधन के बारे में। संक्षिप्तता और सुविधा के विचारों के साथ संक्षिप्तता के इन विचारों को ध्यान में रखते हुए, कोई यह समझ सकता है कि भौतिकी में पारिभाषिक अभ्यास गणितीय अभ्यास से स्पष्ट रूप से भिन्न है। हालांकि, यह बाद वाले के साथ स्पष्ट विरोधाभास में प्रवेश नहीं करता है। यह कुछ सरल "ट्रिक्स" के साथ प्राप्त किया जा सकता है। सबसे पहले, वे डिफ़ॉल्ट रूप से शब्द का उपयोग करने के सम्मेलन को शामिल करते हैं (जब संदर्भ विशेष रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है)। तो, भौतिकी में, गणित के विपरीत, अतिरिक्त स्पष्टीकरण के बिना वेक्टर शब्द को आमतौर पर "सामान्य रूप से किसी रैखिक स्थान के कुछ वेक्टर" के रूप में नहीं समझा जाता है, लेकिन, सबसे पहले, "साधारण भौतिक स्थान" से जुड़ा एक वेक्टर (तीन- शास्त्रीय भौतिकी का आयामी स्थान या चार आयामी स्थान-सापेक्ष भौतिकी का समय)। रिक्त स्थान के वैक्टर के लिए जो "भौतिक स्थान" या "स्थान-समय" से सीधे और सीधे संबंधित नहीं हैं, केवल विशेष नामों का उपयोग करें (कभी-कभी शब्द "वेक्टर" सहित, लेकिन स्पष्टीकरण के साथ)। यदि किसी स्थान का एक वेक्टर जो "भौतिक स्थान" या "अंतरिक्ष-समय" से सीधे और सीधे संबंधित नहीं है (और जिसे किसी निश्चित तरीके से तुरंत चिह्नित करना मुश्किल है) सिद्धांत में पेश किया जाता है, इसे अक्सर विशेष रूप से एक के रूप में वर्णित किया जाता है "अमूर्त वेक्टर"।

उपरोक्त सभी, "वेक्टर" शब्द से भी अधिक, "वेक्टर मात्रा" शब्द को संदर्भित करता है। इस मामले में डिफ़ॉल्ट "साधारण स्थान" या स्पेस-टाइम के लिए और भी कठोर बाध्यकारी है, और तत्वों के संबंध में अमूर्त वेक्टर रिक्त स्थान का उपयोग लगभग कभी नहीं हुआ है, के अनुसार कम से कम, ऐसा आवेदन दुर्लभतम अपवाद प्रतीत होता है (यदि आरक्षण बिल्कुल नहीं है)।

भौतिकी में, अक्सर सदिश, और सदिश राशियाँ - लगभग हमेशा - दो समान वर्गों के सदिश कहलाते हैं:

सदिश भौतिक राशियों के उदाहरण: गति, बल, ऊष्मा प्रवाह।

वेक्टर मात्रा की उत्पत्ति

भौतिक "वेक्टर मात्रा" अंतरिक्ष से कैसे बंधी हैं? सबसे पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि सदिश राशियों का आयाम (इस शब्द के उपयोग के सामान्य अर्थ में, जिसे ऊपर समझाया गया है) उसी "भौतिक" (और "ज्यामितीय") स्थान के आयाम के साथ मेल खाता है, उदाहरण के लिए , अंतरिक्ष त्रि-आयामी है और विद्युत वेक्टर क्षेत्र त्रि-आयामी हैं। सहज रूप से, कोई यह भी नोटिस कर सकता है कि कोई भी वेक्टर भौतिक मात्रा, चाहे वह सामान्य स्थानिक विस्तार के साथ कितनी ही अस्पष्ट रूप से जुड़ी हो, फिर भी इस साधारण स्थान में एक निश्चित दिशा होती है।

हालांकि, यह पता चला है कि भौतिकी के वेक्टर मात्रा के पूरे सेट को सीधे "ज्यामितीय" वैक्टर, या यहां तक ​​​​कि एक वेक्टर - प्राथमिक विस्थापन के वेक्टर तक "कम" करके बहुत कुछ हासिल किया जा सकता है, लेकिन यह होगा यह कहना अधिक सही है - उन सभी को इससे उत्पन्न करके।

शास्त्रीय भौतिकी के त्रि-आयामी मामले के लिए और आधुनिक भौतिकी के लिए आम तौर पर चार-आयामी अंतरिक्ष-समय के निर्माण के लिए इस प्रक्रिया के दो अलग-अलग (हालांकि अनिवार्य रूप से एक-दूसरे को विस्तार से दोहराते हैं) कार्यान्वयन हैं।

क्लासिक 3 डी केस

हम सामान्य त्रि-आयामी "ज्यामितीय" स्थान से आगे बढ़ेंगे जिसमें हम रहते हैं और आगे बढ़ सकते हैं।

आइए हम अतिसूक्ष्म विस्थापन वेक्टर को प्रारंभिक और अनुकरणीय वेक्टर के रूप में लें। यह बहुत स्पष्ट है कि यह एक नियमित "ज्यामितीय" वेक्टर (साथ ही एक परिमित विस्थापन वेक्टर) है।

अब तुरंत ध्यान दें कि एक सदिश को एक अदिश से गुणा करने पर हमेशा प्राप्त होता है नया वेक्टर. सदिशों के योग और अंतर के बारे में भी यही कहा जा सकता है। इस अध्याय में, हम ध्रुवीय और अक्षीय सदिशों के बीच अंतर नहीं करेंगे, इसलिए ध्यान दें कि दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद भी एक नया सदिश देता है।

इसके अलावा, नया वेक्टर एक स्केलर के संबंध में एक वेक्टर का भेदभाव देता है (चूंकि इस तरह के व्युत्पन्न एक स्केलर के वैक्टरों के अंतर के अनुपात की सीमा है)। इसे आगे सभी उच्च आदेशों के डेरिवेटिव के बारे में कहा जा सकता है। स्केलर्स (समय, आयतन) पर एकीकरण के लिए भी यही सच है।

अब ध्यान दें कि, त्रिज्या वेक्टर के आधार पर आरया प्राथमिक विस्थापन से d आर, हम आसानी से समझते हैं कि वैक्टर (चूंकि समय एक अदिश राशि है) ऐसी गतिज मात्राएँ हैं

वेग और त्वरण से, एक अदिश (द्रव्यमान) से गुणा करके प्रकट होते हैं

चूँकि अब हम स्यूडोवैक्टर्स में भी रुचि रखते हैं, हम ध्यान दें कि

• लोरेंत्ज़ बल सूत्र का उपयोग करते हुए, विद्युत क्षेत्र की शक्ति और चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बल और वेग वैक्टर से बंधे होते हैं।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि हमें ज्ञात सभी सदिश राशियाँ अब न केवल सहज रूप से, बल्कि औपचारिक रूप से, मूल स्थान से बंधी हुई हैं। अर्थात्, वे सभी एक निश्चित अर्थ में, इसके तत्व हैं, क्योंकि वे अन्य वैक्टरों के रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं (स्केलर कारकों के साथ, संभवतः आयामी, लेकिन स्केलर, और इसलिए औपचारिक रूप से काफी कानूनी)।

आधुनिक चार आयामी मामला

इसी प्रक्रिया को चार आयामी विस्थापन से शुरू करके किया जा सकता है। यह पता चला है कि सभी 4-वेक्टर मात्राएं 4-विस्थापन से "आती हैं", इसलिए कुछ अर्थों में स्पेस-टाइम के समान वैक्टर 4-विस्थापन के रूप में ही हैं।

भौतिकी के संबंध में वैक्टर के प्रकार

• एक ध्रुवीय या सत्य वेक्टर एक साधारण वेक्टर है।
• अक्षीय वेक्टर (स्यूडोवेक्टर) - वास्तव में, यह एक वास्तविक वेक्टर नहीं है, लेकिन औपचारिक रूप से यह बाद वाले से लगभग अलग नहीं है, सिवाय इसके कि जब समन्वय प्रणाली का अभिविन्यास बदलता है (उदाहरण के लिए, जब यह विपरीत दिशा में बदल जाता है) दर्पण प्रतिबिंबसिस्टम संयोजित करें)। स्यूडोवैक्टर के उदाहरण: दो ध्रुवीय वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के माध्यम से परिभाषित सभी मात्राएँ।
• बलों के लिए, कई अलग-अलग हैं

 वेक्टर- विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा, जिसका उपयोग केवल भौतिकी या अन्य अनुप्रयुक्त विज्ञानों में किया जाता है और जो कुछ जटिल समस्याओं के समाधान को सरल बनाना संभव बनाता है।
 वेक्टर- निर्देशित रेखा खंड।
प्राथमिक भौतिकी के पाठ्यक्रम में, किसी को मात्राओं की दो श्रेणियों के साथ काम करना पड़ता है - अदिश और सदिश.
 अदिशमात्राएँ (अदिश) वे मात्राएँ हैं जिनकी विशेषता एक संख्यात्मक मान और एक चिह्न है। अदिश लंबाई हैं - एल, मास - एम, पथ - एस, समय - टी, तापमान - टी, विद्युत आवेश - क्यू, ऊर्जा - डब्ल्यू, निर्देशांक, आदि।
सभी स्केलर्स पर लागू होते हैं। बीजगणितीय क्रियाएं(जोड़, घटाव, गुणा, आदि)।

 उदाहरण 1.
सिस्टम का कुल चार्ज निर्धारित करें, इसमें शामिल चार्ज शामिल हैं, यदि q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC।
फुल सिस्टम चार्ज
क्यू \u003d क्यू 1 + क्यू 2 + क्यू 3 \u003d (2 - 7 + 3) एनसी = -2 एनसी = -2 × 10 -9 सी।

 उदाहरण 2.
के लिये द्विघात समीकरणमेहरबान
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac))।

 वेक्टरमात्राएँ (वैक्टर) वे मात्राएँ हैं जिनकी परिभाषा के लिए संख्यात्मक मान के साथ-साथ दिशा को भी इंगित करना आवश्यक है। सदिश − गति वि, ताकत एफ, गति पी, विद्युत क्षेत्र की ताकत इ, चुंबकीय प्रेरण बीऔर आदि।
वेक्टर (मॉड्यूलस) का संख्यात्मक मान बिना वेक्टर प्रतीक के एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है या वेक्टर ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच संलग्न होता है आर = |आर|.
रेखांकन के रूप में, वेक्टर को एक तीर (चित्र 1) द्वारा दर्शाया गया है,

जिसकी लंबाई किसी दिए गए पैमाने में उसके मॉड्यूलस के बराबर होती है, और दिशा वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है।
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके मापांक और दिशाएँ समान हों।
वेक्टर राशियों को ज्यामितीय रूप से जोड़ा जाता है (वेक्टर बीजगणित के नियम के अनुसार)।
दिए गए घटक सदिशों का सदिश योग ज्ञात करना सदिश योग कहलाता है।
समांतर चतुर्भुज या त्रिभुज नियम के अनुसार दो सदिशों का योग किया जाता है। कुल वेक्टर
सी = ए + बी
सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर एकतथा बी. इसे मॉड्यूल करें
с = √(a 2 + b 2 - 2abcosα) (चित्र 2)।


α = 90° के लिए, c = √(a 2 + b 2 ) पाइथागोरस प्रमेय है।

सदिश के अंत से समान सदिश c को त्रिभुज नियम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है एकस्थगित वेक्टर बी. क्लोजिंग वेक्टर सी (वेक्टर की शुरुआत को जोड़ना एकऔर वेक्टर का अंत बी) शब्दों का सदिश योग है (वैक्टर के घटक एकतथा बी).
परिणामी वेक्टर को टूटी हुई रेखा के समापन के रूप में पाया जाता है, जिसके लिंक घटक वैक्टर (चित्र 3) हैं।


 उदाहरण 3.
दो बल F 1 \u003d 3 N और F 2 \u003d 4 N, वैक्टर जोड़ें एफ 1तथा F2क्रमशः क्षितिज के साथ कोण α 1 \u003d 10 ° और α 2 \u003d 40 ° बनाएं
 एफ = एफ 1 + एफ 2(चित्र 4)।

इन दोनों बलों के योग का परिणाम एक बल होता है जिसे परिणामी कहते हैं। वेक्टर एफवैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ निर्देशित एफ 1तथा F2, पक्षों के रूप में, और मॉड्यूल इसकी लंबाई के बराबर है।
वेक्टर मापांक एफकोसाइन के कानून द्वारा खोजें
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 - α 1)),
एफ = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° - 10°)) ≈ 6.8 एच।
यदि एक
(α 2 - α 1) = 90°, तो F = √(F 1 2 + F 2 2 )।

कोण वेक्टर एफऑक्स अक्ष के साथ है, हम सूत्र द्वारा पाते हैं
α \u003d आर्कटग ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = आर्कटन ((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = आर्कटन0.51, α ≈ 0.47 रेड।

सदिश a का अक्ष पर प्रक्षेपण Ox (Oy) − अदिश, वेक्टर की दिशा के बीच कोण α पर निर्भर करता है एकऔर कुल्हाड़ियों बैल (ओए)। (चित्र 5)


वेक्टर अनुमान एकआयताकार समन्वय प्रणाली के ऑक्स और ओए कुल्हाड़ियों पर। (चित्र 6)


अक्ष पर वेक्टर प्रक्षेपण के चिह्न का निर्धारण करते समय गलतियों से बचने के लिए, यह याद रखना उपयोगी होता है अगला नियम: यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है, तो इस अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण धनात्मक होता है, लेकिन यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के विपरीत होती है, तो वेक्टर का प्रक्षेपण होता है नकारात्मक। (चित्र 7)


वेक्टर घटाव एक जोड़ है जिसमें पहले वेक्टर में एक वेक्टर जोड़ा जाता है, संख्यात्मक रूप से दूसरे के बराबर, विपरीत दिशा में
ए - बी = ए + (-बी) = डी(चित्र 8)।

इसे वेक्टर से आवश्यक होने दें एकघटाव वेक्टर बी, उनका अंतर - डी. दो सदिशों का अंतर ज्ञात करने के लिए सदिश का होना आवश्यक है एकवेक्टर जोड़ें ( बी), यानी एक वेक्टर डी = ए - बीवेक्टर की शुरुआत से निर्देशित एक वेक्टर होगा एकवेक्टर के अंत की ओर ( बी) (चित्र 9)।

सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज में एकतथा बीदोनों तरफ, एक विकर्ण सीयोग का अर्थ है, और दूसरा डी- वेक्टर अंतर एकतथा बी(चित्र 9)।
वेक्टर उत्पाद एकप्रति अदिश k वेक्टर के बराबर है बी= के एक, जिसका मापांक वेक्टर के मापांक से k गुना अधिक है एक, और दिशा वही है जो दिशा है एकधनात्मक k के लिए और विपरीत ऋणात्मक k के लिए।

 उदाहरण 4.
5 मीटर/सेकण्ड की गति से गतिमान 2 किग्रा द्रव्यमान के पिंड का संवेग ज्ञात कीजिए। (चित्र 10)

शरीर की गति पी= म वि; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s और गति की ओर निर्देशित है वि.

 उदाहरण 5.
आवेश q = -7.5 nC को विद्युत क्षेत्र में तीव्रता E = 400 V/m के साथ रखा गया है। आवेश पर कार्य करने वाले बल का मापांक और दिशा ज्ञात कीजिए।

शक्ति बराबर होती है एफ= क्यू इ. चूँकि आवेश ऋणात्मक है, बल सदिश सदिश के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है इ. (चित्र 11)


 विभाजनवेक्टर एकएक अदिश k से गुणा करने के बराबर है एक 1/के द्वारा।
 डॉट उत्पादवैक्टर एकतथा बीइन वैक्टरों के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर और उनके बीच के कोण के कोसाइन को स्केलर "सी" कहते हैं
(एबी) = (बीए) = सी,
с = ab.cosα (चित्र 12)


 उदाहरण 6.
एक नौकरी ढूंढो निरंतर ताकत F = 20 N यदि विस्थापन S = 7.5 m और कोण α बल और विस्थापन के बीच α = 120°।

बल का कार्य परिभाषा के अनुसार होता है डॉट उत्पादबलों और आंदोलनों
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

 वेक्टर कलावैक्टर एकतथा बीकॉल वेक्टर सी, संख्यात्मक रूप से वैक्टर ए और बी के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर, उनके बीच के कोण की साइन से गुणा:
सी = ए × बी =,
सी = एबी × sinα।
वेक्टर सीउस समतल के लम्बवत् जिसमें सदिश स्थित हैं एकतथा बी, और इसकी दिशा सदिशों की दिशा से संबंधित है एकतथा बीसही पेंच नियम (चित्र 13)।


 उदाहरण 7.
एक चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए 0.2 मीटर लंबे कंडक्टर पर अभिनय करने वाले बल का निर्धारण करें, जिसका प्रेरण 5 टी है, अगर कंडक्टर में करंट 10 ए है और यह क्षेत्र की दिशा के साथ कोण α = 30 ° बनाता है।

एएमपी शक्ति
dF = I = Idl × B या F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 m × 1/2 = 5 N।

 समस्या समाधान पर विचार करें.
1. दो वैक्टर को कैसे निर्देशित किया जाता है, जिनमें से मापांक समान और बराबर होते हैं, यदि उनके योग का मापांक है: a) 0; बी) 2ए; सीए; डी) ए√ (2); ई) ए√(3)?

 समाधान.
a) दो सदिश एक ही सीधी रेखा में विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं। इन वैक्टरों का योग शून्य के बराबर है।

बी) दो वैक्टर एक ही सीधी रेखा के साथ एक ही दिशा में निर्देशित होते हैं। इन सदिशों का योग 2a है।

c) दो सदिश एक दूसरे से 120° के कोण पर निर्देशित होते हैं। वैक्टर का योग एक के बराबर है। परिणामी वेक्टर कोसाइन प्रमेय द्वारा पाया जाता है:

एक 2 + एक 2 + 2aacosα = एक 2,
cosα = -1/2 और α = 120°।
d) दो सदिश एक दूसरे से 90° के कोण पर निर्देशित होते हैं। योग का मापांक है
एक 2 + एक 2 + 2acosα = 2एक 2,
cosα = 0 और α = 90°।

ई) दो वैक्टर एक दूसरे से 60 डिग्री के कोण पर निर्देशित होते हैं। योग का मापांक है
एक 2 + एक 2 + 2acosα = 3a 2,
cosα = 1/2 और α = 60°।
 उत्तर: सदिशों के बीच का कोण α बराबर है: a) 180°; बी) 0; सी) 120 डिग्री; डी) 90 डिग्री; ई) 60 डिग्री।

2. अगर ए = ए 1 + ए 2सदिशों का अभिविन्यास, सदिशों के पारस्परिक अभिविन्यास के बारे में क्या कहा जा सकता है एक 1तथा एक 2, अगर: ए) ए = ए 1 + ए 2; बी) ए 2 \u003d ए 1 2 + ए 2 2; सी) ए 1 + ए 2 \u003d ए 1 - ए 2?

 समाधान.
ए) यदि वैक्टरों का योग इन वैक्टरों के मॉड्यूल के योग के रूप में पाया जाता है, तो वैक्टर एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित होते हैं, एक दूसरे के समानांतर ए 1 ||ए 2.
बी) यदि वैक्टर एक दूसरे से कोण पर निर्देशित होते हैं, तो उनका योग समांतर चतुर्भुज के लिए कोसाइन के नियम द्वारा पाया जाता है
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 और α = 90°।
वेक्टर एक दूसरे के लंबवत हैं ए 1 ⊥ ए 2.
ग) स्थिति ए 1 + ए 2 = ए 1 - ए 2किया जा सकता है यदि एक 2− शून्य सदिश, तो a 1 + a 2 = a 1 ।
 जवाब. एक) ए 1 ||ए 2; बी) ए 1 ⊥ ए 2; में) एक 2- शून्य सदिश।

3. 1.42 N के दो बल शरीर के एक बिंदु पर एक दूसरे से 60° के कोण पर लगाए जाते हैं। किस कोण पर 1.75 N के दो बल शरीर के एक ही बिंदु पर लगाए जाने चाहिए ताकि उनकी क्रिया पहले दो बलों की क्रिया को संतुलित कर दे?

समाधान।
समस्या की स्थिति के अनुसार, 1.75 N के दो बल प्रत्येक 1.42 N के दो बलों को संतुलित करते हैं। यह संभव है यदि बल युग्मों के परिणामी सदिशों के मॉड्यूल समान हों। परिणामी वेक्टर समांतरोग्राम के लिए कोसाइन प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है। बलों की पहली जोड़ी के लिए:
एफ 1 2 + एफ 1 2 + 2एफ 1 एफ 1 कॉसα \u003d एफ 2,
क्रमशः बलों की दूसरी जोड़ी के लिए
एफ 2 2 + एफ 2 2 + 2एफ 2 एफ 2 cosβ = एफ 2।
समीकरण के बाएँ भागों की बराबरी करना
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ।
सदिशों के बीच वांछित कोण β ज्ञात कीजिए
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα - F 2 2 - F 2 2)/(2F 2 F 2)।
गणना के बाद,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90.7°.

 हल करने का दूसरा तरीका.
निर्देशांक अक्ष OX (चित्र) पर सदिशों के प्रक्षेपण पर विचार करें।

में पक्षों के बीच अनुपात का उपयोग करना सही त्रिकोण, हम पाते हैं
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
कहाँ पे
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) और β ≈ 90.7°।

4. वेक्टर ए = 3i - 4j. स्केलर मान c क्या होना चाहिए ताकि |c एक| = 7,5?
 समाधान.
सी एक= सी ( 3i - 4j) = 7,5
वेक्टर मापांक एकके बराबर होगा
a 2 = 3 2 + 4 2 , और a = ±5,
फिर से
सी। (± 5) = 7.5,
यह पता करो
सी = ± 1.5।

5. वैक्टर एक 1तथा एक 2मूल को छोड़ दें और क्रमशः कार्तीय समापन बिंदु (6, 0) और (1, 4) रखें। एक वेक्टर खोजें एक 3जैसे: ए) एक 1 + एक 2 + एक 3= 0; बी) एक 1 − एक 2 + एक 3 = 0.

 समाधान.
आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (चित्र।) में वैक्टर का चित्रण करें।

a) ऑक्स अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर है
एक एक्स = 6 + 1 = 7।
Oy अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर है
ए वाई = 4 + 0 = 4।
सदिशों का योग शून्य के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक है कि स्थिति
एक 1 + एक 2 = −एक 3.
वेक्टर एक 3मॉड्यूलो कुल वेक्टर के बराबर होगा ए 1 + ए 2लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित। अंत वेक्टर समन्वय एक 3(−7, −4) और मापांक के बराबर है
ए 3 \u003d √ (7 2 + 4 2 ) \u003d 8.1।

बी) ऑक्स अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर के बराबर है
एक एक्स = 6 − 1 = 5,
और ओए अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर
ए वाई = 4 − 0 = 4।
जब हालत
एक 1 − एक 2 = −एक 3,
वेक्टर एक 3सदिश a x = -5 और ay = -4 के अंत के निर्देशांक होंगे, और इसका मापांक है
ए 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4।

6. संदेशवाहक 30 मीटर उत्तर की ओर, 25 मीटर पूर्व की ओर, 12 मीटर दक्षिण की ओर यात्रा करता है और फिर भवन में 36 मीटर की ऊंचाई तक एक लिफ्ट में चढ़ता है। उसके द्वारा तय की गई दूरी L और विस्थापन क्या है एस?

 समाधान.
आइए हम समस्या में वर्णित स्थिति को एक मनमाना पैमाने (चित्र।) पर एक विमान पर चित्रित करें।

वेक्टर का अंत ओएपूर्व में 25 मीटर, उत्तर में 18 मीटर और 36 ऊपर (25; 18; 36) का समन्वय करता है। व्यक्ति द्वारा तय किया गया मार्ग है
एल = 30 मीटर + 25 मीटर + 12 मीटर +36 मीटर = 103 मीटर।
विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल सूत्र द्वारा पाया जाता है
एस = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
जहां एक्स ओ = 0, वाई ओ = 0, जेड ओ = 0।
एस \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2 ) \u003d 47.4 (एम)।
 उत्तर: एल = 103 मीटर, एस = 47.4 मीटर।

7. दो सदिशों के बीच का कोण α एकतथा बी 60° के बराबर होता है। वेक्टर की लंबाई निर्धारित करें सी = ए + बीऔर कोण β सदिशों के बीच एकतथा सी. सदिशों का परिमाण a = 3.0 और b = 2.0 है।

 समाधान.
वेक्टर की लंबाई योग के बराबरवैक्टर एकतथा बीहम समांतर चतुर्भुज (चित्र।) के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित करते हैं।

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
प्रतिस्थापन के बाद
सी = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4।
कोण β निर्धारित करने के लिए, हम त्रिभुज ABC के लिए ज्या प्रमेय का उपयोग करते हैं:
b/sinβ = a/sin(α - β).
साथ ही आपको यह जानना चाहिए
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
सरल हल करना त्रिकोणमितीय समीकरण, हम अभिव्यक्ति पर आते हैं
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
फलस्वरूप,
β = आर्कटग (bsinα/(a + bcosα)),
β = आर्कटग (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°।
आइए त्रिकोण के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके देखें:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
कहाँ पे
cosβ = (ए 2 + सी 2 - बी 2)/(2एसी)
तथा
β \u003d आर्ककोस ((ए 2 + सी 2 - बी 2) / (2एसी)) \u003d आर्ककोस ((3 2 + 4.4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °।
 उत्तर: सी ≈ 4.4; β ≈ 23°।

 समस्याओं का समाधान.
8. वैक्टर के लिए एकतथा बीउदाहरण 7 में परिभाषित, सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए डी = ए - बीकोना γ के बीच एकतथा डी.

9. सदिश का प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए ए = 4.0i + 7.0jएक सीधी रेखा के लिए जिसकी दिशा ऑक्स अक्ष के साथ कोण α = 30° बनाती है। वेक्टर एकऔर रेखा xOy तल में स्थित है।

10. वेक्टर एकसीधी रेखा AB से α = 30° का कोण बनाता है, a = 3.0। रेखा AB को किस कोण पर वेक्टर को निर्देशित किया जाना चाहिए बी(बी = √(3)) ताकि वेक्टर सी = ए + बी AB के समांतर था? वेक्टर की लंबाई पाएं सी.

11. तीन सदिश दिए गए हैं: ए = 3i + 2j - के; बी = 2i - जे + के; सी = मैं + 3j. लगता है) क+ख; बी) ए + सी; में) (ए, बी); जी) (ए, सी) बी - (ए, बी) सी.

12. सदिशों के बीच का कोण एकतथा बीα = 60°, a = 2.0, b = 1.0 के बराबर है। सदिशों की लम्बाई ज्ञात कीजिए सी = (ए, बी) ए + बीतथा डी = 2बी - ए/2.

13. सिद्ध कीजिए कि सदिश एकतथा बीलंबवत हैं यदि a = (2, 1, -5) और b = (5, -5, 1)।

14. सदिशों के बीच का कोण α ज्ञात कीजिए एकतथा बी, अगर ए = (1, 2, 3), बी = (3, 2, 1)।

15. वेक्टर एकऑक्स अक्ष के साथ α = 30° का कोण बनाता है, इस वेक्टर का Oy अक्ष पर प्रक्षेपण ay = 2.0 है। वेक्टर बीवेक्टर के लंबवत एकऔर बी = 3.0 (चित्र देखें)।

वेक्टर सी = ए + बी. खोजें: ए) वेक्टर अनुमान बीबैल और ओय कुल्हाड़ियों पर; बी) मान सी और वेक्टर के बीच कोण β सीऔर अक्ष बैल; कैब); डी) (ए, सी)।

 जवाब:
9. ए 1 \u003d ए एक्स कॉसα + ए वाई पापα ≈ 7.0।
10. β = 300°; सी = 3.5।
11. ए) 5i + जे; बी) आई + 3जे - 2के; ग) 15i - 18j + 9k।
12. सी = 2.6; डी = 1.7।
14. α = 44.4°।
15. ए) बी एक्स \u003d -1.5; बी वाई = 2.6; बी) सी = 5; β ≈ 67°; सी) 0; घ) 16.0।
भौतिकी का अध्ययन करके, आपके पास तकनीकी विश्वविद्यालय में अपनी शिक्षा जारी रखने के बहुत अच्छे अवसर हैं। इसके लिए गणित, रसायन विज्ञान, भाषा और कम अक्सर अन्य विषयों में ज्ञान के समानांतर गहनता की आवश्यकता होगी। रिपब्लिकन ओलंपियाड के विजेता, ईगोर सैविच, मास्को इंस्टीट्यूट ऑफ फिजिक्स एंड टेक्नोलॉजी के एक विभाग से स्नातक हैं, जहां रसायन विज्ञान के ज्ञान पर बड़ी मांग की जाती है। यदि आपको रसायन विज्ञान में जीआईए में सहायता की आवश्यकता है, तो पेशेवरों से संपर्क करें, आपको निश्चित रूप से योग्य और समय पर सहायता प्रदान की जाएगी।