प्राथमिकनिम्नलिखित मैट्रिक्स परिवर्तन कहलाते हैं:

1) किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) का क्रमपरिवर्तन,

2) एक पंक्ति (या कॉलम) को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना,

3) एक पंक्ति (या कॉलम) में जोड़ने पर दूसरी पंक्ति (या कॉलम) को किसी संख्या से गुणा किया जाता है।

दो आव्यूह कहलाते हैं बराबर, यदि उनमें से एक को प्राथमिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट की सहायता से दूसरे से प्राप्त किया जाता है।

समतुल्य मैट्रिसेस, सामान्यतया, समान नहीं होते हैं, लेकिन उनकी रैंक समान होती है। यदि मैट्रिक्स ए और बी समकक्ष हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: ए ~ बी।

कैनन काएक मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण की शुरुआत में एक पंक्ति में कई 1s होते हैं (जिनकी संख्या शून्य हो सकती है), और अन्य सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए,

पंक्तियों और स्तंभों के प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, किसी भी मैट्रिक्स को एक विहित में कम किया जा सकता है। एक विहित मैट्रिक्स की रैंक उसके मुख्य विकर्ण पर लोगों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2मैट्रिक्स की रैंक पाएं

ए =

और इसे विहित रूप में लाएं।

समाधान।पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ और इन पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें:

.

अब, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में से, पहली को क्रमशः 2 और 5 से गुणा करके घटाएँ:

;

तीसरी पंक्ति से पहले घटाएं; हमें मैट्रिक्स मिलता है

बी = ,

जो मैट्रिक्स ए के बराबर है, क्योंकि इसे प्राथमिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, मैट्रिक्स B की रैंक 2 है, और इसलिए r(A)=2 है। मैट्रिक्स बी को आसानी से विहित में कम किया जा सकता है। पहले कॉलम को घटाकर, उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी से, हम पहली पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य में बदल देते हैं, पहले को छोड़कर, और शेष पंक्तियों के तत्व नहीं बदलते हैं। फिर, दूसरे कॉलम को घटाकर, उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी से, हम दूसरी पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य में बदल देते हैं, दूसरे को छोड़कर, और विहित मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

.

क्रोनकर - कैपेली प्रमेय- रैखिक प्रणाली की अनुकूलता की कसौटी बीजीय समीकरण:

प्रति रैखिक प्रणालीसुसंगत है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक इसके मुख्य मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो।

सबूत (सिस्टम संगतता शर्तें)

जरुरत

होने देना व्यवस्थासंयुक्त। फिर ऐसी संख्याएँ हैं। इसलिए, स्तंभ मैट्रिक्स के स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है। इस तथ्य से कि एक मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलेगी यदि एक पंक्ति (कॉलम) को उसकी पंक्तियों (कॉलम) या एक पंक्ति (कॉलम) की प्रणाली से हटा दिया जाता है जो कि अन्य पंक्तियों (कॉलम) का एक रैखिक संयोजन होता है।

पर्याप्तता

होने देना । आइए मैट्रिक्स में कुछ बुनियादी नाबालिग लें। तब से, यह मैट्रिक्स का आधार माइनर भी होगा। फिर, आधार प्रमेय के अनुसार नाबालिग, मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम बेस कॉलम, यानी मैट्रिक्स के कॉलम का रैखिक संयोजन होगा। इसलिए, सिस्टम के मुक्त सदस्यों का स्तंभ मैट्रिक्स के स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है।

परिणाम

मुख्य चर की संख्या प्रणालीसिस्टम के रैंक के बराबर।

संयुक्त व्यवस्थानिर्धारित किया जाएगा (इसकी समाधान अद्वितीय है) यदि सिस्टम की रैंक उसके सभी चरों की संख्या के बराबर है।

समीकरणों की सजातीय प्रणाली

वाक्य15 . 2 समीकरणों की सजातीय प्रणाली

हमेशा सहयोगी होता है।

सबूत. इस प्रणाली के लिए, संख्याओं का समुच्चय , , , एक हल है।

इस खंड में, हम सिस्टम के मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करेंगे:।

वाक्य15 . 3 रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का योग इस प्रणाली का एक समाधान है। किसी संख्या से गुणा किया गया हल भी एक हल होता है।

सबूत. चलो और व्यवस्था के समाधान के रूप में सेवा करते हैं। फिर और। होने देना । फिर

तब से, एक समाधान है।

आज्ञा देना एक मनमाना संख्या हो, . फिर

तब से, एक समाधान है।

परिणाम15 . 1 यदि एक सजातीय प्रणाली रेखीय समीकरणएक गैर-शून्य समाधान है, तो उसके पास असीम रूप से कई अलग-अलग समाधान हैं।

दरअसल, एक गैर-शून्य समाधान को अलग-अलग संख्याओं से गुणा करने पर, हमें अलग-अलग समाधान मिलेंगे।

परिभाषा15 . 5 हम कहेंगे कि समाधान सिस्टम फॉर्म मौलिक निर्णय प्रणालीअगर कॉलम एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली बनाते हैं और सिस्टम का कोई भी समाधान इन स्तंभों का एक रैखिक संयोजन होता है।

मैट्रिक्स के रैंक की गणना करने के लिए, आप नाबालिगों की सीमा या गॉस विधि लागू कर सकते हैं। गॉस विधि या प्राथमिक परिवर्तनों की विधि पर विचार करें।

मैट्रिक्स का रैंक उसके नाबालिगों का अधिकतम क्रम है, जिसके बीच कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है।

पंक्तियों (स्तंभों) की एक प्रणाली के रैंक को कहा जाता है अधिकतम राशिइस प्रणाली की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियाँ (स्तंभ)।

नाबालिगों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. नाबालिग एमआदेश शून्य नहीं है।
2. अगर नाबालिगों के लिए फ्रिंजिंग नाबालिग एम (के+1)-थआदेश, रचना करना असंभव है (अर्थात मैट्रिक्स में शामिल है कलाइनें या ककॉलम), तो मैट्रिक्स की रैंक है क. यदि सीमावर्ती अवयस्क मौजूद हैं और सभी शून्य हैं, तो रैंक k है। यदि सीमावर्ती नाबालिगों में से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हम एक नया नाबालिग लिखने का प्रयास करते हैं कश्मीर+2आदि।

आइए एल्गोरिथ्म का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें। सबसे पहले, मैट्रिक्स के पहले क्रम (मैट्रिक्स तत्व) के नाबालिगों पर विचार करें ए. यदि वे सभी शून्य हैं, तो रैंकए = 0. यदि प्रथम-क्रम अवयस्क (मैट्रिक्स तत्व) हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं एम1 0, फिर रैंक रंगा ≥ 1.

एम1. यदि ऐसे अवयस्क हैं तो वे द्वितीय श्रेणी के अवयस्क होंगे। यदि सभी अवयस्क अवयस्क की सीमा बनाते हैं एम1शून्य के बराबर हैं, तो रैंकए = 1. यदि कम से कम एक सेकेंड ऑर्डर नाबालिग है जो शून्य के बराबर नहीं है एम 2 0, फिर रैंक रंगा 2.

जांचें कि क्या नाबालिग के लिए सीमावर्ती नाबालिग हैं एम2. यदि ऐसे अवयस्क हैं तो वे तृतीय श्रेणी के अवयस्क होंगे। यदि सभी अवयस्क अवयस्क की सीमा बनाते हैं एम2शून्य के बराबर हैं, तो रैंकए = 2. यदि तीसरे क्रम का कम से कम एक अवयस्क है जो शून्य के बराबर नहीं है एम3 0, फिर रैंक रंगा 3.

जांचें कि क्या नाबालिग के लिए सीमावर्ती नाबालिग हैं एम3. यदि ऐसे अवयस्क हैं तो वे चतुर्थ कोटि के अवयस्क होंगे। यदि सभी अवयस्क अवयस्क की सीमा बनाते हैं एम3शून्य के बराबर हैं, तो रैंकए = 3. यदि चौथे क्रम का कम से कम एक अवयस्क है जो शून्य के बराबर नहीं है एम4 0, फिर रैंक रंगा 4.

जाँच कर रहा है कि क्या नाबालिग के लिए सीमावर्ती नाबालिग है एम 4, और इसी तरह। यदि किसी स्तर पर सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं या सीमावर्ती नाबालिग प्राप्त नहीं किया जा सकता है तो एल्गोरिथ्म बंद हो जाता है (मैट्रिक्स में कोई और पंक्तियाँ या स्तंभ नहीं हैं)। एक गैर-शून्य नाबालिग का क्रम, जिसे हम लिखने में कामयाब रहे, मैट्रिक्स का रैंक होगा।

उदाहरण

विचार करना यह विधिउदाहरण के लिए। 4x5 मैट्रिक्स दिया गया है:

इस मैट्रिक्स में 4 से अधिक रैंक नहीं हो सकती है। साथ ही, इस मैट्रिक्स में गैर-शून्य तत्व (एक प्रथम-क्रम नाबालिग) है, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स का रैंक 1 है।

चलो नाबालिग बनाते हैं 2गण। चलो कोने से शुरू करते हैं।

चूंकि सारणिक शून्य के बराबर है, इसलिए हम एक और नाबालिग की रचना करते हैं।

इस अवयस्क का सारणिक ज्ञात कीजिए।

निर्धारित अवयस्क है -2 . तो मैट्रिक्स की रैंक ≥ 2 .

यदि यह नाबालिग 0 के बराबर था, तो अन्य नाबालिगों को जोड़ा जाएगा। अंत तक, सभी नाबालिगों को 1 और 2 पंक्तियों में तैयार किया गया होगा। फिर लाइन 1 और 3 पर, लाइन 2 और 3 पर, लाइन 2 और 4 पर, जब तक कि वे एक नाबालिग को 0 के बराबर नहीं पाते, उदाहरण के लिए:

यदि सभी दूसरे क्रम के अवयस्क 0 हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक 1 होगी। समाधान रोका जा सकता है।

3गण।

नाबालिग जीरो नहीं निकला। मतलब मैट्रिक्स की रैंक ≥ 3 .

यदि यह नाबालिग शून्य होता, तो अन्य नाबालिगों की रचना करनी पड़ती। उदाहरण के लिए:

यदि सभी तीसरे क्रम के अवयस्क 0 हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक 2 होगी। समाधान रोका जा सकता है।

हम मैट्रिक्स के रैंक की खोज जारी रखते हैं। चलो नाबालिग बनाते हैं 4गण।

आइए इस अवयस्क का निर्धारक ज्ञात करें।

नाबालिग का निर्धारक बराबर निकला 0 . चलो एक और नाबालिग बनाते हैं।

आइए इस अवयस्क का निर्धारक ज्ञात करें।

नाबालिग निकला बराबर 0 .

एक नाबालिग बनाएँ 5 वींआदेश काम नहीं करेगा, इसके लिए इस मैट्रिक्स में कोई पंक्ति नहीं है। अंतिम गैर-शून्य नाबालिग था 3क्रम, इसलिए मैट्रिक्स की रैंक है 3 .

>>मैट्रिक्स रैंक

मैट्रिक्स रैंक

मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना

विचार करना आयताकार मैट्रिक्स. यदि इस मैट्रिक्स में हम मनमाने ढंग से चयन करते हैं करेखाएं और ककॉलम, फिर चयनित पंक्तियों और स्तंभों के चौराहे पर स्थित तत्व kth क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स बनाते हैं। इस मैट्रिक्स के निर्धारक को कहा जाता है के-वें क्रम नाबालिगमैट्रिक्स ए। जाहिर है, मैट्रिक्स ए में किसी भी क्रम के अवयस्क हैं जो 1 से सबसे छोटी संख्या एम और एन तक हैं। मैट्रिक्स ए के सभी गैर-शून्य नाबालिगों में से हैं कम से कमएक अवयस्क, जिसका क्रम सबसे बड़ा होगा। किसी दिए गए मैट्रिक्स के नाबालिगों के गैर-शून्य आदेशों में से सबसे बड़ा कहा जाता है पदमैट्रिक्स यदि मैट्रिक्स A की रैंक है आर, तो इसका मतलब है कि मैट्रिक्स ए में ऑर्डर का एक गैर-शून्य नाबालिग है आर, लेकिन क्रम का प्रत्येक अवयस्क . से बड़ा है आर, शून्य के बराबर। मैट्रिक्स A की रैंक को r(A) द्वारा दर्शाया जाता है। जाहिर सी बात है कि रिश्ता

नाबालिगों का उपयोग करके मैट्रिक्स के रैंक की गणना करना

मैट्रिक्स का रैंक या तो नाबालिगों की सीमा से, या प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा पाया जाता है। पहले तरीके से मैट्रिक्स के रैंक की गणना करते समय, निचले क्रम के नाबालिगों से अधिक के नाबालिगों को पास करना चाहिए उच्च स्तर. यदि मैट्रिक्स A के kवें क्रम का एक गैर-शून्य नाबालिग D पहले ही पाया जा चुका है, तो केवल (k + 1)वें क्रम के नाबालिगों की गणना नाबालिग D की सीमा से की जानी चाहिए, अर्थात। इसमें नाबालिग के रूप में शामिल है। यदि वे सभी शून्य हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक है क.

उदाहरण 1अवयस्कों को सीमाबद्ध करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात कीजिए

.

समाधान।हम प्रथम क्रम के अवयस्कों से प्रारंभ करते हैं, अर्थात्। मैट्रिक्स ए के तत्वों से। आइए हम चुनते हैं, उदाहरण के लिए, पहली पंक्ति और पहले कॉलम में स्थित नाबालिग (तत्व) 1 = 1। दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ की सहायता से सीमा पर, हम लघु M 2 = प्राप्त करते हैं, जो शून्य से भिन्न है। अब हम एम 2 की सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों की ओर मुड़ते हैं। उनमें से केवल दो हैं (आप दूसरा कॉलम या चौथा जोड़ सकते हैं)। हम उनकी गणना करते हैं: = 0. इस प्रकार, तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर निकले। मैट्रिक्स ए की रैंक दो है।

प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स के रैंक की गणना करना

प्राथमिकनिम्नलिखित मैट्रिक्स परिवर्तन कहलाते हैं:

1) किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) का क्रमपरिवर्तन,

2) एक पंक्ति (या कॉलम) को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना,

3) एक पंक्ति (या कॉलम) में जोड़ने पर दूसरी पंक्ति (या कॉलम) को किसी संख्या से गुणा किया जाता है।

दो आव्यूह कहलाते हैं बराबर, यदि उनमें से एक को प्राथमिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट की सहायता से दूसरे से प्राप्त किया जाता है।

समतुल्य मैट्रिसेस, सामान्यतया, समान नहीं होते हैं, लेकिन उनकी रैंक समान होती है। यदि आव्यूह A और B समतुल्य हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: A~बी.

कैनन काएक मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण की शुरुआत में एक पंक्ति में कई 1s होते हैं (जिनकी संख्या शून्य हो सकती है), और अन्य सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए,

.

पंक्तियों और स्तंभों के प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, किसी भी मैट्रिक्स को एक विहित में कम किया जा सकता है। एक विहित मैट्रिक्स की रैंक उसके मुख्य विकर्ण पर लोगों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2मैट्रिक्स की रैंक पाएं

ए =

और इसे विहित रूप में लाएं।

समाधान।पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ और इन पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें:

.

अब, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में से, पहली को क्रमशः 2 और 5 से गुणा करके घटाएँ:

;

तीसरी पंक्ति से पहले घटाएं; हमें मैट्रिक्स मिलता है

बी = ,

जो मैट्रिक्स ए के बराबर है, क्योंकि इसे प्राथमिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, मैट्रिक्स B की रैंक 2 है, और इसलिए r(A)=2 है। मैट्रिक्स बी को आसानी से विहित में कम किया जा सकता है। पहले कॉलम को घटाकर, उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी से, हम पहली पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य में बदल देते हैं, पहले को छोड़कर, और शेष पंक्तियों के तत्व नहीं बदलते हैं। फिर, दूसरे कॉलम को घटाकर, उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी से, हम दूसरी पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य में बदल देते हैं, दूसरे को छोड़कर, और विहित मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

.

परिभाषा। मैट्रिक्स रैंकसदिश मानी जाने वाली रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है।

एक मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय 1। मैट्रिक्स रैंकमैट्रिक्स के गैर-शून्य नाबालिग का अधिकतम क्रम है।

हम निर्धारक पाठ में अवयस्क की अवधारणा पर पहले ही चर्चा कर चुके हैं, और अब हम इसका सामान्यीकरण करेंगे। आइए मैट्रिक्स में कुछ पंक्तियों और कुछ स्तंभों को लें, और यह "कुछ" मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम होना चाहिए, और पंक्तियों और स्तंभों के लिए यह "कुछ" समान संख्या होना चाहिए। फिर कितनी पंक्तियों और कितने स्तंभों के चौराहे पर हमारे मूल मैट्रिक्स की तुलना में छोटे क्रम का एक मैट्रिक्स होगा। यदि उल्लिखित "कुछ" (पंक्तियों और स्तंभों की संख्या) को k द्वारा निरूपित किया जाता है, तो इस मैट्रिक्स का निर्धारक kth क्रम का एक नाबालिग होगा।

परिभाषा।नाबालिग ( आर+1)-वां क्रम, जिसके अंदर चुना हुआ अवयस्क है आर-वें क्रम को दिए गए अवयस्क के लिए बॉर्डरिंग कहा जाता है।

दो सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ एक मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना. यह नाबालिगों को फंसाने का तरीकातथा प्राथमिक परिवर्तन की विधि(गॉस विधि द्वारा)।

नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करती है।

एक मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय 2।यदि मैट्रिक्स के तत्वों से नाबालिग की रचना करना संभव है आरवां क्रम, जो शून्य के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स की रैंक बराबर है आर.

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि के साथ, निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया जाता है:

यदि प्रारंभिक परिवर्तनों द्वारा मूल के बराबर एक समलम्बाकार मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है, तो इस मैट्रिक्स की रैंकपूरी तरह से शून्य वाली रेखाओं को छोड़कर इसमें रेखाओं की संख्या है।

नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना

एक सीमावर्ती नाबालिग दिए गए एक के संबंध में एक उच्च क्रम का नाबालिग है, यदि उच्च क्रम के इस नाबालिग में दिया गया नाबालिग शामिल है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स दिया गया

चलो एक नाबालिग लेते हैं

किनारा ऐसे होंगे नाबालिग:

मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए एल्गोरिदमअगला।

1. हम दूसरे क्रम के अवयस्क पाते हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं। यदि दूसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर होगी ( आर =1 ).

2. यदि कम से कम एक सेकंड-ऑर्डर नाबालिग मौजूद है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हम सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिगों की रचना करते हैं। यदि सभी तीसरे क्रम के सीमावर्ती नाबालिग शून्य हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक दो है ( आर =2 ).

3. यदि तीसरे क्रम के सीमावर्ती नाबालिगों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम इसकी सीमा वाले नाबालिगों की रचना करते हैं। यदि सभी सीमावर्ती चौथे क्रम के अवयस्क शून्य हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक तीन है ( आर =2 ).

4. तब तक जारी रखें जब तक मैट्रिक्स का आकार अनुमति देता है।

उदाहरण 1मैट्रिक्स की रैंक पाएं

.

समाधान। दूसरे क्रम के नाबालिग .

हम इसे फ्रेम करते हैं। चार सीमावर्ती नाबालिग होंगे:

,

,

इस प्रकार, सभी सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, इसलिए, इस मैट्रिक्स की रैंक दो है ( आर =2 ).

उदाहरण 2मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स की रैंक 1 है, क्योंकि इस मैट्रिक्स के सभी दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं (इसमें, अगले दो उदाहरणों में सीमावर्ती नाबालिगों के मामलों में, प्रिय छात्रों को स्वयं के लिए सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है, शायद निर्धारकों की गणना के लिए नियमों का उपयोग करना), और पहले क्रम के नाबालिगों में, यानी मैट्रिक्स के तत्वों में, शून्य के बराबर नहीं हैं।

उदाहरण 3मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स का सेकेंड-ऑर्डर माइनर है, और इस मैट्रिक्स के सभी थर्ड-ऑर्डर माइनर शून्य हैं। इसलिए, इस मैट्रिक्स की रैंक दो है।

उदाहरण 4मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स की रैंक 3 है क्योंकि इस मैट्रिक्स का केवल तीसरा ऑर्डर माइनर 3 है।

प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि द्वारा एक मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना (गॉस विधि द्वारा)

पहले से ही उदाहरण 1 में, यह देखा जा सकता है कि सीमावर्ती नाबालिगों की विधि द्वारा मैट्रिक्स के रैंक को निर्धारित करने की समस्या की गणना की आवश्यकता है एक बड़ी संख्या मेंनिर्धारक हालांकि, गणना की मात्रा को कम से कम करने का एक तरीका है। यह विधि प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों के उपयोग पर आधारित है और इसे गॉस विधि भी कहा जाता है।

नीचे प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिसेस, निम्नलिखित कार्यों को समझा जाता है:

1) मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति या किसी कॉलम का शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

2) किसी भी पंक्ति या मैट्रिक्स के किसी भी स्तंभ के तत्वों को जोड़कर, उसी संख्या से गुणा करके किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के संगत तत्व;

3) मैट्रिक्स की दो पंक्तियों या स्तंभों की अदला-बदली;

4) "अशक्त" पंक्तियों को हटाना, अर्थात्, वे सभी तत्व जिनमें से शून्य के बराबर हैं;

5) एक को छोड़कर सभी आनुपातिक रेखाओं को हटाना।

प्रमेय।प्रारंभिक परिवर्तन मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलता है। दूसरे शब्दों में, यदि हम मैट्रिक्स से प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हैं एमैट्रिक्स पर जाएं बी, फिर ।